Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 006223 из ЮФУ (бывш. РГУ)

ЕГЭ

Под редакциейготовимся

Ф"Ф, Лысенко,к ЕГЭ

СЮ. Кулабухова

МАТЕМАТИКА

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ ЕГЭ-2014

Учебные пособия издательства "Легион" допущены к использованию в образовательном процессе приказом Минобрнауки России № 729 от 14.12.2009

Учебно-методический комплекс "Математика. Подготовка к ЕГЭ"

Е. Г; Коннова

МАТЕМАТИКА

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ ЕГЭ-2О14

ЧАСТЬ З: ГЕОМЕТРИЯ

Пособие для "чайников"

Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова

Учебно-методическое пособие

ЛЕГИОН Ростов-на-Дону

2013

ББК 22.1 к 65

Рецензенты:

Н. М. Резникова - учитель высшей категории;

Е. А. Войта - аспирант кафедры алгебры и дискретной математики Южного федерального университета.

Коннова Е. Г.

К 65 Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть З: Геометрия / Е. Г. Коннова, В. А. Дрёмов, С. О. Иванов; под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-надону: Легион, 2013. - (Готовимся к ЕГЭ).

ISBN 978-5-9966-0475-З

Материал, представленный в этой книге, предназначен для формирования устойчивых навыков в решении задач базового уровня ВЗ, Вб, 89, В 1 1 на ЕГЭ по математике.

Пособие состоит из 6 параграфов, которые включают в себя разбор решений типовых задач, подобных приведённым в открытом банке заданий ЕГЭ, а также варианты для самостоятельного решения. Кроме того, приведено 16 обобщающих тренировочных тестов, каждый из которых содержит 5 заданий по планиметрии и стереометрии, аналогичных предлагаемым на ЕГЭ.

Другие задания части В рассматриваются в следующих книгах: "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 1: Арифметика и алгебра" и "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников" . Часть 2: Алгебра и начала анализа".

Пособие входит в учебно-методический комплекс "Математика. Подготовка к ЕГЭ". Продиагностировать уровень математической подготовки и в соответствии с полученными результатами оптимально подобрать пособия, которые понадобятся в процессе подготовки, поможет брошюра "Готовимся к ЕГЭ по математике. С чего начать?", содержащая всю информацию об учебно-методическом комплексе "Математика. Подготовка к ЕГЭ" издательства "Легион".

ББК 22.1

ISBN 978-5-9966-0475-ЗООО "Легион", 2013

Оглавление

От авторов 6 S 1. Площади 9 Диагностическая работа

Прямоугольный треугольник . . . . . 9 Площадь треугольника

Площадь четырёхугольника . 15 Площади круга и сектора 21 Площадь трапеции Площадь ромба . . 26 Варианты для самостоятельного решения 32 S2. Координаты и векторы 42 Диагностическая работа Координаты точек . 42 Векторы 51 Координаты вектора . 53 Варианты для самостоятельного решения . . 58 4Оглањтение

S3. Углы65

Диагностическая работа65

Свойства треугольника67

Окружность, касательные и секущие76

Углы, связанные с окружностью79 Описанные и вписанные окружности87

Варианты для самостоятельного решения , . . . 102

S4. Тригонометрия1 14

Диагностическая работа

Тригонометрические функции в прямоугольном

треугольнике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 15 Высоты в прямоугольном треугольнике .

Равнобедренный треугольник . . . . . . . . . . . .

Тригонометрические функции тупого угла125

Разные задачи .126

Варианты для самостоятельного решения127

S5. Параллелепипед, призма, пирамида " . . . . . . . . . . . . . 1 33

Диагностическая работа . 133 Прямоугольный параллелепипед 134 Разбиение тела на прямоугольные параллелепипеды 135 Соотношения в прямоугольном параллелепипеде и кубе

Параллелепипед и призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Тетраэдр и пирамида

Варианты для самостоятельного решения . . . 151

Оглавление5 S6. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел . . . е . . . . 162

Диагностическая работа . 162 Цилиндр 163 Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 шар . 167 Увеличение и уменьшение геометрических тел . Комбинации тел . 168 Варианты для самостоятельного решения 173 Тренировочные тесты . . . . а . . . 179

Ответы . 202

От авторов

Книга "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть З: Геометрия" входит в учебно-методический комплекс "Математика. Подготовка к ЕГЭ", выпускаемый издательством "Легион". Пособие предназначено для подготовки к ЕГЭ-2014. Оно адресовано учащимся выпускных классов общеобразовательных учреждений, учителям, ученикам вечерних школ и тем, кто собирается сдавать ЕГЭ после перерыва в обучении.

Прежде всего, это самоучитель и тренажёр для тех, кто хочет научиться решать задачи части В без репетитора. Также эта книга может использоваться для контроля умений решать задачи части В при повторении курса математики в рамках подготовки к ЕГЭ.

Материал, представленный в этой книге, служит для формирования устойчивых навыков в решении задач базового уровня. Не секрет, что большинство выпускников, даже получивших на ЕГЭ высокий балл, допускают по 2- З, а иногда и больше ошибок именно в части 1 предлагаемого теста, хотя большинство задач этой части решается устно. Причина - отсутствие упомянутых выше на-

выков.

Воспользовавшись этой книгой, вы научитесь безошибочно выполнять задания ВЗ, Вб, В9, В11 и сэкономите время для решения более сложных задач.

Пособие состоит из 6 параграфов, каждый из которых включает в себя диагностическую работу, разбор решений типовых задач, подобных приведённым в открытом банке заданий ЕГЭ*, а также варианты для самостоятельного выполнения. Кроме того, приведено 16 обобщающих тренировочных тестов, включающих по 5 задач, аналогичных предлагаемым на ЕГЭ в качестве заданий ВЗ, Вб, В9, В11. Каждый вариант рекомендуем выполнять в течение 20 -30 минут, затем проверить правильность решения с помощью

' См. сайт http://mathegexu/or/ege/Main

От авторов7

ответов, приведённых в конце пособия. Если ответы не совпадут, попробуйте ещё раз решить задачу, а при необходимости найдите подобную среди разобранных примеров.

Задания части В, отсутствующие в данной книге, рассматриваются в следующих книгах: "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 1: Арифметика и алгебра" и "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 2: Алгебра и начала анализа".

Комплекс "Математика, Подготовка к ЕГЭ" издательства "Легион":

• Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014.

• Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-2014.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Учебно-тренировочные тесты.

• Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-2014. Учебно-тренировочные тесты.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Теория вероятностей.

• Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть l : Арифметика и алгебра.

• Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 2: Алгебра и начала анализа.

• Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть З: Геометрия.

• Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2014 (С1, СЗ). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы.

• Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание Сб.

• Математика. 11-й класс. Повторение курса в формате ЕГЭ. Рабочая программа.

8От авторов

• Математика. 10-й класс. Промежуточная аттестация в форме ЕГЭ.

• Математика. 10- 11 классы. Карманный справочник.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (С 1 ).

• Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание С2. Многогранники: типы задач и методы их решений.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ: решаем СЗ методом рационализации.

• Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и Г ИА-9. Учимся решать задачи и повторяем теорию.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий части С. Решения и комментарии.

Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ: математический бой. Задания частей В и С.

Продиагностировать уровень знаний и в соответствии с полученными результатами оптимально подобрать пособия, которые понадобятся в процессе подготовки, поможет брошюра "Готовимся к ЕГЭ по математике, С чего начать?", содержащая всю информацико об учебно-методическом комплексе "Математика. Подготовка к ЕГЭ" издательства "Легион".

Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно прислать почтой или на электронный адрес:

1egionrusQ1egionrus . сот.

Обсудить пособие, оставить свои замечания и предложения, задать вопросы можно на официальном форуме издательства: http : //forum. 1egionr. ru.

Желаем успехов на экзамене!

Площади Диагностическая работа

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 1). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 1.

2. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисун-

ке 2. 6 о Рис. 2

З. Найдите площадь ромба, вершины которого имеют координаты (2; 6), (4; 10), (6; 6), (4; 2) (см. рис. З).

Рис. З.

4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 4). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

•vnv,wa•

•wmm•• Рис. 4.

5. Найдите площадь сектора S, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 5). В ответе укажите -

••шишиит;• Рис. 5.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

О Немного полезной информации

В этой главе мы рассмотрим простые виды задач по геометрии, а именно задачи, в которых нужно найти площади плоских фигур, нарисованных на клетчатой бумаге или расположенных на координатной плоскости.

Для решения таких задач требуется знать не очень много формул, поэтому их решение доступно практически каждому.

Давайте вспомним эти формулы и разберём примеры их применения.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (с) равен сумме квадратов катетов

2 Площадь прямоугольного треугольника равна поло-

ab вине произведения его катетов: S =

2 Напомним, что у прямоугольного треугольника есть прямой угол, равный 900 . Сторона напротив прямого угла (самая минная) называется гипотенузой, две прилежащие к прямому углу сторо- Рис. 6.

ны называют катетами.

На рисунке 6 приведены чертежи некоторых прямоугольных треугольников, у которых показаны катеты а и Ь.

у.

g---r ЗаДачи с решениями

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 7). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 7. Решение.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В данном треугольнике катеты равны 2 см и 6 см (посчитаем по клеточкам), поэтому площадь S 22' 6 = 6 (см2). Ответ: 6.

О Немного полезной информации

Теперь рассмотрим задачу, в которой точки изображены на координатной плоскости. Напомним, что любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя числами - координатами. Первая координата называется абсциссой (х), вторая координата называется ординатой (у). На рисунке 8 точки А, В и С имеют координаты А(4; 10),

Посмотрим внимательно на рисунок 8. Если у двух точек одинаковые абсциссы (с), как у точек Т и А, или одинаковые ординаты (у), как у точек В, Т и С, то соответствующие от-

Рис. 8. резки параллельны осям координат. АТ параллелен Оу, ВС параллелен Ос. В таких случаях длину отрезка легко найти, если вычесть различающиеся координаты точек.

Например, найдём длину отрезка АТ, где А(4; 10), Т (4; 2). Абсциссы (с) у них равны. Найдём разность ординат (у), длина АТ равна 10 - 2 = 8.

длину отрезка ТС, параллельного оси Ос, можно найти, если вычесть их абсциссы: 8 - 4 = 4.

длину АС найдём по теореме Пифагора. Треугольник АСТ прямоугольный, АС = ТС + "41'2 .

= 42 + 82 = 16+64 = 80. АС Об.

8---r ЗаДачи с решениями

2. Найдите площадь треугольника (в см2 ), вершины которого имеют координаты (4; 2), (6; 2), (4; 10) (см. рис. 9). Решение.

1-й способ.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдём длину катета ВА. Абсциссы (с) у них равны. Находим разность ординат (у), длина АВ

Рис. 9.

равна 10 - 2 = 8. Длину отрезка ВС, параллельного оси Ос, можно найти, если вычесть их абсциссы: 6 -4 = 2. Тогда площадь S = 2; 8 = 8 (см2).

Ответ: 8. 2-й способ.

9 8 7

6 5

4 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 х Ответ: 8. Рис. 10. Нанесём координатную сетку (нарисуем линии с промежутком 1 10 прямо на данном чертеже, рисунок 10). После этого по клеточкам посчитаем длину катетов и вычислим площадь. АВ = 8, ВС = 2,

о При этом способе решения задач важно не ошибиться и не пропускать числа и линии в координатной сетке, их нужно проводить с разницей в единицу.

треугольника

Площадь треугольника

О Нежного полезной информации

Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (а) на высоту

ah (h), проведённую к этой стороне: S =

2 На рисунке приведены чертежи некоторых треугольников, у которых обозначены одна из сторон а и высота, проведённая к этой стороне h.

Как правило, удобно брать ту сторону, которая проходит по линиям клетчатой бумаги (или же проходит параллельно осям координат).

ип пи:пиппоп•••. 8---т ЗаДачи с решениями

З. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 12). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

$1.

пиппп Рис. 12.

Решение. 1-й способ.

Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (а) на высоту ф), проведённую к этой стороне. Проведём высоту Ь. Треугольник тупоугольный, поэтому высота проводится вне треугольника.

а типа п•ппп Рис. 13.

На рисунке 13 сторона а = 2 см, высота h -- 3 см.

- З см 2 . 22

Ответ: З. Заметим, что так как клетки имеют размер 1 см х 1 см, то площадь в квадратных сантиметрах получится, если мы будем по рисунку считать размер отрезков в клетках. Поэтому единицы длины в этих задачах можно и не писать.

четырёхугольника

2-й способ.

Достроим треугольник ВСМ до прямоугольного треугольника МСА (см. рис. 14).

апипа м Рис. 14.

Тогда искомую площадь треугольника ВСМ можно найти как разность площадей двух прямоугольных треугольников МАС и МАВ.

Катеты первого из них равны З см и З см, катеты второго - З см и 1 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, следовательно,

МАС -2- = 1,5;

22 МВС = SMACМАВ = 4,5 - 1,5 = З.

Ответ: З. Площадь четырёхугольника

О Немного полезной информации

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

Sl.

На рисунке 15 приведены. чертежи некоторых прямоугольников, у которых показаны смежные стороны а и Ь.

g--r ЗаДачи с решениями

4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён прямоугольник (см. рис. 16). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 16.

Решение. 1-й способ.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон а и Ь. Для того чтобы найти стороны прямоугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 2 и ВС = 1 и гипотенузой АС = Ь (см. рис. 17).

четырёхугольника

По теореме Пифагора гипотенуза АС = Ь равна

1 2 + 22 = МЗ. Из треугольника CDE с катетами CD = 4 и DE = 2 найдём гипотенузу СЕ. а

Следовательно, площадь прямоугольника S Ответ: 10.

2-й способ.

Достроим прямоугольник АСЕН до прямоугольника ВКМ D (см. рис. 18). Чтобы найти площадь АСЕН, нужно из площади прямоугольника ВК М D вычесть площади прямоугольных треугольников АК Н, НМ Е, EDC и АВС.

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то площадь каждого из двух больших треугольников (АК Н и EDC) равна 4, а площадь каждого из двух маленьких треугольников (Н МЕ и АВС) равна 1. Площадь прямоугольника ВК М D равна 4 5 = 20 Следовательно, площадь искомого прямоугольника будет равна 20 - 1 - 1 Ответ: 10.

Заметим, что подобным "достраиванием" можно найти площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге.

Sl.

5. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 19). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

ппх•оап Рис. 19.

Решение. Достроим четырёхугольник до (см. рис. 20).

Чтобы найти площадь четырёхуголь- прямоугольника 15

9 4 ника, нужно из площади прямоугольника со сторонами 5 и 6 вычесть площади четырёх прямоугольных треугольников и квадрата. Попробуйте посчитать площади прямоугольных треугольников самостоятельно, величины этих площадей указаны на рисунке. Рис. 20.

Получаем площадь заданного четырёхугольника:

Ответ: 7.

Площади круга и сектора

О Нежного полезной информации

Площадь круга равна произведению числа т на квадрат радиуса:

&--т Задачи с решениями

6. Найдите площадь S круга, считая стороны клеток равны-

ми 1 (см. рис. 21 ). В ответе укажите -.

т аибб•а Рис. 21.

Решение.

Площадь круга равна произведению числа т на квадрат радиуса. Найдём радиус. Из центра О проведём радиус ОА. В треугольнике ОАВ сторона ОА - гипотенуза, катеты рав: ны 1 и 2 (см. рис. 22).

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.

1 2 + 22 = мб. Площадь круга S = = 5т.

S 5т

Ответ: 5.

"$1. 7. На клетчатой бумаге нарисовано два круга (см. рис. 23). Площадь внутреннего круга равна З. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Рис. 23. Решение.

Радиус R внутреннего круга - З клетки, его площадь равна TR2 = З. Радиус внешнего круга - 6 клеток, то есть 2R, поэтому его площадь равна т • (2R) 2 = З • 4 = 12. Площадь заштрихованной фигуры равна разности 12 - З = 9.

Ответ: 9.

О Немного полезной информации

TR2a Площадь сектора с углом а градусов равна

3600 &--т ЗаДачи с решениями

8. Найдите площадь S сектора с углом 18 градусов и радиусом 4.

В ответе укажите -

Решение. Посчитаем площадь сектора по формуле

TR2 a т • 42 • 18

0,8т. 0,8. 360360

Ответ: 0,8.

9. Найдите площадь S заштрихованного сектора, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 24). В ответе укажите -

ааааа•аоааа Рис. 24.

Решение. На рисунке А площадь круга с радиусом R = 2 равна TR2 = Т • 22 = 4Т

На рисунке В площадь сектора составляет - от ПЛОщди круга (если круг разделить на 4 равные части, то одна

у.

из них как раз и будет равна заданному сектору), то есть

44 Можно было решать задачу по-другому. Площадь сектора равна площади круга, делённой на 4. S : 4 = 4т : 4 = т.

Ответ: 1. 10. Найдите площадь S заштрихованных секторов на рисунках С и D, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 25).

В ответе укажите -

Рис. 25. Решение.

Посчитаем, какая часть круга закрашена. Проведя дополнительные линии (см. рис. 26), видим, что сектор на рисунке С составляет - часть круга, а сектор на рисунке D составляет

5 - частей круга (круг разделён на 8 равных частей, и закраше8 но 5 таких частей).

Находим площади секторов на рисунках С и D.

1-й способ.

Поделим площадь круга на 8, получим площадь сектора на рисунке С, потом умножим эту площадь на 5, получим площадь сектора на рисунке D.

= 4т : 2,5т= 2,5.

т Ответ: 0,5 и 2,5.

2-й способ.

Найдём площадь - круга.

Sc = - 1 •4т = 0 5т 8 0 5, SD =

т8 4Т = 2,5т•, ё = 2,5. Ответ: 0,5 и 2,5.

О Немного полезной информации

А теперь перейдём к формулам, которые неплохо бы знать каждому выпускнику, но, к сожалению, многие забывают их к 11-му классу. Заметим, что в принципе можно обойтись и без них при решении данных задач (находя площадь как сумму или разность площадей прямоугольников и треугольников), но иногда это приводит к длинным вычислениям.

$1. Площадь трапеции

Напомним, что трапеция - это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований (а + Ь) на высоту (И):

2 На рисунке 27 приведены чертежи некоторых трапеций, у каждой из которых показаны основания а и Ь и высота h.

Рис. 27.

&--т ЗаДачи с решениями

1 1. На клетчатой бумаге с метками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 28). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 28. трапеции

Решение.

1-й способ.

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. Обозначим трапецию ABCD. ПровеДём из точки D высоту DM к основанию АВ. По рисунку 29 видно, что высота равна 2 см, основания АВ = 4 см,

Рис. 29. Площадь трапеции S =

2 Ответ: 6.

2-й способ.

Разобьём трапецию на три части - два прямоугольных треугольника и квадрат. Сторона квадрата 2, площадь квадрата S1 = 2 • 2 = 4, катеты каждого из прямоугольных треугольников 1 и 2, площадь каждого из прямоугольных треугольников равна половине произведения катетов, S2 = 1 2 : 2 = 1. Получаем, что площадь трапеции S = 4+ 1 + 1 =6 (см2).

Ответ: 6. 28$1.

12. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 30). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

пап Рис. 30.

Решение. Обозначим трапецию ABCD. Проведём высоту DH. На рисунке 31 видно, что высота равна 2 см, основание "4D = 1 см, ВС = З см.

папа обап Рис. 31.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы осно-

ваний на высоту: S =

2 Ответ: 4.

трапеции

13, Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 2), (1; 6), (6; 12), (6; 6) (см. рис. 32).

Рис. 32.

Решение. 1-й способ,

12 6 2 1 Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. Обозначим трапецию ABCD (см. рис. 33). Проведём из точки В перпендикуляр к CD. Этим перпендикуляром будет BD. Высота

BD = 6 - 1 = 5, основания трапеции АВ и CD равны 4 и 6 соответственно. Найдём

площадь трапеции S = = 25.Рис. 33 2

Ответ: 25. 2-й способ.

Разобьём трапецию на два прямоугольных треугольника ABD и DBC (см. рис. 33). Площадь прямоугольного треугольника ABD с катетами АВ = 4 и BD = 5 равна половине произведения катетов, то есть 4 • 5 : 2 10. пло-

щадь прямоугольного треугольника DBC с катетами DB = 5 и CD = 6 равна половине произведения катетов, то есть 6 5 : 2 15. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ABD и DBC. Получим S = 10 + 15 = 25.

Ответ: 25.

Площадь ромба

О Немного полезной информации

Напомним, что ромб - это четырёхугольник, у которого все стороны равны. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

d1d2

2 На рисунке 34 приведены чертежи некоторых ромбов, у которых показаны диагонали.

ппипапвкг;лппа 34.

ромба Обратите внимание, площади ромбов для рисунков В и D легко посчитать по этой формуле, а для рисунков А и С сначала придётся вычислить длины диагоналей. Например, для рисунка А длины диагоналей вычислим по теореме Пифаго-

ра: d1 = ф =

2 На рисунках В и D диагонали каждого из ромбов проходят по линиям клеток, считаем их мину по рисунку. Диагонали ромба В равны 6 и 4, диагонали ромба D равны 2 и 4. Найдём

6-42 -4 их площади. ,.SB == 12, SD22

8--т Задачи с решениями

14. Найдите площадь ромба на рисунке С (см. рис. 34).

Решение. 1-й способ.

пббппи Диагонали находим как гипотенузы прямоугольных треугольников АСВ и М РК по теореме Пифагора (см. рис. 35).

Диагональ АС

Рис. 35.

2 Ответ: 8.

2-й способ.

Достроим ромб АМСР до квадрата АТСВ (см. рис. 36).

Чтобы найти площадь ромба, нужно из площади квадрата

АТСВ, которая составляет 16 клеток, вычесть площадь че-

32.$l. аикм"пиа •оаапи Рис. 36.

тырёх треугольников с катетами 1 и З и площадью 1,5 и двух квадратов со стороной 1 и площадью 1. Тогда площадь ромба равна 16 - (1,5 • 4+ 1 • 2) = 8.

Ответ: 8.

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 37). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

аат•ппа 37.

2. На- клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 38). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 38. З, Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 39.

Рис. 39. 4. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 4), (5; З), (З; 2) (см. рис. 40).

Рис. 40.

3.3. № 249 5. Найдите площадь S кольца, ограниченного окружностями, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 41 ). В ответе укажите -

Рис. 41. Вариант 2

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 42). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

42.

35 2. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (1; 2), (1; 5), (З; З), (З; 6) (см. рис. 43).

5 З З 6 2 Рис. 43.

З. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (1; 0), (6; З), (5; 6), (0; З) (см. рис. 44).

Рис. 44.

4. Найдите площадь S треугольника, считая стороны квадратных клеток равными 1 (см. рис. 45).

ап•па 45.

5, Найдите площадь S кольца, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 46). В ответе укажите -.

••••••ss•a• Рис. 46.

Вариант З

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 47). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 47.Рис. 48.

2. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 2), (З; 5), (6; 5), (6; 2) (см. рис. 48).

37

З. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке 49.

Рис. 49. 4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен прямоугольник (см. рис. 50). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

5. Найдите площадь S сектора, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 51). В ответе

Рис. 50. укажите -

51. Вариант 4

1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 52.

Рис. 52. 2. На рисунке 53 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Рис. 53.

З. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (12; 2), (10; 12), (6; 12) (см. рис. 54).

54. 4. с клетками 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 55). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 55. 5. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображены две окружности (см. рис. 56). Найдите площадь S заштрихованной фигуры в квадратных сантиметрах. В ответе укажите -

56.

Вариант 5

1. с клетками 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 57). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 57. 2, Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (1; 2), (2; 5), (5; З), (6; 6) (см. рис. 58).

Рис. 58.Рис. 59.

З. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 59.

4. с клетками 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 60). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 60. 5. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображены две окружности (см. рис. 61 Найдите площадь S заштрихованной фшуры в квадратных сантиметрах. В ответе укажите -

61.

S2. Координаты и векторы

Диагностическая работа

1. Найдите абсциссу точки, симметричной точке А(З, 8) относительно начала координат (см. рис. 62).

х Рис. 62.Рис. 63.

2. Найдите длину отрезка, соединяющего точки А(5, -8) и

З. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке Р(З, 6), чтобы она касалась оси абсцисс (см. рис. 63)?

4. Диагонали ромба ABCD равны 60 и 80 (см. рис. 64). Найдите длину вектора АВ.

8 Рис. 64.Рис. 65.

5. Найдите сумму координат веКтора АВ (см. рис. 65)

Координаты точек

О Нежного полезной информации

Рассмотрим прямоугольную систему координат Осу

(см. рис. 66).

Длина отрезка АВ, для которого известны координаты его концов А(сх УА) и В(св; ув), определяется по форму-

ле = ( С В - СА) 2 + (ув - УА) 2 .

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

Рис. 66.Рис. 67.

Если точки А и В симметричны относительно оси Ос (оси абсцисс), то их ординаты противоположны (см. рис. 67), а абсциссы равны: А(с; у), В(с; -у).

Если точки А и С симметричны относительно оси Оу, то их абсциссы противоположны, а ординаты равны: А(с; у),

Если точки А и D симметричны относительно начала координат, то их координаты противоположны: А(с; у), 44$2.

g---r ЗаДачи с решениями

1 . Найдите расстояние от точки В с координатами (12; -5) до начала координат (см. рис. 68).

О х •B(12•, -5)

Рис. 68. Решение.

Начало координат находится в точке 0(0; 0). Расстояние от О до В равно ОВ= (хв - хо + (ув - уо) 2 = (12 - + (-5 _ = 13.

Ответ: 13.

О х 2. Найдите абсциссу точки, симметричной точке "4(2; 5) относительно оси Оу (см. рис. 69).

Решение. Рис. 69.

Точке А симметрична точка Щ -2; 5)

(см. рис. 70). Абсцисса точки В равна -2.

Рис. 70. Ответ

Решение.

Пусть С(с; у) - середина АВ. Тогда ордината точки С

УА + Ув6+4

= 5. Ордината равна 5. 22

Ответ: 5. 4. точки А(-1 ; -2), В(4; -1), СФ; 5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки Р пересечения его диагоналей (см. рис. 72).

Рис. 72 46

Решение.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Абсцисса точки Р равна

1 + 6 = 2,5. 22

Ответ: 2,5.

5. Найдите ординату центра окружности (см. рис. 73), описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (2; 2), (2; -6), (-4; -6),

Рис. 73.

Решение. Центр описанной окружности прямоугольника лежит на середине диагонали. Найдём ординату середины АС.

УА + Ус 22 Ответ: -2.

6. Точки 0(0; 0), В(8; 2), С(0; 8) являются вершинами параллелограмма (см. рис. 74). Найдите ординату точки М.

со;8)

Рис. 74. Решение.

Ордината - это координата по оси Оу. Она равна длине отрезка НМ (см. рис. 75). НВ = 2, так как ордината В равна 2. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то ОС = ВМ = 8. Тогда НМ = 2 +8 = 10.

со;8) Рис. 75

Ответ: 10.

7. Прямая а проходит через точки с координатами (0; 2)

(-4; 0). Прямая Ь проходит через точку с координатами (0; -4) и параллельна прямой а (см. рис. 76). Найдите абсциссу точки пересечения прямой Ь с осью Ос.

Рис. 76. Решение.

1-й способ.

Нарисуем картинку на клетчатой бумаге (см. рис. 77).

Рис. 77. Абсцисса точки пересечения прямой Ь с осью Ос равна длине отрезка ОА. Так как прямые параллельны, углы НСО и АВК равны, достроим 2 треугольника ВКТ и ТМА, равных треугольнику НСО.

Ответ: 8.

2-й способ.

Треугольники СНО и ВОА подобны по трём углам (см. рис. 78), значит, их стороны пропорциональны. ОВ : ОН = ОА : ОС, тогдаОА=8.

с 2 а Н -4 -4

в Рис. 78. Ответ: 8.

8. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (12; О) и (0; 12) (см. рис. 79).

12 12 Рис. 79.

Решение. 1-й способ.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который прямая образует с положительным направлением оси

Ос (там, где на оси стрелочка). В нашей задаче это угол а (см. рис. 80).

12 х 12 в Рис. 80.

Он Ђ,'ПОЙ, значит, его тангенс отрицательный и по м(Д7.лю равен тангенсу угла Ь = 1800 - а. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ с катетами ОА = 12 и ОВ = 12. Тангенс

ОА 12 угла Ь равен= - = 1. Тангенс угла а равен -1. Угловой ов 12 коэффициент прямой равен -1.

Ответ: -1. 2-й способ.

Угловой коэффициент прямой К можно получить так:

, где ду и дт - разницы координат двух любых тодт чек прямой. Например, для АО; 12) - 12, для О. Ду = - УГ = 12 - 0 = 12.

( 12) = -1. дт

Ответ Векторы

Векторы

О Нежного полезной информации

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом, называется вектором.

Вектор характеризуется модулем (длиной отрезка) и направлением. два вектора, имеющие одинаковые модули и направления, равны.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначат АВ или строчной (маленькой) буквой, например а (см. рис. 81

Рис. 81.

Модуль (длину) вектора обозначают

Сумма векторов - это вектор, который можно получить двумя способами (см. рис. 82). Заметим, что для любых точек А, ВИС АВ + ВС = АС.

аа Рис. 82

@--т Задачи с решениями

9, Стороны правильного треугольника kNP равны 10 (см. рис. 84). Найдите длину вектора КЛТ КР .

к Рис. 84. Решение.

КЛТ - КР = PN, lPNl = 10.

Ответ: 10.

10. Стороны правильного треугольника kNP равны 10 (см. рис. 85). Найдите квадрат длины вектора К ЛТ + КР.

к Рис. 85.

Решение.

Достроим ДК Рим до ромба kPTN (см. рис. 86). К ЛТ + КР = КТ. найдём длину КТ из ДКТР с углом Р = 1200 . Согласно теореме косинусов, кт2 = 102 + 102 -2 • 10 • 10 • (-0,5) = 300.

к Рис. 86.

Ответ: 300.

Координаты вектора

О Нежного полезной информации

Пусть точки А и В имеют координаты А(сж УА), в(св; ув).

Координаты вектора АВ вычисляются по формуле

Длина вектора, или мощјль вектора АВ{с; у}:

( С В - СА) 2 + (ув - УА) 2 = .с2 + у2 .

Заметим, что если ввести координатные векторы i и так, что длины этих векторов равны 1, а направление вектора i совпадает с направлением оси Ос, вектора - оси Оу, то любой вектор а на координатной плоскости можно представить в виде разложения а = с i +уј , где числа с, у называют координатами вектора 7. Обычно записывают 7{с; у} или

Для параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны и параллельны. Например, для параллелограмма ABCD (см. рис. 87) АВ = DC, так как АВ = CD и АВ ll Сд

Рис. 87.

Диагонали параллелограмма пересекаются в середине диагоналей, поэтому АО = ОС, ВО = 01) (см. рис. 88).

Рис. 88. Скалярное произведение векторов аcosa, где а - угол между векторами а и Ь.

Если векторы заданы координатами а{ са; уа), Ь { СЫ уь}, то а • Ь = • + уа • уь.

д--т ЗаДачи с решениями

1 1. Найдите длину вектора 7{5; -12} (см. рис 89).

Рис. 89. Решение.

а52 + (-12)2 = 13

Ответ: 13.

12. Точки -2), В(4; -1), СФ; 5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки D (см. рис. 90).

Рис. 90. Решение.

Стороны параллелограмма AD ВС и AD = ВС, поэтому AD = ВС. Найдём ординаты векторов AD и ВС.

YD - УА = Ус - ив, YD

Ответ: 4. $2.

13. Стороны правильного треугольника MkN равны 10 (см. рис. 91 ). Найдите скалярное произведение векторов kN и КМ.

м к Рис. 91.

Решение.

Скалярное произведение векторов вычисляют по формуле К ЛТ • КМ = |kNl • lkM| • cosa, где а - угол между векторами. В правильном ДМ К 1У углы равны по 600 , поэтому К ЛТ • км = 10 • 10 • = 100 • = 50. Ответ: 50.

14, Найдите сумму координат вектора а - Ь (см. рис. 92).

О 2 Рис. 92.

Решение.

Найдём координаты вектора а. Он выходит из начала координат, поэтому его координаты равны координатам его конца: 7{2; 3}. Аналогично Ь {6; 4}.

7- Ь имеет координаты {2 - 6; З- 4}, то есть {-4; Сумма координат -4 + (-1) - Ответ: -5.

15. Найдите квадрат длины вектора 7 + Ь (см. рис. 92).

Решение.

7{2; 3}, Ь {6; 4}. Тогда + Ь имеет координаты {2 +6; 3+4} или {8; 7}.

82 + 72 = 64 + 49 = 113. Ответ: 113.

16. Найдите скалярное произведение векторов а и Ь (см. рис. 92).

Решение.

7{2; 3}, b{6; 4}. Тогда

Ь = • + уа = 2 • 6+3 • 4 = 24. Ответ: 24.

17. Найдите угол между векторами а и Ь (см. рис. 93). Ответ выразите в градусах.

Рис. 93.

Решение.

р. а = 900 .

Ответ: 90. Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки "4(-6•, 4) и в(4; 16).

2. Найдите сумму координат вектора 7 - Ь (см. рис. 94).

Рис. 94. З. Найдите скалярное произведение векторов а и Ь (см. рис. 94).

4. Стороны правильного треугольника МКР равны 12 (см. рис. 95). Найдите длину вектора МК - МР.

мк

95. 5. Найдите угол между векторами а и Ь (см. рис. 96). Ответ дайте в градусах.

Рис. 96. Вариант 2

1. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки

2. Найдите ординату точки пересечения оси Оу и отрезка, соединяющего точки А(-4; 6) и В(4; 0).

З. Точки 0(0; 0), А(8; 6), В(З; 4) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки D (см. рис. 97).

97.

4. Найдите длину вектора 7 {9; 40) (см. рис. 98).

Рис. 98. 5. Стороны правильного треугольника МКР равны 5v'3 (см. рис. 99). Найдите длину вектора МР + МК.

м Рис. 99. Вариант З

1. Найдите ординату точки, симметричной точке В(б; -2) относительно оси абсцисс (см. рис. 100).

х во, -2)

100. 2. Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки Оф; 0) и "4(5; 12), к оси абсцисс (см. рис. 101). В ответ запишите косинус угла, умноженный на 26.

А(5•, 12) Рис. 101.

З. Точки Оф; 0), А(8; 6), В(З; 4) и D(5; 2) являются вершинами четырёхугольника. Найдите абсциссу точки Р пересечения его диагоналей (см. рис. 102).

Рис. 102.

4. Вектор АВ с началом в точке 4) имеет координаты (6; 2) (см. рис. 103). Найдите сумму координат точки В.

103. 5. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 15 и 6 (см. рис. 104). Найдите скалярное произведение векторов АО и ВО.

Рис. 104. Вариант 4

1. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки "4(6; 4) и в(14; -2).

2. Найдите ординату точки пересечения оси Оу и прямой, проходящей через точку В(7; З) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(7; 6) (см. рис. 105).

Рис. 105.

З. Найдите абсциссу центра окружности (см. рис. 106), описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (9; 0), (0; 12), (9; 12).

Рис. 106. 4. две стороны прямоугольника ABCD равны 12 и 16 (см. рис. 107). Найдите длину разности векторов АВ и AD.

Рис. 107. 5, Стороны правильного треугольника МКР равны 14. Найдите скалярное произведение векторов МК и МР.

Вариант 5

1. Две стороны прямоугольника ABCD равны З и 4. Найдите мину вектора АС.

2. Вектор АВ с началом в точке "4(1; 5) имеет координаты (4; 2). Найдите ординату точки В.

З. Найдите квадрат длины вектора 7 + Ь (см. рис. 108).

о 2 12 Рис. 108

4. Две стороны прямоугольника ABCD равны 12 и 5. Диагонали пересекаются в точке О (см. рис. 109). Найдите длину разности векторов АО и ВО.

Рис. 109. 5. Найдите скалярное произведение векторов а и (см. рис. ПО).

8 Рис. ПО.

S3, Углы и длины

Диагностическая работа

1. В ромбе МРКТ угол МТР равен 41 0 (см. рис. 1 1). найдите угол РКТ. Ответ дайте в градусах.

Рис. l l l .

2. Касательные МА и МВ к окружности образуют угол АМВ, равный 1590 . Найдите величину меньшей дуги АД ограниченной точками касания. Ответ дайте в градусах (см. рис. 112).

Рис. 1 12.

5.3- № 249 длины

З. Найдите величину утла М РК. Ответ дайте в гращсах (см. рис. П З).

Рис. 1 13. 4. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 12 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию (см. рис. 1 14). Найдите периметр треуголь-

ника.

Рис. 1 14. 5. Точки А, В, С, D, расположенные на

в окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и АД градусные вели-

чины которых относятся соответственно как 5 : З : 4 : 6 (см. рис. П 5). Найдите угол С

четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в гра- Рис. 1 15. щјсах.

Свойства треугольника

О Немного полезной информации

Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром.

= АВ + ВС + АС.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. На рисунке 16 М ЛТ - средняя линия треугольника АВС.

Рис. Пб.

. Средняя линия треугольника параллельна его стороне и равна половине этой стороны. М ЛТ ll АС, М ЛТ = -АС.

2. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника (см. рис. 17).

3.3- № 249 Сумма углов треугольника равна 1800 . На рисунке 118

ZA + = 1800 .

В Рис. 118.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

в Рис. 119.

Например, Z4 и Z3 - смежные, следовательно, Z4 внешний угол треугольника АВС (см. рис. 119). Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Угол 4 - внешний угол треугольника АВС.

Г--т ЗаДачи с решениями

1. В треугольнике МРК угол Р равен 350 (см. рис. 120), угол К равен 950 , МВ - биссектриса, Е - такая точка на МР, что МЕ = МК. Найдите угол РВЕ. Ответ дайте в градусах.

к м Рис. 120.

Решение. ДМКВ = ДМВЕ по первому признаку (КМ = МЕ по условию, МВ - общая сторона. ZkMB = ОМЕ, так как МВ - биссектриса), ZBEM = Лк = 950 .

Внешний угол ДВЕР равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть ZBEM = ZP + ИВЕ.

ИВЕ = 950 - 350 = 600 .

Ответ: 60. 2. На рисунке 121 угол 1 равен 52 0 , угол 2 равен 260 , угол З равен 480 . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение. Сумма углов треугольника равна

1800 , а четырёхугольника - 3600 .Рис. 121.

В ДАСЕ со = 1800 - Z1 - 7.2 = 1800 - 520 - 260 = 102 0 (см. рис. 122).

Рис. 122. в ДАТ) z6 = 1800 - z1- а = 1800 - 520 - 480 = 800 В четырёхугольнике АВЕЕ Z1 + Z6 + Z4 + Z5 = 3600 а = 3600 - 52 0 - 80 - 102 0 = 1260 .

Ответ: 126.

З. В треугольнике У Н R стороны У R = Н R = 12, высота VD равна рис. 123). Найдите угол R Ответ дайте в гращсах.

D н

Рис. 123. Решение.

В прямоугольном AVDR ZD = 900 , гипотенуза У R = 12, катет VD 6. Если катет равен половине гипотенузы, то напротив этого катета лежит угол, равный 300 . Поэтому ZR = 300 .

Ответ: 30. 4. В треугольнике АВС СН - высота, АК - биссектриса, О - точка пересечения прямых СН и АК, угол ВАК равен 31 0 . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах (см. рис. 124).

в н

Рис. 124. Решение.

АК - биссектриса, значит, ZCAk ZBAk - 31 0 , САН = 2 • 31 0 = 620 .

В ДАСН ИНС = 900 , ZHCA = 1800 - 62 0 = 280 .

Рассмотрим ДАСО.

ИОС = 1800 -ZHCA-ZCAO = 1800 -280 -31 0 = 121 0 Ответ: 121.

5. Острые углы прямоугольного треугольника равны 39 0 и 51 0 . Найдите угол межрЂ7 высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 125).

Решение. В Д АВС ZC = 900 , ZA = 39 0 , = 51 0 .

CD - биссектриса, ZACD = ОСВ = 450 .

Рис. 125. СН - высота, ИНС = 900 . Нужно найти ZDCH, он равен разности ZACH - ZACD.

Найдём ZACH из ДАСН.

ZACH = 180 0 - 900 - 39 0 = 51 0 . ZDCH = 510 - 450 = 60. Ответ: 6.

6. Один из внешних углов треугольника равен 85 0 . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : З (см. рис. 126). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусак

с

Рис. 126. Решение.

Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть ZA + ZC = 850 .

Обозначим ZA = '2с, ZC = Зс. 2х + 3х = 85, 5х = 85, = 17 zc = = з . 17 = - наибольший из углов А и С. Ответ: 51.

7. Основания трапеции АВ и DC равны 14 и 10 соответственно (см. рис. 127). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ BD.

Рис. 127.

Решение. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции, и её концы являются серединами боковых сторон. РС АВ ll ЕР, ЕР = БА, ВР = СР. Параллельные прямые DC, EF и АВ проходят через концы равных отрезков на одной прямой (AD), значит, и на прямой DB они отсекают равные отрезки (по теореме Фалеса). ВК = Dk ЕК и kF - средние линии ДАЛ и ADCB. Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, - 14 : 2 = 7; К р = РС : 2 = : 2 5. Больший из отрезков равен 7.

Ответ: 7. 8. В треугольнике АВС проведена биссектриса АБ. АВ = АЕ = СЕ. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах (см. рис. 128).

Решение. АВ = АЕ ДАВЕ - равнобедренный, и углы при основании равны (см. рис. 129). Z1 = Z2. Аналогично в равно-

Рис. 128.

бедренном Д АСЕ Z3 = И. Z5 = Z3, так как АЕ - биссектриса. = 1800 , Z1+Z2+Z5 = 1800 СУМ- мы углов треугольников. Обозначим ZB = с, Z4 = ZC = у.

В Рис. 129. 2у + с + у = 180, Зу + = 180= 72, у = 180; = 180; у = 36

ZC = 360 , ZB = 720 , ZA = 2у = 72 0 .

Меньший угол равен 360 .

Ответ: 36. 9. В треугольнике АВС угол А равен 480 , ZACD = 102 0 . На продолжении стороны АВ отложен отрезок BD = ВС. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах (см. рис. 130).

D Рис. ВО.

Решение. Сумма углов треугольника равна 1800 ,

ZA + О + ZACD = 1800 , О = 1800 - 480 - 102 0 = 300 . ADBC - равнобедренный (ВС = BD) углы при основании равны, ZBCD = ZD = 300.

Ответ: 30.

10. В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 1560 . Найдите угол С. Ответ дайте в градусах (см. рис. 131).

В Рис. 131.

Решение.

Внешний угол треугольника равен сумме углов, не смежных с ним. ZA + ZC = 1560 . ДАВС - равнобедренный, углы при основании равны. ZA = ZC = 156 0 : 2 = 780 . Ответ: 78.

Окружность, касательные и секущие

О Нежного полезной информации

Окружность - это множество точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки (центра).

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности, называется радиусом.

Прямая, имеющая с окружностью только одну обточку, называется касательной. К касательная (см. рис. 132).

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Окружность, касательные и секущие

Свойства касательных и секущих.

1 0 . Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

2 0 . Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности и эту обц.уо точку.

Пусть дана окружность с центром О, МР и МК - касательные, К и Р - точки касания ==> МР = МК, Z1 = И, орг + РМ2 = ОМ2 (см. рис. 133).

Рис. 133.

3 0 . Если касательная пересекается с секущей, то квадрат отрезка касательной равен произведению расстояний от общей точки прямых до точек пересечения секущей с окружностью.

Пусть дана окружность с центром О, МК - секущая, МР - касательная, Р ТОЧКа Ка СТАИЯ МР = МК • (см. рис. 134).

Хорда - это отрезок, концы которого лежат на окружности.

АВ - хорда, -АВ - дуга (см. рис. 135).

Дуга - это часть окружности, соединяющая две точки окружности (см. рис. 135).

8--т ЗаДачи с решениями

1 1. К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные (см. рис. 136). Периметры отсечённых треугольников равны 5, 6, 8. Найдите периметр треугольника АВС.

Рис. 136.

Решение. Рассмотрим рис. 137. Периметр ДОР равен

DC+CP+PM+ МД также - BG+GF+ ЕВ, PANR = NA + АН + RL + LN.

но отрезки ТР = DM, МР = РК, КЕ = ЕР, FG = GQ, QR = RL, LN = NT как отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки. Тогда

РАВС = АВ + ВС + СА = Рор + PBGE + PANR -

= 5+6+8= 19. Ответ: 19.

Углы, связанные с окружностью

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

О - центр окружности, ИОВ - центральный угол, опирающийся на дугу ВА (см. рис. 138).

Рис. 138.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Точки А, В, С лежат на окружности ==> ZBAC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС (см. рис. 139).

Рис. 139. 1 0 . Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.

О - центр окружности, А и В лежат на окружности. ИОВ = -АВ (см. рис. 138).

2 0 . Вписанный угол равен половине угловой величины дум, на которую он опирается.

ZBAC= !-ВС (см. рис. 139).

2 3 0 . Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

А, В, М, С лежат на окружности. ZABC = ZAMC (см. рис. 140).

140. 40 . Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 900 (см. рис. 141 ).

в Рис. 141.

5 0 . Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

ВА - хорда, ВС - касательная ZABC

2 (см. рис. 142).

Рис. 142.

60 . Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключённую между касательной и хордой.

ВА - хорда, ВС - касательная ZABC = ZADB (см. рис. 142).

8--т Задачи с решениями

12. Найдите угол АСО, если прямая СА касается окружности в точке А, точка О - центр окружности, щ,та AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 128 0 (см. рис. 143). Ответ дайте в гращсах.

Рис. ИЗ.

Решение. Угол межщ касательной и радиусом, проведённым в точку касания, прямой: ZOAC = 900 . Центральный угол DOA равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть ZDOA = -DA = 1280 . Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним,

ZDOA = ZOAC + ИСО, ИСО = 1280 - 900 = 38 0

Ответ: 38. 1 З. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 1040 . Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах (см. рис. 144).

в 144

Решение.

Угол межщ хордой и касательной к окружности, проведённой из конца хорды, равен половине угловой величины дуги, которую стягивает эта хорда.

СВА = 0,5-АВ = • 1040 = 520

Ответ: 52.

14. Через концы А и В дуги окружности в 560 в проведены касательные АС и ВС. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах (см. рис. 145).

Решение. Рис. 145.

ZOBC = ZOAC = 900 , так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. ZBOA = -ВА = 560 (центральный угол опирается на дугу 560 ). В четырёхугольнике ОВСА сумма углов равна 3600 .

ZACB = 3600 - 900 - 900 - 560 - 1240 .

Ответ: 124.

15, Найдите величину угла М РК. Ответ дайте в градусах (см. рис. 146).

к 146. Решение.

При формулировании подобных задач имеется в виду, что отмеченная на рисунке ,щта МК меньше всей окружности в целое число раз.

•п•чппи В

к Рис. 147.

дуга ВКодна четвёртая всей окружности (см. рис. 147), МК - одна восьмая, то есть 3600 : 8 = 450 . Вписанный ZMPk опирается на дуу МК, значит

ZMPk- мок = 450 : 2 = 22,50 .

2 Ответ: 22,5.

16. Центральный угол на 540 больше острого вписанного утла, опирающегося на ту же "yry окружности (см. рис. 148). Найдите вписанный угол. Ответ дайте в гращсах.

148. Решение.

Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Если он на 540 больше вписанного угла, то вписанный угол равен 540 .

Ответ: 54.

17. В окружности с центром О АВ и CD - диаметры (см. рис. 149). Центральный угол

AOD равен 1080 . Найдите вписанный угол Рис. 149. АВС Ответ дайте в гра№ах.

Решение. Диаметр DC опирается на полуокружность DC = 1800 . vAC = vDC - vDA = 1800 - ZDOA = 1800 - 1080 = 720 . Вписанный угол АВС равен половине угловой величины дуги, на которую опирается. ZABC = 0,5vAC = 0,5 • 72 0 - 360 Ответ: 36.

18. Найдите угол АСВ, если вписанные углы АМВ и МАК опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 1060 и 42 0 (см. рис. 150). Ответ дайте в градусах.

150.

Решение.

Вписанный угол равен половине градусной меры щги, на которую он опирается. ZBMA = = 0,5 • 1060 = 530 . ZMAI АР + ВС = АВ + РС (см. рис. 156).

40 . Центр описанной окружности многоугольника- точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

ДАВС вписан в окружность, О - центр (см. рис. 157).

50 . центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, - середина гипотенузы.

Д АВС вписан в окружность с центром О, 7- В = 900 АО = ОС, точка О лежит на АС (см. рис. 158).

60 . Радиус т окружности, вписанной в прямоугольный тре-

угольник, можно вычислить по формуле т = , где а и 2

Ь - катеты, с - гипотенуза.

70 . Центры вписанной и описанной окружности правильного треугольника совпадают, центр лежит на высоте треугольника и делит её в отношении 2 : 1, считая от вершины.

8- 0 . Если четырёхугольник вписан в окружность, суммы его противоположных углов равны 1800 .

ABCD вписан в окружность (см. рис. 159). + ZC = + ZD = 1800 .

D Рис. 159.

90 . Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

&--т ЗаДачи с решениями

20. Угол между стороной правильного п-утольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности,. проведённым в одну из вершин п-угольника (принадлежащих этой стороне), равен 67,5 0 (см. рис. 160). Найдите п.

В Рис. 160.

Решение. Пусть АВ - сторона п-угольника. ДАОВ - равнобедренный, так как ОА = ОВ как радиусы, значит, углы при основании равны и ZA = В = 67,5 0 . найдём ИОВ. ZA + си в + ZO = 1800 ИОВ = 180 0 - 67 5 = 45 0 . Если п-угольник правильный, то ZAOB - 360 0 : п, тогда = 360 : 45 = 8.

Ответ: 8. 21. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 1130 , угол DAC равен 52 0 . Найдите угол АВЕ). Ответ дайте в градусах (см. рис. 161 ).

Рис. 161. Решение.

ZABD = ЛВС - ZDBC. ZDAC = ОВС = 520 (как

вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дцу). ZABD = 1130 - 520 = 61 0 .

Ответ: 61. 22. Сторона АВ остроугольного треугольника АВС равна радиусу описанной около него окружности (см. рис. 162). Найдите угол С. Ответ дайте в гращсах.

Рис. 162. Решение.

Пусть О - центр описанной окружности, тогда по условшо ОА = ОВ = АВ и ДАОВ правильный, ZO = 600 центральный угол, который опирается на дугу АВ. ZACB - вписанный, опирается на дугу АВ.

ZACB = • ИОВ = • 600 = ЗО .

Ответ: 30. 23. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 25, основание равно 30. Найдите радиус вписанной окруж- О ности (см. рис. 163).

н Рис. 163. Решение.

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности О лежит на высоте, проведённой к основанию, т.е. О е СН (см. рис. 164). О - точка пересечения биссектрис. ОН = т. АО - биссектриса, она делит сторону СН треугольника АСН на отрезки, пропорциональные прилежащим

АНАС

сторонам,СН - медиана, как высота, про-

но со ведённая к основанию равнобедренного треугольника АВС,

АН15. Из ДАСН по теореме Пифагора

1525

СН 20.25т15(20 - т) 20 -

40т - - 15 • 20, т = 7,5.

н Рис. 164.

Ответ: 7,5.

24. В треугольнике МРR МR = 32, PR = 24, угол R равен 900 . Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 165).

м Рис. 165.

Решение. Воспользуемся формулой деля радиуса т вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Пусть а, Ь - кате-

ты, а с - гипотенуза. Тогда т Найдём МР.

2 32 + 24 - 40

322 + 242 = 40, =

2 Ответ: 8.

25. Около окружности, радиус которой равен 7", описан квадрат (см. рис. 166). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Рис. 166.

Решение. Если окружность вписана в квадрат, то её диаметр равен стороне квадрата. АВ = 2 • = 14".

Если окружность описана вокруг квадрата, то её диаметр является диагональю квадрата, радиус равен половине диаметра. АС = "4Bv'5 (например, можно получить это из теоремы Пифагора). АС = 14v'5 • = 28. Тогда R = 28 : 2 = 14. Ответ: 14.

26. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её ббльшая боковая сторона равна 12 (см. рис. 167). Найдите радиус окружности.

к Рис. 167.

Решение. У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то есть

ВС + М) = DC+AB. Поэтому AD+CB =

2 Наибольшая боковая сторона СВ = 12 AD = 21 - 12 = 9. Тж АТАВ, то МК = AD = 2R, где R - радиус вписанной окружности. Тогда R = 9 : 2 = 4,5.

Ответ: 4,5.

27. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36 (см. рис. 168). Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение. Рис. 168.

По теореме синусов sin К

R - радиус описанной около ДК МР окружности. Пусть МР = РК 30, МК = 36. Проведём высоту РН (см. рис. 169). В равнобедренном треугольнике КМ Р высота РН является медианой, МН = НК = 18. Найдём РН по теореме Пифагора.

РН = vfPRj-=-НК2 = 302 -= = 24.

sin К -24 = 0,8.

РК к Рис. 169.

= 18,75. Ответ: 18,75.

28. Угол С треугольника АВС, вписанного в окружность радиусом 12, равен 30 0 (см. рис. 170). Найдите сторону АВ этого треугольника.

Решение.

По теореме синусов для радиуса описанной окружности R

АВ выполняется 2R = sin С

АВ = 2RsinC = 2 • 12 ЗОО = 2.

в

Рис. 170. Ответ: 12.

29. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 14. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, значит, гипотенуза - диаметр. Тогда гипотенуза равна 2 • 14 = 28.

Ответ: 28.

30. Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 80. Радиус описанной окружности равен 41 (см. рис. 171 ). Найдите высоту трапеции, если центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

Решение.

Проведём высоту НК через центр окружности О, Н и К будут лежать на серединах оснований (см. рис. 172). ДАОК и ДРНО прямоугольные, но ОТ - DH2 - 41 2 - 92 1600, но = 40. ок2 = АО - ме = 41 2 - = 81, ок = 9.

нк = но + ок = +9 = 49.

Рис. Ответ: 49.

7. Зак № 31. Точки А, В, С, D, расположенные на А окружности, являются вершинами четырёхугольника ABCD. фащсные величины углов А, В и D относятся соответственно как 5 : 2 : 6 (см. рис. 173). Найдите угол С четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в гра- Рис. 173. щсах.

Решение.

Четырёхугольник ABCD - вписанный, поэтому сумма его противоположных углов равна 1800 .

По условию ZA : ZB : ZD = 5 : 2 : 6.

Обозначим ZA = 5т, ZB = 2с, ZD = 6$.

О + ZD = 180 0 , = 1800 , = 22,5 0

ZC 1800 - ZA 180 0 - 5$ = 1800 - 112 5 - 67 5

Ответ: 67,5.

32. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 7 (см. рис. 174).

Рис. вписанные

Решение.

Если прямоугольник вписан в окружность, то центр этой окружности лежит на середине его диагонали, то есть диагональ в 2 раза больше радиуса. АС = 2 • 7 = 14.

Ответ: 14.

33, Периметр правильного шестиугольника равен 612 (см. рис. 175). Найдите диаметр описанной окружности.

Решение. Проведём диагонали АД РС, ВЕ (см. рис. 176). В правильном шести- Рис. 175. угольнике все стороны и углы равны, а диаметр описанной окружности проходит через противоположные вершины, например F и С. Треугольники, на которые разбился ABCDEF, правильные, то есть FO = ОА = АР. Диаметр РС в 2 раза больше стороны шестиугольника, ЕС = ИВ = З = 612 : З = 204.

Рис. 204.

8. Зак № ие

34. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD (см. рис. 177), считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите значение радиуса, умноженное на 2.

Рис. 177. Решение.

Построим окружность (см. рис. 178).

Так как квадрат - фигура симметричная, точки касания Р и К являются серединами его сторон. Видно, что радиус равен половине РК. Найдём РК по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника РКН.

ППИ*НП таи- aszaza Рис. 178.

РК РН1 +КН2 = va-;-a о. Радиус равен vG : 2. Значение радиуса, умноженное на Ф, равно

вписанные lOl

35. Найдите среднюю линию трапеции ABCD (см. рис. 179), если стороны меток равны О.

ао•аап Рис. 179. Решение.

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон трапеции (см. рис. 180).

топопп Рис. 180.

Назовём её КМ и найдём из прямоугольного треугольника КМО. Длина трёх меток равна 30. Тогда КМ = КО + ОМ2 = (3vG) 2 + (30) 2 12.

12. 102И ДИНЫ

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Острые углы прямоугольного треугольника равны 22 0 и 68 0 . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 181).

с

Рис. 181. 2. Угол АСО равен 240 , О - центр окружности. Сторона СА касается окружности в точке А (см. рис. 182). Найдите величину меньшей ,щјги АВ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

О raza,ts• Рис. 182.Рис. 183.

З, Найдите градусную величину дуги АС окружности, на которую опирается угол АВС. Ответ дайте в градусах (см. рис. 183).

4. Сторона правильного треугольника равна 40 (см. рис. 184). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Рис. 184.

5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны клетбк равны 1 (см. рис. 185).

Рис. 185. Вариант 2

1. В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 1560 . Найдите угол С. Ответ дайте в градусах (см. рис. 186).

в 186. 104

2. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности в точке А; О - центр окружности, а дуга АР окружности, заключённая внутри этого угла, равна 940 . Ответ дайте в гращсах (см. рис. 187).

Рис. 187.Рис. 188.

З. Найдите гращсную величину дуги АС окружности, на которую опирается угол АВС. Ответ дайте в градусах (см. рис. 188).

4. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 16 (см. рис. 189). Найдите высоту этого треугольника.

Рис. 189.Рис. 190.

5. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 680 и 95 0 (см. рис. 190). Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Вариант З

1. В треугольнике АВС угол А равен 380 , угол С равен 580 . На продолжении стороны АВ отложен отрезок ВК = ВС.

Найдите угол К треугольника ВСК. От- А В к вет дайте в град№ах (см. рис. 191 ). Рис. 191.

2. Угол АСО равен 32 0 . Его сторона СА в точке А касается окружности с центром в точке О. Найдите градусную величину "41) окружности, заключённой внутри этого угла (см. рис. 192). Ответ дайте в град№ах.

Рис. 192.

З. Хорда РК делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 11 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки М, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в град№ах (см. рис. 193).

м к 193. 4. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 18 (см. рис. 194).

В В Рис. 194.Рис. 195.

5. Около трапеции описана окружность (см. рис. 195). Периметр трапеции равен 142, средняя линия равна 50. Найдите боковую сторону трапеции.

Вариант 4

1. Один из внешних углов треугольника равен 72 0 . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 5 • 13. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах (см. рис. 196).

мк Рис. 196.

2. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 50 0 . Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в гращусах (см. рис. 197).

З. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности в точке А, О - центр окружности, а меньшая щта окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 71 0 . Ответ дайте в гращтсах (см. рис. 198).

ЕD

Рис. 198.Рис. 199.

4. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 56) (см. рис. 199).

5, Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной (см. рис. 200).

200.

108 Вариант 5

1. Углы треугольника относятся как 2 : З : 7. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 270 и 63 0 . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в гращсах (см. рис. 201 ).

В Рис. 201.Рис. 202.

З. Хорда АВ стягивает ,щту окружности в 1040 . Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах (см. рис. 202).

4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 650 , угол CAD равен 420 . Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах (см. рис. 203).

Рис. 203.Рис. 204.

5. Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 2 : З : 4. Найдите ббльшую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 36 (см. рис. 204).

Вариант 6

1. В треугольнике МРК МК = РК = 18 4/3, угол К равен 1200 . Найдите высоту МН (см. рис. 205).

н м Рис. 205.

2. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 11, CD = 24 (см. рис. 206). Найдите периметр четырёхугольника.

Рис. 206.

З. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 31 0 . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах (см. рис. 207).

В 207. 4. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника МРК, если стороны клеток равны 1 (см. рис. 208).

м Рис. 208.

5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, её ббльшая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности (см. рис. 209).

Ав

Рис. 209. Вариант 7

1. В треугольнике МРК МК = РК, угол К равен 1200 , МК = 160. Найдите МР (см. рис. 210).

к м 210. l l l

2. Угол М треугольника М РК, вписанного в окружность радиуса 5, равен 300 (см. рис. 21 ). Найдите сторону РК этого треугольника.

Рис. 21 1.

З. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 54. Найдите её среднюю линию (см. рис. 212).

Рис. 212. 4. Сторона МР тупоугольного треугольника МРК равна радиусу описанной около него окружности (см. рис. 213). Найдите угол К. Ответ дайте в гращсах.

213. 1 12 5. В треугольнике АВС СН - высота, AD - биссектриса,

О - точка пересечения прямых СН и АД угол BAD равен 19 0 . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах (см. рис. 214).

Рис. 214.

Вариант 8

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 1270 , угол CAD равен 31 0 . Найдите угол АВД Ответ дайте в градусах (см. рис. 215).

Рис. 215. 2. Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 68, две его стороны равны 15 и 26 (см. рис. 216). Найдите ббльшую

из оставшихся сторон.

216. НЗ З. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 9 (см. рис. 217). Найдите гипотенузу этого треугольника.

в Рис. 217.

4. В четырёхугольник МРКТ вписана окружность,

МР = 13, РК = 15 и КТ = 18 (см. рис. 218). Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

м Рис. 218.

5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна З, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 1200 (см. рис. 219). Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

с 219. S4, Тригонометрия

Диагностическая работа

1. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой. Найдите cosA, если АВ = и АС = 7С2.

2. Про угол а некоторого треугольника известно, что

cos а =Найдите З tg а.

13 З. Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой

АВ = 3v'5. Найдите длину СА, если sinA = -.1 З

4. В равнобедренном треугольнике АВС с боковыми сторонами АС и СВ дано АВ = З и cosA = 0,75. Вычислите ВС.

5. В треугольнике АВС угол С равен 900 , sinB = . Най10 дите косинус внешнего угла при вершине В.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике 1 5

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

О Нежного полезной информации

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С равен 900 .

Стороны ВС и АС называются катетами, сторона АВ называется гипотенузой. Для угла А прилежащий катет АС (лежит на стороне угла), противолежащий катет ВС.

Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

АВ 2 = АС + ВС.

Например, АС = 5, ВС = 12.

Найдём АВ.

В нашем треугольнике АВ - гипотенуза, АВ 2 = АС + ВС, АВ2 = 25 + 144 = 169, АВ = 13.

Теперь разберём случай, когда нужно найти катет. пусть АВ = 10, АС = 8.

Найдём ВС.

АВ2 = АС + ВО отсюда ВС = "4В2 - АС вс = 102 -82 = 100 - 64 = 36, вс = Об = 6.

116 Теперь вспомним определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для нашего треугольника

всАС

sin А =sin В =

Косинусом угла называют отношение прилежащего

АС катета к гипотенузе. Для нашего треугольника cos А =

вс cos В =

Обратите внимание, в одном и том же прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, т.е. sinA = cosB, sinB = cos А.

Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. для нашего треугольника

всАСsin А tgA ='Видно, что tgA =

АС всcos А

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла, если известен косинус этого угла, и наоборот.

sin2 А + сое А = 1, или для острого угла sinA = 1 - сое А; cosA = 1 - sin2 А.

Тригонометрические функции в прямоугольном треутльнике

&--т Задачи с решениями

1, В треугольнике АВС угол С равен 900 , АВ = 20, АС = 16.

Найдите sin А.

Решение. Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора АС + ВС = АВ 2 найдём противолежащий углу А катет ВС (см. рис. 220).

В

16 Рис. 220.

АС, ВС = 20 2 - 16 2 - 400 - 256

вс 12 sin А == 0,6. АВ20 Ответ: 0,6.

2, В треугольнике АВС угол С равен 900 , cosA = 0,28. Найдите sin А.

Решение.

Так как угол А острый, то sinA = 1 - cos2 А = = 0,96. Ответ: 0,96.

З. В треугольнике АВС угол С равен 900 , АС = МТ, вс

Найдите cos В.

118

Решение. Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ (см. рис. 221). АВ2 АС + ВС, отсюда АВ2 = 32 + (ОТ)2 = 9+91 = 100; АВ 10.

вс з cos В -= 0,3.

АВ 10 В Рис. 221. Ответ: 0,3.

4. В треугольнике АВС угол С равен 900 , tgA = ИЗ. Найдите cos А.

Решение.

Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Так как треугольник АВС прямоугольный, угол А острый, то для нашего треугольника

вс tgAИЗ и можно считать, что ВС = ФЗ, АС

АС 1. По теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ. ВС2 отсюда = 1 2 + = 1 15 = 16;

! = 0,25.

4 Высоты в прямоугольном треугольнике

О Нежного полезной информации

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами. Третья высота, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два прямоугольных треугольника, углы которых равны соответственно углам исходного треугольника.

&--т ЗаДачи с решениями

5. В треугольнике АВС угол С равен 900 , высота СН = ВС = 15. Найдите cos В.

Решение. В

15 Рис. 222.

Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Рассмотрим прямоугольный треугольник СНВ с прямым углом Н и катетами ВН и НС (см. рис. 222). НайДём в нём катет ВН. вн2 = ВС - нс вн2 = 152 - (263) 2 = 225 - 216 = 9,

ВН cos В == 0,2. ВС 15

Ответ: 0,2.

6. Найдите тангенс угла (ЗАВ, изображённого на рисунке 223. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 3.

попива ппаппп пипппп Рис. 223.

Решение.

Достроим угол до прямоугольного треугольника АВС (см. рис. 224).

пооппа папула парюпп ппаппа пипгпп Рис. 224.

Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему

вс 4 ш ВАС =Значение тангенса, умноженное на З, АСравно 4.

Ответ: 4.

Равнобедренный треугольник

О Нежного полезной информации

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две равные стороны. Эти стороны называют боковыми сторонами, третью сторону называют основанием. Если в задаче дан равнобедренный треугольник, то пользуются его свойствами.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника (между равными сторонами) , является медианой и биссектрисой,

Посмотрим на рисунок 225. В треугольнике АВС основание АВ, боковые стороны АС = СВ, угол А равен углу В, высота СН делит АВ на равные отрезки АН = НВ и угол С на два равных угла.

В Н

Рис. 225.

8--т Задачи с решениями

7. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ - 24, cosA = 0,6. Найдите высоту СН.

Решение.

В треугольнике АВС стороны АС = ВС, значит, он равнобедренный. Высота СН, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит АВ пополам, поэтому АН = НВ = 24 - 12. Рассмотрим прямоугольный треугольник СНА с прямым углом Н и катетами АН и НС. АН = 12, cosA = 0,6. Найдём АС. Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

АН 12 cos А = = 0,6.

АС = 12 : = 20.

По теореме Пифагора

= 16. Ответ: 16.

8, В треугольнике АВС АВ ВС, высота СН равна 6, АС = 6 3/5 (см. рис. 226). Найдите тангенс угла АСВ.

Рис. 226. Равнобедренный

Решение.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном треугольнике ВС = ВА, основание АС, равны углы САВ и АСВ. Следовательно, можно вместо тангенса угла АСВ найти тангенс угла САВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН с гипотенузой АС = 6 4/5 и катетами СН = 6 и НА. длину катета НА можно найти по теореме Пифагора.

НА = = ХЛП = 12.

Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Для нашего треугольника

tg САВ = нс = 0,5. НА - 12 Ответ: 0,5.

9. В треугольнике АВС АС =ВС = 15, sinB = v/ii Кай5 дите АВ.

Решение.

Рис. 227. В равнобедренном треугольнике АВС высота СН является медианой, значит, АН = НВ (см. рис. 227). Рас-

у.

смотрим прямоугольный треугольник ВСН с гипотенузой

ВС = 15 и катетами СН и НВ. В данном треугольнике

СН sin В тогда

15 СН • 15 : 5 = 3vT. Катет НВ можно найти по тео-

реме Пифагора: НВ = ВС2 - СН2 - 225 -

АВ в два раза больше НВ, АВ =6-2 = 12.

Ответ: 12. 10. В треугольнике АВС АС = ВС = 20, АВ = 605. найдите sin А.

Решение.

Проведём высоту СН, тогда АН = ВН = 305. Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН (см. рис. 228). Катет НС можно найти по теореме Пифагора.

НС = АО - АН400 - 351 =

СА 20 Ответ: 0,35.

Тригонометрические функции тупого утла

Тригонометрические функции тупого угла

О Немного полезной информации

Рассмотрим развёрнутый угол ВАК (см. рис. 229). Луч АР делит его на два смежных угла. Оказывается, синусы этих смежных углов равны, а косинусы противоположны (то есть отличаются только знаком).

в Рис. 229.

Например, если sin ZBAP = 0,8, то sinZPAk = 08 cos ZBAP = и cos ПАК = -0,6.

Тангенсы смежных углов также противоположны.

Г--т ЗаДачи с решениями

10 1 1. В треугольнике АВС угол С равен 900 , cosA• 665

Найдите тангенс внешнего угла при вершине А.

Решение. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной этого треугольника и продолжением другой его стороны. На рисунке 230 внешний угол при вершине А - это угол ВАК.

ВАК и САВ - смежные углы. Тангенсы смежных углов противоположные числа (отличаются только знаком), поэтому найдём тангенс угла САВ. Тангенсом угла

называют отношение противолежащего катета к прилежа-

10 щему. Для нашего треугольника cosA

Будем считать, что АС10, ВА109. Найдём

всВА2 - СА2109 - 100З. Тогда

вс з ВАС = = 0,3. tg ВАК = -0,3. АС - 10

Ответ: -0,3.

Разные задачи

12. Основания равнобедренной трапеции (см. рис. 231 ) равны 5 и 11. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.

Рис. 231. мя

Решение.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если опустить высоты из вершин С и D на основание АД то получатся два равных прямоугольных треугольника ADH и СВК (см. рис. 232).

5 5 А нк Рис. 232.

DCIKHAKOCTHLOCTHraeT9CM.

HaKaKOhBblCOTe?BCM?oyaeTHaXOLHTbCflypoBeHbMHLKOCTH, ecJIHeenepeJIHTbBO2, LIHJIHHAPHqeCKHzCOCYA,paAHYCOCHOBaHHflKOTOPOFOB3pa3aMeHbILIepanHycal-ro?

Тренировочные тесты

Вариант 1

1. Найдите площадь S заштрихованного сектора (см. рис. 305), считая стороны квадратных клеток равными 1.

В ответе укажите -

••-иииикчиип••• Рис. 305.

2. В прямоугольном треугольнике АВС заданы длины катета АС = 24 и гипотенузы АВ = 25. Найдите sin А.

З. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 13, проведена плоскость, параллельная боковому ребру Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

4. Площадь прямоугольника равна 24. Найдите его ббльшую сторону, если она на 5 больше меньшей стороны.

5. Рёбра правильного тетраэдра равны 34. Найдите площадь сечения, .проходящего через середины четырёх его рёбер (см. рис. 306).

Рис. 306.

Вариант 2

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 307). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 307. 2. Известно, что в Д АВС cosA - Вычислите синус 4 угла, внешнего к А.

З. Объём параллелепипеда ABCDAIBICID1 равен З. Найдите объём пирамиды ABDA1.

4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 45, а отношение соседних сторон равно 1 : 5.

5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 308 (все двугранные углы прямые).

5 4

Рис. 308. Вариант З

1. Найдите площадь S кольца (см. рис. 309), считая стороны

квадратных клеток равными 1. В ответе укажите - т

Рис. 309.

2. В треугольнике АВС угол С прямой, sinA =АВ = 1. 4

Найдите АС.

182 З. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (см. рис. 310). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 15.

Рис. 310.

4. Периметр прямоугольника равен 46, а площадь равна 120. Найдите диагональ этого прямоугольника.

5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 31 1 (все двугранные углы прямые).

7 5 Вариант 4

1 см 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 312). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

2. В прямоугольном треугольнике

АВС заданы длины катета АС = 24 Рис. 312. и гипотенузы АВ 25. Найдите высоту СН.

З. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

4. Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 32, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 28 (см. рис. 313).

Рис. 313.

5. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7 (см. рис. 314). Найдите его объём.

Рис. Вариант 5

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 315). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

см Рис. 315.

2. Треугольник АВС прямоугольный, ZC = 90 0 . Известно,

8 что cosA = -, АВ = 27. Найдите СА.

9 З. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра с вы-

6 сотой, равной если в основание цилиндра вписан прямоугольный треугольник (см. рис. 316) с катетами З и 4.

4. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на З больше, чем расстояние от неё до большей стороны (см. рис. 317). Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Рис. 317.

5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 28т, а диаметр основания - 4. Найдите высоту цилиндра.

Вариант 6

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 318). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

см Рис. 318.

2. В равнобедренном треугольнике АВС с боковыми сторо-

2 нами АС и СВ известны АВ = v"7i и cosA Найдите высоту, опущенную на основание треугольника.

З. Объём правильной шестиугольной призмы равен 3"/3, сторона основания равна 2 (см. рис. 319). Найдите высоту призмы.

Рис. 319.

4. Стороны параллелограмма равны 21 и 14. Высота, опущенная на первую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма (см. рис. 320).

Рис. 320. 5. В кубе ABCDAIBIC1D1 найдите угол между прямыми ВС1 и АС (см. рис. 321 ). Ответ дайте в градусах.

321 Вариант 7

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 322). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 322.

2. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна 10. Найдите длину боковой стороны треугольника, если tgA

З. Объём первого конуса равен 18 мз У второго конуса высота в четыре раза меньше, а радиус основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объём второго конуса. Ответ дайте в кубических метрах.

4. Площадь параллелограмма равна 28, две его стороны равны 7 и 14. Найдите ббльшую высоту этого параллелограмма (см. рис. 323).

323

5. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке М. Площадь треугольника АВС равна 12, объём пирамиды равен 32. Найдите длину отрезка

Вариант 8

1. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке 324.

2. Найдите по рисунку (см. рис. 325) косинус угла ВСК. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на ИЗ.

325.

З. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили вощ (см. рис. 326). Уровень воды достигает 20 см. На какой высоте (в сантиметрах) будет находиться уровень воды, если её перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? да

Рис. 326.Рис. 327.

4. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне (см. рис. 327). Меньшая сторона параллелограмма равна 8. Найдите его ббльшую сторону.

5. В правильной четырёхугольной пирамиде DABCF точка О - центр основания, D - вершина, DO = 24, АС = 14 (см. рис. 328). Найдите боковое ребро DC.

328.

Вариант 9

1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 329.

х Рис. 329.

2. Найдите косинус тупого угла В параллелограмма ABCD, если его сторона АВ = 8, а высота АН, проведённая к стороне ВС, равна З. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на ИЗ.

З. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 330 (все двугранные углы многогранника прямые).

5 6

Рис. 330. 4. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5 З, считая от вершины

191 острого угла (см. рис. 331 ). Найдите ббльшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 52.

Е Рис. 331.Рис. 332.

5. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О - центр основания, S - вершина, SC = 25, АС = 48 (см. рис. 332). Найдите длину отрезка SO.

Вариант 10

1. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; З), (З; 1), (З; 6), (1; 5) (см. рис. 333).

333. 2. Найдите основание АВ равнобедренного треугольни-

ка АВС, если АС = 12v'5, sinA - З

З. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 334 (все двугранные углы многогранника прямые).

З Рис. 334.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна 14. Один из его катетов на З больше другого. Найдите меньший катет.

5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAIBICID1 известны длины рёбер АВ = 12, AD 16, АА рис. 335). Найдите синус угла между прямыми СВ и DIB1.

335 193 Вариант 1 1

1. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 6), (6; 2), (5; 6) (см. рис. 336).

Рис. 336.

2. Найдите по рисунку 337 тангенс угла вск.

З. Объём конуса равен 28. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является осно-

Рис. 337. ванием меньшего конуса с той же вершиной.

Найдите объём меньшего конуса.

4. У треугольника со сторонами 9 и 8 проведены высоты к этим сторонам (см. рис. 338). Высота, проведённая к первой стороне, равна 12. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

В с 338. 194

5. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса (см. рис. 339). Образующая конуса равна Найдите радиус сферы.

Рис. 339.

Вариант 12

1. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 1), (1; 6), (5; 2) (см. рис. 340).

Рис. 340. 2. Найдите косинус угла САВ (см. рис. 341 ). В ответе укажите значение косинуса, умноженное на 26.

341.

195 З. Куб и пирамида имеют общее основание (см. рис. 342), и высота пирамиды равна ребру куба, равному З. Найдите объём пирамиды.

Рис. 342. 4. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а её площадь равна 160 (см. рис. 343). Найдите периметр трапеции.

D Рис. 343. 5. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса (см. рис. 344). Радиус сферы равен 47v/j. Найдите образующую конуса.

344.

196 1. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (1; 7), (1; 9), (4; 6), (4; 4) (см. рис. 345).

Рис. 345. 2. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 10, основания равны З и 21. Найдите косинус острого угла этой трапеции.

З. Найдите квадрат расстояния между вершинами В и Dl прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 2, вс = 4, щ = 5.

4. Основание трапеции равно 21, высота равна 6, а площадь равна 105. Найдите второе основание трапеции.

5. Высота конуса равна 12, а диаметр основания - 10. Найдите образующую конуса.

197

1. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0; 0), (12; 8), (8; 12) (см. рис, 346).

12 8 - х 812 Рис. 346.

2. Найдите косинус тупого угла прямоугольной трапеции. Боковые стороны трапеции равны vGi и 10.

З. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и (31 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 2, вс = 4, вд = 5.

4. Площадь треугольника равна 55, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите периметр этого треугольника.

5. Диаметр основания конуса равен 30, а длина образующей 25. Найдите высоту конуса.

198

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 смх1 см изображён треугольник (см. рис. 347). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 347. 2. В треугольнике АВС известно, что АВ ВС = 5, высота ВН З (см. рис. 348). Найдите высоту АК, проведённую к вс.

н Рис. 348.

З. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В2 многогранника, изображённого на рисунке 349. Все двугранные углы многогранника прямые.

4. Площадь треугольника равна 96, а его периметр 48. Найдите радиус вписанной окружности.

Рис. 349.

5. В правильной шестиугольной призме

ABCDEFAIBICIDIEIF1 все рёбра равны 18vG. Найдите расстояние между точками D и 141 (см. рис. 350).

Рис. 350. Вариант 16

1, На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 351). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

200

п•ппппппппп Рис. 351.

2. По рисунку 352 найдите тангенс угла, внешнего к углу А треугольника АВС

Рис. 352. З. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2 многогранника, изображённого на рисунке 353. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рис. 353.

4. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 15 (см. рис. 354). Его периметр равен 25. Найдите радиус этой окружности.

Рис. 354. 5. Найдите тангенс угла AIDA многогранника, изображённого на рисунке 355. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рис. 355. Ответы

Ответы к диагностическим работам

S 1. Площади

18 16 5,625 S2. Координаты и векторы 10 50 S3. Углы и длины 98 45 110 S4. Тригонометрия S5. Параллелепипед, призма, пирамида

60 60 11 S6. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел

17

Ответы к вариантам мя самостоятельного решения203 Ответы к вариантам ддя самостоятельного решения

S 1. Площади

3,375 S2. Координаты и векторы

365 S3. Углы и длины

204Ответы

S4. Тригонометрия

Вар. 1 12 3,25 1,75 Вар. 2 0,625 3,25 32 33 Вар. З 80 56 Вар. 4 91 24 18 Вар. 5 13,5 1,5 160 вар. 6 38 , 4 0,25 12,75 вар. 7 12 7,5 0,28 1,375 Вар. 8 48,75 11 S5. Параллелепипед, призма, пирамида

Вар. 1 1040 0,96 Вар. 2 90 12 Вар. З 60 13 Вар. 4 ор 90 12 13

Вар. 5 113 45 24 Вар. 6 222 45 30 16 Вар. 7 0,96 45 60 10 Вар. 8 90 0,96 45 12 11

S6. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел

Вар. 1 18 вар. 2 180 вар. З 120 12 2,25 Вар. 4 Вар. 5 Ответы к заданиям тренировочных тестов205

Ответы к заданиям тренировочных тестов

Вар. 1 12 0,28 3,25 289 Вар. 2 0,75 36 236 Вар. З 0,75 17 242 Вар. 4 6,72 360 12 2744 вар. 5 24 вар. 6 19,25 вар. 7 15 Вар. 8 16 25 вар. 9 -6,875 68 16 Вар. 10 16 117 Вар. 1 1 1,5 3,5 13,5 73 вар. 12 10 60 94 вар. 13 вар. 14 -0,7 22 вар. 15 4,8 Вар. 16 -0,6 1,2 готовимся к пэ

Учебное издание

Коннова Елена Генриевна

Дремов Александр Петрович Иванов Сергей Олегович

МАТЕМАТИКА.

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ ЕГЭ-2014.

ЧАСТЬ З: ГЕОМЕТРИЯ.

Пособие для "чайников"

Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова

Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

Обложка А. Вартанов

Компьютерная верстка С. Иванов

Корректор Н. Пимонова

Подписано в печать с оригинал-макета 16.10.2013. Формат 60х84 1 /16. Бумага типографская.

Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л, l2. Тираж 10000 экз. Заказ № 249.

Издательство ООО "Легион" включено в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных учреждениях. Приказ Минобрнауки России

№ 729 от 14.12.2009, зарегистрирован в Минюст России 15.Ol.2010 15987.

000 "Л ЕГИОН"

Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550. Адрес редакции: 34401 1, г. Ростов-на-Дону, пер. Доломановский, 55. www.legionr.ru e-mail: legionrus@legionrus.com

Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ЗАО "Полиграфобъединение" 347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6В.

1 . ---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

12площади

Площади

12площади

Площадь 15

13

12площади

Площади крута и сектора21

Площади крута и сектора21

Площади

Площадь 15

Площадь 15

Площади

Площадь 15

Рис.

Площади

Рис. Площади

Варианты для самостоятельного решения

Рис.

Рис. Варианты для самостоятельного решения

Варианты для самостоятельного решения

Рис. Рис.

Площади

На клетчатой бумаге размером

Варианты для самостоятельного решения

На клетчатой бумаге размером

Рис.

Варианты для самостоятельного решения

На клетчатой бумаге размером

Рис. Координаты и векторы

Координаты точек43

р. Координаты и векторы

Координаты точек43

р. Координаты и векторы

52Координаты и векторы

13 50р. Координаты и векторы

52Координаты и векторы

Координаты вектора53

Координаты вектора53

60$2. Координаты и векторы

Варианты для самостоятельного решения59

Рис. Рис.

52Координаты и векторы

Рис. 60$2. Координаты и векторы

Варианты для самостоятельного решения59

60$2. Координаты и векторы

66$3. Углы и

Свойства треугольника67

70$3. Углы и длины

Свойства треугольника67

70$3. Углы и длины

70$3. Углы и длины

Свойства треугольника73

Свойства треугольника73

76$3. Углы и длины

13 76$3. Углы и длины

76$3. Углы и длины

Углы, связанные с окружностью79

Рис.

Углы, связанные с окружностью79

76$3. Углы и длины

Углы, связанные с окружностью85

Рис.

Рис. Углы, связанные с окружностью79

Рис. 88$3. Углы и длины

Описанные и вписанные окружности87

70$3. Углы и длины

94$3. Углы и длины

Описанные и вписанные окружности93

Описанные и вписанные окружности93

94$3. Углы и длины

Описанные и окружности99

172. 176. Ответ:

Описанные и вписанные окружности97

172.

53. Углы

Описанные и окружности

Ответ:

$3. Углы и длины

Ответ:

$3. Углы и длины

Варианты для самостоятельного решения105

Рис.

Варианты для самостоятельного решения

Рис. $3. Углы и длины

Варианты для самостоятельного решения

Рис.

Рис. Варианты для самостоятельного решения105

Рис. $4. Тритнометрия

$4. Тритнометрия

треугольнике

треугольнике

124Тригонометрия

треугольник123

122$4. Тригонометрия

122$4. Тригонометрия

Варианты самостоятельного решения127

13

$4. Тритнометрия

Варианты самостоятельного решения127

$4. Тритнометрия

$5. Параллелепипед, призма, пирамида

Прямоугольный параллелепипед

$5. Параллелепипед, призма, пирамида

Параллелепипед

Параллелепипед

$5. Параллелепипед, призма, пирамида

152$5. Параллелепипед, призма, пирамида

Варианты для самостоятельного решения

152$5. Параллелепипед, призма, пирамида

152$5. Параллелепипед, призма, пирамида

Варианты для самостоятельного решения

Рис.

Варианты для самостоятельного решения

Рис.

$5. Параллелепипед, призма, пирамида

Варианты для самостоятельного решения

Рис.

$5. Параллелепипед, призма, пирамида

163

Варианты для самостоятельного решения161

164S 6. конус, шар, комбинация тел

163

164S 6. конус, шар, комбинация тел

170S 6. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел

163 168S 6. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел

1746. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел

Варианты для самостоятельного решения

Вариантыдля самостоятельного решения173

1766. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел

Варианты для самостоятельного решения

1766. Цилиндр, конус, шар, комбинация тел

Тренировочные тесты

Тренировочные тесты181

Тренировочные тесты

Тренировочные тесты181

Рис. 311.

314. Тренировочные тесты

Рис. 311.

186Тренировочные тесты

Тренировочные тесты185

Рис. Рис.

Тренировочные тесты185

186Тренировочные тесты

Тренировочные тесты

Рис. Рис.

186Тренировочные тесты

Тренировочные тесты

Тренировочные тесты

Вариант 13

Рис.

Тренировочные тесты

Рис. Тренировочные тесты

Тренировочные тесты

Вариант 13

Тренировочные тесты

Вариант 14

Тренировочные тесты

Тренировочные тесты

Показать полностью…
2 Мб, 13 сентября 2016 в 16:38 - Россия, Ростов-на-Дону, ЮФУ (бывш. РГУ), 2016 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении