Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Студенческий документ № 015446 из ВАВТ

1. Система линейных уравнений. Элементарные преобразования систем. Эквивалентность систем.

Система m линейных уравнений с n неизвестными - это система уравнений вида .

Элементарные преобразования: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и к одному уравнению прибавить другое, умноженное на число. Эквивалентность систем - выражение одной системы через другую. В результате элементарных преобразований сохраняется эквивалентность матриц.

2. Однородные и неоднородные системы. Свойства их множества.

Системы, в которых свободные члены всех уравнений равны нулю называются однородными. В противном случае - неоднородные. Свойства их множества решений:

* любая линейная комбинация решений однородной системы является решением той же системы;

* общее решение совместной неоднородной системы линейных уравнений можно представить как сумму частного решения этой неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы;

* общее решение неопределенной однородной системы представляется в виде линейной комбинации некоторой линейной независимой системы ее решений;

* любая однородная системы является совместной;

* разность двух решений неоднородной системы оказывается решением соответствующей однородной системы.

3. Приведение матриц элементарными преобразованиями строк к ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если первый ненулевой элемент каждой очередной строки стоит правее первого ненулевого элемента предыдущей строки. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Необходимые условия ступенчатого вида:

* ниже нулевой строки стоят нулевые строки;

* в ненулевой строки первый ненулевой элемент равен единице;

* в последующей строке первый ненулевой элемент стоит правее, чем в предыдущей строке;

* над и под единицами стоят нули.

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решая методом Гаусса, необходимо записать систему уравнений в матричном виде, привести нашу расширенную матрицу к ступенчатому виду. Затем необходимо исследовать полученную ступенчатую матрицу, тут у нас идет разделение на три пункта:

* Если она имеет строку вида (0...0|b) при b=/0, то данная система несовместна;

* Если число строк нашей ступенчатой матрицы меньше числа неизвестных, то выбираем главные неизвестные (первые ненулевые элементы строк ступенчатой матрицы) и свободные неизвестные и через последние выражаем главные;

* Когда число ненулевых строк нашей ступенчатой матрицы равно числу неизвестных, то система - определенная.

5. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений называется база множества всех решений этой системы. Число решений в фундаментальной системе решений однородной линейной системы из m уравнений от n переменных равно n-r, где r - ранг матрицы системы.

6. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, произведение, транспонирование)

Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.Умножить матрицу на число означает умножить каждый элемент этой матрицы на данное число. С-ва сложения матриц и умножения их на число: даны матрицы А, В и С и числа h и u. Тогда верны следующие равенства: 1) А+В=В+А;

2) (А+В)+С=А+(В+С);

3) h(А+В)=hА+hВ;

4) (h+u)А=hА+uА;

5) (hu)А= (hА)u;

6) А+(-А)=0.

Матрица B называется транспонированной к матрице А, если строки матрицы B являются столбцами матрицы А с сохранением их порядка. Свойства: (А^T)^T=A; (А+В)^T=A^T+B^T.

Произведением матриц А размера m*n и матриц В размера n*k называется матрица С размера m*k , каждый элемент которой равен скалярному произведению вектора-строки А(маленькая)i на вектор-столбец В(маленькая)j. АВ не равно ВА.

7. Индуктивное определение определителя. Определители второго и третьего порядков.

Индуктивное определение определителя: detA n=1, тогда |a11|= det(a11)= a11.

или сделаем разложение по строке или столбцу.

8. Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк. Вычисление треугольного определителя.

Если в квадратной матрице А к одной строке прибавить другую, умноженную на число, то ее определитель не меняется.

Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножается на это число.

Если в определители две строки поменять местами, то определитель изменит знак.

Треугольная матрица - квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали .

9. Определитель произведения матриц. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.

Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей, т.е. |A*B|=|A|*|B|. При транспонировании определитель не меняется. Определитель матрицы с углом нулей: пусть матрица разбита на блоки |А В 0 С|, где А и С- квадратные, тогда определитель всей матрицы равен |А|*|С|.

10. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке. Фальшивое разложение.

Минор Mij - определитель матрицы, которая получается из исходной матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число.

Разложение по i-ой строке |A|=a(i1)A(i1)+...+a(in)A(in).

Фальшивое разложение - сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

a(i1)A(j1)+ a(i2)A(j2)+....+a(in)A(jn)=0

11. Обратная матрица и способы ее вычисления.

Пусть А - квадратная матрица. Матрица В( того же размера) называется обратной для матрицы А, если их произведение дает единичную матрицу.

1способ. Приписываем матрице А справа единичную матрицу. С помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы приводим матрицу А(левую половину сдвоенной матрицы) к единичной. Тогда на место первоначально приписанной единичной матрицы окажется обратная матрица А.

2способ. Есть у нас матрица А. Составляем новую матрицу А* с помощью алгебраических дополнений. Находим определитель матрицы А. И тогда обратная матрица равна транспонированной матрице А* деленной на определитель матрицы А, т.е. А^-1=(А*)^Т/|А|.

12. Теорема Крамера и формулы Крамера.

Т. Если в системе линейных уравнений число уравнений и число неизвестных совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение.

x(j)=|A(j)|/|A| , где матрица А(j) получается из матрицы А заменой j-ого столбца столбцом свободных членов, т.е. b (столбец который после знака равно в исходной системе).

13. Линейная зависимость векторов. Связь с линейными комбинациями.

Набор векторов а(1),....,а(n) (одной высоты) линейно зависим, если существует ненулевой набор чисел j(1),...,j(n), что j(1)a(1)+...+j(n)a(n) =0.

Вектор b является линейной комбинацией векторов а(1),....,а(n), если

b=h(1)a(1)+...+h(k)a(k) для некоторых чисел h(1)...h(k).

Система векторов а(1),....,а(n) называется линейно зависимой один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.

14. Критерий равенства нулю определителя.

Определитель квадратной матрицы А равен нулю столбцы (строки) линейно зависимы.

Определитель матрицы А, содержащий нулевой столбец (строку), равен нулю.

Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Определитель, в котором одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, равен нулю.

15. Основная лемма о линейной зависимости. Подпространства. Размерность подпространства. Определение базиса.

Пусть а(1),...,а(k) и b(1),...,b(m) две системы векторов каждый вектор а(i) является линейной комбинацией векторов b(1),...,b(m). Если k>m, то системы а(1),...,а(k) линейно зависима.

Подпространство U в Rn - это подмножество со следующими свойствами:

1)если u, v є U=› u+v є V;

2)если u є V и µ - число, то µu є V.

Размерность подпространства - это число векторов в базисе.

Базисом называется система векторов, если эти векторы линейно независимы и любой вектор этого пространства (из R^n) является линейной комбинацией векторов данной системы.

16. Координаты вектора в базисе. Операции над векторами и их координатами.

В геометрии вектором называют направленный отрезок. В фиксированной системе координат каждый вектор А однозначно определен своими координатами: А=(а1, а2... аn), где число а1 называется первой координатой вектора А, а2 - второй координатой и т.д., а число n(количество координат) называется размерностью вектора А.

Суммой векторов a и b называется вектор с, координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов.

Произведением вектора a на число h называется вектор с, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора a на это число.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов: a*b = a1b1 + a2b2+ ... + anbn.

17. Ранг матрицы, его неизменность при элементарных преобразованиях. Ранг произведения матриц.

Ранг матрицы А - это максимальное число линейно независимых строк матрицы (число ненулевых строк). Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками и при транспонировании.

Способы нахождения ранга матрицы:

Методом Гаусса:

1) Привести матрицу к ступенчатому виду

2) Количество ненулевых строк = рангу матрицы

С помощью окаймляющего минора:

1) Окаймляющий минор получается присоединением к минору еще одной строки и столбца

2) Ранг матрицы равен порядку ненулевого минора, у которого все окаймляющие равны нулю.

Пусть А имеет размер n*k, матрица В имеет размер k*m, тогда r(АВ)r(A)ранг матрицы системы=r(A|b). А если ранги ее равны числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

21. Плоскости. Параметрическое задание плоскости.

Плоскости. Пусть U - подпространство в n-мерном пространстве (R^n), и вектор a є R^n(нашему пространству). Плоскость П, проходящая через вектор a с направляющим подпространством U, - это все векторы a+x, где вектор x є U.

а=(-1;2;3) є R^3

Направляющее подпространство u= f(1)=(1;0;-2) f(2)=(1;1;1)

Плоскость состоит из а+х, х є u; x=t(1)f(1)+t(2)f(2)

z=a+x=a+ t(1)f(1)+t(2)f(2)

z(1)=(-1)+t(1)(1)+t(2)(1)

z(2)=(2)+t(1)(0)+t(2)(1) - параметрическое задание плоскости.

z(3)=(3)+t(1)(-2)+t(2)(1)

22. Плоскости как решения совместной системы линейных уравнений.

Рассмотри совместную систему линейных уравнений AX=b.

Пусть x(0)-частное решение системы. Тогда любое решение х имеет вид х(0)+у, где у - решение однородной системы уравнений (АХ=0).

Следовательно, все решения системы AX=b образуют плоскость.

23. Параметрическое задание плоскости, определяемое системой линейных уравнений.

24. Переход от параметрического задания плоскости к заданию системой линейных уравнений.

25. Задание системой линейных уравнений наименьшей плоскости, проходящей через заданные точки. Задание уравнениями прямой, проходящей через две различные точки.

26. Собственные векторы и собственные значения. Алгоритм вычисления.

Пусть А- квадратная матрица. Ненулевой столбец U называется собственным вектором для А с собственным значением ?, где ? - некоторое число, если Ах=?х, а вектор х является собственным вектором матрицы А.

Тогда, Au-?u=0

Au-?Eu=0 (A-?E)u=0 - система линейных однородных уравнений с матрицей A-?E, где u - ненулевое решение этой системы.

Условием существования ненулевого решения системы является равенство нулю определителя |A-?E|=0.

Алгоритм: вначале решается характеристическое уравнение, корни которого и будут собственными значениям матрицы; затем каждое полученное собственное значение подставляется в матричное равенство, после чего это равенство представляет собой систему линейных уравнений, решениями которой будут собственные векторы, принадлежащие данным собственным значениям.

2

Показать полностью… https://vk.com/doc151753579_258051214
4 Мб, 5 января 2014 в 17:44 - Россия, Москва, ВАВТ, 2014 г., docx
Рекомендуемые документы в приложении