Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 000086 из ДГТУ (бывш. РИСХМ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Л.В. Борисова, В.П. Димитров

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

Допущено Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию в области транспортных машин

и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 190206 "Сельскохозяйственные машины и оборудование"

Ростов-на-Дону 2013

УДК 53.072:681.3

Б 82 Рецензент

доктор технических наук, профессор Ю.И. Ермольев

(Донской государственный технический университет, г.Ростов-на-Дону)

Борисова Л.В.

Б 82 Введение в теорию принятия решений: учеб. пособие / Л.В. Борисова, В.П. Димитров. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2013. - 89 с.

ISBN 978-5-7890-0763-1

Рассматриваются методы принятия решений в различных предметных областях. Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 190206, 220501, 200503, 080200 и направлениям 221400, 221700. Пособие может быть использовано студентами других технологических и экономических специальностей, а также магистрантами и специалистами, занимающимися анализом функционирования сложных систем.

УДК 53.072:681.3

Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета

Научный редактор

кандидат технических наук, профессор В.Н. Ананченко

? Борисова Л.В., Димитров В.П., 2013

ISBN 978-5-7890-0763-1 ? Издательский центр ДГТУ, 2013

Введение

Под принятием решения в общем случае следует понимать разработку плана действий по выходу из проблемной ситуации. Под проблемной ситуацией понимается такое положение вещей, которое не устраивает субъекта, а его изменение требует специальных усилий, связанных с разрешением проблемы.

Каждому человеку постоянно приходится принимать какиелибо решения, как в бытовых, так и в производственных условиях. И не всегда принятые решения являются оптимальными или рациональными. А ведь зачастую последствия ошибочных решений бывают очень тяжелые (будь то развод семейной пары, крушение самолета и т.п.). Неоптимальность принятых решений лишает нас значительной доли возможностей и ресурсов.

Теория принятия решений - это научная дисциплина, которая предназначена для разработки методов нахождения наилучших (оптимальных, рациональных) решений во всех областях человеческой деятельности. При принятии решений необходимо обратить внимание на два принципиальных момента: проблема целеполагания и проблема измерения.

Во-первых, на практике в большинстве случаев не удается найти один-единственный простой и ясный показатель, который бы подтвердил достижение цели. Проблема целеполагания еще далека от разрешения.

Во-вторых - существует проблема, где и как получить информацию, необходимую для принятия решения. Кроме того, при любом способе получения информации ее необходимо подвергнуть специальной обработке.

Данное учебное пособие содержит краткое изложение понятийного аппарата теории принятия решений и некоторые методы, позволяющие получить обоснованное решений. Пособие представляется первым шагом, который может привести к повышению интереса студентов к изучению и активному применению методов принятия решений при решении ключевых проблем их деятельности.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Решение, выбор

Принятие решений в профессиональном отношении представляет собой особый вид человеческой деятельности, который состоит в обоснованном выборе наилучшего в некотором смысле варианта или нескольких предпочтительных вариантов из имеющихся возможных [1, 4, 11, 17, 18].

Задачи принятия решений часто отождествляются с задачами выбора, являющимися одними из самых распространенных задач, с которыми человек сталкивается в своей деятельности. В повседневной жизни нам постоянно приходится делать выбор того или иного товара, покупаемого в магазине, блюда, заказываемого в кафе, маршрута поездки или вида транспорта и т.п. В силу повторяемости, стереотипности ситуаций выбора человек принимает решение, почти не задумываясь, часто интуитивно или по аналогии. Лучший вариант обычно находится без какого-то особого анализа.

В более сложных ситуациях, например, при выборе места отдыха, учебы или работы, покупке квартиры или дорогостоящей вещи (автомобиля, мебели и т.д.), при голосовании за того или иного кандидата или партию, человек более тщательно подходит к своему выбору. Прежде чем принять решение, он старается детально рассмотреть, оценить и сопоставить различные варианты, учесть разные точки зрения.

Еще более сложные задачи выбора возникают в профессиональной деятельности руководителя, ученого, конструктора, врача, финансиста, бизнесмена, военачальника. Этот список профессий достаточно большой. При принятии политических, экономических, производственных, военных решений требуется учитывать различные и зачастую не совпадающие интересы действующих сторон, нужно отыскивать и анализировать разнообразную информацию. Для сравнения различных вариантов действий приходится проводить всесторонний анализ проблемной ситуации, разрабатывать для этого специальные модели, привлекать к выработке вариантов решения экспертов, использовать компьютерные системы поддержки принятия решений.

Сходного рода проблемы возникают у людей, занятых управлением сложными техническими объектами (энергетическими системами и установками, самолетами, кораблями и т.п.). Но здесь ситуации осложняются тем, что решение требуется принять в реальном масштабе времени, не имея возможности для анализа последствий реализации всех вариантов.

Недостаток информации в ситуациях принятия сложных решений всегда существует. Часть необходимой информации нередко отсутствует, а имеющаяся информация может быть противоречивой. В этом случае специалист восполняет недостаточность информации своими знаниями и интуицией. Принятие верных решений в сложных ситуациях является своего рода искусством, которым владеют немногие.

Теория принятия решений

Изучением того, как человек принимает решения, и созданием методов выбора занимаются многие научные дисциплины, которые возникли и исторически развивались независимо друг от друга. К ним относятся теория принятия решений, системный анализ, исследование операций, теория статистических решений, теория игр, теория оптимального управления, экономическая кибернетика, теория организаций, информатика, искусственный интеллект, когнитивная психология, теория поведения и др. Эти дисциплины с разных точек зрения анализируют правила выбора применительно к объектам различной природы и в различных условиях их существования.

Теория принятия решений как самостоятельное научное направление стала складываться в середине XX в. в рамках методологии системного анализа, хотя самые первые работы по исследованию голосования как способа коллективного выбора появились еще в конце XVII в. Основное назначение теории принятия решений состоит в разработке методов и средств, позволяющих одному человеку или группе лиц сформулировать множество возможных вариантов решения проблемы, сравнить их между собой, найти среди них лучшие или допустимые варианты, которые удовлетворяют заданным ограничениям, и при необходимости объяснить сделанный выбор.

Любые ситуации, требующие принятия решения, содержат, как правило, большое число неопределенных факторов, которые оказывают влияние, как на формальную постановку задачи, так и на средства ее решения. Эти неопределенные факторы можно разделить на три группы.

Первая группа - это факторы так называемой неопределенности природы, которые людям попросту неизвестны или от них не зависят, затем - неопределенность человека, который может вести себя непоследовательно, противоречиво, допускать ошибки, зависеть от других лиц (партнеров, противников и т.д.), чьи действия он не может полностью учесть или предвидеть, и наконец, неопределен-

ность целей, которые могут различаться и не совпадать друг с другом. Например, авиаконструкторы, проектируя самолет, должны учитывать его целевое назначение, заданные показатели скорости, грузоподъемности и дальности полета, условия безопасности и комфортности для экипажа и пассажиров, факторы экономичности и технологичности производства и эксплуатации самолета, экологические требования и многие другие обстоятельства.

Участники процесса решения

Принятие решений - это особый вид деятельности, направленный на нахождение наилучших из возможных вариантов [11, 15]. Конечный результат решения проблемы определяется многими участниками, имеющими различные функции. Основное место принадлежит человеку или группе людей, которые фактически осуществляют выбор предпочтительного решения. В теории принятия решений такого человека или группу таких людей называют лицом, принимающим решение (ЛПР). Обычно в роли ЛПР выступает руководитель или группа компетентных в своей области специалистов, обладающих соответствующими знаниями и опытом деятельности, наделенных необходимыми полномочиями для принятия решения и несущих ответственность за реализацию принятого решения.

Иногда целесообразно специально выделить владельца проблемы (ВП) - человека или группу лиц, имеющих основания и мотивы для постановки проблемы, осознающих необходимость ее решения, инициирующих тем или иным образом принятие и выполнение нужного решения. В ряде случаев ВП и ЛПР могут быть одним и тем же человеком, но могут быть и разными людьми.

Важную роль в процессе принятия решений, особенно тех из них, которые затрагивают политические, социальные, экономические и другие интересы различных общественных институтов, социальных групп, крупных организаций, играют так называемые активные группы (АГ). Эти группы объединяют людей, которые имеют общие интересы по отношению к проблеме, требующей решения, и стремятся оказать влияние на процесс выбора с тем, чтобы добиться нужного им результата. Активные группы - окружение, в котором протекает процесс решения проблемы и действует ЛПР. Обычно владелец проблемы принадлежит к одной из основных активных групп. Очевидно, что интересы разных активных групп могут как совпадать, так и отличаться друг от друга, а также от интересов и ЛПР, и владельца проблемы.

В сложных ситуациях выбора на разных этапах процесса подготовки и принятия решения могут привлекаться эксперты (Э) и консультанты по принятию решений (К). Эксперты (от лат. expertus - опытный) - компетентные специалисты, профессионально разбирающиеся в решаемой проблеме, обладающие необходимой информацией о проблеме и отдельных ее аспектах, но не несущие ответственности за принятое решение и его реализацию. Консультанты по принятию решений оказывают помощь ЛПР и владельцу проблемы в организации процесса ее решения, в правильной постановке задачи принятия решения, обеспечивают сбор необходимой информации, разрабатывают модель проблемы, процедуры и методы принятия решения.

Процесс принятия решения

Теория принятия решений применима к объектам различной природы и в различных условиях их существования. Вместе с тем процессы принятия решений в разных сферах человеческой деятельности имеют много общего.

Формальные методы принятия решения могут оказаться полезными в следующих случаях [15]:

• существует некоторая проблема или проблемная ситуация, требующая своего разрешения. Нередко желаемый результат отождествляется с одной или несколькими целями, которые должны быть достигнуты при разрешении проблемной ситуации; имеется несколько вариантов решения проблемы, способов достижения цели, действий, объектов, среди которых производится выбор. Эти варианты в теории принятия решений обычно называют альтернативами. Если существует одна возможность и выбор отсутствует, то нет и задачи принятия решения;

• присутствуют факторы, накладывающие определенные ограничения на возможные пути решения проблемы, достижения цели. Эти факторы определяются контекстом решаемой проблемы и могут иметь различную природу: физическую, техническую, экономическую, социальную, персональную и иную;

• имеется человек или группа лиц, которые заинтересованы в разрешении проблемы, имеют полномочия для выбора того или иного варианта решения и несут ответственность за выполнение принятого решения.

Предпочтения ЛПР

В теории принятия решений полагается, что ЛПР оценивает и сравнивает рассматриваемые варианты (объекты, способы действия) и осуществляет целенаправленный выбор среди них лучшего или приемлемого варианта (вариантов), основываясь на субъективных предпочтениях.

Предпочтения ЛПР - одна из главных составляющих задачи принятия решения. Несмотря на ее важность, нет общепринятой точки зрения, что же подразумевается под предпочтениями ЛПР. Будем называть предпочтением ЛПР выраженное каким-либо образом его личное суждение о наличии или отсутствии преимущества одного из вариантов по отношению к другому варианту или ко всем остальным вариантам, либо в целом, либо по некоторым отдельным характеристикам.

Свои предпочтения ЛПР может выражать как непосредственно, в явной форме, так и неявно. Предпочтения ЛПР проявляются при выделении тех или иных свойств и характеристик сравниваемых вариантов, сравнении вариантов, оценке качества решения. При этом обычно считается, что ЛПР может либо сразу указать лучший среди всех вариант решения, либо выделить приемлемые для него варианты, либо сравнить варианты друг с другом по качеству и сказать, какие варианты лучше, а какие равноценны.

Предпочтения ЛПР представляются в виде формальной модели, регламентирующей результат выбора, или в виде специальных решающих правил, определяющих процедуру выбора. Модели и правила выбора имеют как логико-математическую, так и вербальную (словесную) формулировки.

Для реализации возможности использования предпочтений ЛПР в процессе принятия решения необходимо располагать информацией о них, т. е. описать и/или измерить предпочтения ЛПР. Описание является неформализуемым способом выражения предпочтений в отличие от измерений, которые позволяют выразить свойства варианта или совокупности вариантов и/или свойств в числовой или символьной форме.

Модели предпочтений

На практике используют разные модели формализации предпочтений ЛПР [15]. Одним из наиболее часто применяемых инструментариев, который позволяет содержательно выразить представления ЛПР о сравнительной ценности вариантов на формальном языке, является так называемая реляционная модель предпочтений, основанная на бинарных отношениях.

Пример. 1) "Петр моложе Степана"; 2) "Ростов-на-Дону находится южнее Воронежа, а Сочи - южнее Ростова-на-Дону";

3) "Сталь тяжелее воды"; 4) "Клава и Марина - сестры"; 5) "Слова пень и воск состоят из одинакового числа букв".

Первые три высказывания указывают на неравнозначность сравниваемых объектов, на различие их свойств. Четвертое и пятое высказывания свидетельствуют о некоторой похожести объектов, одинаковости их характеристик.

Предпочтения ЛПР, описываемые с помощью бинарных отношений, можно разделить на три группы [15]: нейтральные, слабые и сильные. Нейтральная, или неопределенная, предпочтительность вариантов, которую будем обозначать как Ai ? Aj, характеризуется симметричным отношением (сходство, эквивалентность; несходство, противоположность) и свидетельствует либо о некоторой равноценности, либо о неопределенной ценности обоих вариантов для ЛПР, например: "Варианты Ai и Aj эквивалентны", "Варианты Aj и Aj несопоставимы".

Слабая, или нестрогая, предпочтительность вариантов, которую обозначается как Ai ? Aj, задается антисимметричным отношением (нестрогое превосходство, нестрогий порядок, предпорядок) и отражает как различимость, так и одинаковость вариантов для ЛПР: "Вариант Ai не хуже, чем вариант Aj", "Вариант Ai, по крайней мере, такой же, как и вариант Aj". Первая формулировка допускает, чтобы вариант Ai был как лучше, так и равноценен варианту Aj. Вторая формулировка разрешает, чтобы оба варианта Ai и Aj были одинаково либо приемлемыми ("хорошими"), либо неприемлемыми ("плохими") для ЛПР.

Сильная, или строгая, предпочтительность вариантов, которую будем обозначать как Ai ? Aj, выражается асимметричным отношением (строгое превосходство, строгий порядок) и интерпретируется как явно выраженное различие вариантов: "Вариант Ai лучше варианта Aj".

Таким образом, в рамках реляционной модели предпочтений при необходимости выбора из пары вариантов (Ai, Aj) в случае нейтральной предпочтительности (Ai ? Aj) выбираются оба варианта: и Ai, и Aj. В случае нестрогой предпочтительности (Ai ? Aj,) либо выбирается вариант Ai, либо выбираются или не выбираются оба варианта вместе; в случае строгой предпочтительности (Ai ? Aj) выбирается только первый вариант Ai и не выбирается второй вариант Aj.

Другой достаточно популярной моделью представления предпочтений ЛПР является так называемая функциональная модель, в рамках которой предпочтительность варианта для ЛПР выражается значением некоторой числовой функции, зависящей от характеристик рассматриваемого варианта. Такие функции носят разные названия: целевые функции, показатели эффективности, функции ценности и полезности и т.п. Различные виды функциональных моделей, а также иные возможные модели представления предпочтений ЛПР будут подробно обсуждаться в дальнейшем при изучении задач оптимального и рационального выбора.

Все многообразие способов выявления предпочтений ЛПР можно свести к трем основным процедурам: оценке, сравнению и выбору. Отметим, что сами эти процедуры могут быть как объективного, так и субъективного характера.

Особенности способов выражения предпочтений ЛПР

Оценка, сравнение и выбор вариантов с использованием бинарных отношений и многих критериев раскрывает широкие возможности для выявления и представления предпочтений ЛПР.

Выражение предпочтений ЛПР с помощью бинарных отношений имеет следующие характерные черты [15]:

- каждый из вариантов решения рассматривается не по отдельности, а в парах с другими вариантами;

- для каждой сравниваемой пары вариантов всегда можно либо сказать, сравнимы ли они, и указать одно из отношений - безразличие или эквивалентность вариантов, нестрогое или строгое превосходство одного из вариантов, либо считать варианты несравнимыми;

- результат сравнения любой пары вариантов не зависит от наличия или отсутствия других вариантов (условие постоянства свойств или аксиома независимости от других вариантов);

Использование бинарных отношений для выявления и представления предпочтений ЛПР обладает рядом преимуществ: возможность формализованного описания многих содержательных понятий ("лучше", "не хуже", "похоже", "одинаковые" и др.); достаточно высокая степень обобщенности, позволяющая учитывать при сравнении вариантов как объективные, так и субъективные факторы, а также различные характеристики вариантов; относительная простота процедуры получения информации о сравниваемых вариантах. Среди недостатков языка бинарных отношений можно отметить: невозможность получения оценки одного отдельно взятого варианта; жесткость требований, предъявляемых к ЛПР, при получении от него информации о сравниваемых вариантах; ограниченность, недостаточная гибкость выражения предпочтения ЛПР; трудоемкость процедуры попарного сравнения при большом числе сравниваемых вариантов, при наличии различных предпочтений нескольких ЛПР в групповом принятии решения.

Основные особенности многокритериального подхода к выражению предпочтений ЛПР состоят в следующем:

- каждый из вариантов решения может рассматриваться по отдельности и оценивается как по признакам, описываемым одним или несколькими критериями, так и по одному или нескольким показателям эффективности решения;

- шкала оценок по каждому критерию определяется либо характером или свойством рассматриваемых вариантов, либо степенью достижения поставленной цели или качеством решения;

- оценки варианта даются отдельно и независимо по каждому критерию;

- сравнение вариантов решения сводится к попарному сравнению наборов их многокритериальных оценок. Для каждой пары сравниваемых вариантов всегда можно указать или строгое, или нестрогое превосходство одного их вариантов, или эквивалентность, или несравнимость вариантов;

- выделение лучших вариантов может осуществляться по экстремальным значениям одного или нескольких показателей эффективности, целевых функций, критериев качества решения (принцип оптимальности решения).

Перечень и содержание частных критериев, вид шкал и число градаций оценок определяются как объективными свойствами вариантов, так и субъективными требованиями к качеству решения.

Разложение общего качества вариантов решения на совокупность многих составляющих качеств позволяет: дать более полную характеристику рассматриваемой проблемной ситуации; более гибко выражать предпочтения ЛПР, полнее учесть интересы различных участников процесса принятия решения (ЛПР, владельца проблемы, активных групп); легче находить компромисс при групповом принятии решений; проще проверять согласованность получаемой информации.

Оценки по отдельным частным критериям более четко отражают различные аспекты смыслового содержания, более точны и удобны для объяснения результатов. Получаемая с их помощью информация содержит меньше противоречий.

В числе недостатков многокритериального подхода отметим следующее: многокритериальный подход не универсален, т.е. применим не ко всем проблемным ситуациям; процедуры выделения частных критериев неоднозначны и субъективны, их невозможно формализовать, набор частных критериев не единственен; сами критерии и оценки по шкалам критериев могут оказаться зависимыми и даже несовместимыми.

При единственном скалярном критерии оценки и единственном ЛПР все рассматриваемые варианты будут сравнимы. При наличии многих критериев среди вариантов могут оказаться как сравнимые, так и несравнимые варианты. При многих критериях и нескольких ЛПР одни и те же варианты могут иметь различающиеся, в том числе и противоречивые, оценки, обработка которых для получения окончательного решения составляет значительные трудности.

Шкалы

Шкала представляет собой множество чисел или символов, с помощью которого можно измерить какую-то особенность, свойство предмета или явления. Наиболее распространены следующие типы шкал [13, 15].

Номинальная шкала (шкала наименований). Устанавливает взаимно-однозначное соответствие между объектами, обладающими одним и тем же свойством. Номинальная шкала основана на отношении эквивалентности.

Порядковая (ранговая) шкала. Устанавливает упорядочение объектов по степени выраженности какого-либо свойства. Порядковая шкала основана на отношении строгого порядка. Она не имеет фиксированного начала отсчета и определенного масштаба измерений (расстояния между соседними значениями оценок), характеризующего величину различия свойства при переходе от одного значения к другому.

Шкала интервалов. Устанавливает упорядочение объектов в зависимости от величины различия какого-либо свойства. Шкала интервалов имеет определенный масштаб (a > 0) и некоторую произвольную начальную точку отсчета (b - любое число).

Шкала отношений. Устанавливает упорядочение объектов в зависимости от величины различия какого-либо свойства. Шкала отношений имеет определенный масштаб (a > 0) и нулевую точку отсчета (b = 0), представляет собой частный случай шкалы интервалов. Абсолютная шкала. Устанавливает упорядочение объектов. Абсолютная шкала имеет единичный масштаб (a = 1) и нулевую точку отсчета (b = 0), являясь частным случаем шкал разностей и отношений представляет собой ряд натуральных чисел х. Применяется для измерения количества объектов.

В зависимости от специфики измеряемых характеристик объектов выделяют шкалы количественные (числовые) и качественные

(символьные, вербальные), а также дискретные и непрерывные

(табл. 1.1).

Таблица 1.1

Виды шкал

Тип шкалы Характер шкалы количественная качественная дискретная непрерывная Номинальная * * Порядковая * * Интервалов * * * Отношений * * * Абсолютная * *

Выбор шкалы измерения должен опираться на наиболее существенные и, по возможности, независимые характеристики измеряемого объекта. Использование шкал, не соответствующих специфике измеряемых свойств, сопряжено с опасностью получения значительных искажений картины из-за применения при обработке результатов измерений недопустимых операций и сделанных на их основании неверных выводов.

Критерии

Проблемные ситуации, требующие своего решения, содержат различного рода неопределенности. Чтобы преодолеть неопределенность, прибегают к упрощенному представлению задачи и построению моделей, что является неформализованной процедурой. Один из наиболее распространенных подходов к упрощению задачи выбора состоит в получении дополнительной информации за счет описания рассматриваемых вариантов на языке критериев [4, 15].

Критерий представляет собой некоторую выделенную особенность, с помощью которой можно охарактеризовать предмет или явление. При оценке вариантов по какому-либо критерию К этой особенности приписывается определенная шкала Х, а каждому варианту А, из имеющейся совокупности A ?{A1 ,..., Am } вариантов ставится в соответствие одно из значений xi ? X по шкале этого критерия: Ai ? xi . Значение xi ? K(Ai ) называется оценкой варианта Ai по критерию К. Иными словами, критерий задает отображение

K : A? X совокупности А вариантов выбора на множество значений особенности Х.

По виду шкалы выделяются количественные и качественные критерии. Шкала критерия может быть естественной или искусственной. Естественная шкала выражает свойство, объективно присущее предмету или явлению, например, температура, мощность, стоимость и т.п. Искусственная шкала конструируется специально для описания какой-либо важной особенности варианта решения или объекта, например, эффективность, перспективность, безопасность, управляемость, комфортность, элегантность и др.

Однако чтобы шкала могла считаться критериальной, градации оценок должны иметь ясно выраженный смысл, какие оценки считать "лучшими", какие "худшими", а какие "равноценными". Обычно это устанавливает ЛПР из содержательных соображений, отражающих его предпочтения. Тем самым на шкале критерия задается определенное направление или указывается на его отсутствие. Даже при оценке какого-либо объективного свойства варианта по естественной числовой шкале в одних случаях лучшими будут меньшие числовые значения, а в других - большие. Например, для отбора космонавтов и подводников лучше, когда их рост меньше, а для баскетболистов, когда рост больше. Таким образом, критерий объединяет в себе шкалу для измерения некоторого свойства варианта и предпочтения ЛПР, что можно записать как K ?{A, P}.

Совокупность критериев, используемых для описания проблемной ситуации, должна удовлетворять следующим требованиям:

- полнота - набор критериев должен отражать все существенные аспекты рассматриваемой проблемы, качество ее решения и основные особенности вариантов; набор всех оценок по шкале каждого критерия должен исчерпывающе характеризовать соответствующее свойство;

- разложимость - состав критериев должен упрощать описание и анализ проблемы, позволять оценивать различные характеристики вариантов и разные аспекты качества решения проблемы;

- неизбыточность - число критериев должно быть минимально необходимым для решения задачи, критерии не должны дублировать друг друга по своему содержанию;

- прозрачность - содержание и смысл критериев, формулировки градаций оценок по шкалам критериев должны однозначно пониматься всеми участниками процесса принятия решения: ЛПР, владельцем проблемы, экспертами, членами активных групп.

Оценка вариантов по многим критериям

Необходимость использования многих критериев для оценки вариантов обусловлена разнородностью характеристик вариантов и многообразием достигаемых при решении проблемы целей

[4, 11, 15]. Многокритериальность играет в теории принятия решений двоякую роль.

Во-первых, рассматриваемые варианты могут обладать многими свойствами и характеризоваться различными признаками

(атрибутами, параметрами), которые выражаются критериями К1, К2, ..., Кn. Тогда каждому варианту Аi можно сопоставить n-мерный вектор или кортеж вида xi ? (xi1 ,...,xin ), компонентами

которого будут числовые или словесные оценки xiq ? K q (Ai ) характеристик варианта по шкалам Xq критериев K q ,q ?1,....,n .

Вариант Аi можно также отобразить точкой xi, имеющей координаты xiq в n-мерном пространстве шкал критериев X ? X 1 ?...? X n . Совокупность всех комбинаций оценок свойств вариантов по критериям К1, К2, ..., Кn образует в пространстве Х множество X a ? X , которое называют множеством допустимых значений признаков или множеством допустимых решений (рис.1.1).

Рис.1.1. Множество допустимых значений признаков X

и достижимых целей Y a ? f (X a )

Во-вторых, разрешение проблемной ситуации может быть связано с достижением многих различных целей. В этом случае каждый вариант Аi оценивается по многим критериям, которые называются критериями оценки качества решения, показателями эффективности, критериями оптимальности, целевыми функциями, функциями ценности. Каждый такой критерий является числовой функцией y ? f (x) скалярной х или векторной переменной x ? (x1 ,...,xn ) .

Качество варианта Ai при наличии многих различных целей характеризуется h-мерным вектором y ? (yi1 ,..., yih ), координатами которого будут оценки по частным критериям качества yik ? f k (xi ), принадлежащие множествам значений Yk ? R,k ?1,...,h. Иными словами, качество варианта Ai представляется векторной функцией yi ? f (xi ) ? ( f1 (xi ),..., f h (xi )) . Множеству допустимых значений Xn соответствует в пространстве Y ?Y1 ?...?Yh ? Rh множество

Y a ? f (X a ) ? Y , называемое множеством оценок качества решения или множеством достижимых целей (рис.1.1).

Измерение, агрегирование и нормирование оценок

Для всех задач выбора существенны два аспекта, требующие особого внимания: проблема измерения и проблема агрегирования оценок вариантов.

Проблема измерения характеристик вариантов и предпочтений ЛПР состоит в определении того, какими показателями описывать проблемную ситуацию, по каким критериям и как оценивать варианты, как получить необходимую для выбора информацию.

Проблема агрегирования оценок вариантов и предпочтений ЛПР возникает при необходимости преобразовать значения отдельных показателей, оценки по многим частным критериям в общий (интегральный) критерий качества вариантов, сформировать общее коллективное предпочтение группы лиц исходя из их индивидуальных субъективных предпочтений.

Агрегирование частных оценок используется в задачах многокритериального выбора, а также в групповом принятии решений. Принципиального различия между оценками вариантов по числовым критериям xiq ? K q (Ai ) и показателям эффективности yik ? f k (xi ) при их агрегировании нет.

При измерении характеристик, описывающих варианты, и последующей обработке результатов измерений большое значение имеют вопросы сопоставимости разнородных характеристик, поскольку восприятие разнородной информации сопряжено с определенными трудностями. Поэтому во многих методах принятия решений такую информацию тем или иным образом трансформируют, приводя ее к более удобному и нормализованному виду.

Одним из распространенных приемов нормирования числовых оценок является их усреднение по множеству значений с использованием формул среднего арифметического, среднего геометрического, среднего статистического:

NN xi ? (1/ N)? xij , xi ? (?xij )1/ N ,

j?1j?1 NN xij/ ? xij /?xij , xij/ ? xij /(?xij2 )1/ 2 ,

j?1j?1 NN xij/ ?[xij ?(1/ N)?xij ]/(?xij2 )1/ 2 .

j?1j?1 Здесь N - общее число оценок вариантов решения.

Количественные характеристики, такие как размер, продолжительность, скорость, стоимость, мощность и др., измеряются числами. Как правило, их числовые шкалы имеют разную размерность: м2, с, км/ч, кВт, руб. и различный "размах" шкалы от минимального до максимального значения. Если шкалы Xq частных числовых критериев Kq имеют разные единицы измерения, то оценки по критериям можно сделать безразмерными такими способами:

xq// ?xq / xqmax , xq// ?xq /(xqmax ?xqmin ), xq// ? (xq ?xqmin )/(xqmax ?xqmin ),

где xqmax , xqmin - соответственно максимальное и минимальное значения оценки по q-му критерию, определяющие "размах" шкалы.

Качественные характеристики, например, значимость, безопасность, комфортность, выражаются словесными (вербальными) признаками. У таких нечисловых шкал нет размерности, но они имеют разнообразное смысловое содержание. В ряде случаев частные вербальные критерии Kq, имеющие разные порядковые шкалы оценок, унифицируют, используя лингвистическую шкалу X q ?{xqiq} следующего вида:

x1q - отличный (очень высокий, очень большой); xq2 - хороший (высокий, большой); xq3 - удовлетворительный (средний);

xq4 - плохой (низкий, маленький); xq5 - очень плохой (очень низкий, очень маленький).

Применяются также шкалы с четырьмя, семью и другими градациями.

Достаточно часто вербальные шкалы "оцифровывают" путем присвоения порядковым градациям шкалы соответствующих числовых оценок: либо целочисленных, например 1, 3, 5, 7, 9 (для пятибалльной шкалы) или 5, 4, 3, 2 (для четырехбальной шкалы), либо дробных, лежащих в пределах от 0 до 1. В методах, основанных на нечетких множествах, применяют специальные способы для вычисления числовых значений лингвистических переменных.

1.2. Жизненный цикл решения проблемы

Процессы принятия решений в разных предметных областях имеют много общего. Поэтому целесообразно рассмотреть типовую схему процесса принятия решения [15], устанавливающую последовательность этапов при принятии решения.

Жизненный цикл решения проблемы состоит из нескольких стадий (рис.1.2) и представляет собой многоэтапную итеративную процедуру.

Рис.1.2. Жизненный цикл решения проблемы

При возникновении проблемной ситуации возникает необходимость принятия решения. Например, у жены появляется желание вместе с мужем посетить чемпионат мира по футболу в Мексике.

Стадия 1 - выявление проблемы. На этой стадии необходимо последовательно выполнить следующие этапы:

1 - дать содержательное описание проблемы; 2 - определить желательный результат ее разрешения; 3 - выявить и оценить имеющиеся ограничения.

Стадия 2 - постановка задачи принятия решения. На этой стадии необходимо последовательно выполнить следующие этапы:

1 - выявить множество возможных альтернатив (вариантов решения);

2 - провести сбор и анализ необходимой информации; 3 - выбрать или разработать модель проблемной ситуации; 4 - сформулировать задачу принятия решения.

Стадия 3 - поиск решения. На этой стадии необходимо последовательно выполнить следующие этапы:

1 - выбрать типовой метод или разработать оригинальный метод решения задачи,

2 - оценить альтернативы (варианты решения);

3 - выбрать наиболее предпочтительный вариант;

4 - в случае необходимости изменить формулировку проблемы.

Стадия 4 - реализация решения. На этой стадии необходимо последо-вательно выполнить следующие этапы:

1 - реализовать принятое решение и осуществить контроль его реализации;

2 - оценить результат решения проблемы.

Рассмотрим некоторые особенности реализации этапов. В зависимости от рассматриваемой проблемы число возможных альтернатив может составлять от двух до несколько единиц и достигать десятков или сотен. Чтобы полностью описать все возможные варианты решения, необходимо собрать и проанализировать разнородную информацию, относящуюся к проблемной ситуации и способам решения проблемы. Невозможность получения требуемых сведений может перевести проблему в разряд неразрешимых. В этом случае необходимо вернуться к исходной постановке проблемы и изменить ее описание. Данная ситуация может возникнуть на различных этапах жизненного цикла. В сложных ситуациях выбора может потребоваться также разработка специальной модели проблемной ситуации, с тем, чтобы получить с ее помощью упрощенное модельное решение проблемы.

Тщательное, логически выверенное описание имеющейся проблемы уже на первом этапе облегчает выбор подхода к ее решению и может сразу привести к формулировке задачи принятия решения.

На стадии поиска решения иногда получение конечного результата не представляет особых затруднений. Однако чаще бывает, что необходимо привлечение знаний и умений многих специалистов, а также возможностей программного обеспечения вычислительной техники.

Иногда, даже удачно выполнив все этапы процесса решения проблемы, оказывается затруднительным принять окончательное решение. Лучшее (оптимальное) решение не удается найти. Практически оптимального варианта просто невозможно достичь. Тогда необходимо изменить формальную постановку задачи или внести изменения в модель проблемной ситуации либо возвратиться на предыдущие этапы и собрать дополнительную информацию, расширить или сузить число рассматриваемых альтернатив.

Когда приемлемый вариант найден, наступает стадия исполнения решения. В этом случае обязательно осуществлять контроль над процессом реализации и оценивать результат разрешения проблемной ситуации. Строго говоря, эта стадия не относится к процедуре принятия решения. Однако акцентирование внимание на ней важно с методологической и практической точек зрения, так как эта стадия замыкает жизненный цикл процесса возникновения, разрешения и исчезновения проблемной ситуации. С учетом положений системного анализа необходимо учитывать, что реализация принятого решения может породить новую проблему, требующую в свою очередь поиска своего решения.

1.3. Постановка задачи принятия решений

Задача принятия решения состоит в формировании множества возможных вариантов, обеспечивающих разрешение проблемной ситуации при существующих ограничениях, и выделении среди этих вариантов одного лучшего или нескольких предпочтительных вариантов, удовлетворяющих предъявляемым к ним требованиям. Формально задачу принятия решения D можно записать в следующем виде [15]:

D = (F,A,X,G,P).

Здесь F - формулировка задачи принятия решения, которая включает в себя содержательное описание стоящей проблемы и при необходимости ее модельное представление, определение цели или целей, которые должны быть достигнуты, а также требования к виду окончательного результата;

А - совокупность возможных вариантов (альтернатив), из которых производится выбор. Это могут быть реально существующие варианты, в качестве которых в зависимости от контекста задачи выступают объекты, кандидаты, способы достижения цели, действия, решения и т.п., либо гипотетическое множество всех теоретически возможных вариантов. Известно, что выбор возникает только тогда, когда имеется не менее двух возможных вариантов решения проблемы;

X - совокупность признаков (атрибутов, параметров), описывающих варианты и их отличительные особенности. В качестве признаков выступают, во-первых, объективные показатели, которые характеризуют те или иные свойства, присущие вариантам, и которые, как правило, можно измерить; во-вторых, субъективные оценки, которые обычно даются по специально отобранным или сконструированным критериям, отражающим важные для участников выбора черты вариантов. Например, состояние здоровья человека можно охарактеризовать температурой тела, величиной кровяного давления, отсутствием или наличием боли, ее локализацией;

G - совокупность условий, ограничивающих область допустимых вариантов решения задачи. Ограничения могут быть описаны как содержательным образом, так и заданы в виде некоторых формальных требований к вариантам и/или их признакам. Например, это могут быть ограничения на значения какого-либо признака или различная степень характерности (выраженности) признака для тех или иных вариантов, или невозможность одновременного сочетания определенных значений признаков для реально существующих вариантов. Так, если человек здоров, то у него ничего не должно болеть, а температура и кровяное давление должны быть нормальными. Отсутствие ограничений существенно упрощает задачу принятия решения;

Р - предпочтения одного или нескольких ЛПР, которые служат основой для оценки и сравнения возможных вариантов решения проблемы, отбора допустимых вариантов и поиска наилучшего или приемлемого варианта.

Достаточно часто для упрощения постановки задачи принятия решения часть информации, описывающей предпочтения ЛПР, превращается в ограничения. Факторы, характеризующие проблемную ситуацию, условно делятся на две группы: управляемые и неуправляемые. Управляемые факторы, выбор которых зависит от ЛПР, - суть поставленные цели, варианты их достижения, субъективные оценки вариантов и степени достижения целей. Неуправляемые факторы не зависят от ЛПР. Они определяют объективные признаки вариантов и отчасти устанавливают ограничения на выбор возможных вариантов.

1.4. Классификация задач принятия решений

В научной литературе приводятся различные классификации задач принятия решений [1, 2 11, 15, 17]. Проанализируем классификацию задач принятия решений по различным аспектам их рассмотрения.

По регулярности проблемной ситуации можно выделить новые, уникальные задачи, никогда ранее не возникавшие, и повторяющиеся задачи, незначительно отличающиеся друг от друга и регулярно встречающиеся на практике.

По длительности периода реализации принятого решения различают долгосрочные (стратегические), среднесрочные (тактические) и краткосрочные (оперативные) задачи.

По виду окончательного результата выделяют следующие задачи выбора, которые принято считать типовыми:

- выделить один или несколько лучших вариантов (альтернатив);

- упорядочить все варианты, как правило, от лучшего варианта к худшему;

- распределить все варианты по отличающимся по своим свойствам группам, причем эти группы могут быть как упорядоченными, так и неупорядоченными по некоторому качеству.

Варианты решения проблемы различаются:

• по количеству: немного (единицы, десятки), много (сотни, тысячи), бесконечно много;

• по наличию в процессе решения задачи: варианты, заданные заранее при формулировке задачи; варианты, конструируемые в процессе решения задачи; варианты, появляющиеся после окончания процесса решения;

• по степени взаимной зависимости - независимые варианты, манипуляции с которыми не влияют на другие варианты; зависимые варианты с разными видами зависимости между ними.

По числу лиц, обладающих полномочиями для принятия решения, выделяются:

• индивидуальные решения (имеется единственное ЛПР);

• коллективные или групповые решения (существуют несколько ЛПР, действующих независимо друг от друга, преследующих свои цели и имеющих совпадающие или противоречивые интересы);

• организационные решения (решение принимается несколькими ЛПР, которые стремятся к достижению общей цели, могут иметь различающиеся интересы, но зависят друг от друга и вынуждены действовать согласованно). Коллектив таких ЛПР принято называть "органом, принимающим решение".

По роли ЛПР в процессе принятия решения можно выделить следующие задачи:

• выбор производится без участия ЛПР на основе аксиоматически или эвристически определенных процедур;

• ЛПР принимает участие только на заключительном этапе выбора;

• выбор осуществляется при непосредственном участии ЛПР в основных этапах процесса решения.

В зависимости от способа представления предпочтений ЛПР говорят о задачах целостного и критериального выбора. По числу критериев различаются однокритериальные и многокритериальные задачи. Критерии, в свою очередь, по степени зависимости могут подразделяться на независимые и зависимые.

И, наконец, задачи принятия решений можно классифицировать по особенностям используемой информации:

• по виду информации - количественная (числовая), качественная (словесная или вербальная), смешанная;

• по характеру информации - объективная, полученная путем измерений и/или расчетов, и субъективная, полученная от человека (ЛПР, эксперта);

• по наличию явной зависимости информации от времени - статическая и динамическая;

• по степени определенности информации - детерминированная, вероятностная, неопределенная (в первом случае говорят о принятии решения в условиях определенности, во втором - в условиях вероятностной неопределенности или риска, в третьем - в условиях полной неопределенности).

В зависимости от полноты и характера описания исходных данных задачи принятия решений разделяют на хорошо структурированные, неструктурированные и слабо структурированные. Первые из них формулируются количественно, вторые - выражаются качественно с описанием важнейших исходных факторов, количественные зависимости между которыми неизвестны, а третьи - содержат качественные и количественные описания исходных факторов с доминированием качественных малоизвестных неопределенных факторов.

Так, если из-за неполноты количественной информации на множестве своих возможных действий ЛПР не может определить функционал качества принятия решения и вводит только свою систему бинарных отношений предпочтения, то имеет место слабо структурированная задача принятия решений. Для ее постановки требуется введение неколичественной шкалы - порядковой шкалы, а при ее решении - участие экспертов в формировании и выдаче недостающей информации. В свою очередь хорошо структурированные задачи формулируются в зависимости от условий принятия решений. Последние принято классифицировать на условия определенности, неопределенности в выборе цели, риска, конфликта, в том числе и конфликта при неопределенности , и условия с нечеткой исходной информацией.

В условиях определенности не возникают неопределенные и случайные факторы и последствия принятого решения определены однозначно, т.е. каждому решению всегда соответствует строго определенный результат. При этом задача выбора сводится к задаче математического программирования или вариационной задаче теории управляемых систем.

Условия неопределенности в выборе цели определяются наличием не одной, а нескольких целей, и результат принятия ЛПР решения характеризуется набором значений скалярных функций. Задача выбора решения в таких условиях сводится к статической или динамической задаче векторной оптимизации и ее компромиссному разрешению.

Условия риска имеют место тогда, когда при принятии решения возникают случайные факторы с априори известными для них законами распределения вероятностей и последствия принятого решения представляются не одним результатом, а некоторым множеством с известными вероятностями их осуществления; и задача выбора решения сводится к задаче принятия статистических решений при простых и сложных альтернативных гипотезах в статических или динамических ситуациях.

Условия конфликта определяются тем, что каждому решению соответствует результат, являющийся функцией от действия противоборствующей стороны или совокупности противоборствующих сторон. Задачи выбора решения в условиях конфликта формулируются как задачи теории классических и динамических игр.

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

2.1. Постановка задачи оптимизации в условиях определенности

Для принятия решений в условиях определенности характерна полная информированность ЛПР о закономерностях поведения рассматриваемой системы, объекта или процесса при известном состоянии окружающей среды. Это означает, что между выбираемыми вариантами решения задачи и результатом выбора имеется детерминированная взаимная связь, заданная функциями и отношениями.

Задача оптимального детерминированного выбора записыва-

ется так [15,17]: fk (x) ? maxa , k ?1,...,h, (2.1)

x?X gq (x,?) ? bq ,q ?1,..., p,

где x ? (x1,...xn )- n-мерный вектор признаков варианта; fk (x) - целевые функции или критерии оптимальности;

gq (x,?) - заданные функции, образующие систему ограниче-

ний из равенств и/или неравенств; Xa - множество допустимых значений; ? - детерминированные факторы. Эквивалентная форма записи задачи оптимального выбора имеет вид:

X * ?argmaxa fk (x),k ?1,...,h ,

x?X gq (x,?) ? bq ,q ?1,..., p.

Задачи оптимального детерминированного выбора можно условно разделить на вариационные задачи и задачи математического программирования.

Для решения вариационных задач оптимизации применяются методы вариационного исчисления и математического анализа, позволяющие находить экстремумы критериев оптимальности. Критерии уk ? fk(x), k ?1,...,h и ограничения gq ?g xq( ), q?1,..., p предполагаются дифференцируемыми функциями многих переменных x1,..., xn .

Классические методы оптимизации подразделяются на методы отыскания безусловного экстремума функции многих переменных при отсутствии ограничений и отыскания условного экстремума функции многих переменных при наличии ограничений в виде равенств и неравенств [17].

Задача математического программирования формулируется как задача максимизации (или минимизации) целевой функции y ? fk (x) на множестве допустимых значений Xa, которое задается системой равенств или неравенств:

fk (x) ? maxa , (2.2)

x?X gq (x) ? bq ,q ?1,..., p .

Критерии оптимальности f(x) и входящие в ограничения функции gq (x) являются скалярными функциями векторного аргумента: x ? (x1,...xn ) f : X ? R, gq : X ? R.

Задачи и методы математического программирования различаются по виду критерия оптимальности, характеру ограничений, особенностям множества допустимых решений и др.

Общая постановка задачи математического программирования представлена выражением (2.2). Различают следующие задачи математического программирования [11,

15, 17].

Задача линейного программирования с линейным критерием и линейными ограничениями:

n y ? f (x) ??ci xi ? maxa , (2.3)

x?X i?1

n ?aqi xi ? bq ,q ?1,..., p ,

i?1 xi ? 0,i ?1,...,n,

где aqi ,bq ,ci - заданные постоянные; множество допустимых решений Xa - выпуклый многогранник.

Задача квадратичного программирования с квадратичным критерием

nn y ? f (x) ??ci xi ??dij xi x j ? maxa

x?X i?1i, j?1

и линейными ограничениями, аналогичными приведенным выше, где aqi ,bq ,ci ,dij - заданные постоянные; множество допустимых реше-

ний Xa - выпуклый многогранник.

Задача выпуклого программирования, где критерии и ограничения - нелинейные выпуклые функции векторного аргумента, в частности квадратичные функции; Xa - выпуклый многогранник.

Задача дискретного программирования, где все переменные xi принимают дискретные, в частности целочисленные значения.

Существуют и другие специализированные задачи математического программирования: динамическое программирование, стохастическое программирование, задачи с сепарабельными критериями оптимальности: аддитивным f (x) ?? fk (x) и мультипликатив-

k ным f (x) ?? fk (x).

k Общий метод решения задачи линейного программирования разработал выдающийся ученый, лауреат Нобелевской премии

Л.В. Канторович (СССР, 1938). Теория выпуклого программирования опирается на теорему Куна - Таккера о существовании седловой точки функции Лагранжа. В основе ряда методов программирования лежит принцип оптимальности Беллмана (США, 1957). Универсальные методы решения задач дискретного программирования отсутствуют.

Одно из главных мест в решении задач математического программирования занимают вычислительные методы, использующие ЭВМ. Широкое распространение получили методы возможных направлений, метод штрафных функций и др. Вычислительные методы подразделяют на точные, которые гарантируют нахождение экстремума целевой функции y ? f (x), и приближенные, приводящие к экстремуму целевой функции y ? f (x) с заданной точностью. Методы также можно подразделить на конечные, дающие итоговый результат решения задачи за конечное число шагов, и асимптотические, состоящие из бесконечного числа шагов. В итеративных методах процесс поиска результата решения задачи разбивается на последовательно выполняемые циклические шаги (итерации).

2.2. Задача линейного программирования

Задача линейного программирования (2.3) относится к числу наиболее простых и хорошо изученных задач математического программирования [15, 17]. Основная их особенность состоит в том, что скалярный критерий оптимальности y ? f (x) является линейной функцией n переменных x1,...xn , составляющих в совокупности вариант x? (x1,...xn ) решения задачи оптимального выбора, а все ограничения gq (x) ? bq , q ?1,..., p представляют собой систему линейных уравнений и неравенств.

Любая задача линейного программирования может быть приведена к следующей стандартной или канонической форме. Требуется максимизировать значение линейной функции f (x1,x2 ,...,xn ) ? c1x1 ? c2 x2 ?...?cn xn ? max

на множестве всех неотрицательных решений системы линейных алгебраических уравнений xi ? 0 (i ?1,...,n, p ? n) :

a11x1 ? a12 x2 ?...? a1n xn ? b1,

a21x1 ? a22 x2 ?...? a2n xn ? b2 ,

(2.4) ............................................

ap1x1 ? ap2 x2 ?...? a pn xn ? bp ,

которое определяет множество допустимых значений Ха.

Для записи задачи линейного программирования в стандартной форме могут понадобиться дополнительные преобразования. Нередко в зависимости от особенностей задачи может потребоваться минимизация критерия оптимальности. Например, в задаче оптимального планирования производства необходимо минимизировать расходы на выпуск определенных видов продукции. В таком случае достаточно заменить критерий оптимальности f (x) на противоположный по знаку критерий - f (x) . Очевидно, что при этом будет выполняться равенство mina fk (x) ? maxa (? fk (x)). Отметим, что

x?Xx?X

подобное сведение задачи минимизации к задаче максимизации справедливо для произвольной (необязательно линейной) целевой функции и произвольного допустимого множества Ха.

Если среди ограничений задачи присутствуют ограничения в

n виде неравенств ?aqi xi ? bq , то в этом случае, вводя дополни-

i?1 тельные неотрицательные переменные vq ? 0, ограничения можно

n записать как равенства ?aqi xi ? vq ? bq . Аналогичным образом

i?1 n

неравенства вида ?aqi xi ? bq приводятся к равенствам

i?1 n ?aqi xi ?vq ? bq . Заметим, что ограничения, заданные в стандарт-

i?1 ной форме задачи как равенства, всегда можно превратить в ограничения-неравенства.

Известно, что неотрицательное решение системы алгебраических уравнений (2.4) существует не всегда и возможны следующие ситуации:

- система несовместна, т.е. не имеет ни одного, в том числе неотрицательного, решения (число переменных n меньше числа уравнений p);

- система совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение (число переменных n больше числа уравнений p), но среди ее решений нет ни одного неотрицательного;

- система имеет неотрицательные решения, но целевая функция f (x) не достигает максимума на множестве неотрицательных решений, так как она не ограничена сверху на этом множестве;

- система имеет неотрицательное решение, среди которых существует такое (или такие), при котором функция f (x) достигает максимума на этом множестве решений.

Совместную систему r линейных уравнений с n переменными, среди коэффициентов которой хотя бы один отличен от нуля, при r ? p ? n всегда можно разрешить относительно r переменных. Эти

переменные называют базисными, или главными, а остальные s = n - r переменных, через которые выражаются базисные переменные, - свободными.

В качестве примера рассмотри постановку так называемой транспортной задачи. Цель задачи - минимизация затрат транспортировки товаров со складов потребителям. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Входные параметры модели: n - количество пунктов отправления; m - количество пунктов назначения; ai - запас продукции в пункте отправления Ai (i ?1,n ) (ед. тов.); bj - спрос на продукцию в пункте назначения Bj ( j?1,m) (ед. тов.). cij - стоимость перевозки единицы продукции из пункта отправления Ai в пункт назначения Bj [руб./ед. тов.].

Выходные параметры модели: xij - количество продукции, перевозимой из пункта отправления Ai в пункт назначения Bj

(ед. тов.); С? - транспортные расходы на перевозку всей продукции (руб.).

Этапы построения модели транспортной задачи:

- определение переменных;

- проверка сбалансированности задачи;

- построение сбалансированной транспортной матрицы; - задание целевой функции; - задание ограничений.

Модель транспортной задачи задается в следующем виде: n m

C? ???cijxij ? min ;

i?1 j?1 ? m ??xij ? ai, i ?1,n,

?j?1 ? ? n (2.5)

??xij ? bj, j?1,m,

?i?1

???xij ? 0 ?i ?1,n; j ?1,m?.

? ? Целевая функция представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица

(табл.2.1).

Таблица 2.1 Общий вид транспортной матрицы

Пункты отправления, Ai Пункты потребления, Bj Запасы, ед. прод. В1 В2 ... Bm А1 c11 c12 ... c1m a1 А2 c21 c22 ... c2m a2 ... ... ... ... ... ... An cn1 cn2 ... cnm an Потребность, ед. прод. b1 b2 ... bm nm

?ai ??bj i?1j?1

Из модели (2.5) следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, то есть

nm ?ai ??bj . (2.6)

i?1j?1 Если условие (2.6) выполняется, то задача называется сбалансированной, в противном случае - несбалансированной. Поскольку ограничения модели (2.5) могут быть выполнены только при сбалансированной задаче, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса (2.6). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть

nm bф ??ai ??bj. (2.7)

i?1j?1 Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

mn aф ??bj ??ai . (2.8) j?1i?1

Введение фиктивного потребителя или отправителя повлечет ф

необходимость формального задания фиктивных тарифов cij (ре-

ально не существующих) для фиктивных перевозок. Поскольку нас интересует определение наиболее выгодных реальных перевозок, то необходимо предусмотреть, чтобы при решении задачи (при нахождении опорных планов) фиктивные перевозки не рассматривались до тех пор, пока не будут определены все реальные перевозки. Для этого надо фиктивные перевозки сделать невыгодными, то есть дорогими, чтобы при поиске решения задачи их рассматривали в самую последнюю очередь. Таким образом, величина фиктивных тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели, то есть

cфij ? maxcij ?i ?1,n; j?1,m?.

На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с з

помощью введения так называемых запрещающих тарифов cij. Запрещающие тарифы должны сделать невозможными, то есть совершенно невыгодными, перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели:

cijз ? maxcij ?i ?1,n;j?1,m?.

Решение транспортной задачи графическим методом

Пусть необходимо организовать оптимальные по транспортным расходам перевозки продукции с двух складов к трем потребителям. Ежемесячные запасы продукции на складах равны 120 и 180 т, а ежемесячные потребности покупателей составляют 70, 140 и 90 т соответственно. Транспортные расходы по доставке продукции представлены в табл.2.2.

Таблица 2.2

Транспортные расходы по доставке 1 т продукции (тыс. руб.)

Склады Потребители В1 В2 В3 А1 8 5 6 А2 4 9 7

Обозначим через xij количество тонн, которое будет перевезено с i-го склада к j-му потребителю. Проверим задачу на сбалансированность:

- суммарное наличие на складах = 120+180 = 300 т;

- суммарная потребность в продукции = 70+140+90 = 300 т.

Из этого следует, что данная задача сбалансирована.

Сбалансированная транспортная матрица представлена в табл.2.3.

Таблица 2.3 Транспортная матрица задачи

Склады Потребители Запас, т В1 В2 В3 А1 8 5 6 120 А2 4 9 7 180 Потребность, т 70 140 90 300 Целевая функция задается выражением:

C? ?8x11?5x12?6x13? 4x21?9x22?7x23?min (тыс. руб.мес.).(2.9) Ограничения задачи:

?x11?x12 ? x13 ?120

? ?x21?x22 ? x23 ?180

??x11?x21 ? 70 (2.10)

??x12 ?x22 ?140 ?x13 ?x23 ? 90

? ??xij ? 0 ??i ?1,2;?j ?1,3?

Положим, что x11 ?u, x12 ?v. Тогда можно выразить все остальные неизвестные через переменные u и v:

x13 ?120?u?v; x21 ? 70?u;

x22 ?140?v; x23 ? 90?x13 ? 90??120?u?v??u?v? 30.

Выразим через u и v целевую функцию:

F?8u?5v?6?120?u?v??4?70?u??9?140?v??7?u?v?30?.

(2.11) F?5u?3v?2050?min.

Учитывая, что все xij неотрицательные, получим следующую систему неравенств:

?120?u?v?0

? 70?u?0 ? ??140?v?0 (2.12)

? ?u?v?30?0 ?u?0

? ??v?0 . Для того чтобы найти в первой четверти плоскости Оuv множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным выше неравенствам, необходимо сначала построить следующие прямые:

120 ?u?v? 0,

70 ?u? 0, 140 ?v? 0, u?v?30 ? 0.

Неравенства (2.12) определяют на плоскости (v, u) пятиугольник с вершинами: (0, 30), (0, 70), (50, 70), (120, 0), (30, 0) (см. рисунок).

Линейная функция F = f(u, v) достигает наименьшего значения в одной из вершин этого пятиугольника. Нетрудно убедиться в том, что F = Fmin = 1690 при u = 0, v = 120. Следовательно, мы нашли оптимальный план перевозок:

x11 ? 0,x12 ?120,x13 ? 0,

Графический метод решения транспортной задачи

2.3. Выбор при нечеткой исходной информации

Применение детерминированного и вероятностного подходов для решения задачи оптимального выбора оправдано при условии, что информации, которая имеется в распоряжении ЛПР, достаточно, чтобы поведение анализируемой системы могло считаться полностью определенным или статистически устойчивым. Иными словами, должна существовать многократная повторяемость ситуации выбора и воспроизводимость результатов при заданных условиях и/или состояниях окружающей среды. При недостатке количественных данных, необходимых для четкого и полного описания проблемной ситуации, при отсутствии возможности их получения, при трудностях, связанных со всесторонним и точным учетом влияния известных факторов на функционирование системы, ЛПР может воспользоваться качественной вербальной информацией. Такая информация носит нечеткий, расплывчатый характер и может быть либо дана самим ЛПР и /или экспертами, либо получена независимо от них с помощью вычислений или технических средств.

Нечеткость качественной информации, обусловленной неточностью выражения на естественном языке представлений, суждений, оценок, касающихся свойств предметов или явлений, формализуется при помощи математического аппарата теории нечетких множеств [7-10, 16].

Понятие нечеткости определяется с помощью задаваемой степени принадлежности ?A (x) элементов x?X к нечеткому множеству A ?{?A (x)/ x}, которая может варьироваться от полной принадлежности (?A (x) = 1) до полной непринадлежности

(?A (x) = 0).

Заметим, что нечеткое или размытое значение какого-то показателя или параметра, характеризующего некоторое свойство элемента (варианта), означает степень выраженности или интенсивности этого свойства и не является ни синонимом неточности (ошибки) измерения значения данного показателя, ни синонимом вероятности (частоты) реализации этого значения как случайного события.

Практически все задачи оптимального выбора рассмотренных ранее типов допускают нечеткую формулировку. Нечетко могут описываться любые элементы задачи оптимизации и их сочетания: переменные x? (x1,...xn ), характеризующие рассматриваемый вариант; условия gq (x) ? bq , q ?1,..., p , задающие ограничения на

множество допустимых значений переменных Xa; скалярные или век-

торные показатели эффективности (критерии) y j ? f j (x), j ?1,...,h , и их веса wj; состояния окружающей среды

E1,...,Ed ; операции максимизации и минимизации целевых функций; бинарные отношения между вариантами, переменными, функциями, в частности, отношения "равно", "больше", "меньше".

Основное внимание при постановке и решении задач нечеткого оптимального выбора уделяется описанию нечетких предпочтений ЛПР, построению функций принадлежности нечетких множеств, выполнению операций над нечеткими множествами и нечеткими отношениями [9, 10].

Общая характеристика методов оптимального выбора

Понятия оптимальности и оптимального выбора, возникшие при решении специальных классов задач на поиск экстремума функции, сыграли важную роль в формировании современных системных представлений в различных сферах человеческой деятельности. Они широко распространились на практике и даже вошли в повседневную жизнь и обыденную речь. Основная идея оптимального выбора - поиск наилучшего в определенном смысле варианта решения при заданных ограничениях - содержит в себе одновременно и способ сравнения вариантов, исходя из вычисленных значений критерия или критериев качества решения, и правило выбора наилучшего варианта, заданное экстремальным значением критерия качества, и возможность замены лучшего варианта другим при изменении условий.

Оптимизационный подход обладает следующими особенностями [1, 11, 15, 17]:

• для описания проблемы выбора используются математические модели, которые носят объективный характер, но в ряде случаев требуют учета субъективных оценок, которые даются человеком;

• существует один или несколько количественных показателей эффективности решения, по вычисляемым значениям которых можно сравнивать различные варианты и выбирать лучшие варианты;

• подход сравнительно прост при его применении и достаточно прозрачен. Он имеет теоретическое обоснование алгоритмов оптимизации и позволяет объяснить полученные результаты;

• интерактивные человеко-машинные методы оптимизации допускают непосредственное включение человека в процесс решения задачи выбора, поддерживают процедуры выявления и анализа предпочтений ЛПР, повышают доверие ЛПР к получаемым результатам.

Эти особенности оптимизационного подхода составляют его главные достоинства, но они же порождают и ряд недостатков, среди которых можно отметить следующие:

• содержательная постановка задачи оптимального выбора даже с единственным критерием эффективности по-прежнему остается скорее искусством, чем наукой. Одна и та же проблемная ситуация может быть представлена разными формальными моделями, при этом использование количественных критериев оптимальности не всегда адекватно отражает действительность;

• для определения области допустимых значений признаков требуется как можно более полно учесть все имеющиеся ограничения, что весьма затруднительно сделать на практике. Вместе с тем недостаточный учет ограничений может привести к непредсказуемым эффектам при решении задачи выбора;

• оптимальное решение неустойчиво и зависит от заданных ограничений, незначительное изменение которых может привести к другому оптимальному варианту, существенно отличающемуся от ранее полученного;

• локальная оптимизация по частным критериям не обязательно совпадает с глобальной оптимизацией в целом, а иногда может и не приводить к выбору глобально лучшего варианта;

• в задачах многокритериальной оптимизации ЛПР приходится выполнять не всегда обоснованные и трудные для человека операции, связанные с назначением весов критериев, выбором пороговых оценок по критериям, заданием величин отклонений оценок, сравнением векторов значений переменных и векторов целевых функций, учетом неопределенности и нечеткости используемой информации. При выборе наилучшего варианта нередко возникает необходимость компромисса, который не всегда может быть объективен и однозначен. В то же время человек практически лишен права на неточность или ошибку, наличие которых может заметно повлиять на окончательный результат;

• в эвристических человеко-машинных методах решения оптимизационных задач существует проблема сходимости итеративных процедур, связанная с неформализуемым характером задачи. И поскольку весьма трудно предусмотреть все последствия таких действий, наилучшее решение может оказаться пропущенным в процессе поиска и вернуться к нему не всегда удается.

Несмотря на указанные недостатки, методы нахождения оптимальных решений остаются одними из самых мощных и наиболее развитых средств решения широкого круга задач индивидуального выбора, позволяя в количественной форме обосновать предпочтительность выбранного варианта.

3. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

3.1. Общие сведения

Возрастание темпов научно-технического прогресса порождает значительное динамичность потребительских свойств изделий. В современных условиях особое значение приобретают своевременность и обоснованность решений, принимаемых в процессе управления производством промышленных изделий. Именно этим объясняется повышенное внимание к разработке методов анализа и оценки технического уровня продукции. Обоснованность результатов анализа и оценки технического уровня, а, следовательно, и используемых методов имеет огромное значение для принятия решений по управлению производством.

Методы оценки технического уровня изделий определенного назначения используют информацию о характеристиках конкурентоспособных аналогов того же назначения, а также различные виды информации, получаемой от экспертов-специалистов в соответствующей области. Основные различия в этих методах обуславливаются как видами используемой в них экспертной информации, так и механизмами ее переработки. Различные виды экспертной информации обладают различной достоверностью, различные механизмы обладают различной адекватностью по отношению к обрабатываемой ими информации, что и позволяет судить об их обоснованности.

Достоверность используемых видов экспертной информации и обоснованность механизмов обработки информации определяют отношение к результатам проведения оценки технического уровня.

Методы оценки технического уровня

Технический уровень (качество) изделий определяется заложенными в них конструкторскими разработками, технологией их производства и качеством используемых материалов, однако, является категорией самого изделия [4, 6, 14]. Конкуренция осуществляется между самими изделиями, поэтому при оценке технического уровня используются показатели, которые характеризуют свойства изделий, являющиеся важными для потребителей.

Обозначим через Х1, . . . , Хn набор показателей, которые отражают потребительские свойства и характеризуют технический уровень изделий конкретного назначения. Для определенности будем считать, что технический уровень тем выше, чем большее значение имеет каждый показатель.

Обозначим через Р оцениваемое изделие, а через А1, ... ,

Аm, - конкурентоспособные аналоги (m?1). Изделие и аналоги оцениваются по каждому из показателей, то есть каждому из них соответствует своя точка (вектор) в пространстве показателей X = Х1х ... хХn. Обозначим через X(Аi) = (X1(Аi), ... , Xn (Аi)) точку в пространстве X, соответствующую аналогу Аi, где Xj(Ai) - значение j-го показателя у аналога Аi, i = 1,2, ... m. Точку в X, соответствующую оцениваемому изделию Р, обозначим X(Р).

Дифференциальный метод

Выбирается один аналог - А. Аналогом может быть и базовый образец, значения показателей которого заданы экспертом. Технический уровень изделия Р признается высоким (низким), если оно

не уступает (не превосходит) ни по одному показателю аналогу

(и уступает ему хотя бы по одному). В случае, когда изделие превосходит аналог по одним показателям и уступает ему по другим, оценка технического уровня изделия не определяется этим методом. Тогда рекомендуется использовать комплексный показатель (свертку показателей в один) [5].

Этот метод использует наиболее достоверный вид экспертной информации [4]: упорядочение значений каждого показателя по их влиянию на технический уровень. Однако область неопределенности оценки по данному методу очень велика.

В существующей практике аналог устанавливается производителем изделия, что позволяет ему легко получить высокое значение оценки своего изделия.

Комплексный показатель

Задается определенный вид свертки (агрегации) показателей X1,Х2, ... , Хn в единый комплексный F(Х), содержащий некоторые константы, значения которых устанавливаются экспертами и интерпретируются как коэффициенты важности или весомости [4].

Показатель F(Х) объявляется комплексным показателем качества (технического уровня). Лучшим признается изделие, обеспечивающее экстремальное (максимум или минимум) значение показателя F(Х). Технический уровень изделия признается высоким, если оно имеет лучшее, чем аналог значение комплексного показателя. Другими словами, постулируется не только сам факт существования функции "качества", но и ее конкретный вид [6], например: n

F1(X)?ai ?xi ?a0 , (3.1)

i?1 nn

F2 (X)?bi ?xi ??ci ?xi ? d0 . (3.2)

i?1i?1 Аргументация (если она приводится) использования различных видов комплексных показателей носит довольно общий и неубедительный характер. Например, достоинством сверток F1, F2 объявляют достигаемое при их помощи высокое значение среднего уровня показателей "лучших" изделий. Однако такое усреднение приводит к тому, что высокое значение комплексного показателя у изделия может достигаться за счет значений одного или небольшого количества показателей при весьма низких значениях остальных. Этот недостаток в большей мере присущ показателю F1 и в меньшей мере F2. Другой аргумент - эксперт легко назначает высокие коэффициенты, характеризующие важность отдельных показателей. При этом смысл понятия "важность критерия", используемый экспертом, может не совпадать с содержательным смыслом соответствующих коэффициентов в (3.1) или (3.2). Однако проверка идентичности смысла, как правило, не проводится. Понятие "важность показателя" может интерпретироваться разными способами. Содержание интерпретации предоп-ределяет правомерность проведения тех или иных математических операций с весовыми коэффициентами.

Для примера рассмотрим смысл весовых коэффициентов из (3.1). Перепишем (3.1) в следующем виде:

a0n ain

F1(X) ? a1 ?(? x1 ? ? ?xi ) ? a1 ?(b0 ? x1 ? ?bi ?xi ) , a1i?2 a1i?2

ai где bi ? .

a1 Коэффициент bi показывает, на какую величину надо изменить значение i-го показателя при изменении значения первого показателя на единицу, чтобы общий технический уровень не изменился. При этом величина компенсационного изменения в соответствии с (3.1) не зависит ни от исходного значения Xi, ни от исходного значения X, ни от остающихся прежними значений остальных показателей. В большинстве практических задач подобная независимость не выполняется. Более того, эксперта, как правило, и не просят ее проверять. Очевидно, доверять результатам оценки технического уровня изделий, проведенной подобными методами, нельзя.

Установить значения коэффициентов в (3.1) можно, используя труднодоступные виды экспертной информации [6].

Правомерность использования в конкретной задаче любого комплексного показателя проверить чрезвычайно трудно, а часто и невозможно. Получение одной и той же информации от экспертов об относительной важности показателей приводит к различным оценкам одних и тех же изделий при использовании сверток (3.1) и (3.2). Это свидетельствует о неадекватности механизмов обработки вида (3.1) и (3.2) по отношению к обрабатываемой ими экспертной информации. Подобная неадекватность становится особенно опасной в тех случаях, когда результаты оценки используются для стимулирования производственной деятельности и формирования технической политики предприятия (отрасли).

В работе [6] для оценки технического уровня предлагается использовать показатель подобия определенного вида. Этот показатель представляет собой один из видов комплексного показателя. Он также содержит константы - весовые коэффициенты, - задаваемые экспертами.

В подобных методах принцип агрегации показателей не определяется содержательными соображениями, согласующимися с решаемой задачей, а привносится извне. Этот принцип как бы является чем-то само собой разумеющимся, а вся информация, необходимая для его реализации, предполагается имеющейся независимо от того, насколько оправдано это с психологической и содержательной точек зрения.

Метод КОРТЕР

Метод КОРТЕР предполагает, что имеются данные о группе аналогов, которые характеризуют мировой технический уровень изделий данного назначения [4, 6]. Со значениями показателей этой группы аналогов сравниваются значения показателей оцениваемого изделия. Среди показателей Х1, ... , Хn экспертами выделяется основной (определяющий), например Х1, показатель Хn - цена. По значениям показателей у аналогов для каждого показателя Х строятся несколько регрессионных зависимостей его значений от значений основного показателя Х1. Из построенных регрессионных зависимостей для каждого показателя выбирается одна - Xi = fi (Х1) - с максимальным значением коэффициента корреляции. Для значения X1(Р) показателя X1 оцениваемого изделия Р по регрессионным зависимостям

Xi = fi(X1), i = 2, 3, ... , n,

вычисляются теоретические значения всех показателей:

Xio(p) = fi (X1(P)); i = 2, 3, ... , n.

Вводится коэффициент технического уровня показателя Xi для изделия Р:

Xi (P) Ki (P) ? 0.

Xi (P) Экспертами задаются значения весовых коэффициентов показателей Х2, ... , Хn и производится их нормализация с учетом коэффициентов корреляции. Обозначим нормализованное значение весового коэффициента для показателя Хi через bi. Коэффициент технического уровня для изделия Р:

n?1 T(P) ? ?Ki (P)?bi . (3.3)

i?2 Значение современного мирового уровня для изделий данного назначения принимается за единицу.

Ориентировочная цена изделия задается выражением:

Сo(P) = T(P)Xno(P). (3.4)

Показатель технико-экономического уровня изделия задается выражением:

Т Э (Р) = Т(Р)Кn. (3.5)

Коэффициенты, определяемые выражениями (3.3)-(3.5), характеризуют технический и технико-экономический уровень изделия Р.

Несомненным достоинством данного метода является стремление к объективности результатов, реализуемое в использовании регрессионных зависимостей. Адекватность между смыслом этих коэффициентов и способом их использования в методе установить трудно.

Возможность выделения основного показателя является во многих практических случаях весьма проблематичной в силу его отсутствия. Основных показателей может быть несколько (причем ни один из них по отдельности не обеспечивает приемлемой значимости регрессионных зависимостей), а недостаточная представительность выборки не позволяет построить регрессионные зависимости от них остальных показателей. Кроме того, в этом случае трудно установить, соответствуют ли значения основных показателей оцениваемого изделия современному техническому уровню.

При сравнении между собой функций регрессии одного вида в качестве критерия оптимальности используется сумма среднеквадратичных отклонений между имеющимися и вычисляемыми значениями показателей. При сравнении между собой функций регрессии разного вида в качестве критерия оптимальности применяется коэффициент корреляции.

Коэффициенты корреляции при выборе вида регрессионных зависимостей характеризуют точность исследуемого вида представления одного показателя через другой. При этом они не позволят устанавливать отсутствие или наличие других функциональных видов связи между показателями. Статистическая незначительность количества аналогов позволяет получать высокие значения коэффициентов корреляции, однако достоверность этих значений невелика. При этом значения коэффициентов корреляции непосредственно участвуют в установлении значений оценок технического и техникоэкономических уровней изделия.

В экспериментах, проводимых методом КОРТЕР, установлена следующая его особенность. При включении в набор аналогов изделия с лучшими значениями показателей, чем у остальных, значение коэффициента технического уровня у оцениваемого изделия повышалось, хотя более естественным было бы падение его значения. Объясняется это значительным влиянием коэффициентов корреляции на значение оценки технического уровня изделия.

Метод многокритериальной оценки

Метод многокритериальной оценки предполагает, что имеются аналоги оцениваемого изделия, которые характеризуют современный мировой уровень [6]. Аналоги и изделие имеют определенные значения по набору показателей, характеризующих технический уровень изделий данного назначения.

В пространстве показателей задается следующее правило сравнения n-мерных точек: точка X более предпочтительна (ее технический уровень выше), чем точка Y, если она имеет хотя бы одну большую компоненту, чем точка Y, и ни одной меньшей.

Пространство показателей X разбивается на три области:

* X1 - множество точек, каждая из которых более предпочтительна, чем хотя бы одна точка, соответствующая аналогу;

* Х2 - множество точек, каждая из которых не является ни более предпочтительной, ни менее предпочтительной, чем любая точка, соответствующая аналогу;

* Х3 - множество точек, каждая из которых менее предпочтительна, чем хотя бы одна точка, соответствующая аналогу.

Технический уровень изделия оценивается в соответствии с тем, в какую область в пространстве показателей попадает соответствующая ему точка.

Достоинством данного метода, который является обобщением дифференциального [4], является минимальность объема используемой экспертной информации, а также отсутствие в нем эвристических процедур и формул. Метод позволяет аргументированно квантифицировать степень соответствия технического уровня оцениваемого изделия современным требованиям, содержательно интерпретировать получаемые оценки, а также устанавливать значения показателей оцениваемого изделия, обуславливающие его недостаточно высокий технический уровень.

Интерактивный подход

Более тонкое соотнесение технического уровня изделия и аналогов может быть осуществлено двумя способами: экстраполяцией границы современного технического уровня в окрестности точки изделия в пространстве показателей, а также на основе использования экспертной информации.

Первый способ может быть реализован лишь в том случае, когда количество аналогов не меньше количества показателей, используемых для оценки.

Второй способ может быть использован при любом количестве аналогов.

Сравнение многокритериальных альтернатив (точек пространства показателей), в том числе и соотнесение технического уровня изделий, осуществляется посредством решающих правил, каждое из которых основывается на определенных видах и объемах информации, получаемой от эксперта. При использовании решающих правил, приводящих к частичному упорядочению точек пространства показателей, вид получаемого упорядочения зависит не только от решающего правила, но и от того, какие точки соответствуют аналогам и изделиям. Чем "сильнее" решающее правило, тем больше информации, получаемой от эксперта, оно требует.

Таким образом, при выборе или построении решающего правила для каждой конкретной задачи приходится учитывать следующие два требования:

* решающее правило должно обеспечивать требуемое в задаче соотнесение технического уровня изделия и его аналогов;

* решающее правило должно основываться только на информации, действительно необходимой для такого соотнесения.

Выяснить, удовлетворяет ли некоторое решающее правило этим требованиям в конкретной задаче, можно лишь после его использования. Поэтому процедура должна быть в общем случае многошаговой. Действительно, если решающее правило не обеспечивает определенности при соотнесении технического уровня изделия и его аналогов, на следующем шаге должны быть предприняты попытки получения дополнительной информации и построения более "сильного" решающего правила, позволяющего, по крайней мере, частично устранить неопределенность в проводимом соотнесении. Многошаговые процедуры построения решающего правила позволяют избежать избыточности информации, так как на первых этапах используются решающие правила, основывающиеся на наиболее простой и легко доступной информации.

Поскольку информация, получаемая от эксперта, может быть противоречивой, ее нужно проверять. Для поиска и устранения противоречий дополнительная информация, получаемая на каждом шаге процедуры, должна сопоставляться c полученной ранее. Таким образом, процедура построения решающего правила, приводящего в конкретной задаче к соотнесению технического уровня изделия и его аналогов и не основывающегося на избыточной информации, должна быть интерактивной.

Построение итеративных процедур формирования решающего правила может быть осуществлено различными способами. Тем не менее, можно сформулировать основные требования, которым должны удовлетворять процедуры:

а) дополнительная информация, получаемая от эксперта на

i+1-м шаге процедуры, должна сокращать неопределенность, имеющуюся на i-м шаге, в соотнесении технического уровня изделия и аналогов (критерий содержательности информации);

б) результат соотнесения технического уровня изделия и любого аналога, установленный на i-м шаге процедуры, не должен изменяться на следующих шагах (критерий непротиворечивости информации).

Итеративный подход основывается на получении информации в режиме диалога с экспертом, что и обуславливает его интерактивный характер. Дополнительная информация привлекается в том случае, когда имеющейся информации оказывается недостаточно для соотнесения технического уровня изделий и аналогов. Это позволяет избежать избыточности запрашиваемой информации и сократить количество обращений к эксперту.

3.2. Метод экспертных оценок

Экспертные методы обычно используются при определении состава и структуры показателей качества продукции; весомости показателей качества; комплексных показателей качества, а также при аттестации качества продукции.

Значительное число задач, связанных с анализом, оценкой и управлением качеством продукции на основе экспертных методов, содержит ряд общих процедур [12, 13, 20]:

- определение конкретной цели экспертизы, формирование рабочей группы, формирование экспертной группы и составление рабочей документации;

- опрос экспертов, в ходе которого проводится анализ документов и оценка объектов исследования;

- обработку и анализ результатов опроса, состоящего из подготовки исходных данных, выделения экспертов с резко выделяющимся мнением, расчет итоговых оценок, их группировку, ранжирование по значимости и выделение доминирующих оценок.

Группа экспертов может состоять из 7-12 человек. При необходимости повышения достоверности экспертных оценок численный состав группы следует увеличить до 15-20 человек в зависимости от сложности продукции и сложности решаемых вопросов.

Последовательность этапов проведения анализа

1 этап. Экспертам предлагается опросная анкета, в которой каждому из n экспертов предлагается написать перечень параметров (показателей качества), характеризующих, по их мнению, конкретный объект (изделие, технологический процесс и т.д.).

В результате составляется таблица с перечнем показателей (m - число параметров) и их условными обозначениями (табл.3.1).

Таблица 3.1 Список рассматриваемых параметров

Наименование показателя (параметра) Условное обозначение Q1 Q2 . . . Qm

2 этап. Каждый эксперт индивидуально заполняет вторую анкету, где показатели должны быть проранжированы (упорядочены) по их значимости. Если, по мнению эксперта, показатели не различаются по силе их влияния (по значимости) на исследуемый объект, то им присваивается один и тот же порядковый номер (ранг). Показатели ранжируются в порядке убывания: от наиболее значимого (ранг 1) до наименее значимого (ранг m), например, табл.3.2.

Таблица 3.2 Индивидуальное ранжирование признаков

Номер эксперта Признаки Q1 Q2 ... Qj ... Qm Ранги 1 X11 X12 ... X1j ... X1m например 2 1 5 5 4 3

3 этап. На основе индивидуальных анкет составляется общая матрица рангов (табл.3.3).

Таблица 3.3 Матрица рангов

Номер эксперта Ранги Х, присвоенные показателям Q Q1 Q2 ... Qj ... Qm 1

2 ... i ... n X11

X21 ... Xi1

...

Xn1 X12 X22 ...

Xi2 ... Xn2 ...

... ... ...

... X1j

X2j ... Xij

... Xnj ... ...

... ... ... X1m

X2m

... Xim ...

Xnm Примечание. Xij - ранг j-го показателя у i-го эксперта; n - число экспертов; m - число показателей.

4 этап. На основании данных табл.3.5 проводится оценка степени согласованности мнений опрошенных экспертов. Необходимость проведения этой процедуры обуславливается тем, что, вопервых, в силу индивидуальных особенностей каждого эксперта, уровня его знаний и представлений об объекте параметры могут быть истолкованы неоднозначно; во-вторых, ранжирование параметров может быть произведено неквалифицированно из-за недостаточной изученности объекта.

Оценка степени согласованности мнений экспертов осуществляется с помощью коэффициента конкордации. Если в матрице рангов в i-й строке имеются равные значения рангов, то коэффициент конкордации определяется как

W?S, (3.6)

n n2(m3 ?m)?n?Ti

i?1 mnmn2 1 где S ??(?X ij ? ??X ij ) , (3.7) m

j?1 i?1j?1 i?1 1 ?m3, (3.8)

Ti ?(t j ?t j )

12 j?1 где tj - число рангов j-го показателя в каждой строке матрицы рангов.

Если в матрице рангов (см. табл.3.6) отсутствуют равные значения рангов в каждой из строк, то оценка степени согласованности мнений экспертов определяется по формуле:

12S W ? 2 3 . (3.9) n (m ?m)

Значение W = 1 говорит о полном совпадении мнений экспертов. Значение W = 0- о полном несовпадении мнений экспертов.

В практических ситуациях 0 W, то данный эксперт исключается из совокупности. Такие расчеты проводятся для каждого эксперта. В результате расчетов степень согласованности мнений экспертов, оставшихся в совокупности, повышается.

Модельный пример №1

Пусть опрошено 5 экспертов о степени влияния некоторых параметров Q (количественных признаков) на качество продукции. Экспертами были выбраны 6 параметров. Результирующая опросная матрица представлена в табл.3.5.

Таблица 3.5 Результирующая матрица опроса экспертов

Номер (эксперта) Ранги Xij параметров Q 6

?xij

j?1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 1 3 4 2 5 1 6 21 2 4 5 3 1 2 6 21 3 5 4 3 1 2 6 21 4 4 4 2 3 1 5 19 5 2 4 3 3 1 5 18 5

?xij i?1 18 21 13 13 7 28 100

Порядок обработки полученных данных (экспертизы) следующий.

1. По данным табл.3.5 рассматриваемые параметры ранжируются следующим образом:

555 x1 ??xi1 ?18; x2 ??xi2 ? 21; x3 ??xi3 ?13;

i?1i?1i?1 5 5 6 x4 ??xi4 ?13; x5 ??xi5 ? 7; x6 ?? xi6 ? 28.

i?1i?1i?1 Результаты расчета показывают, что на рассматриваемый показатель качества продукции наибольшее влияние оказывает параметр x5, а наименьшее влияние - параметр x6 .

2. Проведем оценку степени согласованности экспертов с использованием коэффициента координации W, рассчитываемого по формуле (3.1), так как в матрице рангов имеются равные значения рангов у одного и того же эксперта.

Определим по формуле (3.8) Ti (i ? 1,5) .

У четвертого эксперта ранг 4 встречается 2 раза, тогда

T4 ? (23 ? 2) ?1,2.

У пятого эксперта ранг 3 встречается 2 раза, поэтому T5 ? (23 ? 2) ?1,2 .

Аналогичным образом определяем, что T1 ?T2 ?T3 ?0.

По формуле (3,7) определим S:

656 5 12222 S??j?1(?i?1 Xij ? 6?j?1?i?1 Xij ) ?(18? 100) ?(21? 100) ?(13? 100) ?

?(13?100)2 ?(7?100)2 ?(28?100)2 ?269,3.

Таким образом, S = 269,3.

Коэффициент конкордации определяем по формуле (3.6):

269,3 W ?? 0,633.

52(63 ? 6) ? 5(1,2 ?1,2)

3. Проверим значимость отличия коэффициента конкордации от нуля. Для этого вычислим расчетное значение z-критерия Фишера по формуле (3.10):

z ?? 0,97. ,

где степени свободы v1 и v2 определяются по формулам (3.11):

v1 ? (6 ?1) ?? 5; v2 ? (5 ?1)5 ? 20;

При уровне значимости ? = 0,05 для v1 = 5 и v2 = 20 по табл.3.5 найдем, что z? = 0,5.

Поскольку полученное значение z = 0,97 больше z? = 0,5, то с вероятностью P = 0,95 можно утверждать, что между экспертами имеет место неслучайное согласие о силе влияния на рассматриваемый показатель качества выбранных количественных параметров.

Модельный пример №2

Рассмотрим пример, в котором условия предыдущей задачи сохранены, но в матрице рангов (табл.3.6) отсутствуют равные значения рангов в каждой из строк.

Таблица 3.6 Результирующая матрица опроса экспертов

Номер эксперта Ранги Xij параметров Q 6

?xij

j?1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 1 3 4 2 5 1 6 21 2 4 5 3 1 2 6 21 3 5 4 3 1 2 6 21 4 4 2 6 3 1 5 21 5 2 4 3 6 1 5 21 5

?xij i?1 18 19 17 16 7 28 105

1. По данным табл.3.6 анализируемые параметры ранжиру-

ются так:

555 x1 ??xi1 ?18; x2 ??xi2 ? 19; x3 ?? xi3 ?17;

i?1i?1i?1 556 x4 ?? xi4 ?16; x5 ??xi5 ? 7; x6 ?? xi6 ? 28.

i?1i?1i?1 Результаты расчета показывают, что на рассматриваемый показатель качества продукции наибольшее влияние оказывает параметр x5, а наименьшее влияние - параметр x6 .

2. Оценку степени согласованности экспертов рассчитаем по формуле (3.9), так как в матрице рангов отсутствуют равные зна-

чения рангов у одного и того же эксперта. По формуле (3.2) определим S:

656 5

12222 S??j?1(?i?1 Xij ? 6?j?1?i?1 Xij ) ?(18? 105) ?(19? 105) ?(17? 105) ?

?(16?105)2 ?(7?105)2 ?(28?105)2 ? 225,5.

Таким образом, при S = 225,5 коэффициент конкордации

W?? 0,515.

3. Проверим значимость отличия коэффициента конкордации от нуля. Для этого вычислим расчетное значение z-критерия Фишера по формуле (3.10): z ?? 0,72.

Степени свободы v1 и v2 определяем по формулам (3.11):

v1 ? (6 ?1) ?? 5; v2 ? (5 ?1)5 ? 20; .

При уровне значимости ? = 0,05 для v1 = 5 и v2 = 20 получаем, что z? = 0,5.

Поскольку расчетное значение z = 0,72 больше z? = 0,5, то с вероятностью P = 0,95 можно утверждать, что между экспертами имеет место неслучайное согласие о силе влияния на рассматриваемый показатель качества выбранных количественных признаков.

3.3. Методика построения обобщенного критерия эффективности

В практической деятельности экономистов, менеджеров и инженеров одним из часто повторяющихся действий является выбор (принятие решений). Задачи выбора чрезвычайно разнообразны. Отсюда различны и методы их решения. Самым простым и более "развитым" является критериальный метод [11]. Основополагающее предположение состоит в том, что отдельно взятый сравниваемый вариант можно оценить конкретным числом (значением критерия) и тогда сравнение вариантов сводится к сравнению соответствующих им чисел.

Сложность выбора лучшего варианта значительно возрастает из-за того, что оценивать любую альтернативу единственным числом практически неприемлемо (табл.3.7). Корректное сравнение вариантов приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающихся между собой. В реальности очень редко встречаются ситуации, когда в некотором наборе вариантов имеется альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех критериев. Поэтому проблема разработки методов многокритериального анализа является актуальной.

Один из подходов к решению указанной проблемы заключается в преобразовании многокритериальной задачи в однокритериальную [1, 2]. Это означает введение суперкритерия, то есть скалярной функции векторного аргумента:

Q (x)=Q (q1(x), q2(x), ... , qN(x)).

Суперкритерий позволяет упорядочить варианты решения по величине Q, выделив тем самым лучший (в смысле этого критерия).

Рассмотpим два ваpианта убоpки зеpновых: комбайновый и индустpиальный. Эти технологии убоpки зеpновых можно сpавнить, используя комплекс кpитеpиев, состоящий из 10 частных кpитеpиев (табл.3.7) [3].

Таблица 3.7

Значение показателей

№ п/п Наименование показателя NAP Границы изменения показателя Технология уборки Xmin Xmax комбай-

новая индустриальная 1 Энергоемкость процесса, кВт?ч/га 0 300 500 420 350 2 Затраты труда на единицу площади, чел. ч/га 0 4 10 8 5 3 Время работы в сутки, ч 1 0 22 13 20 4 Потери зерна в поле, % 0 0,5 15 10 2 5 Сбор семян сорняков в поле, % 1 10 95 20 90 6 Потери продуктивной влаги в почве, % 0 10 90 80 10 7 Квалификация комбайнеров, % 0 30 100 95 40 8 Коэффициент надежности 1 0.4 0,98 0,6 0,9 9 Масса машины, т 0 5 18 13,7 8 10 Себестоимость 1т зерна 0 30 120 90 60 Здесь NAP - признак влияния фактоpа на pезультат. 1 - означает, что с увеличением значения фактоpа эффективность повышается, напpимеp, чем больше пpоцент убpанных семян соpняков, тем лучше; 0 - означает, что с увеличением значения фактоpа эффективность падает, напpимеp, чем больше себестоимость зеpна, тем хуже.

Если NAP=1, то говоpят, что влияние фактоpа на pезультат пpямое. Если NAP = 0, то влияние фактоpа на pезультат - обpатное.

Способ решения задачи

Одним из эффективных способов постpоения суперкритерия при многокритериальном анализе различных видов продукции является обобщенная функция желательности Хаppингтона [1], в основе постpоения которой лежит идея пpеобpазования натуpальных значений частных критериев (или хаpактеpистик) в безpазмеpную шкалу желательности или пpедпочтительности (табл.3.8).

Таблица 3.8 Значения шкалы желательности

Желательность Отметки на шкале желательности очень хоpошо 1,00 - 0,80 хоpошо 0,80 - 0,63 удовлетвоpительно 0,63 - 0,37 плохо 0,37 - 0,20 очень плохо 0,20 - 0,00

В табл.3.8 представлены числа, соответствующие некотоpым точкам кpивой, которая задается формулой:

?e?x

d e?, (3.12)

Как видно из табл.3.8, шкала желательности имеет интервал от нуля до единицы. Значение d = 0 соответствует абсолютно неприемлемому уровню данного свойства, а значение d = 1 - самому лучшему значению свойства.

Выбоp отметок на шкале желательности 0,63 и 0,37 объясняется удобством вычислений: 0,63=1- (1/e); 0,37=1/e.

Именно эти точки являются точками перегиба кривой, построенной по уравнению (3.12) (pис.3.1).

Рис.3.1. График функции желательности

Выбоp этой кpивой не является единственной возможностью. Однако она возникла в pезультате наблюдений за pеальными pешениями экспеpиментатоpов и обладает такими полезными свойствами, как непpеpывность, монотонность и гладкость. Кpоме того, эта кpивая хоpошо пеpедает тот факт, что в областях желательностей, близких к 0 и 1, чувствительность ее существенно ниже, чем в сpедней зоне. Для упpощения вычислений функцию (3.12) можно пpедставить в виде [1]:

?e4?x d ? e. (3.13) Если задаться максимальным и минимальным уровнями эффективности (уpовнями желательности) dmax=0,80 и dmin=0,20 то значения X, соответствующие этим гpаницам, можно опpеделить следующим обpазом:

XA ? Xmin ? 4?[? ln(? lndmin )] ? 3,53,

XB ? Xmax ? 4?[? ln(? lndmax )] ? 5,50. (3.14)

Для того чтобы согласовать реальные числовые значения фактоpов х с числовыми значениями шкалы абсцисс (pис.3.1), необходимо ввести масштабный коэффициент М, котоpый опpеделяется по фоpмуле:

ximax ?ximin Mi ?. (3.15)

X B ?X A Далее необходимо пеpевести натуpальные (pеальные) значения фактоpов в безpазмеpные.

Если влияние фактоpа на pезультат пpямое (NAP = 1), то используется фоpмула (3.16).

p xi ?ximin

xi ? X A ?. (3.16) Mi

Если влияние фактоpа - обpатное (NAP=0), то используется фоpмула (3.17):

p xi ?ximin xi ? XB ?. (3.17) Mi

p Здесь хi - кодовое значение фактоpа; xi - натуpальное значение фактоpа.

Подставив значение х в уpавнение (3.13), получим значение коэффициента желательности (пpедпочтения) di.

p После того как pеальным числовым значениям фактоpов xi поставлены в соответствие частные функции желательности (di), можно опpеделить обобщенный показатель D. Обобщать, то есть пеpеходить от di к D, пpедлагается по фоpмуле:

D= n (3.18)

Дpугими словами, показатель D опpеделяется как сpеднее геометpическое частных коэффициентов di.

Таким образом, рассмотpен один из возможных подходов постpоения единого кpитеpия оценки pазличных ваpиантов pешений. Шкала желательности есть попытка фоpмализации пpедставлений инженеpа о важности тех или иных значений частных фактоpов. Нет никакой гаpантии, что такие пpедставления можно считать пpавильными.

В данной работе, напpимеp, pассматpиваются задачи только с однонапpавленным влиянием фактоpов на pезультат. Учет фактоpов, влияние котоpых имеет унимодальную фоpму, вызывает опpеделенные тpудности пpи решении задач.

Обобщенная функция желательности D является некотоpым абстpактным построением. Однако она обладает рядом привлекательных свойств: функция (3.12) является количественным, однозначным, единым и универсальным показателем качества исследуемого объекта (наpяду со свойствами адекватности, эффективности и статистической чувствительности). Поэтому функцию D можно использовать в качестве кpитеpия оценки принимаемых решений.

Пример решения

Рассмотрим определение показателя эффективности комбайнового и индустриального способов уборки зерновых. Пpи этом учитывать будем лишь два фактора : X1 и X2 (табл.3.9).

Таблица 3.9 Значения частных критериев и показателя d

Имя фактора NAP Границы изменчивости фактора Значение фак-

торов и d при комбайновой технологии Значение факторов и d при

индустриальной технологии Xi min Xi max Xкi diк Xi di Сбор семян сорняков при уборке, % 1 10 95 20 ? 90 ? Себестоимость зерна, руб/т 0 30 120 90 ? 60 ? Dk DИ

По формуле (3.15) определяем масштабный коэффициент для X1 и X2:

M x1 ?? 43,15, Mx2 ?? 45,7 .

Затем рассчитываем кодовые значения Хiк и Хiи. Так как фактоp Х1 оказывает прямое влияние на эффективность, то значения X1к, X1и находим по формуле (3.16), а значения X2к, X2и- по фоpмуле (3.17):

Xik ? 3,53?? 3,76, Xik ?3,53??5,38,

Xik ? 5,50?? 4,19, Xik ? 5,50?? 4,84 .

Для нахождения частных коэффициентов желательности di подставим полученные значения X1к, X2к и X1и , X2и в уравнение (3.13). В результате вычислений получаем: d1к=0,28; d2к=0,44; d1и =0,78; d2и =0,65.

По формуле (3.18) определяем обобщенное значение коэффициента пpедпочтительности для каждой технологии Dк и D и: D к = 0,28?0,44 =0,35; D и = 0,78? 0,65 =0,71.

Таким образом, анализ двух технологий уборки зерновых с учетом факторов сбоpа семян сорняков и себестоимости зерна показывает, что предпочтение следует отдать индустриальной технологии, так как Dи >D к (0,71 > 0,35).

Ниже приведена схема алгоритма решения задачи с использованием обобщенной функции желательности.

• Постановка цели.

• Назначение и ввод показателей. ? Назначение и ввод альтернатив.

• Ввод значений показателей для каждой альтернативы.

• Расчет масштабных коэффициентов (формула (3.15)).

• Перевод натуральных значений в безразмерные (формулы

(3.16) и (3.17)).

• Расчет частных значений коэффициентов предпочтения (формула (3.13)).

• Расчет обобщенного показателя (формула (3.18)).

• Выводы, Корректирующие мероприятия.

3.4. Метод анализа иерархий

Одним из эффективных методов оценки качества продукции является метод анализа иерархий, основанный на парном сравнении альтернатив ЛПР [18, 19]. Результатом опроса ЛПР является матрица

B? bij размера n?n, где n - число точек ui , в которых сравниваются значения функции принадлежности. Элемент bij матрицы В является субъективной оценкой отношения и показывает, во сколько раз, по мнению ЛПР, один параметр важнее другого. Величина назначается в соответствии с балльной шкалой, значения которой интерпретируются в соответствии со шкалой интенсивности. Количест2

n ? n во вопросов к ЛПР составляет , так как по определению

2 bii ?1 и с целью согласования оценок ЛПР устанавливается, что

1 b ji ? .

bij Данный метод обладает рядом достоинств:

- применяемая в методе процедура парных сравнений является достаточно простой для ЛПР, поскольку она не навязывает ему априорных ограничений, например не требует транзитивности суждений;

- метод допускает наблюдаемую на практике несогласованность оценок эксперта (имеется в виду, что bijb jk ? bik ) и вместе с тем позволяет учесть и оценить ее введением коэффициента несогласованности. Если ??0, то наблюдается ситуации полной согласованности суждений; чем больше ?, тем больше несогласованность суждений ЛПР;

- решение задачи о собственном векторе приводит к измерению функции принадлежности в шкале отношений.

Для иллюстрации основных этапов получения эффективного решения с помощью метода анализа иерархий (МАИ) рассмотрим гипотетическую задачу, имеющую прикладное значение. Для уборки зерновых культур необходимо приобрести зерноуборочный комбайн. На рынке имеются машины четырех фирм: A, B, C, D одинакового целевого назначения. Какой зернокомбайн выбрать в соответствии с потребностями покупателя?

Рекомендуется следующая последовательность этапов при решении задачи [19].

1. Очертите проблему и определите, что вы хотите узнать.

2. Постройте иерархию, начиная с вершины (цели - с точки зрения управления), через промежуточные уровни (критерии, по которым зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню (который обычно является перечнем альтернатив).

3. Постройте множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней - по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня.

4. После проведения всех парных сравнений и ввода данных по собственному значению можно проверить согласованность. Затем, используя отклонение ?max от n, проверить индекс согласованности.

Далее сравнивая с соответствующими средними значениями для случайных элементов, получаем отношение согласованности.

Этапы 3 и 4 проводятся для всех уровней и групп в иерархии.

5. Используя иерархический синтез для взвешивания собственных векторов весами критериев, вычисляется сумма по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов уровня иерархии, лежащего ниже.

6. Проверяется согласованность всей иерархии.

Составление схемы иерархии. Модельный пример

В соответствии с планом проведения МАИ проведем декомпозицию и представим задачу в иерархической форме. Схема иерархии для рассматриваемой задачи приведена на рис.3.2. Целью построений является получение приоритетов элементов на последнем уровне, наилучшим образом отражающих относительное воздействие на вершину иерархии.

Рис.3.2. Схема иерархии для решения проблемы выбора зернокомбайна

На первом (высшем) уровне находится общая цель: "Зернокомбайн".

На втором уровне находятся четыре показателя (критерия), уточняющие цель, и на третьем (нижнем) уровне находятся машины - "кандидаты" (варианты решения), которые должны быть оценены по отношению к критериям второго уровня.

Замечание 1. В примере на втором уровне рассматриваются пять критериев. Такое количество выбрано для иллюстрации метода и не связано с сутью рассматриваемой проблемы - выбора лучшего зернокомбайна.

Замечание 2. Закон иерархической непрерывности требует, чтобы элементы нижнего уровня иерархии были сравнимы попарно по отношению к элементам следующего уровня и т.д. вплоть до вершины иерархии. Например, надо получить имеющие смысл ответы на вопросы такого типа: насколько комбайн А лучше комбайна B или С по критерию производительности?

Замечание 3. Необходимо стараться, чтобы при составлении схемы иерархии быть уверенным, что критерии и альтернативы отражают весь диапазон предпочтений и восприятия участников (лиц принимающих решение).

Замечание 4. Издавна известны магические свойства числа семь. Так вот, в МАИ для проведения обоснованных численных сравнений не рекомендуется сравнивать более чем 7±2 элементов. Если же возникает потребность в расширении уровней 2 и 3, то следует использовать принцип иерархической декомпозиции. Другими словами, если число критериев, например, превышает десятки, то необходимо элементы сгруппировать в сравниваемые классы приблизительно из семи элементов в каждом.

Составление матрицы парных сравнений для уровня 2

После выполнения работ на этапе иерархического представления проблемы необходимо установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив тем самым самую предпочтительную из них.

Для определения сравнительной важности факторов или результатов в проблемной ситуации необходимо составить матрицу парных сравнений. В общем виде эта матрица представлена в табл.3.10.

Таблица 3.10

Общий вид матрицы парных сравнений

Общее удовлетворение машиной A1 A2 A3 . . . AN A1 w1/w1 w1/w2 w1/w3 . . . w1/wn A2 w2/w1 w2/w2 w2/w3 . . . w2/wn A3 w3/w1 w3/w2 w3/w3 . . . w3/wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . AN wn/w1 wn/w2 wn/w3 . . . wn/wn Примечание. A1, A2, A3, ..., An - множество из n элементов; w1, w2, w3, ..., wn - соответственно их веса или интенсивности.

Замечание 1. Цель составления подобной матрицы заключается в определении факторов с наибольшими величинами важности, чтобы затем сконцентрировать внимание на них при решении проблемы или разработке плана действий.

Замечание 2. Если ожидается, что w1, w2, w3, ..., wn - неизвестны заранее (а это очень распространенная ситуация), то парные сравнения элементов производят с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решают проблему нахождения компонент w.

Замечание 3. Следует подчеркнуть, что в МАИ по соглашению сравнивается относительная важность левых элементов матрицы с элементами наверху. Поэтому если элемент слева важнее, чем элемент наверху, то в клетку заносится положительное целое

(от 1 до 9); в противном случае - обратное число (дробь, например, 1/5). Относительная важность любого элемента, сравниваемого с самим собой, равна 1; поэтому диагональ матрицы (табл.3.10) содержит только единицы. Наконец, обратными величинами заполняют симметричные клетки, т.е. если элемент А1 воспринимается как слегка более важный (3 на шкале) относительно элемента А2, то считается, что элемент А2 слегка менее важен (1/3 по шкале) относительно элемента А1.

Для проведения субъективных парных сравнений в МАИ предлагается шкала относительной важности (табл.3.11).

Таблица 3.11

Шкала относительной важности

Интенсивность относительной важности Определение Объяснения 1 Равная важность Равный вклад двух видов деятельности в цель 3 Умеренное превосходство одного над другим Опыт и суждения дают легкое превосходство одного вида деятельности над другим 5 Существенное или

сильное превосходство Опыт и суждения дают сильное превосходство одного вида деятельности над другим 7 Значительное превосходство Одному виду деятельности дается настолько сильное пре-

восходство, что оно становится практически значительным 9 Очень сильное превосходство Очевидность превосходства одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно 2, 4, 6, 8 Промежуточные решения между двумя соседними суждениями Принимаются в компромиссном случае

Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например, 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получаем обратную величину, т.е. 1/3.

В табл.3.12 приведены ориентировочные значения рассматриваемых показателей.

Таблица 3.12 Примерные значения показателей для различных альтернатив

Показатель A B C D Производительность, т/ч 13 21 12 18 Потери зерна, % 2 3 3 3 Наработка, ч 160 119 120 130 Расход топлива, л/ч 29 30 24 27 Стоимость, тыс.руб 900 1100 1050 1200 Укрупненный алгоритма решения задачи с использованием метода анализа иерархий представлен ниже:

• Постановка цели.

• Назначение показателей.

• Выбор альтернатив.

• Ввод значений показателей для каждой альтернативы.

• Расчет весомости показателей (табл.3.13).

• Определение вектора приоритетов по каждому показателю (табл.3.14-3.18).

• Расчет вектора глобальных приоритетов (табл.3.22).

• Выводы, корректирующие мероприятия.

В соответствии с ранее изложенным составим матрицу парных сравнений для определения весомости показателей качества (табл.3.13). Матрица составляется, если записать сравниваемую цель (или критерий) вверху и переписать сравниваемые элементы слева и сверху.

Таблица 3.13 Матрица парных сравнений показателей качества, построенная на основе субъективных суждений

Общее удовлетворение комбайном Пр. П.з. Нар. Р.т. Ст. Производительность (Пр.) 1/1 5/1 4/1 5/1 3/1 Потери зерна (П.з.) 1/5 1/1 1/2 2/1 1/2 Наработка (Нар.) 1/4 2/1 1/1 1/1 1/4 Расход топлива (Р.т.) 1/5 1/2 1/1 1/1 1/2 Стоимость (Ст.) 1/3 2/1 4/1 2/1 1/1

Матрицы парных сравнений для уровня 3

В примере требуется составить пять матриц для третьего уровня по отношению к критериям второго уровня (табл.3.14-3.18).

Таблица 3.14 Матрица парных сравнений для критерия КР1

Производительность А В С D A 1 13/21 13/12 13/18 B 21/13 1 21/12 21/18 C 12/13 12/21 1 12/18 D 18/13 18/21 18/12 1

Таблица 3.15 Матрица парных сравнений для критерия КР2

Потери зерна А В С D A 1 3/2 2/2 3/2 B 2/3 1 2/3 3/3 C 2/2 3/2 1 3/2 D 2/3 3/3 2/3 1

Таблица 3.16 Матрица парных сравнений для критерия КР3

Наработка А В С D A 1 160/119 160/120 160/130 B 119/160 1 119/120 119/130 C 120/160 120/119 1 120/130 D 130/160 130/119 130/120 1

Таблица 3.17 Матрица парных сравнений для критерия КР4

Стоимость А В С D A 1 1100/900 1050/900 1200/900 B 900/1100 1 1050/1100 1200/1050 C 900/1050 1100/1050 1 1200/1050 D 900/1200 1100/1200 1050/1200 1

Таблица 3.18 Матрица парных сравнений для критерия КР5

Расход топлива А В С D A 1 30/29 24/29 27/29 B 29/3 1 24/30 27/30 C 29/24 30/24 1 27/24 D 29/27 30/27 24/27 1

Замечание 1. Объективные данные по показателям, использующимся для сравнения комбайнов, можно взять из протоколов испытаний, научной литературы, рекламных проспектов и т.п.

Замечание 2. Если существует шкала сравнений, т.е. имеется некоторый способ измерения, то данные могут использоваться для проведения сравнений; иначе клетки заполняются оценками, полученными в результате субъективных, но продуманных суждений.

Синтез приоритетов

Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.

Одним из способов определения приоритетов является вычисление геометрического среднего. Это можно сделать, перемножая элементы в каждой строке и извлекая корень n-й степени, где n - число элементов. Полученный таким образом столбец чисел нормализуется делением каждого числа на сумму всех чисел. Последовательность расчета составляющих вектора приоритетов приведена в табл.3.19.

Для данных, приведенных в табл.3.12, значения вектора приоритетов будут следующими.

Таблица 3.19 Расчет вектора приоритетов (пример)

Таблица 3.20 Матрица парных сравнений для критерия КР1

Общее удовлетворение комбайном Вектор приоритетов, Xi Производительность 0,491 Потери зерна 0,099 Наработка 0,104 Расход топлива 0,086 Стоимость 0,220

В табл.3.21 представлены парные сравнения для третьего уровня иерархии, иллюстрирующие сравнительную желательность вариантов марок зернокомбайнов по отношению к критериям второго уровня.

Таблица 3.21 Парные сравнения для третьего уровня

Вариант решения Вектор приоритетов Производительность Потери зерна Расход топлива Наработка Стоимость A 0,203 0,3 0,235 0,302 0,292 B 0,328 0,2 0,228 0,225 0,239 C 0,188 0,3 0,284 0,227 0,250 D 0,281 0,2 0,253 0,246 0,219

Выявление глобальных приоритетов

Согласно МАИ приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент.

Расчетное значение общей ценности варианта определяется взвешенной суммой локальных приоритетов, которая получается путем их последовательной аддитивной свертки по всем уровням иерархии:

n vi (Ai ) ??wivq (Ai ).

q?1 Пример расчета глобальных приоритетов приведен ниже

(табл.3.22).

Таблица 3.22 Данные для расчета глобальных приоритетов

Вариант решения Вектор приоритетов Производительность Потери зерна Расход топлива Наработка Стоимость 0,491 0,099 0,086 0,104 0,220 A 0,203 0,3 0,235 0,302 0,292 B 0,328 0,2 0,228 0,225 0,239 C 0,188 0,3 0,284 0,227 0,250 D 0,281 0,2 0,253 0,246 0,219

Для варианта А имеем:

v1(A) = 0,491?0,203+0,099?0,3+0,086?0,235+ +0,104?0,302+0,22?0,292 = 0,248.

В результате расчетов получены значения вектора глобальных приоритетов (табл.3.23).

Таблица 3.23

Глобальные приоритеты

Наименование Значение глобальных приоритетов A 0,248 B 0,279 C 0,217 D 0,255

Согласованность локальных приоритетов

Индекс согласованности (ИС) дает информацию о степени нарушения численной и порядковой согласованности. Для улучшения согласованности рекомендуется поиск дополнительной информации и пересмотр данных, использованных при построении шкалы. Вместе с матрицей парных сравнений можно определить меру оценки степени отклонения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

Индекс согласованности в каждой матрице вычисляется следующим образом. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на значение первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца - на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом находится величина ?max (наибольшее собственное значение матрицы суждений А). Индекс согласованности ИС определяется по формуле:

?max ? n ИС ? ,

n?1 где n - число сравниваемых элементов.

Отношение согласованности (ОС) определяется как частное от деления ИС и числа, соответствующего случайной согласованности матрицы того же порядка (табл.3.24). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях можно допустить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих пределов, то участникам нужно исследовать задачу и уточнить (проверить) свои суждения. В нашем примере ИС=0,0512; ОС=4,6%, что является хорошим результатом.

Таблица 3.24 Средние согласованности для случайных матриц

Размер матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Случайная согласованность 0 0 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49

Согласованность всей иерархии можно найти, перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия и суммируя полученные числа. Результат затем делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующим размерам каждой взвешенной приоритетами матрицы. Приемлемым является ОС около 10% или менее. В противном случае качество суждений следует улучшить, возможно пересмотрев способ, следуя которому задаются вопросы при проведении парных сравнений. Если это не поможет улучшить согласованность, то, вероятно, задачу следует более точно структурировать, т.е. сгруппировать аналогичные элементы под более значащими критериями. Потребуется возврат к этапу 2, хотя пересмотра могут потребовать только сомнительные части иерархии.

4. РАЦИОНАЛЬНЫЙ ВЫБОР

4.1. Характеристика задачи рационального выбора

Одним из основополагающих понятий теории принятия решений служит постулат рациональности (от лат. ratio - разум) предпочтений человека при индивидуальном выборе лучшего варианта [14]. Полагают, что каждый человек должен иметь свое собственное представление о ценности сравниваемых вариантов. ЛПР, делая свой выбор, интуитивно или осознанно стремится получить наиболее выгодный для себя результат. Тем самым в понятие рационального выбора включается так или иначе понимаемое понятие оптимальности, хотя само это понятие уже не является определяющим.

Рациональность выбора предполагает также его субъективность. Вариант решения, наилучший или приемлемый для одного, может не быть таковым для другого. У каждого человека есть свои собственные предпочтения, на основании которых он сравнивает варианты и выбирает из них наиболее предпочтительный для себя вариант.

Использование полученной от ЛПР информации о различных аспектах сравниваемых вариантов в процедурах исключения и компенсации критериев позволяет последовательно сужать область допустимых значений переменных и в ряде случаев находить наилучшие решения задачи. Аналогичные процедуры исключения и компенсации критериев широко используются и при рациональном выборе. Сначала из имеющегося множества вариантов тем или иным образом выделяется подмножество недоминируемых вариантов, а затем это подмножество последовательно сужается с учетом предпочтений ЛПР.

Вместе с тем ЛПР может вести себя непоследовательно, ошибаться в своих оценках и выводах, противоречить самому себе. Подобное поведение обусловлено трудностью анализируемой ситуации, недостатком и/или недостоверностью имеющейся информации, дефицитом времени, недостаточной опытностью человека и/или ограниченностью его мышления, непреднамеренным заблуждением, усталостью и невнимательностью, индивидуальными склонностями человека завышать или занижать свои оценки, рисковать или быть осторожным в суждениях и т.п. Считается, что такого рода ошибки и противоречия не согласуются с понятием индивидуальной рациональности и потому должны выявляться и устраняться в процессе решения задачи. В то же время при групповом принятии решения необходимо стремиться к компромиссу при агрегировании несовпадающих предпочтений нескольких ЛПР.

Наиболее часто задачи рационального выбора возникают при рассмотрении плохо структурируемых проблем, а именно [14, 15]:

• отсутствует формализованная модель проблемной ситуации, которую бывает трудно или невозможно построить из-за сложности ситуации, отсутствии необходимой информации и т.п.;

• имеется большая неопределенность при формировании перечня всех возможных вариантов решения проблемы, а сами варианты могут описываться и количественными, и качественными показателями с преобладанием последних;

• отсутствуют одинаково понимаемые и формализуемые критерии для сравнения и выбора вариантов;

• наиболее предпочтительный результат выбора определяется субъективными предпочтениями ЛПР.

Задача рационального выбора состоит в следующем [15]. Имеется несколько реально существующих или гипотетически возможных вариантов (объектов) А1, ..., Аm, число которых может быть как конечным, так и бесконечным. Варианты заданы изначально или могут появляться в процессе решения задачи. Каждый вариант оценивается по единственному или многим критериям К1,..., Кn, имеющим числовые или вербальные, непрерывные или дискретные шкалы оценок Xq ??x1q,...,xqs?, q = 1, ...,n. Порядковые шкалы обычно предполагаются упорядоченными, например, от лучших градаций оценок к худшим. Варианту Аi сопоставляется n-мерный вектор или кортеж; оценок xi ? (xi1,...,xin), либо одна v(xi) или n целевых функций vq(xiq ) , где xiq ? Kq(Ai ) - оценка варианта Ai по q-му критерию Kq. Совокупности вариантов соответствует допустимое множество X a ? ?x1,...,xm?, X a ? X ? X1 ?...? Xn .

Основываясь на предпочтениях ЛПР и используя всю имеющуюся информацию, требуется решить одну из следующих задач: 1) выделить лучшие варианты; 2) упорядочить все варианты от лучшего к худшему; 3) отнести каждый вариант к одному из заранее указанных классов решений. Главная сложность при решении задачи рационального выбора заключается в выявлении и формализации предпочтений ЛПР.

4.2. Понятие коллективного выбора

Задачи принятия решений, в которых результаты выбора определяются мнениями или действиями не одного человека, а многих людей, так же распространены на практике, как и задачи индивидуального выбора. В качестве отдельных лиц, принимающих решения, выступают руководители и члены выборных органов, жюри, комитетов, судьи, эксперты, избиратели и т. п. Совокупность таких действующих лиц называется группой, принимающей решение (ГПР) независимо от роли и значимости каждого члена группы в процессе решения задачи выбора. Таким образом, под коллективным, или групповым, выбором понимается процедура принятия решения, основанная на совместном учете и/или согласовании индивидуальных предпочтений членов ГПР.

Групповой выбор сочетает в себе субъективные и объективные аспекты [15]. Предпочтение каждого конкретного ЛПР субъективно и зависит от присущей данному человеку системы ценностей. В то же время объединение нескольких индивидуальных предпочтений в одно коллективное предпочтение должно осуществляться по возможности более объективным способом с помощью явно определенных формальных процедур, разделяемых всеми членами группы и не подверженных, в идеале, влиянию отдельных членов группы.

С содержательной точки зрения проблема коллективного выбора состоит в том, как наиболее "правильно" осуществить переход от вариантов, лучших для индивидуумов, к вариантам, лучшим для всего коллектива. При этом предполагается, что должно быть выработано общее для членов ГПР понимание, что считать "правильным" или "лучшим" коллективным решением. Групповой выбор включает две категории проблем: как агрегировать индивидуальные предпочтения в интегральные оценки качества решения, на основе которых ищется наиболее предпочтительное решение, и как организовать саму процедуру выработки коллективного решения, т. е. технологию работы ГПР.

Когда имеется много лиц, принимающих решения, проблема агрегирования предпочтений распадается на две составляющие. Вопервых, при оценке варианта отдельным ЛПР по многим показателям качества необходимо синтезировать единую многокритериальную оценку, отражающую предпочтения данного лица. Во-вторых, необходимо объединить индивидуальные суждения ЛПР в одно общее коллективное мнение.

В зависимости от контекста рассматриваемой ситуации индивидуальные предпочтения могут агрегироваться различным образом [15]: суммированием и усреднением индивидуальных суждений ЛПР независимо от совпадения мнения членов групп согласованием разных точек зрения с учетом баланса интересов членов группы и поиском компромиссного варианта решения; выработкой коллективной точки зрения, учитывающей различные, в том числе несогласованные и противоречивые, мнения всех членов группы без поиска компромисса между ними.

На результат коллективного выбора оказывает влияние характер решаемой проблемы, уровень знаний и опыт участников, их эмоциональное состояние, регламент обсуждения проблемы, открытость и последовательность высказывания мнений, возможность создания коалиций, особенности процедуры голосования и другое. Кроме того, каждый член ГПР может обладать разной степенью влияния на принятие решения, источником которого служат личностные качества, административное положение, имущественное состояние индивидуума.

Выделяют следующие виды влиятельности: вознаграждающая (движущие мотивы: награды, премии, поощрения); устрашающая (движущие мотивы: угрозы, наказание); обусловленная (движущие мотивы: образование, культурные традиции, внушение). Многие из перечисленных аспектов относятся к трудным и мало изученным вопросам и нередко не учитываются в моделях коллективного принятия решений.

Задача коллективного выбора

Под задачей коллективного выбора будем понимать следующее [15]. Имеется ГПР, состоящая из t человек, которые рассматривают возможные варианты решения проблемы (альтернативы, способы действия, кандидаты) А1,... , Аm. Каждый из членов ГПР независимо от остальных оценивает все варианты в соответствии со своими индивидуальными предпочтениями. Предполагается, что выработаны общие для всех членов ГПР правила организации и проведения процедур сравнения и выбора вариантов.

Основываясь на индивидуальных предпочтениях всех членов группы и учитывая степень их влиятельности, требуется решить одну из задач: 1) выделить лучшие варианты; 2) упорядочить все варианты; 3) отнести каждый из вариантов к одному из заранее заданных классов решений. Типичными примерами задач коллективного выбора служат определение победителей на выборах путем голосования, конкурсный отбор исполнителей для выполнения заказных работ.

Поскольку каждый член ГПР принимает решения независимо от других, исходя из своих собственных интересов и целей, максимально возможное число индивидуальных предпочтений равно числу членов ГПР. При коллективном принятии решений могут также возникать коалиции, куда входят участники, имеющие совпадающие интересы. Тогда каждая коалиция может рассматриваться как самостоятельный член группы, принимающей решения, и общее число индивидуальных предпочтений уменьшается.

При принятии коллективного решения и индивидуумы, и коалиции могут придерживаться различных стилей поведения: статускво, конфронтация, рациональность. В случае статус-кво участники слабо взаимодействуют друг с другом, стараются сохранять сложившуюся ситуацию. Такие взаимоотношения характерны для поведения независимых участников экономического рынка. При конфронтации участники действуют так, чтобы нанести максимальный ущерб другим участника, рассматривая их как противников. При этом они могут навредить и самим себе. Такие взаимоотношения характерны для локальных военных действий, конфликтных ситуаций, спортивных игр. Участники, ведущие себя рационально, стремятся действовать в своих интересах так, чтобы получить максимальную для себя выгоду, необязательно нанося ущерб другим участникам. В ряде случаев участникам выгодно объединяться, становясь союзниками, иногда выгоднее оставаться противниками.

Задача коллективного выбора отличается от задачи индивидуального рационального выбора наличием нескольких действующих лиц. Достаточно трудным является ответ на вопрос, что считать рациональным коллективным решением. Чтобы найти коллективное предпочтение, требуется каким-то образом объединить и согласовать друг с другом индивидуальные предпочтения членов ГПР. Для взаимного учета индивидуальных интересов устанавливается некоторый принцип согласования, который позволяет выделить наилучшие с коллективной точки зрения варианты. Укажем наиболее известные принципы согласования интересов участников при коллективном выборе.

• Принцип Курно. Все члены ГПР имеют различные собственные интересы и делают свой выбор независимо друг от друга, т. е. число коалиций равно числу членов ГПР. Тогда никакому участнику по отдельности невыгодно менять свое предпочтение, так как это может только ухудшить принятое решение.

• Принцип Парето. Все члены ГПР имеют общие интересы и делают свой выбор согласованно, т.е. имеется одна-единственная коалиция. Тогда всем участникам вместе не выгодно менять свои предпочтения, так как это может только ухудшить принятое решение.

• Принцип Эджворта. Все члены ГПР входят в коалиции, число которых может быть любым (от одного до равного числу членов ГПР), и делают свой выбор в интересах своей коалиции. Тогда никакой коалиции невыгодно менять свои предпочтения, так как это может только ухудшить принятое решение.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий принципы согласования интересов, которые применяются во многих задачах принятия решений.

Пример. Пусть группа, принимающая решение, состоит из двух участников, и имеется два варианта решения проблемы Ai, и Aj. Каждый участник, исходя из своих предпочтений, может выбрать любой из вариантов. Поэтому возможны всего четыре комбинации группового выбора. Вариант, выбранный одним из участников, обозначен соответствующим верхним индексом в угловых скобках. Так, Ai?1? A?j2?

означает, что вариант Ai выбрал первый участник, а вариант Aj - второй участник. Члены ГПР выразили свои индивидуальные предпочтения, поставив каждую из комбинаций на первое, второе, третье или четвертое место (табл.4.1).

Согласно принципу Курно, наилучшим решением является ситуация Ai?1? Ai?2? , где каждый член ГПР предпочитает вариант Ai.

Действительно, если первый участник выбрал вариант Ai, то второму также выгодно принять такое же решение, и наоборот.

Таблица 4.1 Индивидуальные предпочтения участников

Участник Ai?1? Ai?2? Ai?1? A?j2? A?j1? Ai?2? A?j1? A?j2? 1 2 1 4 3 2 2 4 1 3 Ситуация Ai?1? Aj?2? более выгодна, чем ситуация A?j1? A?j2? , но является неустойчивой. Если первый участник захочет улучшить свое положение за счет второго участника, выбрав более предпочтительную для себя комбинацию Ai?1? A?j2? , то второй участник может отве-

тить тем же, выбрав комбинацию A?j1? Ai?2? и ухудшив положение первого. Согласно принципу Парето, лучшими ситуациями являются

Ai?1? Ai?2? , Ai?1? A?j2? и A?j1? Ai?2? . Согласно принципу Эджворта, лучшей ситуации не существует.

Механизмы и процедуры голосования

Голосование - один из наиболее распространенных и давно известных способов коллективного принятия решений, который применяется для выбора наиболее предпочтительного для всех варианта в различных по размеру группах [14, 15].

Разные системы голосования отличаются используемыми процедурами сравнения вариантов, правилами подсчета голосов и определения победителей, формами организации и проведения выборов. "Честные" выборы предполагают независимость избирателей, свободу волеизъявления голосующих, отсутствие нарушений установленных процедур и правил голосования. Вместе с тем, как оказалось, разные системы голосования могут давать различные результаты даже при соблюдении всех условий "честности" выборов.

Голосование объединяет два механизма: индивидуальный выбор избирателей и подведение итогов выборов, которые обычно выполняются разными людьми. Индивидуальный выбор осуществляется всеми избирателями, которыми могут быть жители страны, области или города, члены комитета или жюри. Очевидно, механизмы голосования и волеизъявления должны быть простыми и понятными для всех избирателей. Для выявления индивидуальных предпочтений избирателей применяются две основные разновидности процедур: неранжирующая и ранжирующая.

В неранжирующей процедуре голосования каждый избиратель отдает свой голос за один или несколько имеющихся вариантов. В одних процедурах следует голосовать только за определенное число вариантов, например, за одного кандидата на парламентских выборах или за нескольких претендентов по числу лиц, избираемых в состав руководящего органа; в других процессах допускается голосование за любое произвольное число вариантов. Голоса, поданные за каждый вариант, суммируются.

В ранжирующих процедурах голосования требуется, чтобы каждый избиратель оценивал все имеющиеся варианты. В одних случаях предлагается полностью или частично упорядочить все варианты по предпочтительности и расположить их в порядке убывания предпочтительности; в других необходимо провести парное сравнение вариантов и указать предпочтительность одного из них.

Результаты голосования подводит независимая избирательная комиссия по определенным правилам. Механизм подсчета голосов может быть и не очень простым по сравнению с механизмом голосования, но он должен быть прозрачным, точным и эффективным.

При подсчете голосов учитывается ряд дополнительных условий. Если все избиратели являются равноправными участниками, то обычно один голосующий имеет 1 голос или m голосов по числу сравниваемых вариантов при так называемом кумулятивном голосовании. В последнем случае голосующий должен по своему усмотрению распределить эти m голосов между произвольными вариантами. Если избиратели неравноправны, то каждый из них располагает определенным и, как правило, неравнозначным числом голосов. Например, председатель жюри или генеральный директор компании имеет право на два голоса при рассмотрении спорных ситуаций; акционер имеет число голосов, равное количеству принадлежащих ему акций; выборщики на выборах президента США имеют число голосов, равное числу избирателей штата, и все эти голоса отдаются одному кандидату, победившему в штате на промежуточных выборах.

Правила определения победителя

Для определения лучшего по итогам голосования варианта наиболее часто используются следующие правила [15]:

• один голос "за" или 1-большинство голосов - лучшим считается вариант, за который проголосовал хотя бы один участник, а остальные участники воздержались от выбора;

• относительное большинство голосов - лучшим считается вариант, за который проголосовало большинство участников (больше, чем за любой другой вариант, но необязательно более половины от общего числа голосов);

• простое большинство голосов - лучшим считается вариант, за который проголосовало простое большинство участников (более половины от общего числа голосов);

• абсолютное или квалифицированное большинство голосов - лучшим считается вариант, за который проголосовало больше заранее заданного числа участников (например, более двух третей или более трех четвертей от общего числа голосов);

• (k1,k2 ) - большинство голосов - лучшим считается вариант, за который проголосовало не менее чем k1 участников и против

- не более чем k2 участников;

• единогласие - лучшим считается вариант, за который проголосовали все участники;

• вето - вариант не выбирается, если против него проголосовал хотя бы один участник независимо от результатов голосования остальных участников.

Каждому из правил большинства голосов можно сопоставить некоторое мажоритарное отношение, по которому определяется победитель при парном сравнении вариантов. Все правила большинства голосов можно объединить одним правилом k-большинства, где число k устанавливает порог большинства голосов или так называемую квоту. Участники, проголосовавшие одинаково, представляют собой коалицию.

В применяемых на практике системах голосования используются разные виды итогового коллективного выбора. В качестве основных результатов выбора укажем: выбор единственного варианта из имеющихся; выбор заданного числа вариантов; выбор произвольного числа вариантов; упорядочение всех или определенной части вариантов. Так, в системе мягкого рейтинга каждый участник может голосовать за любое произвольное число имеющихся вариантов. Победитель определяется по правилу относительного большинства голосов. Такая система голосования часто используется в парламентах.

Системы голосования различаются также формами своей организации (одно-, многотуровые), правилами определения победителей каждого тура. В многотуровых процедурах коллективного принятия решений процесс поиска победителя или итогового упорядочения вариантов разбивается на несколько туров или этапов, на каждом из которых может использоваться своя система голосования, свои правила подсчета голосов и определения победителей, выходящих в следующий тур выборов. Например, в системе голосования, основанной на процедуре исключения худшего варианта, каждый участник попарно сравнивает все варианты по предпочтительности. Вариант, признанный худшим большинством голосов участников, исключается из рассмотрения. Процедура повторяется до тех пор, пока не останется единственный лучший вариант.

Победители конкурсов определяются коллективным решением жюри, которое обычно также принимается голосованием. Если конкурс проводится в несколько туров и по разным группам участников (например, в музыкальном конкурсе принимают участие пианисты, скрипачи, виолончелисты и другие музыканты), то вначале специализированные по номинациям жюри проводят последовательный отсев участников, допуская к следующему туру только часть лучших исполнителей. На заключительном туре определяются победители по каждому виду конкурса, занявшие первое, второе и третье места. На окончательное распределение мест могут повлиять оценки, полученные участниками на каждом из туров, а также состав участников.

Для оценки применимости той или иной системы голосования весьма существенно установить, какие правила необходимы и достаточны в реальных условиях, чтобы адекватно упорядочить кандидатов и/или определить победителя.

Контрольные вопросы для самопроверки

1. Перечислите и дайте краткую характеристику составу участников процесса принятия решения.

2. Каковы этапы жизненного цикла решения проблемы?

3. Как классифицируются задачи принятия решений?

4. Какова формальная постановка задачи принятия решений?

5. Виды предпочтений ЛПР.

6. Перечислите модели предпочтения.

7. Виды шкал.

8. Понятие "критерий".

9. Общая характеристика многокритериальной задачи.

10. Агрегирование и нормирование оценок.

11. Понятие оптимального выбора.

12. Формальная постановка задачи оптимального выбора.

13. Классификация задач и методов оптимального выбора.

14. Постановка задачи выбора в условиях определенности.

15. Постановка задачи линейного программирования.

16. Оценка важности критериев.

17. Понятие свертки критериев.

18. Виды неопределенности при решении задач принятия решений.

19. Понятие рационального выбора.

20. Иерархический подход к выбору вариантов.

21. Суть метода анализа иерархий.

22. Понятие коллективного выбора.

23. Механизмы и процедуры голосования.

Библиографический список

1. Белкин А.Р. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации / А.Р. Белкин, М.Ш. Левин. - М.: Наука, 1990. - 160 с.

2. Борисов А.Н. Диалоговые системы принятия решений на базе мини-ЭВМ: Информационное, математическое и программное обеспечение / А.Н. Борисов, Э.Р. Вилюмс, Л.Я. Сукур. - Рига: Зинатне, 1986. - 196 с.

3. Борисова Л.В. Методы анализа и оценки в менеджменте качества: учеб. пособие / Л.В. Борисова, В.П. Димитров. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2009. - 200 с.

4. Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях /

М.Г. Гафт // Знание, 1979. - № 7. - 64 с.

5. Гафт М.Г. О построении решающих правил в задачах принятия решений / М.Г. Гафт, В.В. Подиновский // Автоматика и телемеханика. -1981. - №6. - С.130-138.

6. Гафт М.Г. Метод оценки технического уровня изделий машиностроения / М.Г. Гафт, В.И. Сергеев // Машиноведение. - 1986.

- №6. - С.50-53 .

7. Димитров В.П. Введение в теорию нечетких множеств:

учеб. пособие / В.П. Димитров, Л.В. Борисова. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2009. - 84 с.

8. Димитров В.П., Борисова Л.В. Формализация нечетких экспертных знаний при лингвистическом описании технических систем / В.П. Димитров, Л.В. Борисова. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2011. - 209 с.

9. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений / Л.А. Заде // Математика сегодня. - М.: Знание, 1974. - С. 5-49.

10. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л.А. Заде. - М.:

Мир, 1976. - 165 с.

11. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа / Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1981. - 488 с.

12. Надежность и эффективность в технике: справ. в 10 т.

Т.3. Эффективность технических систем / под общ. ред. В.Ф. Уткина,

Ю.В. Крючкова. - М.: Машиностроение, 1988. - 328 с.

13. Надежность и эффективность в технике: справ. в 10 т. Т.7. Качество и надежность в производстве / под ред. И.В. Апполонова. - М.: Машиностроение, 1989. - 280 с.

14. Науман Э. Принять решение, но как? / Э. Науман. - М.: Мир, 1987. - 198 с.

15. Петровский А.Б. Теория принятия решений: учебник для студ. высш. учеб. заведений / А.В. Петровский. - М.: Издательский центр "Академия".- 2009.-400 с.

16. Птускин А.С. Нечеткие модели и методы в менеджменте / А.С. Птускин.- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2008.

17. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: в 2-х кн. / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел; пер. с англ. - М.: Мир. 1986. - 700 с.

18. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Т. Саати: пер. с англ. - М., Радио и связь, 1993.- 189 с.

19. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем / Т. Саати, К. Кернс; пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1991. - 224 с.

20. Вартазаров И.С. Экспертные оценки и их применение в энергетике / И.С. Вартазаров, И.Г. Горлов, Е.В. Минаев, Р.М. Хвастунов; под ред. Р.М. Хвастунова. - М.: Энергоиздат, 1981. - 188 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение........................................................................................... 3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ .................................. 4

1.1. Решение, выбор ............................................................. 4

1.2. Жизненный цикл решения проблемы ........................... 19

1.3. Постановка задачи принятия решений ........................ 21

1.4. Классификация задач принятия решений ................... 23

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ......................................................... 26

2.1. Постановка задачи оптимизации в условиях опреде-

ленности .......................................................................... 26

2.2. Задача линейного программирования ......................... 29

2.3. Выбор при нечеткой исходной информации ............... 37

3. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА .................................................... 41

3.1. Общие сведения ............................................................. 41

3.2. Методика экспертных оценок ....................................... 49

3.3. Методика построения обобщенного критерия эф-

фективности.................................................................... 57

3.4. Метод анализа иерархий .............................................. 63

4 .РАЦИОНАЛЬНЫЙ ВЫБОР ........................................................... 75

4.1. Характеристика задачи рационального выбора ......... 75

4.2. Понятие коллективного выбора ................................... 77

Контрольные вопросы для самопроверки..................................... 85

Библиографический список ........................................................... 86

Учебное издание

Борисова Людмила Викторовна,

Димитров Валерий Петрович

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

Редактор В.Ф. Лавриченко

Компьютерная обработка: И.В. Кикичева

Тем. план 2013 г.

____________________________________________________________ В печать 19.02.2013.

Объём 5,6 усл. п.л. Офсет. Формат 60х84/16.

Бумага тип №3. Заказ №108. Тираж 200 экз. Цена свободная

____________________________________________________________

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия:

344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,1.

2 1

Показать полностью… https://vk.com/doc108628582_439998898
716 Кб, 21 декабря 2016 в 22:30 - Россия, Ростов-на-Дону, ДГТУ (бывш. РИСХМ), 2016 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении