Теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС)

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот. Статистические распределения, а также используемые при построении гисто-граммы плотности относительных частот приведены в таблице 1. В этой таблице использованы следующие обозначения:

i – порядковый номер; – интервал разбиения; – середина интервала ; – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу ); – относительная частота ( – объем выборки); – плотность относительной частоты (h – шаг разбиения).

Объем выборки = 100, . Контроль: . Длина интервала разбиения (шаг) h = 3, . Таблица 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0; 3 3; 6 6; 9 9; 12 12; 15 15; 18 18; 21 21; 24 24; 27 27; 30 30; 33 1,5 4,5

Задачи группы1 (тип № 1) 3 балла Тема 3 1. Верно ли равенство 5/6 = 0,8(3) ? да/нет. 2. Верно ли равенство 2/3 = 0,(6) ? да/нет. 3. Верно ли равенство 1/3 = 0,33 ? да/нет. 4. Верно ли равенство 9 2 1 = 2,(1) ? да/нет.

5. Является ли число α = 0,(3) иррациональным ? да/нет. 6. Является ли число α = 2 1 2 2 − + натуральным ? да/нет. 7. Является ли последовательность n n n x = 2 + (−2) бесконечно большой ? да/нет. 8. Пересечением множеств A = {0, 1, 2} и B = {− 2, -1, 0} является пустое множество. .

Верно ли это утверждение ? да/нет. Задачи группы 2 (тип № 5) 6 баллов Тема 3 Сопоставить пределы в левом столбце и числа в правом. Сопоставляются равные числа (каждое верное сопоставление дает 25%).(эта фраза должна стоять перед каждым

примером) 1. 1. 3 n n lim 5n - 2n 5 2 2 n − + →∞ 2. 2 lim( n 5 n ) n n − →∞ 3. (n 1)! n! lim n! n→∞ + − 4. n 2 lim1 2 3 2n n 2 + + + + →∞ 2. 1. 2 2 n 7 5n 3n lim 6n 5n 7 − − →∞ 2. lim( 2n 3n 2)

Вариант № 1 Допущено к защите Дата защиты Результат защиты Подпись преподавателя Москва - 2007 Таблица 1. Исходные данные к курсовой работе. Интервалы 0;3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21 21;24 24;27 27;30 30;33

Частоты 5 7 8 11 14 16 13 10 7 5 4 1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот. i – порядковый номер;

I i – интервал разбиения; x i – середина интервала I i ; n i – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу I i) w i = n i / n – относительная частота (n = Σ n i – объем выборки);

H i = w i / h – плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, то есть длина интервала I i). Объем выборки n = Σ n i= 100, w i = n i / 100; контроль: Σ w i = 1. Длина интервала разбиения (шаг) h = 3, H i = w i / 3.

Вариант 27 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ii [1,5;3,5) [3,5;5,5) [5,5;7,5) [7,5;9,5) (9,5;11,5) [11,5;1,5) [13,5;15,5) [15,5:17,5) [17,5;19,5) [19,5;21,5) [21,5;23,5) ni 6 8 11 14 18 24 16 12 110 8 3

h = 2 (шаг разбиения) n = 130 объём выборки Расчетная часть 1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

Статистическое распределение - соответствие между результатами наблюдений и их частотами и относительными частотами. Интервальное распределение – наборы троек ( Ii ; ni ; wi ) для всех номеров i, а точечное – наборы троек ( xi ; ni ; wi ).

Вариант №23 Допущено к защите Дата защиты Результат защиты Подпись преподавателя Москва 2009 Исходные данные к курсовой работе Вариант 23 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 I 0; 5,4 5,4; 10,8 10,8; 16,2 16,2;

21,6 21,6; 27,0 27,0; 32,4 32,4; 37,8 37,8; 43,2 43,2; 48,6 48,6; 54,0 54,0; 59,4 N 4 7 10 11 15 18 14 10 6 3 2 Здесь i – порядковый номер, I – cоответствующий интервал, а N – частота выборки.

Расчетная часть 1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот. Статистическое распределение - соответствие между результатами наблюдений и их частотами и относительными частотами.

Интервальное распределение – наборы троек ( Ii ; ni ; wi ) для всех номеров i, а точечное – наборы троек ( xi ; ni ; wi ). Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой в порядке возрастания xi соединяют точки ( xi ; wi).

Курсовая по теории вероятности. Вариант №22 Вариант № 22 6;8 8;10 10;12 12;14 14;16 16;18 18;20 41 36 24 17 13 10 7 20;22 22;24 24;26 26;28 5 3 2 2 1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

i – порядковый номер; Ii – интервал разбиения; xi – середина интервала Ii; ni – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii); wi = - относительная частота (n = - объём выборки);

Hi = - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала Ii). i Ii xi ni wi Hi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6;8 8;10 10;12 12;14 14;16 16;18 18;20 20;22 22;24 24;26 26;28 7 9 11 13

15 17 19 21 23 25 27 41 36 24 17 13 10 7 5 3 2 2 0,25625 0,225 0,15 0,10625 0,08125 0,0625 0,04375 0,03125 0,01875 0,0125 0,0125 0,128125 0,1125 0,075 0,053125 0,040625 0,03125 0,021875 0,015625 0,009375

1. Интервальное и точечное статистические распределения результатов наблюдений. I – порядковый номер - интервал разбиения; - середина интервала ; - частота; - относительная частота ( -объем выборки);

-плотность относительной частоты (h - шаг разбиения, т.е. длина интервала) n= - объем выборки i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1;3 3;5 5;7 7;9 9;11 11;13 13;15 15;17 17;19 19;21 21;23 50 42 31 16 12 10 7 5 3 2 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0.278 0.233 0.172 0.089 0.067 0.056 0.038 0.028 0.017 0.011 0.011 0.139 0.1165 0.086 0.0445 0.0335 0.028 0.019 0.014 0.0085 0.0055 0.0055 ; ; h=2 2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.

-исправленная дисперсия i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 50 42 31 16 12 10 7 5 3 2 2 100 168 186 128 120 120 98 80 54 40 44 933.12 226.06 3.17 45.16 162.51 322.62 412.88 468.51 409.27 374.28 491.72

1. Интервальное и точечное статистические распределения результатов наблюдений. I – порядковый номер - интервал разбиения; - середина интервала ; - частота; - относительная частота ( -объем выборки);

-плотность относительной частоты (h - шаг разбиения, т.е. длина интервала) n= - объем выборки i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0;4 4;8 8;12 12;16 16;20 20;24 24;28 28;32 32;36 36;40 40;44 39 34 25 15 12 9 6 4 3 2 1

2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 0.26 0.227 0.167 0.1 0.08 0.06 0.04 0.027 0.02 0.013 0.006 0.065 0.0568 0.0418 0.025 0.02 0.015 0.01 0.0068 0.005 0.0033 0.0015 ; ; h=4 2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.

-исправленная дисперсия i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 39 34 25 15 12 9 6 4 3 2 1 78 204 250 210 216 198 156 120 102 76 42 3168,13 854,43 25,65 133,83 585,82 1086,43 1347,66 1442,02 1585,2 1456,60 960,19

1.Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот Обозначения: i – порядковый номер; – интервал разбиения;

– середина интервала Ii ; – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii); - относительная частота ( - объём выборки); - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, то есть длина интервала ).

i 1 0; 2 1 41 41/150=0,27 0,27/2=0,135 2 2;4 3 37 0,24 0,12 3 4;6 5 23 0,15 0,075 4 6;8 7 16 0,11 0,055 5 8;10 9 10 0,06 0,03 6 10;12 11 8 0,05 0,025 7 12;14 13 6 0,04 0,02 8 14;16 15 4 0,03 0,015

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот. i – порядковый номер; Ii – интервал разбиения; xi – середина интервала Ii;

ni – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii); wi = - относительная частота (n = - объём выборки); Hi = - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала Ii).

i Ii xi ni wi Hi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.2;10.4 10.4;10.6 10.6;10.8 10.8;11.0 11.0;11.2 11.2;11.4 11.4;11.6 11.6;11.8 11.8;12.0 12.0;12.2 12.2;12.4 10.3 10.5 10.7 10.9 11.1 11.3 11.5 11.7 11.9 12.1

12.3 4 6 8 10 12 20 14 9 7 5 5 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,20 0,14 0,09 0,07 0,05 0,05 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 1,0 0,7 0,45 0,35 0,25 0,25 Объём выборки: n = =100, wi = ; контроль: =1 Длина интервала