Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 006214 из ЮФУ (бывш. РГУ)

Министерство образования Российской Федерации

Ростовский государственный университет

Г.С. Костецкая, Л.В. Новикова

Методические указания

для студентов 2-го курса физического факультета

Теория аналитических функций

Часть II

г. Ростов - на - Дону 2000 г.

Методические указания предназначены для студентов физического факультета, изучающих курс: "Теория функций комплексного переменного". Каждая тема пособия снабжена кратким теоретическим материалом. Приведены решения некоторых типовых примеров. Пособие снабжено большим количеством примеров для самостоятельной работы с ответами.

Методические указания печатаются по решению кафедры Дифференциальных и интегральных уравнений РГУ. Протокол №10 от 13.06.2000 г.

Оглавление.

§1. Комплексные числа и действия с ними ..........................................3

§2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа...........................................6 §3. Функции комплексного переменно ...............................................15

§4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия

Коши - Римана. Геометрический смысл модуля и аргумента производной...21

Ответы на примеры для самостоятельного решения...............................25

Литература..................................................................................27

§ 1. Комплексные числа и действия с ними.

Определение 1. Комплексным числом z называется выражение вида:

z = x + iy (1)

(алгебраическая форма числа), где x и y - любые действительные числа, а i мнимая единица, удовлетворяющая условию i2 = ?1.

Числа x, y - называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются :

x = Re z, y = Im z (2)

Определение 2. Комплексные числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 считаются равными тогда и только тогда, когда x1 = x2и y1 = y2.

Определение 3. Комплексное число z = 0 , тогда и только тогда, когда x = y = 0.

Определение 4. Комплексное число z = x ?iy называется сопряжённым комплексному числу z = x ?iy .

Пусть z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. Тогда:

1) z1 ± z2 = (x1 ± x2)+ i(y1 ± y2);

2) z1 ? z2 = (x1x2 ? y1y2)+ i(x1y2 + x2y1);

3) z1 = z1z2 = x1x22 + y12y2 + i y1x22 ? x12y2 ; z2 z2z2 x2 + y2 x2 + y2

Арифметические действия с комплексными числами перестановочны с операцией перехода к сопряжённым числам, а именно:

z1 + z2 = z1 + z2 (3) z1 ? z2 = z1 ? z2 (4)

n zn = z (5)

? z1 ?z1

??? z2 ?? =2 (6)

?z Полезно доказать эти равенства самостоятельно.

; 5 1? 2(2 + i)1? 2i2i ?11? 2i2i ?1

в)

i ; г) (1+ i)2000 = [(1+ i)2]1000 = (1+ 2i ?1)1000 = ( )2i 1000 = 21000 ?(i4)250 = 21000;

Пример 2.

Найти Re z и Im z :

223 а) z = ; б) z = + i(1+ i); в) z = (2 ?i) ;

1?i?i Решение:

а) i ? Re z = 1;Im z = ?1;

б) z = 2 + i(1+ i) = ? 22i + i + i2 = 2i + i ?1 = 3i ?1 ? Re z = ?1;Im z = 3;

?ii в) z = (2 ?i)3 = 8 ? 3?4 ?i + 3?2 ?i2 ?i3 = 8 ?12i ? 6 + i = 2 ?11i ? Re z = 2;Im z = ?11;

Пример 3.

Найти действительные ? и ?, для которых :

а) ?(2 ? i)+ ?(2i ? 1) = 4 ? 5i ;

б) (1+ i)?2 + (2 + i)?? (1?i)? = 7(1+ i);

Решение:

2???i + 2?i ? ? = 4 ? 5i

а) ? 2?? ? = 4

(2?? ?)+ i(2???) = 4 ? 5i ? ?

?2??? = ?5 Решая эту систему, получим: ?= 1;? = ?2 ;

б) ?2 + i?2 + 2?+ i?? ?+ i? = 7 + 7i

(?2 + 2???)+ i(?2 +?+ ?)= 7 + 7i ? ???22+ 2??? = 7

?? +?+? = 7

Складывая, имеем 2?2 + 3?= 14 или 2?2 + 3??14 = 0 . Решая, получим ?1 = 2 , ?2 = ? . Вычисляем соответствующие значения для ?: ?1 = 1, ?2 = ? .

?7 ??1 = 2??2 = ? 2 .

Итак, ???1 = 1; ???2 = ? 7

?4

Пример 4.

Доказать:

а) Re(z ? z)= 0; б) z ? z = 2iImz ; в) ;

Решение:

а) z = x + iy, z = x ?iy ? z ? z = 2y ?i ? Re(z ? z)= 0 ;

z ? z = x + iy ? (x ?iy) = 2iy

x + y Решить самостоятельно:

1) Вычислить:

31323334353?1+ i 3 ?40

а) i + i+ i+ i+ i+ i ; д) ??? 1?i ??? ;

б) i ?i2 ?i3 ?...?i100 ; е) (2 ? 2i)7 ;

в) ; ж) ( 3 ?3i)6

? 11 ?8?1?i ?8 г) ?? ; з) ?? ;

???1+ i ? 2) Найти действительную и мнимую часть:

5 а) z = cos(?+ 3i); б) z = sin2i ; в) z = tg(2 ? i); г) z = ??1?i ?? ; д)

?1+ i ?

(i17 + 2)(3? 2i)

z =; 1+ 2i 21+ iz

е) w = z ? iz ; ж) w = ; 1+ z

3) Найти действительные решения уравнений: а) (3x ? i)(2 + i) (+ x ? iy)(1+ 2i) = 5+ 6i;

б) (x ? iy)(a ? ib) = i5 , a,b - заданные действительные числа, a ? b .

4) Доказать:

а) 2Rez = z + z ; б) z ? z = 2iImz ; в) z1 ± z2 = z1 ± z2 ; г) z1 ? z2 = z1 ? z2 ; 1+ x2 + ix

д) = i , ( x - действительное). x ? i 1+ x2

§ 2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Комплексное число z = x + iy изображается в плоскости XOY точкой

M(x; y) либо радиус - вектором с концом в точке M(x; y). Длина r вектора OM называется модулем числа z и изображается z . Угол ? между

положительным направлением оси абсцисс и вектором OM (см. рис. 1) называется аргументом числа z и обозначается Argz . Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2?k , k - целое число:

Argz = Argz + 2?k , k = 0,±1,±2,..., (7) где Argz - главное значение аргумента, определяемое условием

??? = 5? . Тогда ?1+ i = 2??cos 5? + isin 5???.

6?66 ? Применяя формулу (13), получим:

. ??6 ??6 ?? б) Запишем числа z1 = ?1?i 3 и z2 = 1?i в тригонометрической форме:

r1 = z1 = (?1)2 + (?3)2 = 2 , tg?1 =3 , ?1 = ? +?k , arg z1 =??= ?,

3 (k =?1, т.к. точка лежит в III четверти).

r2 = z2 =12 + (?1)2 =2 , tg?2 = ?1, ?2 = ? +?k , arg z2 = ? +?0 = ?,

(k = 0, т.к. точка лежит в IV четверти).

Имеем: ??2???2???

z1 = 2?cos??? + isin????,

??3 ??3 ??

? ? ?? ? ??? z2 = 2?cos?? ? + isin?? ??.

??4 ??4 ?? Тогда по формуле (13) имеем:

? ??2???2??? ?12

? 2 ? ?1?i 3 ?12??cos??? 3 ?? + isin??? 3 ???? ?????2????2?????12

???1?i???= ????2???cos???? ?4 ??? + isin???? ?4 ?????? ????= ???2??cos??? 3 + 4 ?? + isin??? 3 + 4 ???????= ?

6 ??5???5???1266

= 2 ?cos??? + isin????= 2 [cos(?5?)+ isin(?5?)] = 2 (?1) = ?26

??12 ??12 ??

. Пример 7.

а) Вычислить: 4 1?i ;

б) Решить уравнение z3 + i = 0; Решение.

а) Представим число 1?i в тригонометрической форме:

1?i =1+ (?1)2 =2 ; arg(1?i) = arctg(?1) = ? (число лежит в четвёртой

четверти) ? 1?i =2??cos??? ??? + isin??? ????? .

??4 ??4 ?? Следовательно, по формуле (15), получим:

????

??+ 2?k?+ 2?k ? wk = 4 1?i = 8 2?cos4+ isin4?, k = 0,1,2,3.

?44? ?? ?? Полагая k = 0,1,2,3, найдём все значения корня и запишем их в показательной форме:

?? ? ?? ? ???i w0 = 8 2?cos??? + isin???? = 8 2?;

??16??16??

?7?7???i w1 = 8 2??cos 16 + isin 16 ?? = 8 2?;

?15?15??i w2 = 8 2??cos 16 + isin 16 ?? = 8 2?;

8?23?23??8??9???9???8?i

w3 =2??cos 16 + isin 16 ?? =2??cos??? 16 ?? + isin??? 16 ???? =2?.

Отметим, что точки w0,w1,w2,w3 являются вершинами квадрата (см.

рис.5). б) Разрешим уравнение относительно z , тогда z = 3 ?i .

?????? Так, как ?i = cos??? + isin???, то

?2 ??2 ?

???? ??+ 2?k?+ 2?k ?

zk = 3 ?i = 3 1?cos2+ isin2?, k = 0,1,2.

?33? ?? ?? Или в алгебраической форме имеем:

????????31

z0 = ?cos??? + isin???? =?i;

??6 ??6 ??22 z1 = cos + isin = i;

z2 = cos + isin ;

Числа z0,z1,z2 являются вершинами правильного треугольника (см. рис.6).

y y

z w2 w

w w z z

рис. 5. рис.6.

Пример 8. Определить, какие множества точек удовлетворяют заданным неравенствам:

а) ? ? ? arg(z +1?i) ? 3?; б) z + 2 ?1; в) Imz2 > 2; г) Re?? 1?? = 1 ;

24z ? 2? z ?4 д) z + c + z ? c ? 2a, a > c > 0.

Решение:

а) Комплексное число

z +1?i = z ? (?1+ i)

изображается вектором с началом в точке ?1+i, а конец - в точке z . Угол

между этим вектором и осью ОХ есть arg(z +1? i), и он меняется в пределах от

? до ?. Следовательно, данное неравенство определяет угол между

прямыми, выходящими из точки ?1+ i и образующими с осью ОХ углы в ?3

? и ? радианов (см. рис. 7).

24 б) Умножим обе части неравенства на z ? 2 , получим равносильное

неравенство z + 2 ? z ? 2 .

Возведём обе части неравенства в квадрат и раскроем скобки, положив z = x + iy:

(x + 2)2 + y2 ? (x ? 2)2 + y2

4x ? ?4x, x ? 0 .

Следовательно, искомое множество - левая полуплоскость, включаю границу x = 0 (см. рис. 8).

y y

0 x 0 x рис. 7. рис. 8.

в) Положив z = x + iy, получим z2 = (x + iy)2 = (x2 ? y2)+ i2xy.

Следовательно, Imz2 = 2xy. По условию

2xy > 2 или xy >1.

1 Равенство xy = 1 или y = задаёт гиперболу, ветви которой x

располагаются в 1 и 3 квадрантах. Непосредственной проверкой убеждаемся, что искомое множество точек располагается над гиперболой в 1 квадранте и под гиперболой в 3 квадранте (см. рис. 9).

г) Пусть z = x + iy. Имеем:

Re?? 1?? = Rex ?iy= Re x2 ?iy2 =2 x2 .

? z ?(x + iy)(x ?iy)x + yx + y

По условию:

x122

22 = или x + y ? 4x = 0.

x + y4 Это окружность (x ? 2)2 + y2 = 4 (см. рис. 10).

д) z + c - расстояние между точками z и ? c; z ? c - расстояние между точками z и c. По условию сумма расстояний

от точки z до двух данных точек z1 = ?c и z2 = c есть величина постоянная. Значит, точка z лежит внутри эллипса, уравнение которого имеет вид:

x2y2

2 +2 = 1,

ab где b2 = a2 ? c2 . Отметим, что уравнение эллипса можно было вывести непосредственно, полагая, как и раньше, z = x + iy и возводя в квадрат

(рис. 11).

рис. 9. рис. 10.

y

b

рис. 11.

Решите самостоятельно:

1) Представить в комплексной форме и изобразить на комплексной плоскости:

а) z1 = ?2 + 2 3i; б) z2 = 27i ; в) z3 = ?1+ i; г) z4 = 2 ?i 2 . 2) Решить уравнение и изобразить решения:

а) z8 + i = 0; б) z6 ?i +3 = 0; в) z5 + i 3 + 3 = 0; г) z7 = 1;

д) z6 ? 4z3 +8 = 0. 3) Вычислить:

а) (1+ i 3)60; б) (? 2 + 2i)6; в) (1+ i)1112 ; г) ( 3 + i 3)8;

( 3 ?i) 4) Изобразить множества точек, заданных условиями:

z ? 4

а) 2 3; г) z 1.

2i2 3) Гиперболические функции ??z ? ??zsh z

sh z =th z = 2ch z

; . (18) ??z + ??zch z

ch z =cth z =

2sh z Можно показать, что тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой равенствами:

cosiz = ch z , siniz = ish z, (19) chiz = cosz , shiz = isin z.

4) Логарифмическая функция Ln z , где z ? 0 , определяется как функция, обратная показательной, причём:

Ln z = ln z + iarg z + 2?ki, k = 0,±1,±2... (20)

Эта функция является многозначной. Главным значением Ln z называется то значение, которое получается при k = 0, оно обозначается:

ln z = ln z ?iarg z (21)

Справедливы следующие соотношения:

? z1 ? Ln(z1 ? z2 ) = Ln z1 ?Ln z2 ; Ln?? z2 ??? = Ln z1 ? Ln z2 ;

? Ln z n = nLn z + 2?ki, k = 0,±1,....

5) Общая степенная функция w = za , a =?+ i? определяется соотношением:

z a = ?aLn z (22)

6) Общая показательная функция w = az (a ? 0 - любое комплексное число) определяется равенством:

a z = ??zLna (23)

7) Обратные тригонометрические функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z определяются как функции, обратные соответственно к sin z, cos z, tg z . Все они являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:

Arcsin z = ?iLn(iz +1? z2 )

Arccos z = ?iLn(z +z2 ?1) (24)

i1+ iz Arcth z = ?Ln

21?iz Пример 10. Найти модуль и главное значение аргумента данных функций

1) z1 = ?2+i ; 2) z2 = ?5?12i ; 3) w = cos z в точке z1 = + iln2.

Решение:

1) Воспользуемся показательной формой комплексного числа z = z ??iarg z ,arg z ?(??,?]. Так как z1 = ?2+i = ?2 ??i , 1?(??,?], то z1 = ?2 ,

arg z1 =1. 2) z2 = ?5?12i = ?5 ???12i . Так как ?12?(??,?], то воспользовавшись периодичностью показательной функции (T = 2?i), будем иметь:

z2 = ?5 ???12i = ?5 ??i(?12+4?), ?12 + 4??(??,?], поэтому

z2 = ?5 , arg z2 = ?12 + 4?.

3) Так как z = x + iy , то

cos z = cos(x + iy) = cos x?cosiy ? sin x?siniy .

Воспользовавшись формулами (19), получим: cos z = cos x?ch y ?isin x?sh y .

Поэтому:

cos z =cos2 xch2 y + sin2 xsh2 y =cos2 xch2 y + sh2 y(1? cos2 x) =

. =cos2 x(ch2 y ?sh2 y)+ sh2 y =cos2 x + sh2 y

Полагая z = + iln2, то есть z = , y = ln2, имеем:

2 ?2?ln 2 ? ??ln 22 ?

=cos+ sh (ln2) = sh(ln2) ==.

+ iln2222 Найдём аргументы:

?sin xsh y tg?= = ? ? ln 2 ?ln 2 = ?. cos??+ ?

?= ?? . Итак, = 3; argcos z?;

2 + iln24 Пример 11. Найти действительную и мнимую часть:

а) cos(3i +?); б) 2z2 .

Решение:

а) Согласно формулам (17), имеем:

?i(3i+?) + ??i(3i+?)1 ( ?3+?i3??i )1 ( ?33)

cos(3i +?) == ?+ ?= ???(cos?+ isin?)+ ??(cos??isin?) =

222 = (? ??3 ? ?3 )= ?ch3;

Recos(3i +?) = ?ch3; Imcos(3i +?) = 0

б) Используя формулу (23), получим:

2z2 = ??z2 Ln 2 = ?(x+y)2[ln2+iarg2+2k?i] ?(x2?y2+2ixy)(ln 2+2k?i) = ?(x2+y2)ln 2?4k?xy+i(2k?(x2?y2)+2ln 2xy) =

= = ?(x2+y2)ln 2?4k?xy [cos(2k?(x2 ? y 2 )+ 2xyln2)+ isin(2k?(x2 ? y 2 )+ 2xyln2)]

Re2z2 = ?(x2?y2 )ln 2?4k?xy ?cos(2k?(x2 ? y2 )+ 2xy ?ln2);

Im2z2 = ?(x2?y2 )ln 2?4k?xy ?sin(2k?(x2 ? y2 )+ 2xy?ln2).

Пример 12. Вычислить:

а) ii ; б) Ln(?1?i); в) ln(?i); г) (1?i)3?3i . Решение:

а) По определению:

??2?? ??? ? i?ln1+i+2?ki?i ? +2?k ??? +2?k ? ii = ?i Lni = ?= ???? = ??? 2? = ??? 2?;k ? Z .

б) ln(?1?i) = ln ?1?i + iarg(?1?i)+ 2?ki = ln 1+1 + iarctg1+ 2?ki =

Z , т.к. точка ?1?i лежит в третьем квадранте.

в) ln(?i) = ln ?i + iargi ;

(3?3i)??ln2?i+2?ki??

г)(1?i)3?3i = ?(3?3i)Ln(1?i) = ?(3?3i)(ln 1?i +i arg(1?i)+2?ki) = ?(3?3i)(ln2+iarctg

?? 3ln2?+6?k+i??6?k??3ln2 ?? = ?3ln+6?k ??cos??6?k ? 3? ?3ln

= ? ??4

= ?3ln2?+6?k ??cos??3? + 3ln2?? ?isin??3? + 3ln2???? =

?? 4?? 4?? 3? = 2?6?k? 4 ??cos??3? + 3ln2 ?isin??3? + 3ln2????, k ? Z

?? 4? 4?? (?1)+2?ki) = ??? =

??3??? 2? ?isin?6?k ??3ln2?? =

??4?? Пример 13. Решить уравнения:

а) ch z = i; б) sin z = 0; в) sin z ?ish z = 0.

Решение:

??z + ??z

а) Перепишем данное уравнение в виде: = i

2 на ??z , получим:

?2z ? 2i??z +1 = 0,

обозначим ??z = t, тогда решая уравнение

t 2 ? 2it +1= 0, получим его корни:

z1 или ??+z = 2i . Умножая ?

t1,2 = i ±2 = i(1±2).

Остаётся теперь решить два уравнения: ??z = (1± 2)i.

Так как для функции w = ??z обратной является функция z = Lnw, то решениями последнего уравнения :

z = Ln(1± 2)i или z = ln (1± 2)i + i(arg(1± 2)i)+ 2?ki = ln (1± 2) ± i + 2?ki, k ? Z .

?iz ? ??iziz?iziz12iz

б) sin z = 0 или = 0, или ??? ??= 0, ???iz = 0, ??=1. Так как

2i? функция ??z периодическая с периодом 2?i, то равенство возможно, если 2iz = 0 + 2?ki или z =?k, k ? Z . Эти решения совпадают с решением уравнения sin x = 0.

3) sin z ? ish z = 0.

Воспользуемся формулами (17), (18), тогда

?iz ? ??iz??z ? ??ziz?izz?z

?i= 0 или ??? ??+ ??? ??= 0 .

2i2 Перепишем это уравнение в виде:

?iz + ??z ??? 1iz + 1z ?? = 0 ? ?iz + ??z ? ??z z+ iz? iz = 0

? ??????? Преобразуем это уравнение

(?iz + ??z )??1?z 1 iz ?? = 0, (?iz + ??z )? ??z ?z?iz iz?1 = 0.

??????????? Так как ??z ??iz ? 0, то:

1) ??z + ?iz = 0 ? ?iz = ???z ? ?iz = ??z+?i .

Из последнего равенства, используя периодичность, получим: ?i(1+ 2k) ?(1+ 2k)

iz = z +?i + 2?ki ? z = = , k ? Z . i ?1 i +1

2) ?iz ???z ?1= 0 ? ?(i+1)z =1? (i +1)z = 2?ki ? z = 2?ki = n?(1+ i), n? Z .

1+ i Итак, решениями исходного уравнения являются числа: ?(1+ 2k)

z =, k ? Z; z =?n(1+ i), n? Z .

1+ i Решите самостоятельно: 1) Дано отображение w = z 2 . Найти образы:

а) x = c; б) y = c ; в) x = y ; г) z = R ; д) arg z =?.

2) Вычислить значение функций:

1+i а) (?3? 4i)i ; б) (?1); в) (3? 4i)1+i ; г) ???? 2 + 2i ????.

3) Вычислить значение функций:

а) Ln(3? 2i).; б) Ln(?1?i); в) Lni; г) ln(? 2 + 3i); д) lni. 1

4) Дано отображение w =. Найти образы линий:

z а) z = ; б) Rez = 0; в) argz = ; г) Rez = Imz ; д) z = z.

5) Решить уравнения:

а) ?2z + 2??z ?3 = 0 ; б) sin z = ?i ; в) ch z = i; г) sh z + ch z = ?2i;

д) cosz ?sin z = 2 ; е) ctg z = ?i .

6) Найти модуль и главное значение аргумента: а) z1 = ?4?2i ; б) z2 = ?5+4i ; в) z3 = ?2?3i?. 7) Доказать тождества:

а) chiz = cosz ; б) shiz = isin z; в) ch2 z ?sh2 z = 1.

§4. Дифференцирование функции комплексного переменного.

Условия Коши - Римана.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть функция w = f ( )z определена в некоторой области D комплексного переменного z . Пусть точки z и z +?z принадлежат области D. Обозначим:

?w = f (z + ?z)? f (z); ?z = ?x + i?y .

Определение 8. Функция w = f (z) называется дифференцируемой в точке

?w z ? D , если отношение имеет конечный предел при ?z > 0 произвольным

?z образом. Этот предел называется производной функции и обозначается:

f ?( )z = dw = lim ?w (25)

dz?z>0 ?z Теорема Коши - Римана.

Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы:

?u?v?u?v =, = ?. (26)

?x?y?y?x При этом функции u(x, y), v(x, y) должны быть дифференцируемы как функции действительных переменных x и y .

Определение 9. Функция w = f (z) называется аналитической в данной точке z ? D , если она дифференцируема как в самой точке z , так и в некоторой её окрестности. Функция f (z) называется аналитической в области

D, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Для любой аналитической f (z) функции имеем:

f ?( )z = ?u + i ?v = ?v ?i ?u = ?u ?i ?u = ?v + i ?v (27)

?x?x?y?y?x?y?y?x

Пусть функция w = f ( )z аналитическая в окрестности точки z0 , f ?(z0 ) ? 0, отображает произвольную линию C , выходящую из точки z0 , на некоторую линию C? , выходящую из точки w0 = f (z0 ). Обозначим через ? наклон к вещественной оси Ox линии C в точке z0 и ? - наклон её образа C? к вещественной оси Ou в точке w0 . Назовём разность ? =??? углом поворота

?w кривой C в точке z0 , а lim= k - коэффициентом растяжения кривой C в

?z>0 ?z

точке z0 . Угол поворота ? и коэффициент растяжения k для всех кривых, выходящих из точки z0 один и тот же. Поэтому величины ? и k будем называть углом поворота и коэффициентом растяжения самого отображения w = f ( )z в точке z0 . Можно доказать, что

k = f ?(z0 ) , ?= arg f ?(z0 ). (28) Пример 14. Проверить, является ли f (z) аналитической функцией, в случае положительного ответа, найти её производную:

а) f ( )z = 3iz2 ? 4; б) f (z) = (x2 ? y2 + 3x + y)+ i(2xy ? x + 3y);

в) f ( )z = ( )z 2.

Решение:

а) f ( )z = 3i(x + iy)2 ? 4 = ?6xy ? 4 + i(3x2 ?3y2 ), поэтому u(x, y) = ?6xy ? 4;

v(x, y) = 3x2 ? 3y2 .

Условия Коши - Римана (26) выполняются во всей плоскости u?x = ?6y = v?y ; u?y = ?v?x = ?6x. Тогда

f ?(z) = u?x + iv?x = ?6y + 6xi = 6i(x + iy) = 6iz. б) Проверим условия (26): u?x = (x2 ? y2 + 3x + y)?x = 2x + 3 = v?y ; u?y = ?2y +1 = ?v?x .

Значит, f (z) аналитическая во всей плоскости. Производная: f ?( )z = (2x + 3)+ i(2y ?1) = 2z + 3? i .

в) f ( )z = ( )z 2 = (x ?iy)2 = x2 ? y2 ?i2xy, u(x, y) = x2 ? y2 ; v(x, y) = ?2xy; Найдём частные производные: u?x = 2x; v?y = ?2x ? u?x ? v?y . Значит, функция f ( )z не является

аналитической ни в одной точке плоскости z .

Пример 15. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении f (z) = z2 + 2z в точках -1; 0; 1+ i.

Решение:

Вычислим производную: f ?(z) = 2z + 2. По формуле (28) имеем k = f ?( )z0= 2 z0 +1 = 2 (x0 +1)2 + y02 ; ?= arg f ?(z0 ) = arg2(2z0 + 2).

а) z0 = 1 > x0 = 1, y0 = 0 ? k = 4,?= arg4 = 0;

б) z0 = 0 > x0 = y0 = 0 ? k = 2,?= arg2 = 0;

в) z0 =1+ i > x0 = y0 = 1? k = 2 5,? = arg2(2 + i) = arctg.

Пример 16. Вычислить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая сжимается при следующих отображениях:

а) w = ?z ; б) w = z3.

Решение:

а Найдём производную w? = ?z . За растяжение и сжатие отвечает

коэффициент k = w? = ?z = ?x ??iy = ??x . Поэтому, будет растяжение, если k >1, то есть ??x >1? x > 0. Соответственно, при k 0 растягивается, а полуплоскость Re z 1, то есть растягиваться будет часть плоскости, лежащая вне окружности x2 + y 2 = .

Определение 10. Функция ?(x, y) называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа:

. (29)

Если f ( )z = u(x, y)+ iv(x, y) - аналитическая в D, то её вещественная часть u(x, y) и мнимая v(x, y) являются гармоническими в D.

Определение 11. Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши - Римана (26), называются гармонически сопряжёнными.

Таким образом, если f (z) = u + iv - аналитическая функция, то u(x, y),v(x, y)

- гармонически сопряжённые функции.

Пользуясь условиями (26), аналитическую функцию f ( )z можно с точностью до константы восстановить по её известной действительной или мнимой части.

Пример 17. Построить аналитическую функцию по заданной действительной части u = Re f (z) = x3 + 6x2 y ?3xy 2 ? 2y3 , f ( )0 = 0 .

Решение:

Найдём f (z), используя условия (26) Коши - Римана u?x = 3x2 +12xy ?3y2. Так как u?x = v?y , то v = ?(3x2 +12xy ?3y 2 )dy = 3x2 y + 6xy 2 ? y3 +?( )x . Используя второе из условий (26) u?y = ?v?x , получим:

6x2 ? 6xy ? 6y 2 = ?(6xy + 6y 2 +??(x)). Отсюда ??( )x = ?6x2 и ?(x) = ?2x3 + C . Итак,

v = 3x2 y + 6xy 2 ? y3 ? 2x3 + C .

Поэтому:

f (z) = u + iv = x3 + 6x2 y ? 3xy 2 ? 2y3 + i(3x2 y + 6xy 2 ? y3 ? 2x3 + C).

Так как f (0) = 0 и z = x + iy , то x = y = 0, следовательно C = 0 . Если расписать z3 = (x + iy)3 = x3 ?3xy2 + i(3x2y ? y3), то f (z) можно упростить:

f ( )z = x3 ? 3xy 2 + i(3x2 y ? y3 )+ 2(3x2 y ? y3 )? 2i(x3 ? 3xy 2 )= z3 ? 2iz 3 = z3 (1? 2i).

Пример 18. Может ли функция u(x, y) = sin xch y быть действительной частью некоторой аналитической функции?

Решение:

Для того, чтобы u(x, y) могла быть действительной частью аналитической функции, она должна быть гармонической, то есть удовлетворять условию (29). Проверим это условие. Вычисляем: u?x = cos xch y; u?x?2 = ?sin xch y ; u?y = sin xsh y; u?y?2 = sin xch y .

Очевидно, что u?x?2 + u?y?2 = 0.

Решить самостоятельно:

1) Найти коэффициент растяжения k и угол поворота ? при заданных отображениях w = f ( )z в заданных точках:

а) w = ??z , z1 = ln2 + i, z2 = ?1?i;

б) w = sin z, z1 = 0, z2 =1+ i;

в) w = z3 ,z1 = 2 ?i, z2 =1+ i;

2) Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая сжимается при следующих отображениях:

2z12

а) w = ??; б) w = ln z; в) w =; г) w = z .

z 3) Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f (z) по известной действительной части u(x, y) или мнимой части v(x, y) и значению f ( )z0 :

x1 а) u = 2 2 , f ( )? = ; x + y? y

б) v = arctg, (x > 0) , f ( )1 = 0; x

в) v = 2(ch x?sin y ? xy), f (0) = 0 ;

г) u = ??x (xcos y ? ysin y), f (1) = 2;

22y д) u = x ? y + 5x + y ? 2 2 , f ( )1 = 6;

x + y

4) Дана действительная функция двух аргументов x и y . Может ли эта функция быть мнимой частью аналитической функции и если да, то найти эту аналитическую функцию:

а) ?(x, y) = cos x?sh y ? sh xsin y;

б ?(x, y) = ln(x2 + y 2 )+ x ? 2y; в) ?(x, y) = x2 ? 3y .

Ответы:

§1. 1. а) 0 ; б) -1; в) 0,7 ? 2,4i; г) 1; д) ? 219(1+ i 3); е) 210 (1+ i); ж) 1728; з) 1.

2. а) Rez = ?ch3, Imz = 0; б) Rez = 0, Imz = sh2; sin4-sh2

в) Rez =2222; Imz =2222;

2(cos 2ch 1+ sin 2sh 1)2(cos 2ch 1+ sin 2sh 1)

г) Rez = 0, Imz = ?1; д) Rez = ; Imz = ? ; е)

Rez = x + 2xy, Imz = y2 ? x2 ? y;

1+ x + y ? xyy + x + x2 + xy ? y2

ж) Rez =22 ; Imz =22;

(1+ x) + y(1+ x) + y

2036ba 3. а) x =; y = ? ; б) x =22 ; y =22 ;

1717a ?ba ?b ?2?2??? ? ??

§2. 1. а) 4?cos + isin?; б) 27?cos + isin?; в)

?33 ??22 ? ?3?2??

2?cos+ isin? ;

?44 ? ?? ??? ???

г) 2???cos??? 4 ?? + isin??? 4 ?????.

?+ 2?k?+ 2?k 2. а) zk = cos+ isin, k = 0,1,...,7 ;

88 ?5?5?? ?+ 2?k+ 2?k ?

б) zk = 6 2?cos 6+ isin 6?, k = 0,1,...,5;

?66?

?? ?? ??5??5??

?+ 2?k? в) zk = 10 12?cos6+ isin?, k = 0,1,...,4 ;

?55? ?? ?? 2?k2?k

г) zk = cos+ isin, k = 0,1,...,6 ;

77 ?8k +18k +1??8k ?18k ?1?

д) z1k =2?cos ?+ isin ??; zk2 =2?cos ?+ isin ??, k = 0,1,2.

?1212??1212? 3. а) 260 ; б) ? 512; в) 1296; г) 512i ;.

?9 ?2

? y + 221?=1; 5. а) гипербола x ? y =; б) гипербола

2? 3??? ???? ? 4???2??

2 в) гипербола ??x ? 1 ?? ? y 2 = 1 ; г) парабола y 2 = 2x +1;

?2?4

д) гипербола xy =1;

? ??3 i??? ?iiarctg

6. а) 2?i?; б) 2?; в) ; г) ; д) 1??2 ? ; е) 34?5 .

2v2 §3. 1. а) параболы u = C ?2 , (C ? 0); полуось v = 0, u ? 0(C = 0); 4C

v22 б) параболы u =2 ? C , (C ? 0), полуось v = 0, u ? 0(C = 0);

4C в) полуось u = 0, v ? 0; г) окружности w = R 2 ; д) луч argw = 2?.

? ki? 2. а) ?,k ? Z ; б) ??2i(1+2k),k ? Z ; в) ??,k ? Z ;

(i?1)???+2?k ??

г) ??? 6?,k ? Z .

ki, k ? Z ; б) ln+ 2?ki, k ? Z ;

в) i??? + 2?k??, k ? Z ; г) i???? arctg 3?? ; д) ?i .

? 2??2?2

4. а) окружность u2 + v2 = 4 , проходимая по ходу часовой стрелки;

б) ось Ov (исключая точку 0), проходимая сначала от 0 до + ? , а

затем от ? ? до 0;

в) луч, идущий по биссектрисе III координатного угла из ? в 0;

г) биссектриса второго координатного угла, пробегаемая из 0 до ?, и

биссектриса IV координатного угла, пробегаемая из + ? в 0.

5. а) z2k = 2k?i; z2k+1 = (2k +1)?i + ln3, k = 0,±1,...;

б) z2k = 2k??iln( ?2 +1 ??); z2k+1 = (2k +1)??iln( ?2 +1 +?), k = 0,±1,...;

в) zk = ln(1+2)+ ??2k + 1 ???i; zk+1 = ln( 2 ?1)+ ??2k ? 1 ???i; k = 0,±1,...;

?2??2? г) ln2 + i(2k ?1)?, k = 0,±1,...; д) ? + 2?k,?iln( 2 ±1) k = 0,±1,...;

е) iln2 +???k + 1 ??, k = 0,±1,....

?2? 6. а) r = ?4, ?гл = ?2; б) r = ?5, ?гл = 4 ? 2?; в) r = 2, ?гл = 3??.

?1? §4. 1. а) k1 = 2, ?1 =; k2 =; ?2 = ?;

4?2 б) k1 =1, ?1 = 0; k2 =ch21?sh21, ?2 = ?arctg(th1? tg1);

в 4??2 ?4?

k1 =15, ?1 = ? ? arctg 3; k2 = 3???1+ 4 ???, ?2 =?? arctg?2 ? 4 .

2. а) полуплоскость Re z > 0 растягивается; полуплоскость Re z < 0 сжимается;

б) в любой точке z(z ? 0), лежащей внутри окружности z =1 имеет место

растяжение, а для точек, лежащих вне этой окружности - сжатие;

в) то же, что и в б).

3. а) f ( )z = 1 ; б) f ( )z = ln z ; в) f (z) = 2sh z ? z2; г) f ( )z = 2??z ? ??+ 2; z

д) f ( )z = z2 + (5?i)z ? i .

z 4. а) да, f (z) = sin z ? ch z + C ; б) да, f (z) = 2iln z ? (2 ?i)z + C ; в) нет.

Литература:

1. В. Н. Николенко. Теория аналитических функций. РГУ, 1988.

2. М. Г. Хапланов. Теория функций комплексного переменного.

3. Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Армянович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Москва, "Наука", 1970.

4. М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционные исчисления. Теория устойчивости (задачи и упражнения). "Наука", 1971.

5. И. И. Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного. Физматизд, 1960.

2

2 2

23 ) 23 )

Показать полностью…
521 Кб, 22 сентября 2016 в 22:47 - Россия, Ростов-на-Дону, ЮФУ (бывш. РГУ), 2016 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении