Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 009335 из МГТУ ГА (РФ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Донской государственный технический университет

Кафедра "Прикладная математика"

Составители: доцент, к.ф.-м. н. Трепачев В.В.,

доцент, к.ф.-м. н. Нурутдинова И.Н.

Решение задач и примеров по математике

(1-й семестр обучения )

Методическое пособие

по дисциплине "Математика",

для студентов всех специальностей,

всех форм обучения

Ростов-на-Дону

2012 УДК 510

Трепачев В. В., Нурутдинова И.Н. Решение задач и примеров по математике (1-й семестр). Ростов -на- Дону, ДГТУ, 2012, 20с.

В методическом пособии кратко изложены начальные и основные подходы для ,

решения типичных задач и примеров по математике в первом семестре обучения.

Пособие предназначено для подготовки к контрольным работам и тестированию

для студентов всех форм обучения и всех специальностей.

Содержание

1. Литература с.2

2. Введение с.2

3. Решение типовых задач и примеров по темам: с. 3-19

3.1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия с. 3-10

3.2. Производная и пределы с. 11-14

3.3. Функции нескольких переменных с.14-19

4. Краткие сведения по теме производная функции одной переменной с.19-20

1.Литература

1.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: "Высш. школа", 1985, 359с.

2...Кудрявцев В. А, Демидович Б.П.. Краткий курс высшей математики. М: "Наука", 1986, 497с.

3.Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. СПб.: Изд-во "Лань",2002,960 с.

4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.

В 3-х ч. , часть1, М.: "Высш. школа", 1986, 385с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. В 2-х т.,

том 1,М: "Наука", 1978, 250с.

2. Введение.

При подготовке к экзамену по теории и практике курса математики 1 семестра следует использовать источники [1]-[5], варианты контрольных работ изложены в отдельных электронных методических пособиях, важный материл в виде сводок формул и определений по основным разделам математики можно получить, используя задачник [1].

3.1.Пример решения К.Р. №1 по математике по теме

"Линейная алгебра и аналитическая геометрия", 1 семестр

Задача 1. Дана матрица Найти

Решение.

Через определитель и алгебраические дополнения найдем обратную матрицу:

Задача 2. Решить систему уравнений

a) методом Крамера, b) матричным методом, c) методом Гаусса.

Решение. a) метод Крамера. Считаем определители разложением по первой строке (столбцы по очереди меняются на столбец свободных членов)

Теперь найдем ответ по формулам

b) матричный метод. Найдем обратную матрицу по формуле

где - алгебраическое дополнение элемента

Теперь ответ найдем по формуле

c) метод Гаусса. Делаем элементарные преобразования расширенной матрицы, нумеруем строки римскими цифрами.

. Получили диагональную матрицу, начинаем решать с последнего уравнения (обратный ход):

Отметим, что во всех трех способах ответы совпали.

Задача 3. В каноническом базисе даны координаты векторов

a) Показать, что - базис в R3.

b) Записать матрицу перехода от базиса к базису и разложить вектор в этом базисе.

Решение. a) Составим определитель из координат векторов :

Определитель из координат не равен нулю, значит, эти векторы составляют базис в R3.

b) Матрица перехода от базиса к базису имеет вид (координаты векторов записаны по столбцам)

.

Координаты вектора в базисе найдем из уравнения

или в матричной форме

Решим эту систему методом Крамера (см. задачу 2).

Задача 4. Дана матрица

1) Для системы , где X - 5-мерный вектор-столбец неизвестных

найти a) фундаментальную систему решений,

b) общее решение,

c) частное решение.

2) Пусть C - расширенная матрица системы 4-х уравнений с 4-мя неизвестными. Решить эту систему, исследовав совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Решение. 1) Решим систему методом Гаусса, совершая элементарные преобразования строк, нумеруя строки римскими цифрами, обнуляем элементы ниже диагонали.

Пусть x5 - свободное неизвестное. Последнее уравнение имеет вид

из третьего уравнения найдем

из второго уравнения найдем

из первого уравнения найдем

a) Общее решение имеет вид (x5 - свободное неизвестное):

b) Частное решение найдем, положив x5=1:

c) Отсюда фундаментальное решение запишем в виде

. Здесь t - любое число.

2) Ранг основной матрицы равен 4 и совпадает с рангом расширенной матрицы, поэтому система совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Расширенная матрица уже приведена к виду (см. выше)

Совершая обратный ход (начиная с последнего уравнения), последовательно найдем: из четвертого уравнения

из третьего уравнения

из второго уравнения

из первого уравнения

Задача 5. Даны четыре точки - вершины пирамиды с координатами

Найти: а)

б) угол между ребрами

в) площадь грани

г) объем пирамиды;

д) уравнения прямых

е) уравнения плоскостей

ж) угол между плоскостями

з) высоту пирамиды как расстояние от точки A4 до плоскости

Решение.

а) б)

в) Искомая площадь S равна половине модуля векторного произведения векторов:

,

г) Искомый объем V равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов:

, д) Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой

е) Уравнение плоскости найдем как смешанное произведение векторов (M(x,y,z) - текущая точка плоскости)

Уравнение плоскости найдем как смешанное произведение векторов (M(x,y,z) - текущая точка плоскости)

ж) Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Из пункта е) видно, что для плоскости нормаль

а для плоскости нормаль значит, косинус угла ? между этими плоскостями равен

з) Высота пирамиды h вычисляется через ее объем V (см. пункт г)) и площадь основания S (см. пункт в)) по формуле

Пример решения К.Р. 1 математике по теме

"Производная и пределы", 1 семестр

Задача 1. Найти производные

Решение. Пользуясь таблицей и правилами дифференцирования, найдем

Задача 2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой

в точке x0=1.

Решение. Уравнение касательной имеет вид

Отсюда уравнение касательной

Уравнение нормали имеет вид

Отсюда искомое уравнение

Задача 3. Найти производную функции, заданной параметрически в виде

Решение. Дифференцируя найдем

Задача 4. Найти дифференциал функции

Решение. Дифференциал функции y(x) равен dy=y'dx. Значит,

Задача 5. Найти вторую производную функции

Решение. Пользуясь таблицей и правилами дифференцирования, найдем

Задача 6. Найти скорость и ускорение точки при t=2, если ее путь задан функцией

Решение. Скорость - это первая производная, а ускорение - вторая производная.

Задача 7. Найти пределы

Решение. a) Делим числитель и знаменатель на старшую степень x:

b) Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

c) Bоспользуемся правилом Лопиталя раскрытия неопределенности:

Задача 8. Исследовать функцию на экстремум, выпуклость и перегиб

Решение. Найдем производную, ее нули (критические точки)

При возрастании x производная в точке меняет знак с плюса на минус (функция после возрастания начинает убывать), значит, - это точка максимума функции,

При возрастании x производная в точке меняет знак с минуса на плюс (функция после убывания начинает возрастать), значит, - это точка минимума функции,

Для исследования выпуклости и перегиба найдем вторую производную, ее нули (точки подозрительные на перегиб)

При возрастании x вторая производная в точке меняет знак с минуса на плюс (слева от этой точки график функции выпуклый вверх, а справа от этой точки график выпуклый вниз), значит, - это точка перегиба функции,

Пример решения К.Р. 2 по математике по теме

"Функции нескольких переменных", 1 семестр

Задача 1. Найти область определения и непрерывности функции

Решение. Аргумент логарифма должен быть больше нуля,

На плоскости (x,y) это вся плоскость с выколотым началом координат.

Задача 2. Записать уравнение семейства линий уровня функции

Какая линия уровня проходит через точку M0(0,2)?

Решение. Семейство линий уровня записывается так:

Это семейство прямых.

Подставим координаты точки M0 и найдем С:

Значит, через точку M0 проходит прямая

Задача 3. Найти частные производные первого порядка от функций

Решение. Находим частные производные по каждому аргументу:

Задача 4. Вычислить полный дифференциал dz и полное приращение ?z функции z=2x2?2y в точке M0(?2,2) при ?x=0,1, ?y??0,1. Оценить абсолютную и относительную погрешности приближенного равенства ?z?dz.

Решение. Найдем приращение в точке M0:

Найдем полный дифференциал dz в точке M0:

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Задача 5. Найти частные производные если неявно задана функция z(x,y) при помощи уравнения F(x,y,z)=0, где

Решение. Найдем частные производные неявной функции:

Задача 6. Найти вторые частные производные если

Решение. Найдем первые, а затем вторые частные производные:

Задача 7. Составить уравнение касательно плоскости и нормали к поверхности в точке M0(1,?1,2).

Решение. Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид

В нашем случае

а в точке M0(1,?1,2)

Отсюда уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали к поверхности имеет вид

В нашем случае уравнение нормали:

Задача 8. Вычислить производную функции в точке

M0(?1;2;1) в направлении вектора

Решение. Найдем сперва частные производные:

а в точке M0(?1;2;1):

Вектор градиента в этой точке будет:

Вектор единичной длины, направленный вдоль вектора будет:

Искомая производная вычисляется по формуле

Задача 9. Найти градиент скалярного поля в точке M0(1;?1;2), модуль градиента и объяснить смысл результата.

Решение. Найдем частные производные:

а в точке M0(1;?1;2):

Вектор градиента в этой точке будет:

Длина этого вектора равна

Смысл результата: градиент направлен по нормали к поверхности уровня

или

и указывает направление наибыстрейшего роста функции.

Задача 10. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Найдем частные производные:

приравняем их нулю, получим систему

Решив эту систему, найдем x=1, y=2. Следовательно, единственная критическая точка, подозрительная на экстремум, M0(1,2).

Найдем вторые производные в этой точке:

Составим определитель

По теореме о достаточном условии экстремума, поскольку ?>0, A>0, то функция имеет минимум в точке M0. Этот минимум равен

4. Краткие сведения по теме производная функции одной переменной

Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

(1)

Обозначения производной в точке х0:

и другие.

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,

то - угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().

Уравнение касательной к кривой

в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:

(2)

а уравнение нормали (М0N):

(3)

Механический смысл производной. Если точка движется по закону S=s(t), где S - путь, t - время, то S ?(t) представляет скорость движения точки в момент времени t, т. е. S ?(t) =V(t).

Правила дифференцирования

№ пп U = u(x), V=V(x) -

дифференцируемые функции № пп U = u(x), V=V(x) -

дифференцируемые функции I VI Производная сложной функции II VII Функция задана параметричес-кими уравнениями III IV VIII Если и -

взаимно обратные функции,

то V Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп с=const, х - независимая переменная,

u = u(x) - дифференцируемая функция 1 с?= 0 9 2 х?= 1 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 8 Замечание. Формулы записаны с учётом правила дифференцирования сложной функции.

2

Показать полностью…
560 Кб, 30 августа 2012 в 6:14 - Россия, Ростов-на-Дону, МГТУ ГА (РФ), 2012 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении