Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Студенческий документ № 015423 из ВАВТ

Определитель квадратной матрицы в случае и . Определение в общем случае.

Для матрицы детерминант определяется как

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где - дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула называется разложением по строке.

Свойства определителя квадратной матрицы. Вычисление определителя приведением к треугольному виду

Свойства определителей.

1) При транспортировании матрицы значение определителя не меняется, т.е. .

Замечание: это свойство означает, что всякое свойство определителя, связанное со строками, справедливо и для столбцов.

2) Если в определителе две строки (два столбца) пропорциональны, то он равен нулю. В частности, определитель равен нулю, если две строки (два столбца) совпадают или одна строка (столбец) нулевая.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит свой знак на обратный.

4) Если строку (столбец) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

5) Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число, то определитель не изменится.

6) Определитель, в котором строка представлена как сумма строк, равен сумме соответствующих определителей.

7) Определитель не меняется, если к одной строке прибавить другую, умноженную на число.

8) При элементарных преобразованиях матрицы, определитель отличный от 0 останется отличным от 0, а определитель, равный 0, останется равным 0.

Доказательство: поскольку элементарные преобразования обратимы: а) можно строки обратно поменять местами; б) можно прибавить ту же строку, умноженную на противоположное число; в) можно умножить на обратное число.

Утверждение достаточно доказать только относительно определителя, отличного от 0.

9) Определитель произведения матриц равен произведению определителей. |Anxn*Bnxn|=|A|*|B|

Вычисление определителя приведением к треугольному виду.

Треугольная матрица - матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Дана матрица размером 3х3;

1.1 Для простоты решения (что бы не было дробей) необходимо, что бы первый элемент первой строки был равен единице, поэтому ко второй строке добавляем первую строку и меняем их местами;

1.2 Меняем местами первую строку со второй;

2. Следующим шагом нужно обнулить первые элементы второй и третей строки (-4 и -9). Для этого из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на первый элемент второй строки, т.е. на -4, тем самым обнулится первый элемент второй строки. Тоже самое проделываем с третей строкой, только умножаем первую строку на первый элемент третей строки (-9)

*Если обнуляемый элемент является отрицательным, тогда проще, к этой строке добавить первую строку умноженную на этот же элемент противоположного знака, т.е. (2) - (-4) ? (1) = (2) + 4 ? (1)

3. Для того что бы обнулить второй элемент третей строки (-64) и превести матрицу к треугольному виду, желательно второй элемент второй строки (-25) привести к 1-е, но это долго и сложно, поэтому с ним ни чего не делаем.

4. Далее обнуляем второй элемент третей строки, вычитая из неё вторую строку, умноженную на 64/25, что приведёт матрицу к треугольному виду.

Минор элемента квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение элемента. Разложение определителя по строке или столбцу.

Минор матрицы ? определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ? угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор . Этот минор - определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

Получаем

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба - нечетное число.

Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение:

Разложение определителя

По элементам i-й строки:

По элементам j-го столбца:

Например, при n = 4 разложение по первой строке

Линейные действия над матрицами, восемь свойств этих действий.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij ? bij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Умножить матрицу А на матрицу В означает последовательно умножить строки А на столбцы В и получить новую матрицу.

Умножение i-ой строки на j-ый столбец дает элемент, который стоит на i-ой строке и на j-том столбце.

Свойства:

A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)

существует нулевая матрица (тех же размеров, что и ): ;

существует матрица , противоположная матрице

;

; ;

Умножение матриц, свойства умножения матриц. Транспонированная матрица.

Произведение матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пусть даны матрица А размера ?п х т? и матрица В размера ?т х р?.

Произведением двух матриц А и В, заданных в определённом порядке (А - первая, В - вторая), называется матрица С размера ?п х р?, элементы сij которой определяются по следующему правилу: элемент i-й строки и j-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (рис.43), т.е.

cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aimbmj =

i =1, 2, ..., n; j= 1,2, ...,p.

Произведение матриц А и В, взятых в указанном порядке, обозначается А·В или АВ.

Произведением двух прямоугольных матриц является снова прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов - числу столбцов второй матрицы. Из определения умножения матриц видно, что если возможно умножение матрицы А на матрицу В, то отсюда не следует возможность умножения матрицы В на матрицу А. Умножение матриц не обладает свойством перестановочности, поэтому если оба произведения АВ и ВА имеют смысл, то АВ может не совпадать с ВА. В том случае, когда оба произведения АВ и ВА определены и выполняется равенство АВ=ВА, матрицы А и В называют перестановочными.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

Свойство 1. А(ВС)=(АВ)С

Свойство 2. ????(?(АВ)=( ?А)В=А(?В))

Свойство 3. С (А+В)=СА+СВ

Свойство 4. (А+В)С=АС+ВС

Свойство 5. (АВ)Т=ВТАТ , где А,В,С - матрицы, а ? - число, а АТ это матрица, полученная из матрицы А в результате транспонирования.

Транспонировать матрицу означает поменять местами строки и столбцы.

6. Теорема о чужой строке. Присоединенная матрица, ее свойства.

7. Единичная матрица. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы.

Едини?чная ма?трица - квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Единичная матрица размера обычно обозначается En и имеет вид:

Так же используется и другое обозначение: In.

Обра?тная ма?трица - такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

С помощью матрицы алгебраических дополнений

CT - транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A-1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n?)·Odet.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

и

Следовательно, .

8. Получение обратной матрицы с помощью присоединенной.

Предположим, что матрица A - неособенная и рассмотрим метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками.

В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:

Умножение строки на любое ненулевое число.

Прибавление к одной строке любой другой, предварительно умноженной на любое число.

Алгоритм метода чрезвычайно прост по своей сути.

Сначала составляется расширенная матрица - присоединением к матрице A единичной матрицы E:

Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E) преобразуется к виду (E | B).

С формальной точки зрения такие преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц (матрицы перестановки, матрицы масштабирования, неунитарной матрицы):

TA = E.

Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы A:

T = A-1. Тогда TE = A-1 и, следовательно,

ПРИМЕР: Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных

преобразований столбцов приведем левую "половину" к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.

Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~ . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,

.

9. Элементарные матрицы и элементарные преобразования

Определение элементарных матриц: а) элементарное преобразование строк (перестановка); б) прибавление к строке другой строки, умножение на число; в) умножение на число не равно нулю.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

? перестановка любых двух строк матрицы;

? умножение любой строки на произвольное, отличное от нуля, число;

? сложение любой строки с другой строкой , умноженной на произвольное число;

? транспонирование матрицы.

Матрица AT называется транспонированной по отношению к матрице A= {aij}, если AT= {aji}:

Иными словами, матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице A и обозначается AT.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

10. Получение обратной матрицы с помощью преобразования

Задача:

Дана матрица . Требуется вычислить обратную к ней матрицу .

Алгоритм решения:

1) Вычислить определитель матрицы .

2) Составить матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицы .

3) Транспонировать матрицу алгебраических дополнений.

4) Каждый элемент матрицы разделить на . Полученная матрица и будет обратной к исходной.

5) Проверка.

. Пример:

Задача: Дана матрица

. Требуется вычислить обратную к ней матрицу .

Решение:

1) Найдем определитель этой матрицы.

2) Составим матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицы .

Найдем алгебраическое дополнение к элементу . Для этого нужно вычислить минор, получаемый вычеркиванием первой строки и первого столбца, и умножить этот минор на минус единицу в степени суммы индексов.

Аналогично найдем алгебраические дополнения к остальным элементам матрицы.

Составим матрицу алгебраических дополнений

3) Транспонируем матрицу алгебраических дополнений.

4) Каждый элемент матрицы разделим на . Полученная матрица и будет обратной к исходной.

5) Проверка.

Ответ:

11. Невырожденные матрицы. Критерий существования обратной матрицы.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .

Значит, , что и требовалось доказать.

12. Матричные уравнения, их решение с помощью обратной матрицы.

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С - задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Квадратные системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре - это система уравнений вида

Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704-1752), придумавшего метод.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы ?, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, ..., cn справедливо равенство:

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

Системы линейных уравнений в общем случае, их классификация.

Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Системы уравнений бывают:

Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.

Совместной называется система уравнений, если она имеет хотя бы одно решение.

Несовместной называется система уравнений, если она не имеет ни одного решения.

Определенной называется система уравнений, если она имеет единственное решение.

Неопределенной называется система уравнений, если она имеет бесконечное множество решений.

15.Равносильные системы линейных уравнений. Равносильность элементарных преобразований.

Две системы называются равносильными, если обладают одним и тем же множеством решений.

Элементарными наз-ся следующие преобразования:

Поменять уравнения местами

К левой части одного уравнения прибавить левую часть другого уравнения, умноженную на число.

К правой части одного уравнения прибавить правую часть уравнения, умноженную на число.

Замечание.

Вместо преобразования СУ проще преобразовывать их расширенные матрицы. (Каждый раз можно легко перейти от системы к расширенной матрице и наоборот).

(А В) А- матрица системы, В - столбец свободн.членов

Теорема.

При элементарных преобразованиях новая система равносильна исходной.

Действительно, каждое элементарное преобразование обратимо т.е. с помощью соответствующего элементарного преобразования можно вернуться к исходной системе, а значит, если Х является решением исходной системы, то Х является решением преобразованной системы.(и обратно)

Таким образом, вместо данной СЛУ естественно рассматривать равносильную более простого вида.

Наиболее просто решаются системы улучшенного ступенчатого вида.

16.Ступенчатые матрицы и ступенчатые системы линейных уравнений. Теорема о том, что каждую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Матрица называется ступенчатой, если в каждой строке, начиная со второй, первый ненулевой элемент стоит дальше, чем стоял в предыдущей строке.

А=

Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов.

Теорема.

Каждую матрицу элементарными преобразованиями (перестановкой строк и добавлением к строке другой строки, умножен.на число) можно привести к ступенчатому виду.

Возьмем произвольную матрицу, будем считать, что первый столбец ненулевой.

Перестановкой строк добьемся того, чтобы в левом верхнем углу стоял ненулевой элемент.

В матрице В находим ненулевой столбец и перестановкой строк добиваемся того, чтобы ненулевой элемент стоял в первой строке. Затем действуем с матрицей как действовали с исходной матрицей и т.д.

17.Ступенчатый вид и совместность систем линейных уравнений.

Теорема1.

Система совместна тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде расширенной матрицы последняя ненулевая строка содержит отличные от нуля элементы не на последнем месте.

(0 0 ...0 b = 0)

Соответственно уравнение имеет вид:

0*х1+...+0*хn = b = 0

х1+2х2-х3+х4=1

х1-х2+х3-х4=2

2х1+4х2-2х3+2х4=3

Определение.

Столбцы ступенчатой матрицы, отвечающие первым ненулевым элементам строк наз-сяведущими, а неизвестные, отвечающие этим столбцам наз-ся главными(базисными).

Остальные неизвестные наз-ся свободными.(их может и не быть)

Теорема2.

Совместная СЛУ является определенной тогда и только тогда, когда все неизвестные являются главными.

Док-во:

Действительно, в улучшенном ступенчатом виде получим тогда единичную матрицу и столбец свободных членов.

х1=b1 х2=b2 .... xn=bn

Если же есть свободные неизвестные, то как только они примут конкретные значения, сразу определяться значения главных неизвестных.

(но свободные неизвестные могут принимать какие угодно значения, а значит,если они имеются, то множество решений обязано быть даже бесконечным)

Теорема3.

Если в ступенчатом виде не все неизвестные главные (т.е. имеются свободные), то в этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Пример. х1+2х2 =2

х1+х2-х3+х4=4

2х1+2х2-2х3+х4=7

(Х3 может быть каким угодно)

х1=2-2х3 х3=t

х2=1+3х3 х4=1

х1=2-2 t 3 x= t*

х2=1+3 t 3 х4=1

18. Теорема о том, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения однородной системы.

Теорема Решение однородной, неоднородной системы обладает след-ми св-ми:

1). Разность решений неоднородной системы является решением однородной.

2).Сумма решений неоднородной и однородной систем является решением неоднородной.

Док-во.

АХ=В , АУ= А(Х+У)=АХ+АУ=В+=В

АX=В, АZ=B А(Х-Z)=АХ-АZ=B-B=

Следствие

Общий вид решений неоднородной системы может быть описан след.образом, в виде равенства двух множеств.

Хон=Хоо+Хчн

он-общее решение неоднор.системы,оо- общее решение однородн.системы,чн- частное решение неоднородн.системы(выбрано заранее)

1)Х правой части Х левой части (уже доказано)

2)Х левой части АХ=В, АХчн=В Х-Хчн=У(рещение системы 2)

Х=У+Хчн

Замечание

Тот вид,которго мы добивались для решения неоднородной системы соответствует этому св-ву.

Пример Пусть главные неизвестные уже выражены через свободные.

Х1, Х3 - главные

Х2=S, Х4=T, Х5=U- свободные

Х1=2S-3T+U-7 X2=S

X3=T-2U+5 X4=T X5=U

X=S+T+U+

XooXчн 19. Линейная зависимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.

Мы рассматриваем столбцы или строки одинаковой длины.

, , ..., ++...+ - такое выражение называется линейной комбинацией системы.

Система векторов наз-ся линейнозависимой, если существует такая её линейная комбинация, которая равна нулевому вектору, причем не все коэфф-ты этой комбинации равны нулю.

т.е. ++...+= = 0

Теорема

Критерий линейной зависимости.

Система векторов линейнозависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие.

Док-во(для 4ех векторов)

1)Пусть , , линейнозависимые +++= 0

=-- - ( при =0)

2)Пусть =++

+++(-1)=

Св-ва линейн.зависимой системы:

Если система содержит нулевой вектрой.то она линейнозависима.

,,,..., 1*+0*+0*+...+0*=

Если подсистема системы векторов является лин.зависимой, то и вся система явл-ся лин.зависимой.

Док-во.

Переименуем вектора так, что первые к векторов явл-ся лин.зависимыми.

,,...,,,..., лин. завис.

+...+=0 = 0

++...++0*+...+0*=0 = 0

20. Свойства линейно зависимых систем векторов.

определение: система векторов называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа , не все равные нулю, что

, где =(0,0,...,0).

1) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда систем уравнений имеет только нулевое решение.

Вектор В разлагается по линейно независимой системе тогда и только тогда, когда , В- линейно зависимая система векторов.

2) Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Если каждый вектор системы разлагается по векторам и n>m, то - линейно зависимая система векторов.

3) Любая система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимую подсистему векторов, линейно зависима.

4) Система векторов линейного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные векторы системы (представлен в виде разложения по векторам системы).

21. Линейная независимость системы векторов.

определение: система векторов называется линейно независимой, если из каждого соотношения вида следует

22. Свойства линейно независимых систем векторов.

1) Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейного пространства линейно независима.

2) система векторов линейного пространства линейно независима любая ее подсистемы векторов.

3) Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейного пространства, линейно независима.

23. Зависимость или независимость системы строк квадратной матрицы, ее связь с определителем этой матрицы.

Определение: Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.

Определение: Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.

Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). При транспонировании определитель матрицы не изменяется.

24. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы, их отыскание.

Число ? называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n,если можно подобрать такой ненулевой n-мерный вектор x, что Ax=?x.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором квадратной матрицы A, принадлежащим ее собственному значению ?, если Ax=?x.

Найдем собственное значение матрицы:

А=¦((¦(¦(0&1&1@1&0&1@1&1&0))) ).

Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А. Так как

|A-?E|=|¦(-?&1&1@1&-?&1@1&1&-?)| = -?3+3?+2, то -?3+3?+2 - это характеристическое уравнение матрицы А. Разложив левую часть уравнения на множители, получим -( ?-2)( ?+1)2=0

Следовательно, матрица А имеет два собственных значения:

?1=2, ?2=-1.

Найдем собственные векторы матрицы.

А=¦((¦(¦(0&1&1@1&0&1@1&1&0))) ).

Решение: В предыдущей задаче были найдены собственные значения матрицы А: ?1=2, ?2=-1. Теперь найдем множества А(2) и А(-1). Система линейных уравнений (А-2Е)x=?, x=(x1,x2,x3), имеет вид

(¦(¦(-2@1@1)))x1+(¦(¦(1@-2@1)))x2+(¦(¦(1@1@-2)))x3=(¦(¦(0@0@0))).

Ее фундаментальная система решений состоит их одного вектора (1,1,1,). Следовательно, вектор ?(1,1,1,), ??R,-произвольный собственный вектор из А(2).

Теперь найдем множество А(-1). Векторы (-1,1,0) и (-1,0,1) образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (А+Е)x=?и , значит, ?(-1,1,0)+?(-1,0,1), ?,??R,-произвольный вектор из множества

А(-1). 25. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Уравнение Леонтьева.

Мы считаем, что валовой продукт каждой отрасли распадается на две части: промежуточный и конечный.

Валовой продукт=промежуточный(то, что необходимо для производства)+конечный

i-номер отрасли

xij- всяпродукцияi-й отрасли, необходимой для j-й

xi-валовойпродуктi-й отрасли

xi=xi1+xi2+...+xin+yi

yi-конечный

x_ij/x_j =const( зависимая от i и j)

! Величина-продукция i-ой отрасли, необходимая для производства ед. продукции j-ой отрасли. остается постоянной.

Уравнение Леонтьева.

X^((1) )=AX+Y

ДругаязаписьуравненияЛеонтьева

(E-A) X^((2) )=Y

26. Продуктивные матрицы. Критерий продуктивности.

Матрица А называется продуктивной если для этой матрицы при каждом векторе конечного продукта (y) найдется х-решение уравнения Леонтьева.

Критерий продуктивности:

Теор: матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда выполняются 2 условия:

1)существует (Е-А)-1

2) (Е-А)-1?0 все ее элементы неотрицательны

Док-во:

Пусть выполняются указанные условия. Докажем, что матрица А продуктивна.

Рассмотрим уравнение Леонтьева в виде (2)

(E-A)X=Y X=(E-A)-1Y является решением

Показать полностью… https://vk.com/doc-125893897_437720370
361 Кб, 3 августа 2016 в 12:14 - Россия, Москва, ВАВТ, 2016 г., docx
Рекомендуемые документы в приложении