Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Студенческий документ № 000058 из ДГТУ (бывш. РИСХМ)

Вопросы к экзамену

по моделированию систем

1. Моделирование как способ изучения свойств систем.

2. Классификация видов моделирования.

3. Математические схемы моделирования (назначение, способы определения).

4. D-схемы моделирования.

5. F-схемы моделирования.

6. Q-схемы моделирования.

7. Статистическое моделирование и его обоснование.

8. Задачи статистического моделирования и особенности их решения.

9. Случайные числа и способы их генерации.

10. Генерация базовой последовательности.

11. Метод средних квадратов и его реализация.

12. Конгруэнтные процедуры генерации чисел.

13. Мультипликативные процедуры генерации чисел.

14. Моделирование случайных воздействий на системы.

15. Формирование возможных значений случайных величин с заданным законом распределения (аналитический подход).

16. Моделирование потоков событий (общие принципы).

17. Моделирование простейшего потока.

1. Моделирование как способ изучения свойств систем

Моделирование - представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путём проведения экспериментов с его моделью.

В основе моделирования лежат информационные процессы, поскольку создание модели базируется на информации о реальном объекте. В процессе реализации модели получается информация об исследуемом объекте, а в процессе эксперимента с моделью существенное место занимает обработка полученных результатов.

Обобщённо моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом-моделью, причём модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса.

Математическое моделирование - это методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей. Математическим моделированием занимался, в сущности, каждый, кто применял математику на практике.

Теория моделирования - это теория замещения объектов-оригиналов объектами-моделями и исследование свойств объектов на их моделях.

Требования, предъявляемые к модели. Такими требованиями прежде всего являются: адекватность, полнота-простота и эффективность.

Основное требование, которому должна удовлетворять модель, это адекватность объекту. Модель адекватна объекту, если результаты моделирования подтверждаются на практике и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах. Адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Противоречивое требование полноты и простоты модели разрешается её целевым назначением. Для правильно построенной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю в соответствии с поставленной целью, и не рассматриваются несущественные для данного исследования свойства системы. Оригинал и модель должны быть одновременно сходны по одним признакам, существенным с точки зрения решаемой задачи, и различны по другим, что позволяет выделить наиболее важные изучаемые свойства. В этом смысле модель выступает как некоторый "заместитель" оригинала, обеспечивающий фиксацию и изучение лишь нужных свойств реального объекта. Для правильного выявления существенных свойств реального объекта пользуются законом Парето [15]: в каждой группе или совокупности существует жизненно важное меньшинство и тривиальное большинство; ничего действительно важного не происходит, пока не затронут жизненно важное меньшинство.

Эффективность модели оценивается рядом критериев, в том числе значимостью, точностью и достоверностью результатов моделирования, временем построения и работы с моделью, затратами машинных ресурсов (времени и памяти), стоимостью разработки и эксплуатации модели. Другими словами, эффективность определяется как некоторая разность между показателями ценности результатов, полученных в итоге эксплуатации модели, и теми затратами, которые были вложены в её разработку и создание.

Назначение модели. Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов, прогнозирования, предсказания функционирования систем, синтеза структуры, параметров и алгоритмов управления систем. В повседневной жизни человека моделирование играет важную роль в правильном отображении окружающего мира, в принятии решений и выборе стратегии поведения, которая на основании выбранного критерия может быть пригодной, оптимальной или адаптивной.

Моделирование - эффективное средство познания природы. Процесс моделирования предполагает наличие: объекта исследования; исследователя, перед которым поставлена конкретная задача; модели, создаваемой для получения информации об объекте. Причём по отношению к модели исследователь является экспериментатором, только в данном случае эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью.

При управлении модели позволяют оценивать ненаблюдаемые переменные процесса, прогнозировать состояние процесса при имеющихся или выбираемых управлениях и синтезировать оптимальные законы управления.

При проектировании и эксплуатации систем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных закономерностей процессов функционирования систем, проведения структурного, алгоритмического и параметрического синтеза. Решение этих проблем в настоящее время невозможно без использования различных видов моделирования, что обусловлено особенностями больших систем, такими как сложность структур, стохастичность связей между элементами и внешней средой, неоднозначность алгоритмов поведения, большое количество параметров и переменных, неполнота и недетерминированность исходной информации. Математическое моделирование позволяет существенно уменьшить время проектирования, во многих случаях позволяет найти оптимальное решение, исключить метод натурных проб и ошибок, перейти к параллельному процессу проектирования.

2. В основе классификации видов моделирования систем лежат различные признаки, такие как

* степень полноты модели;

* характер изучаемых процессов в системе;

* форма представления системы.

Классификация видов моделирования систем приведена на рис. 1.4 [8].

Классификация видов моделирования систем приведена на рис. 1.4 [8].

Основой моделирования является теория подобия, из которой следует, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим, точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места, и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования системы. Поэтому в качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные.

В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. При приближенном моделировании лежит приближённое подобие, при котором некоторые стороны функционирования реальной системы не учитываются совсем.

B зависимости от характера изучаемых процессов в системе все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

^ Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т.e. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события.

^ Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, a динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

^ Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, a дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделять наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

B зависимости от формы представления объекта (системы) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

^ Мысленное моделирование - это моделирование объектов без их практической реализации. Реальное моделирование заключается в проведении исследования на реальном объекте целиком или его части.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически не реализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий для их физического создания. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического.

^ Наглядное моделирование основывается на базе представлений человека о реальных объектах и подразделяется на гипотетическое, аналоговое и макетирование.

B основу гипотетического моделирования исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний об объекте. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

^ Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней.

Макетирование основывается на создании мысленных макетов и используется в тех случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования.

^ Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов. Символическое моделирование подразделяется на языковое и знаковое.

^ Языковое моделирование основывается на фиксированном наборе понятий. В основе языкового моделирования лежит тезаурус - словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нём каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие.

При знаковом моделировании введены условные обозначения отдельных понятий, т.е. знаки, а также определённые операции между этими знаками. С помощью знаков можно составлять отдельные цепочки из слов и предложений, а использование операций позволяет получать описание реальных объектов.

Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами должна быть проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель.

Важное место занимает математическое моделирование, представляющее собой процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения. Математическое моделирование включает в себя аналитическое, имитационное и комбинированное.

^ Аналитическое моделирование основывается на косвенном описании реального объекта с помощью набора математических выражений, которые образуют аналитическую модель. Компьютер при аналитическом моделировании используется в качестве вычислителя.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования исследуемой системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

* аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;

* численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить численные результаты при конкретных начальных данных;

* качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, устойчивость).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы. Однако такие зависимости удаётся получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности.

^ Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта, используя структурное подобие объекта и модели, т.е. каждому существенному, с точки зрения решаемой задачи, элементу объекта ставится в соответствие элемент модели.

При имитационном моделировании в качестве имитационной модели выступает алгоритм, воспроизводящий процесс функционирования исследуемой системы, при этом имитируются элементарные явления составляющего процесса, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определённые моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Компьютер при имитационном моделировании служит имитатором исследуемой системы

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем, включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определённых ограничениях, которая является оптимальной по выбранным критериям оценки эффективности.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

При реальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальным объекте целиком, либо на его части. Отличие эксперимента от реального протекания процесса заключается в том, что в нём могут появиться отдельные критические ситуации. В ходе эксперимента вводятся новые факторы и возмущающие воздействия в процессе функционирования объекта.

Реальное моделирование подразделяется натурное и физическое.

Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удаётся выявить закономерности протекания реального процесса. Разновидности натурного моделирования, как комплексные испытания, производственный эксперимент и натурный эксперимент, обладают высокой степенью достоверности.

Физическое моделирование отличается от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать вреальном и нереальном (псевдореальном) масштабах времени, а также может рассматриваться без учёта времени.

Реальное моделирование является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учётом особенностей реальных объектов ограничены.

С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Под цифровой понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представленные в цифровом виде. Под аналого-цифровой понимается модель, которая может быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные величины.

Особый вид моделирования - кибернетическое моделирование, в котором отсутствует непосредственное подобие между реальным объектом и моделью. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как "чёрный ящик", имеющий ряд входов и выходов, и моделируются некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отношение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта.

3. Математические схемы моделирования (назначение, способы определения).

Моделирование - представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путём проведения экспериментов с его моделью.

Математическое моделирование - это методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей. Математическим моделированием занимался, в сущности, каждый, кто применял математику на практике.

Назначение модели. Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов, прогнозирования, предсказания функционирования систем, синтеза структуры, параметров и алгоритмов управления систем. В повседневной жизни человека моделирование играет важную роль в правильном отображении окружающего мира, в принятии решений и выборе стратегии поведения, которая на основании выбранного критерия может быть пригодной, оптимальной или адаптивной.

Принципы подхода в моделировании систем

В моделировании систем используются классический (индуктивный) и системный (дедуктивный) подходы [8].

Классический подход рассматривает исследуемую систему с точки зрения выполняемых функций (функциональный подход) и предполагает создание модели путём перехода от частного к общему слиянием её отдельных компонент, разрабатываемых отдельно.

Процесс синтеза модели на основе классического подхода схематично представлен на рис. 1.2 и включает следующие этапы:

1. Декомпозиция реальной системы, подлежащей моделированию, на отдельные подсистемы.

2. Выбор исходных данных для моделирования, включающих:

назначение;

условия работы;

внешнюю среду;

ограничения.

3. Постановка целей, отображающих отдельные стороны процесса моделирования системы.

4. Формирование на базе целей и исходных данных компонент будущей модели.

5. Совокупность компонент объединяется в модель.

Рис. 1.2. Процесс синтеза модели на основе классического подхода:

Д - исходные данные; Ц - цели; К - компонента модели

Таким образом, разработка модели на основе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причём каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели. Поэтому классический подход может быть использован для реализации сравнительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта.

Системный подход рассматривает исследуемую систему в виде целенаправленного множества взаимосвязанных элементов (структурный подход) и предполагает создание модели путём перехода от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, при этом исследуемый объект выделяется из окружающей среды.

Системный подход рассматривает исследуемую систему в виде целенаправленного множества взаимосвязанных элементов (структурный подход) и предполагает создание модели путём перехода от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, при этом исследуемый объект выделяется из окружающей среды.

Процесс синтеза модели на основе системного подхода схематично представлен на рис. 1.3 и включает следующие этапы:

1.

На основе цели функционирования системы, которая определяется вопросами, на которые исследователь хочет получить ответы с помощью модели, и исходных данных, включающих назначение модели, условия работы системы, внешнюю среду для системы и накладываемые ограничения, формируются требования к модели системы.

2. Определение подсистем модели на базе сформированных требований.

3. Подбор элементов подсистем модели на основе данных для их реализации.

4. Выбор составляющих элементов будущей модели на основе сформированных критериев выбора.

5. Получившаяся таким образом модель является интегрированным целым.

Рис. 1.3. Процесс синтеза модели на основе системного подхода:

Ц - цель моделирования; Д - исходные данные; КВ - критерии выбора

Системный подход позволяет решить проблему построения модели сложной системы с учетом всех факторов и взаимосвязей, пропорциональности их значимости на всех этапах исследования системы и построения модели. Системный подход означает, что каждая система является интегрированным целым даже тогда, когда она состоит из отдельных разобщённых подсистем.

Таким образом, в основе системного подхода лежит рассмотрение системы как интегрированного целого, причём это рассмотрение при разработке начинается с главного: формулировки цели функционирования.

В настоящее время при анализе и синтезе больших систем получил распространение системный подход, который позволяет учитывать сложные стохастические связи в системе и взаимодействие с внешней средой. Модель в этом случае создается под поставленную проблему, а моделирование заключается в решении проблемы цели, проблемы построения модели, проблемы работы с моделью. Для правильно выбранной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы, не существенные для данного исследования.

4. D-схемы моделирования

5. Моделирование детерминированных систем

6. Использование D-схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем и оценить их основные характеристики. Математические схемы данного вида отражают динамику изучаемой системы, т.е. её поведение во времени, поэтому называютсяD-схемами (англ. Dynamic System).

В качестве непрерывно-детерминированных моделей динамических систем используются дифференциальные уравнения, передаточные функции и описание в пространстве состояний [13].

Дифференциальные уравнения и передаточные функции образуют математические модели вход-выход (модели типа "ВВ"), описывающие связи входных и выходных сигналов динамической системы.

Чтобы получить математическое описание динамической системы, необходимо составить дифференциальные уравнения всех элементов, образующих систему. Таким образом, получим систему дифференциальных уравнений, описывающую исследуемую систему. Полученная система дифференциальных уравнений путём исключения промежуточных переменных может быть разрешена относительно любой координаты системы. Обычно она решается относительно выходной величины y(t). В этом случае получается следующее дифференциальное уравнение

D(p)y(t) = R(p)g(t) + N(p)f(t), (2.2)

где - алгебраизированный символ дифференцирования;

y(t)) - выходная характеристика системы;

g(t)) - входное воздействие на систему;

f(t) - воздействие внешней среды на систему;

; ; - полиномы степени

n, m, k от символа дифференцирования p, причём n?m,k;

ai, bi, ci - постоянные коэффициенты.

Уравнение, описывающие динамику системы, может быть представлено в другой форме. Для этого перепишем уравнение (2.2) в операторном виде, перейдя от функций времени к их изображениям по Лапласу.

В результате получим:

, (2.3) где s - оператор Лапласа;

Y(s), G(s), F(s) - изображения по Лапласу выходной характеристики,

входного воздействия и воздействия внешней среды на

систему;

; - передаточные функции системы по

входному воздействию и воздействию

внешней среды;

; ; - полиномы степени

n, m, k от оператор Лапласа s, причём n?m,k;

ai, bi, ci - постоянные коэффициенты.

Таким образом, поведение системы может быть исследовано на основе выражений (2.2) и (2.3), которые представляют собой математические модели динамических систем типа вход-выход.

Описание в пространстве состояний образует математические модели вход-состояние-выход (модели типа "ВСВ").

Описание в пространстве состояний представляет собой общий взгляд на любые системы и пригодно для исследования и проектирования сложных систем с многими входами и выходами, то есть многомерных и многосвязных систем. С математической точки зрения анализ систем в пространстве состояний означает использование методов матричного исчисления и векторного анализа.

В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть определена следующей векторно-матричной формой

, (2.4)

где ^ X - вектор состояния системы;

Y - вектор выходных управляемых величин;

U - вектор внешних воздействий (входных и возмущающих);

А, В, С, D - матрицы системы.

Система уравнений (2.4) является стандартным описанием динамических систем в пространстве состояний и представляет собой математическую модель вход-состояние-выход.

Уравнения (2.4) несут большой объём информации о динамических свойствах системы. Первое уравнение из (2.4) определяет динамические характеристики системы, а второе является уравнением выхода.

Матрица системы A, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями её параметров, характеризует динамические свойства системы, её свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т.е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (входным и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т.е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием.

Таким образом, четверка матриц A, B, C, D полностью определяет динамическую систему.

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Использование F-схем позволяет формализовать процесс функционирования дискретно-детерминированных систем, для которых характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени [8].

Дискретно-детерминированные модели широко используются в качестве математического аппарата теории автоматов. ^ Теория автоматов - это раздел технической кибернетики, в котором изучаются математические модели - автоматы. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Автомат можно представить как некоторое устройство (чёрный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторое внутреннее состояние. Конечным автоматом называется автомат, у которого множества внутренних состояний, входных сигналов и выходных сигналов являются конечными множествами.

Абстрактный конечный автомат (англ. Finite Automata) математически задаётся F-схемой:

F = , (2.5)

где X - конечное множество входных воздействий (входной алфавит);

Y - конечное множество выходных величин (выходной алфавит);

^ Z - конечное множество внутренних состояний (алфавит состояний);

z0 - начальное состояние, z0 ? Z;

?(z, x) - функция переходов;

?(z, x) - функция выходов.

Автомат, задаваемый F-схемой, функционирует в дискретном времени t = nT, где T - период дискретности (такт, т.е. равный интервал времени); n = 0, 1, 2, 3... - номер такта.

На каждом такте дискретного времени F-автомат находится в определённом состоянии z(n) из множества Z состояний автомата, причём в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z(0) = z0. В момент времени t = nT, будучи в состоянии z(n), автомат способен воспринимать на входе сигнал x(n?) X и выдавать на выходе сигнал y(n) = ?[z(n), x(n)], переходя в состояние z(n+1) = ?[z(n), x(n)], z(n?) Z, y(n?) Y.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждый n-й такт на вход автомата, находящегося в состоянии z(n), подаётся некоторый входной сигнал x(n), на который он реагирует переходом в (n+1)-м такте в новое состояние z(n+1) и выдачей некоторого выходного сигнала y(n).

Классификация конечных автоматов. F-автоматы разделяются по математическому описанию, по числу состояний и по характеру отсчёта дискретного времени.

По математическому описанию автоматы делятся на автоматы первого и второго рода.

F-автомат первого рода, называемый автоматом Мили, описывается следующими уравнениями:

, n = 0, 1, 2, 3... (2.6)

Для F-автомата второго рода уравнения имеют вид:

, n = 0, 1, 2, 3... (2.7)

Моделирование непрерывно-стохастических систем

Использование Q-схем позволяет формализовать процессы функционирования систем, которые, по своей сути, являются процессами обслуживания.

Q-схемы применяются в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания (англ. Queueing System) [8].

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: потоки поставок продукции предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удалённых терминалов и т.д. Характерным для работы подобных объектов является стохастический характер процесса их функционирования, проявляющийся:

*

в случайном появлении заявок (требований) на обслуживание;

* в завершении обслуживания в случайные моменты времени.

Рассмотрим основные понятия систем массового обслуживания (СМО), необходимые для использования Q-схем, как при аналитическом, так и при имитационном подходе.

Элементы СМО. В СМО фигурируют:

1. Средства обслуживания - обслуживающие аппараты (ОА) или каналы обслуживания (К). Средства обслуживания являются статическими элементами Q-схем.

2. Обслуживаемые заявки - транзакты. Являются динамическими элементами Q-схем.

3. Очереди.

Состояние СМО характеризуется:

1. Состояниями всех обслуживающих аппаратов, каждый из которых может находиться в состоянии "занят" или "свободен".

2. Состояниями всех транзактов, каждый из которых может находиться в состоянии "обслуживание" или "ожидание".

3. Состояниями всех очередей к обслуживающим аппаратам, определяемыми количеством находящихся в них транзактов.

Переменные СМО. Переменные величины разделяются на независимые и системные.

^ Независимые величины СМО характеризуются двумя случайными переменными:

а) интервал прибытия - интервал времени между последовательными моментами прибытия заявок в систему;

б) время обслуживания - время, требуемое обслуживающему аппарату для выполнения обслуживания.

^ Системные величины СМО являются предметом исследования системы и назначаются исследователем, например:

а) число заявок, прибывших на обслуживание за заданный промежуток времени;

б) число заявок, которые попали на обслуживание сразу же по прибытии;

в) среднее время пребывания заявок в очереди;

г) средние длины очередей;

д) максимальная длина очереди;

е) нагрузка обслуживающего аппарата, являющаяся функцией времени, которое потрачено ОА на обслуживание в течение заданного промежутка времени и т.д.

ухода заявок из системы.? обслуживания и интенсивностью ? прихода заявок на обслуживание, интенсивностью ?На рис. 2.7 приведён пример системы обслуживания одним обслуживающим аппаратом и очередью. Система функционирует следующим образом. Заявка из источника заявок приходит на обслуживание. Если обслуживающий аппарат свободен, то заявка занимает его, и начинается процесс обслуживания. Если обслуживающий аппарат занят, то заявка поступает в очередь, где ожидает окончания обслуживания предыдущей заявки. Обслуженная заявка освобождает обслуживающий аппарат и покидает систему. Заявки, приходящие на обслуживание, образуют поток заявок; заявки, поступающие на обслуживание, образуют поток обслуживания; а заявки, покидающие систему по окончании обслуживания, образуют выходной поток. Эти потоки характеризуются интенсивностью

Рис. 2.7. Система обслуживания одним обслуживающим аппаратом и очередью

Для графического изображения СМО введена символика Q-схем. Для начертания Q-схем используются следующие основные элементы.

1. Источник заявок;

2. Материальные потоки (движение транзактов);

3. Информационные потоки (управляющие сигналы);

4. Клапан;

5. Накопитель;

6. Канал обслуживания;

7. Узел ? правило, в соответствии с которым

направляются транзакты.

В качестве примера графического изображения Q-схемы на рис. 2.8 приведена система обслуживания со страховым заделом.

Движение заявок через Q-схему представляет собой материальные потоки. А для управления системы обслуживания используются информационные потоки.

Рис. 2.8. Система обслуживания со страховым заделом:

И - источник заявок; Н1 и Н2 - накопители; К - канал обслуживания;

1, 2, 3 - клапаны

Все изменения, происходящие в системе, характеризуются событиями, которые образуют потоки событий.

^ Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Различают следующие потоки событий [8].

^ Поток однородных событий - это поток, который характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {tn?} = {0 t1 ? t2 ?...? tn ...}, где - момент наступления? n-го события - неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между n-м и (n-1)-м событиями {?n}, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {tn}, где интервал прибытия ?n = tn - tn-1, n ? 1, t0 = 0, т.е. ?1 = t1.

Поток неоднородных событий - это последовательность {tn, fn}, где tn - вызывающие моменты; fn - набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

^ Поток с ограниченным последействием - это поток, в котором интервалы прибытия ?1, ?2, ... являются случайными величинами, независимыми между собой.

Ординарный поток событий - это поток, для которого вероятность того, что на малый интервал времени ?t, примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события P>1(t, ?t), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени ?t попадает ровно одно событие P1(t, ?t), т.е. P1(t, ?t) >> P>1(t, ?t).

Стационарный поток событий - поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени ? зависит лишь от длины этого интервала и не зависит от того, где на оси времени взят этот интервал. Для стационарного потока его интенсивность не зависит от времени и представляет собой постоянное значение, равное среднему числу событий, поступающих в единицу времени ?(t) = ? = const.

Q-схема, описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания любой сложности, однозначно математически задаётся в виде

Q = , (2.12)

где W - поток заявок;

U - поток обслуживания;

Y - выходной поток;

H - собственные параметры;

Z - внутреннее состояние;

R - оператор сопряжения;

A - оператор алгоритмов поведения заявок.

Поток заявок wi I W, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок (вызывающие моменты) на входе системы, образует множество неуправляемых переменных.

^ Поток обслуживания ui I U, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявок обслуживающими аппаратами системы, образует множество управляемых переменных.

^ Выходной поток yi I Y, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок из системы, образует множество выходных переменных. Выходной поток составляют обслуженные заявки и заявки, покинувшие систему по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителей).

^ Внутреннее состояние zi I Z определяется множеством состояний всех элементов, образующих систему. Процесс функционирования системы обслуживания можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени zi (t). Переход в новое состояние для элемента системы означает изменение количества заявок, которые в нём находятся (в канале Ki и в накопителе Hi). Таким образом, состояние для элемента системы имеет вид , где - состояние накопителя Hi ( = 0 - накопитель пуст, = 1 - в накопителе имеется одна заявка, ..., = - накопитель полностью заполнен); - ёмкость накопителя Hi, измеряемая числом заявок, которые в нём могут поместиться; - состояние канала Ki ( = 0 - канал свободен, = 1 - канал занят и т.д.).

^ Оператор сопряжения R отражает взаимосвязь элементов структуры системы (каналов и накопителей) между собой. Q-схемы образуются композицией многих обслуживающих аппаратов. Если каналы обслуживания соединены параллельно (рис. 2.9), то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема).

Рис. 2.9. Схема параллельного соединения каналов обслуживания:

а - с общей очередью; б - с раздельными очередями

Если каналы обслуживания соединены последовательно (рис. 2.10), то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).

Рис. 2.10. Схема последовательного соединения каналов обслуживания

Связи между элементами Q-схемы изображают в виде стрелок ( линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой Q-схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т.е. обратная связь отсутствует, а в замкнутых Q-схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход.

Собственные (внутренние) параметры H Q-схемы включают:

* количество фаз LФ;

* количество каналов в каждой фазе LKj ();

* количество накопителей каждой фазы LHk ();

* ёмкость i-го накопителя .

Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от ёмкости накопителя применяют следующую терминологию для системы массового обслуживания:

* система с потерями ( = 0, т.е. накопитель у обслуживающего аппарата отсутствует, а имеется только канал обслуживания Ki);

* система с ожиданием ( > ?, т.е. накопитель Hi имеет бесконечную ёмкость и очередь заявок не ограничивается);

* система смешанного типа (с ограниченной ёмкостью накопителя Hi).

Вся совокупность собственных параметров Q-схемы образует множество H.

Оператор алгоритмов (дисциплин) поведения заявок A определяет набор правил поведения заявок в системе в различных неоднозначных ситуациях. В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Hi и обслуживания заявок каналомKi каждого обслуживающего аппарата Q-схемы. Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов.

Алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе определяются приоритетами. В зависимости от динамики приоритетов в Q-схемах различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояния Q-схемы, т.е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций. Исходя из правил выбора заявок из накопителя Hi на обслуживание каналом Ki, можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Hi, ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом Ki и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Hi, прерывает обслуживание каналом Ki заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал (при этом вытесненная из Ki заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в Hi).

Алгоритмы (дисциплины) обслуживания заявок представляют собой набор правил, по которым заявки покидают накопитель Hi и канал Ki: для накопителяHi - либо правила переполнения, по которым заявки в зависимости от заполнения Hi покидают систему, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в Hi, для канала Ki - правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале Ki или не допускаются до обслуживания каналом Ki, т.е. правила блокировок каналов. При этом различают блокировки канала Ki по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q-схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q-схемы. Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме представляется в виде оператора поведения заявок A.

Аналитическое решение Q-схемы, заданной Q = , возможно только при следующих упрощениях:

* входные потоки W и потоки обслуживания U - стационарные, ординарные, ограниченного последействия;

* оператор сопряжения элементов структуры R - однофазное одноканальное обслуживание в разомкнутой системе;

* множество собственных параметров H - обслуживание с бесконечной ёмкостью накопителя;

* оператор алгоритмов обслуживания заявок A - бесприоритетное обслуживание без прерываний и блокировок.

Таким образом, возможности оценки характеристик с использование аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными по сравнению с требованиями практики исследования и проектирования систем, формируемых в виде Q-схем. Несравненно большими возможностями обладают имитационные модели, позволяющие исследовать Q-схему, заданную Q = без ограничений. На работу с Q-схемами при машинной реализации моделей ориентированы языки имитационного моделирования, например: SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др.

Статистическое моделирование систем и процессов.

В основе статистического моделирования лежит процедура, применяемая для моделирования случайных величин и функций и носящая название метода статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Общая схема метода Монте-Карло может быть записана в виде

(1.1) Результат ищется как математическое ожидание некоторой случайной величины Y, которая чаще всего является неслучайной функцией случайной величины X, имеющей распределение р(х).Нестрогое выражение "случайная величина Х имеет распределение р(х)" и запись Х~ р(х) означают для непрерывной случайной величины, что ее плотность вероятности равна р(х); для дискретной случайной величины функцию р(х) надо понимать как функцию вероятности. Для дискретной случайной величины интеграл (1.1) заменяется суммой S у(х)р(х), в которой суммирование осуществляется по всем возможным значениям Х. Функция у(х) может иметь несколько аргументов, т.е. зависеть от нескольких случайных величин. В таком случае запись (1.1) остается в силе, только интеграл надо считать многомерным, Х рассматривать как вектор, а р(х) - как многомерную плотность (или функцию) вероятности. Приближенная оценка неизвестного математического ожидания, совпадающая с искомым результатом, находится как среднее арифметическое результатов независимых опытов. Это отражено в правой части (1.1). По закону больших чисел среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию.

В каждом опыте разыгрывается реализация х случайной величины Х (в i- м опыте реализация xi) в соответствии с распределением р(х) и вычисляется значение функции в виде у(xi). Индекс iподчеркивает, что для каждой (i-й) реализации процесса аргументы, составляющие вектор Х, имеют свои случайные значения. Вычисленное очередное значение у(xi) добавляется к накапливаемой сумме S у(xi). На этом заканчивается очередной опыт. После того как проведено М опытов, вычисляется итоговая оценка в виде правой части выражения (1.1). Опыты повторяются до тех пор, пока дисперсия оценки не снизится до требуемой величины, зависящей от допустимой погрешности и коэффициента доверия.

Проиллюстрируем суть метода Монте-Карло относительно простым примером. Пусть требуется оценить надежность системы (рис.1.2).

Система выполняет свою функцию, если работают цепочки блоков: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7. Какие-то блоки могут отказать. Каждый блок характеризуется временем безотказной работы t i, . Пусть заданы плотности распределения рi(t i), Какова надежность системы в целом?

Рассмотрим случайную величину

g = min { t1, max [min (t4, t6), min [max (t2, t3),]], t7} , (1.2)

где g - время безотказной работы системы. В одном опыте разыгрываются значения всех t i, в соответствии с рi(t i), Используя полученные реализации t i, , по (1.2) вычисляем реализацию g . Один опыт дает одну реализацию (одно выборочное значение) g . Проводим М опытов (испытаний), получаем "статистический" материал (выборку). Берем среднее арифметическое времени безотказной работы системы g с р в качестве оценки надежности системы. При необходимости можно построить закон распределения вероятностей случайной величины g в виде соответствующей гистограммы.

Рис.1.2. Блочная структура системы

Таким образом, испытания реальной системы заменены на испытания математической модели. Каждое испытание сопровождается расчетом. Поэтому имитационное моделирование и называют численным экспериментом на ЭВМ с математической моделью (модель выступает как объект исследования). При реализации испытания возможны и логические операции. И расчетные, и логические операции реализуются на ЭВМ с помощью соответствующих алгоритмов, которые в совокупности и составляют моделирующий алгоритм.

Моделирующий алгоритм обеспечивает построение траекторий смены состояний системы во времени, а воспроизведение случайных факторов, определяющих эти состояния, конструируется с использованием заданных законов случайных событий и величин и реализуется с помощью датчиков базовой случайной величины (БСВ).

Алгоритмы имитационных моделей и их основные операции

Имитационное моделирование (англ. Simulation) - самый мощный инструмент исследования сложных систем, управление которыми связано с принятием решений в условиях неопределённости [15].

Имитационное моделирование - есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью:

* либо понять поведение реальной системы;

* либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы.

Имитировать (англ. Simulate) - значит вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте.

Имитационное моделирование является экспериментальной и прикладной методологией, имеющей целью:

* описать поведение системы;

* построить теории и гипотезы, которые могут объяснить наблюдаемое поведение системы;

* использовать эти теории для предсказания будущего поведения системы, т.е. тех воздействий, которые могут быть вызваны изменениями в системе или изменениями способов её функционирования.

Имитационное моделирование получило первоначальный толчок в ходе реализации авиакосмических программ. В настоящее время имитационное моделирование успешно используется во всех областях знаний, что следует из анализа полезности методов исследования в научной работе (табл. 4.1) [15].

^

Т а б л и ц а 4.1

Полезность методов исследования в научной работе (по данным США)

Методы

Относительная ценность

Теория вероятностей и статистические оценки

Экономический анализ

Имитационное моделирование

Линейное программирование

Управление запасами

Теория массового обслуживания

Сетевые модели

Модели замены

Теория игр

Динамическое программирование

Методы поиска

Нелинейное программирование

0,182 0,150

0,143 0,120

0,097 0,085

0,072

0,042 0,040

0,031 0,020

0,018 1,000 ЭВМ открывает широкие возможности исследования систем путём имитационного моделирования.

Смысл и возможности имитационного моделирования могут быть продемонстрированы на следующем примере. Имеется очередь покупателей к прилавку магазина. Интервал времени прибытия покупателей в магазин составляет от одной до десяти минут, а время обслуживания покупателя - от одной до шести минут. Требуется определить среднее время, которое покупатель проводит в магазине (включая ожидание и обслуживание) и коэффициент простаивания продавца.

Решение этой задачи аналитическими методами у большинства людей вызывает затруднение. С помощью метода имитационного моделирования подобную проблему может решить практически каждый. Для её решения требуется поставить искусственный эксперимент, имитирующий процесс прибытия покупателей в магазин и процесс обслуживания. Для реализации модели в данном случае требуется: десять фишек, на каждой из которых номер от 1 до 10; игральный кубик (6 положений); таблица (табл. 4.2).

Проведение эксперимента с данной моделью включает в себя следующие действия:

* вытягиваем фишку, номер на которой определяет интервал прибытия в магазин очередного покупателя (первый покупатель пришёл к открытию магазина);

* бросаем игральный кубик и получаем время его обслуживания;

* полученные результаты заносим в таблицу (первые три колонки табл. 4.2);

* обрабатываем результаты эксперимента и заполняем оставшиеся колонки таблицы.

^

Т а б л и ц а 4.2

Имитационное моделирование работы магазина

Покупа-

тель

Интервал

прибытия,

мин. Время

обслу-

живания, мин.

Текущее

модель- ное время, мин.

Начало

обслужи-

вания, мин.

Конец обслу-жива-ния,

мин.

Время пребыва-

ния поку- пателя в магазине,

мин. Время

простоя

продавца,

мин. 1 -

1 0 0 1 1

0 2

3 4 3 3 7

4 2 3 7 4

10 10 14 4

3 4

3 2 13 14

16 3 0 5 9

1 22 22 23

1 6

? ? ? ? ?

? ? ? Всего: 13 11

В результате получаем:

среднее время пребывания покупателя в магазине составляет

мин.;

коэффициент простаивания продавца

. Для получения статистически значимых результатов число экспериментов должно быть не менее ста.

В настоящее время широчайшие возможности для имитационного моделирования предоставляет вычислительная техника.

Достоинства и недостатки имитационного моделирования [15]. Имитационные модели представляют собой модели типа "чёрный ящик". Это значит, что они обеспечивают выдачу выходного сигнала, если на их взаимодействующие подсистемы поступает входной сигнал. Поэтому для получения необходимой информации или результатов необходимо осуществлять "прогон" имитационных моделей, а не "решать" их.

Применять имитационное моделирование целесообразно при наличии любого из следующих условий:

1. Не существует законченной математической постановки задачи, либо ещё не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели.

2. Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоёмки, что имитационное моделирование даёт более простой способ решения задачи.

3. Аналитические решения существуют, но их реализация невозможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала. В этом случае следует сопоставить затраты на проектирование, испытания и работу на имитационной модели с затратами, связанными с приглашением специалистов со стороны.

4. Кроме оценки определённых параметров желательно осуществлять на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определённого периода.

5. Имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдения явлений в реальных условиях.

6. Имитационное моделирование даёт возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку явление может быть замедлено или ускорено по желанию.

7. Широчайшие возможности в сфере создания тренажёров.

Недостатки имитационного моделирования:

1. Недостаточное математическое изящество.

2. Разработка хорошей имитационной модели обходится дорого и требует много времени.

3. Имитационная модель в принципе не точна, и мы не в состоянии измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путём анализа чувствительности модели к изменению определённых параметров.

4. Результаты, которые даёт имитационная модель, обычно являются численными. В связи с этим возникает опасность "обожествления чисел", т.е. приписывания им большей значимости, чем они на самом деле имеют.

5. Имитационные модели не способны формировать своё собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут служить лишь в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором.

Приведённые соображения показывают, что, хотя имитационное моделирование является чрезвычайно ценным и полезным методом решения сложных задач, этот метод не панацея для решения всех проблем.

Структура имитационных моделей. Имитационная модель представляет собой комбинацию следующих составляющих: компонент, параметров, переменных, функциональных зависимостей, ограничений и целевых функций.

Компоненты - составные части модели. Обычно они соответствуют элементам реальной системы или её подсистемы.

Параметры - величины, которые оператор (исследователь), работающий на модели, может задать произвольно. Параметры, после того как они установлены, являются постоянными величинами, не подлежащими изменению.

Переменные - величины, которые принимают только значения, определяемые видом заданной функции. Разделяются на экзогенные - входные, независимые, существующие вне системы, и эндогенные - выходные, зависимые, порождаемые системой, представляющие собой переменные состояния или выходные переменные.

^ Функциональные зависимости - соотношения, описывающие поведение переменных и параметров в пределах компонента или выражающие связи между компонентами системы. Эти соотношения или операционные характеристики по своей природе являются либо детерминированными, либо стохастическими. Оба типа соотношений обычно выражаются в форме математического уравнения, которое устанавливает зависимость между эндогенными переменными и экзогенными, и строятся на основе гипотез или с помощью статистического, либо математического анализа.

Ограничения - величины, которые или устанавливают пределы изменения значений переменных, или ограничивают условия распределения и расходования тех или иных средств (энергии, запасов, времени и т.п.). Ограничения бывают искусственными и естественными. Искусственные ограничения вводятся разработчиком, их можно изменять (например, требования, предъявляемые к системе). Естественные ограничения присущи системе и определяются законами природы.

^ Целевая функция или функция критерия - это точное отображение целей либо задач системы и необходимых правил их выполнения. Различают два типа целей: сохранение и приобретение. Цели сохранения связаны с сохранением или поддержанием каких-либо ресурсов (временных, материальных, энергетических и т.п.) или состояний (комфорта, безопасности, уровня занятости и т.п.). Цели приобретения связаны с приобретением новых ресурсов (прибыли, персонала, заказчиков и т.п.) или достижением определённых состояний, к которым стремится организация или руководитель (захват части рынка и т.п.). Выражение для целевой функции должно быть однозначным определением целей и задач, с которыми должны соизмеряться принимаемые решения.

Критерий - мерило оценки, правило или вид проверки, при помощи которого составляется правильное суждение о чём-либо. Функция критерия (целевая функция) направлена на оптимизацию или удовлетворение заданного критерия и должна быть составной частью модели.

Искусство моделирования состоит в способности анализировать проблему, выделять из неё путём абстрагирования её существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать основные предположения, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты [15].

Конструирование модели по Моррису рекомендует выполнить следующие действия.

1. Разложить общую задачу исследования системы на ряд более простых задач.

2. Чётко сформулировать цели.

3. Подыскать аналоги.

4, Рассмотреть специальный численный пример, соответствующий данной задаче.

5. Выбрать определённые обозначения.

6. Записать очевидные соотношения.

7. Если полученная модель поддаётся математическому описанию, расширить её. В противном случае упростить:

* превратить переменные величины в константы;

* исключить некоторые переменные или объединить их;

* предложить линейную зависимость между исследуемыми величинами;

* ввести более жёсткие предположения и ограничения;

* наложить на систему более жёсткие граничные условия.

Процесс имитации исследуемой системы включает ряд этапов, взаимосвязь которых отражена на блок-схеме (рис. 4.1).

Определения системы - установление границ, ограничений и измерителей эффективности системы, подлежащей изучению. Наблюдается тенденция имитировать избыточное число деталей. Во избежание такого положения следует строить модель, ориентированную на решение вопросов, на которые требуется найти ответы, а не имитировать реальную систему во всех подробностях.

^ Формулирование модели (абстрагирование) - переход от реальной системы к некоторой логической схеме.

Подготовка данных - отбор данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме.

^ Трансляция модели - описание модели на выбранном языке моделирования.

Оценка адекватности - повышение до приемлемого уровня степени уверенности, с которой можно судить относительно корректности выводов о реальной системе, полученных на основании обращения к модели. Это важнейший этап. Проверка, выполненная без должной тщательности, может привести к катастрофическим последствиям. Способы оценки имитационной модели:

* верификация - убеждение экспериментатора, что модель ведёт себя так, как было задумано;

* проверка соответствия между поведением модели и поведением реальной системы;

* проблемный анализ - формулирование статистически значимых выводов на основе данных, полученных путём машинного моделирования.

^ Стратегическое планирование - планирование эксперимента, который должен дать необходимую информацию. При этом выделяют два типа задач:

1. Определение сочетания параметров, которое оптимизирует переменную отклика.

2. Объяснение соотношения между переменной отклика и контролируемыми в системе факторами.

Тактическое планирование - определение способа проведения каждой серии испытаний, предусмотренных планом эксперимента. При этом решаются следующие задачи:

1. Определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на достижение установившегося режима.

2. Возможно большее уменьшение дисперсии решений при одновременном сокращении необходимых размеров выборки.

Экспериментирование - процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализ чувствительности. Имитационное моделирование идеально подходит для анализа чувствительности благодаря тому, что экспериментатор здесь может успешно контролировать весь ход эксперимента. В отличие от экспериментирования с реальными системами пользователь модели, располагая возможностями абсолютного контроля над своей моделью, может варьировать по желанию любой параметр и судить о поведении модели по наблюдаемым результатам.

Интерпретация - построение выводов по данным, полученным путём имитации.

Реализация - практическое использование модели и (или) результатов моделирования.

Документирование - регистрация хода осуществления проекта и его результатов, а также документирование процесса создания и использования модели.

В заключение отметим рекомендуемое распределение времени проектирования модели: 25 % - на постановку задачи; 20% - сбор и анализ данных; 30% - разработка модели; 25% - на реализацию.

Моделирование случайных событий, потоков, временных интервалов.

Потоки событий, происходящих в случайные моменты времени , являются специфичным классом случайных процессов. Случайные потоки широко используются в качестве математических моделей в задачах, связанных с исследованием систем массового обслуживания [10, 39], в задачах приема импульсных сигналов [6, 73], в задачах надежности [89] и т. п.

Возможны различные эквивалентные способы задания случайных потоков [6, 39]. Наиболее удобным для моделирования способом задания потоков общего вида является задание их с помощью многомерной плотности вероятностей интервалов между моментами наступления событий

, (2.138)

где . При таком задании случайных потоков моделирование их в общем случае сводится, очевидно, к формированию на ЦВМ реализаций случайных векторов с законом распределения (2.138), для чего могут быть использованы методы, описанные в § 1.5, 1.6. Моменты наступления событий получаются при этом по простой рекуррентной формуле

. Случайные потоки столь общего вида встречаются в приложениях весьма редко. Обычно рассматриваются так называемые потоки с ограниченным последействием [39], у которых интервалы между событиями статистически независимы в совокупности, т. е.

. Эти потоки задаются последовательностью одномерных законов распределения

Потоки с ограниченным последействием, у которых , называются рекуррентными (стационарными) потоками. Они задаются двумя законами распределения и .

Потоки, у которых , определяются единственным законом распределения и называются просто рекуррентными (стационарными) потоками [39]. К таким потокам относится, в частности, широко распространенный пуассоновский (простейший) поток, у которого закон распределения интервалов между событиями показательный

. (2.139)

Видим, что потоки с ограниченным последействием в соответствии с терминологией §1.1 являются непосредственно заданными случайными процессами, поэтому моделирование их является довольно простой задачей.

Действительно, для получения реализации последовательности моментов наступления событий , в этих случаях достаточно сформировать последовательность реализаций , случайных величин с заданными законами распределения соответственно и вычислить моменты наступления событий по формуле. Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что случайные величины (кроме, может быть, ) имеют одинаковый закон распределения. Для формирования на ЦВМ реализаций случайных величин с заданными законами распределения можно использовать методы, рассмотренные в § 1;4. В частности, при моделировании пуассоновского потока реализации случайных величин с показательным законом распределения (2.139) можно получать с помощью алгоритма (см. § 1.4)

, где - независимые случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0, 1).

Показать полностью…
Рекомендуемые документы в приложении