Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Студенческий документ № 015462 из ВАВТ

Элементы комбинаторики. Пояснить на примерах.

Число способов проведения опыта.

Правило произведения

Пусть необходимо выполнить n действий: 1ое действие можно выполнить К1 способами, 2ое К2 , n-ое Кn способами. Тогда все действия можно выполнить К1* К2 *К3 *....*Кn способами. Пример 1: сколько существует способов бросить игральную кость: 1)1 раз - 6; 2) 2 раза - 6*6=36 и тд.

Размещения

Пусть есть множество состоящее из n элементов. Возьмем упорядоченное подмножество состоящее из К элементов. {a1 , a2 ... an} - размещение. Число всех размещений A_n^k . 1) A_n^k = nk (размещение с повторениями). 2) A_n^k = n * (n-1)....(n-k+1) ( без повторений)

Пример 2: есть числа 1,2,3,4,5. 1) сколько существует трехзначных чисел, если все цифры в нем а) разные A_5^3 5*4*3=60 б) могут быть одинаковы A_5^3 = 53 = 125. 2) сколько пятизначных чисел можно составить. P5 = 5! = 120 , если все числа разные.

Перестановки

Упорядоченные наборы из всех n элементов множества. Число перестановок Pn = n!

Сочетание

С_n^k= n!/k!(n-k)! Есть множество состоящее из n элементов. Выбираем неупорядоченное содержание К элементов. Число таких подмножеств - сочетание. Сочетания отличаются только составом элементов, но не порядком. Пример: в группе 10 студентов, выбирают 3. Сколько существует способов. С_10^3= 10!/3!7!=120 способов.

Св-ва сочетаний: 1)С_n^1=n 2)C_n^n=1, 0!=1 3) C_n^k = C_n^(n-k)

------------------------

Свойства:

А+A=?4)A* O= O

A*A= O5)A*?=A A+ O=A6)(A+B)*C=AC+BC

Случайные величины. Типы случайных величин и способы их задания.

Случайные величины - функции. Случайной величиной называется величина, которая при проведении опыта принимает значение, заранее неизвестно какое.

Типы случайных величин:

1)дискретной (прерывной) с.в. называется величина, которая может принять конечное или счетное число значений. Множество значений счётно если их можно занумеровать натуральными числами.

2)непрерывной называется с.в. которая принимает все значения у какого-либо конечного или бесконечного промежутка.

Способы задания:

1)табличный (первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая - их вероятности. Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице.)

x1x2xn

p1p2pn 2)Графический (В прямоугольной системе координат строят точки ( xi , pi ), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.)

. Законом распределения ДСВ называется соответствие между её значением и соответств. Вероятностями этих значений.

Задаётся: Аналитически (в виде формулы)

Таблицей: (первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая - их вероятности. Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице.)

x1x2xn

p1p2pn Законом распределения.

F(x)=P(Xx1, то F(x2)?F(x1)

Вывод: это дискретный случай величины F(x) - ступенчатая функция, постоянная на тех интервалах, где случ величина не принимает значений и имеет скачки в точках, в которых она принимает значение. Величина скачка равна соответствующей вероятности.

----------------

Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции, его свойства.

(x;y) -->( M(x):M(y)): (D(x); D(y))

Ковариация

Ковариация между случайными величинами х1 и у - число, равное МО произведения отклонения случайны величин от своих мат ожиданий.

cov(x;y) = M((x-M(x))*(y-M(y))) или cov(x;y)=M(xy)-Mx*My

Свойства:

cov(x;y)=cov(y;x)

cov(x;y) = D(x)

cov(x; y) = M (xy)-M(x)M(y)

если х и у независимые, то cov(x;y)=0

cov(aX+b;cY+d) = ac*cov(x;y)

a, b, c, d - числа

Коэффициент корреляции.

Определение: Коэф корреляции между случайными величинами х и у- это число, равное отношению ковариаций к произведению средних квадратичных отклонений.

r(x;y)= (cov(x;y))/(?(x)* ?(y) ), где ? (х) = v D(x) ; ?(y) = vD(y)

Свойства: r(x;y)

r(x;y)=r(y;x)

r(y;x)=1 Это ф-я f(x), такая что f(x)=F'(x)

Замечание 1: F(x) - первообразная для f(x)

Замечание 2: f(x)- для дискретной случайной величины не определятся

Теорема: вер-ть того, что непр случ вел примет знач-я из промежутка (а;в) = опр интегралу от ф-я плотности по этому промежутку. p(axme)=1/2

F(xme)= p(X Fn(x)=(n_i^k)/n

Для дискретного ВР:

Для интервального ВР:

F(n)(wi^n) МС. Статистические оценки основных числовых характеристик

М(х)=х ? (выборочное среднее). х ?=(?_(i=1)^n-x_i )/n(x_i не повторяется). х ?=(?_(i=1)^к-?x_i n_i ?)/n. х ?=?-x_i w_i.

Выборочная мода-соответствует наибольшей частоте. В интервальн ряду берут середину интервала, в который попало наибольшее число наблюдений. (в тер вере она там, где f(x)=max)

Выбор. Медиана- ср знач вар ряда

Хmed={ x(n+1)/2 (если n-нечетно) (Хn/2+ Хn/2+1)/2 (если nчетное (D ) ?выборочная дисперсия

S^2=(?-?(x_i-х ?)?^2 )/n (xi встретилось 1 раз). S^2=(?-??(x_i-х ?)?^2*n_i ?)/n. S^2=?-?(x_i-х ?)?^2 *w_i

Выборочное среднеквадратичное отклонение ?

S=v(?-??(x_i-х ?)?^ *n_i ?)/n. В случае интервального вар ряда берут xi=?c_(i-1)+c?_i/2 (cередина интервала)

Стат. гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Нулевой или основной называют выдвинутую гипотезу, которую нужно проверить.

Альтернативной или конкурирующей называют гипотезу, которая противоречит основной.

Например, H_0: m=7; H_1:m?7

После того, как гипотезы сформулированы, нужно проверить согласуются ли выборочные данные с этими гипотезами.

Статистическим критерием называется случайная величина или статистика, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

T=T(x_1... x_n; H_0) - распределение известно, если H_0 верна.

Если выборочные данные противоречат нулевой гипотезе, то она отвергается. В этом случае верна альтернативная гипотеза.

В случае принятия нулевой гипотезы можно говорить лишь о том, что выборочные данные не противоречат выдвинутой гипотезе.

Так как решения о справедливости выдвинутой гипотезы принимают по выборочным данным, то возможны случаи.

Гипотеза H_0 отвергается принимается истина ОИ(отвергается истина)

ошибка I рода ПИ ложна ОЛ ПЛ(ошибка II рода) Вероятность совершить ошибку I или II рода называется уровнем значимости.

P_ои=? - уровень значимости

Если a=00,5, то это значит, что в среднем в 5% случаях при многократном использовании выбранного статистического критерия истинная гипотеза будет отвергнута.

Если P_пл=?_1

P_ол=1-?- мощность критерия.

Показать полностью…
196 Кб, 27 января 2015 в 21:37 - Россия, Москва, ВАВТ, 2015 г., docx
Рекомендуемые документы в приложении