Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 000154 из ДГТУ (бывш. РИСХМ)

ФИЗИКА

Задания для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы студентов

Часть 1

Механика.

Молекулярная физика и термодинамика

Ростов-на-Дону 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФИЗИКА

Задания для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы студентов

Часть 1

Механика.

Молекулярная физика и термодинамика

Учебное пособие

Ростов-на-Дону 2011

УДК 530.1 Ф 48

Авторский коллектив:

С.И. Егорова, В.С. Ковалева, В.С. Кунаков,

Г.Ф. Лемешко, Ю.М. Наследников

Ф 48 Физика: Задания для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы студентов. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / С.И. Егорова и др. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2011. - 54 с.

ISBN 978-5-7890-0601-6

Цель пособия - обеспечение личностно-ориентированного подхода к практическим занятиям по общему курсу физики с учетом степени подготовки студентов и количества аудиторных часов, выделяемых на лекционные и практические занятия.

Пособие предназначено для обучения и контроля работы студентов на практических занятиях по разделу "Механика. Молекулярная физика и термодинамика" в течение первого семестра обучения.

УДК 530.1

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Донского государственного технического университета

Научный редактор д-р техн. наук, проф. В.С. Кунаков

Рецензент канд. хим. наук, доц. каф. физики Педагогического института ЮФУ

Д.Г. Барсегов

ISBN 978-5-7890-0601-6 (c) Издательский центр ДГТУ, 2011

Общие методические указания

При решении и оформлении задач необходимо соблюдать следующие требования:

1. Записать краткое условие задачи, выразить все известные величины в одной и той же системе единиц (как правило, в СИ). При необходимости ввести дополнительные постоянные физические величины.

2. Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими объяснениями. При необходимости дать чертеж или график.

3. Решать задачу надо первоначально в общем виде, выразив искомую величину в буквенных обозначениях, заданных в условии задачи, затем произвести вычисления.

В конце каждой задачи дан ответ, кроме тех случаев, когда решение задачи предполагает только буквенное решение.

В течение семестра студенты выполняют две контрольные работы: первую - по механике, вторую - по молекулярной физике и термодинамике.

Результаты контроля аудиторной и самостоятельной работы студентов на практических занятиях учитываются лектором при приеме экзаменов и дифференцированных зачетов.

1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

Основные законы и формулы

? Средняя и мгновенная скорости материальной точки

?? ???r ??dr ???? , ?? ,

?tdt

?? где ?r - перемещение точки за время ?t , r - радиус-вектор, оп-

ределяющий положение точки.

? • Для прямолинейного равномерного движения (?? const )

S ?? , t

где S - путь, пройденный точкой за время t .

• Среднее и мгновенное ускорения материальной точки:

?? ???? ??d? ? a ?? , a ? .

?tdt

? Полное ускорение при криволинейном движении:

????22 a ? a? ? an , a ? a? ? an ,

d? dt где a? ?- тангенциальная составляющая ускорения, направ-

?2

ленная по касательной к траектории; an ?- нормальная состав-

R ляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории

( R - радиус кривизны траектории в данной точке).

? Путь и скорость для равнопеременного движения матери??альной точки (a ? const ):

at 2

S ??0t ?; ???0 ? at , 2

где ?0 - начальная скорость, "+" соответствует равноускоренному движению, "-" - равнозамедленному. ? Угловая скорость

? ??d? ??. dt • Угловое ускорение

??d??

??. dt • Угловая скорость для равномерного вращательного движения твердого тела

? 2? ?? ? ?2?v, tT

N где ?- угол поворота тела; T - период вращения; v ? - часто-

t та вращения ( N - число оборотов, совершаемых телом за время t ). ? Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного ?

вращательного движения твердого тела (?? const ):

?t 2 ???0t ? ; ???0 ??t , 2

где ?0 - начальная угловая скорость, "+" соответствует равноускоренному вращению, "-" - равнозамедленному.

? Связь между линейными и угловыми величинами:

S ? R?; ?? R?; a? ? R?; an ??2 R,

где R - расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Задания

1.1. Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а обратно - со скоростью 16 км/ч. Найдите: 1) среднюю скорость парохода, 2) скорость течения реки. [12,3 км/ч; 0,83 м/с].

1.2. Скорость течения реки 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды 6 км/ч. Определите, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки. [60°].

1.3. Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью 16 км/ч, вторую половину времени - со скоростью 12 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста. [14 км/ч].

1.4. Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью 16 км/ч, вторую половину пути - со скоростью 12 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста. [13,7 км/ч].

1.5. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Далее в течение половины оставшегося времени он ехал со скоростью 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью 5 км/ч. Определите среднюю скорость движения студента на всем пути. [11,1 км/ч].

1.6. После удара клюшкой шайба скользит по льду с постоянным ускорением. В конце пятой секунды после начала движения ее скорость была равна 1,5 м/с, а в конце шестой секунды шайба остановилась. С каким ускорением двигалась шайба, какой путь прошла и какова была ее скорость на расстоянии 20 м от начала движения?

[1,5 м/c2; 27 м; 4,6 м/с].

1.7. Тело, брошенное вертикально вверх, через 3 с после начала движения имело скорость 7 м/с. На какую максимальную высоту относительно места броска поднялось тело? Считать g ? 9,8м/с2.

Сопротивлением воздуха пренебречь. [67,6 м].

1.8. Тело падает вертикально с высоты 19,6 м с нулевой начальной скоростью. Какой путь пройдет тело: 1) за первую 0,1 с своего движения, 2) за последнюю 0,1 с своего движения? Считать g ? 9,8м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь. [0,049 м; 1,9 м].

1.9. Тело падает вертикально с высоты 19,6 м с нулевой начальной скоростью. За какое время тело пройдет: 1) первый метр своего пути, 2) последний метр своего пути? Считать g ? 9,8м с/ 2 .

Сопротивлением воздуха пренебречь. [0,4 с; 0,05 с].

1.10. С башни в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью 10 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени t = 2 с после начала движения:

1) скорость тела; 2) радиус кривизны траектории. Считать g ? 9,8м с/ 2 . [22 м/с; 109 м].

1.11. Камень брошен горизонтально со скоростью 5м/с. Определите нормальное и тангенциальное ускорения камня через 1 с после начала движения. Считать g ? 9,8м с/ 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь. [4,45 м/с2; 8,73 м/с2].

1.12. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найдите радиус кривизны траектории камня через 3 с после начала движения. Считать g ? 9,8м с/ 2 . Сопротивление воздуха не учитывать. [305 м].

1.13. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом r = 2,5 см с постоянным тангенциальным ускорением a? =0,5 см/с2. Определите: 1) момент времени, при котором вектор

?? ускорения а образует с вектором скорости ? угол 45°; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой. [1) 5с; 2) 1,25 см]

1.14. Линейная скорость точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска.

[9 см].

1.15. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 3 рад/с2. Определите радиус колеса, если через 1 с после начала движения полное ускорение колеса 7,5 м/с2. [79 см].

1.16. Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного ими пути задается уравнениями S1 ? At ? Bt2 и

S2 ?Ct ? Dt2 ? Ft3. Определите закон изменения относительной скорости автомобилей.

1.17. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x1 ? A1 ? Bt1 ?Ct1 2 и x2 ? A2 ? B t2 ?C t2 2, где

B1 ? B2 , C1 ??2м с/ 2 , C2 ?1м с/ 2. Определите: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения a1 и a2 для этого момента. [1) 0; 2) - 4 м/с2; 2 м/с2].

1.18. Диск вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением ? ? At ? Bt2 ( A = 0,3 м/с2, B = 0,1 м/с3). Определите радиус, если к концу 2-й секунды движения вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол ? = 86°. [0,1 м].

1.19. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r ? 4м , задается уравнением an ? At2, где A=4 м/с4.

Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2 = 1 с. [1)4 м/с2; 2)50 м; 3) 4 2 м/с2].

1.20. Зависимость пройденного телом пути s от времени t выражается уравнением s ? At ? Bt2 ?Ct3 ( A = 2 м/с, B = 3 м/с2, C = 4 м/с3). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t ? 2c после начала движения пройденный путь, скорость и ускорение. [24 м; 38 м/с; 42 м/с2].

1.21. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением s ? A? Bt ?Ct2 , где A=5м, B =4м/с, C =1м/с2. Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t ? 3c после начала движения пройденный путь, скорость и ускорение. [2м; 2м/с; 2 м/с2].

1.22. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением s ? A? Bt ?Ct2 ? Dt3, где A=0,1м, B =0,1м/с,

C =0,14м/с2, D =0,01м/с3. 1. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1м/с2? 2. Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени? [1) через 12с; 2) 0,64 м/с2].

1.23. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением s ? A? Bt ?Ct2 , где A=6м, B =3м/с, C =2м/с2.

Найдите среднюю скорость и среднее ускорение в интервале времени от 1с до 4с. [?=7м/с; a =4м/с2].

1.24. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r ? 3м задается уравнением s ? At2 ? Bt ( A= 0,4 м/с2,

B = 0,1 м/с). Для момента времени t ?1с после начала движения определите нормальное, тангенциальное и полное ускорения. [0,27 м/с2; 0,8 м/с2; 0,84 м/с2].

1.25. Радиус-вектор материальной точки изменяется со вре-

?3?2????

менем по закону r ? t i ?3t j , где i j, - орты осей x и y . Определите для момента времени t = 1 с модуль скорости и модуль ускорения. [6,7 м/с; 8,48 м/с2].

1.26. Радиус-вектор материальной точки изменяется со вре-

?2??? менем по закону r ? 4t i ?3tj ? 2k . Запишите зависимости скорости и ускорения от времени. Определите модуль скорости в момент времени t = 2 с. [16,3 м/с].

1.27. Диск радиусом 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ? ? A? Bt ?Ct2 ? Dt3 (B =1 рад/с,

C =1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения тангенциальное, нормальное и полное ускорения. [1,4 м/с2; 28,9 м/с2; 28,9 м/с2].

1.28. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ? ? At2 ( A=0,5 рад/с2). Определите к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

[1) 2 рад/с; 2) 1 рад/с2; 3) 0,8 м/с2; 3,2 м/с2; 3,3 м/с2].

1.29. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ? ? At2 ( A=0,1рад/с2). Определите полное ускорение точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если в этот момент линейная скорость этой точки 0,4 м/с. [0,25 м/с2].

1.30. Диск радиусом 0,2 м вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением? ? 5At2, где A ?1рад с/ 3 . Определите для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения полное ускорение и число оборотов, сделанных диском за первую минуту движения. [5,8 м/c2; 15, 9].

1.31. Диск радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ? ? A? Bt3 ( A = 2 рад, B = 4 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение в момент времени 2 с; 2) тангенциальное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса 45°.

[1) 230 м/с2; 2) 4,8 м/с2; 3) 2,67 рад].

1.32. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения 50 с-1, после выключения тока, сделав 628 оборотов, остановился. Определите угловое ускорение якоря. [12,5 рад/с2].

1.33. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За время 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,157 рад/с2; 2) 300].

1.34. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение колеса. [3,2 рад/с2].

1.35. Колесо спустя 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найдите угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных колесом за эту минуту. Движение считать равноускоренным. [1,26 рад/с2; 360].

1.36. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило частоту вращения за 1 мин с 300 до 180 об/мин. Найдите угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных за это время. [ 0,21 рад/с2; 240].

2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Основные законы и формулы

• Импульс материальной точки

?? P?m?, ? где m - масса материальной точки; ? - скорость движения.

• Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

??d??dP?

F ? ma ? m?. dtdt

• Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории движения точки:

d?m?22 F? ? ma? ? m ; Fn ?man ??m?R , dtR d?

где a? ? - тангенциальное (касательное) ускорение;

dt ?22 an ? ??R - нормальное (центростремительное) уско-

R рение.

? Сила трения скольжения

Fтр ? ?N ,

где ? - коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.

? Сила упругости

F ??kx , где x - величина деформации; k - коэффициент жесткости. ? Сила гравитационного притяжения двух материальных точек m1m2

F ? G2,

r где G ? 6,67?10?11 м3 /(кг ?с2 )- гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих точек; r - расстояние

между точками.

• Закон сохранения импульса для замкнутой системы

?n? P ??mi?i ? const

i?1 где n- число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Общая скорость тел после неупругого соударения

m1?1 ? m2?2 ??, m1 ? m2

где m1 и m2 - массы тел; ?1 и ?2 - их скорости до взаимодействия.

• Скорости тел после упругого соударения:

?m1 ?m2 ??1 ? 2m2?2?m2 ?m1 ??2 ? 2m1?1 u1 ?; u2 ?. m1 ?m2m1 ?m2

• Работа, совершаемая телом,

dA ? Fsds ? Fdscos?,

где Fs - проекция силы на направление перемещения; ? - угол между направлениями силы и перемещения.

• Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

A??Fsds??Fcos?ds.

ss • Средняя мощность за промежуток времени ?t

?A ?t N ?, где ?A - работа за промежуток времени ?t .

? Мгновенная мощность

dA?? N ? , или N?F??Fs??F?cos?. dt

? Кинетическая энергия движущегося со скоростью ? тела массой m

m?2 EK ? . 2 ? Потенциальная энергия тела массой m , поднятого над поверхностью земли на высоту h,

EП ? mgh,

где g - ускорение свободного падения.

? Потенциальная энергия упругодеформированного тела

kx2 ЕП ? . 2

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия m1m2

ЕП ??G.

r • Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

ЕK ? ЕП ? E ? const .

Задания

2.1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону s ? A? Bt ?Ct2 ? Dt3 (C = 2 м/с2, D = 0,4 м/с3). Определите си-

лу, действующую на тело в конце первой секунды движения. [3,2 Н].

2.2. Тело массой m движется так, что зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением s ? Acos?t , где A и ? - постоянные. Запишите закон изменения силы от времени.

[F ? ?m A?2 cos?t ].

2.3. Под действием постоянной силы 9,8 Н тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного пути от времени даётся уравнением s ? A? Bt ?Ct2 , где С ?1м с/ 2. Найдите массу тела. [4,9 кг].

2.4. Тело массой m движется в плоскости xy по законам x ? Acos?t , y ? Bsin?t , где A, B и ? - некоторые постоян-

ные. Определите модуль силы, действующей на это тело. [F m? ?2 x2 ?y2 ].

2.5. Два груза (m1 ? 500г и m2 ? 700г) связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 1). К

?грузу m1 приложена горизонтально F

направленная сила F = 6Н. Пренебрегая трением, определите: 1) уско-

Рис. 1 рение грузов; 2) силу натяжения нити. [1) 5 м/с2; 2) 3,5Н].

2.6. Два груза одинаковой массы (m1 ? m2 ? 500г ) связаны невесомой нитью и лежат на горизонтальной поверхности (см.рис. 1). К одному грузу приложена горизонтально направленная сила F =5 Н. Коэффициент трения каждого груза о поверхность равен

0,1. Определите: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити.

[1) 4 м/с2; 2) 2 Н].

2.7. Тело массой 2 кг падает вертикально с ускорением 5 м/с2. Определите силу сопротивления тела о воздух. [10 Н].

2.8. К нити подвешен груз массой 500 г. Определите силу натяжения нити, если нить с грузом поднимать с ускорением 2м/с2.

[6 Н]. 2.9. К нити подвешен груз массой 500 г. Определите силу натяжения нити, если нить с грузом опускать с ускорением 2м/с2. [4 Н].

2.10. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, подвешены грузы массами 0,3 и 0,2 кг. С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения шнура во время движения? [2м/с2; 2,4 Н].

2.11. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 0,3 и 0,34 кг. За 2 с после начала движения каждый груз прошёл путь 1,2 м. По данным опыта найдите ускорение свободного падения. [9,6 м/с2].

2.12. На рис. 2 изображена система блоков, к которым подвешены грузы

Рис. 2 массами m1 = 200 г и m2 = 500 г. Счи-

тая, что груз m1 поднимается, а подвиж-

ный блок с грузом m2 опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити; 2) ускорения, с которыми движутся грузы. [1) 2,3 Н; 2) a1 = 1,54 м/с2, 3) a2 = 0,77 м/с2].

2.13. Под действием груза массой m1=100 г (рис. 3) брусок массой m2 =400 г проходит из состоя-

ния покоя путь 80 см за 2 с. Найдите m2

2.14. Грузы одинаковой массы (m1=m2 = 0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (см.рис. 3). Коэффициент трения груза m2 о стол 0,15. Пренебрегая трением в блоке, определите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения нити. [1) 4,25 м/с2; 2 ) 2,875 Н].

2.15. Система грузов (см.рис.3) массами m1=0,6 кг и m2 =0,5 кг находится в лифте, движущемся вверх с ускорением a =5 м/с2. Определите силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массой m2 и опорой 0,1. [4,5 Н].

2.16. Тело A массой 2 кг (рис.4) находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами B (m1= 0,5 кг) и C (m2 = 0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которым будут двигаться эти тела; 2) разность сил натяжения

нитей. [1) 0,7 м/с2; 2) 1,4 Н]. Рис. 4

2.17. С каким ускорением движется система, изображённая на рис. 4, если масса тел A и B равна m ?1кг, а масса тела C равна 2m . Коэффициент трения равен 0,2.

Определите силы натяжения нити, связывающей тела A и B , и силы натяжения нити, связывающей тела A и С . [2,7 м/с2; 12,7 Н; 14,6 Н].

2.18. По наклонной плоскости с углом наклона к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15.

[7,4 м/с].

2.19. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином 0,15. Определите ускорение, с которым движется тело, время прохождения тела вдоль клина и скорость тела у основания клина. [3,7 м/с2; 1,04 с; 3,85 м/с].

2.20. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоско-

сти, надо приложить, чтобы тянуть груз вверх с ускорением 1 м/с2?

Коэффициент трения 0,2. [430 Н].

2.21. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить, чтобы удержать этот груз? Коэффициент трения 0,2. [220 Н]

2.22. Вагон массой 1 т спускается по канатной железной дороге с уклоном ? = 15° к горизонту (рис. 5). Принимая коэффициент трения 0,05, определите силу натяжения каната при торможении вагона в конце спуска, если ско-

Рис. 5 рость вагона перед торможением 2,5 м/с, а время торможения 6с. [2,48 кН]. 2.23. В установке (рис.6) угол ? наклонной плоскости с горизонтом равен 30°, массы тел m1=200 г и m2 =300 г. При этом те-

ло массой m1 движется вверх по наклонной плоскости. Коэффициент трения 0,1. Считая нить и блок невесомыми, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела, и силу натяжения нити. [2,29 м/с2 ; 1,9 Н].

2.24. В установке (см.рис.6)

Рис. 6 угол ? наклонной плоскости с горизонтом равен 30°, массы тел

m1=500 г и m2 =200 г. При этом тело массой m1 движется вниз по наклонной плоскости. Коэффициент трения 0,1. Считая нить и блок невесомыми, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела, и силу натяжения нити. [0,15 м/с2; 2,03 Н].

2.25. На тело (рис. 7) массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (?= 30°), действует горизонтально направленная сила F = 8 Н. Коэффициент трения 0,1. Определите ускорение тела. [4,9 м/с2].

2.26. В установке (рис. 8) углы ?

и ? с горизонтом соответственно равны Рис. 7

19 Рис. 8

30° и 45°, массы тел m1=0,45 кг и m2=0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которым движутся тела; 2) силу натяжения нити. [1) 1,35 м/с2; 2) 2,86 Н].

2.27. В установке (см. рис. 8) углы ? и ? с горизонтом соответственно равны 30° и 45°, массы тел m1 ? m2 =1 кг. Коэффициент трения каждого тела о плоскость равен 0,1. Считая нить и блок невесомыми определите: 1) ускорение, с которым движутся тела; 2) силу натяжения нити. [1) 0,25 м/с2; 2) 6,1 Н].

2.28. К потолку вагона, движущегося в горизонтальном направлении с ускорением 10 м/с2, подвешен на нити шарик массой

200 г. Определите для установившегося движения: 1) силу натяжения нити; 2) угол отклонения нити от вертикали. [1) 2,8 Н; 2) 45°].

2.29. Камень, привязанный к верёвке длиной 50 см, вращается в вертикальной плоскости. Найдите, при каком числе оборотов в секунду верёвка оборвётся, если известно, что она разрывается при нагрузке, равной десятикратному весу камня. [2,1 об/с] .

2.30. Камень, привязанный к верёвке, вращается в вертикальной плоскости. Найдите массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями верёвки равна 10 Н. [0,5 кг].

2.31. Гирька, привязанная к нити длиной 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 15 см. Найдите частоту вращения гирьки. [59 об/мин].

2.32. Диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой 30 об/мин. На расстоянии 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент трения между диском и телом, чтобы тело не скатилось с диска? [0,2].

2.33. С какой скоростью должен ехать автомобиль массой 2 т по выпуклому мосту с радиусом кривизны 40 м, чтобы в верхней точке он перестал оказывать давление на мост? [72 км/ч].

2.34. Шар массой 10 кг сталкивается с шаром массой 4 кг. Скорость первого шара 4 м/с, второго 12 м/с. Найдите общую скорость шаров после удара в двух случаях: когда малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении, и когда шары движутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, центральным, неупругим. [6,29 м/с; 0,57 м/с].

2.35. Шар массой 200 г, движущийся со скоростью 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упругий. Определите проекции скоростей шаров после удара. (Направление оси выбрать по движению первого шара до удара). [- 6 м/с; 4 м/с].

2.36. Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляет 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в том же направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с. Найдите скорость меньшего осколка. [-12,5 м/с].

2.37. Человек, стоящий в лодке, сделал шесть шагов вдоль лодки и остановился. На сколько шагов передвинулась лодка, если: 1) масса лодки в два раза больше массы человека; 2) масса лодки в два раза меньше массы человека? [2 шага; 4 шага].

2.38. В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка плывет со скоростью 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4м/с относительно лодки. Найдите скорость лодки после прыжка человека: а) вперед по движению лодки; б) в сторону, противоположную движению лодки. [1м/с; 3 м/с].

2.39. Тележка, масса которой (без человека) 120 кг, движется по инерции по горизонтальной плоскости со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30? к направлению ее движения. Скорость тележки уменьшается при этом до 4 м/с. Какова была скорость прыжка относительно плоскости? [10,4 м/с].

2.40. Шарик массой 10 г падает на горизонтальную плоскость с высоты 27 см. Найдите среднюю силу удара в следующих случаях: а) шарик пластилиновый (абсолютно неупругий удар); б) шарик и плоскость из стали (абсолютно упругий удар); в) шарик пластмассовый и после удара поднимается на высоту 12 см. Длительность удара шарика с плоскостью 0,03 с. [0,77 Н; 1,53 Н; 1,28 Н].

2.41. Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2 . Считая удар неупругим и центральным, найдите, какая часть первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в тепло. [m2 /(m1 ? m2)].

2.42. Груз массой 1 кг, висящий на нити, отклоняют на угол 30о. Найдите натяжение нити в момент прохождения грузом положения равновесия. [12,7 Н].

2.43. Груз массой 80 кг поднимают вдоль наклонной плоскости с ускорением 1 м/с2. Длина наклонной плоскости 3 м, угол ее наклона к горизонту равен 30°, а коэффициент трения 0,15. Определите работу, совершаемую подъемным устройством, его среднюю и максимальную мощности. Начальная скорость груза равна нулю.

[1,75 кДж; 715 Вт; 1,43 кВт].

2.44. Автомобиль массой 1,8 т движется равномерно в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1, а также развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин.

[11,7 МДж; 39 кВт].

2.45. Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона 30° к горизонту на расстояние 4 м, если время подъема 2 с, а коэффициент трения 0,06. [1,48 кДж].

2.46. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона ? к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным ?, определите расстояние s , пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки. [s ? h(1??ctg?)/? ] .

2.47. Самолет массой 5 т двигался горизонтально со скоростью 360 км/ч. Затем он поднялся на 2 км. При этом его скорость стала 200 км/ч. Найдите работу, затраченную мотором на подъем самолета. [81 МДж].

2.48. Гиря массой 10 кг падает с высоты 0,5 м на подставку, скреплённую с пружиной жёсткостью 30 Н/см. Определите при этом смещение пружины. [21,6 см].

2.49. С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени 1 с после начала движения кинетическую и потенциальную энергию камня. [39,2 Дж; 59,2 Дж].

2.50. К нижнему концу пружины жесткостью k1 присоединена другая пружина жесткостью k2, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определите отношение потенциальных энергий пружин. [EП1 / EП2 ? k2 /k1].

2.51. Из пружинного пистолета вылетела в горизонтальном направлении пулька, масса которой 5 г. Жесткость пружины

1,25 кН/м. Пружина была сжата на 8 см. Определите скорость пульки при вылете ее из пистолета. [40 м/с].

2.52. Струя воды сечением 6 см2 ударяет о стенку под углом 60° к нормали и упруго отскакивает от стенки без потери скорости.

Найдите силу, действующую на стенку, если известно, что скорость течения воды в струе 12 м/с. [86,4 Н].

2.53. Из реактивной установки массой 0,5 т, находящейся первоначально в покое, в горизонтальном направлении выбрасывается последовательно две порции вещества со скоростью 1000 м/с относительно установки. Масса каждой порции 25 кг. Какой станет скорость установки после выброса второй порции? Трение отсутствует. [-108,2 м/с].

2.54. Снаряд в верхней точке траектории, соответствующей высоте 100 м, разорвался на две части: 1 кг и 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке 100 м/с. Скорость большего осколка оказалась горизонтальной (скорость равна 250 м/с) и совпадающей по направлению со скоростью снаряда. Определите расстояние между точками падения обоих осколков. [1694 м].

2.55. На краю стола высотой h лежит маленький шарик массой m1. В него попадает пуля массой m2 , движущаяся горизонтально со скоростью ?, направленной в центр шарика. Пуля застревает в шарике. На каком расстоянии от стола по горизонтали шарик упадет на землю? [S ? ?m2 2h g/ (m1 ?m2 )].

2.56. Тяжелый шарик, подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити, имеющей длину L , отклоняют от вертикали на угол ? и затем отпускают. Какую максимальную скорость ? приобретет шарик? [?? 2gL?1? ?cos ? ].

3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Основные законы и формулы

? Момент инерции материальной точки

J ? m r 2 , где m - масса точки; r - расстояние до оси вращения.

? Момент инерции механической системы (тела) относительно неподвижной оси

n J ??mi ri2 ,

i?1 где ri - расстояние материальной точки массой mi до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

J ?? r 2dm . • Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m - масса тела):

Тело Положение оси вращения Момент инерции Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиусом R Ось симметрии mR2 Сплошной цилиндр или диск радиусом R Ось симметрии mR2 Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через

его середину ml2 Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через

его конец ml2 Шар радиусом R Ось проходит через центр шара mR2

• Теорема Штейнера

J ? J c ? md 2 ,

где J c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J - момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии d ; m - масса тела.

? Момент силы относительно неподвижной точки????

M ? ?r,F?,

где r - радиус-вектор, проведенный ? из этой точки в точку приложения силы F . Модуль момента силы относительно неподвижной оси

M ? Fl , где l - плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

• Основной закон динамики вращательного движения твер-

дого тела

?? Мdt ? d(J?), ??где М - момент сил, приложенных к телу; ??J ? момент инерции тела относительно оси вращения; ? - угловая скорость тела.

• Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

d? Mz ? Jz? Jz? ,

dt где ? - угловое ускорение; J z - момент инерции тела относительно оси z.

? Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

n Lz ??mi?i ri ? J z?,

i?1 где ri - расстояние от оси z до отдельной частицы тела; mi?i - импульс этой частицы; J z - момент инерции тела относительно оси z ; ? - его угловая скорость.

• Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

?N ? L?? Li ? const .

i?1 • Работа при вращательном движении тела dA?M zd?,

где d? - угол поворота тела; Mz - момент силы относительно оси z .

• Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z ,

J z?2 ЕК ? ,

2 где J z - момент инерции тела относительно оси z ; ? - его угловая скорость.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

ЕК ?m?c2 ? J c?2 ,

где m - масса тела; ?c - скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ? - угловая скорость тела.

• Связь работы и кинетической энергии тела при вращательном движении:

J?22J?12 A ? ? , 22

где J ? момент инерции тела относительно оси вращения; ?1 ? угловая скорость тела в начальном состоянии; ?2 ? угловая скорость тела в конечном состоянии;

Задания

3.1. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов и перпендикулярной плоскости диска. [0,12 кг?м2].

3.2. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. [3?10-2 кг?м2].

3.3. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. [1,75?10-2 кг?м2; 4,75?10-2 кг?м2].

3.4. Тонкий обруч диаметром 56 см и массой 300 г висит на гвозде, вбитом в стену. Определите его момент инерции относительно этого гвоздя. [0,047 кг?м2].

3.5. Однородный шарик массой 100 г подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Определите момент инерции шарика относительно точки подвеса, если длина нити 20 см. [0,0176 кг?м2].

3.6. Определите момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом 20 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через образующую цилиндра. [0,06 кг?м2].

3.7. Однородный шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению ? ? A? Bt2 ?Ct3

(В=2 рад/с2, С = -0,5 рад/с3). Определите момент сил для t = 3 с.

[-0,1 Н?м].

3.8. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого 150 кг?м2, вращается с частотой 240 об/мин. Через время t = 1 мин, после того как на маховик стал действовать момент сил

торможения, он остановился. Определите момент сил торможения и число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. [62,8 Н?м; 120].

3.9. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н?м. Определите массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2. [24 кг].

3.10. Частота вращения маховика, момент инерции которого равен 120 кг?м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = 3,14 мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определите момент сил трения. [16 Н?м].

3.11. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определите момент сил торможения и момент инерции вентилятора.

[0,1 Н?м; 15,9 кг?м2 ].

3.12. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого 1,5 кг?м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту вращения с 240 до 120 об/мин.

Определите угловое ускорение маховика и момент силы торможения.

[0,21 рад/с2; 0,315 Н?м].

3.13. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением ?? А? Вt (В =8 рад/с2). Найдите величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь. [0,4 Н].

3.14. Маховик, момент инерции которого равен 63,6 кг?м2, вращается с постоянной угловой скоростью 31,4 рад/с. Найдите тормозящий момент, под действием которого маховик останавливается через 20 с. [100 Н?м].

3.15. Однородный стержень длиною 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,81?10-2 Н?м?

[2,35 рад/с2].

3.16. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 160 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы массами 200 и 300 г. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и силы натяжения.

[1,69 м/с2; 2,3 Н; 2,44 Н].

3.17. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением 2 м/с2. Определите момент инерции и массу вала. [6,25 кг?м2; 50 кг].

3.18. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найдите ускорение груза. Барабан считать однородным диском. Трением пренебречь. [3 м/с2].

3.19. На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 1 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением 2,04 м/с2. [9,5 кг?м2].

3.20. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами 0,35 и 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и отношение сил натяжения нити. [1,96 м/с2; 1,05].

3.21. Тело массой 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола (см.рис. 3, с.15). Масса блока 0,15 кг. Коэффициент трения тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела и силы натяжения нити по обе стороны блока. [2,45 м/с2; 1,1 Н; 1,47 Н].

3.22. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определите кинетическую энергию диска через 4 с после начала действия силы. [1,44 кДж].

3.23. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найдите кинетическую энергию диска. [24 Дж].

3.24. Шар диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 об/с. Масса шара 0,25 кг. Найдите кинетическую энергию шара. [0,1 Дж].

3.25. Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетические энергии поступательного и вращательного движений диска. [16 Дж; 8 Дж].

3.26. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

[в 1,07 раза].

3.27. Обруч и диск имеют одинаковую массу и катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча равна 4 Дж. Найдите кинетическую энергию диска. [2 Дж].

3.28. Определите, во сколько раз полная кинетическая энергия обруча, скользящего вдоль наклонной плоскости, меньше полной кинетической энергии обруча, катящегося по наклонной плоскости.

[в 2 раза].

3.29. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол ? с горизонтом. Определите линейное ускорение центра диска. [(2g sin?)/3].

3.30. С наклонной плоскости, составляющей угол ? с горизонтом, скатывается шар. С каким ускорением движется центр шара? [(5gsin )/? 7].

3.31. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатится с наклонной плоскости? [3,5 м/с].

3.32. С наклонной плоскости, составляющей угол 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. [0,585 с].

3.33. Колесо радиусом 30 см и массой 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной 5 м и углом наклона 30°. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения составляла 4 м/с. [0,057 кг?м2].

3.34. Вертикальный столб высотой 5 м, подпиленный у основания, падает на землю. Определите линейную и угловую скорости его верхнего конца в момент удара о землю. [12 м/с; 2,4 рад/с].

3.35. По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью 8 м/с. Определите коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь 18 м. [0,27].

3.36. Шар массой 3 кг катится со скоростью 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным. [- 6,15 Дж].

3.37. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку 10 см/с, после удара 8 см/с. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе, и импульс, который получает стенка. [2,52 мДж; 0,18 кг·м/с].

3.38. Медный шар радиусом 10 см вращается с частотой 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения вдвое? [34,1 Дж].

3.39. Деревянный стержень массой 1 кг и длиной 40 см может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню. В конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно к оси и стержню со скоростью 200 м/с. Определите угловую скорость, которую получит стержень, если пуля застрянет в нем. [29 рад/с].

3.40. Два маленьких шарика массами 40 и 120 г соответственно соединены стержнем длиной 20 см, масса которого ничтожно мала. Система вращается около оси, перпендикулярной к стержню и проходящей сквозь центр инерции системы. Определите импульс и момент импульса системы. Частота оборотов равна 3 с-1.

[0; 2,3·10-2 кг·м2/с].

3.41. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением 0,4 рад/с2. Определите кинетическую энергию маховика через 25 с после начала движения, если через 10 с после начала движения момент импульса маховика составлял 60 кг·м2/с. [750 Дж].

3.42. Какую работу нужно произвести, чтобы увеличить частоту оборотов маховика от 0 до 120 мин-1? Массу маховика, равную 0,5 т, можно считать распределенной по ободу диаметром 1,5 м. Трением пренебречь. [22,2 кДж].

3.43. На скамье Жуковского (платформа вращающаяся без трения) стоит человек и держит в руках стержень по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если стержень повернуть так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кг·м2, длина стержня 2 м, масса 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком в обоих случаях находится на оси платформы. [2,9 рад/с].

3.44. На неподвижной скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью 25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи. С какой скоростью станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол 90°? Момент инерции человека и скамьи равен 2,5 кг·м2, момент инерции колеса 0,5 кг·м2. [5 рад/с].

3.45. Платформа в виде диска вращается по инерции без трения около вертикальной оси с частотой 14 мин-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до 25 мин-1. Масса человека 70 кг. Определите массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки. [178 кг].

3.46. Горизонтальная платформа массой 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой 8 мин-1. Человек массой 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека - материальной точкой. [1,62 рад/с].

3.47. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м вращается с частотой 18 мин-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг·м2 до 1 кг·м2. [23 мин-1].

3.48. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной 2,5 м, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции 10 кг·м2 и вращается с частотой 12 мин-1. Если стержень повернуть в горизонтальное положение, держась за его середину, то частота вращения системы станет 8,5 мин-1. Определите массу стержня. [8 кг].

3.49. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом 1 м и массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека - точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. [65,8 Дж].

3.50. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0,8 м и массой 6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча 5 м/с. [0,1 рад/с].

3.51. Платформа в виде диска диаметром 3 м и массой 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой 70 кг со скоростью 1,8 м/с относительно платформы?

[0,53 рад/с].

3.52. В центре вращающегося столика стоит человек, держащий на вытянутых руках на расстоянии 150 см друг от друга две гири. Столик вращается с частотой 1 с-1. Человек сближает гири до расстояния 80 см, и частота увеличивается до 1,5 с-1. Определите работу, произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу 2 кг. Момент инерции человека относительно оси столика считать постоянным. [48 Дж].

4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Основные законы и формулы

? Уравнение гармонических колебаний:

x ? Asin(?0t ??0),

где x - смещение точки от положения равновесия; А - амплитуда колебаний; ?0 - круговая (циклическая частота); t - время; ?0 - начальная фаза колебаний.

?0 ? 2?? ? 2?/T ,

где v - частота колебаний, T - период колебаний.

• Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:

?x ? x??? A?0 cos(?0t ??0),

ax ???x ? ?x???A?02 sin(?0t ??0) ???02x .

• Возвращающая сила:

Fx ? ?kx ? ?kAsin(?0t ??0 ), Fx ? max ??mA?02 sin(?0t ??0 ),

где k ? m?02 - коэффициент упругой (квазиупругой) силы; m - масса материальной точки.

• Максимальная возвращающая сила

Fmax ? kA ? m?02 A.

• Кинетическая энергия колеблющейся точки

m?2mA2?022kA22 EК ??cos (?0t ??0)?cos (?0t ??0) .

2 22 • Потенциальная энергия колеблющейся точки

kx 2kA22mA 2?022

EП ??sin (?0t ??0 ) ?sin (?0t ??0 ).

2 22 • Полная энергия при гармонических колебаниях:

kx2m?2kA2mA2?02 E ????.

2222

? Периоды колебаний:

T ? 2? l / g - математический маятник (l - длина нити; g - ускорение свободного падения),

T ? 2? m / k - пружинный маятник (m - масса тела; k - жесткость пружины),

T ? 2? I /(mgd) - физический маятник (I - момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса; m - масса тела; d - расстояние от точки подвеса до центра масс).

• Уравнение затухающих колебаний: x ? A0e???t sin(?t ??0 ),

где A0 - амплитуда колебаний в начальный момент времени; A0e???t ? A- амплитуда затухающих колебаний;? ? r /2m - коэффициент затухания (r - коэффициент сопротивления;

m - масса точки); ? - частота затухающих колебаний.

• Логарифмический декремент затухания

A(t) A(t ?T)

? ? ln ? ??T . ? Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты и одного направления:

A? A12 ?A22 ?2A1A2 cos?? ,

где A1 и A2 - амплитуды слагаемых колебаний; ?? - разность фаз слагаемых колебаний.

? Начальная фаза результирующего колебания определяется из формулы:

A1 sin?1 ? A2 sin?2 . tg??

A1 cos?1 ? A2 cos?2

? Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми частотами: x2y2xy2

2 ? 2 ? 2cos(?2 ??1) ? sin (?2 ??1) ,

A1A2A1A2

где (?2 ??1 ) - разность фаз складываемых колебаний.

Задания

4.1. Уравнение движения точки дано в виде x ? 0,05sin?2? ??t /3? м. Найдите период, амплитуду, начальную фазу, циклическую частоту и частоту колебаний. [1с; 0,1м; ?/3; 2?; 1 Гц].

4.2. Напишите уравнение гармонических колебаний точки с амплитудой 0,1 м, если начальная фаза равна ?/2, а период колебаний 2 с.

4.3. Напишите уравнение гармонических колебаний точки с амплитудой 5 см, если за 2 минуты совершается 120 колебаний, а начальная фаза равна 60?.

4.4. Уравнение движения точки дано в виде x ? 0,2sin?? ??t/3?м. Найдите максимальные значения скорости

и ускорения. [0,2? м с/ ; 0,2?2м с/ 2].

4.5. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см и периодом 5 с. Определите максимальную скорость и максимальное ускорение. [12,6 см/с; 15,8 см/с2].

4.6. Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 2 см и периодом 2 с. [0,0628 м/c; 0,197 м/с2].

4.7. Точка совершает гармонические колебания с периодом 8 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды. [4/3 c].

4.8. Точка совершает гармонические колебания с периодом 12 с. Определите, за какое время скорость точки увеличится от нуля до половины максимального значения. [1 c] .

4.9. Точка совершает гармонические колебания с периодом 12 c. Определите, за какое время ускорение точки увеличится от нуля до половины максимального значения. [1 c].

4.10. Уравнение движения точки дано в виде

x ? Acos??t / 4?. Определите моменты времени, при которых дос-

тигается максимальная скорость точки. [2 с; 6 с; 10 с, ...].

4.11. Уравнение движения точки дано в виде

x ? Acos??t / 2?. Определите моменты времени, при которых дос-

тигается максимальное ускорение точки. [0 c; 2 c; 4 c, ...].

4.12. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению x ? 0,15cos?2?t? м. Определите макси-

мальное значение модуля возвращающей силы и полную энергию точки, если её масса 0,1 кг. [0,59 Н; 0,047 Дж].

4.13. Материальная точка массой 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению x ? 0,1cos?3?t /2? м. Опреде-

лите возвращающую силу для момента времени 2 с. [0,11 Н].

4.14. Определите отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к её потенциальной энергии для моментов времени: a) t=T /12; б) t=T /8; в) t=T /6, где Т - период колебаний. Начальная фаза равна нулю. [3; 1; 1/3] .

4.15. Определите отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к её потенциальной энергии для моментов времени, при которых смещение от положения равновесия составляет: а) х=А/4; б) х=А/2; в) х=А, где А - амплитуда колебаний. [15; 3; 0].

4.16. Как изменится частота колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от их последовательного соединения перейти к параллельному? [увеличится в 2 раза].

4.17. Груз, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой 8 см. Определите жёсткость пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия груза равна 0,8 Дж.

[250 Н/м].

4.18. Если увеличить массу груза, подвешенного на пружине, на 600 г, то период колебаний возрастёт в 2 раза. Определите массу первоначально подвешенного груза. [200 г].

4.19. Два математических маятника, длины которых отличаются на 16 см, совершают за одно и то же время один 10 колебаний, другой 6 колебаний. Определите длины маятников. [9 см; 25 см].

4.20. Математический маятник длиной 1 м подвешен к потолку кабины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорением a ? g / 4 . Найдите период колебаний этого маятника. [2,32 с].

4.21. На какую высоту надо поднять математический маятник, чтобы период его колебаний увеличился в 2 раза? Радиус Земли 6400 км. [6,4 10? 6м].

4.22. Маятник, состоящий из невесомой нити длиной 1 м и свинцового шарика радиусом 0,02 м, совершает гармонические колебания с амплитудой 0,06 м. Определите: а) модуль максимального значения возвращающей силы; б) модуль максимальной скорости. Плотность свинца 11,3.103 кг/м3. [0,22 Н; 0,18 м/с].

4.23. Тонкий обруч радиусом 0,5 м подвешен на вбитый в стенку гвоздь и совершает гармонические колебания в плоскости, параллельной стене. Определите частоту колебаний обруча. [0,5 Гц].

4.24. Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра диска. Определите период колебаний диска относительно этой оси. [1,07 с].

4.25. Диск радиусом R подвешен так, что может совершать гармонические колебания относительно образующей диска. Определите период и частоту колебаний диска. [2? 3R/2 ;g (1/2 ) 2 /? g R3 ].

4.26. Тонкий стержень длиной 60 см совершает колебания относительно оси, отстоящей на расстоянии 15 см от его середины.

Определите период колебаний стержня. [1,19 с].

4.27. Определите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: x1 ? 0,02sin?5? ??t / 2?м и x2 ? 0,03sin?5? ??t /4?м. [0,046м;62 460 ? ].

4.28. Найдите уравнение результирующего колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: x1 ? 4sin??t?м, x2 ? 3sin?? ??t / 2? м.

[x ? 5sin?? ? ?t/5?м].

4.29. Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты одного направления и с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний соответственно равны 3 и 4 см. Определите амплитуду результирующего колебания. [7 см].

4.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, которые происходят по законам: x ? 2sin?t м и y ? 2cos?t м . Найдите траекторию движения точки. [окружность радиусом 2 м].

4.31. Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты и с одинаковыми начальными фазами, совершаемых во взаимно перпендикулярных направлениях. Амплитуды колебаний соответственно равны 3 и 4 см. Определите амплитуду результирующего колебания.

[5 см].

4.32. Запишите уравнение результирующего колебания точки, полученного от сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты ??? 5Гц?, с одинаковыми начальными фазами, равными ?/3, и с амплитудами: A1 ? 0,10м и A2 ? 0,05м. [x ?11,2sin?10? ??t /3?см].

4.33. Уравнение затухающих колебаний точки дано в виде x ? 5e?0,25t sin??/2?t м. Определите скорость точки в моменты

времени, равные 0,T, 2T . [7,85 м/с; 2,9 м/с; 1,1 м/с] .

4.34. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда за одно полное колебание? [в 1,22 раз].

4.35. Начальная амплитуда затухающих колебаний точки равна 3 см. По истечении 10 с от начала колебаний амплитуда стала равной 1 см. Через какое время амплитуда станет равной 0,3 см? [21 c].

4.36. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 минуты уменьшилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания.

[5,78.10-3 1/с].

4.37. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 1 минуту уменьшилась в 3 раза. Во сколько раз она уменьшится за 4 минуты?

[в 81 раз].

5. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Основные законы и формулы

? Основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

P ?nm0 ?кв2 . ? n Eк ? ??кв2 . ? nkT ,

где P - давление газа; n ? N /V - концентрация молекул; m0 - масса одной молекулы; ?кв. - средняя квадратичная скорость одной молекулы; ?? nm0 ? m /V - плотность газа;

T - абсолютная температура; k ?1,38?10?23 ДжK - постоянная Больцмана.

• Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

kT .

2 • Изопроцессы (газовые законы) для m ? const :

1) T ? const - изотермический: P1V1 ? P2V2 ;

V1V2 2) P ? const - изобарный: ? ;

T1T2

P1P2 3) V ? const - изохорный?.

T1T2 ? Уравнение Менделеева-Клапейрона:

m PV ? RT , M где V - объём газа; m - масса газа; M - молярная масса; R ? 8,31Дж /(моль? K)) - универсальная газовая постоянная.

? Количество вещества

Nm ?? ? , N A M

где N - общее число молекул; N A ? 6,02?1023 моль?1 - постоянная Авогадро.

• Скорости молекул:

- средняя квадратичная,

- средняя арифметическая,

?в ? - наиболее вероятная.

• Нормальные условия:

T0 ? 273K (00 C); P0 ? 105 Па(760 мм рт.ст.);

V0 ? 22,4 м3 / моль-объём одного моля газа.

• Закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

f ???? 4??? m0 ??3 2?2e?2mkT0?2 .

? 2?kT ?

? Закон распределения молекул идеального газа по энергиям:

2?3 21 2?E (kT )

f (E) ?(kT)Ee. ?

Задания

5.1. В сосуде объёмом V ? 3 10? ?3 3м находится газ при нормальных условиях. Определите число молекул газа в сосуде и концентрацию молекул. [7,95 10 ;? 22 2,65 10? 25 м?3].

5.2. Газ находится в цилиндре под поршнем при нормальных условиях. Во сколько раз изменится концентрация молекул газа при увеличении объёма газа в 5 раз при прежней температуре?

[уменьшится в 5 раз].

5.3. Газ находится в цилиндре под поршнем при нормальных условиях. Во сколько раз изменится концентрация молекул газа при увеличении температуры газа до t ?1000C при прежнем давлении?

[уменьшится в 1,37 раза].

5.4. В баллоне находилось 10 кг газа при давлении 107Па. Найдите, какое количество газа взяли из баллона, если окончательное давление стало равно 2,5 10? 6Па. Температуру газа считать постоянной. [7,5 кг].

5.5. 12 г газа занимают объём 4 10? ?3 3м при температуре 70С . После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна 6 10? ?4г см/ 3. До какой температуры нагрели газ? [1400 К].

5.6. В баллоне объёмом 10 л находится гелий (He) под давлением 1 МПа и при температуре 300 К. После того как из баллона было взято 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К. Определите давление гелия, оставшегося в баллоне. [0,364 МПа].

5.7. В сосуде объёмом V ? 2 10? ?3 3м находится 0,02 кг азота (N2 ) под давлением P ? 0,9 10? 5Па . Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа; число молекул, находящихся в сосуде; плотность газа. [1,6?102м/с; 4,3?1023;10кг / м3].

5.8. Плотность некоторого газа ? ? 5 10? ?3кг м/ 3, а средняя квадратичная скорость молекул этого газа равна 600 м/с. Определите давление, которое оказывает газ на стенки сосуда. [600 Па].

5.9. Определите среднюю квадратичную скорость молекул некоторого газа, плотность которого при давлении P ?1,1 10? 5Па равна ?=0,24 кг/м3 Какова масса одного моля этого газа, если значение плотности дано при температуре 270C ? [1172,6 м/с; 0,005 кг/моль].

5.10. 6 г углекислого газа (CO2) и 5 г закиси азота (NO2) заполняют сосуд объёмом 2?10?3м3 . Найдите общее давление в сосуде при температуре 400 К. [4,15?105 Па ].

5.11. Определите молярную массу смеси кислорода (O2) массой 25 г и азота (N2 ) массой 75 г. [28,9?10?3кг / моль].

5.12. Определите плотность смеси газов водорода (H2) массой 8 г и кислорода (O2) массой 64 г при температуре 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газ считать идеальным. [0,498кг / м3 ].

5.13. Баллон вместимостью 20 л содержит смесь водорода (H2) и азота ( N2 ) при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определите массу водорода, если масса смеси равна 150 г. [ 6,3 г].

5.14. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород (H2) массой 6 г и гелий (He) массой 12 г. Определите давление и молярную массу газовой смеси в сосуде, если температура смеси 300 К. [0,75 МПа; 3.10-3 кг/моль].

5.15. Смесь кислорода (O2) и азота ( N2 ) при температуре

270C находится под давлением 230 Па. Масса кислорода составляет 75% от общей массы смеси. Определите концентрацию молекул каждого из газов. [4?1022 м?3;1,5?1022 м?3].

5.16. В сосуде вместимостью 0,3 л при температуре 290 К находится некоторый газ. На сколько понизится давление газа в сосуде, если из-за утечки выйдет 1019 молекул? [133 Па].

5.17. Два сосуда одинакового объёма содержат кислород (O2). В одном сосуде давление 2 МПа и температура 800 К, в другом давление 2,5 МПа, а температура 200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до 200 К. Определите установившееся в сосудах давление. [1,5 МПа].

5.18. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа при давлении

0,5 кПа, если концентрация молекул газа равна 1023м?3.

[7,5 10??21Дж;362К ].

5.19. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки 10?8г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого равна 0,029 кг/моль. [в 1,44 10? 7раз].

5.20. Определите среднюю квадратичную скорость молекулы газа, заключённого в сосуд вместимостью 2 л под давлением 2 кПа.

Масса газа 3 г. [4 км/с].

5.21. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35кг м/ 3.

[478 м/с]. 5.22. Определите наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул азота ( N2 ) при

300 К. [422 м/с; 476 м/с; 517 м/с].

5.23. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода (O2 ) больше их наиболее вероятной скорости на

100 м/с. [381 К].

5.24. Определите среднюю арифметическую скорость молекул газа, если известно, что их средняя квадратичная скорость 1 км/с. [920 м/с].

5.25. Смесь гелия (He) и аргона ( Ar ) находится при температуре 1200 К. Определите среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов гелия и аргона. [гелий: 2730 м/с; 2,48 10? ?20 Дж ; аргон: 864 м/с;

2,48 10??20 Дж )].

5.26. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости.

[? ?в2kT m0 ].

5.27. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите среднюю арифметическую скорость молекул. [ ? ? 8kT m? 0 ].

5.28. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите среднюю квадратичную скорость. [ ? ?кв3kT m0 ].

5.29. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию молекул.

[3/2 kT ].

6. ОСНОВЫ РАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ

Основные законы и формулы

? Молярные теплоёмкости при постоянном объёме (CV ) и

постоянном давлении (CP ):

ii ? 2 CV ? R , C P ? R ,

22 где i - число степеней свободы; R ? 8,31 Дж /(моль? К)- универсальная газовая постоянная.

? Связь между удельной (с) и молярной (С ) теплоёмкостями:

c ? C / M ,

где M - молярная масса.

? Внутренняя энергия идеального газа m im

U ? RT ? CV T ,

M 2M

где m - масса газа; T - абсолютная температура. ? Изменение внутренней энергии идеального газа

m i M 2 ?U = R?T .

? Работа расширения газа

V2 A ? ? PdV - в общем случае,

V1 где P - давление газа; V - объём газа.

A ? P(V2 ?V1 )- при изобарном процессе. mV2

A?RT ln - при изотермическом процессе.

MV1 ??1

m? RT1 m ??1????VV1 ????? -

A? ??U ? ? CV?T ??1M ??? 2 ??? M

при адиабатном процессе, где ?? C p /CV ? ?i ? 2?/ i .

? Первое начало термодинамики:

Q ? ?U ? A, где Q - количество теплоты, сообщённое системе; ?U - изменение внутренней энергии системы; A - работа, совершённая системой против внешних сил.

• Уравнение Пуассона для адиабатного процесса

PV? ? const . • Уравнение адиабаты идеального газа в переменных T и V и ТР

TV??1 ? const , Tp1??? const .

? • Коэффициент полезного действия цикла Карно

Q1 ?Q2 T1 ?T2 ???,

Q1T1 где Q1 - количество теплоты, полученное от нагревателя; Q2 - количество теплоты, переданное холодильнику; T1 - температура нагревателя; T2 - температура холодильника.

? Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2:

22 dQdU?dA

?S1?2 ? S2 ?S1 ? ?? ?. 1 T1T

Задания

6.1. Считая азот (N2 ) идеальным газом, определите его удельную теплоёмкость для изохорного и изобарного процессов. [42 Дж/(кг•К); 1,04 Дж/(кг•К)].

6.2. Найдите удельную теплоёмкость углекислого газа (CO2) для изохорного и изобарного процессов. [567 Дж/(кг•К); 755

Дж/(кг•К)].

6.3. Найдите удельную теплоёмкость при постоянном давлении хлористого водорода (HCl ) и неона ( Ne ). [800 Дж/(кг•К); 1025 Дж/(кг•К)].

6.4. Найдите для кислорода (O2) отношение удельной теплоёмкости при постоянном давлении к удельной теплоёмкости при постоянном объеме. [1,4].

6.5. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях равна 1, 43 кг/м3. Чему равна удельная теплоёмкость при постоянном давлении и при постоянном объеме этого газа?

[650 Дж/(кг•К); 910 Дж/(кг•К)].

6.6. Определите удельную теплоёмкость при постоянном давлении и при постоянном объеме, если известно, что некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем 0,7 м3/кг. Что это за газ? [649 Дж/(кг•К); 909 Дж/(кг•К)].

6.7. Считая азот (N2 ) идеальным газом, определите его молярную теплоёмкость при постоянном объёме и при постоянном давлении. [20,8 Дж/(моль•К); 29 Дж/(моль•К)].

6.8. Определите молярную массу двухатомного газа, если известно, что разность удельных теплоёмкостей этого газа при постоянном объёме и при постоянном давлении равна 260 Дж/(кг•К).

[0,032 кг/моль].

6.9. Найдите удельную теплоёмкость при изобарном и изохорном процессах некоторого газа. Известно, что молярная масса его равна 0,03 кг/моль, а отношение cp /cV ?1,4 . [693 Дж/(кг•К);

970 Дж/(кг•К)].

6.10. Для некоторого двухатомного газа удельная теплоёмкость при постоянном давлении равна 14,7•103 Дж/(кг•К). Чему равна масса одного моля этого газа? [0,002 кг/моль].

6.11. Определите удельные теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении для смеси углекислого газа (CO2)

массой 3 г и азота (N2 ) массой 4 г. [667 Дж/(кг К); 917 Дж/(кг К)].

6.12. Кислород (O2) массой 1 кг находится при температуре

320 К. Определите внутреннюю энергию молекул газа. Газ считать идеальным. [208 кДж].

6.13. В закрытом сосуде находится смесь азота (N2 ) массой 56 г и кислорода (O2) массой 64 г. Определите изменение внутрен-

ней энергии смеси, если её охладили на 200C. [1,66 кДж].

6.14. Какая работа совершается при изотермическом расширении водорода (H2) массой 5 г, взятого при 290 К, если давление уменьшается в три раза? [6627 Дж].

6.15. Определите количество теплоты, которое надо сообщить кислороду (O2) объёмом 50 л при изохорном нагревании, чтобы давление повысилось на 0,5 МПа. [62,5 кДж].

6.16. Во сколько раз увеличится объём 0,4 моль водорода (H2) при температуре 300 К при изотермическом расширении, если при этом газ получит количество теплоты 800 Дж? [в 2,23].

6.17. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет 2 кДж. Определите количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал изотермически. [2 кДж].

6.18. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет 2 кДж. Определите количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал изобарно. [7 кДж].

6.19. Два моля двухатомного идеального газа нагревают при постоянном объеме до температуры 289 К. Определите количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в 3 раза. [34 кДж].

6.20. До какой температуры охладится воздух, находящийся при температуре 273 К, если он расширяется адиабатно, и при этом объём его увеличивается в два раза ? [207 К].

6.21. Газ расширяется адиабатно и при этом его объём увеличивается вдвое, а температура падает в 1,32 раза. Найдите число степеней свободы этого газа. [i=5].

6.22. Азот (N2 ), находившийся при температуре 400 К, подвергли адиабатному расширению, в результате которого его объем увеличился в 5 раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определите массу азота. [28 г].

6.23. Азот ( N2 ) массой 14 г сжимают изотермически при температуре 300 К от давления 100 кПа до давления 500 кПа. Определите изменение внутренней энергии, работу сжатия, количество выделившейся теплоты. [0; -2 кДж; -2 кДж].

6.24. При изобарном нагревании некоторого идеального газа (2 моль) на 90 К ему было сообщено 5,25 кДж теплоты. Определите работу, совершаемую газом, изменение внутренней энергии газа; величину ?? cpcV . [0,6 кДж; 1,5 кДж; 1,4].

6.25. При изотермическом расширении 2 г азота (N2 ) при температуре 280 К объём увеличился в два раза. Определите совершённую газом работу, изменение внутренней энергии и количество теплоты, полученное газом. [115,2 Дж; 0; 115,2 Дж].

6.26. Азот (N2 ) массой 0,1 кг изобарно нагрет от температуры 200 К до температуры 400 К. Определите работу, совершённую газом, полученную им теплоту и изменение внутренней энергии. [5,9 кДж; 20,7 кДж; 14,8 кДж].

6.27. Какая доля количества теплоты, подводимого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение внутренней энергии и какая доля - на работу расширения? [0,71; 0,29].

6.28. Водород (H2) массой 6,5 г при температуре 300 К и постоянном давлении расширяется вдвое за счет притока тепла извне. Определите работу расширения, изменение внутренней энергии газа и количество теплоты, полученное газом. [8,1 кДж; 20,2 кДж; 28,3 кДж].

6.29. 2 кмоля углекислого газа (CO2)нагреваются при постоянном давлении на 50 К. Найдите изменение его внутренней энергии, работу расширения и количество теплоты, полученное газом. [2500 кДж; 830 кДж; 3330 кДж].

6.30. Определите показатель адиабаты для смеси газов, содержащей гелий (He) массой 8 г и водород массой (H2) 2 г. [1,55].

6.31. При адиабатном расширении двух молей кислорода

(O2), находящегося при нормальных условиях, объём увеличился в

3 раза. Определите изменение внутренней энергии газа и работу расширения газа. [-4,03 кДж; 4,03 кДж].

6.32. Газ совершает цикл Карно. При этом он получает от нагревателя 41,9 кДж теплоты. Температура нагревателя в три раза выше температуры холодильника. Какую работу совершил газ? [28 кДж].

6.33. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику 67% теплоты, полученной от нагревателя. Определите температуру холодильника, если температура нагревателя 430 К. [288 К].

6.34. Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при повышении температуры нагревателя от 380 до 560 К? Температура холодильника 280 К. [1,9].

6.35. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику 14 кДж теплоты. Определите температуру нагревателя, если при температуре холодильника 280 К работа цикла равна 6 кДж. [400 K].

6.36. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количества теплоты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемой от нагревателя, равно 5 кДж. Определите КПД цикла и работу, совершенную при полном цикле. [30%; 1,5 кДж].

6.37. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Определите КПД цикла и отношение температур нагревателя и холодильника. [20%; 1,25].

6.38. Три моля идеального двухатомного газа, занимающего объём 5 л и находящегося под давлением 1 МПа, подвергли изохорному нагреванию до 500 К. После этого газ изотермически расширился до начального давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращён в первоначальное состояние. Определите коэффициент полезного действия цикла. [13,3%].

6.39. Рабочее тело - идеальный газ - теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последовательных процессов: изобарного, адиабатного и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагревается от 300 до 600 К. Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя. [30,7%].

6.40. Найдите коэффициент полезного действия цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат. Рабочим веществом является азот. Известно, что в пределах цикла объём газа изменяется в 10 раз, т.е. V Vmaxmin ?10 . [60%].

6.41. При нагревании 2 молей двухатомного идеального газа его температура увеличилась в 2 раза. Определите изменение энтропии при изохорном процессе. [28,8 Дж/К].

6.42. При нагревании 2 молей двухатомного идеального газа его температура увеличилась в 2 раза. Определите изменение энтропии при изобарном процессе. [40,3 Дж/К].

6.43. Найдите изменение энтропии при изобарном расширении 8г гелия (He) от объема 10 л до объема 25 л. [38,1 Дж/К].

6.44. Найдите изменение энтропии при изотермическом расширении 6 г водорода (H2) от 105 до 0,5•105 Па. [17,3 Дж/К].

6.45. Найдите изменение энтропии при изотермическом расширении 10,5 г азота (N2 ) от 2 до 5 л. [2,9 Дж/К].

6.46. Найдите изменение энтропии при плавлении 1 кг льда, находящегося при 0°С. [1230 Дж/К].

6.47. Найдите изменение энтропии при изобарном расширении 6,6 г водорода (H2) до удвоения объема. [15,8 Дж/К].

6.48. Азот (N2 ) массой 28 г адиабатно расширили в 2 раза, а затем изобарно сжали до начального объёма. Определите изменение энтропии газа в ходе указанных процессов. [-20,2 Дж/К].

6.49. Найдите приращение энтропии при расширении 0,2 г водорода (H2) от объёма 1,5 л до объёма 4,5 л при постоянном давлении и при постоянной температуре. [3,1 Дж/К; 0,91 Дж/К].

6.50. В одном сосуде, объём которого 1,6 л, находится 14 мг азота (N2 ). В другом сосуде, объём которого 3,4 л, находится 16 мг кислорода (O2). Температуры газов равны. Сосуды соединяют, и газы перемешиваются. Найдите приращение энтропии при этом процессе. [6,3 мДж/К].

7. ОСНОВЫ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Основные законы и формулы

• Средняя длина свободного пробега молекул газа

, нее число столкновений каждой молекулы с остальными за единицу времени; ?- эффективный диаметр молекулы; n - число молекул в единице объема.

• Средняя продолжительность свободного пробега

за единицу времени

• Коэффициент диффузии

• Масса, перенесенная за время dt при диффузии через площадку dS , расположенную перпендикулярно направлению, вдоль которого происходит диффузия,

d? dm ? ?DdS ?dt ,

dx где d?dx - градиент плотности.

• Динамический коэффициент внутреннего трения (вязкости)

? ?? ?? , 3 где ? - плотность вещества.

• Сила внутреннего трения, действующая на элемент поверхности слоя с площадью dS,

d? dF??? dS ,

dx где d?dx - градиент скорости.

? Коэффициент теплопроводности

?? cV? К ?, 3

где cV - удельная теплоемкость газа в изохорном процессе.

? Количество теплоты, перенесенное через поверхность dS , перпендикулярную направлению теплового потока за время dt , dT

dQ ? ?KdS ?dt ,

dx где dTdx - градиент температуры.

Задания

7.1. Определите среднюю длину свободного пробега молекул кислорода, находящегося при температуре 0°С, если среднее число столкновений, испытываемых молекулой в 1с, равно 3,7·109. [115 нм].

7.2. Вычислите среднюю длину свободного пробега и время между двумя столкновениями молекул кислорода при давлении

1,5·10-6 мм рт. ст. и температуре 17° С. [50 м; 0,11 с].

7.3. Найдите среднюю длину свободного пробега атомов гелия в условиях, когда плотность гелия равна 2,1 ·10-2 кг/м3. [1,8 мкм].

7.4. Чему равна средняя длина свободного пробега молекул водорода при давлении 10-3 мм рт. ст. и температуре 50°С? [0,142м].

7.5. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67°С?

Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм. [0,539 Па].

7.6. Найдите среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха примите равным 3 ·10-8 см. [9,43 ·10-8 м].

7.7. Найдите среднее число столкновений в 1с молекул азота при температуре 27°С и давлении 400 мм рт.ст. [2,45 ·109 с-1].

7.8. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при температуре 27°С и давлении 0,5 кПа.

Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм. [13,3 нс.].

7.9. Сколько столкновений между молекулами происходит за 1с в 1 см3 водорода, если плотность водорода 8,5 ·10-2 кг/м3 и температура 0°С? [1,3·1029 с-1].

7.10. В баллоне, объем которого 2,53 л, содержится углекислый газ. Температура газа 127°С, давление 1,3·104 Па. Найдите число молекул в баллоне и число столкновений между молекулами за 1с. Диаметр молекулы углекислого газа примите равным 0,4 нм.

[6,0·1021; 2,2·1030 с-1].

7.11. Средняя длина свободного пробега молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остается постоянной. [100 м].

7.12. Определите плотность воздуха в сосуде, концентрацию его молекул, среднюю длину свободного пробега молекул, если сосуд откачен до давления 0,13 Па. Диаметр молекул воздуха примите равным 0,27нм. Температура воздуха 27°С. [1,51·10-6 кг/м3; 3,14·1019 м-3; 0,1 м].

7.13. Определите коэффициент диффузии кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода примите равным 0,36 нм. [9,18·10-6 м2/с].

7.14. Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1мкм. [15,6 мг].

7.15. Оцените среднюю длину свободного пробега и коэффициент диффузии ионов в водородной плазме. Температура плазмы 107 К, число ионов в 1 см3 плазмы равно 1015. При указанной температуре эффективное сечение иона водорода считать равным 4·10 -20 см2. [~102 м; ~107 м2/с].

7.16. Найдите коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега молекул при этих условиях равна 1,6 ·10 -7 м. [0,91·10-4 м2/с].

7.17. Найдите коэффициент диффузии гелия при нормальных условиях. [8,5·10-5 м2/с].

7.18. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковой температуре и одном и том же давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов равны. [1,25].

7.19. Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. Определите коэффициенты диффузии и внутреннего трения.

Эффективный диаметр молекул азота примите равным 0,38 нм.

[9,74·10-6 м2/с; 1,13·10-5 кг/(м·с)].

7.20. При каком давлении отношение коэффициента внутреннего трения некоторого газа к коэффициенту его диффузии равно 0,3 г/л, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 632 м/с? [40 кПа].

7.21. Найдите среднюю длину свободного пробега молекул гелия при температуре 273 К и давлении 105 Па, если при этих усло-

виях коэффициент внутреннего трения для него равен

1,3·104г/(см·с). [1,84·10-7 м].

7.22. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых условиях равны соответственно 1,42 см2/с и 8,5·10-8 Нс/м2. Найдите число молекул водорода в 1 м3 при этих условиях. [1,8·1025 м-3].

7.23. Самолет летит со скоростью 360 км/ч. Считая, что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, равен 4 см, найдите касательную силу, действующую на каждый квадратный метр поверхности крыла. Диаметр молекулы воздуха примите равным 3·10-8 см. Температура воздуха 0°С. [0,045 Н].

7.24. Определите коэффициент теплопроводности азота, находящегося в некотором объеме при температуре 7°С. Эффективный диаметр молекул примите равным 0,38 нм. [8,25 мВт/(м · К)].

7.25. Кислород находится при нормальных условиях. Определите коэффициент теплопроводности кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм.[8,49 мВт/(м·К)].

7.26. Коэффициент теплопроводности кислорода при температуре 100°С равен 3,25·10-2 Вт/(м·К). Вычислите коэффициент вязкости при этой температуре. [5,0·10-5 кг/(м·с)].

7.27. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17°С, другая - при температуре 27°С. Определите количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считайте равным 0,36 нм. [76,4 Дж].

7.28. В сосуде объемом 2 л находится 4·1022 молекул двухатомного газа. Коэффициент теплопроводности газа равен 0,014 Вт/(м·К).

Найдите коэффициент диффузии газа при этих условиях. [2·10-5 м2/с].

Рекомендуемая литература

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. Изд. доп. и перераб. / В.С. Волькенштейн. - СПб.: Изд-во "Специальная литература"; Изд-во "Лань", 1999. - 328 с.

2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов. - 3-е изд. / Т.И. Трофимова. - М.: ООО "Издательский дом "ОНИКС 21 век""; ООО "Издательство "Мир и Образование"", 2003.

- 384 с. Содержание

Общие методические указания........................................................... 3

1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ............................................................... 4 Основные законы и формулы ................................................ 4

Задания...................................................................................... 6

2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.......................................................... 11

Основные законы и формулы ................................................ 11

Задания...................................................................................... 13

3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.................................. 21

Основные законы и формулы ................................................ 21

Задания...................................................................................... 23

4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ......................................................... 30

Основные законы и формулы ................................................ 30

Задания...................................................................................... 32

5. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ... 36

Основные законы и формулы ................................................ 36

Задания...................................................................................... 38

6. ОСНОВЫ РАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ................................. 41

Основные законы и формулы ................................................ 41

Задания...................................................................................... 43

7. ОСНОВЫ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ.

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА........................................................................ 48

Основные законы и формулы ................................................ 48

Задания...................................................................................... 49

Рекомендуемая литература................................................................. 52

ФИЗИКА

Задания для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы студентов

Часть 1

Механика.

Молекулярная физика и термодинамика

Ростов-на-Дону 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФИЗИКА

Задания для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы студентов

Часть 1

Механика.

Молекулярная физика и термодинамика

Учебное пособие

Ростов-на-Дону 2011

УДК 530.1 Ф 48

Авторский коллектив:

С.И. Егорова, В.С. Ковалева, В.С. Кунаков,

Г.Ф. Лемешко, Ю.М. Наследников

Ф 48 Физика: Задания для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы студентов. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / С.И. Егорова и др. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2011. - 54 с.

ISBN 978-5-7890-0601-6

Цель пособия - обеспечение личностно-ориентированного подхода к практическим занятиям по общему курсу физики с учетом степени подготовки студентов и количества аудиторных часов, выделяемых на лекционные и практические занятия.

Пособие предназначено для обучения и контроля работы студентов на практических занятиях по разделу "Механика. Молекулярная физика и термодинамика" в течение первого семестра обучения.

УДК 530.1

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Донского государственного технического университета

Научный редактор д-р техн. наук, проф. В.С. Кунаков

Рецензент канд. хим. наук, доц. каф. физики Педагогического института ЮФУ

Д.Г. Барсегов

ISBN 978-5-7890-0601-6 (c) Издательский центр ДГТУ, 2011

3

3

3

3

3

Показать полностью… https://vk.com/doc-127997400_437841693
903 Кб, 5 сентября 2016 в 22:03 - Россия, Ростов-на-Дону, ДГТУ (бывш. РИСХМ), 2016 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении