Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 009297 из РГТЭУ (РИ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Ростовский институт (филиал)

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

"Российский государственный

торгово-экономический университет"

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Н.Ю. Батурина

Математический анализ

Учебное пособие

Часть 2 Интегральное исчисление,

дифференциальные уравнения, ряды

для студентов 1 курса заочного отделения

по направлению подготовки "Экономика",

профилям "Бухгалтерский учет, анализ и аудит",

"Финансы и кредит"

2012

УДК 517 (075.4)

Батурина Н.Ю. Математический анализ. Учебное пособие. Часть 2. Интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, ряды. Для студентов 1 курса заочного отделения по направлению подготовки "Экономика", профилям "Бухгалтерский учет, анализ и аудит", "Финансы и кредит". Ростов-на-Дону, 2012 г.- 62 с.

В учебном пособии приведены содержание разделов дисциплины "Математический анализ" в соответствии с Учебной программой дисциплины; рассматриваются основные теоретические положения, касающиеся разделов "Интегральное исчисление", "Дифференциальные уравнения", "Числовые, функциональные и степенные ряды", не вошедших в первую часть пособия; приводятся перечень вопросов к экзамену, варианты контрольной работы №2 для студентов заочной формы обучения, решение типового варианта контрольной работы, правила оформления контрольной работы и список рекомендуемой учебной литературы.

Пособие предназначено для студентов заочной формы обучения и заочной формы на базе высшего и среднего образования.

Рецензент:

к.т.н., доцент, зав кафедрой Печенежская И.А.

Печатается по решению кафедры " Высшая математика "

Ростовского института (филиала) ФГБОУ ВПО "РГТЭУ"

(Протокол № 3 от 16.11. 2011г.)

(c) Батурина Н.Ю., 2012г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ4

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ8

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ12

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА31

ВАРИАНТ 032

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №248

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №249

ВАРИАНТ 149

ВАРИАНТ 250

ВАРИАНТ 351

ВАРИАНТ 452

ВАРИАНТ 553

ВАРИАНТ 654

ВАРИАНТ 755

ВАРИАНТ 856

ВАРИАНТ 957

ВАРИАНТ 1058

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ59

ЛИТЕРАТУРА61

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

"Математический анализ"

1 раздел

Тема I. Предел и непрерывность функции одной переменной

Предмет математического анализа и его роль в экономической теории. Понятие отображения (функции). Основные элементарные функции. Суперпозиция отображений. Обратное отображение. Предел числовой последовательности. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Понятие окрестности точки и предельной точки. Предел функции и его геометрическая интерпретация. Односторонние пределы. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределом функций. Свойства операции предельного перехода. Предельный переход в сложной функции. Оценочный признак существования предела. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность сложной функции. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши о непрерывной на отрезке функции.

Тема II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной. Понятие о предельных издержках, предельной прибыли, эластичности функции. Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Понятие дифференциала функции одной переменной. Его применение в приближенных вычислениях. Геометрическая интерпретация дифференциала. Производные высших порядков. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Роля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена, их использование для представления и приближенного вычисления значений функций. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Применения экстремумов в задачах экономики. Необходимое условие локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума. Определение глобального максимума (минимума) функции. Выпуклые (вогнутые) функции. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Схема полного исследования функции одной переменной.

Тема III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (ФНП).

Понятие окрестности, предельной, внутренней и граничной точек точечного множества на плоскости и в п-мерном пространстве. Открытые и замкнутые, связные, ограниченные и неограниченные множества на плоскости. Понятие расстояния. Функция двух переменных, ее геометрический смысл. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных. Экономические иллюстрации (функции спроса и предложения, полезности, производственная функция). Понятие о пределе функции нескольких переменных. Частные производные и частные дифференциалы. Дифференцируемость ФНП. Градиент и производная по направлению. Полный дифференциал ФНП. Экстремум ФНП. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных.

2 раздел

Тема IV. Интегральное исчисление.

Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема существования первообразной у непрерывной функции. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Приемы интегрирования (разложением, заменой переменной, по частям). Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема существования определенного интеграла. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Геометрические (вычисление площадей, длин дуг, объемов) и экономические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Признаки сходимости. Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Понятие о тройных и п-кратных интегралах.

Тема V. Дифференциальные уравнения.

Понятие дифференциального уравнения. Задачи экономики, приводящие к дифференциальным уравнениям (уравнения эластичности, логистики). Задача Коши для дифференциального уравнения (ДУ) первого порядка. Общее и частное решения. Методы интегрирования ДУ первого порядка. Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородного ЛДУ. Нахождение фундаментальной системы решений однородного ЛДУ в зависимости от корней характеристического уравнения. Структура общего решения неоднородного ЛДУ. Отыскание решения неоднородного ЛДУ в случае правой части специального вида.

Тема VI. Числовые, функциональные и степенные ряды.

Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Непрерывность суммы функционального ряда, почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Степенные ряды. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимости. Понятие ряда Тейлора и аналитической функции. Приближенные вычисления с помощью рядов Тейлора. Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1 раздел

1) Понятие функции одной переменной. Способы задания функций. Основные элементарные функции.

2) Свойства ограниченности и монотонности функции.

3) Понятие сложной и обратной функций.

4) Предел числовой последовательности. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Число е как предел последовательности.

5) Предел функции одной переменной и его геометрическая интерпретация.

6) Односторонние пределы, их связь с пределом функции.

7) Бесконечно малые и бесконечно большие функции. свойства бесконечно малых величин.

8) Предел суммы, произведения, частного. Различные типы неопределенностей.

9) Эквивалентность функций. Теорема о замене на эквивалентную величину под знаком предела.

10) Первый замечательный предел. Таблица основных эквивалентностей, связанных с первым замечательным пределом.

11) Второй замечательный предел. Таблица основных эквивалентностей, связанных со вторым замечательным пределом.

12) Непрерывность функции одной переменной в точке и на множестве. Точки разрыва 1?го и 2?го рода.

13) Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной.

14) Производная суммы, произведения, частного функций, сложной функции одной переменной.

15) Производные основных элементарных функций.

16) Понятие дифференциала функции одной переменной. Его применение в приближенных вычислениях.

17) Производные высших порядков функции одной переменной.

18) Правило Лопиталя.

19) Достаточное условие возрастания (убывания) функции одной переменной на интервале. Понятие локального экстремума функции одной переменной.

20) Необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма). Достаточные условия локального экстремума.

21) Схемы исследования функции одной переменной на экстремум и отыскания наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке.

22) Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции одной переменной. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.

23) Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

24) Схема полного исследования функции одной переменной.

25) Пространство . Открытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные множества на плоскости.

26) Функция нескольких (двух) переменных, ее геометрический смысл. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных.

27) Частные производные функции нескольких переменных и правило их отыскания.

28) Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных.

29) Частные производные высшего порядка.

30) Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных.

2 раздел 31) Понятие и свойства первообразной.

32) Понятие и свойства неопределенного интеграла.

33) Таблица основных интегралов.

34) Основные методы интегрирования. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

35) Понятие определенного интеграла.

36) Свойства определенного интеграла.

37) Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

38) Геометрические и экономические приложения интеграла.

39) Понятие дифференциального уравнения, его решения.

40) Примеры дифференциальных уравнений в экономике.

41) Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка.

42) Общий вид и метод интегрирования дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

43) Общий вид и метод интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка.

44) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка. Структура общего решения однородного уравнения.

45) Нахождение общего решения однородного ЛДУ в зависимости от корней характеристического уравнения.

46) Структура общего решения неоднородного ЛДУ. Отыскание его частного решения в случае правой части специального вида.

47) Понятие числового ряда. Частичная сумма и сходимость ряда. Примеры числовых рядов.

48) Необходимый признак сходимости ряда.

49) Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости. Признак сравнения. Ряд Дирихле.

50) Признаки Даламбера и Коши.

51) Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

52) Понятие степенного ряда. Радиус интервал сходимости степенного ряда.

53) Ряды Тейлора и Маклорена.

54) Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

ПОЛОЖЕНИЯ

2 раздел

Тема IV. Интегральное исчисление

Понятие и свойства первообразной. Функция называется первообразной для функции на промежутке , если выполняется равенство

Например, функция имеет первообразную . Если функция имеет первообразную на промежутке , то она имеет бесчисленное множество первообразных, причем все они содержатся в выражении , где произвольная постоянная.

Понятие и свойства неопределенного интеграла.

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке:

Здесьподынтегральная функция, подынтегральное выражение, переменная интегрирования, какая-нибудь первообразная для функции , произвольная постоянная.

Отыскание неопределенного интеграла от данной функции называется ее интегрированием. Интегрирование является действием, обратным к дифференцированию. Из этого вытекают свойства неопределенного интеграла:

1. или ;

2. или ;

3.; 4..

Таблица основных интегралов.

1.; 7.; 2.; 8.; 3.;

(). 9. 4.; 10.; 5.; 11.; 6.; 12.; . Каждую формулу таблицы интегралов легче запомнить, если задать себе вопрос: "Какая функция при дифференцировании дает подынтегральную функцию?".

Кроме перечисленных основных табличных интегралов, полезно помнить следующие интегралы, часто встречающиеся при решении задач.

;;; ;; ;. Основные методы интегрирования.

Основными методами интегрирования являются непосредственное интегрирование, метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы основных интегралов и свойств неопределенного интеграла.

В ряде случаев введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение заданного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов или , где , ? дифференцируемые функции. Формула замены переменной имеет вид:

или

. Записанные две формулы не являются принципиально различными. Вторая формула ?это по сути первая формула, записанная в новых обозначениях справа налево.

Метод замены переменных позволяет получить следующие формулы, которые часто используются при решении задач:

, где первообразная функции .

В методе интегрирования по частям применяется формула

, где и дифференцируемые функции. Использование формулы целесообразно в тех случаях, когда интеграл в правой части проще исходного интеграла или ему подобен.

Понятие определенного интеграла.

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм, при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков разбиения стремится к нулю:

, где . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Функция называется интегрируемой на , если указанный предел существует и конечен.

Любая непрерывная или кусочно-непрерывная на отрезке функция является интегрируемой на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1. ;2.; 3.; 4. ;

5. ; 6. если и , то ;

7. Интегральная теорема о среднем: если непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что.

Формула Ньютона-Лейбница. Эта формула устанавливает связь между определенным интегралом и неопределенным интегралом (первообразной). Если первообразная функции на , то определенный интеграл можно вычислить по формуле, называемой формулой Ньютона?Лейбница:

.

Формула замены переменной в определенном интеграле:

, где , При применении формулы замены переменной в определенном интеграле следует не забывать пересчитывать пределы интегрирования, а после отыскания первообразной не нужно возвращаться к старой переменной, как это делалось в неопределенной интеграле.

Пример. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

Геометрические приложения интеграла.

Если и непрерывна на , то равен площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной линиями (см. рис 1).

Экономические приложения интеграла.

Если ? предельные издержки при заданном объеме продаж, то функция издержек находится в результате интегрирования функции предельных издержек

, где ?издержки при нулевом объеме продаж (при ) или фиксированные издержки.

Тема V. Дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения, его решения.

Дифференциальным уравнением (или обыкновенным дифференциальным уравнением) называется уравнение, связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и производные или дифференциалы этой функции1.

Обобщением обыкновенного дифференциального уравнения является дифференциальное уравнение в частных производных, в котором искомая функция зависит от нескольких переменных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается в одной из следующих форм: ; ;.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество относительно .

Например, дифференциальное уравнение первого порядка имеет решение (убеждаемся непосредственной подстановкой), но кроме этого решением уравнения является любая функция вида , где произвольная постоянная. Значит, решение дифференциального уравнения 1?го порядка, если не заданы дополнительные условия, определяется неоднозначно и зависит от одной произвольной постоянной.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Примеры дифференциальных уравнений в экономике.

Функция спроса выражает зависимость объема продаж от цены . Функция спроса и коэффициент эластичности связаны дифференциальным уравнением или , которое является дифференциальным уравнение первого порядка.

В простейших математических моделях спрос и предложение зависят только от цены товара. В более сложных моделях учитывается их зависимость от изменения цены, то есть от производной цены по времени. Такие модели имеют вид , где ? константы. Для исследования изменения равновесной цены (спрос равен предложению) с течением времени рассматривается дифференциальное уравнение вида

. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Задача, в которой требуется найти решение уравнения , удовлетворяющее дополнительному условию , называется задачей Коши, при этом точка берется из области , в которой правая часть дифференциального уравнения определена и непрерывна.

Условие называется начальным условием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области называется функция, зависящая от одной произвольной постоянной , обладающая следующими свойствами:

1)она является решением данного уравнения при любых допустимых значениях произвольной постоянной ;

2)по любому начальному условию , такому что , соответствующее значение константы определяется однозначно.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получающееся из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной .

Решение задачи Коши ? это частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию.

Общему решению соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра - произвольной постоянной , а частному решению, удовлетворяющему начальному условию , - одна кривая этого семейства, проходящая через заданную точку .

Если общее (частное) решение находится в неявном виде , то оно называется общим (частным)интегралом.

Общий вид и метод интегрирования дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

или где , ? заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными (уравнение первого вида преобразуется во второе с помощью замены ).

Метод решения:

?разделить обе части уравнения на , предполагая, что ;

? почленно проинтегрировав, получить общий интеграл (общее решение).

Общий вид и метод интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Уравнение вида

где и заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Метод решения(метод Бернулли): с помощью замены , где две новые неизвестные функции, линейное уравнение преобразуется к виду:

или и сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из функций и :

1) 2) .

После отыскания функций и решение исходного линейного уравнения записывается в виде..

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Дифференциальное уравнения вида:

где коэффициенты ? некоторые действительные числа, называется линейным уравнением 2?го порядка с постоянными коэффициентами.

Если в правой части уравнения , то уравнение называется однородным, в противном случае ? неоднородным.

Структура общего решение линейного однородного уравнения.

Линейное однородное уравнение имеет вид:

Его общее решение имеет следующую структуру:

, где линейно независимые () частные решения этого уравнения, ? произвольные постоянные.

Нахождение общего решения однородного ЛДУ в зависимости от корней характеристического уравнения.

Для нахождения линейно независимых частных решений однородного уравнения и затем его общего решения нужно составить характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение для линейного дифференциального уравнения второго порядка является квадратным уравнением. Возможны три случая.

1 случай. Если дискриминант положителен (корни уравнения действительные различные ), тогда частными решениями являются функции, и общее решение имеет вид:

. 2 случай. Если дискриминант равен нулю (корни уравнения действительные равные ), тогда частные решения , и общее решение имеет вид:

3 случай. Если дискриминант отрицателен (корни уравнения комплексно-сопряженные числа , где ? мнимая единица), тогда частные решения , и общее решение имеет вид:

.

Структура общего решения неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого?либо частного решения неоднородного уравнения , т.е. .

Отыскание частного решения неоднородного ЛДУ в случае правой части специального вида.

Частное решение неоднородного уравнения ищется в виде, аналогичном виду правой части. Если в правой части есть функции и (или) , , то такие же функции должны быть в . Если в правой части есть многочлен степени , то и в структуре записывается многочлен такой же степени, но с неизвестными коэффициентами , которые впоследствии определяются. В случае, когда комплексное число (в частности, ) совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель , в котором показатель степени равен числу таких совпадений.

Тема VI. Числовые, функциональные и степенные ряды

Понятие числового ряда. Сходимость ряда.

Пусть задана числовая последовательность.

Числовым рядом называется выражение вида

где общий член ряда.

Сумму первых членов ряда называют ой частичной суммой ряда: .

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда, а сам ряд называют сходящимся.

Если не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся и говорят, что он не имеет суммы.

Например, ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем

, является сходящимся рядом и имеет сумму . А ряд вида , называемый гармоническим, не имеет суммы и является расходящимся рядом.

Необходимый признак (условие) сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю:.

Указанный признак не является достаточным признаком сходимости, т. е. если , то о сходимости ряда ничего нельзя сказать, он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Например, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а тем не менее ряд расходится..

Если , то ряд всегда расходится, другими словами, без выполнения условия ряд сходиться не может.

Знакоположительные ряды. Достаточные признаки их сходимости.

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены являются неотрицательными числами, т. е. если выполняется .

Признаки, которые позволяют для рассматриваемого ряда ответить на вопрос, сходится ряд или расходится по виду его общего члена, называются достаточными признаками сходимости.

Признак сравнения.

Если и ? знакоположительные ряды и существует конечный, отличный от нуля предел:

т. е. ~ при ,

то оба ряда или одновременно сходятся, или одновременно расходятся.

Чтобы применять признак сравнения, нужно иметь ряды, с которыми сравнивать, о которых известно, сходятся они или расходятся В качестве одного из таких "эталонных " рядов используется ряд Дирихле.

Ряд Дирихле. Этот ряд вида , сходимость которого зависит от значения параметра :

если , то ряд сходится,

если , то ряд расходится .

Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда существует топри ряд сходится;

при ряд расходится;

при вопрос о сходимости ряда требует дополнительного исследования.

Признак Коши.

Если для знакоположительного ряда существует топри ряд сходится;

при ряд расходится;

при вопрос о сходимости ряда требует дополнительного исследования.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные члены.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся рядом.

Знакочередующиеся ряды.

Знакопеременный ряд вида , где называется знакочередующимся.

Признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда

удовлетворяют условиям:1); 2)

то этот ряд сходится.

Понятие степенного ряда.

Степенным рядом по степеням называется ряд вида

, где- переменная, числа, называемые коэффициентами ряда.

Степенным рядом по степеням называется ряд вида

Множество всех , при которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости.

Всякий степенной ряд сходится по крайней мере в одной точке . Если степенной ряд сходится не только в этой точке, то существует интервал с центром в начале координат , внутри которого степенной ряд сходится, причем абсолютно, а вне ? расходится.

Число , такое что в интервале ряд сходится, а вне этого интервала ? расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формуле Даламбера:.

Если в результате вычисления предела получается , это означает, что ряд сходится только в одной точке . Если получается , то ряд сходится на всей числовой прямой .

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Если функция представлена в виде суммы некоторого степенного ряда, то говорят, что функция разложена в степенной ряд.

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в точке производные всех порядков, то степенной ряд

называют рядом Тейлора функции в окрестности точки (или с центром разложения ).

При ряд Тейлора представляет собой ряд, называемый рядом Маклорена:

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Применение рядов в приближенных вычислениях

Ряды применяются в приближенных методах вычисления значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений. Методы основываются на свойствах степенных рядов, которые можно внутри интервала сходимости перемножать, дифференцировать, интегрировать. В сходящемся ряде можно оставлять конечное число слагаемых, при этом допускаемая погрешность получается тем меньше, чем больше количество оставляемых слагаемых и чем ближе рассматриваемые значения к центру разложения .

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задания контрольной работы №2

* В задаче 1.а найти неопределенный интеграл.

* В задаче 1.b найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием.

* В задачах 1.с, 1.d вычислить определенные интегралы.

* В задаче 1.e вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (сделать чертеж, выбрав подходящий масштаб).

* В задаче 2.a найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию (решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка).

* В задаче 2.b найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

* В задаче 2.с решить задачу Коши для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

* В задаче 2.d найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

* В задаче 3.а исследовать на сходимость числовой ряд.

* В задаче 3.b исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость.

* В задаче 3.c найти область сходимости степенного ряда.

* В задаче 3.d разложить функцию в ряд Маклорена и вычислить приближенно , оставляя 2 члена разложения.

* Задача 4.a. Предельные издержки по производству и продаже некоторой продукции заданы функцией . Найти:

1) функцию издержек, если фиксированные издержки равны;

2) при каком объеме продаж прибыль будет максимальной, если продукция продается по цене ;

* Задача 4.b. Известен коэффициент эластичности спроса и известно, что при цене объем продаж равен . Найти функцию спроса . Построить ее график.

Вариант 0

1. Интегралы

a) . b) . a)

c) . d) . e) , .

2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . a)

c) , . d) .

3. Ряды a)

a) .

b) . a) c) . d) .

4. Приложения в экономике

a) ,,. b) при,, .

Выполнение заданий

* 1.a) Найти неопределенный интеграл .

Решение. Раскроем в числителе скобки, разделим числитель почленно на знаменатель и разобьем полученный интеграл на сумму интегралов:

. * 1.b) Найти неопределенный интеграл . Результат проверить дифференцированием.

Решение. Выделим в числителе выражение , стоящее в знаменателе, разделим числитель почленно на знаменатель и разобьем интеграл на сумму интегралов:

. Заметим, что второй интеграл в разложении может быть найден либо с помощью замены , либо с помощью приема подведения функции под знак дифференциала:

. Убедимся в правильности полученного ответа дифференцированием. Покажем, что

. =

. * 1.c) Вычислить определенный интеграл .

Решение. Сделаем в подынтегральном выражении замену переменной: , . Пересчитаем пределы интегрирования: при имеем , а при 3 2. В результате получим

. При вычислении определенного интеграла применим формулу Ньютона?Лейбница:

. * 1.d) Найти определенный интеграл .

Решение. Для нахождения интеграла применим формулу интегрирования по частям :

. * 1.e) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Рис.2.

Решение. Данная фигура ограничена двумя параболами и симметрична относительно оси (рис. 2). Вычислим координаты точек пересечения парабол:

По формуле вычисления площади находим:

. В рассмотренном примере интеграл по отрезку заменен интегралом по отрезку , умноженным на "", так как рассматриваемая фигура симметрична относительно оси .

* 2.a)Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, найдем сначала общее решение уравнения:

. Заметим, что обе части уравнения можно разделить на , так как (решение не удовлетворяет заданному начальному условию).

? общее решение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого подставим в общее решение и вычислим :

. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

или ?частное решение.

* 2.b) Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Заданное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно может быть решено методом Бернулли. Сделаем в уравнении подстановки , и сведем его к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно новых неизвестных функций :

. Решим вначале первое уравнение системы, из которого найдем функцию :

. Так как достаточно найти какую-то одну функцию , удовлетворяющую рассматриваему уравнению, положим и опустим модуль. Учитывая определение логарифма, получим .

Решим второе уравнение системы, подставив в него найденное , и найдем функцию :

. Учитывая, что , находим окончательно общее решение исходного дифференциального уравнения:

. * 2.с) Решить задачу Коши ,, для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

Решение. Заданное уравнение является однородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение, заменяя производные функции соответствующими степенями . В нашем случае характеристическое уравнение является квадратным уравнением

. Его корни ? действительные различные числа, следовательно, общее решение (1 случай) будет иметь вид: .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , . Для удовлетворения начальным условиям выразим .

Подставим в общее решение и его производную и вычислим значения констант, решая систему линейных уравнений:

. Подставляя значения констант в общее решение, получаем частное решение задачи Коши для заданного дифференциального уравнения: .

* 2.d) Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого?либо частного решения неоднородного уравнения , т.е. .

Найдем . Выпишем соответствующее однородное уравнение, составим его характеристическое уравнение и по корням характеристического уравнения найдем его общее решение:

? характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение имеет два равных корня , следовательно, общее решение однородного уравнения (2 случай) записывается в виде .

Найдем .

Согласно общей теории, частное решение неоднородного уравнения ищется в виде в некотором смысле аналогичном виду правой части. Если в правой части есть функции и(или) , ,то такие же функции должны быть в . Если есть многочлен степени , то и в структуре записывается многочлен той же степени, но с неизвестными коэффициентами , которые впоследствии определяются. В случае, когда комплексное число (может быть, в частности, ) совпадает с корнем характеристического уравнения, в структуре частного решения появляется дополнительный множитель , в котором показатель степени равен числу таких совпадений.

Выпишем правую часть заданного неоднородного уравнения и (по правилам, если в правой части есть только одна из тригонометрических функций, то нужно добавить вторую с нулевым коэффициентом).

Найдем числа и :

(коэффициент при в синусе или косинусе); (коэффициент при в экспоненте), так как в выражении нет экспоненты .

Составим комплексное число =3. Так как корни характеристического уравнения не совпадают с числом 3, то множителя не будет в структуре .

При и стоят коэффициенты 2 и 0. Это числа, а значит, многочлены нулевой степени. Вместо 2 и 0 в будем записывать соответственно и , т.е. многочлены нулевой степени с неизвестными коэффициентами. В итоге получаем следующую структуру :

. Неизвестные и определяются из условия, что является решением исходного неоднородного уравнения, а значит, обращает его в тождество относительно . Уравнение содержит кроме также и. Найдем их:

, Подставим ,, в исходное неоднородное уравнение и приравняем коэффициенты при и в левой и правой частях полученного тождества:

+14+

+49=2. После приведения подобных слагаемых:

. Подставив найденные значения коэффициентов, получим

Найдем :

=. * 3.a) Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение. Данный ряд является знакоположительным. Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Выпишем и :

. Выполненные преобразования вытекают из определения факториала числа: , следовательно,

. Вычислим предел отношения ?го члена ряда к ?му:

.

Так как , то согласно признаку Даламбера рассматриваемый числовой ряд сходится.

* 3.b) Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение.

Вначале исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

. Исследуем полученный знакоположительный ряд с помощью признака сравнения. Сравним его с рядом Дирихле:

~ при .

Ряд ? ряд Дирихле с параметром . Известно, что при ряд Дирихле расходится, следовательно, на основании признака сравнения ряд также расходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд абсолютно не сходится.

Исследуем его на условную сходимость. Воспользуемся признаком Лейбница. На основании этого признака при выполнении двух условий знакочередующийся ряд , где , сходится. Эти условия:

1); 2). Покажем, что в нашем примере оба условия выполняются. Действительно,

1)

2). Следовательно, заданный знакочередующийся ряд сходится условно.

* 3.с) Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда может быть вычислен по формуле .

Вычислим радиус сходимости. В рассматриваемом примере , следовательно, и интервал сходимости .

Исследуем ряд на концах интервала.

Подставив в исходный ряд, получим следующий числовой ряд

, который является расходящимся, так как его общий член не стремится к нулю.

Подставив в исходный ряд, получим числовой ряд , который также является расходящимся, так как его общий член не стремится к нулю. Значит, областью сходимости является интервал

* 3.с) Разложить функцию в ряд Тейлора (Маклорена) и вычислить приближенно , оставляя 2 члена разложения.

Решение. Выпишем разложение синуса, обозначая переменную буквой :

Подставим в это разложение :

Умножив полученное разложение на , получим

или Вычислим приближенно, оставляя два члена разложения

. * 4.a) Предельные издержки по производству и продаже некоторой продукции заданы функцией . Найти:

1) функцию издержек (затрат), если фиксированные издержки равны;

2) при каком объеме продаж прибыль будет максимальной, если продукция продается по цене

Решение.

Предельные издержки при заданном объеме продаж, равные производной от функции затрат, показывают изменение затрат при увеличении объема продаж с до , т.е. на единицу.

1) Найдем функцию издержек, интегрируя :

, где ? произвольная постоянная.

Фиксированные издержки ?это издержки при нулевом объеме продаж, т.е. при . Подставив в значение , вычислим константу: .

Значит, .

2) Прибыль вычисляется как разность между выручкой и затратами:

или . Чтобы найти, при каком объеме продаж прибыль максимальна, найдем точки экстремума функции :

, при . Точка является точкой максимума функции прибыли , так как при переходе через эту точку производная меняет знак с на ?. Значит, при объеме продаж ед. прибыль максимальна. Найдем эту прибыль:

(р.)

* 4.b) Известен коэффициент эластичности спроса приобъеме продаж , и известно, что при цене объем продаж равен . Найти функцию спроса . Построить ее график.

Решение.

Коэффициент эластичности спроса , взятый по абсолютной величине, показывает, на сколько уменьшается (увеличивается) спрос при увеличении (уменьшении) цены на 1%. Если , то спрос эластичный, и выручка ? убывающая функция цены. Если , то спрос? неэластичный и выручка ? возрастающая функция цены . Коэффициент эластичности может меняется в зависимости от изменения цены (спроса), т.е.является функцией цены (спроса).

Согласно теории функция спроса и эластичность спроса связаны дифференциальным уравнением , которое является дифференциальным уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Подставим в уравнение выражение для , заменим и выполним разделение переменный и :

.

Переменные разделены, теперь можно интегрировать:

= . Заметим, что модуль можно опустить без потери решений, так как ? произвольная постоянная.

Известно, что при цене объем продаж равен . Найдем из этого условия значение С:

.

Следовательно, . Выразив через , получим функцию спроса . Функция ? линейная. Ее график ? прямая линия. Прямую можно построить по двум точкам. Зададим таблицу значений:

p 0 100 x 100 0 Построим прямую по точкам A и B. Заметим, что в уравнении прямой отрицательный коэффициент при говорит о том, что ? убывающая функция, что согласуется с экономическим смыслом: спрос убывает при увеличении цены.

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

* В задаче 1.а найти неопределенный интеграл.

* В задаче 1.b найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием.

* В задачах 1.с, 1.d вычислить определенные интегралы.

* В задаче 1.e вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (сделать чертеж, выбрав подходящий масштаб).

* В задаче 2.a найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию (решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка).

* В задаче 2.b найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

* В задаче 2.с решить задачу Коши для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

* В задаче 2.d найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

* В задаче 3.а исследовать на сходимость числовой ряд.

* В задаче 3.b исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость.

* В задаче 3.c найти область сходимости степенного ряда.

* В задаче 3.d разложить функцию в ряд Маклорена и вычислить приближенно , оставляя 2 члена разложения.

* Задача 4.a. Предельные издержки по производству и продаже некоторой продукции заданы функцией . Найти:

1) функцию издержек, если фиксированные издержки равны;

2) при каком объеме продаж прибыль будет максимальной, если продукция продается по цене ;

* Задача 4.b. Известен коэффициент эластичности спроса и известно, что при цене объем продаж равен . Найти функцию спроса . Построить ее график.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

Вариант 1

1. Интегралы

a) a) . b) . a)

c) .

d) . e) , . 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . a)

c) , . d) .

3. Ряды

a) a) . b) a)

c) . d) .

4. Приложения в экономике

a) ,,.

a) b) при,, .

a) Вариант 2

1. Интегралы

a) a) .

b) . c) . d)

e) , . 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . a)

c) , .

d) . 3. Ряды

a) a) . b) .

a) c) . d) a)

4. Приложения в экономике

a) ,,. b) при,, .

Вариант 3

1. Интегралы

a) a) .

b) . c) . d)

e) ,. 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . c) , .

d) .

3. Ряды

a) a) . b) .

a) c) . d) a)

4. Приложения в экономике

c) ,,. d) при,, .

Вариант 4

1. Интегралы

a) a) .

b) . c) . d)

e) ,. 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . c) , .

d)

3. Ряды a)

a) . b) . a)

c) . d) . 4. Приложения в экономике

a) ,,.

b) при,, . Вариант 5

1. Интегралы

a) a) . b) . a)

c) .

d) . e) , .

2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . a)

c) , .

d) . 3. Ряды

a) a) . b) a)

c) . d) .

4. Приложения в экономике

a) ,,. b) при,, .

Вариант 6

1. Интегралы

a) a) .

b) . c) . d)

e) , . 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . a)

c) , .

d) . 3. Ряды

a) a) . b) .

a) c) . d)

4. Приложения в экономике

a) ,,. b) при,,

Вариант 7

1. Интегралы

a) a) .

b) . c) . d)

e) ,. 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . c) , .

d) .

3. Ряды

a) a) . b) .

a) c) . d) a)

4. Приложения в экономике

a) ,,. b) при,, .

Вариант 8

1. Интегралы

a) a) .

b) . c) . d)

e) ,. 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . c) , .

d)

3. Ряды a)

a) . b) . a)

c) . d) . 4. Приложения в экономике

a) ,,.

b) при,,.

Вариант 9

1. Интегралы

a) a) .

b) . a) c) . d) .

e) , . 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . a)

c) , .

d) . 3. Ряды

a) a) . b) a)

c) . d) .

4. Приложения в экономике

a) ,,. b) при,, .

a) Вариант 10

1. Интегралы

a) a) .

b) . c) . d)

e) , . 2. Дифференциальные уравнения

a) a) , b) . a)

c) , .

d) . 3. Ряды

a) a) . b) .

a) c) . d) a)

4. Приложения в экономике

a) ,,. b) при,,.

a) ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа должны быть оформлена в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

На обложке тетради должны быть разборчиво написаны фамилия, имя, и отчество студента, факультет (институт), профиль подготовки/специальность (БУ, ФИК и др.), форма обучения (З/О, если на базе С/О, В/О, то это надо указать), номер группы, название дисциплины (Математический анализ), номер контрольной работы, номер варианта, помер зачетной книжки и домашний адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и расписаться.

Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.

Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условие каждой задачи следует переписывать в тетрадь, и оно должно предшествовать решению.

При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса.

Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа ?, е и т. д.

Срок проверки контрольных работ - 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к зачетам и экзаменам.

После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и представить работу для повторной проверки. В связи с этим рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов для внесения исправлений и дополнений впоследствии.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

При представленных на повторную проверку исправлениях обязательно должны находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять.

На экзамен (зачет) студент должен явиться с рецензией на выполненную контрольную работу. Без предъявления преподавателю прорецензированной контрольной работы студент к экзамену не допускается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2004.-656 с.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие. / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2008.-575 с.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П.. Математика для экономического бакалавриата. - М.: ИНФРА-М, 2011.-472 с.

4. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.- М.: ЮНИТИ, 2004.-471 с.

1 Независимая переменная и функция в дифференциальном уравнении могут обозначаться другими буквами в зависимости от их смысла (физического, экономического и др.)

---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

2

33 38 50

51 52 53

54 55 56

57

60

Показать полностью…
2 Мб, 24 января 2014 в 15:54 - Россия, Ростов-на-Дону, РГТЭУ (РИ), 2014 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении