Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 006224 из ЮФУ (бывш. РГУ)

f(x)dxcos(a.

ЕГЭ.--ity{.; Под редакциейготовимся

Ф.Ф. Лысенко,к ЕГЭ

С.Ю. Кулабухова

МАТЕМАТИКА

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ ЕГЭ-2014

ЧАСТЬ 2: АЛГЕБРА и

НАЧАЛА АНАЛИЗА

Пособие для "чайников"

10ga (ту)Ч . cos(z•

sin т;. ,sin ЛЕГИОНУЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

"МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ"

• Учебные пособия издательства "Легион" допущены к использованию в образовательном процессе приказом Минобрнауки России № 729 от 14.12.2009

Учебно-методический комплекс "Математика, Подготовка к ЕГЭ"

Е. Г. Коннова

МАТЕМАТИКА

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

ЕГЭ-2О14 • ЧАСТЬ 2: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Пособие для "щаЙНИКОВ"

Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С Ю. Кулабухова

Учебно-методическое пособие

тм ЛЕГИОН

Ростов-на-Дону

2013 ББК 22.1 к 65

Рецензент:

Н. М. Резникова - учитель высшей категории.

Коннова Е. Г.

К 65 Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 2: Алгебра и начала анализа / Е. Г. Коннова, В. А. Дрёмов, С. О. Иванов ; под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону : Легион, 2013. 160с. - (Готовимся к ЕГЭ).

ISBN 978-5-9966-0465-4

Материал, представленный в этой книге, предназначен для формирования устойчивых навыков в решении задач базового уровня В5, В7, В8, В12, В 14 на ЕГЭ по математике.

Пособие состоит из 5 параграфов (каждому заданию посвящён отдельный параграф), которые включают в себя разбор решений типовых задач, подобных приведённым в открытом банке заданий ЕГЭ, а также варианты для самостоятельного решения. Кроме того, приведено 12 обобщающих тренировочных тестов, включающих по одному заданию группы В5, В7, В8, B12, ВЦ.

Другие задания части В рассматриваются в следуюш.их книгах: "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников" , Часть 1: Арифметика и алгебра" и "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть З: Геометрия".

Пособие входит в учебно-методический комплекс "Математика. Подготовка к ЕГЭ". Продиагностировать уровень математической подготовки и в соответствии с полученными результатами оптимально подобрать пособия, которые понадобятся в процессе подготовки, поможет брошюра "Готовимся к ЕГЭ по математике. С чего начать?", содержащая всю информацию об учебно-методическом комплексе "Математика. Подготовка к ЕГЭ" издательства "Легион".

ББК 22.1

ISBN 978-5-9966-0465-4С) ООО "Легион", 2013

Оглавление

От авторов

В5. Решение уравнений

Диагностическая работа

Понятие уравнения

Линейные уравнения

Дробно-рациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Показательные уравнения 13 Квадратные уравнения

Логарифмические уравнения 18 Тригонометрические уравнения

Варианты для самостоятельного решения 20 87. Вычисления и преобразования Диагностическая работа

Действия с обыкновенными дробями

Действия со степенями Действия с многочленами

Действия с корнями

2. Зак № ns

Логарифмические выражения Тригонометрические выражения Варианты для самостоятельного решения 52 В8. Производная и исследование функций 55 Диагностическая работа 55 Понятие производной 57 Производные некоторых элементарных функций 58 Правила дифференцирования 59 Геометрический смысл производной 59 Применение производной к исследованию функций . 62 Первообразная

Площадь криволинейной трапеции и 74 определённый интеграл 76 Варианты для самостоятельного решения 80 В 12. Прикладные задачи . 100

Диагностическая работа

Решение прикладных задач

Варианты для самостоятельного решения 120

В14. Наибольшие и наименьшие значения функций 131 Диагностическая работа

Применение производной для исследования функции 131

Варианты для самостоятельного решения

Тренировочные варианты

Ответы От авторов

Книга "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 2: Алгебра и начала анализа" входит в учебнометодический комплекс "Математика. Подготовка к ЕГЭ", выпускаемый издательством "Легион". Пособие предназначено для под- готовки к ЕГЭ-2014. Оно адресовано учащимся выпускных классов общеобразовательных учреждений, учителям, ученикам вечерних школ и тем, кто собирается сдавать ЕГЭ после перерыва в обуче-

НИИ.

Прежде всего это самоучитель и тренажёр для тех, кто хочет научиться решать задачи части В без репетитора. Также эта книга может использоваться для контроля умений решать задачи части В при повторении курса математики в рамках подготовки к ЕГЭ.

Материал, представленный в этой книге, служит для формирования устойчивых навыков в решении задач базового уровня. Не секрет, что большинство выпускников, даже получивших на ЕГЭ высокий балл, допускают по 2 - З, а иногда и больше ошибок именно в части 1 предлагаемого теста, хотя большинство задач этой части решается устно. Причина - отсутствие упомянутых выше на-

выков. Воспользовавшись этой книгой, вы научитесь безошибочно выполнять задания В5, ВТ, В8, В12, В14 и сэкономите время мя решения более сложных задач.

Пособие состоит из 5 параграфов, каждый из которых включает в себя диагностическую работу, разбор решений типовых задач, подобных приведённым в открытом банке заданий ЕГЭ*, а также варианты для самостоятельного выполнения. Кроме того, приведено 12 обобщающих тренировочных тестов, включающих по од-

* См. сайт http://mathege.ru/or/ege/Main

6От авторов

ному заданию В5, В7, В8, В12, ВИ. Каждый вариант рекомендуем выполнять в течение 20 - 30 минут, затем проверить правильность решения с помощью ответов, приведённых в конце пособия. Если ответы не совпащт, попробуйте ещё раз решить задачу, а при необходимости найдите подобную среди разобранных примеров.

Задания части В, отсутствующие в данной книге, рассматриваются в следующих книгах: "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 1: Арифметика и алгебра" и "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть З: Геометрия".

Комплекс "Математика. Подготовка к ЕГЭ" издательства "Легион":

• Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014.

• Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-2014.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Учебно-тренировочные тесты.

• Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-2014. Учебно-тренировочные тесты.

• Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Теория вероятностей. Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие деля "чайников". Часть 1: Арифметика и алгебра.

• Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие деля "чайников". Часть 2: Алгебра и начала анализа.

• Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть З: Геометрия.

• Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2014 (С1, СЗ). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы.

• Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5. Математика. 11-й класс. Повторение курса в формате ЕГЭ. Рабочая программа.

От авторов7

• Математика. 10-й класс. Промежуточная аттестация в форме ЕГЭ.

е Математика. 10- 11 классы. Карманный справочник.

е Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (С ).

е Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание С2. Многогранники: типы задач и методы их решений.

е Математика. Подготовка к ЕГЭ: решаем СЗ методом рационализации.

е Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи и повторяем теорию.

е Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий части С. Решения и комментарии.

е Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

е Математика. Подготовка к ЕГЭ: математический бой. Задания частей В и С.

Продиагностировать уровень знаний и в соответствии с полученными результатами оптимально подобрать пособия, которые понадобятся в процессе подготовки, поможет брошюра "Готовимся к ЕГЭ по математике. С чего начать?", содержащая всю информацико об учебно-методическом комплексе "Математика. Подготовка к ЕГЭ" издательства "Легион".

Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно прислать почтой или на электронный адрес: 1egionrusQ1egionrus . сот.

Обсудить пособие, оставить свои замечания и предложения, задать вопросы можно на официальном форуме издательства: http : //forum. legionr. ru.

Желаем успехов на экзамене!

В5. Решение уравнений

Диагностическая работа

1. Найдите корень уравнения log (14 - с) - -2

16 2. Найдите корень уравнения | 2+11

(5) 1 • 81 З. Найдите решение уравнения= 133 .

4. Найдите корень уравнения = 4.

5. Найдите корень уравнения = с. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. 6. Найдите корень уравнения 2х2 13$ + 15 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

2 7. Найдите корень уравнения -с = -3-•

1313 8. Найдите корень уравнения cos В ответе запишите наименьший положительный корень.

Понятие уравнения

О Немного полезной информации

Уравнение - это равенство, в котором содержится неизвестная величина (переменная). Напомним основные правила, с помощью которых можно решить уравнение.

Понятие уравнения9

• При умножении суммы на множитель каждое слагаемое умножают на этот множитель: a(d + с т) = ad + ас - ат:

+ 2у - З) = 8$ + 16у - 24; -a(-b + d - с) = ab - ad + ас:

-7(-1 + - 4) = 7-21$ + 28.

• При переносе слагаемого из одной части уравнения в друлуо перед этим слагаемым меняют знак:

• Знаки перед каждым слагаемым в уравнении можно одновременно поменять на противоположные:

5-3=3-2$,

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю и все другие множители при этом имеют смысл. Например, (с + - 2) = 0, если или с + 5 = 0, или с - 2 = О. Отсюда получаем два корня уравнения: с -5; с 2

ЗаДачи с решениями

1. Решите уравнение (с +5) с -2 = 0.

Решение.

Пусть (с + = 0. Значит, либо (с + 5) = 0 ли бо = 0. То есть либо с = -5, либо с = 2. при с = -5 множитель с - 2 не будет иметь смысла (так как

подкоренное выражение должно быть неотрицательно), поэтому заданное уравнение имеет один корень: с = 2. Ответ: 2.

Уравнения бывают разные, в этом разделе мы разберём основные виды простейших уравнений.

Линейные уравнения

О Немного полезной информации

Линейные уравнения - это уравнения вида ас = Ь, где неизвестным является с, а буквы а и Ь обозначают заданные числа.

Если а = 0, то либо уравнение не имеет корней (как, например, уравнение ос = 7), либо с может быть любым числом (если Ос = 0). При а 0 корень уравнения находят по формуле:

&--r Задачи с решениями

2. Найдите корень уравнения -5с = З. Решение.

Разделим обе части уравнения на -5.

= -0,6 - корень заданного уравнения. Ответ: -0,6.

З. Найдите корень уравнения -5с +4 = З. Решение.

-5с - -1, Ответ: 0,2.

4. Найдите корень уравнения-4=

Решение.

-5с - Зс = -2 + 4

Ответ: -0,25.

5 5. Найдите корень уравнения

Решение. 5 (-50,

17 17 1-• 12 = 0,25, 12 5)З12 1712 с = -0,25.

Ответ: -0,25.

Квадратные уравнения

О Немного полезной информации

Квадратные уравнения - это уравнения вида ас2 +bc + с = 0, где а 0.

Основная формула для решения квадратного уравнения:

-b± С1,2 - 2а

12 6. Решите уравнение 3х2 + 4с - 207 = 0. Если корней более одного, в ответ запишите меньший корень.

Решение. 3х2 + 4$ - 207 = 0. Для данного уравнения а = З, Ь = 4 и с = -207. Подставим эти значения в формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

-4 ± 50

$1,2 6 -4 - 50-4+50 46

666 46 Получили два различных корня. Так как -9 0, а > О, а 1, а также что loga 1 = 0; logaa = 1; loga ак = К; clogab = loga У.

Логарифмические

&--т ЗаДачи с решениями

17. Найдите корень уравнения log2 (с + 8) = 5.

Решение. По определению логарифма:

= 2 5 с +8 = 32,

24. Проверяем: с + 8 = 24 + 8 > 0. Вообще говоря, проверка здесь не нужна.

Ответ: 24.

18. Найдите корень уравнения log5 (2с + 8) = -1

Решение. 1

• 2х+8 = 0,2; 2$ = 0,2 - 8; 5

7,8; с = 7 8 • 2•, с = -3,9. Проверка здесь не нужна.

Ответ: -3,9.

19. Найдите корень уравнения log15 (Зс - 9) = log15 (с - 17).

Решение. зс-9=с-17, зс-с = -17 9,

Проверка: log15 (З • (-4) - 9) = log15 (-4 - 17). Под знаком логарифма не может стоять отрицательное число, поэтому с = -4 не является корнем этого уравнения. Ответ: корней нет.

20. Найдите корень уравнения log5 (Зс - 9) = 2 log5 6.

Решение. = log5 62 ,

Зс - 9 = 62 , = 45 с = 15.

Проверка: log5(3 • 15 - 9) = 2 log5 6, log5(36) = log5 36, с = 15 - корень уравнения. Ответ: 15.

Тригонометрические уравнения

О Немного полезной информации

Как правило, решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению одного из трёх видов простейших тригонометрических уравнений: sinc а, cos с а или tgc = а.

Для всех тригонометрических уравнений характерно то, что мы получаем бесконечное число корней уравнения, хотя пишем при этом одно или два выражения для корней. Это происходит потому, что тригонометрические функции периодические, то есть повторяющиеся через определённый промежуток - период. То есть если у нас есть один корень, то будет и ещё бесконечно много, отличающихся друг от друга на величину, равную периоду.

В приведённых задачах требуется в ответе указать наибольший отрицательный или наименьший положительный корень. Часто при решении таких уравнений возникают формулы вида с = 1+4k, с = 3+4k, где К е 74. Разберёмся, что

Тригонометрические уравнения

это означает и как по этим формулам получить корни уравнения.

Запись К е Z означает, что К может быть любым целым числом, то есть может принимать значения 0 1

419; -419 и так далее. Число 419 мы взяли для примера.

Подставим некоторые значения К в первую формулу:

Так можно будет получить сколь угодно много различных корней.

Теперь подставим значения К во вторую формулу:

Попробуем найти наибольший отрицательный корень. Выбираем отрицательное число, которое ближе всего к нулю. Для первой формулы это -3, для второй - это -1, ближе к нулю (и больше) число -1, значит, наибольший отрицательный корень равен -1.

Теперь попробуем найти наименьший положительный корень. Выбираем положительное число, которое ближе всего к нулю. По первой формуле это 1, по второй - это З, ближе

к нулю (и меньше) число 1, значит, наименьший положительный корень равен 1.

Некоторые значения обратных тригонометри ческих функций

1 2 2 2 1 -1 arcsin с 6 4 з 2 2 arccos т

2 т з т 4 6 0 т З 1 arctg с 6 т

4 т з arcctg с т

2 З т 4 т 6 Уравнение cosc = а имеет корни при -1 а 1, общая формула:

с = ±arccosa + 2тК, где К € Z. (1)

Для уравнения cosc - -b удобно применять формулу с = т arccosb + 2тК, где К € Z. (2)

Чтобы найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корни, нужно подставить в формулу К К 1, К = -1 и выбрать необходимые числа.

Тригонометрические уравнения

8--•т Задачи с решениями

21. Найдите наименьший положительный корень уравнения

2тс cos з2 Решение.

Так как в правой части стоит отрицательное число, воспользуемся формулой (2).

2тс

- = т ± arccos - + 2тК, где К Е Z.

С помощью таблицы значений обратных тригонометрических

функций находим arccos- Тогда= т + 2тК, 26 где К е Z. Разделим каждый член уравнения на т.

Ц = 1 ± - + 2k, где К е 74. Теперь умножим каждый член

З уравнения на З, а потом разделим на 2, получим

с = ± 0,25 + ЗК.

Наименьший положительный корень уравнения получаем при К = 0. Это корень с = 1,5 - 0,25 = 1,25. Ответ: 1,25.

О Немного полезной информации

Уравнение sinc = а имеет корни при -1 а 1, корни находят как совокупность с = arcsina + 2тК и с = т - arcsina+ 2тК, где К е Z.

для уравнения sin с = -b удобно применять формулы с = - arcsinb + 2тК, с = т + arcsinb+ 2тК, где К е 74.

&--т Задачи с решениями

22. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

тс sin 42 Решение.

тстс - = arcsin- + 2тК, - = т- arcsin-----}-2Tk, Где К Z.

424 2.2 = + 2тК, тс - т - + 2тК.

444 Делим каждый член уравнения на т.

Умножаем на 4.

1 8k, с = З 8k, Где К Z.

Наибольший отрицательный корень уравнения получится при К = -1 То есть с = 1 -8 = -7 или с = 3-8 = -5. При этом

-5 - ббльшее число.

Ответ: -5. О Немного полезной информации

Уравнение tg с = а имеет корни с arctga + тк, где k e z.

&--т Задачи с решениями

23. Найдите наименьший положительный корень уравнения tg 2.2 = б.

Варианты мя самостоятельного решения

Решение.

2тс - = arctg "З + тк, где К € Z,

2тс с = + 1,5k. Наименьший положительный корень уравнения получаем при

К = 0. Это корень с = 0,5. Ответ: 0,5.

Варианты деля самостоятельного решения

Вариант 1

1. Найдите корень уравнения log7(21 + с) = log7(2c + З).

1 10-3х

2. Найдите корень уравнения • = 32.

З. Найдите корень уравнения

4. Найдите корень уравнения7$ + 15 8.

5. Найдите корень уравнения 6 5с = -2с Если уравнение имеет более одного корня, укажите ббльший из них.

6. Найдите корень уравнения= -32, з

7. Найдите корень уравнения

8. Найдите корень уравнения $2 -7х-18 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Вариант 2

1. Найдите корень уравнения log3(7 - с) = 2 log3 7.

1 5-2х 2. Найдите корень уравнения

З. Найдите корень уравнения 8 -6+ 2х

4. Найдите корень уравнения х,/5Т7Зб = с. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

2 5. Найдите корень уравнения -с = 4-.

7 6. Найдите корень уравнения с = Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

7. Найдите корень уравнения 2х2 + 11с + 15 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите ббльший из них.

8. Найдите корень уравнения 3 с2 - 8с + 16 = 1. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Вариант З

1. Найдите корень уравнения log8(5 - с) = З.

2. Найдите корень уравнения 73- 2х

| 3+5 З. Найдите корень уравнения = 27.

4. Найдите корень уравнения 59 - 11с = 9.

5. Найдите корень уравнения 112 - бс = с. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

6. Найдите корень уравнения

Варианты для самостоятельного решения

7. Найдите корень уравнения 2х2 +с-21 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите ббльший из них.

8. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

sinт(с - 2) _ з2

Вариант 4

1. Найдите корень уравнения log5(7 + с) = З.

2. Найдите корень уравнения 7-6+с = 343.

1 2х-3 З. Найдите корень уравнения

4. Найдите корень уравнения = с. Если уравнение имеет более одного корня, укажите ббльший из них.

5. Найдите корень уравнения $2 25 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

6. Найдите корень уравнения с2 +2с-15 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

7. Найдите корень уравнения

8. Найдите наименьший положительный корень уравнения sinт(с + З)

42 Вариант 5

1. Найдите корень уравнения

2. Найдите корень уравнения 50 - 17с = 4.

С 12 З. Найдите корень уравнения

4. Найдите корень уравнения

5. Найдите корень уравнения

З6 6. Найдите корень уравнения с2 +9с +8 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. 7. Найдите корень уравнения 2х2 -6х+4 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите ббльший из них. т(с + 2)

8. Найдите корень уравнения cosВ ответе 62 запишите наибольший отрицательный корень.

ВТ Вычисления и преобразования

Диагностическая работа

1. Найдите значение выражения - + 2-45) • 4,5.

2. Найдите значение выражения З о '34 . 271,22

З. Найдите значение выражения 5 0+ 1 • 5 1 - 0

4. Найдите значение выражения (Оа) 2 .при а > 0. 58,8

5. Найдите значение выражения log1 "7.

6. Найдите значение выражения 33 • 710g78

17 sin 130 cos 130

7. Найдите значение выражения sin 260 8. Найдите значение выражения 5 cos а + З sin а

если 2 sin а + 7 cos а tga = 1,5.

Действия с обыкновенными дробями

Нежного полезной информации

Вспомним, как производить простейшие вычисления с обыкновенными дробями. Чтобы перемножить дроби, нужно

умножить их числители и записать результат в числитель, а

потом перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель:

7 - 6•

Если числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же число, то на него обычно делят каждый из них и называют это "сократить дробь":

2020 : 102 30 : 10 3'

Иногда сокращение выполняют во время умножения дробей:

3 - 2

8 6 - 8 - 6 - 4 - 2 - 8'

Если дроби смешанные (с выделенной целой частью), то нужно их перевести в обыкновенные (состоящие только из числителя и знаменателя). Для этого целую часть умнбжают на знаменатель, прибавляют числитель и результат записывают в числитель, а знаменатель оставляют прежним: з 5 + 2 17

555 3 4 . 5 5 195195 19

Чтобы перевести неправильную дробь (числитель больше знаменателя) в смешанную (выделить целую часть), нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Тогда неполДействия с обыкновенными дробями31

ное частное будет целой частью, остаток будет числителем, а знаменатель останется тем же:

? = 19 : 5 -- З (остаток 4),

2.2 = 3 4 . 55 Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, надо числитель разделить на знаменатель:

: 25 = 0,24. Десятичную дробь можно перевести в обыкновенную. Например, 0,201 читается как "ноль целых двести одна тысяч-

201 ная". Пишем

1000

Чтобы умножить обыкновенную дробь на десятичную, нужно или обыкновенную перевести в десятичную, или десятичную в обыкновенную:

2 - • 0,25 = 2 : 5 0,25 = 0,25 = 0,100 = 0,1; 5

50 255051 5 100500

Чтобы разделить число на обыкновенную дробь, нужно в этой дроби поменять местами числитель со знаменателем и умножить число на полученную дробь:

а d а с ас

5 • 4 - 5 315 •

Чтобы целое число записать в виде обыкновенной дроби, нужно записать его со знаменателем 1:

15 : з! = 15 715 , 7

1 271- 27

5 - 7 35 1 - 9 Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и записать числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители и записать числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Если у дробей есть целая часть, то нужно сначала сложить или вычесть целые части:

Можно при сложении и вычитании дробей сразу перевести все дроби в обыкновенные (без целой части):

3 4 +2- з = 3,5+4 2 . 5+3 19 13 32

Сложить дроби с разными знаменателями можно двумя способами.

1. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительные множители так, чтобы новый знаменатель был равен наименьшему общему кратнощ знаменателей исходных дробей. Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:

9 + 1019

8 12 - 8128 - 312 - 22424 •

2. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот. Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:

3\123 - 12 12128 - 1212 - 896

36 + 40

96 Разберём ещё пример сложения и пример вычитания дро-

8---r Задачи с решениями

1. Найдите значение выражения• 9,6.

Решение.

1) +42 7 + 4. 3+2714

112112 -2191 242424 •

Сокращаем 96 и 24, 96 : 24 = 4,

91 96 91-4 - 364 = 36 2 = 36 4 24 10101010 Ответ: 36,4.

Действия со степенями

О Немного полезной информации Вспомним основные формулы.

со степенями

Г--т Задачи с решениями

2. Найдите значение выражения 57,510 : 515.

Решение. 57 . 510 . 515 _ _ 57+10-15 = 52 = 25. Ответ: 25.

18 7 З. Найдите значение выражения с • с при с = 8. с20

Решение.

20 = 32 768. Ответ: 32 768.

4. Найдите значение выражения 29 • 116 : 226 Решение. 29 • 11 6 • 226 29 • 11 629 • 11629 • 116 29

226(2 • 11) 626 • 116 26 $ 18 • с718+7-20

29-6 = 23 = 8.

Ответ: 8. 5. Найдите значение выражения 121 2 . З2 : 99. Решение.

121 2 .32 : 99 = = 114 1 11 3 = 1331. 11 • 32 32 • 11

Ответ: 1331.

6. Найдите значение выражения 2 65-6 • 23-м" Решение.

уп-6.23-м" = 265-6+3-65 - - 2-3 = * - 0,125.

8 Ответ: 0,125.

128 7. Найдите значение выражения 0,49 . 59 • 109.

Решение.

12811 0,4 9 - 5 9 • = (0,4 • 52 • 10 8 ) 5 = (0,4 - 25 • 10 8 ) 5 -

1 1 (10 •= (109)5 = 101 =

Ответ: 10. 2 5

8. Найдите значение выражения 9 7 • 81 14

Решение. 25252 57

9 7 81 П 2 ) 14 = 979 +7 = 97 = 9.

Ответ: 9. -10 -8

9. Найдите значение выраженияпри Решение.

-18+19 Ответ: 5.

Действия с многочленами ф Немного полезной информации

Вспомним основные правила действий с многочленами.

Распределительный закон:

ab + ас - аК.

Этот закон позволяет не только раскрывать скобки, но и упрощать вычисления.

38 46 + 38 • 254 - 38 • 200 - 38(46 + 254 - 200)

= 38 • 100 = 3800.

с многочленами

Если в примере написана алгебраическая сумма (то есть встречаются только знаки "+" и "-"), то слагаемые можно поменять местами, но перемещать их нужно вместе с тем знаком, который стоит перед слагаемым.

Например, 38 - 126 + 236 - 141 = 236 - 126 +38 - 141 = = 110 + 38 - 141 = 148 - 141 = 7.

Если в примере есть только действия умножение и деление (и нет скобок), то есть встречаются только знаки " е " и ":", то числа можно поменять местами, но перемещать их опять-таки нужно вместе с тем знаком, который стоит перед числом.

Например, 64 : 9-45 : 16 = 64 : 16 • 45 : 4-45 : 20.

8--т ЗаДачи с решениями

10. Найдите значение выражения Зс(Зс - 15) - 9х2 + 8с + 11 при с = 200.

Решение. Упростим данное выражение.

Зс(Зс- 15) - 9х2 + 8$ + 11 = (3$)2 - 15 • - 9х2 + 11 = = 9х2 - 45с - 9х2 + 8с + 11 = -37С 11,

Подставим значение переменной с = 200.

-37С 11 = -37 • + 11 = -7400 + 11 = -7389.

Ответ: -7389.

(7а)2 - 70 11. Найдите значение выражения

78 - а

7а(7а - 1) а(7а 1)а

Ответ: 7. Найдите значение выражения з(зсзљ2 • (5у)3

12. (15с2у)3 Решение.

• (5у)3З • 32 ($3 ) 2 • 53у333х6 • 53уз

(15с2у)3153 ($2) зуз33 • 53с6уз

Ответ: 1. + 13 (кб ) 4

13. Найдите значение выражения

(4k12)2

Решение. 4

+ 13 (кб ) 3k24 13k24 16k24

(4k12) 216k2416k24

Ответ: 1.

25х2 - 9 14. Найдите значение выражения- 5с. Решение.

- 5с = (5$ + З)(5с - З) - 5$ = (5с - З) - 5с + З

Ответ: -3. 15. Найдите значение выражения

(258 - 4) . (

AeZCTBHR C MHOmq.'le1-laMH

50+2- (50 - 2)

( oar - + 2) 4 (50 - + 2)

Omeem: 4. t(T)+

16. HaRAHTe, ecJIH t(c)5c

Petue,gue. Orngern: 1. b(5 - b)

17. HauAHTe k(b) +k(5 -b), ecJIH k(b)b 2,5.

Petuewe.

(5 - b)(5 - (5 - b))

Omeem: o. 18. HauAHTe - ecJIH- 7y 13.

бс - 7у = 13, делим числитель и знаменатель на у. 7с + бу

7. 2 +6 = 13, 13€. щ +6

6 ' щ -2 7 = 91 • 78,

У . + 85 Ответ

2с + 5у + 9 19. Найдитеесли

У Решение.

Так как= 2, то с = 2у. Подставим 2у вместо с в

У = 2,25. Ответ: 2,25.

9х2 + у2 - + 20. Найдите значение выражения

2су

Действия с многочленами

Решение.

2су2су 9х2 + у2 - 9х2 - бсу- г - - 22 = -3. 2су2су

Ответ: -3.

21. Найдите значение выражения 15abc - (-3cab)

Решение. 9bca 15abc - (-3cab) _ 15abc + ЗаЬс 18abc 9bca9abc

Ответ: 2. 9abc 22. Найдите значение выражения 1308 8 - (3a4b2)2 при Решение.

1За8Ь4 - (За4 Ь2 ) 213а8 ь4 - 9a8b44a8b44a8b4 08 b6

= 0,25. Ответ: 0,25.

23. Найдите значение выражения 4р(с) - 8с + 4, если р(с) = 2с - 6.

Решение. 4р(с) -8х+4 = 4(2с-6) -8х+4 = 8х-24-8х+4 = -20. Ответ: -20.

24. Найдите значение выражения c+2y+6z, если Зс+у = 10 5у + 18z = 2.

Сложим левые и правые части выражений Зс + у = 10 и 5у + 18z = 2. Получим 3$ + бу + 18z = 12. Разделим на З, получим с + 2у + 6z = 4.

Ответ: 4.

25. Найдите значение выражения ЗК(Зс) - 2k(c + 7) - 7$, если К(с) = с - 14.

Решение. К(Зс) = 3$ - 14. - - 14 = зК(зс) - 2k(c + 7) - 7$ З(ЗС - 14) - - 7) - 7$ 92 - 42 - 2$ + 14 -28-7х 28. Ответ: -28.

Действия с корнями

О Нежного полезной информации Вспомним основные формулы:

п а .

если К нечётно и

I если К чётно;

Действия с корнями

У--т ЗаДачи с решениями

26. Найдите значение выражения 1419696 при с > 0.

Решение. 1

14$ 18 с 9181 = 14$

1 6

= = 14. Ответ: 14.

27. Найдите значение выражения

Решение.

Ответ: 280.

Найдите значение выражения оз. 03

28. Решение.

Ответ: 14.

29. Найдите значение выражения

Решение.

Ответ: 6.

30. Найдите значение выражения

Решение.

- 0 2 12-465+5 405 - 17 "л - 17

Ответ: -1. 31. Найдите значение выражения (а - 5) 2 + (а - при

Решение.

(а - 5)2 + (а - = la - + - 71. Так кака > 5, то la - 5' = а- 5. Так как а 0.

Решение. 4

5х2 • с52+ -2,8 5$

с2,8 Ответ: 5.

33. Найдите значение выражения при

Логарифмические выражения

Решение.

- 8 № З 2-206

Ответ: З. f(3 - с)= 3 -с) при З.

34. Найдитеесли f(c)

Решение.

f(3 - с) = f(3 - с),

Ответ: 1.

Логарифмические выражения

О Немного полезной информации

Пусть а > 0, а 1, с > 0. Тогда alogac = с.

Вспомним основные формулы.

loga(cy) = loga с + loga у, у > 0;

= logac - loga у, у > 0;

1 log а (с ) = blogac; logab(c) = - loga с;

1 loga с =

logc а с > 0. Тогда logac = logb с Пусть Ь > 0, Ь 1,

logb а д--т Задачи с решениями

35. Найдите значение выражения log7 4,9 + log7 10. Решение.

log7 4,9 + log7 10 = log7(4,9 • 10) = log7 49 = log7(72 ) --2.

Ответ: 2. 36. Найдите значение выражения 6210% 5

Решение. 62 log65 = 610g6 52 = 52 = 25.

Ответ: 25. 37. Найдите значение выражения 810g23

Решение.

810g23 _ (23)log23 - 23.log23 == 33 = 27

Ответ: 27. 38. Найдите значение выражения Решение.

1 logo,25 8 = log1 8 = log2-2 23 = • З log2 2= -1,5. 7-2

Ответ: -1,5.

39. Найдите значение выражения log16 log3 9.

Решение. 1 log16 log3 9 = log16 2 = log24 2 = - log2 2 = ! = 0,25. 44

Ответ: 0,25.

40. Найдите значение выражения log 1 63.

15 Решение.

= log15-l- -1 • 0,5 • log15 15 = -0,5.

15 : -0,5. Логарифмические выражения

41. Найдите значение выражения log625 7 Решение.

log25 7log25 7log25 7

log252 7- 1 log25 72 2

Ответ: 2. 42. Найдите значение выражения log11 З • logg 11.

Решение.

log11 З • logg 11 = logn Зlog11 Зlog11 З = ! = 0,5.

2 log11 9logll 32 logn З2

Ответ: 0,5.

43. Найдите значение выражения 105 • log4 и.

Решение. 1

1 105 • 105 • log44 3 = 105 - . log44 = 35. З Ответ: 35.

44. Найдите значение выражения (log2 32) • (log3 27).

Решение.

(log2 32) • (log3 27) = (log2 25 ) • (log3 33 ) - = (510g2 2) • (З З) = 15.

Ответ: 15. 710g3 18

45. Найдите значение выражения

710g3 2

Решение. 7 log3 18

- 710g3 18-log3 2 = 710g3 (18:2) 710g39 -

7 log3 2 49. 46. Найдите значение выражения К 1 - log3 15)(1 - log5 15). Решение.

(1 - log3 15)(1 - log5 15) = (log3 З log3 15)(log5 5 log5 15) = log3 log5 -155) log3 -1 ) (log5 -31) =

5 1

= (- log3 5)(- log5 З) = • log53 = 1. log5 З Ответ: 1. log5 50

47. Найдите значение выражения

2 -4- log5 2 Решение.

log5 50log5 50log5 50log5 50

2 + log5 2 log5 25 + log5 2 log5(25 • 2) log5 50 Ответ: 1,

48. Найдите значение выражения + log5 0,25. log7 5

Решение. log74 + log5 0, 25 - log5 4 + log5 0,25 log5(4 • 0,25) log7 5

- log5 1 = 0.

Ответ: 0. 49. Найдите значение выражения log3C 25.

Решение. log3v3 25 = (logv/5 25) 3 - (log50,5 52) з(015 • 2 • log5 5

= 43 = 64. 64. Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Найдите значение выражения 32(sin2 180 - сое 0180 )

50. cos 36 Решение.

32(sin2 180 - cos2 180 )-32(cos2 180 - sin2 180 )

cos 360cos 360

-32(cos 360 ) = -32.

cos 360 Ответ: -32.

З cos 350 51. Найдите значение выражения sin 550 Решение.

З cos 35 0З cos 350З cos 350

sin 550 sin(900 - 350) cos 350 Ответ: З.

т 52. Найдите значение выражения 140 tg - cos -, 4

Решение. 14v/6tg cos = 14v'6 •= 42.

Ответ: 42.

53. Найдите значение выражения 3vGcos - cos 7т.

Решение. 9

- cos(6T + т)- cos т

22 9

2 -4,5. В

16 54. Найдите значение выражения

Решение. 1616

sin( 2?) 29т 65т

4 4 = 16 22 Ответ: 32.

55, Найдите значение выражения -50

Решение. -50"-3900 ) = -5v'3cos(3900 ) =

- -5vGcos(3600 + 300 ) = -50cos300 = -50

2 -15 = -7,5. 2

Ответ: -7,5.

56. Найдите значение выражения Решение.

4vGtg(-7500 ) = -4vGtg(75C) -

= -40tg(7200 + 300 ) = -40 ш ЗОО = -40 •

Ответ: -4. 28 sin 3160

57. sin 440 = -28. sin 440

Om?m: -28.

12 tg 1680 58. HahLHTe 3HageHHe Bb1PaxeHHfl tg 120

PezueHue. 12 tg 1680 12tg(-120) tg 120 tg 120 tg 120

12 tg 120 = -12. tg 120

Omeem: -12.

6 59. HafiLHTe 3HageHHe Bb1PayeHHfl sin2 220 + sin2 1120

PeueHt?e. 66 sin2 220 + sin2 1120sin2 220 + sin2 (900 + 220 )

6 sin2 220 + cos2 (220 )

Om?m: 6.

60. HaiLhTe tga, ecJIH cosa = -

PeueHue. 1 tg2 a = 17 1 16. TaK KaKa e

cos2 a tga > 0, 1103T0MY tga - - Vi6=4.

Om?m: 4.

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Найдите значение выражения З- + 1-56) 3

20,48

2. Найдите значение выражения•

41,24 З. Найдите значение выражения (9х2 + 4у2 - (зт - 2у) 2 ) : су.

8,35 4. Найдите значение выражения 2 971,38 при а = 2,5.

а 5. Найдите значение выражения 32+10% 5

6. Найдите значение выражения log2 log2 256.

7. Найдите значение выражения 18(sin2 360 - cos0 2 360 ) cos 72 sina • (5 cosa + 2)

8. Найдите значение выражения если (10 cosa + 4) • cos а tga = 5.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения З

2. Найдите значение выражения

-86 З. -3при с = 28.

4. (9х2 -25)• (

Варианты для самостоятельного решения

7. Найдите значение выражения

cos 720 8. Найдите значение выражения 5 cos(T - а) 2 sin

1 если cosa = -- .

4 Вариант З

1. Найдите значение выражения

2. Найдите значение выражения

З. Найдите значение выражения

4. Найдите значение выражения

Лу) = (2у 5. Найдите значение выражения

6. Найдите значение выражения

7. 8.

58 • 26 : 107 2

при с = 12 Лу)

, если f(b)

log2 57

logg 57 log5 0,5 + log5 50.

8 sin2 350 + sin2 1250

1 4cos 2а, если cosa = -.

4

Вариант 4

1. Найдите значение выражения 778 • 11 7 • 76 .

2. Найдите значение выражения

З. Найдите значение выражения

4. Найдите значение выражения

(13 - + 2$) + 4х2 + 5$ - 69 при с = 68.

5. Найдите значение выражения log3 8 • log2 27.

6. Найдите значение выражения 510g2564

0 8 sin 13 7. Найдите значение выражения 0 •

sin 347 8, Найдите tga, если З cos а + 2 sin а = 1,6. sin а + 2 cos а

Вариант 5

1. Найдите значение выражения 5652 - 4522 vj. vj

2. Найдите значение выражения

З. Найдите 2g(y) - 10у + 3, если g(y) = 5у - 7.

4. Найдите значение выражения (8с 2 - 8с

5. Найдите значение выражения 38 log25 МЗ.

6. Найдите значение выражения -r-s.

7. vGtg 7500 . 2 sin- Д + З cos(T + Д)

8. cos(B - т)

В8. Производная и исследование функций

Диагностическая работа

1. Прямая у = 4$ + 8 параллельна касательной к графику функции у = $2 + 2$ - 7. Найдите абсциссу точки касания.

2. На рисунке изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-8; 7). В какой точке отрезка [-7; -2] f(c) принимает наименьшее значение?

Рис. 1.

З. На рисунке 2 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-8; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(c) положительна.

Рис. 2.

4. На рисунке З изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-5; 4).

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(c) параллельна прямой у = 2х + 14 или совпадает с ней.

У =ftx) Рис. З.Рис. 4.

5. На рисунке 4 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-6; 9). Найдите количество точек максимума функции f(c) на отрезке [-4; 4].

Рис. 5.

6. На рисунке 5 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

Понятие производной

7. На рисунке 6 изображён график некоторой функции f(c). Одна из первообразных этой функции равна

= - 2х2 + 6$ - 4. Найдите площадь заштрихованз ной фигуры.

6 З Рис. 6.

Понятие производной

О Немного полезной информации

Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Функцию, имеющую производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в этой точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Производная функции также является функцией.

Производной функции в точке называют число, равное пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремящемся к нулю приращении аргумента.

Рис. 7.

Рассмотрим рисунок 7. Здесь дт = с - со - это приращение (изменение) аргумента, ду = f(c) - f(co) - приращение функции.

По определению производной f(c) - f(co) _ f'(c) = lim

Уравнение касательной, проведённой к графику функции у = f(c) в точке с = со, имеет вид у = f(co) - со).

Производные некоторых элементарных функций

(су = 0, где с = const;

(с где а = const;

Правила дифференцирования

1 (sin .c) f = COS С;

(cos с)' = - sin с;

1 (tg су = cos2 с

1 (ctg = -' sin2 с

( 1

(loga су = с • lna

1 Правила дифференцирования

(с • и)' = с • с- const;

uv ' = u'v + uv'; u'v - uv'

2 у = f(g(c)), у' = f'u(u) • g'z(c), где и = g(c).

Геометрический смысл производной

Значение производной функции в точке с = со равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой со. Нужно помнить, что угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной (или, другими словами, тангенсу угла, образованного касательной и положительным направлением оси Ос).

4 -2 хо- 6 Рис. 8.

Например, на рисунке 8 f'(co) = = tga -- Ккас.

Видим, что ду = 4, дт = 8. Тогда f'(co) - Ду = 4 = 0,5. дт 8

Обратите внимание, что ду и дт вместе с отрезком касательной образуют прямоугольный треугольник. Если в этом треугольнике мы разделим ду на дт, то получим абсолютное значение производной. Знак производной мы можем определить тремя способами. 1-й способ.

Если точка принадлежит промежутку возрастания функции, то значение производной в этой точке положительно, а если промежутку убывания, то значение производной отри-

цательно.

2-й способ.

Рассмотрим угол межщ касательной к графику функции в некоторой точке и осью абсцисс (это угол, отсчитываемый в положительном направлении - против часовой стрелки - от положительного направления оси Ос до касательной). Если угол острый, то значение производной в этой точке положи-

Геометрический смысл производной

тельно, а если угол упой, то значение производной в этой точке отрицательно.

3-й способ.

Возьмём координаты произвольной точки касательной (ц, И). Теперь рассмотрим любую точу касательной, абсцисса которой больше, чем абсцисса первой точки. Если при этом и её ордината больше И, то производная положительна, если меньше - производная отрицательна.

Полезно знать, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны и что прямая, параллельная оси абсцисс Ос, имеет угловой коэффициент, равный нулю.

8---r Задачи с решениями

1. На рисунке 9 изображён график функции у = f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

тпппаппипа вв*Еааапва Рис. 9.

Решение.

По графику функции видно, что функция - убывающая, поэтому знак производной в точке касания -к"минус". Выберем две точки касательной. Например, (-2; -9) и (-5; -3). Разность их абсцисс дт = З, разность ординат ду = 6. Делим ду на дт, получаем 6 : 3 = 2, ставим знак "-". Ответ: -2.

Применение производной к исследованию функций

Разберём решение некоторых задач, связанных с геометрическим смыслом производной.

2. Прямая у = Зс - 5 параллельна касательной к графику функции у = с2 + 2с - 7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Так как прямая у = Зс - 5 параллельна касательной, то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой у = 3$ - 5, то есть К = З. Так как касательная проведена к графику функции у = с2 + 2с - 7, то значение производной в точке касания равно значению углового коэффициента касательной, то есть у'(с) = З.

Найдём производную функции у = с2 + 2с - 7.

' - 2с + 2. Из равенства у'(с) = З можно найти абсциссу точки касания. 2$ +2 = З; 2с = 1; с = 1 : 2; с = 0,5.

с = 0,5.

З. Прямая у -4с + 15 является касательной к графику функции у - сз + 3х2 - 4$ + 11. Найдите абсциссу точки касания.

Решение. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Угловой коэффициент касательной у = -4с + 15 равен -4. Получим у'(с) = -4, где у'(с) = (сз + 3х2 - 4$ + 11)! = 3х2 + бс - 4.

3х2 +6х-4 = -4; 3х2 +6х = 0; Зс(с+2) = 0, следовательно, с = 0, либо с = -2.

Мы получили два возможных значения для абсциссы точки касания. Выбрать одно из них можно, подставив найденные значения с в формулы функции и касательной. В точке касания значения функции и прямой должны совпасть.

При С О у = сз - 11 = 03 +3 • 11 = 11;

Укас = -4х+ 15 = - 4 • О + 15 = 15. - 11, укас(О ) = 15

Так как значения функции и касательной при с = 0 разные, абсцисса с = 0 нам не подходит.

Проверим при с = -2:

у = сз + 3х2 - 4$ + 11 = -4 • 11 =

-8 + 12 11 = 23;

Укас+ 15 = -4 • + 15 = 8 15 = 23.

Значения функции и касательной при с = -2 равны, значит, абсцисса точки касания с = -2.

Ответ: -2.

4. На рисунке 10 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции f(c) положительна.

Рис. Ш. Решение.

Целые точки - это точки с целочисленными значениями абсцисс (с). Производная функции f(c) положительна, если функция возрастает.

На рисунке отмечены точки, принадлежащие промежуткам возрастания, в которых производная функции f(c) положительна. Это точки -8; -7; -5; -4; -3; 0; 2; З; 4; 6. Количество целых точек, в которых производная функции f(c) положительна, равно 10.

10. аппапппппиппаааапаа апрд"папппаппппаппп пйпаггдпмп 6 -8-7 -5-4-3 х пп•пппаппааппиамааа аппппппппапюипппппп Рис. П.

5. На рисунке 10 изображён график функции f(c), определённой на интервале (-9; 8). В какой точке отрезка [-8; -4] f(c) принимает наибольшее значение?

Решение.

Определяем,на графике точку, у которой абсцисса с лежит на отрезке [-8, -4], а ордината у наибольшая из возможных, то есть эта точка "самая высокая". Для данного графика это точка (-6; 5). Значит, f(c) принимает наибольшее значение в точке с

Ответ: -6. 6. На рисунке 10 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-9; 8). Найдите количество точек на отрезке [-8; З], в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = З.

Решение. Нарисуем прямую у = З (см. рис. 12). Посчитаем количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = З. По рисунку видно, что число таких точек равно 6.

Ответ: 6.

ааоопппппиппппппппп аагаппппапппппппппп -ппппапппппппппп,Е Рис. 12.

7. На рисунке 13 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции у = f(c).

Решение. Н/рисунке 13 изображён график функции у = f(c). Говоря образно, точки экстремума - это те значения с, при которых на графике видны "горбики" и "впадинки". Видим, что точками экстремума данной функции являются точки с = -1, с = 0, с = З, с = 4, с = 6, с = 7 и с = 9. Сумма точек экстремума функции у = f(c) равна -1 +0+3+4+6 + 7+9 = 28. 28.

10х Рис. В.

Теперь разберём несколько задач, в которых дан график производной функции.

8. На рисунке 14 изображён график производной функции у = f'(c), определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции у = f(c) параллельна прямой у = с + 1 или совпадает с ней.

аоааааоааоопюааоо Рис. 14.

Решение.

Касательная к графику функции у f(c) параллельна прямой у = с + 1 или совпадает с ней, если её угловой ко-

6. Зак № ns

эффициент К = 1. Но значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, то есть нам нужно найти точки, в которых производная ff (c) = 1. Построим прямую у 1, параллельную оси Ос (см. рис. 15). Видим, что прямая и график функции имеют 4 общие точки. Это и значит, что ff (c) = 1 в этих четырёх точках, и в них касательная к графику функции у = f(c) параллельна прямой у = с + 1 или совпадает с ней.

папппппаппапюппв• паоппппоппппааппп Рис. 15.

Ответ: 4.

9. На рисунке 14 изображён график производной функции у = f'(c), определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе запишите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Функция возрастает на промежутках, в которых её производная положительна. Найдём те целые точки на графике, в которых производная положительна (лежит выше оси абсцисс Ос). Видим, что эти точки лежат в интервале от -7,5 до 2,5. Целых среди них 10.

Ответ: 10. 10. На рисунке 14 изображён график производной функции у = f'(c), определённой на отрезке (-7,5; 7). В какой точке отрезка [-5; -2] функция f(c) принимает наименьшее значение?

Решение.

На отрезке [-5; -2] производная функции у = f'(c) положительна, следовательно, f(c) на этом отрезке возрастает и принимает наименьшее значение на левом конце отрезка (или, другими словами, при наименьшем значении с). В данном случае это с -5.

Ответ: -5. 1 1. На рисунке 16 изображён график производной функции у = f'(c), определённой на интервале (-5; 5). Найдите количество точек экстремума функции f(c) на отрезке [-4; З]. аппппи•ппппп аваппяааооаа

ппппппаппшпа

Рис. 16.

Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку производная меняет знак, то есть график производной пересекает ось абсцисс Ос. Производная функции у f'(c) на отрезке [-4; З] меняет знак три раза, поэтому количество точек экстремума функции у = f(c) на данном промежутке равно З. Ответ: З.

12. На рисунке l7 изображён график производной функции у = f'(c), определённой на интервале (-5; 5). Найдите точку максимума функции у = f(c) на интервале (-3; З).

5 1 5 папппппппппп Рис. 17.

Решение.

Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через неё знак производной меняется, то есть график производной пересекает ось абсцисс Ос. Таких точек на интервале (-3; З) две: с

Точка является точкой максимума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку знак производной меняется с "+" на "- " . В данном случае точкой максимума является точка с = -1 (см. рис. 18).

Ответ: -1.

13. На рисунке 17 изображён график производной функции у = f'(c), определённой на интервале (-5; 5). Найдите промежутки возрастания функции у = f(c). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение.

Расставим знаки производной (см. рис. 18) и выберем промежутки, где производная положительна (на них функция возрастает). К точкам возрастания функции относятся также концы этих промежутков.

Видим, что целые точки, входящие в промежутки возрастания, - это -3, -2, -1, 2 и З. Их сумма равна -1. Ответ: -2.

14. На рисунке 19 изображён график производной функции с определённой на интервале (-2; 16). Найдите промежутки убывания функции у = f(c). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

Расставим знаки производной (см. риса 20 на с. 72) и выберем промежутки, где производная отрицательна (на них B&??0?3B0?? ?cc e,?0 ??e??#

? ? ? ? ? ? ??? ?? ??? ?? ??? ??? 0 ?? ??? ? 0 ? 0 ??? ??? ??? ??? ??? 0 ? 00 ? ?

?? ?? 0 ? ? 0 ? 00 ¦ ? 00 ? 00 ? ? 0 ?? 0 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 0 0 ?? ?

20 ? ?? ? ?? ?? ¦

P . 19. ??K?y6b1BaeT). 9T0?6y?TIPOMeMYTKH y6b1BaHHfl:

[6; 13] , [15; 16).?Ha HaH60J1bLUe1'0?3 HHX paBHa 13?6 = 7.

? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? 0 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?

00 0 ?? ?

? ??? ? 0 02 ? ? ?

? ??? ??? 0 0

0 ??? ?? 0 ? ? ?? ?? ?

0 ??

0 ??? ??? ? ?? ?

00 PHC. 20.

o?ge?: 7. исследованию функций

15. На рисунке 21 изображён график функции у = f(c) и отмечены точки -1, 1, 2, 4, 6. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

-1 х 0

2з Рис. 21.

Решение. Значение производной в точке со равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой со. f'(c) наименьшее в точке, в которой касательная образует самый маленький тупой угол с осью Ос ("горка" в этом месте на вид "самая крутая"). Проведём касательные в заданных точках (см. рис. 22). Тупые углы (а значит, f'(c) 0 на всех интервалах, где F(c) возрастает. Находим по рисунку, какие точки принадлежат промежуткам возрастания Р (с) (исключая концы промежутков, где = 0). Это точки с2, сз, с4, ст - их количество равно 4.

Ответ: 4.

Площадь криволинейной трапеции и определённый интеграл

О Нежного полезной информации

На рисунке 25 изображена фигура, ограниченная снизу отрезком [а; Ь], с боков отрезками прямых с = аи с = Ь, сверху графиком непрерывной функции у = f(c), принимающей неотрицательные значения. Такую фшуру называют криволинейной трапецией, отрезок [а; Ь] - её основанием.

о а Рис. 25.

Площадь S криволинейной трапеции можно вычислить с помощью первообразной функции по формуле S = F(b) - Ла), где F(c) - любая первообразная функции

Разность F(b) -F(a) равна определённому интегралу от функции f(c) на отрезке [а; Ь], обозначаемому так:

(читают: "интеграл от а до Ь эф от икс дэ икс").

Можно написать формулу для площади криволинейной трапеции следующим образом: S =

В этом состоит геометрический смысл определённого инте-

Площадь криволинейной трапеции и определённый интеграл

грала. Отметим, что формула f(c)dc = F(b) - F(a) справеддива для функций любых знаков, а не только для неотрицательных.

8---r Задачи с решениями

17. На рисунке 26 изображён график некоторой функции f(c). Одна из первообразных этой функции равна

2х3 - + 2х2 + 3$ - 1. Найдите площадь заштрихованной З фшуры.

Рис. 26. Решение.

Криволинейная трапеция на рисунке 26 ограничена отрезками прямых с 1 и графиком функции у = f(c). Для вычисления площади фигуры используем формулу S = F(b) - Ща), в нашем случае а = -2, Ь 1

2 - 13

+ 2 . 12+3- 1 - 1

З 2 • (-2) 3 + 2 . (-2)2 + 3 . (-2) - 1)

З 18. На рисунке 27 изображён график функции у = f(c) = 5-lc+11- lc-21. Пользуясь рисунком, вычислите

з определённый интеграл

-1 -2 -1 0 1 2 3 х Рис. 27.

Решение. Найдём определённый интеграл, посчитав площадь трапеции ABCD (см. рис. 28)

з ABCD • 2 = 7. -122

28. Ответ: 7.

Площадь криволинейной трапеции и определённый интеграл

19. На рисунке 29 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-5; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции F(c), которая является первообразной для функции f(c), параллельна прямой у = 3$ + 8 или совпадает с ней.

-5 8 Рис. 29.

Решение.

Функция у - f(c) является производной для F(c), то есть f(c) = Р(с). Значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, то есть f(c) = F'(c) = З. Проведём прямую у = З, параллельную оси Ос (см. рис. 30). Она пересекает график в 5 точках. В этих точках касательная к графику функции у = Р (с) параллельна прямой у = 3$ + 8 или совпадает с ней.

х 1 -5 8 30.

Ответ: 5.

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Прямая у = 2с - 7 является касательной к графику функции у = сз + 6х2 + 2х - 7. Найдите абсциссу точки касания. 2. На рисунке 31 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(c) параллельна прямой у = 13.

Рис. 31. З. На рисунке 32 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(c) параллельна прямой у = 4с - 7 или совпадает с ней.

32.

4. На рисунке 33 изображён график производной функции у = f(c), определённой на интервале (-6; 9). В какой точке отрезка [-1; 7] f(c) принимает наибольшее значение?

• •••апчи• Рис. 33.

5. На рисунке 34 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-6; 9). Найдите количество точек минимума функции f(c) на отрезке [-5; 8].

Рис. 34.

6. На рисунке 35 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

35. У х

4 7. На рисунке 36 изображён график некоторой функции у = f(c), определённой на промежутке (0; +00). Одна из первообразных этой функции равна

-3 Найдите площадь заштрихованнойРис. 36. фигуры.

Вариант 2

1. Прямая у = 47$ - 5 параллельна касательной к графику функции у = $2 - 7$ - 7. Найдите абсциссу точки касания.

2, На рисунке 37 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-4; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(c) отрицательна.

Рис. 37.

З. На рисунке 38 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-5; 4). В какой точке отрезка [-4; 1] f(c) принимает наибольшее значение?

Рис. 38. ) У =ftx 4. На рисунке 39 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 12.

У =ftx) Рис. 39.

5. На рисунке 40 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-8; 7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

6. На рисунке 41 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(c) в точке хо.

Рис. 40.

Рис. 41. 7. На рисунке 42 изображён график некоторой функции у = f(c). Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл

апаипапыяп 42.

Вариант З

1. Прямая у = Зс + 14 является касательной к графику функции у = сз + 6х2 + Зс - 18. Найдите абсциссу точки касания. 2. На рисуяке 43 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-2; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Рис. 43.

З. На рисунке 44 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-8; 7). В какой точке отрезка [-6; 1] f(c) принимает наименьшее значение?

У =ftx) 44.

4. На рисунке 45 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-5; 9). Найдите промежутки убывания функции f(c). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

y=ftx) Рис. 45.

5. На рисунке 46 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-5; 4). Найдите точку минимума функции f(c) на интервале (-5; 4).

пппппв" 46.

6. На рисунке 47 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

Рис. 47.

7. На рисунке 48 изображён график функции у = Е (с), которая является одной из первообразных функции у = f(c). Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл f(c)dc.

48. Вариант 4

1. Прямая у = -3х + 2 параллельна касательной к графику функции у = + 8х + 1. Найдите абсциссу точки касания.

2. На рисунке 49 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-2; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

-2 Рис. 49.

З. На рисунке 50 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-4; 5). В какой точке отрезка [-3; 2] f(c) принимает наименьшее значение?

y=ftx) Рис. 50.

4. На рисунке 51 изображён график производной функции у = f(c), определённой на интервале (-8; 7). Найдите сумму точек экстремума функции f(c).

У x =ft) Рис. 51.

5. На рисунке 52 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-5; 9).

Рис. 52.

Найдите промежутки возрастания функции f(c). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

6, На рисунке 53 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

7. На рисунке 54 изображён график функции у = F(c), где - первообразная функции у = f(c). Найдите количество точек на промежутке [-5; 8], в которых функция f(c) равна нулю.

Вариант 5

1. Прямая у = -5х + 19 является касательной к графику функции у - - 2$ + 18. Найдите абсциссу точки касания.

2. На рисунке 55 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-7; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Рис. 55. З. На рисунке 56 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-2; 12). Найдите промежутки возрастания функции f(c). В ответе укажите длину наибольшего из них.

У =ft x) Рис. 56.

4. На рисунке 57 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-2; 12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(c) параллельна прямой у = 2х + 15 или совпадает с ней.

Рис. 57.

5. На рисунке 58 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-4; 5). Найдите количество точек экстремума функции f(c) на интервале (-4; 5).

У x =ft) anvnnmaszsz опапвппааа• Рис. 58.

6. На рисунке 59 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

Рис. 59.

7. На рисунке 60 изображён график функции у = f(c), определённой на интервале (-8; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции р которая является первообразной функции f(c), параллельна прямой У = 8 5с или совпадает с ней.

60. Вариант 6

1. На рисунке 61 изображён график функции у = f(c) и девять точек на оси абсцисс: и, Ч, сз, . . . , а. В скольких из этих точек производная функции f(c) положительна?

Рис. 61.

2. На рисунке 62 изображён график у = f'(c) производной функции f(c) и восемь точек на оси абсцисс: , Ч, сз, Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(c)?

62. З. На рисунке 63 изображён график функции у = f(c) и отмечены точки -5, -4, -2, -1, 1, З. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Рис. 63. 4. На рисунке 64 изображён график функции у = F(c), одной из первообразных некоторой функщш f(c), определённой на интервале (-7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(c) = 0 на интервале (-7; 5).

5 х 64.

5. На рисунке 65 изображён график некоторой функции у = f(c) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите Р (7) - Р (-3), где F(c) - одна из первообразных функции f(c).

-3 7 х Рис. 65.

6. На рисунке 66 изображён график некоторой функции у = f(c).

Функция

- 15х2 + 78х -

является одной из первообразных функции f(c). Найдите площадь

Рис. 66. закрашенной фигуры.

7. На рисунке 67 изображён график некоторой функции f(c). Функция Е (с) = -2х3 + 51х2 - 420$ + 14 - одна из первообразных функции f(c). Найдите площадь закрашенной фитуры.

х 67

Вариант 7

1. На рисунке 68 изображён график функции у = f(c) и семь точек на оси абсцисс: $1, $2, $3, . . . , т7. В скольких из этих точек производная функции f(c) отрицательна?

2. На рисунке 69 изображён график у = fl (c) производной функции f(c) и девять точек на оси абсцисс: $1, $2, $3, Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(c)?

Рис. 69.

З. На рисунке 70 изображён график функции у = f(c) и отмечены точки -3, -2, -1, 1, 2, З. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

7. Зак № 226

-3-2 2 х 1 З Рис. 70.

4. На рисунке 71 изображён график функции у = Р (с), одной из первообразных некоторой функции f(c), определённой на интервале (-5; 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(c) = 0 на отрезке [-4; 5].

5. На рисунке 72 изображён график некоторой функции у = f(c) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(1) - Р (-7), где Р (с) - одна из первообразных функции f(c).

Рис. 72.

мя 6. На рисунке 73 изображён график некоторой функции

4 у = f(c). Функция Р (с) - - одна из 17 первообразных функции f(c). Найдите площадь закрашенной фшуры.

Рис. 73. 7. На рисунке 74 изображён график некоторой функции

з у = f(c). Функция Р (с) + - + 64- одна из 4 первообразных функции f(c). Найдите площадь закрашенной фшуры.

2 4 6 8 Рис. 74.

В12. Прикладные задачи

Диагностическая работа

1. Для одного из предприятий зависимость объёма спроса на прощкцию q (единиц в месяц) от её цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 550 - 30п. Определите наименьший уровень цены п (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц (h = q • п) составит не менее 2480 тыс. руб.

2. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После того как кран открыли, вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону h(t) = 8,95 - 3,36t + 0,314t2 , - время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

З. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением 1'(t) = 1'o+ct+yt2 , где то = МОК, с = 60 клин, у-- -0,25 К/мин 2 . Известно, что при температуре нагревателя свыше 1240 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время (в минутах) после начала работы нужно отключать прибор.

задачlOl

4. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой = • 10070. При каком наименьшем значении температуры нагревателя Т1 КПД этого двигателя будет не менее 6070, если температура холодильника = 1800 ?

Решение прикладных задач

О Немного полезной информации

В заданиях данного типа рассматриваются реальные процессы, в которых необходимо найти нужный результат по заданной функции и начальным условиям или конкретным значениям ВХОДЯшМХ в формулу параметров. Все формулы для этих заданий взяты либо из школьного курса физики, либо из экономических дисциплин. В зависимости от условия составляется или уравнение, или неравенство относительно значений функции. В большинстве случаев получаются квадратные уравнения или неравенства. Реже - линейные. В уравнениях третьей и четвёртой степени, как правило, удаётся достаточно просто подобрать соответствующий корень. Решения упрощаются за счёт того, что в реальных процессах фигурируют в основном положительные величины. В идеале, конечно, надо стремиться понять физический смысл задачи, дать развёрнутый ответ, соответствующий тематике задания. Практически - достаточно получить конкретное число для внесения в бланк ответов.

102

&--т ЗаДачи с решениями

1. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Ор, объективности публикаций Тт, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 9-балльной шкале целыми числами от -4 до 4.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикациЙ - всемеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

71n + ор + ЗТТ + Q

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.

Решение. Пусть по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, равную с, тогда рейтинг можно посчитать по формуле

71n + Ор + ЗТТ + Q12х

По условию, = с, А 12

Ответ: 12.

2. Коэффициент полезного действия теплового двигателя вычисляется по формуле = • 10070. При каком наименьшем значении температуры нагревателя 131 КПД двигателя будет не менее 7570, если температура холодильника

= 350 К? Решение.

1-й способ.

Составим и решим неравенство:

7570, Ћ-Т2 • 10070 7570,

Т1 - 350 0,75,

- 350 0,75Ђ,

- 0,75Ђ 350, 0,253 350,

1400. Итак, чтобы КПД данного теплового двигателя был не менее 7570, температура нагревателя должна быть не менее 1400 к;

Ответ: 1400.

2-й способ.

Подставим в формулу заданные значения и решим полученное уравнение при КПД, равном 7570. Если найденное значение будет единственным, неравенство составлять и решать не нужно.

7570 =• 10070,

75 = • 100. Умножим обе части уравнения на 1'l.

75Т1 = (л - 350) • 100,

753 = - 35 000, 35 = - 75Ђ,

25Ђ = 35 000, = 35 : 25,

З. Зависимость объёма спроса на прощкцию некоторой фирмы от цены прощкции задаётся формулой q(p) = 280 - 10р, где р - цена (тыс. руб.), q - спрос (единиц в месяц). Определите максимальный уровень цены (в тыс. руб. ), при котором значение выручки предприятия за месяц т = составит не менее 960 тыс. руб.

Решение.

Составим функцию выручки предприятия, затем неравенство, соответствующее условию задачи. т = = (280 - 10р)р.

По условию т 960, поэтому (280 - 10р)р 960.

Решим квадратное неравенство:

280р - 10р2 960,

-10р2 + 280р - 960 О,

10р2 - 280р + 960 О, р2 - 281) + 96 О,

= 4, Р2 - 24 р [4; = 24. То есть максимальный уровень цены, при котором выручка предприятия составит не менее 960 тыс. руб., равен 24 тыс. руб. Ответ: 24.

4. Операционная прибыль предприятия за краткосрочный период вычисляется по формуле T(q) = q(p - v) - f. Компания продаёт свою продукцию по цене р = 400 руб. за штуку, затраты на производство одной единицы продукции составляют = 300 руб. за штуку, постоянные расходы предприятия f = 800 000 руб. в месяц. Определите наименьший месячный объём производства (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 700 000 руб. в месяц.

Решение.

Найдём месячный объём производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет равна 700 000 руб. в месяц. Если такое значение будет единственным, неравенство составлять и решать не нужно.

1-й способ.

Выразим искомую величину сначала в общем виде, затем вычислим конкретное значение. т = q(p - v) - f'

q - т + эс _ 700 000 + 800 _ 1500= 15 000.

400 - зоо100 Итак, при наименьшем месячном объёме в 15 000 изделий прибыль предприятия будет составлять не менее 700 000 руб.

106 2-й способ.

Подставим в формулу заданные значения и решим полученное уравнение.

т = 700000, 800000, 300, 400,

700 000 = - 300) - 800 000,

100q - 800 000 = 700 000,

100q = 1 500 000, 1 000 : 100, 15 000.

Ответ: 15 000.

5. Высота столба жидкости в баке с открытым краном меняется по закону H(t) = 1,28 - 0,8t + 0,1232 , где - время в минутах, Н - высота в метрах. Через сколько минут после открытия крана вода полностью вытечет из бака? Решение.

Если вода вытекает полностью, то очевидно, что высота жидкости в баке равна нулю. Получаем Н = 0, составляем и решаем квадратное уравнение:

1,28 - 0,8t + 0,125t2 = О,

D = -4- 0,125 •

4-0,8) = 3,2. 2 • 0,125

Итак, вода полностью вытекает из бака через 3,2 секунды после открытия крана.

Ответ: 3,2.

6. Зависимость температуры нагревательного элемента прибора от времени имеет вид T(t) = To+at+bt2 , где То = 100 К, а = 37,5 К/мин, Ь = -0,25 К/мин2 . Прибор может испортиться при температуре свыше 1000 К. Определите момент времени (в минутах), когда прибор необходимо отключить, чтобы он не вышел из строя.

Решение.

Зависимость температуры нагревательного элемента от времени имеет вид квадратичной функции. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при t2 отрицателен (Ь = -0,25 gL, > 0,

114 Итак, скорость вращения ведёрка должна быть не менее З м/с.

Ответ: З. 1 З. Глубоководники проектируют новый батискаф в виде сферы радиуса R Выталкивающая сила Архимеда, действующая на батискаф, вычисляется по формуле = pgV = pg • -TR3 Определите максимальный радиус батискафа (в метрах), если сила Архимеда по технологии не должна превосходить 1 130 400 Н. При расчёте примите следующие значения постоянных: р = 1000 кг/мз , g = 10 Н/кг, т = 3,14.

Решение.

1 130400, 43 -TRpg 1 130400,

з , 1 130400 7rpg • 4

з . 1 130 400 = 27,

3,14 • 1000 • 10 • 4

Следовательно, радиус батискафа не должен превышать 3 м. Ответ: З.

14. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) - at2 + Ы + но, где но = 2,5 - начальный уровень

1 1 воды, а- постоянные, t - время в

100010

115 минутах с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? (Ответ приведите в минутах.) Решение.

Отсутствие воды в баке означает, что H(t) = 0. Подставим данные параметры в левую часть формулы, составим и решим уравнение.

но = о, at2 + bt Но = О, t2

- - + 2,5 = О,

1000 10 В - 100t + 2500 = О, (t - 50) 2 - О, t = 50.

То есть вода из бака будет вытекать в течение 50 минут.

Ответ: 50. 15. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определённым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой

19 у = ас2 + bc, где а = - постоянные па200 м'20 раметры, с - горизонтальная составляющая расстояния от машины до камня, у - высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены, высота которой 7 м, нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 2 метров?

Пб

Решение.

По условию у 7 + 2 = 9. Подставим в левую часть формулы ас2 + bc 9 заданные значения параметров и решим неравенство.

х (-200) 200 20

- + 1800 о,

(с - - 60) о, [30; 60], = 60.

То есть наибольшее расстояние от крепостной стены равно 60 м.

Ответ: 60. 16. Мотоциклист, движущийся по городу с постоянной скоростью vo = 57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением а = 18 км/ч 2

Расстояние от мотоциклиста до города определяется выра-

жением S = vot + - время в часах, прошедшее 2 с момента выезда из города. Определите наибольшее время (в минутах), в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор обеспечивает покрытие на расстоянии не далее, чем 42 км от города.

Решение.

Составим и решим неравенство.

1 17 18t2 57t +- 42,

2 9t2 + 57t - 42 0,

3t2 + 19t - 14 о,

2 60 мин = 40 мин.

Итак, мотоциклист будет находиться в зоне действия сотовой связи 40 минут.

Ответ: 40. 17. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью vo -- 33 м/с и тормозящий с постоянным ускорением а = 6 м/с2 , за t секунд после начала торможения проходит at2 путь S = vot - - Определите (в секундах) наименьшее вре2 мя, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал не менее 84 метров.

Решение.

Подставим в левую часть формулы значения данных параметров, составим и решим неравенство.

6t2 33t -- 84, 2 + - 84

е - 11t +28 о,

tmin = 4.

То есть с момента начала торможения прошло не менее 4 с. Ответ: 4.

18. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой т = З кг и радиусом R = 14 см и двух боковых массами по М = 2 кг, радщсами R+h. При этом момент инерции катушки (в кг • см2 ) относительно оси вращения (т + 2M)R2 определяется выражением I =

2 При каком максимальном значении h (в см) момент инерции катушки не превышает предельных для неё 942 кг • см 2 ?

Решение.

Подставим данные значения параметров в правую часть формулы, составим и решим неравенство.

(3 2 • 2) • 142

+ 2(28h + h2) 942,

2 686 + 2(28h + Р) 942, + 28h- 128 О,

Пти = 4. То есть, чтобы момент инерции катушки не превышал 942 кг, см2 , нужно, чтобы h 4 см. Ответ: 4.

19. В боковой стенке высокого цилиндрического бака с водой вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону НО = но- + g pe, luet- время (в секундах),

прошедшее с момента открытия крана, Но = 45 м - началь-

1 ная высота столба воды, К - отношение площадей 200 поперечных сечений крана и бака, а g = 10 м/с2 - ускорение свободного падения. К какому моменту времени в баке останется не более - первоначального объёма? Ответ выразите в

секундах.

Решение. Составим и решим уравнение. Объём воды в баке можно выразить как V = Н • S, где Н - высота воды в баке, а S - площадь его поперечного сечения. S - величина постоянная, следовательно, бак будет заполнен водой на - объёма, когда

высота воды в нём составит - первоначальной H(t)

но - = 4 но.

9 Пусть kt = с,

2 5х2 - зос + 25 = о,

Итак, объём бака составит - первоначального объёма че-

рез 200 с. Второй корень не подходит по смыслу задания, так как здесь рассматривается только промежуток времени до полного опустошения бака.

Ответ: 200.

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

1. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 120 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить холодильник. Чему равно наименьшее возможное сопротивление (в омах) этого холодильника, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rl и R2 их общее сопротивление определяется формулой R - , а для

нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 48 Ом?

2. для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: Р = cST4 , где = 5,7 • 10-8 _ числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура гращсах Кельвина, а мощность - в ваттах. Известно, что

1 некоторая звезда имеет площадь S - • 10 17 м2 , а излу324 чаемая ею мощность Р равна 184,68 • 1018 Вт. Определите температуру этой звезды.

З. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = -4t2 +25t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 25 метров.

4. При температуре 0 о с рельс имеет длину - 15м. При температуре 0 о с между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l(t) - lo(1 + at) , где а 1,2 • 10-5 (0 С-1 ) - коэффициент теплового расширения, t - температура (в гращсах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

Вариант 2

1. Операционная прибыль предприятия за краткосрочный период вычисляется по формуле h(q) q(p - т) - К. Компания продаёт свою продукцию по цене р = 8000 руб. за штуку, затраты на производство одной единицы продукции составляют т = 2000 руб., постоянные расходы предприятия К = 10 500 000 руб. в месяц. Определите наименьший месячный объём производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 1 500 000 руб. в месяц,

2. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = Uocos(wt + р), где t - время в секундах, амплитуда Uo = 4 В, частота ш = 1000/с, фаза р = 200 . Датчик настроен так, что, если напряжение U в нём не ниже 2 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

З. После паводка уровень воды в колодце может повыситься. Можно определить его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t2 м. До паводка время падения камушков составляло 1,2 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)

4. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со време$2 нем по закону ф где t - время в минутах, 2

= 600 [мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а р = 200 /мин2- угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки ф достигнет 31500 . Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Вариант З

1. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Л = 280 и определяется слещющим выражением: f = Л

где с - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а и = 30 м/с и v = 20 м/с - скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 330 Гц?

2. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий и = 200 молей воздуха при давлении = 1,1 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением А = log2 22 (Дж), где а = 9,15 - постоянная,

Т = 280 К - температура воздуха, (атм.) - начальное давление, а (атм.) - конечное давление воздуха в колоколе. до какого наибольшего давления можно сжать воздух

в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более 1 537 200 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

З. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 60 см. Расстояние от линзы до лампочки dl может изменяться в пределах от 85 см до 105 см, а расстояние ф от линзы до экрана - в пределах от

160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если

11 выполнено соотношение - + - - Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

4. К источнику с ЭДС Е = 12 В и внутренним сопротивлением т = 1 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, определяется формулой U = При каком наименьшем

значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 10 В? Ответ выразите в омах.

Вариант 4

1. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по зако-

2 HYl -- 2'где lo = 300 м - длина покоящейся ракеты,

с = З • 105 км/с - скорость света, а v - скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость раке-

ты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 180 м? Ответ выразите в км/с.

2. Автомобиль, масса которого равна т = 1200 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь s = 300 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к ав-

2ms томобилю, можно вычислить по формуле F = Опредёлите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила дг, приложенная к автомобилю, не меньше 1800 Н. Ответ выразите в секундах.

З. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по

2Tt закону v(t) - 4sin - (см/с), где t - время в секундах.

Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

4. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением pVl '2 = const, где р (атм.) - давление, V - объём газа в литрак Изначально объём газа равен 51,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками сосуд выдерживает давление не более 64 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Вариант 5

1. Небольшой мячик бросают под острым углом а к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляет-

2 ся по формуле Г, = sin 2а (м), где то = 14 м/с - начальная скорость мячика, а g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2 ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 9,8 м?

2. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со време-

нем по закону ф, где t - время в минутах, 2

= 200 [мин - начальная угловая скорость вращения катушки, ад = 100 /мин2 угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки ф достигнет 19800 . Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

З. два тела, массой т = 5 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью = 4 м/с под углом а друг к друиу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением Q = mv2 sin2 2 . Под каким наименьшим углом а (в гращсах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 60 джоулей энергии?

4. Груз массой 0,7 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v(t) = 1,2 cosTt, где t - время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле mv2

, где т - масса груза (в кг), v - скорость груза

2 (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 0,252 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Вариант 6

1. Независимое агентство намерено ввести рейтинг R новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Ор и объективности Тт публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от -3 до З.

Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность - втрое дороже, чем оперативность. В результате формула примет вид 21n + ор + ЗТТ

Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 60?

2. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Ор, объективности публикаций Тт, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций вшестеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.

З. При нормальном падении света с длиной волны А = 300" нм на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол р (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума К связаны соотношением dsinp = КА. Под каким минимальным углом р (в градусах) можно наблюдать седьмой максимум на решётке с периодом, не превосходящим 4200 нм?

4. Катер должен пересечь реку шириной L = 45 м и скоростью течения и = 0,3 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением t = - • ctg а, где т- острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом а (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 с?

Вариант 7

1. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле

0,02k где тпок - средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1

- оценка магазина экспертами (от 0 до 0,9) и К - число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина "Лусь", если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,6, а оценка экспертов равна 0,45.

2. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле I = "•Фћћ, где R = 6400 (км) - радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 24 километра? Ответ выразите в километрах.

З. Скейтбордист прыгает на стоящю на рельсах платформу со скоростью Т) 6 м/с под острым углом а к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью

• vcosa (м/с), где т = 60 кг - масса скейт-

бордиста со скейтом, а М = 340 кг - масса платформы. Под каким максимальным углом а (в гращсах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,45 м/с?

э. Заю м 225

4. фуз массой 0,12 кг колеблется на пружине со скоростью,

1 меняющейся по закону v(t) = - cos Tt, где t - время в сеЗ кундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле

2 mv , где т - масса груза (в кг), - скорость груза 2

(в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 • 10-3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

В 14. Наибольшие и наименьшие значения функций

Диагностическая работа

1. Найдите наименьшее значение функции у = 6 cos с- 7х-12 на отрезке

2. Найдите наименьшее значение функции у = 18х- 18 tg с+4 на отрезке

З. Найдите наименьшее значение функции у = 2с - ln(2c) - 4 на отрезке

4. Найдите точку минимума функции у = (с + 24)ес 8

Применение производной для исследования функции

О Нежного полезной информации

Вспомним основные правила, которые позволяют исследовать свойства функции с помощью производной.

10. Зи № 225

132 Для всех этих правил есть общее условие: они выполняются для непрерывных функций. Полезно помнить, что если у функции можно посчитать производную, то функция непрерывна.

Если производная положительна (при этом она может быть равна нулю в некоторых точках отрезка), то функция возрастает на этом отрезке.

Рис. 76. Если производная отрицательна (при этом она может быть равна нулю в некоторых точках отрезка), то функция убывает на этом отрезке.

Например, по графику f'(c), изображённому на рисунке 76, можно установить:

• f(c) убывает на отрезке [-4; -2] (здесь f'(c) 0, причём равна нулю производная только в одной точке

• f(c) возрастает на отрезке [-2; 5] (здесь f'(c) 0, причём равна нулю производная только в одной точке

для

Если производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку с - со (см. рис. 77), причём в точке с = со производная равна нулю или не существует, то точка с = со - точка экстремума (точка минимума или точка максимума).

Рис. 77. Приведём пример нахождения точек максимума и минимума по графику производной. На рисунке 78 изображены два графика производных разных функций. На обоих графиках с = а - точка максимума функции f(c); с = Ь -точка минимума функции f(c).

1 Рис. 78.

Если функция непрерывна на отрезке, то она принимает наибольшее и наименьшее значения либо на концах отрезка,

либо в тех точках, где производная равна нулю (или не существует). Поэтому один из способов отыскать наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - посчитать её значения на концах отрезка и в точках, где производная равна нулю (или не существует), и выбрать из них наибольшее или

наименьшее значение.

Второй способ отыскать наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - исследовать функцию на монотонность (другими словами, на возрастание-убывание), построить эскиз и посчитать значения функции в нужных точках.

Точки максимума могут как совпадать, так и не совпадать с точками, где функция принимает наибольшее значение. То же можно сказать про точки минимума и про точки, где функция принимает наименьшее значение.

Давайте разберём на примерах, что это значит.

&--т Задачи с решениями

1. Найдите наименьшее значение функции у = (с + 7)ес+8 на отрезке [-9; -7].

Решение. 1-й способ.

1. Найдём значения функции на концах отрезка:

20 , так каке 27 27

2. Найдём производную:

у' = ( (с + 7)ес+8) ' = (С + 7)'ez+8 + (С +

= 18+8 + (С + 7) 8+8 = (1 + + 7)ес+8(С + 8) 8+8

для

З. Найдём значения с, при которых производная функции равна нулю:

4. Это значение с = -8 принадлежит промежутку, даннов задаче: -8 лежит на отрезке [-9; -7],

5. Найдём значение функции в точке, где производная равна нулю:

у(-8) =

6. Выберем из пунктов 1 и 5 наименьшее значение функ-

ции. Видим, что из чисел -И ; -1; 0 наименьшим явля27 ется -1.

Ответ: -1. 2-й способ.

1. Найдём производную: - - ( (с + 7)ет+8 = (С + 8) ех+8

2. Найдём значения с, при которых производная функции равна нулю:

-0 с+8 = о•, с- -8.

З. Проверим, принадлежат ли эти значения с промежутку, данному в задаче: -8 лежит на отрезке [-9; -7].

4. Нарисуем числовую ось и нанесём на неё нули (с = -8) и знаки производной, которые определяются с помощью пробной точки (см. рис. 79).

5. Чертим эскиз графика функции (см. рис. 80).

-8 Рис. 80.

По рисунку видно, что наименьшее значение функция принимает в точке с -

6. Вычисляем значение функции в точке с = -8: = (-8 + 7) е-8+8

Ответ: -1.

2. Найдите наименьшее значение функции у = 3"sinc + 3v5c - 15 на отрезке 0; - Решение.

1. Найдём производную:

мя 2. Определим знаки производной И (с) = cosc + 3 4". Это выражение неотрицательно при всех значениях с, так как cosc принимает значения от -1 до +1 (всегда выполняется cosc + 3vrj • (-1) + 0). Следовательно, у'(с) 0, и функция возрастает при всех значениях с. Наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного промежутка (при наименьшем возможном значении аргумента с = 0).

З. Вычисляем значение функции в точке с = 0. у = + • О- 15 = -15.

Ответ: -15.

З. Найдите наибольшее значение функции у = cosc + 4с - т - 1 на отрезке 0; - .

Решение. 1. Найдём значения функции на концах отрезка:

уф) = 4v5cos0 + 4 • 0 - т - 1 = - т- 1

= 0+т-1 3,1-1 = 2,1.

2. Найдём производную:

[ (с) = (4V'5 cosc + 4х - т - 1)'

З. Найдём значения на заданном промежутке, при которых производная равна нулю: -4v") sinc + 4

138В 14.

-4v'5sinc -4; "sinc = 1; sinc = 1 /

Так как с принадлежит отрезку О; - нам подхо-

т дит с = -.

4 4. Найдём значение функции при с = Е . 4

5. Выберем из пунктов 1 и 4 наибольшее значение функции. Видим, что наибольшим является З.

Ответ: З. 4. Найдите наибольшее значение функции у = 16с - 16tgc + 4т - 56 на отрезке

Решение. 1. Найдём производную:

16 = (16с - 16 tgc + 4т - 56)' = 16 - сое с

16 сое с - 1616(cos2 с - 1)

сое ссое с

2. Определим знаки производной:

16(cos2 с - 1) сое с

для Это выражение неположительно, так как cosc принимает значения от -1 до +1. Следовательно, у'(с) 0, и функция убывает при всех допустимых значениях с. Наибольшее значение убывающая функция принимает на левом конце заданного промежутка, то есть при наи-

т меньшем возможном значении аргумента с = - --.

4 т Вычисляем значение функции в точке с = --:

4 16 (т 4) - 16tg т) + 4т - 56 =

= -4т + 16 + 4т - 56 =

Ответ: -40.

5. Найдите наибольшее значение функции у = на отрезке [-3,5; 0). Решение.

1. Найдём производную:

у' = (20с - ln + 4| 20 )' = 20 - (20 ln

Но нас интересует только промежуток [-3,5; 0].

2. Определим нули и знаки производной на заданном промежутке с > -4: у'(с) = 0; 20$ + 60 = 0; с = - •

20 З. Отмечаем на числовой оси нули функции (с точки, где производная (или функция) не существует (в данном случае по определению логарифма с -4).

4. Методом "пробной точки" определяем знак производной на каждом промежутке. Для этого считаем значение производной в любой выбранной нами точке каждого промежутка (см. рис. 81 ).

20 • (-3,5) + 60

20 . 5+60 5+4

Рис. 81. 5. Отмечаем границы заданного в условии промежутка и смотрим, в какой точке должно быть наименьшее значение функции. В данной задаче наименьшее значение на промежутке [-3,5; 0] функция примет в точке с = -3 (см. рис. 82).

6. Вычисляем значение функции в точке с = -3:

у(-з) = 20 • (-3) -ln(-3 + 4)20 = -60 -ln1 = -60.

Ответ: -60.

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Найдите наименьшее значение функции у = 16 cosc + 27х - 6 на отрезке 0;

28с

2. Найдите наибольшее значение функции у - + 7 sin с +2

на отрезке

З. Найдите наибольшее значение функции у = 51n(c + 5) - 5$ + 11 на отрезке [-4,8; 0].

4. Найдите точку максимума функции у = (31 - с е

Вариант 2

1. Найдите наибольшее значение функции у = 18с - 17sinc + 2 на отрезке

142В 14. функций

2. Найдите наименьшее значение функции у = 8с - ln(c+ 12) 8 на отрезке [-11,5; 0].

З. Найдите наибольшее значение функции у = с2 - 15с + 13 lnc + 11 на отрезке

4. Найдите точку минимума функции у = (35 -35-3

Вариант З

1. Найдите наибольшее значение функции у = 15$ - 14 sinc + 8 на отрезке

2. Найдите наименьшее значение функции у = 15$ - 15 ln(c + 11) + 4 на отрезке [-10,5; 8]. З. Найдите наибольшее значение функции у = 80х - 80tgc + 20т на отрезке

4. Найдите точку максимума функции у = (23 + с)е23

Вариант 4

1. Найдите наибольшее значение функции

51с + 17sinc + 15 на отрезке т

2. Найдите наименьшее значение функции

- -8х + 8tgc - 14 на отрезке 0; -

З. Найдите наименьшее значение функции у = 5х2 - 5х - 5 lnc + 11 на отрезке [14

мя самостоятельного решения

4. Найдите точку минимума функции у = (с2 - с - 5)ес+8

Вариант 5

1. Найдите наибольшее значение функции у = сз - 7х2 + 2 на отрезке [-1; 10].

2. Найдите наименьшее значение функции у = (с + + 1) - 23 на отрезке [-7; -4].

З. Найдите точку минимума функции у = log5(c2 + с + 11) + З.

4. Найдите точку максимума функции у =

$2 + 81 Вариант 6

1. Найдите наименьшее значение функции е - 8ех + 1 на отрезке [1; З].

2. Найдите наибольшее значение функции 6х5 - 90х3 - 5 на отрезке [-5; 1].

З. Найдите наибольшее значение функции у = 2-9- 12х-3х2

4. Найдите точку максимума функции у =

Тренировочные варианты

Вариант 1

1. Решите уравнение - 16х+63 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

2. Найдите значение выражения 60+ 1 • 62- 0

З. На рисунке 83 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-6; 9). Найдите количество точек экстремума функции f(c) на отрезке [-5; 8].

Рис. 83. 4. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой

2 h(t) - 20t - 5t2 (h - высота в метрах, t время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 7,2 метров.

5. Найдите точку максимума функции у = (5Х2 - 12С + 12)еС + 12

Вариант 2

1. Найдите корень уравнения = З.

2. Найдите значение выражения v/6sin cos -.т

6 З. На рисунке 84 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(c). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Рис. 84.

4. В розетку электросети подключён прибор с сопротивлением 170 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление этого электрообогрева-

теля, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rl и R2 их общее сопротивRlR2

ление R задаётся формулой R = , а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 25,5 Ом.

5. Найдите точку минимума функции у = (6х2 - 3$ + 3)е8 -х

Вариант З

1. Найдите корень уравнения = З.

2. Найдите значение выражения 16 log625 ФЗ.

З. На рисунке 85 изображён график производной функции f(c), определённой на интервале (-2; 12), Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(c) параллельна прямой у = -2х + 5 или совпадает с ней.

Рис. 85.

4. Коэффициент полезного действия тепловой машины Карно

тн-тх определяется формулой 77 =, где тн - температура 4

нагревателя, а Тх = 200 К - температура холодильника. При каком наименьшем значении температуры нагревателя (в К) КПД этого двигателя будет составлять не менее 0,6?

5. Найдите наименьшее значение функции у = 2х1 + с - 51nc + 7 на отрезке

Вариант 2

1. Найдите корень уравнения 5738 2= 1

5тт 2. Найдите значение выражения cos- sin -.

46 З. На рисунке 86 изображён график функции у = f(c). Поль-

интервале температур задаётся выражением Т = а + bt + се, где а = 310 К, Ь = 30 Юмин, с - -0,1 К/мин2 . Известно, что при температуре нагревателя свыше 2200 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время (в минутах) после начала работы нужно отключать прибор.

5. Найдите точку максимума функции у = (с - 5) е

Вариант 5

| 2+3 1. Найдите корень уравнения (4)

2. Найдите значение выраженияпри а > 0.

З. На рисунке 87 изображён график функции у = Е (с), которая является одной из первообразных функции у - Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл

4 f(c)dc.

1 х 4 Рис. 87.

6 4. В боковой стенке бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота h столба воды в нём меняется по закону h(t) = 75 - 20t + В, где t - время в секундах. Через сколько секунд вода вытечет из бака?

5. Найдите наибольшее значение функции у = +5 tgc -4

на отрезке О; -

Вариант 6

1. Найдите корень уравнения = 32.

5 cos 2а 2. Найдитеесли sin '2а 0 4

2 sin 4а

З. На рисунке 88 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

Рис. 88.

4. Зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены р (руб.) деля данного предприятия задаётся формулой q - 270000 - 15 000р. Найдите минимальный уровень цены р, при котором значение выручки предприятия s = р • q за месяц составит не менее 1 200 000 рублей.

5. Найдите точку максимума функции у = (т + 3) 2 е2 х .

Вариант 7

1 1, Найдите корень уравнения 7$-8 =•

49 2. Найдите значение выражения (703 • b6 + (аЬ2 ) 3 ) • (2a3 b4 ) при Ь = -2.

З. Прямая у = 56 параллельна касательной к графику функции у = $2 21$ + 9. Найдите абсциссу точки касания.

4. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по зако-

2 ну I = lo 1 - 2-2' где lo - 65 м - длина покоящейся ракеты,

с с = З • 105 км/с - скорость света, а 1.1 - скорость ракеты (км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 52 м? Ответ выразите в км/с.

5. Найдите точку минимума функции у = 2с - ln(c + 11) + 4.

Вариант 8

корень уравнения 56 = 125.

1 tga, если cosa =и а е (т; 2т).

9 З. На рисунке 89 изображён график функции. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -3. Найдите f'(-3).

Рис. 89. 4. Трактор тащит сани с силой F = 80 кН, направленной под острым углом а к направлению движения. Мощность (в киловатах) трактора равна лт = Fv cosa, скорость т.) = 4 м/с. При каком максимальном угле а (в гра№ах) эта мощность будет не менее 160 кВт?

5. Найдите точку минимума функции у = (с + 1) 2 е11-х

Вариант 9

1. Найдите корень уравнения З10-зс = 81.

а 2. Найдите - если

З. На рисунке 90 изображён график функции у = F(c), где - первообразная функции у = f(c). Найдите среди точек $1, Ч, сз, а, те, в которых функция f(c) отрицательна.

В ответе запишите количество найденных точек.

4. Автомобиль, масса которого равна т = 3300 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь s = 400 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к ав-

2ms томобилю, можно вычислить по формуле дг = Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он может пройти указанный путь, если известно, что сила Р, приложенная к автомобилю, не меньше 6600 Н. Ответ выразите в секундах.

5. Найдите точку максимума функции у = З

Вариант 10

корень уравнения log5(21 - с) = log5 28.

значение выражения

2 - 8а + 16 при З < а 4.

З. На рисунке 91 изображён график производной функции f(c). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику f(c) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Рис. 91.

4. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением PVl,5 _ const, где р (атм.) - давление в газе, V - объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 68,4 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками сосуд выдерживает давление не более 27 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

5. Найдите наименьшее значение функции

- 5 sinc - 35 на отрезке

Вариант 1 1

корень уравнения log5 (21 + с) - log5 6.

З. На рисунке 92 изображён график функции f(c) и касательная к нему в точке с абсциссой со. Найдите значение производной функции f(c) в точке со.

Рис. 92. 4. Небольшой мячик бросают под острым углом а к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое

2 пролетает мячик, вычисляется по формуле 1., = sin 2а (м), где vo - 16м/с - начальная скорость мячика, а рение свободного падения (считать = 10 м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 12,8 м?

5. Найдите точку максимума функции у = (с + 4) 2 ez 4

Вариант 12

корень уравнения log2(37 + с) = 6.

значение выражения26

12

З. Прямая у = 6х - 4 является касательной к графику функ' ции у = сз - - '2с + 8. Найдите абсциссу точки касания.

4. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий и = 20 молей воздуха при давлении = 1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением А = аиТ log2 22

(Дж), где а = 9,15 - постоянная, Т = 320 К - температура воздуха, (атм) - начальное давление, а (атм) конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более 117120 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

5. Найдите точку максимума функции у = (с2 - 7х - 7)е 7

Ответы Ответы к диагностическим работам

В5. Решение уравнений

МЗ ЛГ24 N25 Мб -242 -5,5 1,5 -10,25 В7. Вычисления и преобразования .М25 Мб .М27 15,6 81 25 -0,5 264 8,5 0,95 В8. Производная и исследование функций МЗ N24 N25 Мб N27 0,5 В 12. Прикладные задачи 20 450 В 14. Наибольшие и наименьшие значения функций

МЗ Ответы к вариантам мя самостоятельного решения

Ответы к вариантам для самостоятельного решения

В5. Решение уравнений

з 4 5 Вар. 1 18 7 55 -3,8 Вар. 2 -42 2,625 3,5 9 -2,5 Вар.з -507 8 -7,6 Вар.4 118 1,8 вар. 5 -1,8 -8 2,5 -0,5 В7. Вычисления и преобразования

вар. 1 16,9 0,25 12 0,16 45 -18 2,5 вар. 2 243 10 25 1,75 вар. З 2,5 144 вар. 4 539 440 9 вар. 5 339 9,5 0,875 158Ответы

В8. Производная и исследование функций

вар. 1 0,75 8,8125 Вар. 2 27 -10 11,5 Вар. З Вар. 4 -5,5 5 - 14 24 Вар. 5 -0,5 Вар. 6 18 18 27 Вар. 7 21 В 12. Прикладные задачи

Вар. 1 80 1800 3,75 50 Вар. 2 2000 2,2 15

Вар. З зоо 8,8 90 Вар. 4 240 20 0,25 1,6 Вар. 5 18 120 Вар. 6 вар. 7 0,5875 0,045 60 0,33 В 14. Наибольшие и наименьшие значения функций

Вар. 1 31 Вар. 2 Вар. З -146 80 вар. 4 11 вар. 5 302 -0,5 Вар. 6 967 Ответы к заданиям тренировочных тестов

Ответы к заданиям тренировочных тестов

вар. 1 216 3,2 Вар. 2 1,5 вар. З 12 500 10 Вар. 4 18 90 Вар. 5 2,25 Вар. 6 -4,5 -3,125 Вар. 7 16 10,5 180 000 -10,5 Вар. 8 60 Вар. 9 3,5 20 -10,8 Вар. 10 7,6 -36,5 Вар. 11 -15 0,75 15 Вар. 12 27 Готовимся к ЕГЭ

Учебное издание

Коннова Елена Генриевна

Дремов Александр Петрович Иванов Сергей Олегович

МАТЕМАТИКА.

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ ЕГЭ-2014.

ЧАСТЬ 2: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА. Пособие для "чайников"

Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова

Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

Обложка А. Вартанов

Компьютерная верстка С. Иванов

Корректор С. Верескун

Подписано в печать с оригинал-макета l8.09.2013. Формат 60х84/16. Бумага типографская.

Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. пен. л. 9,3. Тираж экз. Заказ № 225.

Издательство ООО "Легион" вючючено в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательнькх учреждениях. Приказ Минобрнауки России

№ 729 от 14.12.2009, зарегистрирован в Минюст России 15.01.2010 № 15987.

000 "Л ЕГИОН"

Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550. Адрес редакции: 34401 1, г. Ростов-на-Дону, пер. Доломановский, 55. www.legionr.ru e-mail: legionrus@legionrus.com

Отпечатано в соответствии с качеством предоставленн ых диапозитивов в ЗАО "Полиграфобъединение" 347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6В.

1 зуясь рисунком, вычислите определённый интеграл

4 -1

Рис. 86. 2 . Зависимость температуры Т (в градусах Кельвина) от времени t (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом

---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

В5. Решение уравнений

В5. Решение уравнений

В5. Решение уравнений

уравнения15

13

18В5. Решение уравнений

уравнения15

16В5. Решение уравнений

18В5. Решение уравнений

13 13

16В5. Решение уравнений

13 16В5. Решение уравнений

В7. Вычисления и преобразования

34В7. Вычисления и преобразования

Действия

32В7. Вычисления и преобразования

34В7. Вычисления и преобразования

Действия 35

Действия 35

В7. Вычисления и преобразования

Решение.

13 38В7. Вычисления и преобразования

Решение.

44В7. Вычисления и преобразования

13 42В7. Вычисления и преобразования

Решение.

44В7. Вычисления и преобразования

13 Ответ

Ответ 44В7. Вычисления и преобразования

Ответ 507. Вычисления и преобразования

13

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения

507. Вычисления и преобразования

НАйдите значение выражения

507. Вычисления и преобразования

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения

13

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения

58В8. Производная и исследование функций

13

В8. Производная и исследование функций

60В8. Производная и исследование функций

13 Ответ:

60В8. Производная и исследование функций

60В8. Производная и исследование функций

Применение производной к исследованию функций65

Ответ:

Применение производной к исследованию функций63

58В8. Производная и исследование функций

Применение производной к исследованию функций65

60В8. Производная и исследование функций

Применение производной к 73

Применение производной к исследованию функций71

74В8. Производная и исследование функций

13 74В8. Производная и исследование функций

78В8. Производная и исследование функций

13 Рис.

Рис. 78В8. Производная и исследование функций

Рис. 82В8. Производная и исследование функций

Варианты для самостоятельного решения

Варианты для самостоятельного решения

Рис. 86ВВ. Производная и исследование функций

Варианты для самостоятельного решения

Рис.

Рис. В8. Производная и исследование функций

Рис. 86ВВ. Производная и исследование функций

Варианты для самостоятельного решения

86ВВ. Производная и исследование функций

58В8. Производная и исследование функций

Варианты для самостоятельного решения

Рис. Рис.

В8. Производная и исследование функций

58В8. Производная и исследование функций

Вариантыдля самостоятельного решения95

Рис.

Вариантыдля самостоятельного решения95

Рис.

Вариантысамостоятельного решения99

58В8. Производная и исследование функций

ВР. Примадные задачи

Решение прикладных

Решение прикладных

ВР. Примадные задачи

Решение прикладных зада ч105

Решение прикладных зада ч105

ВР. Примадные задачи

Решение примадных задач

Решение прикладных зада ч

118ВР. Примадные задачи

Решение примадных задач

118ВР. Примадные задачи

118ВР. Примадные задачи

Варианты для самостоятельного решения121

Варианты для самостоятельного решения121

126ВР. Прикладные задачи

Варианты для самостоятельного решения121

124ВР. Прикладные задачи

128Прикладные задачи

Варианты для самостоятельного решения127

Варианты для самостоятельного решения127

ВИ. Наибольшие и наименьшие значения функций

Прикладные задачи

ВИ. Наибольшие и наименьшие значения функций

Применение производной исследования функции133

Применение производной исследования функции133

Наибольшие и наименьшие значения функций

Применение производной исследования функции133

Наибольшие и наименьшие значения функций

Наибольшие и наименьшие значения

Варианты 141

Варианты 141

Тренировочные варианты

Вариант 145

152Тренировочные варианты

Варианты 141

1. Найдите

2. Найдите

150Тренировочные варианты

1. Найдите

2. Найдите

152Тренировочные варианты

Варианты 141

1. Найдите

2. Найдите

Вариант153

1. Найдите

Показать полностью…
2 Мб, 13 сентября 2016 в 16:38 - Россия, Ростов-на-Дону, ЮФУ (бывш. РГУ), 2016 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении