Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 018565 из НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ)

ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС

"ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА"

Е. М. ИВЕНИНА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРИМЕРЫИЗАДАЧИ

Часть 1 Учебно-методическое пособие

Е. М. ИВЕНИНА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Часть1 Учебно-методическое пособие

Под редакцией

А. Ф. Салимовой

Издание ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина"

2010

УДК 517 Р е ц е н з е н т ы:

директор НОУ "Центр современного образования", д.п.н., профессор

В.А. Лазарев;

к.ф.-м.н., профессор ГОУ ВПО "Московский авиационный институт

(государственный технический университет)"

А.А. Пунтус

Под редакцией А. Ф. Салимовой

Математический анализ. Примеры и задачи. Часть 1: учебно-методическое пособие/ Ивенина Е. М.,

Омельченко И. Н., Рыжаков Г. В., Салимова А. Ф. Под. ред. А. Ф. Салимовой. - М: Изд. ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф.

Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина", 2010. - 235 с.

Учебно-методическое пособие в трех частях предназначено для студентов-иностранцев, обучающихся в технических вузах. Оно содержит примеры решения и подборку задач по дисциплине "Математический анализ" и охватывает основные разделы данной дисциплины. В каждой теме разобраны примеры решения типовых задач, в конце каждой темы приведены задачи для самостоятельного решения. Задачи снабжены ответами. Первая часть пособия содержит разделы и темы, относящиеся к дифференциальному исчислению функций одной переменной и дифференциальной геометрии кривых

УДК 517 c Ивенина Е. М., Омельченко И. Н.,

Рыжаков Г. В., Салимова А. Ф., 2010

c Издательство ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина", 2010

Оглавление

I. Дифференциальное исчисление

Тема 1 Введение в анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§1.1 Числа и числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§1.2 Многочлены. Формулы сокращённого умножения . . . . . . 9

§1.3 Степень с рациональным показателем. Корень n-ой степени 10

§1.4 Решение уравнений высших порядков . . . . . . . . . . . . . 15

§1.5 Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§1.6 Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

§1.7 Неравенства. Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . 25

§1.8 Уравнения и неравенства, содержащие выражения под зна-

ком модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

§1.9 Иррациональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . 33

§1.10 Показательные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . 37

§1.11 Логарифмические уравнения и неравенства . . . . . . . . . 40

1.11.1 Свойства логарифмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.11.2 Простейшие логарифмические уравнения . . . . . . . 41

1.11.3 Простейшие логарифмические неравенства . . . . . . 43

§1.12 Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . 45

1.12.1 Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для

некоторых углов первой четверти . . . . . . . . . . . 45

1.12.2 Наиболее часто встречающиеся формулы . . . . . . . 45

1.12.3 Решение тригонометрических уравнений и неравенств 46

§1.13 Понятие функции. Основные элементарные функции . . . . 50

§1.14 Исследование свойств элементарных функций и построение

их графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§1.15 Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Тема 2 Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§2.1 Последовательности. Определение предела последователь-

ности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Оглавление

§2.2 Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §2.3 Пределы рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . 84 §2.4 Пределы иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . 90 §2.5 Основной тригонометрический предел . . . . . . . . . . . . 98 §2.6 Основной показательный предел . . . . . . . . . . . . . . . 104

§2.7 Сравнение бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Тема 3 Производная и дифференциал . . . . . . . . . . . 117

§3.1 Определение производной функции. Правила дифференци-

рования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

§3.2 Касательная и нормаль к плоской кривой. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 §3.3 Производные и дифференциалы высших порядков.

Формула Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Тема 4 Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . 145

§4.1 Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

§4.2 Непрерывность функции на множестве. Свойства функции, непрерывной на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Тема 5 Аналитические приложения дифференциального ис-

числения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

§5.1 Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора . . . . 151 §5.2 Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 §5.3 Экстремумы функции, промежутки монотонности . . . . . 164 §5.4 Точки перегиба графика функции, промежутки выпуклости 170 §5.5 Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

§5.6 Построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Тема 6 Дифференциальная геометрия кривых . . . . . . 201

§6.1 Параметризация дуги. Векторная функция скалярного аргумента и её производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 §6.2 Сопровождающий трёхгранник линии. Кривизна и кручение 205

§6.3 Дифференциально-геометрические характеристики линии

на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

I. Дифференциальное исчисление

Тема 1 Введение в анализ

§1.1 Числа и числовые множества

Понятие множества относится к числу первичных понятий. Множество считается заданным, если определены общие свойства элементов, составляющих это множество. Например, A = {x: x = 2k, k = 1, 2, 3, ...} - множество всех чётных чисел. Его можно записать и так: A =

= {2, 4, 6,...}.

Выражение a ? A означает, что a - элемент множества A.

Объединение множеств A и B обозначается A ? B и определяется как множество всех элементов A с добавлением всех элементов B, не входящих в A. Пересечение или общая часть множеств A и B определяется как множество всех элементов, принадлежащих обоим множествам, и обозначается A?B. Если множества A и B не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут A ? B = ?, где символом ? обозначают так называемое пустое множество, то есть множество, в котором нет элементов.

Для определения действительных чисел сначала вводятся натуральные числа, затем числа целые, рациональные, иррациональные и, наконец, определяются действительные числа.

Множество натуральных чисел: N = {1, 2, 3, ...}.

Множество целых чисел: Z = {0, ±1, ±2, ...}.

Число называется рациональным, если его можно представить отношением целого числа к натуральному числу. Таким образом, Q = - множество всех рациональных чисел.

Примеры: и т. д.

Число называется иррациональным, если оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Например, иррациональным числом является отношение длины окружности к своему диаметру. Его принято обозначать ?:

? = 3,1415926535897932384626433832795028841972...

Множество R действительных чисел составляют все рациональные и иррациональные числа.

Модуль или абсолютная величина действительного числа x определяется следующим образом: при x > 0 |x| = x и |x| = ?x, когда x a определяет на координатной оси луч (рис. 1.5). Это полуинтервал с бесконечно удалённым правым концом. Обозначается этот промежуток с помощью символа ? (бесконечность) следующим образом: [a; +?) = {x: x > a}. Исключением из него точки a получается соответствующий бесконечный интервал (a; +?) = {x: x > a} (рис. 1.6).

Аналогично определяются бесконечные промежутки с левым бесконечно удалённым концом: (??; a) = {x: x 0.

Примеры решения задач

Пример 1.2. Упростить выражение

. Решение. Для приведения дробей к общему знаменателю следует разложить на множители знаменатели всех дробей.

1) 2 + a ? a2 = ?(a2 ? a ? 2)

Разложим выражение (a2 ?a?2) на множители по формуле (8), решив предварительно квадратное уравнение

a2 ? a ? 2 = 0,

D = 1 ? 4 · (?2) = 9 = 32,

a1 = 2; a2 = ?1. Следовательно, a2 ? a ? 2 = (a ? 2)(a + 1) и

. 2) Выражение a3 ? 8 преобразуется по формуле разности кубов:

a3 ? 23 = (a ? 2)(a2 + 2a + 4).

3) Выражение a2 +2a+4 не раскладывается, так как соответствующий дискриминант меньше 0.

4) Полученное выражение приводится к общему знаменателю следующим образом:

. §1.3 Степень с рациональным показателем. Корень n-ой степени

Свойства

1. a0 = 1, a > 0.

2. ax · ay = ax+y, a > 0.

3. . 4. (ax)y = ax·y, a > 0.

5. (a · b)x = ax · ay, a > 0, b > 0.

6. , a > 0, b > 0.

§1.3 Степень с рациональным показателем

7. . vn vn vn

8. a · b = a · b, a > 0, b > 0.

9. . , a > 0. qn vk kv·n

11. a = a, a > 0.

v 12. n an = a, a > 0.

. Примеры решения задач

Пример 1.3. Найти значение выражения

при . Решение. Преобразуем выражение:

. Теперь при получим:

. Пример 1.4. Найти значение выражения

при b = 64.

Решение. Преобразуем выражение:

. При заданном значении b = 64:

. Пример 1.5. Вычислить значение выражения

v v 4 162 · 4 648

Решение. v4 v4 v4 v4 v4

162 · 648 = 162 · 648 = 34 · 2 · 23 · 34 = 38 · 24 = 2 · 32 = 18.

Пример 1.6. Найти значение выражения

q v q 9 + 4 5 ? 9 ? 4 5

v Решение. Представим выражение 9 + 4 5 в виде полного квадрата:

. Аналогично

. Итак,

§1.3 Степень с рациональным показателем

, v v так как 5 + 2 > 0 и 5 ? 2 > 0.

Пример 1.7. Найти значение выражения

q q a + 2 a ? 1 ? a ? 2 a ? 1 при a = 2010.

v Решение. Необходимо представить выражение a+2 a ? 1 в виде полного квадрата:

. Аналогично

. Следовательно,

, так как

v v a ? 1 + 1 > 0 и a ? 1 ? 1 > 0 при a = 2010.

Задачи 1.7. Упростить выражение

. 1.8. Упростить выражение

. 1.9. Найти значение выражения

при . 1.10. Найти значение выражения

при . 1.11. Найти значение выражения

при t = 64.

1.12. Найти значение выражения

при p = 25.

1.13. Вычислить значение выражения

v v 4 45 · 4 1125.

1.14. Вычислить v v

3 175 · 3 245. 1.15. Найти значение выражения

. §1.4. Решение уравнений высших порядков

1.16. Найти значение выражения

. 1.17. Найти значение выражения

q q x ? 22 x ? 121 ? x + 22 x ? 121

1.18. Найти значение выражения при x = 2010. при x = 3; y = 9.

§1.4 Решение уравнений высших порядков

Уравнения высших порядков, имеющие рациональные корни, можно решать разными способами, в т. ч. подбором корня или группировкой слагаемых.

Для подбора корня используют следующую теорему.

Пусть дано уравнение порядка n

anxn + an?1xn?1 + ··· + a1x + a0 = 0,

где an, an?1, ..., a1, a0 - целые числа.

Если x = p/q - корень такого уравнения, где p - целое, а q - натуральное число, то an делится на q, а a0 делится на p.

Следствие. Если уравнение приведённое, т. е. an = 1, то q = 1 и p - один из делителей a0.

Примеры решения задач

Пример 1.8. Решить уравнение

2x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0.

Решение. Способ 1. Подобрать корень.

Согласно теореме,

p = ±1, ±2, q = 1 или q = 2.

Возможные корни: ±1, ±1/2, ±2.

Подстановкой в уравнение можно увидеть, что x = ?1 является корнем этого уравнения.

Если x = ?1 - корень, значит левая часть уравнения делится нацело на x + 1:

2x3 + 3x2 + 3x + 2 x + 1

? 2x3 + 2x2 2x2 + x + 2

x2 + 3x ? x2 + x

2x + 2 ? 2x + 2

0 Таким образом, исходное уравнение можно привести к виду:

(x + 1)(2x2 + x + 2) = 0,

отсюда x = ?1 или 2x2 + x + 2 = 0.

У последнего уравнения D 0.

Решение. На числовую ось наносим значения x = 2 и x = 3 в виде незакрашенных кружочков (неравенство строгое).

+ ? +

2 3 x Итак, решением данного неравенства служит объединение интервалов: x ? (??; 2) ? (3; +?).

Пример 1.18. Решить неравенство

(x ? 2)(x ? 3) > 0.

Решение. Значения x = 2 и x = 3 наносим на числовую ось в виде закрашенных кружочков (неравенство нестрогое).

+ ? +

2 3 x Таким образом, x ? (??; 2] ? [3; +?). Пример 1.19. Решить неравенство

. Решение. Нули числителя x = 2 и x = 3 на числовой оси закрашиваем, а нуль знаменателя x = 10 изображаем в виде незакрашенного кружочка.

+ ? + ?3 ?2 10 x

Итак, x ? [?3; ?2] ? (10; +?).

Пример 1.20. Решить неравенство

(x + 2)2(x + 3) > 0.

Решение. ? + +

?3 ?2 x

Таким образом, x ? (?3; ?2) ? (?2; +?).

Пример 1.21. Решить неравенство

(x + 2)3(x + 3) > 0.

Решение.

+ ? + ?3 ?2 x

Записываем ответ: x ? (??; ?3) ? (?2; +?).

Пример 1.22. Решить неравенство

(x ? 2)(3 ? x) > 0.

Решение. Неравенство не имеет стандартного вида, необходимо умножить его на ?1:

(x ? 2)(x ? 3) 6 0.

+ ? + 2 3 x

Решением неравенства служит отрезок x ? [2; 3]. Пример 1.23. Решить неравенство

x2 + 5x + 6 > 0.

Решение. Неравенство не имеет стандартного вида, необходимо разложить на множители левую часть, решив квадратное уравнение:

x2 + 5x + 6 = 0,

D = 25 ? 4 · 6 = 1, x = ?2 или x = ?3.

Переписываем неравенство следующим образом:

(x + 2)(x + 3) > 0.

+ ? + ?3 ?2 x

Итак, x ? (??; ?3] ? [?2; +?).

Пример 1.24. Решить неравенство

. Нули числителя:

t1 = 0, 2t ? 9 = 0 =? t2 = 4,5, t ? 1 = 0

Нули знаменателя: =? t3 = 1. t + 4 = 0 =? t4 = ?4, 2t ? 6 = 0 =? t5 = 3. ? + + ? ? +

?4 0 1 3 4,5 x

О т в е т: t ? (??; ?4) ? {0} ? [1; 3) ? (3; 4,5]. Пример 1.25. Решить неравенство

. Решение. Неравенство необходимо привести к стандартному виду:

, . + ? + ? +

1 2 3

Итак, t ? (??; 1] ? (2; 3) ? [4; +?).

Задачи Решить неравенства: 4 x 1.55.1.61..

1.56.1.62. 1.57.

1.63.

1.58.. 1.64. 1.59.1.65.

1.60.1.66. §1.8 Уравнения и неравенства, содержащие выражения под знаком модуля

По определению

, Например, |5| = 5, |?5| = 5, |0| = 0.

Примеры решения задач

Пример 1.26. Решить уравнение

|x + 2| = 5. Решение. По определению модуля

x + 2 = 5, или x + 2 = ?5, x = 3 x = ?7. Таким образом, решениями уравнения являются x = 3, x = ?7.

Пример 1.27.

|1 ? 2x| = 3x ? 2.

Решение. Так как модуль всегда выражение неотрицательное, здесь необходимо учитывать так называемую область допустимых значений x (ОДЗ):

, Далее, , или ,

Таким образом, x = 3/5 не подходит ОДЗ и не является решением уравнения, x = 1 - подходит ОДЗ и является решением исходного уравнения.

§1.8 Уравнения и неравенства с модулем

Пример 1.28. Решить неравенство

|4x + 1| 6. Решение. Это неравенство эквивалентно совокупности неравенств

=? ,. В ответе - объединение множеств, определяемых этими неравенствами.

?9,5 2,5 x

Таким образом, x ? (??; ?9,5) ? (2,5; +?).

Пример 1.30. Решить уравнение

x2 ? 4|x| + 3 = 0.

Решение. Здесь лучше сделать замену переменных: так как

x2 = |x|2 ,

уравнение можно представить в виде:

|x|2 ? 4|x| + 3 = 0.

Замена |x| = t приводит к уравнению:

t2 ? 4t + 3 = 0,

откуда t = 3,t = 1.

Возвращаемся к старой переменной. Из уравнения |x| = 3 получаем x = ?3, x = 3. Уравнение |x| = 1 даёт ещё два решения x = ?1 и x = ?1. Пример 1.31. Решить уравнение

. Решение. ОДЗ:

|a| 6= 1, a 6= ±1. Замена |a| = t приводит к уравнению

, откуда

t2 ? 2t ? 3 = 0, t = 3 или t = ?1.

Значение t = ?1 не подходит, т. к. модуль не может быть отрицательным числом. Из равенства |a| = 3 следует a = ?3 или a = 3.

Задачи Решить уравнения:

§1.9. Иррациональные уравнения и неравенства

1.67. . 1.69. .

1.70. 1.71. 1.68..

1.72. Решить неравенства:

1.73.

1.77.. 1.74. 1.75.

1.78.. 1.76.. §1.9 Иррациональные уравнения и неравенства

Если уравнение имеет простой вид:

p f(x) = g(x),

то оно эквивалентно системе

(1.9.1) . Если уравнение имеет более сложный вид, то его следует привести к простейшему, например, методом изоляции корня, замены переменных и т. п., а полученные корни желательно проверить подстановкой в исходное уравнение.

Если неравенство имеет вид

pf(x) 6 g(x),

то оно эквивалентно системе

(1.9.2) . В случае строгого неравенства получается следующая система:

p f(x) g(x), то оно эквивалентно совокупности систем

, (1.9.4)

Случай строгого неравенства рассматривается аналогично:

p, f(x) > g(x) ??(1.9.5)

Примеры решения задач

Пример 1.32. Решить уравнение

v x ? 2 = x ? 4.

Решение. Согласно (1.9.1) запишем эквивалентную систему

(x ? 4 > 0, x ? 2 = (x ? 4)2.

Из первого неравенства получаем x > 4. Решением квадратного уравнения являются значения x = 3 и x = 6. Из них условию x > 4 удовлетворяет лишь x = 6.

§1.9. Иррациональные уравнения и неравенства

Пример 1.33. Решить неравенство

v x + 61 0, ??

x + 5 >, ??x + 61 ?61,

?? x > ?5, =?

. ??x2 + 9x ? 36 > 0.

+ ? + ?12 ?5 3 x

Итак, x ? (3; +?).

Пример 1.34. Решить неравенство

v x ? 2 > x ? 3.

Решение. Неравенство эквивалентно совокупности систем, соглас-

,, =? Изображаем интервалы для первой и второй систем:

+ ? +

7? 5 3 7+ 5 2 2

2 Пример 1.35. Решить уравнение

v 1 ? 4x + 2 = p(2x + 1)2 ? 8x.

Решение. Так как в уравнении два квадратных корня, следует обратить внимание на подкоренные выражения. Так,

(2x + 1)2 ? 8x = (2x ? 1)2

является полным квадратом, а

p(2x ? 1)2 = |2x ? 1|.

Выражение, стоящее под первым знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

1 ? 4x > 0 =? .

При таком условии модуль раскрывается однозначно

|2x ? 1| = 1 ? 2x.

Исходное уравнение приобретает вид:

v 1 ? 4x = ?1 ? 2x,

следовательно,

(?1 ? 2x > 0, =?

1 ? 4x = (?1 ? 2x)2,.

Из решения квадратного уравнения находим два значения x = ?2, x = 0, однако x = 0 не удовлетворяет первому неравенству последней системы. Итак, уравнение имеет единственное решение x = ?2.

Задачи

Решить уравнения и неравенства:

§1.10. Показательные уравнения и неравенства

1.79. 1.80. 1.81.

1.82..

1.87. 1.88. 1.89.

1.90. §1.10 Показательные уравнения и неравенства

Если уравнение имеет простейший вид

af(x) = ag(x), (1.10.1)

то оно эквивалентно уравнению f(x) = g(x) при a > 0 и a 6= 1. При a = 1 решениями уравнения (1.10.1) являются все x, при которых f(x) и g(x) имеют смысл. При a 6 0 данное уравнение не рассматривается. Если показательное неравенство имеет простейший вид

af(x) > ag(x), то оно эквивалентно

f(x) > g(x) при a > 1, f(x) ag(x),

то оно эквивалентно f(x) > g(x) при a > 1, f(x) 6 g(x) при 0 1. Таким образом,

. + ? +

?1 0 1 t Итак, t ? (?1; 0) ? (0; 1).

Задачи Решить уравнения:

1.91. 1.92. 1.93.

1.94.

1. 95.. 1.96. Решить неравенства:

1.97. 1.100. . 1. 98.2t+1 t

1.101. 5 > 5 + 4.

1. 99.. · 4x + 2 · 25x 6 7 · 10x.

1.102. 5 §1.11 Логарифмические уравнения и неравенства

1.11.1 Свойства логарифмов

1. x = aloga x, x > 0, a > 0, a 6= 1.

2. loga a = 1. 3. loga 1 = 0.

4. loga(xy) = loga x + loga y, x > 0, y > 0.

§1.11. Логарифмические уравнения и неравенства

5.. 6. 7. . 8. .

9. .

Примеры решения задач

Пример 1.40. Упростив выражение, вычислить

51+log5 3. Решение. Воспользуемся свойством 1:

51+log5 3 = 5 · 5log5 3 = 5 · 3 = 15. Пример 1.41. Упростить выражение

. Решение. Воспользуемся свойствами 6 и 7:

. 1.11.2 Простейшие логарифмические уравнения

Уравнение loga f(x) = loga g(x)

эквивалентно любой из двух систем

или

,. Выбор системы при решении зависит от того, какое из первых неравенств проще.

Примеры решения задач

Пример 1.42. Решить уравнение

log5(2x + 3) = log5(x + 1).

Решение. Данное уравнение эквивалентно системе

, Полученная система решений не имеет. Пример 1.43. Решить уравнение

. Решение. Так как 3 = log2 23, то исходное уравнение можно переписать в виде следующей системы:

( 3 2 > 0,

x2 + 4x + 3 = 23,

Решением квадратного уравнения являются значения x = ?5 и x = 1.

Заметим, что решение эквивалентной системы, содержащей неравенство x2 + 4x + 3 > 0 было бы полезным упражнением, не являющимся, однако, необходимым для получения окончательного ответа.

Пример 1.44. Решить уравнение

3 + 2logx 3 = 2log3 x.

Решение. Так как x - в основании логарифма, то x > 0 и x 6= 1. Воспользуемся свойством 9 логарифмической функции:

Замена t = log3 x приводит к квадратному уравнению:

2t2 ? 3t ? 2 = 0.

§1.11. Логарифмические уравнения и неравенства

Его решения:

. Следовательно,

, Записываем решения: .

1.11.3 Простейшие логарифмические неравенства

Строгое логарифмическое неравенство

loga f(x) > loga g(x)

эквивалентно системе

если a > 1 ,

или системе

если 0 loga g(x)

эквивалентно системам

припри 0 ?2.

Решение. Представим правую часть в виде ?2 = log1/3 9, таким образом, исходное неравенство запишем в простейшем виде:

log1/3(5 ? 2x) > log1/3 9.

Решим эквивалентную систему, записывая которую учтём, что :

. Таким образом, x ? (?2; 5/2).

Задачи Вычислить:

1.103. 1.104. 1.105..

Решить уравнения:

1.106.

1. 107.. 1.108. lg2 10y + lgy = 19.

1.109. 1.110. 1. 111..

Решить неравенства:

1.112. log0,5 t > log2(3 ? 2t).

1.113. lgt + lg(t ? 1) x1 следует неравенство f (x2) > f (x1).

Аналогично, функция f(x) называется убывающей на множестве D значений её аргумента, если для любых двух элементов x1 и x2 этого множества, таких, что x2 > x1, выполнено f (x2) 0, если f(x+ + T) ? f(x).

Функция f(x) на симметричной относительно O области D чётна, если f (?x) ? f (x). График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция f(x) на симметричной относительно O области D нечётна, если f (?x) ? ?f (x). Графики нечётных функций обладают центральной симметрией относительно начала координатной системы.

Для определения понятия элементарной функции сначала введём так называемые основные элементарные функции. Приводим их список: тождественная константа f(x) ? c, x ? (??; +?); степенная функция f(x) = xp, p 6= 0; показательная функция f(x) = ax при a > 0, a = 16; логарифмическая функция f(x) = loga x при a > 0, a 6= 1; тригонометрические функции: f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tgx, f(x) = ctgx; обратные тригонометрические функции: f(x) = arcsinx, f(x) = arccosx, f(x) = arctgx, f(x) = arcctgx.

При формировании выражений других элементарных функций используются лишь функции из указанного списка. Также допускаются арифметические действия, то есть сложение, вычитание, умножение и деление. Таким образом, элементарными называются функции, задаваемые одной формулой с помощью конечного числа арифметических действий и операций, определяемых основными элементарными функциями.

Область определения элементарной функции в каждом конкретном случае задаётся выражением этой функции. Её составляют все точки, в которых это выражение имеет смысл. Иначе говоря, глядя на конкретную элементарную функцию y = f(x), мы должны понимать, что область её определения D(f) составляют все точки x, в которых можно вычислить значение y = f(x), то есть в процессе вычисления не возникает деления на нуль, отрицательных чисел под знаком квадратного корня, отрицательных выражений и нуля под знаком логарифма и т. п.

Композицией функций y = f (u), u = 3(x) называется функция y = = f (3(x)), при этом функция u = 3(x) называется промежуточным аргументом или промежуточной функцией.

Область определения D: x ? R, область значений E: y ? R при k 6= 0 и E: y ? {b} при k = 0. График - прямая линия. b - точка пересечения с осью

Oy; k - угловой коэффициент наклона, равный тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси Ox: k = tg?.

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, a 6= 0.

Область определения функции - все действительные числа. График - парабола, её расположение зависит от коэффициентов a, b и c. Можно выделить 6 случаев. Обозначим D = b2 ? 4ac.

1) a > 0, D > 0. У такой параболы ветви направлены вверх, и существуют две точки x1 и x2 пересечения с осью Ox:

. 2) a > 0, D = 0. У такой параболы ветви направлены вверх и существует одна точка xв касания с осью Ox:

. 3) a > 0, D 0. У такой параболы ветви направлены вниз и существуют две точки x1 и x2 пересечения с осью Ox:

. 5) a > 0, D = 0. У такой параболы ветви направлены вниз и существуют одна точка xв касания с осью Ox:

. 6) a > 0, D 0 это точка минимума, в случае a 0.

В данном случае графики обратных функций являются симметричными относительно биссектрисы I координатной четверти. Таким образом, для построения графика следует отразить относительно прямой y = x правую часть графика функции y = x2. Область определения D: x > 0, область значений

> . Функция кубического корня

Данная функция является обратной к функции y = x3.

Область определения D: x ? R, область значений E: y ? R. Функция нечётная, возрастает на всей области определения.

Рассмотрим два случая:

1) a > 1. Область определения D: x ? R, область значений E: y > 0. Функция общего вида, возрастает на всей области определения. График функции имеет асимптоту - ось Ox.

x Область определения D: x ? R, область значений E: y > 0.Функция общего вида, убывает на всей области определения. Асимптота графика функции - ось Ox.

x Логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a 6= 1.

Логарифмическая функция является обратной к показательной.

Рассмотрим два случая.

1) a > 1. Область определения D: x ? (0; +?), область значений E: y ? R. Функция общего вида, возрастает на всей области определения. Асимптота графика функции - ось Oy.

2) 0 0. Следовательно, D(f1) = = (??; 1) ? (1; +?), D(f2) = [0; +?).

Ответ: D(y) = D(f1) ? D(f2) = [0; 1) ? (1; +?).

Пример 1.55. Найти область определения функции

f(x) = arcsinx · lg(log2 x).

Решение. Область определения первого сомножителя D(f) = [?1; 1].

Второй сомножитель существует при условиях:

( log2 x > 0 =? x > 1. x > 0

Иначе, x ? (1; +?).

Видим, что [?1; 1] ? (1; +?) = ?.

Вывод: выражение arcsinx · lg(log2 x) функцию не определяет. Пример 1.56. Найти область определения функции

q f(x) = arccosx · log0,5 x.

Решение. В этом примере областью определения первого сомножителя служит отрезок [?1; 1]. Далее решаем неравенство log0,5 x > 0 =? 0 0.

Решим его методом интервалов, согласно которому сначала следует решить уравнение

x4 ? 6x3 + 8x2 = 0 ? x2(x2 ? 6x + 8) = 0,

следовательно,

x2 = 0 или x2 ? 6x + 8 = 0.

Таким образом, x1 = 0, а x2, x3 являются корнями указанного квадратного уравнения:

. Теперь мы можем наше неравенство записать в виде

x2(x ? 2)(x ? 4) > 0.

Видим, что неравенству удовлетворяют все значения x ? (??; 0) ? ? (0; 2) ? (4; +?).

v Пример 1.58. Найти область определения функции f(x) = 1+ ?x2. Решение. Область определения находим из неравенстваv ?x2 > 0.

Функция f(x) = 1 + ?x2 определена только в нуле. Таким образом, D(f) = {0}.

Пример 1.59. Составить расчётные выражения для вычисления зна-3 + vx в точках x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4. Найти чений функции f(x) = x f(a2), f(3t + 5), f(10x).

Решение. Напоминаем, что функциональный знак служит символом процедуры, перерабатывающей (преобразующей или отображающей) значение аргумента x в соответствующее значение функции y = f (x). Рекомендуем внимательно относиться к тому, что именно в каждом конкретном случае обозначает функциональный знак, то есть выработать привычку по заданному выражению f (x) определять те действия над x, которые приводят к соответствующему значению. В левой части равенства видим заключённую в скобки переменную x. В правой части эта переменная возводится в третью степень, затем из переменной извлекается арифметический корень, затем результаты складываются. Таким образом, в этом примере "наполнение" функционального знака составляют операции: возведение в куб, извлечение корня и сложение полученных результатов. Все это применяется к величине, указанной в скобках рядом с функциональным знаком f. Областью определения данной функции служит множество всех неотрицательных чисел, то есть D(f) = [0; +?). Соответственно

v 3

f(0) = 0 + 0 = 0,

v 3 f(1) = 1 + 1 = 2, v

3 f(4) = 4 + 4 = 64 + 2 = 66.

Так же просто получаются выражения:, это выражение определено при всех a ? (??;+?);

3 v

f(3t + 5) = (3t + 5) + 3t + 5,

здесь ; ,

эта функция определена на всей числовой оси, x ? (??;+3 +?v).x величину

Во всех трёх случаях в исходном выражении f(x) = x x заменили на соответствующую функцию: в первом случае на a2, во втором на 3t+5, в третьем вместо x подставили 10x. Иначе говоря, составили три композиции функций или, как ещё говорят, три сложных функции.

функцияВ приведённых выше сложных функциях первое звено общее. Этоf(u) = u v 2,

3 + u. Промежуточные аргументы разные: u = a

u = 3t+5 и u = 10x. Так же естественно формируются сложные функции и с большим числом звеньев.

v Пример 1.60. Дана функция f(x) = x2 + 1. Найти f(0), f(?3), f(?x), f(x + 3), f (f(x)).

Решение. В этом примере функциональный знак f служит обозначением следующего алгоритма:

1. Заключённое в скобках выражение (в данном случае это величина x) возводится в квадрат.

2. К полученному результату добавляется единица.

3. Из суммы извлекается арифметический квадратный корень.

p 2 + 1 = 1, f(0) = 0

v f(?3) = p(?3)2 + 1 = 10,

f(?x) = p(?x)2 + 1 = px2 + 1

, v Пример 1.61. Составить композицию функций y = 3 u, u = sinv, v = lgx.

Решение. В выражение u = sinv вместо v подставим v = lgx.

Получимv u = sinlgx, а затем полученное значение uподставим в y = = v3 u. Композиция этих функций записывается следующим образом: y = = 3 sinlgx. Она определена при всех x ? (0; +?).

v 3

Пример 1.62. Сложную функцию y = (log3 tg x) разложить в це-

почку элементарных функций.v 3

Решение. Обозначим x через t, тогда получим y = (log3 tgt) . Далее примем tgt = u, имеем y = (log3 u)3. Если обозначить log3 u = v, то y =

v = v3. Таким образом, сложную функцию y = (log3 tg x)3vможно записать в виде цепочки равенств: y = v3, v = log3 u, u = tgt, t = x. Пример 1.63. Определить, являются ли функции

и u(x) = x · 3?x

чётными, нечётными или имеют общий вид.

Решение. а) Область определения функции f (x) симметрична относи-

тельно начала координат: (??,+?). Вычислим f(?x) = ?x·p3 sin(?x) =

v = x · 3 sinx = f (x). Функция чётная, поскольку выполнено равенство f (?x) ? f (x);

б) Функция определена при x ? (??; ?1) ? (?1; 1) ?

(1; +?). . Функция t(x) нечётна, так как t(?x) ? ?t(x);

в) Функция u(x) = x · 3?x имеет область определения D(u) = = (??,+?). u(?x) = ?x · 3?(?x) = ?x · 3x. Это функция общего вида, поскольку не выполняется ни одно из равенств u(?x) ? ?u(x) или u(?x) ? u(x).

Пример 1.64. Найти наименьший положительный период функции

. Решение. Для периодической функции выполняется равенство f(x + T) ? f(x).

Найдём . Поскольку наименьший положительный период функции sinx равен 2?, то требуемое условие будет выполнимо при , откуда T = 8?. Пример 1.65. Построить график функции

y = x2 + 4x + 7.

Решение. Чтобы построить график функции с помощью сдвига, необходимо в выражении x2 + +4x+7 выделить полный квадрат:

x2 + 4x + 7 = = x2 + 2 · 2x + 4 + 3 =

= (x + 2)2 + 3. Следовательно, y = (x + 2)2 + 3 и базовым графиком будет график функции y = x2. Так как к x прибавляется 2, то производится сдвиг базового графика влево на 2 единицы и, кроме того, так как к функции (x+2)2 прибавляется 3, происходит сдвиг на 3 единицы вверх.

Пример 1.66. Построить график функции

y = x2 ? 4x + 1.

Решение. Выделим полный квадрат:

x2 ? 4x + 1 = = x2 ? 4x + 4 ? 3 =

= (x ? 2)2 ? 3.

График базовой функции y = x2 будет сдвигаться вправо на 2 единицы, затем вниз на 3 единицы.

Пример 1.67. Построить график функции

. Решение. Для построения графика с помощью сдвига надо выделить

базовую функцию :

. Следовательно, график базовой функции y = 1/x сдвигается на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Пример 1.68. Построить график функции

y = sin4 x + cos4 x. Решение. Необходимо преобразовать выражение

Этапы построения:

1. y = cosx. 2. y = cos4x - сжатие вдоль оси Ox по направлению к оси Oy.

3. - сжатие вдоль оси Oy по направлению к оси Ox.

4. - сдвиг вверх на единицы.

Задачи

Выяснить, какие из уравнений явно определяют y как функцию от x; неявно определяют y как функцию от x; не определяют y как функцию от x; определяют x как функцию от y:

1.127. y = x2. 1.128. x2 + y2 = 1.

1.129. x = y2. 1.130. xy = 1.

1.131. x + y = 1.

Найти область определения функций:

1.132.1.138.. 1.133.1.139.

1.134.1.140. 1.135.1.141.

1. 136..

1.142. 1.137. 1.143. f(x) = lgx + log3(7 ? x).

1.144. 1. 145..

1.146. 1.147. 1.148. f(x) = lnx2.

1.149.

1.150. 1. 151..

1.152. По данной функции сформировать указанные выражения:

1.153. f(x) = x2 ? 3x + 4.

Найти.

1.154. . Найти.

1.155. . Найти .

Составить композицию функций:

1.156.

1.157. 1.158. 1.159..

Сложную функцию разложить в цепочку элементарных функций:

1.160. 1. 161..

1.162.

1.163. Определить, является ли функция чётной, нечётной или имеет общий вид:

1.164. f (x) = x + tgx. 1.169.

1.165. f (x) = x · sinx ? x3. 1.170..

1.166. f (x) = x4 + x3. 1.171. .

1.167. . 1.172. .

1.168. . 1.173. Найти наименьший положительный период функции:

1.174.1.177. 1.175.1.178.

1.176.1.179..

Построить графики функций с помощью геометрических преобразований:

1.180.1.185. 1.181.

1.182.1.186. 1.183.1.187.

1.184.1.188.

1.189. 1.190. 1.191.

1.192. Построить графики функций с помощью сдвига:

1.193. y = x2 + 4x + 1. 1.194. y = x2 ? 4x + 7.

1.195. .

1.196. . 1.197. y = 8(cos6 x + sin6 x).

Укажите число корней каждого из уравнений:

1.198. 1.199. 1.200.

1.201.

1.202.. 1.203. 1.204.

§1.15. Числовая последовательность

§1.15 Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, рассматриваемая на множестве натуральных чисел N = {1, 2, 3, ...}. Значения функции нумеруются соответствующими значениями аргумента и называются членами последовательности.

Если последовательность определяет функция f (n), то a1 = f (1), a2 = = f (2), ... ,an = f (n), ... - члены данной последовательности. При этом выражение f (n) = an называется общим членом последовательности. Последовательность обычно представляется в виде пронумерованного множества её членов: {a1, a2, a3, ...,an,...}. Используются и более краткие обозначения: {an} или {an : n ? N}.

Пример 1.69. Выписать несколько первых членов последовательности с общим членом.

Решение. В формуле, задающей общий член последовательности, положим n = 1, 2, 3, 4, .... При n = 1 получим a1 = 1, при n = 2 имеем

. Если n = 2, то и т. д. Таким образом, последовательность можно записать

. Пример 1.70. Написать формулу общего члена последовательности, если известны несколько её первых членов: .

Решение. Руководствуясь тем, что каждый член последовательности зависит от своего номера, необходимо эту зависимость установить. Здесь

и т. д.

Следовательно, общий член последовательности .

Задачи Выписать несколько первых членов последовательности с общим членом an:

1.205. 1.206. 1. 207..

1.208. an = lgn.

1.209. an = (?1)n sinn.

1.210. . Написать формулу общего члена последовательности, если известны несколько её первых членов:

1.211. 1.212. 1.213.

1.214.

1.215. 1.216. 1.217.

1.218. 1.219. 1.220.

Тема 2 Предел функции

§2.1 Последовательности. Определение предела последовательности

Число a называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого ? > 0 существует такое натуральное N(?), что для всех n > > N(?) верно неравенство |an ? a| 0, ?N(?) ? N, ?n > N : |an ? a| ?

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. Если не существует, в частности, если an > ?, то последователь-

ность {an} расходится.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Доказать, что

. Решение. Используем определение предела числовой последовательности. Число 5/2 называется пределом последовательности с общим чле-

ном , если

Решим это неравенство относительно n:

. Из этого неравенства выражаем n:

. В качестве номера N выбираем первое натуральное число, находящееся на числовой оси справа от . Итак,

. Здесь выражение обозначает целую часть числа .

Задачи Доказать, что числовая последовательность с общим членом {an} имеет предел, равный a. Указать номер N(?):

2.1.2.4. 2.2.2.5.

2.3.. 2.6.. §2.2 Определение предела функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого ? > 0 найдётся такое число ?(?) > 0, что для всех x из области определения функции, удовлетворяющих условию 0 a

?? > 0, ??(?) > 0, ?x ? D(f) : 0 ?, если для любого положительного числа ? найдётся такое число ?(?) > 0, что при всех x из области определения функции, удовлетворяющих условию |x| > > ?, выполняется неравенство |f(x) ? b| 0, ??(?) > 0, ?x ? D(f) : |x| > ? ? |f(x) ? b| +? или x > ??.

Бесконечно малые, бесконечно большие и ограниченные функции. Функция f(x) называется бесконечно малой при x > a, если предел этой функции в указанной точке равен нулю:

lim f(x) = 0.

x>a Функция называется бесконечно большой в точке a, если при любом M > 0 можно указать окрестность точки a, в которой при всех допустимых x 6= a выполняется неравенство |f(x)| > M.

Функция f(x), определённая на некоторм множестве D, называется ограниченной на этом мнолжестве, если существует такое число M > 0, что для всех x ? D выполняется неравенство |f(x)| 6 M.

Теоремы о пределах

1. Предел элементарной функции в любой точке из области её определения существует и равен значению функции в этой точке:

. 2. Предел суммы функций равен сумме пределов слагаемых, если пределы слагаемых существуют.

3. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, если пределы сомножителей существуют.

4. Предел отношения функций равен отношению пределов числителя изнаменателя, если оба эти предела существуют и предел знаменателя отличен от нуля.

5. Если существуют пределы

lim 3(x) = b и limf(u) = c, x>a u>b

то существует предел композиции функций, равный c:

6. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой.

7. Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.

8. Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

9. Сумма бесконечно больших величин одного знака является бесконечно большой того же знака.

10. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию бесконечно мало.

11. Произведение бесконечно малой на функцию, имеющую предел, бесконечно мало. В частности, произведение двух бесконечно малых бесконечно мало; произведение бесконечно малой на константу бесконечно мало.

12. Произведение бесконечно большой на функцию, имеющую отличныйот нуля предел, является бесконечно большой. В частности, произведение бесконечно большой на отличную от нуля константу является бесконечно большой.

13. Произведение двух бесконечно больших является бесконечно большой функцией.

Односторонние пределы. Пусть слева от точки a имеются в любой близости от неё и не совпадающие с ней точки области определения функции f(x). Левосторонним пределом функции f(x) в точке a называется предел этой функции в точке a при дополнительном условии x 0, ??(?) > 0, ?x ? D(f) : a ? ? 0, ??(?) > 0, ?x ? D(f) : a 2 существует и равен 7.

Пример 2.3. Вычислить предел

. Решение. Функция f(x) = 2x2+3x?4 является многочленом, т. е. элементарной функцией. Область её определения составляют все действительные значения x: x ? (??;+?). Предельное значение аргумента x > ?1 принадлежит области определения функции, поэтому для вычисления предела нужно просто подставить значение x = ?1 в выражение :

. Аналогично будем поступать в каждом случае, когда предельное значение аргумента будет принадлежать области определения элементарной функции.

Пример 2.4. Вычислить предел

. Решение. Функция, стоящая под знаком предела, является элементарной с областью определения (??;4)?(4;+?). Предельное значение аргумента x > 0 принадлежит этой области, следовательно, значение предела равно значению функции в точке x = 0:

. Пример 2.5. Вычислить предел

. Решение. Значение x = ?3 не принадлежит области определения функции, поэтому вычисление предела не сводится к подстановке x = = ?3 в эту функцию. Будем рассматривать данную дробь как отно-v

шение функции f(x) = x + 4 к функции g(x) = x + 4 и воспользуемся теоремой о пределе частного двух функций. Заметим, что когда x > ?3, f(x) > 1, т. е. числитель стремится к единице, в это же время g(x) > 0. Это означает, что знаменатель является бесконечно малой функцией при x > ?3. Символически отношение рассматриваемых функций можно записать как . По свойству пределов величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, значит,

. Пример 2.6. Вычислить предел

. Решение. При x > ? величина x2 является бесконечно большой, по-

этому бесконечно мала: при x > ?. При этом же условии предельного перехода . По свойству предела суммы функций получим:

. Пример 2.7. Вычислить односторонние пределы

. Решение. Сначала вычислим правосторонний предел

. При x > 5 + 0 знаменатель - бесконечно малая функция с положительным знаком:

(x ? 5) > +0 при x > 5 + 0.

Таким образом, функция является бесконечно большой положительной величиной:

. Аналогично вычисляется левосторонний предел:

. Задачи Доказать, что предел функции существует и равен указанному числу. Найти ?(?):

2.7.2.9. 2. 8.. 2.10..

Вычислить пределы:

2.11. . 2.18. .

2.12. 2.19. 2.13.

2.20.. 2.14. 2.21.

2.15. 2.16. . 2.22. .

2.17. 2.23. .

Вычислить односторонние пределы:

2.24. 2.28. . 2. 25..

2.29. . 2.26. 2.27. 2.30. .

§2.3 Пределы рациональных функций

Пусть функция f(x) представлена в виде

, где P(x) и Q(x) - многочлены, т. е. f(x) записана в виде рациональной дроби.

Если при x > x0 рациональная дробь является отношением двух бесконечно малых, то для вычисления предела следует разложить числитель и знаменатель на множители, выделив . После сокращения на этот множитель проверяем, к чему теперь стремятся числитель и знаменатель при x > x0. В случае отсутствия неопределённости вида выписываем

ответ.

Если вычисляется предел рациональной функции на бесконечности, то её следует преобразовать к отношению многочленов и сравнить степени числителя и знаменателя. Если степень числителя превышает степень знаменателя, то при x > ? рациональная дробь стремится к бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то при x > ? дробь бесконечно мала, т. е. имеет равный нулю предел. При равенстве степеней числителя и знаменателя предел рациональной дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях x числителя и знаменателя.

Примеры решения задач

Пример 2.8. Вычислить предел

. Решение. Подстановка предельного значения аргумента x = 1 пока-

зывает, что рациональная дробь при x > 1 является от-

ношением двух бесконечно малых. Для вычисления предела необходимо преобразовать данную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе сначала вынесем за скобку общий множитель x, а затем квадратный трёхчлен разложим на множители по формуле

ax2 + bx + c = a(x ? x1)(x ? x2),

где x1 и x2 - корни квадратного трёхчлена. Итак, преобразуем числитель:

. Значение x = 1 является корнем знаменателя, поэтому многочлен x3 ? 3x2 + 2 делится без остатка на (x ? 1):

x3 ? 3x2 + 2 x ? 1

? x3 ? x2 x2 ? 2x ? 2

? 2x2 ? ? 2x2 + 2x

? 2x + 2 ? ? 2x + 2

0 Заметим, что квадратный трёхчлен x2 ? 2x ? 2 можно разложить на линейные множители, поскольку он имеет положительный дискриминант и, соответственно, имеет действительные корни, но при x > 1 выражение x2 ? 2x ? 2 стремится к (?3) и не даёт никакой неопределённости, поэтому нет необходимости переписывать его в виде произведения линейных множителей. Вернёмся к вычислению предела:

. Пример 2.9. Вычислить предел

. Решение. При x > 1являются бесконечно боль-

шими функциями одного знака, т. к. при x > 1 + 0

, а при x > 1 ? 0

. Таким образом, под знаком предела стоит разность бесконечно больших величин одного знака или, как ещё говорят, имеет место неопределённость вида (???). Для её раскрытия преобразуем выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

. Как видим, произошёл переход от разности двух бесконечно больших функций к отношению бесконечно малых. Сокращая скобку (x?1), избавляемся от неопределенности и приближаемся к ответу:

. Пример 2.10. Вычислить предел

. Решение. Сначала рассмотрим случай ??. При x > ??

x4 > +?, x3 > ??.

Рассматривается сумма бесконечно больших положительных функций: +? ? (??) = +? + ? = +?. Итак, в пределе получим бесконечно большую величину.

Когда x > +?

x4 > +?, x3 > +?.

В этом случае под знаком предела находится разность бесконечно больших функций одного знака: ???. Выполним следующие преобразования: вынесем за скобки старшую степень x и перейдём к пределам в бесконечно удалённой точке:

, так как при x > +?

. Пример 2.11. Вычислить предел

. Решение. Предел будем вычислять одновременно и для +?, и для ??:

. В этом примере определяющую роль знак x3:

x > +?, x3 > +?, x > ??, x3 > ??, в то время как при x > ±?

. Вообще, любой многочлен степени, большей нуля, в бесконечно удалённой точке является бесконечно большой величиной, знак которой определяется знаком старшей степени многочлена. Пример 2.12. Вычислить предел

. Решение. Рациональная дробь под знаком предела при x > ? представляет собой отношение двух бесконечно больших функций:

x3 + 3x + 5 > ?, x ? 1 > ?.

Теорема о пределе частного неприменима. Вынесем за скобки в числителе и в знаменателе старшие степени многочленов и выполним сокращение:

. Пример 2.13. Вычислить предел

. Решение.

. Пример 2.14. Вычислить предел

. Решение.

. Задачи Вычислить пределы:

2.31.2.37. 2.32.2.38.

2.33.2.39.

2.34.2.40.. 2.35.2.41. 2.36.. 2.42. .

2.43. 2.44. 2.45.

2.46. 2.47. 2.48.

2.49.

2.50. 2.51. 2.60.

2.61. 2.62. §2.4 Пределы иррациональных функций

Предположим, что требуется вычислить предел иррациональной функции при x > x0. Если при этом условии возникает отношение двух бесконечно малых, то, как правило, числитель и знаменатель домножают на такое выражение, которое позволяет избавиться от иррациональности, приводящей к неопределённости, с помощью формул сокращенного умножения. Дальнейшие действия известны: выделение, а затем и сокращение, множителя, являющегося бесконечно малой функцией при x > x0.

Если рассматривается отношение бесконечно больших иррациональных функций, то действует правило вынесения старшей степени за скобки, как и в случае рациональных дробей на бесконечности.

Если при вычислении предела иррациональной функции рассматривается разность или сумма бесконечно больших функций, то следует обратить внимание на знаки этих функций. В случае, если эти функции разного знака, т. е. неопределённость имеет вид (???), то необходимо её преобразовать в неопределённость вида , домножив и разделив на некоторое выражение, позволяющее применить формулу сокращённого умножения. Если бесконечно большие функции имеют одинаковый знак, то ответ очевиден.

Примеры решения задач

Пример 2.15. Вычислить предел

. Решение. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента показывает, что под знаком предела отношение двух бесконечно малых. Теорему о пределе частного применить нельзя. Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, преобразуем данную дробь, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю:

. К числителю применим формулу сокращённого умножения

(a ? b)(a + b) = a2 ? b2.

В итоге после сокращения на x 6= 0 и подстановки предельного значения аргумента получим:

. Пример 2.16. Вычислить предел

. Решение. В этом примере, как и в предыдущем, имеет место отношение двух бесконечно малых при x > 1. Чтобы разложить числитель и знаменатель на множители, предварительно освободимся от корня третьей степени в знаменателе. Для этого всё выражение домножим и поделим наv

неполный квадрат суммы a2+ab+b2, составленный для a = 3 x + 7 и b = 2.

Далее воспользуемся формулой

. Итак, . В результате сокращения на x ? 1 6= 0 получим:

. Пример 2.17. Вычислить предел

. Решение. Требуется вычислить предел отношения двух бесконечно больших функций при x > +?. Вынесем за скобки старшие степени числителя и знаменателя и выполним сокращение:

. Здесь принято во внимание, что при x > +?

. При этом выражение в числителе, стоящее в скобках, стремится к 2, а знаменатель к 1. Итак, данный предел стремится к +?. Пример 2.18. Вычислить предел

. Решение. В этом примере рассматривается отношение бесконечно больших. Оба предела при x > +? и при x > ?? будем находить одновременно. Вынесем за скобки старшие степени числителя и знаменателя:

. Здесь учтено, что

v x2 = |x|.

Напоминаем определение модуля:

при x > 0, =

?x, при x ??:

. Как видим, ответы получились для разных случаев бесконечности разные.

Пример 2.19. Вычислить предел

. Решение. Выражение под знаком предела представляет собой разность двух бесконечно больших положительных функций при x > +?, поэтому имеется неопределённость вида (? ? ?), не позволяющая применить теорему о пределе разности. В этом случае необходимо домножить и разделить на выражение, сопряжённое данному:

. Получили другой вид неопределённости, для которого поступаем так же, как в предыдущем примере:

. Пример 2.20. Вычислить предел

. Решение. В этом примере, как и в предыдущем, возникает неопределённость из-за разности бесконечно больших функций одного знака.

Выражение под знаком предела домножим и поделим на неполный квад-v v

рат суммы a2 + ab + b2, где a = 3 x + 1 и b = 3 x ? 1. Теперь по формуле

преобразуем предел:

. Задачи Вычислить пределы:

2.63.2.69.. 2.64.2.70.

2.65.2.71. 2.66.2.72.

2.67.2.73. 2.68.. 2.74.

2.75. 2.76. . 2.77.

2.78. 2.79. 2.80.

2.81. 2.82. 2.92.

2.93.

2.94. 2.95. 2.96.

2.97. 2.98. 2.99..

2.100. 2.101. 2.102.

2.103.

§2.5 Основной тригонометрический предел

В основном тригонометрическом пределе рассматривается отношение двух бесконечно малых sinx и x при x > 0:

. На практике при вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, чаще используют следствия из основного тригонометрического предела. Пусть при некотором условии предельного перехода x > x0 функция ?(x) является бесконечно малой. Тогда

, ,

, . Примеры решения задач

Пример 2.21. Вычислить предел

. Решение. Рассмотрим неопределённость, появляющуюся при отношении двух бесконечно малых при x > 0, с помощью основного тригонометрического предела. Домножим и разделим выражение под знаком предела на 6, тогда роль бесконечно малой ?(x) при x > 0 будет играть 6x. Воспользовавшись теоремами о пределах, вынесем коэффициент 6 из числителя за знак предела. Итак,

. Пример 2.22. Вычислить предел

. Решение. В этом примере также рассматривается отношение двух бесконечно малых. В качестве функции ?(x) в основном тригонометрическом пределе выступает выражение под знаком тангенса, т. е. (x ? 7). Чтобы получить это выражение в числителе, разложим квадратный трёхчлен на множители. Очевидно, одним из этих множителей должна быть скобка (x?7), т. к. числитель равен нулю при x = 7, значит, это один из корней указанного квадратного трёхчлена:

. Выражение (x+1) стремится к восьми, когда x стремится к семи, поэтому

. Пример 2.23. Вычислить предел

. Рассматривая отношение двух бесконечно малых при x > ?1

в данном примере, применим основной тригонометрический предел трижды: один раз к тангенсу и дважды к квадрату синуса. Для этого одновременно домножаем и делим дробь на произведение (2x2 +x?1)(x+1)2:

. В этом пределе

, . В результате переходим к пределу

, в котором числитель и знаменатель рациональной дроби бесконечно малы, поэтому разложим квадратный трёхчлен на множители:

. Таким образом,

. Пример 2.24. Вычислить предел

. Числитель и знаменатель дроби бесконечно малы при x > 0. Разложим числитель на скобки по формуле разности кубов:

. Формально применим теорему о пределе произведения:

. Второй предел равен 3. Покажем, что первый предел существует. Числитель заменим, воспользовавшись тригонометрической формулой

, тогда

. Для квадрата синуса домножаем и делим дробь на , а для тангенса - на 9x. Затем используем основной тригонометрический предел, а после этих операций произведём сокращения:

. Итак, данный предел был представлен в виде произведения пределов, первый из которых равен , а второй равен 3. Теперь можно утверждать, что исходный предел существует и равен . Пример 2.25. Вычислить предел

. Применение основного тригонометрического предела к дан-

ному отношению двух бесконечно малых при невозможно.

Произведём замену, положив . Обратим внимание, что при выполняется y > 0. Итак,

. Задачи Вычислить пределы:

2. 104.. 2.111. 2.105.2.112.

2.106. . 2.113. .

2.107.2.114. 2.108. 2.115. . 2.109.. 2.116..

2.110. . 2.117.

2. 118.. 2.133.

2.119. .

2.134. 2. 120..

2.135. 2.121. 2.136.

2.122. 2.137. 2.123. 2.138.

2.124..

2.139. 2.125.. 2.140.

2.126.. 2.141. 2.127.2.142.

2.143. 2.128. 2.144.

2.129.

2.145.. 2.130.2.146.

2.131.2.147. 2.148.

2. 132.. 2.149. . 2.153.

2.150.. 2.154..

2.151.2.155. 2.152.2.156.

§2.6 Основной показательный предел

Рассматривается неопределённость вида единица в бесконечной степени при x > ?:

Иная форма записи этого предела:

lim (1 + x)1/x = e.

x>0 При вычислении пределов часто используют обобщения основного показательного предела. Пусть при некотором условии предельного перехода x > x0 функция f(x) является бесконечно большой, соответственно, - бесконечно мала. Тогда

Если же при x > x0 функция f(x) является бесконечно малой, что означает стремление к бесконечности, то

lim (1 + f(x))1/f(x) = e.

x>x0 §2.6 Основной показательный предел

Важное практическое значение имеют и следствия из основного показательного предела, в которых предполагается, что при x > x0 имеет место f(x) > 0:

, . Примеры решения задач

Пример 2.26. Вычислить предел

. Решение. Вычислим предел основания показательно-степенной функции:

. В показателе выражение (x+1) стремится к бесконечности при x > ?. Таким образом, в данном пределе имеет место неопределённость вида .

Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела, так, чтобы можно было применить теорему об основном показательном пределе. Для этого в основании добавим и вычтем единицу:

. В основании степени получили сумму единицы и бесконечно малой при x > ? функции . Теперь показатель степени умножим и раз-

делим на величину, обратную этой бесконечно малой:

. Выражение в квадратных скобках есть основной показательный предел, равный e. Таким образом, получили предел функции, в котором можно перейти к пределу в показателе, воспользовавшись свойством непрерывности экспоненты:

Пример 2.27. Вычислить предел

. Решение. Сначала вычислим предел основания:

. Таким образом, основной показательный предел неприменим:

. Пример 2.28. Вычислить предел

. §2.6 Основной показательный предел

Решение. При подстановке x = 0 в функцию под знаком предела убеждаемся, что имеет место неопределённость (1?). Представим основание степени в виде суммы единицы и бесконечно малой:

. Итак, (cos5x ? 1) > 0 при x > 0. Показатель степени домножим и разделим на выражение (cos5x ? 1):

. Теперь к выражению в квадратных скобках можно применить основной показательный предел:

. Отдельно вычислим предел показателя степени:

. Вернёмся к исходному пределу:

. Задачи Вычислить пределы:

2.157. . 2.158. .

2. 173..

2.159. 2.174. 2.160. 2.175. lim (cosx)1/tg2x2.

x>0 2.161.2.176.

2.162. 2.177.. 2.163.2.178.

2.164.2.179.

2.165.2.180. 2.166.

2.181. 2.167.2.182.

2.183.. 2. 168..

2.184.

2.169. 2.185.. 2.170.

2.186. 2.171. 2.187.

2.172. 2.188. . §2.7. Сравнение бесконечно малых

2.189..

2.190. 2.191. 2.192.

§2.7 Сравнение бесконечно малых

Пусть функции ?(x) и ?(x) бесконечно малы при общем условии предельного перехода x > a:

lim ?(x) = 0 и lim ?(x) = 0. x>a x>a

Функция ?(x) называется бесконечно малой высшего порядка по отношению к бесконечно малой ?(x), если

. В этом случае используется обозначение: . При этом ?(x) называется бесконечно малой низшего порядка по отношению к ?(x).

Функции ?(x) и ?(x) называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения существует и не равен нулю:

. В частном случае, когда предел этого отношения равен единице, бесконечно малые ?(x) и ?(x) называются эквивалентными бесконечно малыми:

. Для обозначения эквивалентности бесконечно малых используется следующая символика:

?(x) ? ?(x), ?(x) > 0, ?(x) > 0 при x > a.

На практике при вычислении пределов часто бесконечно малые заменяют им эквивалентными с целью упростить выражения, стоящие под знаком предела. Примеры эквивалентных бесконечно малых можно обнаружить в основном тригонометрическом и основном показательном пределах и в их обобщениях, а также и в следствиях. Будем считать, что функция ?(x) бесконечно мала при некотором условии предельного перехода x > a, тогда:

. Наконец, функция ?(x) называется бесконечно малой порядка n по отношению к бесконечно малой функции ?(x), если ?(x) и ?n(x) - бесконечно малые одного порядка, т. е.

. Примеры решения задач

Пример 2.29. Сравнить бесконечно малые при x > 0 функции

v ?(x) = 1 ? x + 1 и ?(x) = x.

Решение. Вычислим предел отношения бесконечно малых:

. Результат показывает, что при x > 0 бесконечно малые ?(x) и ?(x) - одного порядка.

Пример 2.30. Сравнить бесконечно малые при x > 2 функции

v ?(x) = x ? 2 и ?(x) = x2 ? 4.

Решение. .

Итак, можно утверждать, что при x > 2 бесконечно малая ?(x) низшего порядка по сравнению с ?(x).

Пример 2.31. Сравнить бесконечно малые при x > ? функции

. Решение.

, т. к. степень числителя меньше степени знаменателя.

Таким образом, при x > ? бесконечно малая ?(x) - более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой ?(x), или ?(x) =

. Пример 2.32. Сравнить бесконечно малые при x > 0 функции

?(x) = sin2 x и ?(x) = 2 ? 2cosx.

Решение. .

Как видим, предел отношения бесконечно малых при x > 0 существует и равен единице, т. е. эти бесконечно малые эквивалентны:

?(x) ? ?(x).

Пример 2.33. Определить порядок малости при x > 0 функции ?(x) = x4 + 7x3 по отношению к ?(x) = x.

Решение. Рассмотрим предел отношения ?(x) и ?n(x) при x > 0:

При n = 3 этот предел конечен и равен 3, поэтому порядок малости при x > 0 функции ?(x) = x4 + 7x3 по отношению к функции ?(x) = x равен трём.

Пример 2.34. Вычислить предел, используя эквивалентность бесконечно малых:

. Решение. Рассматривается отношение двух бесконечно малых. Обратим внимание, что при x > 1 аргумент арксинуса бесконечно мал:

1 ? x2 > 0 при x > 1,

поэтому arcsin(1 ? x2) ? 1 ? x2 при x > 1.

Теперь преобразуем логарифм:

. v При x > 1 выражение x?1 бесконечно мало, значит, им можно заменить логарифм, используя приведённые выше свойства бесконечно малых:

при x > 1.

Теперь вычислим предел, заменив числитель и знаменатель эквивалентными им бесконечно малыми:

. Пример 2.35. Вычислить предел, используя эквивалентность бесконечно малых:

. Решение. В числителе и знаменателе - бесконечно малые при x > 0:

. Заметим, что при x > 0

sin1 5x 2 2 e ? 1 ? sin 5x ? 25x ,

3x2 ? 1 ? x2 ln3.

Итак, . Задачи

Сравнить бесконечно малые:

2.193. при x > ?.

v 2.194. ?(x) = tg3 2x, ?(x) = 1 ? 1 ? x при x > 0.

2.195. ?(x) = p3 x3 ? 7 ? 1, ?(x) = (x ? 2)2 при x > 2.

2.196. ?(x) = 2cos2x, ?(x) = ? ? 4x при.

2.198. ?(x) = sin3 5x, ?(x) = tgx3 при x > 0.

2.199. ?(x) = sinx, ?(x) = ? ? x при x > ?.

2.200. при x > ?.

Найти порядок малости n бесконечно малой ?(x) относительно x при x > 0:

2.201.2.204..

2.202.. 2.205. 2.203.2.206.

Вычислить пределы, используя эквивалентность бесконечно малых:

2.207. 2.208.. 2.209.

2.210.

2.211. 2. 212..

2.213. 2.214. 2.215.

2.216. . 2.217.

2.218..

2.219. 2.220. 2.221.

2.222. 2.223. 2.224.

2.225. 2.226. 2.227.

2.228..

2.229. 2.230. 2.231.

2.232. 2.233. 2.234.

2.235. 2.236. 2.237.

2.238.

2.239. 2.240. 2.241.

2.242. 2.243. 2.244.

2.245. 2.246..

Тема 3 Производная и дифференциал

§3.1 Определение производной функции. Правила дифференцирования

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 ? R, а точка x принадлежит этой окрестности. Величина x ? x0 = ?x называется приращением аргумента функции, f(x)?f(x0) = f(x0 +?x)? ? f(x0) = ?y - соответствующим приращением функции.

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

. Обозначим производную

. Также используется обозначение

. Если функция y = f(x) является функцией независимого аргумента x, то нижний индекс опускают и пишут y0. Процесс вычисления производной функции называют дифференцированием. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Однако одной непрерывности функции в точке недостаточно для существования производной в этой точке. Простым примером может служить f(x) = |x|:

функция непрерывна при x = 0, но производной в этой точке не имеет.

Используются следующие правила (предполагается, что функции u и v заданы в некоторой окрестности точки x0 ? R и имеют в этой точке конечные производные).

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(Cu)0 = C(u)0.

2. Производная суммы функций равна сумме производных слагаемых:

(u + v)0 = u0 + v0.

3. Производная произведения функций вычисляется по формуле:

(uv)0 = u0v + uv0.

4. Производная частного (при v 6= 0):

. 5. Производная обратной функции. Пусть функция y = f(x) строго монотонна в окрестности точки x0 и имеет в этой точке производную f0(x0) 6= 0. Тогда функция f?1(y) имеет производную в точке y0 = f(x0), значение которой равно

. 6. Производная сложной функции. Если y = f(u), а u = 3(x), то y = = f (3(x)) называется сложной функцией аргумента x. Производная такой функции вычисляется по формуле:

. 7. Правило логарифмического дифференцирования:

. Производные основных элементарных функций

1) (C)0 = 0. 2)

3) 3а) 3б) 4)

4а)

5). 5а) 6) 7)

8) 9) 10) 11) .

12) 13) 14) (shx)0 = chx. 15) (chx)0 = shx. 16) (thx)0 = 12 .

ch x

0 1 17) (cthx) = ? 2 .

sh x Примеры решения задач

Пример 3.1. Используя определение, вычислить производную функции v

f(x) = 3 x + 1

в точке x0 = 1.

Решение. Найдём значение функции в точке x0 = 1:

v f(1) = 3 1 + 1 = 2.

По определению производной функции в точке

. Итак, f0(1) = 1/3.

Пример 3.2. Используя определение, вычислить производную функции

в точке x0 = 0.

Решение. Решение. Значение функции в точке x0 = 0:

. Как и в предыдущем примере, по определению производной функции в точке

. Здесь при вычислении предела использован тот факт, что функция ex ? 1 эквивалентна x, когда x > 0. Это означает, что

. Таким образом, f0(0) = 1/4.

Пример 3.3. Вычислить производную функции

6 2 v3 v4 y = 4x + x · x + 2.

Решение. Функция представляет собой сумму трёх слагаемых. Используем правила дифференцирования суммы функций и вынесения постоянного множителя за знак производной. Итак,

. Пример 3.4. Вычислить производную функции

. Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования произведений функций:

. Пример 3.5. Вычислить производную функции

. Решение. По формуле производной частного

. Пример 3.6. Вычислить производную функции.

Решение. Функция сложная с промежуточным аргументом u = x2 +2. Используя это обозначение, данную функцию можно переписать в виде y = u5. По формуле производной сложной функции

. Здесь

, После подстановки в формулу для получим:

. Пример 3.7. Вычислить производную функции y = cos3 x. Решение. Здесь

u = cosx, y = u3.

Находим производные этих функций:

Значит,

Пример 3.8. Вычислить производную функции.

Решение. Представим функцию в виде цепочки из трёх звеньев:v y =

= sinu, u = 3v, v = x. В этом случае формула вычисления производной сложной функции запишется следующим образом:

. Здесь

, , Итак, .

При появлении некоторого опыта в дифференцировании сложных функций можно не вводить обозначения промежуточных аргументов, а последовательно выписывать производные от цепочки функций, составляющих структуру данной сложной функции. Пример 3.9. Вычислить производную функции

y = p2arctg4 x + 5x3.

Решение.

. Пример 3.10. Вычислить производную функции

. Решение.

. Пример 3.11. Продифференцировать функцию y = xarcsinx. Решение. Предварительно прологарифмируем функцию:

lny = lnxarcsinx = arcsinxlnx.

Вычислим производную по правилу логарифмического дифференцирования. Получим следующее:

. Пример 3.12. Вычислить производную функции

. Решение. Прологарифмируем функцию, используя свойства логарифмов:

v3 p 2 + 1. lny = lnx3 + ln(x2 + 4x) + ln x + 1 ? ln(2x + 5)6 ? ln 2x

По правилу логарифмического дифференцирования

. Пример 3.13. Функция задана неявно с помощью уравнения

x2 + y2 + 2xy = 0.

Найти производную .

Решение. Продифференцируем обе части уравнения по x, учитывая при этом, что y2 является сложной функцией аргумента x, т. е.

: . Выразим из этого уравнения:

, yx0 (x + y) + (x + y) = 0, yx0 = ?1.

Пример 3.14. Функция задана неявно с помощью уравнения

x3 + ex + y2 + cosy = 0.

Найти производную .

Решение. Дифференцируя по x, получим:

. Отсюда

. Пример 3.15. Функция задана параметрически:

v x = t + 1, y = 8t2 + 2t + 3.

Найти. Решение. При вычислении производной функции y аргумента x, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), используется формула

. В данном случае

. Следовательно,

. Задачи Используя определение, вычислить производные функций f(x) в точке x0:

3.1. 3.2. 3.3.

3.4.

3.5. 3. 6.. Используя основные правила дифференцирования, вычислить производные функций в заданной точке:

3.7. f(x) = lnx, f0(1) =?

3.8. =? 3.9. f(x) = arctgx, f0(?3) =?, f0(0) =?

3.10. f(x) = 4x, f0(1) =?

Вычислить производные функций:

3.11. y = x4 ? 2x3 + 5x2 + x ? 3. 3.13.

3.14.. 3.12. . 3.15.

3.16.

. 3.17. 3.18. 3.19.

3.20. 3.21. 3.22.

3.23. 3.24. 3.25.

3.38.

3.39. 3.40. Вычислить производные сложных функций:

3.41.3.46. 3.42.3.47..

3. 43.. 3.48. 3.44.3.49.

3.45.3.50.

3.51. y = tg2 x.

3.52. y = sin4 x.

3.53. y = sin(x3).

3.54. y = 4?3x.

3.55. y = 5x2. 3.56. y = 2cosx.

3.57. y = ln(5x + 1).

3.58. y = lg(4x4 + x2).

3.59. y = lg4 x.

3.60. 3.61. 3.62.

3.63. 3. 64.. 3.65.

3.66. y = sh2 x.

3.67. y = lnchx.

v 3.68. y = chx. 3.69. y = cth3 x.

3.70. y = thx4.

3. 71.. 3.84.. 3.72.

3.85.

3.73. 3.86. 3.74.

3.87. 3.75.

3.76.3.88. 3.77.3.89.

3.78.3.90..

3.79.3.91. 3.80.3.92.

3.81. 3.93. 3.82. 3.94.

3.83.. 3.95. 3.96.. 3.98..

3.97.3.99.

3.100. 3. 101..

3.102. 3.103. y = p3 1 + tg2 2x + lg(1 .

3.104. 3.105. 3.106.

3.107.

3.108. 3.109. 3.110..

3.111. 3.112. 3.113.

3.114. 3.115. 3.116..

Найти производные функций y(x), заданных неявно:

3.117. 3.118. 3.119..

3.120. 3.121. 3.122.

3.123. 3.124. Найти производные функций y(x), заданных параметрическими уравнениями:

3.125.

3.126. 3.127. 3.128.

3.129.. 3.130. Используя правило логарифмического дифференцирования, вычислить производные функций:

3.131.3.137. 3.132.3.138.

3.133.

3.139.. 3.134. 3.135.

3.140. 3. 136..

3.141. . Найти производные функций y(x), заданных неявно:

3.142.

3.143. 3.144.. 3.145.

3.146. 3.147. 3.148.

3.149. Найти производные функций y(x), заданных параметрическими уравнениями:

3.150.

3.151. 3.152. 3.153.

3.154.. 3.155. §3.2 Касательная и нормаль к плоской кривой. Дифференциал функции

Пусть на графике функции y = f(x) выбрана точка M0(x0,y0), где y0 = = f(x0). Будем считать, что существует f0(x0). Геометрический смысл производной выражается в том, что значение производной функции при x = = x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = = f(x) в точке M0(x0,y0). Другими словами, производная в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox.

Уравнение этой касательной имеет вид:

yк = f(x0) + f0(x0)(x ? x0).

Уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке M0(x0,y0):

. Здесь предполагается, что f0(x0) 6= 0.

В случае, если f0(x0) = 0, касательная параллельна оси Ox и имеет уравнение yк = f(x0). Нормаль будет параллельна оси Oy, её уравнение: xн = x0.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x, то её приращение можно представить в виде

?y = f0(x)?x + ??x,

где величина ? является бесконечно малой при ?x > 0.

Дифференциалом функции y = f(x) в точке x называется главная линейная относительно ?x часть приращения функции:

dy = f0(x)?x. Дифференциал независимого аргумента x равен:

dx = x0?x = ?x,

т. е. дифференциал и приращение независимого аргумента совпадают. Отсюда вытекает формула связи дифференциала функции, её производной и дифференциала независимого аргумента, которую часто называют инвариантной формулой дифференциала:

dy = f0(x)dx. Следующие свойства дифференциала непосредственно выводятся из свойств производной:

. Примеры решения задач

Пример 3.16. Под каким углом наклонена к положительному направлению оси Ox касательная к графику функции y = x5 ? x4 ? 2x + 2 в точке с абсциссой x0 = 1?

Решение. Сначала найдём производную функции:

y0 = 5x4 ? 4x3 ? 2.

Вычислим её значение при x0 = 1: y0(1) = ?1. Это число равно тангенсу искомого угла ?: tg? = ?1. Значит, .

Пример 3.17. Написать уравнения касательной и нормали к графику

функции в точке с абсциссой x0 = 2.

Решение. Определяем значение функции при x0 = 2: f(x0) = f(2) = = 5. Теперь найдём производную функции, а также её значение при x0 =

2: . Подставим полученные результаты в уравнение касательной:

yк = f(x0) + f0(x0)(x ? x0), yк = 5 ? 1 · (x ? 2), yк = ?x + 7.

Теперь составим уравнение нормали:

, , yн = x + 3.

Пример 3.18. Графиком функции является верхняя половина окружности x2 +y2 +6x?8y +9 = 0. В какой точке касательная заданной части окружности параллельна оси Ox? Написать уравнение этой касательной. Решение. Выделением полного квадрата по x и y получаем:

(x + 3)2 + (y ? 4)2 = 16.

v Отсюда для верхней половинки дуги окружности y = 4 + 7 ? x2 ? 6x. Угловой коэффициент прямой, параллельной оси Ox, равен нулю. Это означает, что значение производной в искомой точке равно нулю, поэтому сначала найдём производную:

. Теперь видно, что y0 = 0 при x = ?3. Находим соответствующее значение функции: y(?3) = 8.

Итак, касательная к верхней дуге окружности параллельна оси Ox в точке (?3;8) и имеет уравнение yк = 8.

Можно было не выражать y в явном виде, а найти производную функции, заданной неявно:

. Производная равна нулю при x = ?3. Подставив x = ?3 в уравнение окружности, получим: y2 ? 8y = 0. Отсюда y = 0 или y = 8. Точка (?3;0) лежит на нижней половине дуги окружности, а точка (?3;8) - на верхней её половине, поэтому уравнение искомой касательной запишется так: yк = 8.

Пример 3.19. Найти приращение и дифференциал функции y = x2, соответствующие приращению ?x независимого аргумента. Вычислить ?y и dy при x = 1 и ?x = 0,01. Оценить абсолютную и относительную погрешность при вычислении ?y, если считать, что ?y ? dy. Решение.

?y = f(x + ?x) ? f(x) = (x + ?x)2 ? x2 =

. По условию x = 1 и ?x = dx = 0,01. Вычислим приращение функции:

?y = 2 · 1 · 0,01 + (0,01)2 = 0,02 + 0,0001 = 0,0201.

При этом дифференциал функции равен:

dy = 2 · 1 · 0,01 = 0,02.

Абсолютную погрешность определим как модуль разности ?y и dy:

|?y ? dy| = |0,0201 ? 0,02| = 0,0001. Теперь находим относительную погрешность:

, что составляет приблизительно 0,5%.

Пример 3.20. Найти дифференциал функции y = arcsin3 2x.

Решение. По формуле dy = y0 dx получаем:

v Пример 3.21. Линеаризовать функцию f(x) = x в окрестности точки x0 = 4.

Решение. Приращение функции ?y и её дифференциал dy можно представить следующим образом:

?y = f(x) ? f(x0), dy = f0(x0)(x ? x0),

тогда приближенное равенство приращения и дифференциала запишется так: f(x) ? f(x0) ? f0(x0)(x ? x0).

Отсюда f(x) ? f(x0) + f0(x0)(x ? x0).

В данном примере:

. Итак, в некоторой окрестности точки x0 = 4 получили, что .

Пример 3.22. Вычислить приближённо с помощью дифференциалаv

значение функции f(x) = 2x + 5 при x = 1,97.

Решение. Значение функции легко вычислить при x0 = 2: f(2) = 3. Тогда ?x = x ? x0 = 1,97 ? 2 = ?0,03.

, Итак, Пример 3.23. Вычислить приближенное значение объёма шара радиуса 2,01 см.

Решение. Объем шара вычисляется по формуле:

. Приближенное значение объёма:

V (R) ? V (R0) + V 0(R0)?R.

В условиях данной задачи при R = 2,01, R0 = 2, ?R = 0,01 это приближенное равенство запишется следующим образом:

V (2,01) ? V (2) + V 0(2) · 0,01.

Вычислим значение функции при R = 2, а также значение её производной в этой точке:

, V 0(2) = 16?.

В результате подстановки этих выражений в приближенное равенство получим:

. Задачи Составить уравнения касательных и нормалей к графикам функций в точках с заданными абсциссами:

3.156. 3.157. 3.158.

3.159.

3.160.. 3.161. 3.162.

3. 163.. 3.164. Составить уравнение касательной и нормали к кривой xy2+3x2y+ + 7xy + y3 = 10 в точке (1;?1).

Составить уравнение касательной к кривой в точке, соответствующей значению параметра t0:

3.165.

3.166. 3. 167..

3.168. Написать уравнения касательных к кривой y = 2x ? x2 в точках её пересечения с осями координат.

3.169. Написать уравнения касательных к кривой y = x3 +8 в точках её пересечения с осями координат.

3.170. Найти уравнения касательных к эллипсу x2 + 4y2 = 5 в точках (1;1) и (?1;?1).

3.171. На параболе y = x2 ? 4x + 6 выбраны точки с абсциссами x1 = = 0, x2 = 3. Через эти точки проведена хорда. Написать уравнение касательной к параболе, параллельной хорде.

3.172. Составить уравнения касательных к гиперболе в точках

её пересечения с осями координат.

3.173. На гиперболе найти точки, в которых касательные па-

раллельны. Написать уравнения этих касательных.

Найти дифференциалы функций:

3.174.

3.175. 3.176. 3.177.

3.178. 3.179. 3.180..

3. 181.. 3.182.

3.183.

3.184. Дана функция y = x3. Вычислить приращение и дифференциал функции при изменении x от 2 до 1,98.

Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение функции в точке x:

3.185. 3. 186..

3.187. y = x6, x = 1,001. 3.189.

3.188. y = arcsinx, x = 0,51. 3.190..

§3.3 Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница

Производной второго порядка функции y = f(x) называется производная от первой производной этой функции и обозначается

y00 = (f0(x))0 = f00(x).

Производной третьего порядка функции y = f(x) является производная от её второй производной:

y000 = (f00(x))0 = f000(x) и т. д. Производная n-го порядка определяется как

. Если функция y = f(x) может быть записана в виде произведения двух функций u и v, то её производная n-го порядка может быть вычислена по формуле Лейбница:

. Дифференциал второго порядка функции y = f(x) определяется как дифференциал дифференциала данной функции при той же величине приращения аргумента:

d2y = d(dy),

d2y = d(y0 dx) = y00dx2 + y0d2x.

Эта формула одинаково пригодна при зависимом и независимом x. Однако при независимом x во втором слагаемом d2x = 0, поэтому в этом случае

d2y = y00dx2. Дифференциал третьего порядка функции y = f(x) есть дифференциал второго дифференциала:

d3y = d(d2y).

Вообще, дифференциал n-го порядка функции y = f(x) определяется как дифференциал её дифференциала (n ? 1)-го порядка:

dny = d(dn?1y). Примеры решения задач

v Пример 3.24. Вычислить вторую производную функции y = arctg x в точке x0 = 4.

Решение. Сначала находим первую производную данной функции:

. Далее находим производную от y0, т. е. вторую производную функции:

. Теперь подставляем вместо x заданное значение x0 = 4:

. Пример 3.25. Найти общее выражение для производной n-го порядка функции y = ln(4 + x).

Решение. Последовательно вычисляем производные до тех пор, пока не будет видна определённая закономерность:

; y00 = ?1 · (x + 4)?2;

y000 = (?1)(?2)(x + 4)?3 = 1 · 2 · (x + 4)?3; yIV = 1 · 2 · (?3)(x + 4)?4 = ?1 · 2 · 3 · (x + 4)?4 и т.д.;

. Пример 3.26. Найти ускорение точки, совершающей прямолинейное движение по закону s(t) = et(t2 + 3), в конце первой секунды.

Решение. Ускорение точки при её прямолинейном движении есть вторая производная от закона движения:

a = s00(t);

s0(t) = et(t2 + 3) + et · 2t = et(t2 + 2t + 3);

s00(t) = et(t2 + 2t + 3) + et(2t + 2) = et(t2 + 4t + 5); s00(1) = e · (12 + 4 · 1 + 5) = 10e.

Пример 3.27. Функция задана параметрически:

x = t ? sint, y = 1 ? cost.

Найти. Решение. Сначала найдём первую производную по x:

. Вторая производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

. В данном случае

. Пример 3.28. С помощью формулы Лейбница вычислить пятую производную функции y = x5 · sin2x.

Решение. Введём обозначения: u = x5, v = sin2x. Вычислим производные функций u и v до пятого порядка включительно:

u0 = 5x4; u00 = 20x3; u000 = 60x2; uIV = 120x; uV = 120; v0 = 2cos2x; v00 = ?4sin2x; v000 = ?8cos2x; vIV = 16sin2x; uV = 32cos2x.

По формуле Лейбница:

5 · 4 · 3 · 2 0 IV 5 · 4 · 3 · 2 · 1 V

+ u v + uv . 4! 5!

В результате подстановки найденных выше производных получим:

y(5) = 120sin2x + 5 · 120x · 2cos2x + 10 · 60x2 · (?4sin2x)+ + 10 · 20x3 · (?8cos2x) + 5 · 5x4 · 16sin2x + x5 · 32cos2x =

= cos2x(1200x ? 1600x3 + 32x5) + sin2x(120 ? 2400x2 + 400x4).

Пример 3.29. Вычислить третий дифференциал функции

p 2 + 1). y = ln(x + x

Решение. Здесь x является независимым аргументом, поэтому

d3y = y000dx3.

Сначала вычислим первую, вторую и третью производные данной функции:

y0 = (x2 + 1)?1/2; y00 = ?x · (x2 + 1)?3/2;

. Итак, . Пример 3.30. Дано: y = 3x, x = 2t2 + 1. Выразить d2y через x и dx, через t и dt.

Решение. Воспользуемся формулой:

d2y = y00 dx2 + y0 d2x.

Вычислим производные функции y:

y0 = 3x ln3; y00 = 3x ln2 x.

Теперь вычислим дифференциалы функции x:

dx = 4tdt; d2x = 4dt2.

Второй дифференциал функции y через x и dx запишется следующим образом: d2y = 3x ln3(ln3dx2 + d2x).

Выразим этот дифференциал через t и dt:

d2y = 32t2+1 · ln2 3 · 16t2 dt2 + 32t2+1 · ln3 · 4dt2 =

= 4ln3 · 32t2+1(4t2 · ln3 + 1)dt2.

Задачи Вычислить вторые производные данных функций в точке x0:

3.191. . 3.196. .

3.192.

3.193. 3.197. . 3.194.

3.195. 3.198. . Вычислить функций, заданных параметрически:

v 3.199. x = t, y = 2t + 1. 3.200. x = 2cost,

Найти производную n-го порядка следующих функций: y = 3sint. 3.201. y = e?x. 3.203. y = sinx. 3.205.

v 3.202. y = x. 3.204. y = cosx. 3.206..

Используя формулу Лейбница, вычислить указанные производные данных функций:

3.207. y = x sinx, y000 =?

3.208. y = ex(x4 + x3 + 2x + 1), yIV =?

v 3.209. y = 6x + 1 cos2x, y000 =?

3.210. y = x4 arcsinx, y000 =?

Вычислить указанные дифференциалы данных функций:

v 3.211. y = 5 x3, d3y =? 3.213. y = arccosx, d2y =?

v 3.212. y = x2(x3 + 1), d3y =? 3.214. y = 2lnx + 1, d2y =?

Выразить d2y через x и dx, через t и dt:

3.215. y = x5 + 2x4, x = t2. 3.217..

3.216. y = x4 + ex, x = lnt. 3.218.

Тема 4 Непрерывные функции

§4.1 Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует предел функции при x > a, равный значению функции в этой точке:

. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пусть a - точка разрыва функции f(x). Если в этой точке функция имеет равные односторонние пределы, т. е. f(a ? 0) = f(a + 0), то точка a называется точкой устранимого разрыва. Если такую функцию доопределить значением односторонних пределов, то новая функция в этой точке окажется непрерывной.

Точка a разрыва функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные и не равные между собой односторонние пределы: f(a ? 0) 6= f(a + 0).

Точка a разрыва функции f(x) называется точкой разрыва второго рода, если в ней не существует хотя бы один из односторонних пределов функции.

Примеры решения задач

Пример 4.1. Найти точки разрыва функции и определить их тип, если

. Решение. Область определения данной функции - все действительные числа, кроме точек x = 1, x = ?3. Сначала вычислим односторонние пределы в точке x = 1:

, . Сравнение значений пределов слева и справа показывает, что точка x = = 1 - точка устранимого разрыва.

Теперь перейдём к вычислению односторонних пределов в точке x = = ?3:

. Результат вычислени предела слева показывает, что x = ?3 - точка разрыва второго рода. При этом вычисление предела справа уже неактуально.

Пример 4.2. Найти точки разрыва функции и определить их тип, если

. Решение. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 0. Вычислим односторонние пределы в этой точке:

. Итак, односторонние пределы существуют, но не совпадают. В точке x = 0 данная функция терпит разрыв первого рода.

§4.1 Непрерывность функции. Точки разрыва 147

Задачи Определить, при каких значениях параметра a функция f(x) будет непрерывна на всей числовой оси:

при x 6 1, 4.1. ( ) =

ax + 2 при x > 1.

( ax + 4 при x 6 2,

4.2. f(x) = x2 ? 4x + 9 при x > 2.

( x ? 2 при x 6 2,

4.3. f(x) = ax2 ? 3 при x > 2.

при x 6?, 4.4. (x) =

cosx при x > ?.

Указать область непрерывности функции, найти точки разрыва и определить их тип:

4. 5.. 4.6. 4.7.

4.8.

4.9. 4.10. 4.11..

4.12. 4.13. 4.14..

§4.2 Непрерывность функции на множестве. Свойства функции, непрерывной на отрезке

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве.

Функция f(x) непрерывна на отрезке, если она непрерывна на интервале (a;b), имеет предел справа в точке a и слева в точке b.

Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения f(x) может принимать либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Наибольшее и наименьшее значения f(x) на отрезке можно находить по плану:

1. Найти производную функции.

2. Вычислить критические точки и выбрать из них те, которые принадлежат указанному отрезку.

3. Найти значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и значения функции на концах отрезка.

4. Из множества найденных значений функции выбираем наибольшееи наименьшее, которые и будут являться ответом к поставленной задаче.

Пример 4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = 0,75x4 + 2x3 + 3 на [?3; 1].

Решение. На отрезке [?3; 1] данная функция определена и непрерывна. Найдём её первую производную:

f0(x) = 3x3 + 6x2 = 3x2(x + 2).

§4.2 Свойства функции, непрерывной на отрезке 149

Найдём критические точки из уравнения:

3x2(x + 2) = 0. Корни этого уравнения x1 = ?2 и x2 = 0. Обе эти точки принадлежат данному отрезку [?3; 1]. Критических точек, в которых производная не существует, у этой функции нет.

Вычисляем значения функции в точках x1, x2 и на концах отрезка: f(?2) = ?1; f(0) = 3; f(?3) = 9,75; f(1) = 5,75.

Сравниваем полученные значения и заключаем, что функция f(x) принимает своё наименьшее на отрезке [?3; 1] значение, равное ?1, в критической точке x = ?2. Наибольшее значение на этом отрезке, равное 9,75, функция достигает на конце отрезка в точке x = ?3.

Пример 4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = (x ? 4)2ex?3 на отрезке [3; 5].

Решение. Функция на отрезке [3; 5] определена и непрерывна. Дифференцируем её с целью найти критические точки:

f0(x) = 2(x ? 4) · ex?3 + (x ? 4)2ex?3 = ex?3(x ? 4)(x ? 2).

Производная существует всюду и обращается в нуль при x1 = 2 и x2 = 4. Точка x1 не принадлежит отрезку [3; 5]. Вычислим и сравним значения функции в точке x2 = 4 и на концах отрезка:

f(4) = 0; f(3) = 1; f(5) = e2.

Итак, функция f(x) = (x ? 4)2ex?3 на отрезке [3; 5] принимает наибольшее значение, равное e2, на правом конце отрезка в точке x = 5. Наименьшее на указанном отрезке значение функции равно 0 и достигается в критической точке x = 4.

Задачи Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке:

4.15. f(x) = x3 ? 12x + 7, [0; 3].

4.16. .

4.17. . 4.18. .

4.19. . 4.20. 4. 21..

4.22. f(x) = p3 (x2 ? 2x)2, [0; 3].

4.23. f(x) = x ? sinx, [??; ?].

4.24. . Тема 5

Аналитические приложения дифференциального исчисления

§5.1 Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Формула Тейлора

Теорема Ролля. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b), на концах отрезка [a; b] принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b), то найдётся по крайней мере одна точка ? ? (a; b), в которой производная функции обращается в нуль:

f0(?) = 0. Если в условиях теоремы Ролля f(a) = f(b) = 0, то это означает, что между двумя нулями функции содержится хотя бы один нуль производной.

Теорема Лагранжа. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b), то найдётся по крайней мере одна точка ? ? (a; b), в которой производная функции равна отношению приращения функции к длине отрезка:

. Это выражение часто называют формулой Лагранжа конечных приращений.

Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a; b), причём g0(x) 6= 0 для любых x из интервала (a; b), то существует по крайней мере одна точка ? ? (a; b), в которой отношение производных данных функций равно отношению их приращений на отрезке [a; b]:

. Формула Тейлора. Если функция f(x) n раз дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, то в этой окрестности функция может быть представлена в виде

, где - остаточный член формулы Тейлора в форме

Пеано, который является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с величиной (x ? x0)n. Выражение

называется многочленом Тейлора функции f(x).

В частном случае при x0 = 0 получается формула Маклорена:

, где Rn(x) = o(xn), x > 0.

Если функция f(x) (n+1) раз дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, то остаточный член может быть записан в форме Лагранжа:

, где ? = x0 + ? · (x ? x0), 0 x1 ? x2 при x1 x0 x>x0

или lim f(x) = lim g(x) = ?, x>x0 x>x0

то

при условии, что предел отношения производных существует. Это же правило можно применять и в случае, когда предел вычисляется в бесконечно удалённой точке:

при тех же условиях.

Примеры решения задач

Пример 5.11. Вычислить предел

. Решение. Здесь числитель и знаменатель являются бесконечно малыми функциями при x > 0. Рассмотрим предел отношения производных:

. Так как этот предел существует, то существует и данный предел:

. Пример 5.12. Вычислить предел

. Решение. Числитель и и знаменатель - бесконечно большие при x > ?. Непосредственное применение правила Лопиталя приводит к тому, что предел отношения производных не существует:

. Условие применимости правила Лопиталя не выполнено! Однако это совсем не означает, что исходный предел не существует:

. §5.2 Правило Лопиталя

Второе слагаемое под знаком предела при x > ? представляет собой произведение ограниченной функции sinx на бесконечно малую , поэтому это слагаемое стремится к нулю при x > ?.

Итак, данный предел существует и равен 1. Пример 5.13. Вычислить предел

. Решение. Рассматривается отношение двух бесконечно больших функций xn и ex при x > +?. К этому отношению применим правило Лопиталя n раз подряд:

. Пример 5.14. Вычислить предел

. Решение. Требуется вычислить предел произведения бесконечно малой и бесконечно большой функций при x > ?. Прежде чем применить правило Лопиталя, преобразуем функцию к отношению двух бесконечно малых:

. Пример 5.15. Вычислить предел

. Решение. Здесь рассматриваются две бесконечно малые при x > 0: бесконечно малая функция sinx возводится в бесконечно малую степень tgx. Попытаемся вычислить предел логарифма данной функции:

. К полученному отношению двух бесконечно больших при x > 0 функций можно применить правило Лопиталя, поэтому перейдём к пределу отношения производных числителя и знаменателя при x > 0:

. Этот предел существует, следовательно, существует предел логарифма данной функции:

. Отсюда

. Пример 5.16. Вычислить предел

lim (ctgx)1/lnx.

x>+0 Решение. Как и в предыдущем примере, рассмотрим предел логарифма функции, стоящей под знаком предела, а затем перейдём к вычислению предела отношения двух бесконечно больших функций при x > +0:

. Итак, limx>+0 ln(ctgx)1/lnx = ?1. Следовательно,

. Задачи Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

§5.2 Правило Лопиталя

5.9.5.23.. 5.10.5.24.

5.11.5.25.

5.26. lim xtgx. 5. 12.x>0

5.27. lim (sin(x ? 1))lnx.

5. 13.x>1 5.28. lim (sinx)x.

x>0 5.14.

5.29. . 5.15. 5.30.

5. 16.. 5.31. 5.17.

5.32.. 5.18. 5.33. .

5.19. 5.34. .

5. 20.. 5.35. .

5. 21.sinx 5.36. lim (ctgx) .

x>0 5.22. 5.37. .

§5.3 Экстремумы функции, промежутки монотонности

Пусть функция f(x) определена на D(f). Если для любых x1 и x2, принадлежащих некоторой области D ? D(f), таких, что x1 f(x2), то функция f(x) - невозрастающая на D.

4. f(x1) > f(x2), то функция f(x) - убывающая на D.

Функция, удовлетворяющая хотя бы одному из приведённых условий, называется монотонной. Если неравенство строгое (п. 2 или 4), то функция f(x) называется строго монотонной.

Заметим, что f(x) ? C также удовлетворяет определению монотонной функции.

Если производная функции в некотором промежутке равна нулю, то эта функция тождественно равна константе на данном промежутке.

Достаточные условия возрастания и убывания функции. Если производная функции положительна в промежутке, то сама эта функция в этом промежутке возрастает. Если производная f0(x) f(x).

Точки локального минимума и локального максимума называются также точками локального экстремума функции. Значения функции в точках локального экстремума называют экстремальными значениями.

Теорема Ферма (необходимое условие точек локального экстремума). В точках экстремума функции её производная равна нулю или не существует.

Точки из области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

Достаточное условие точек локального экстремума. Если в точке x0 функция непрерывна и производная этой функции меняет знак, то x0 - точка экстремума данной функции. При этом если вблизи x0 слева f0(x) > 0, а справа f0(x) 0, то x0 - точка локального минимума.

Исследование функции на монотонность и точки экстремума следует проводить по следующему плану:

1. Найти область определения функции D(f).

2. Вычислить f0(x).

3. Найти критические точки. Для этого решить уравнение f0(x) = 0 и найти точки, в которой первая производная не существует.

4. Область определения функции разбить на промежутки критическими точками. В каждом промежутке определить знак первой производной. Полученный результат оформить в виде таблицы, в которой фиксируется область определения, знаки f0(x) в каждом промежутке, а также характер монотонности функции и наличие точек локального экстремума.

5. Записать ответ.

Примеры решения задач

Пример 5.17. Найти интервалы монотонности и точки локального экстремума функции

. Решение. Область определения функции задаётся неравенством

x3 ? 1 > 0, x > 1, т. е. x ? (1; +?).

Вычислим первую производную:

. Согласно необходимому условию точек экстремума найдём точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, т. е. критические точки: x = 0, x = 1. Обе эти точки не принадлежат области определения исходной функции, следовательно, критических точек нет и поэтому точек локального экстремума функция не имеет.

Заполним таблицу, в первой строке которой выпишем интервалы изменения x с учётом области определения функции, во второй строке изобразим знак первой производной, а в третьей сделаем вывод о характере монотонности:

x (1; +?) f0(x) + f(x) 1

Поскольку f0(x) > 0 при x ? (1; ?), то согласно достаточному признаку монотонности функция возрастает на всей области определения.

Пример 5.18. Найти интервалы монотонности и точки локального экстремума функции

f(x) = 4x5 ? 5x4 ? 40x3 + 1.

Решение. Эта функция определена при любых x, т. е. x ? (??; ?). Продифференцируем функцию:

f0(x) = 20x4 ? 20x3 ? 120x2 = 20x2(x2 ? x ? 6) = 20x2(x ? 3)(x + 2).

Производную разложили на множители с целью найти её корни, являющиеся критическими точками:

f0(x) = 0 при x1 = ?2, x2 = 0, x3 = 3.

Первая производная существует всюду, поэтому других критических точек этой функции не существует.

Посмотрим, меняет ли знак производная при переходе через каждую из найденных критических точек. Для этого область определения разбиваем критическими точками на четыре промежутка и определяем в каждом из них знак f0(x). Это можно сделать с помощью метода интервалов.

Удобно полученные результаты зафиксировать в таблице:

x (??; ?2) ?2 (?2; 0) 0 (0; 3) 3 (3; +?) f0(x) + 0 ? 0 ? 0 + f(x) 113 1 ?512 1 % % 1

По знаку первой производной определяем интервалы монотонности. При x ? (?2; 0) и x ? (0; 3) первая производная отрицательна, значит, функция строго убывает. При переходе через точку x1 = ?2 производная меняет знак с "+" на "?", следовательно, x1 - точка максимума. Направление касательной, проведённой к графику в этой точке, горизонтально, поскольку f0(?2) = 0. В точке x2 = 0 производная знака не меняет, значит, в интервале (?2; 3) функция убывает и точка x2 точкой экстремума не является. При переходе через точку x3 = 3 производная меняет знак с "?" на "+", следовательно, x3 - точка локального минимума данной функции с горизонтальной касательной. Можно нарисовать эскиз графика (рис. 5.1), вычислив значение функции в точках экстремума:

f(?2) = 113, f(3) = ?512.

Рис. 5.1. Эскиз графика функции примера 5.18.

Пример 5.19. Найти интервалы монотонности и точки локального экстремума функции

. Решение. Найдём область определения, руководствуясь тем, что функция существует при тех значениях аргумента, при которых знаменатель дроби в нуль не обращается: x ? 1 6= 0. Таким образом, D(f) = = (??; 1) ? (1; +?). Находим первую производную:

. Определим критические точки: f0(0) = 0 при x1 = ?1 и x2 = 3; f0(x) не существует, если x = 1. Последняя точка не может являться критической, поскольку является точкой разрыва и не принадлежит D(f). Область определения разбиваем на промежутки критическими точками x1 = ?1 и x2 = 3 и в каждом из промежутков определяем знак первой производной.

x (??; ?1) ?1 (?1; 1) (1; 3) 3 (3; +?) f0(x) + 0 ? ? 0 + f(x) лок. макс. лок. мин. 1 % % 1

По знаку первой производной определим интервалы монотонности. На множестве x ? (??; ?1)?(3; +?) величина f0(x) положительна, следовательно, функция строго возрастает. При x ? (?1; 1) ? (1; 3) производная отрицательна и функция строго убывает. При переходе через точку x1 = ?1 производная меняет знак с "+" на "?", следовательно, x1 = ?1 является точкой локального максимума. Точка x2 = 3 - точка локального минимума, поскольку слева от неё f0(x) 0.

Пример 5.20. Найти интервалы монотонности и указать точки локального экстремума функции

q f(x) = 3 (x2 ? 8x)2.

Решение. Функция определена на всей числовой оси: D(f) = = (??; ?). Дифференцируем функцию:

. Определяем критические точки из условий f0(x) = 0 и f0(x) не существует. Получим из первого условия точку x1 = 4 (числитель приравниваем к 0) и из второго условия x2 = 0 и x3 = 8 (знаменатель обращается в нуль).

Эти критические точки разбивают область определения на следующие интервалы:

(??; 0); (0; 4); (4; 8); (8; +?).

На каждом из этих интервалов производная сохраняет знак. Выясним, какой именно это знак. Результаты исследования фиксируем в таблице.

x (??; 0) 0 (0; 4) 4 (4; 8) 8 (8; +?) f0(x) ? не сущ. + 0 ? не сущ. + f(x) лок. мин. лок. макс. лок. мин. % 1 % 1

В промежутках (??; 0) и (4; 8) функция убывает; в интервалах (0; 4) ? (8; +?) функция f(x) возрастает. Локальный максимум достигается в точке x = 4. Касательная к графику f(x), проведённая в точке с абсциссой x = 4, имеет горизонтальное направление. Для построения эс-v

киза графика вычислим f(4) = 4 3 4 ? 6,35. Точки x = 0 и x = 8 являются точками локального минимума, поскольку при переходе через них производная функции меняет знак с "?" на "+". В этих точках производная функции бесконечна, касательные параллельны оси Oy. Это так называемые точки заострения, или точки возврата. Определим значения функции в них: f(0) = 0, f(8) = 0 и построим эскиз (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Эскиз графика функции примера 5.20.

Задачи Найти интервалы монотонности и точки экстремума функций:

5.38. f(x) = 2x3 + 3x2 ? 12x + 3.

5.39. f(x) = 3x4 ? 16x3 + 2.

5.43.

5. 40.. 5.44. p 2.

5.41. f(x) = x 1 ? x

5.45.. 5.42. . 5.46.

§5.4 Точки перегиба графика функции, промежутки выпуклости

Пусть функция f(x) является непрерывной в некотором интервале.

Если в точке x0 график функции не переходит с одной стороны касательной, проведённой в этой точке, на другую сторону, то эта точка называется точкой строгой выпуклости.

График функции называется строго выпуклым вниз в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки график функции расположен выше касательной, проведённой в этой точке (см. рис. 5.3).

График функции y = f(x) является строго выпуклым вверх в точке x0, если он лежит ниже касательной вблизи этой точки (см. рис. 5.3).

а) б) в)

Рис. 5.3. Взаимное расположение графика функции и касательной к нему в случаях: а) выпуклости вверх; б) выпуклости вниз; в) точки перегиба.

§5.4 Промежутки выпуклости и точки перегиба

Достаточное условие точки строгой выпуклости. Если в точке x0 вторая производная функции f(x) отлична от нуля, то точка (x0; f(x0)) является точкой строгой выпуклости графика. При этом если f00(x0) > 0, то выпуклость графика обращена вниз; если f00(x0) 0.

Его решением служат все действительные числа, поэтому D(f) = R. Вычислим производные:

, критическая точка x = 1.

. Знаменатель последней дроби положителен при любых x, следовательно, f00(x) существует при x ? R. Решим уравнение f00(x) = 0 с целью найти абсциссы возможных точек перегиба. Его корни x1 = 0 и x2 = 2. Попытаемся по результатам исследований построить эскиз графика. Для этого выясним знаки и первой, и второй производных. Область определения D(f) разбиваем на промежутки критической точкой x = 1 и абсциссами возможных точек перегиба x1 = 0 и x2 = 2.

x (??; 0) 0 (0; 1) 1 (1; 2) 2 (2; +?) f0(x) ? ? ? 0 + + + f00(x) ? 0 + + + 0 ? f(x) ln2 0 ln2 В четвёртой строке таблицы закруглёнными стрелками указаны одновременно и характер монотонности функции, и характер выпуклости. Промежуток (??; 0) является промежутком выпуклости вверх, при этом функция убывает. В промежутке (2; +?) график функции также обращён выпуклостью вверх, но функция здесь возрастает. При x ? (0; 2) наблюдается выпуклость вниз. На этом интервале функция достигает своего минимального значения в точке x = 1. Точки (0; ln2) и (2; ln2) являются точками перегиба графика функции, поскольку при переходе через их абсциссы вторая производная меняет знак.

Учитывая полученные результаты, строим эскиз графика (рис 5.4).

Рис. 5.4. Эскиз графика функции примера 5.22.

Задачи Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций:

5.47. f(x) = 3x5 + 20x4 + 40x3 + 1.

5.48. f(x) = x + 36x2 ? 2x3 ? x4.

5.49. .

5.50. f(x) = xe4x.

5.51. f(x) = x3 lnx + 1.

5.52.. 5.53. 5.54.

5.55.

5.56.. §5.5. Асимптоты графика функции

§5.5 Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции называется такая прямая, что при удалении точки графика функции в бесконечность расстояние между этой точкой и прямой стремится к нулю.

Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов

lim f(x) и (или) lim f(x) x>a?0 x>a+0

равен +? или ??.

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если существуют один или оба предела функции на ±?:

и (или) . Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если существуют пределы +? или ??:

, Примеры решения задач

Пример 5.23. Найти уравнения асимптот графика функции

. Решение. Функция не определена при x = 3 и x = ?3, поэтому область её определения составляют интервалы

x ? (??;?3) ? (?3;3) ? (3;+?).

Вычислим какой-нибудь из односторонних пределов в точке x = ?3, например, справа:

. В силу того, что предел бесконечен, этого уже достаточно для того, чтобы утверждать: x = ?3 - уравнение вертикальной асимптоты графика функции. Второй предел (слева) вычислять не нужно. Однако отметим, что если уравнения асимптот ищутся в рамках полного исследования функции и построения её графика, то очень полезно вычислить оба предела, т. к. они дают важную информацию о поведении функции и позволяют представить эскиз графика функции.

Аналогично убеждаемся, что x = 3 есть уравнение второй вертикальной асимптоты:

. Теперь переходим к вычислению пределов на бесконечностях. Попутно отметим, что значение предела в данном случае не зависит от знака бесконечности, поэтому можно не вычислять два предела отдельно. Итак,

. Как видим, предел существует и равен единице, значит, y = 1 - уравнение горизонтальной асимптоты.

Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, вычисляем угловой коэффициент k:

. Случай k = 0 является вырожденным и характеризует горизонтальную асимптоту, уравнение которой уже найдено. Итак, наклонных асимптот нет.

Пример 5.24. Найти уравнения асимптот графика функции

. Решение. Функция не определена при x = 1. Запишем область её определения: x ? (??;1) ? (1;+?).

Уравнение вертикальной асимптоты - x = 1, так как

. §5.5 Асимптоты графика функции

Горизонтальных асимптот у графика данной функции нет в силу того, что сама функция является неправильной рациональной дробью.

Вычисляем предел функции на бесконечностях:

, . Итак, на обеих бесконечностях получили одинаковые угловые коэффициенты: . Находим соответствующие значения b:

, аналогично

. Получили, что b1 = b2 = 1. Таким образом, у левой и правой ветви графика функции общая наклонная асимптота с уравнением .

Пример 5.25. Найти уравнения асимптот графика функции

f(x) = e1/(x?2).

Решение. Область определения функции:

x ? (??;2) ? (2;+?).

Вычислим предел функции в выколотой точке области определения слева:

lim e1/(x?2) = 0. x>2?0

Предел равен конечному числу, поэтому вычисляем и предел справа:

lim e1/(x?2) = +?. x>2+0

Итак, правая ветвь графика функции уходит вверх в бесконечность, приближаясь к вертикальной асимптоте x = 2.

Теперь посмотрим, есть ли у графика функции горизонтальные асимптоты:

, lim e1/(x?2) = 1. x>+?

Конечность значений пределов убеждает в том, что y = 1 - уравнение горизонтальной асимптоты, причём к ней подходят обе ветви графика. Наклонных асимптот нет, так как

e1/(x?2) lim = 0. x>±? x

Пример 5.26. Найти уравнения асимптот графика функции

f(x) = x · arctgx.

Решение. Областью определения функции является вся числовая прямая, отсюда вывод о том, что вертикальных асимптот нет, как нет и горизонтальных, т. к. при x > ? ограниченная функция arctgx умножается на бесконечно большую x.

Посмотрим, как ведёт себя график при x > ??:

. Этот предел существует. Находим b1:

. Для применения правила Лопиталя выполнены все условия:

. §5.5 Асимптоты графика функции

Итак, - наклонная асимптота левой ветви графика функции.

Для правой ветви:

. Таким образом, определилось уравнение наклонной асимптоты правой ветви графика функции: .

Задачи

Найти уравнения асимптот графиков функций:

5.57.5.66. 5.58.5.67.

5. 59.. 5.68. 5.69. 5.60.

5.70.

5.71. 5.61.

5.72. 5.62.. 5.73.

5.63.5.74. 5.64.5.75.

5.76.

5.65.. 5.77.. §5.6 Построение графиков

В этом параграфе рассматривается построение графиков с помощью выявления и исследования свойств функции.

Графиком функции одной переменной f(x) называется семейство {M(x, y)} всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

y ? f(x) = 0

или, что то же самое, уравнению y = f(x).

При современном уровне развития вычислительной техники не составляет труда построить график функции "по точкам": вычислить значение функции в большом количестве точек и вывести результат на экран. Однако при таком подходе можно пропустить некоторые особенности функции, особенно если ошибиться с масштабом или интервалом построения. Таким образом, использование компьютера для построения графика может быть полезно в качестве определённой помощи или для самопроверки, но не может заменить полноценного исследования графика.

Прежде чем приступать непосредственно к построению графика, необходимо провести предварительное исследование самой функции: найти интервалы монотонности, исследовать поведение на бесконечности, найти уравнения асимптот и т. п. Подробнее эти шаги будут рассмотрены в соответствующих разделах далее. Такие процедуры необходимы не только для построения графика; например, если функция возникает при исследовании какого-то физического явления, исследование функции может помочь глубже понять природу исследуемого объекта.

При окончательном построении графика следует руководствоваться не только соображениями аккуратности, но и пытаться сделать график наиболее информативным. Хорошим тоном считается такое расположение и такой масштаб графика, при котором наиболее ярко видны все особенности функции. В частности, совершенно необязательно начало координат должно находится в геометрическом центре рисунка; масштабы по осям абсцисс и ординат могут не совпадать.

График удобно строить параллельно с исследованием, заранее подготовив систему координат, на которой регистрируются все обнаруженные свойства функции.

План построения графика функции

1. Находим область определения функции D(f) и наносим её на ось Ox.

2. Выписываем уравнения вертикальных, горизонтальных и наклонныхасимптот графика функции. Для этого изучаем поведение функции на границах области определения. Находим односторонние пределы на концах полученных промежутков и бесконечностях, если D(f) не ограничена. Результат изображаем в виде прямых и стрелок или штрихов на координатной системе.

3. Исследуем функцию с целью выявить свойства чётности, нечётности,периодичности. Наличие этих свойств у функции позволяет упростить построение графика. Так, график чётной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечётной функции центрально симметричен относительно начала координат. Это обстоятельство позволяет ограничиться исследованием функции для x > 0. Для периодической функции подбираем отрезок, длина которого равна наименьшему периоду, на котором строим соответствующую часть графика и делаем заключение о функции и её графике в целом.

4. Находим точки пересечения графика y = f(x) с осями координат, промежутки знакопостоянства функции. Если выполнение этого пункта является технически сложным, то его вполне можно пропустить.

5. Находим первую производную f0(x) и определяем критические точки, опираясь на необходимый признак точки экстремума. Для этого находим корни производной из уравнения f0(x) = 0 и точки, в которых производная не существует.

6. Находим вторую производную f00(x), вычисляем её корни из уравнения f00(x) = 0 и точки, в которых вторая производная не существует.

7. Строим таблицу, первую строку которой занимает область определения функции, разбитая на промежутки критическими точками, а также нулями и точками несуществования второй производной. При этом критические точки, а также нули и точки несуществования второй производной выделяются в отдельные графы. Во второй строке таблицы указываем знаки первой производной и значения производной в критических точках, опираясь на достаточный признак точек экстремума функции. Третья строка заполняется знаками второй производной, после чего с помощью достаточного признака определяются абсциссы точек перегиба графика функции. В четвёртой строке фиксируем характер монотонности и выпуклости функции в каждом промежутке, изображая данные в виде стрелок с соответствующим типом выпуклости и направлением, указываем экстремальные значения f(x) и ординаты точек перегиба графика функции.

8. На чертёж наносим точки экстремума, локальные экстремальныезначения функции. Желательно указать направление касательной. Изображаем точки перегиба графика функции и вычерчиваем её график, опираясь при этом на данные четвёртой строки таблицы.

9. В конце целесообразно подвести итоги.

Примеры решения задач

Пример 5.27. Исследовать функцию f(x) = (x ? 5)2(x ? 1)2 и построить её график.

Решение. Функция является многочленом, определена и непрерывна для всех действительных чисел x ? (??;+?). Исследуем поведение функции при x > ?? и x > +?:

lim (x ? 5)2(x ? 1)2 = +?,

x>?? lim (x ? 5)2(x ? 1)2 = +?.

x>+? Строим прямоугольную систему координат и стрелками или штрихами изображаем поведение функции на бесконечностях. Итак, по полученным данным можно сделать вывод о том, что вертикальных и горизонтальных асимптот график функции не имеет. При этом наличие наклонной асимптоты не исключено, поэтому вычислим пределы при x > ±?:

, . Наклонных асимптот нет.

Функция не является ни чётной, ни нечётной, т. к.

f(?x) = (?x ? 5)2(?x ? 1)2 = (x + 5)2(x + 1)2.

Свойством периодичности функция также не обладает. Однако можно заметить, что график функции симметричен относительно вертикальной прямой x = 3:

f(3 ? x) = (3 ? x ? 5)2(3 ? x ? 1)2 = (?2 ? x)2(2 ? x)2 =

= (x + 2)2(x ? 2)2 = (3 + x ? 1)2(3 + x ? 5)2 = f(3 + x).

Найдём точки пересечения графика функции с осями координат. Положим x = 0, тогда f(0) = (0 ? 5)2(0 ? 1)2 = 25. Таким образом, график функции пересекается с осью ординат в точке (0;25). Для нахождения точек пересечения графика с осью абсцисс следует решить уравнение f(x) = 0:

(x ? 5)2(x ? 1)2 = 0,

откуда x1 = 1, x2 = 5.

Итак, точки (1;0) и (5;0) являются точками пересечения графика исследуемой функции с осью Ox. Найденные

точки отмечаем на чертеже. Заметим ещё одну особенность функции: она неотрицательна на всей числовой оси.

Переходим к вычислению производной функции:

f0(x) = 2(x ? 5)(x ? 1)2 + (x ? 5)2 · 2(x ? 1) = 4(x ? 1)(x ? 3)(x ? 5).

Нулями производной являются точки x1 = 1, x2 = 5, x3 = 3. Все найденные значения принадлежат области определения функции и являются её критическими точками. Точек, в которых производная не существует, нет. Находим вторую производную:

. Чтобы отыскать абсциссы возможных точек перегиба графика функции, воспользуемся достаточным признаком точек перегиба и найдём точки, в которых f00(x) = 0 или не существует:

. Точки x1 ? 4,2 и x2 ? 1,8 являются абсциссами возможных точек перегиба графика. Точек, в которой вторая производная не существует, нет.

По результатам проведённых исследований функции заполняем таблицу, в которой фиксируем изменения знаков f0(x) и f00(x), определяем характер монотонности и выпуклости функции f(x), а также точки экстремума, экстремумы функции и точки перегиба графика функции.

v v v

x (??; 1) 1 ; 3) 3 f0(x) ? 0 + + + 0 f00(x) + + + 0 ? ? f(x) 0 64 9 1 v v v

x (3; 3 + 2 33) 3 + 2 33 (3 + 2 33; 5) 5 (5; +?) f0(x) ? ? ? 0 + f00(x) ? 0 + + + f(x) 64 9 0 При этом используются достаточные признаки возрастания и убывания функции, точек экстремума, достаточные признаки выпуклости и точек перегиба. В точках x = 1 и x = 5 функция достигает локальные минимальные значения, равные нулю. Точка x = 3 является точкой максимума и локальный максимум равен 16.

В точках (1; 0), (3; 16) и (5; 0) указываем горизонтальное направление касательной (поскольку f0(1) = 0, f0(3) = 0, f0(5) = 0).

На рисунке отмечаем точки перегиба графика функции. Значения ординат точек перегиба являются совпадающими рациональными числами:

. Вычерчиваем график функции и подводим итог (рис. 5.5). Функция определена на всей числовой оси, является функцией общего вида. Асимптот нет. Точки экстремума x = 1, x = 3, x = 5, функция возрастает при x ? (1; 3) ? (5; +?), убывает при x ? (??; 1) ? (3; 5).

Точки перегиба Функция выпукла вниз

при и выпукла вверх при x ?

. Рис. 5.5. Эскиз графика функции примера 5.27.

Пример 5.28. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение. Область определения данной функции задаётся неравенством

x2 ? 4 > 0, (x ? 2)(x + 2) > 0.

Функция существует при x ? (??; ?2) ? (2; +?). На чертеже область, в которой функция не существует, покрываем штриховкой. Найдём предельные значения функции на границе области определения, для чего вычислим односторонние пределы при x > 2 + 0 и x > 2 ? 0:

, Полученные результаты изображаем на чертеже стрелочками и, основываясь на данных результатах заключаем, что прямые x = 2 и x = ?2 являются вертикальными асимптотами.

Вычислим пределы функции на бесконечности:

, При вычислении последних пределов учтено, что

v v x2 = x при x > 0; x2 = ?x при x 0 и f(x) 2 значения функции положительны. Условие

позволяет заключить, что при всех x 0 при x ? (??; ?3) ? (?3; ?2) ? (0; ?). Находим вторую производную:

. Вторая производная определена в тех же точках, что и первая производная, нулей не имеет. Интервалы знакопостоянства определяются по аналогии с первой производной.

Заносим все сведения в таблицу.

x (??; ?3) ?3 (?3; ?2) ?2 (?2; 0) 0 (0; +?) f0(x) + не сущ. + 0 ? 0 + f00(x) + не сущ. ? 0 ? не сущ. ? f(x) 0 41/3 0 Итог: данная функция возрастает на интервалах (??; ?2) и (0; +?), убывает на интервале (?2; 0). В точке x = ?2 достигается локальный максимум, в точке x = 0 - локальный минимум. Функция выпукла вниз при x ? (??; ?3) и вверх при x ? (?3; 0) ? (0;+?). Точка (?3; 0) является точкой перегиба, она интересна тем, что производные в точке x = ?3 не существуют, но в этой точка выполняется достаточное условие точки перегиба графика функции (рис. 5.8).

Пример 5.31. Исследовать функцию

Рис. 5.8. Эскиз графика функции примера 5.30.

и построить её график.

Решение. Функция определена всюду на числовой оси: D(f) = R. Она имеет общий вид. Найдём точки пересечения графика с осью Oy: f(0) = 1. Исследуем поведение функции на бесконечностях:

. Таким образом, горизонтальных и вертикальных асимптот нет. Возможно существование наклонных асимптот. Вычислим пределы

, Поскольку получились конечные значения для k1 и k2, вычислим b1 и b2:

, При вычислении последних пределов учтены предельные значения арктангенса: lim arctgx = ±?/2. Итак, имеются две наклонные асимптоты x>±?

y = x + 1 + ? и y = x + 1 ? ?. Изображаем их на рисунке. Вычислим производную функции:

. Критическими точками функции служат x = 1 и x = ?1. Находим вторую производную:

. Точка x = 0 является абсциссой возможной точки перегиба. Заполняем таблицу знаков первой и второй производных.

x (??; ?1) ?1 (?1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +?) f0(x) + 0 ? ?1 ? 0 + f00(x) ? ? ? 0 + + + f(x) ?

2 1 Таким образом, x = ?1 - точка локального максимума, максимальное значение функции f(?1) = ?/2. На рисунке касательная в точке (?1; ?/2) имеет горизонтальное направление. Функция достигает локальный минимум y = 2??/2 в точке x = 1. Касательная к графику в точке (1; 2 ? ?/2) так же горизонтальна.

Интервалы возрастания f(x): x ? (??; ?1) ? (1; +?) и убывания x ? (?1; 1). Функция обращена выпуклостью вверх при x ? (??; 0) и выпукла вниз при x ? (0; +?), поэтому, точка (0; 1) является точкой перегиба графика функции. В этой точке касательная проходит под углом 135? к положительному направлению оси Ox, поскольку f0(0) = ?1 (рис. 5.9).

Пример 5.32. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение. Областью определения служит вся числовая ось: D(f) = R. Функция является чётной, поскольку выполнено условие

. Данная функция периодическая с периодом T = ?, поэтому исследуем её на отрезке, равном периоду, например, при

. Рис. 5.9. Эскиз графика функции примера 5.31.

Более того, из-за чётности можно ограничиться изучением свойств на отрезке [0; ?/2], затем симметрично относительно оси Oy отобразить полученную часть графика и периодически продолжить его на всю ось Ox. Вычислим значение f(x) в граничных точках выбранного отрезка:

. В силу периодичности асимптот нет. Находим первую производную:

. Критические точки находятся из условия

, откуда ,

Из полученного множества значений, отрезку [0; ?/2] принадлежат точки: x = 0 и x = ?/2.

Находим вторую производную:

. Вторая производная существует во всех точках отрезка. Для нахождения нулей производной решим уравнение

2 ? 2cos2 2x ? 3cos2x = 0

путём замены t = cos2x, t ? [?1; 1]. Получаем:

. Нужному интервалу принадлежит лишь корень t1, следовательно, для нахождения x осталось решить тригонометрическое уравнение

при условии x ? [0; ?/2]. Этому уравнению удовлетворяет x = ?/6. Итак, f00(?/6) = 0.

Сводку всех результатов фиксируем в таблице:

x 0 ? v6 ? 2 f0(x) 0 ? ? 0 f00(x) ? ? 0 + + f(x) e2/3 e1/3 e?2/3 В интервале (0; ?/2) исследуемая функция убывает. В силу симметричности графика относительно оси Oy, в интервале (??/2; 0) функция возрастает, следовательно, x = 0 - точка максимума. Из-за периодичности справа от точки x = ?/2 функция так же возрастает, поэтому точка x = ?/2 является точкой минимума. Вычислим экстремальные значения функции:

и изобразим на рисунке в точках и (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Эскиз графика функции примера 5.32.

Функция выпукла вверх в интервале (0; ?/6) и обращена выпуклостью вниз в интервале (?/6; ?/2). Изображаем на рисунке точку перегиба . Вычерчиваем часть графика на отрезке [0; ?/2] и в силу чётности и периодичности продолжаем его на всю числовую ось.

Пример 5.33. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение. Функция определена для всех действительных x, кроме x = = 1, таким образом, D(f) = (??; ?1)?(?1;+?). Определим предельные значения функции на границе области определения:

. График имеет вертикальную асимптоту x = 1. Точка x = 1 является точкой разрыва II рода. Поведение функции на бесконечности исследуем, вычисляя пределы

. Следовательно, существуют две горизонтальные асимптоты: y = 1 при x > +? и y = ?1 при x > ??. Наклонных асимптот нет. Изображаем асимптоты на рисунке.

Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической.

График функции пересекается с осями координат в точке (0; 0). Функция положительна при x > 1 и отрицательна при x ? (??; 0)?(0;1).

Вычислим первую производную функции. При положительных значениях x функцию можно представить в виде

, тогда

, причём f0(x) 0 и функция возрастает.

Важно понимать, что в точке x = 0 первая производная не существует, поскольку f0(+0) = ?1, а f0(?0) = 1. В этой точке график имеет две различные односторонние касательные, проходящие под углами 45? и 135? к положительному направлению оси Ox. Поскольку слева от x = 0 функция возрастает, а справа - убывает, то x = 0 является точкой максимума. Вычислим вторую производную:

, при x ? (0; 1) ? (1; +?),

при x ? (??; 0).

В левосторонней окрестности точки x = 0 выполнено f00(x) > 0, а в правосторонней окрестности - f00(x) 0. В начальный момент времени точка находилась в M0 (?1; 0), а затем с ростом t координаты x и y возрастали. Таким образом, траекторией точки является часть параболы y = x2 +4x+3, лежащая правее и выше точки с координатами (?1; 0).

Найдём поизводную вектор-функции по параметру t:

v При t = 0c вектор скорости имеет координаты (1; 2), значит, v0 =v5м/с.

При t = 1c вектор скорости имеет координаты (1; 4), значит, v1 = 17м/с.

Задачи

6.1. Какая линия является годографом вектор-функции ~r = t~i + 2~j + +~k? Найдите производную этой функции.

6.2. Какая линия является годографом вектор-функции + et sint~j + et~k? Найдите производную этой функции.

§6.2 Сопровождающий трёхгранник линии. Кривизна и кручение

Производная радиус-вектора текущей точки линии по дуге является ортом касательной к этой линии в указанной точке:

. Отсюда . При ds > 0 имеем .

Прямую, проходящую через через точку M в направлении вектора, называют главной нормалью и обозначают ?. Орт главной нормали~?0 можно представить в виде

. Получающийся в результате векторного произведения ортов~?0 и~?0 вектор называется ортом бинормали ~?0, а прямая, проходящая через точку M данной линии в направлении указанного орта, называется бинормалью и обозначается ?. Итак,

~?0 =~?0 ?~?0. Орты~?0, ~?0, ~?0, исходящие из текущей точки M данной линии, определяют так называемый сопровождающий, или естественный, трёхгранник линии. Его рёбрами служат проведённые через точку M касательная, главная нормаль и бинормаль.

Грани также имеют свои названия: нормальная плоскость проходит через главную нормаль и бинормаль, в соприкасающейся плоскости лежат касательная и главная нормаль, спрямляющая плоскость проходит через касательную и бинормаль.

Рассмотрим две точки M и M1, положение которых на линии определяется дуговыми координатами s и s+?s соответственно. Длина дуги MM1 равна |ds|. В точках M и M1 проведём орты касательных, а угол между этими векторами обозначим 3. Кривизной K линии L в точке M называется следующий предел:

. Если линия определена как годограф вектор-функции ~r = ~r(s), то кривизну линии в точке вычисляют по формуле

. Если линия задана уравнением ~r = ~r(t), то

. Кручение линии определяется следующим образом. Для рассмотренных выше точек M(s) и M1(s + ?s) построим соответствующие бинормали ? и ?1, угол между которыми обозначим через ?. Абсолютным кручением |T| линии в точке M называется предел

. Абсолютное кручение линии в точке M можно вычислить по формуле

. Справедливы следующие равенства:

. Примеры решения задач

Пример 6.3. Для значения параметра найти координаты ортов осей сопровождающего трёхгранника линии, составить уравнения его рёбер и граней, а также вычислить кривизну и абсолютное кручение линии, являющейся годографом вектор-функции

~r = cost~i + sint~j + t~k.

Решение. Данная вектор-функция уже рассматривалась в предыдущем параграфе, поэтому воспользуемся уже полученными результатами, в частности, тем, что

. Вычислим дифференциал орта касательной по формуле:

Теперь можно найти производную орта касательной по дуге:

. С помощью этой производной определим кривизну:

. Находим орт главной нормали:

. Переходим к нахождению орта бинормали:

. Этот результат векторного произведения легче всего можно получить с помощью определителя третьего порядка, в первой строке которого расположены орты декартовой системы координат, а во второй и третьей строках - координтаы векторов ?0 и ?0 соответственно. Переходим к дифференциалу орта бинормали:

Вычислим производную орта бинормали по дуге s:

. Кручение найдём по формуле

как результат скалярного произведения векторов, заданных в координатной форме:

. Итак, первая часть работы завершена. Найдены координаты ортов касательной, главной нормали и бинормали, а также кривизна и кручение для текущей точки линии в зависимости от параметра t.

При заданном значении точка M имеет координаты .

С этой точкой связаны орты:

Уравнения рёбер сопровождающего трёхгранника будем составлять в каноническом виде с помощью уравнения прямой, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) в направлении вектора:

. Итак, для касательной ?:

, что после некоторых упрощений можно записать так:

. Уравнение главной нормали ?:

, что более просто можно записать в виде системы

. Уравнение бинормали ?:

или

. Чтобы записать уравнения граней, воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору A~i+

+ B~j + C~k: A(x ? x0) + B(y ? y0) + C(z ? z0) = 0.

Нормальная плоскость проходит через точку M перпендикулярно вектору ~?0:

. После преобразований получим уравнение:

. Соприкасающаяся плоскость проходит через точку M перпендикулярно вектору :

или . Спрямляющая плоскость проходит через точку M перпендикулярно вектору ~?0:

или после преобразований v

x + y = 2.

Обращаем внимание на тот факт, что кривизна и кручение не зависят от положения точки на линии и, соответственно, от значения параметра t, поэтому в каждой точке линии они постоянны:

. Задачи 6.3. Доказать, что линия является прямой тогда и только тогда, когда её кривизна тождественна нулю.

6.4. Доказать следующий факт: если кручение линии тождественно нулю, то эта линия лежит в некоторой плоскости, т. е. является плоской линией.

6.5. Вычислить кривизну и абсолютное кручение линии, являющейся годографом вектор-функции при. Найти при этом значении параметра координаты ортов осей сопровождающего трёхгранника, записать уравнения его рёбер и граней.

§6.3 Дифференциально-геометрические характеристики линии на плоскости

Будем считать, то линия L лежит в координатной плоскости Oxy и является графиком функции y = f(x). Это равносильно тому, что линия определена как годограф вектор-функции

где y = f(x). Параметром служит абсцисса x точки M линии L. Выпишем по порядку формулы для вычисления дифференциально-геометрических характеристик данной линии. Начнём с дифференциала вектор-функции:

Примем за положительное направление отсчёта дуговой координтаы s направление, в котором движется точка M(x,y) при возрастании x. Тогда

ds = p1 + (y0)2 dx.

Отсюда единичный вектор касательной можно представить в виде:

. Теперь продифференцируем орт ~?0 по дуге s:

. Кривизну плоской линии можно получить по формуле:

. В частности, кривизна окружности обратна её радиусу:

. Окружность кривизны плоской линии L в точке M этой линии определена следующими свойства: окружность лежит в плоскости линии; линия L и окружность имеют в точке M общую касательную и кривизну; окружность кривизны лежит по ту же сторону, что и линия L вблизи точки M. Центр и радиус кривизны этой окружности называют соответственно центром и радиусом кривизны линии L в точке M. Их произведение равно единице.

Координаты центра кривизны:

. Формулы кривизны и координат центра кривизны плоской линии пригодны и в случае параметрического задания линии.

Если линия задана уравнением в полярных координатах, то

. Здесь ? = ?(3), 3 - полярный угол, ? - полярный радиус. Штрихи означают производные от ? по 3.

Эволютой данной линии называется множество всех центров кривизны этой линии. Формулы координат центра кривизны составляют систему параметрических уравнений эволюты данной линии. Если L - график функции y = f(x), то параметром служит переменная x. Свойства эволюты: нормаль к линии L в точке M касается эволюты данной линии в центре кривизны C; при движении точки M по L длина дуги эволюты, пройденной точкой C, равна модулю приращения радиуса кривизны данной линии. Линия, для которой линия L является множеством центров кривизны, т. е. эволютой, называется эвольвентой данной линии L.

Эволюта у данной линии одна, а эвольвент - бесчисленное множество.

Примеры решения задач

Пример 6.4. Для логарифмической кривой y = lnx в точке её пересечения с осью Ox найти кривизну, радиус кривизны, а также координаты центра кривизны.

Решение. Точка пересечения кривой с осью Ox имеет координаты (1;0). Её абсцисса x = 1. Выпишем первую и вторую производные логарифмической функции:

, y0(1) = 1, y00(1) = ?1.

Для вычисления кривизны воспользуемся формулой

. Получим:

. Радиус кривизны ей обратен:

v R = 2 2. Координаты центра кривизны:

. Таким образом, центр кривизны C(3;?2).

Пример 6.5. Для циклоиды, заданной уравнениями

вычислить кривизну и координаты центра кривизны в точках, соответствующих значениям параметра.

Решение. По формуле вычисления кривизны плоской линии

. Здесь штрихи означают производные по переменной x. В данном случае x и y сами являются функциямия, зависящими от t. Этот факт следует учитывать при вычислении производных. Сначала найдём производные по t:

x0t = 1 ? cost, yt0 = sint,

x00tt = sint, ytt00 = cost.

Для координаты соответствующей точки M1 циклоиды . Значения производных:

. Теперь используем правила дифференцирования функций, заданных параметрически:

. В точке M1:

. Вычисляем кривизну линии в указанной точке:

. Координаты центра кривизны находим по формулам

. Итак, центр кривизны C1 циклоиды в точке M1 имеет координаты .

Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что при t2 = ? соответствующая точка M2 циклоиды имеет координаты (?;2), кривизна линии в этой точке, а соответствующий центр кривизны C2 имеет координаты (?;?2).

Пример 6.6. Составить уравнение эволюты параболы y = 0,5x2. Решение. Находим производные в произвольной точке x:

y0 = x, y00 = 1.

Координаты центра кривизны в текущей точке M(x;y) таковы:

, . Таким образом,

(xC = ?x3, yC = 1 + x2

есть параметрические уравнения эволюты данной параболы. Исключив x, можно непосредственно выразить yC через xC:

. При движении точки M по правой ветви параболы точка C движется по левой ветви эволюты. Правая ветвь эволюты соответствует левой ветви параболы.

Задачи

6.6. Для кривой y = x2 ? 3x при x = 1 найти кривизну, радиус кривизны, а также координаты центра кривизны.

6.7. Для кардиоиды ? = 1 + cos3 выписать выражение для кривизны в текущей точке.

6.8. Для эллипса 4x2 + y2 = 4 вычислить радиус кривизны в точке (0;2).

6.9. Для циклоиды x = a(t ? sint), y = a(1 ? cost) показать, что эволютой этой линии служит такая же циклоида, которая получается сдвигом данной циклоиды вниз на величину a и вправо на величину ?a.

6.10. Написать уравнение эволюты линии x = tsint+cost, y = tsint? ? sint.

Ответы

Тема 1 1.3. а) A ? B = (0; 5], A ? B = ?; б) A ? B = (?4; 7], A ? B = [0; 2];

в) A ? B = (0; 10); A ? B = [1; 5]. 1.4. а) A ? B = (?2; 6], A ? B = ?;

б) A ? B = (?5; 2], A ? B = [?2; 1]; в) A ? B = (?3; 7]; A ? B = [1; 7)

1.5. а) A = {1, 2, 3, 4, 5}; б) B = {?3, ?2, ?1, 0, 1};

в) C = {?2, ?1, 0, 1, 2}; г) D = {?3, ?2, ?1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

1.6. а) A = {1, 2, 3, 4}; б) B = {?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1};

в) C = {?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, 4}; г) D = {?3, ?2, ?1, 0 , 1}.

; ; 1.34.

1.39. 1.43. 1.46. (?2;1), (2;2) 1.47. (1;3), (2;1) 1.48. (3;2), (1;3) 1.49. (0,6;0,3),

(0,4;0,5) 1.50. (1;3), (?1;?3), (3;1), (?3;?1) 1.51. (4;2), (2;4)

1.52. (?2;?2), (1;1) 1.53. (2;1), (?2;?1) 1.54. (2;1), (?2;?1), (1;2),

(?1;?2) 1.55. [?5; ?3) ? (1; +?) 1.56. (?5; 1) ? [4; +?)

1.57. (?3; ?2) ? [0; +?) 1.58. [?5; ?3) ? {3/7} ? (1; +?)

1.59. (?5; 1) ? {3} ? [4; +?) 1.60. (?3; ?2) ? {?1} ? [0; +?)

1.61. (?2; 0) ? (0; 1) 1.62. (??; ?3) ? (3; +?) 1.63. (2; 3) ? (3; 5)

1.64. (??; 1] ? (2; 3) 1.65. (??; ?1) ? [4; +?)

1.66. (??; ?2) ? (2; +?) 1.67. ?7; ?13. 1.68. 4; 16. 1.69. 11; ?31.

1.70. . 1.74. .

1.77. (?1/2; 1) ? (1; 5,5). 1.78. (??; 4/3). 1.79. 1. 1.80. 7. 1.81. 2.

1.82. .

v v 1.86. (??; ?7) ? (1/5; +?). 1.87. 5; 2 ? 5. 1.88. 3; 1 ? 2.

1.89. . 1.94. 2; 1. 1.95. ?0,5. 1.96. 1. 1.97. (??; ?3) ? (1; +?).

1.98. [?3; ?1]. 1.99. (??; ?2/3) ? (4; +?). 1.100. (??; 0).

1.101. (0; +?). 1.102. [0; 1]. 1.103. 18. 1.104. 22. 1.105. 16,2.

1.106. 1. 1.107. 6. 1.108. .

1.111. 6,2. 1.112. (0; 0,5) ? (1; 1,5). 1.113. (1; 3).

1.114. (?4; ?3) ? (4; 5). 1.115. sin2 x. 1.116. 1. 1.117. 4.

1. 118..

1.122. 1.124. ,

. 1.133. (??; +?). 1.134. (??; ?2) ? (?2; 2) ? (2; +?).

1.135. (??; ?1) ? (?1; 5) ? (5; +?). 1.136. (??; ?5) ? (5; +?).

1.137. (??; ?1) ? (?1; 1) ? (1; +?).

1.138. . 1.140. [?2; ?1]. 1.141. (??; ?5) ? [2; +?).

1.142. (?1; 0) ? (0; +?). 1.143. (0; 7). 1.144. (??; 2) ? (2; +?).

1.145.. 1.148. (??; 0) .

1.151. (??; ?5) ? (5; 6) ? (6; +?).

1.152. , f(?x) = x2 + 3x + 4, f(5x) = 25x2 ? 15x + 4, f (x + 4) = x2 + 5x + 8,

, , , , , .

v 1.158. y = 3 sinx4. 1.159. y = (lnctg(2x + 5))7. 1.160. y = v3, v = cost, t = 2x + 1. 1.161. y = cosu, u = t4, t = x2 + 2x + 3. 1.162. y = lgt,

t = vv, v = arcsinu, u = 3x. 1.163. y = v3 t, t = arctgu, u = 2v, v = cosx.

1.164. Нечётная. 1.165. Чётная. 1.166. Общего вида. 1.167. Нечётная. 1.168. Чётная. 1.169. Нечётная. 1.170. Общего вида. 1.171. Обещго вида. 1.172. Чётная. 1.173. Чётная. 1.174. T = ?. 1.175. T = 4?.

1.176.. 1.193..

1.197.. 1.203. 1.207.

1.209.

1. 210.. 1.213..

1.216.. 1.219..

Тема 2 2.1.

2.4.

2.6. 2. 10.. 2.17.

2.24. +? при x > 2 + 0; ?? при x > 2 ? 0.

2.25. +? при x > +0; ?? при x > ?0.

2.26. +? при x > 3 + 0; 0 при x > 3 ? 0.

2.27. 1 при x > 2 + 0; ?1 при x > 2 ? 0.

2.28. при при при x > 3 ± 0.

2.30. +? при x > 1 + 0; ?? при .

2.33.

2.40. 2.47. 2.53.

2. 60.. 2.67. 2.74.

2.81. 1. 2.82. при x > +?; ?1 при x > ??.

2.84. при при.

2.88. при x > +?; ?? при x > ??.

2.92. 2 при x > +?; ? при x > ??. 2.93. 2. 2.94. +?.

2.95. 1 при x > +?; +? при x > ??. 2.96. 2 при x > +?; ?? при x > ??. 2.97. 0 при x > +?; +? при x > ??.

2.98. при при x > ??.

3 2.99. при x > ??. 2.100. 0. 2.101. 1. 2.102. ?.

2.103.. 2.110. 2.116.

2.122. 2.128. 2.134.

2. 140..

2.146. 2.151. 2.156.

2.162. 2.168. при x > +0; 0 при x > ?0.

2.171. 0 при x > +?; +? при x > ??.

2.172. +? при x > +?; 0 при .

2.175. 2. 181..

v 2.187. 1. 2.188. 1. 2.189. 8 e. 2.190. e припри x > ??.

2.191. Одного порядка.

2.194. ?(x)более высокого порядка по сравнению с?(x).

2.195. ?(x)более низкого порядка по сравнению с?(x).

2.196. ?(x) ? ?(x). 2.197. Одного порядка. 2.198. Одного порядка.

2.199. ?(x) ? ?(x).

2.200. ?(x)более высокого порядка по сравнению с?(x). 2.201. n = 2.

2.202..

2.207. 2.213. 2.219.

2.225. 2.230.. 2.235.

2.240. 2.246. Тема 3

3.1. 1. 3.2. 9. 3.3. . 3.4. 5. 3.5. -1. 3.6. 3. 3.7. 1. 3.8. 0.

3.9. . 3.13. 3.17.

3.20. 3. 23.. 3.26.

3.29. . 3.32.. 3.34.

3.36.

3.38.. 3.40. 3.42.

3.45. 3.48. 3.52.

3.55. 3. 58.. 3.62.

3arcctg2 x shx

3.65. ? . 3.66. 2shx · chx. 3.67. thx. 3.68. v .

1 + x2 2 chx 3cth2 3 4 2

3.69. . x 3.72..

3.75.

3.77.. 3.80. 3.82.

3.84. 3.85. 3.86.

3.87. 3.88. 3.89.

3.91.

3.93.. 3.95. 3.97.

3.99. 3.100. 3.102..

3.103. . .

. 3.131..

3.134. 3.136. 3.138.

3.139. 3.140. 3.141.

3.142. 3.145. 3.147.

3.149.

3.153. 3. 156..

3.158.. 3.160. .

3.161. yк = x + ln3 ? 1;yн = ?x + ln3 + 1. 3.162. yк = 1;xн = 0.

3.163..

3.165.. 3.168. yк = 2xв точке(0;0); yк = ?2x + 4 в точке(2;0).

3.169. yк = 8в точке(0;8); yк = 12x + 24 в точке(?2;0).

3.170. в точке в точке(?1;?1).

3.171. в точке(3/2; 9/4).

3.172. yк = 4x ? 3в точке в точке(3;0).

3.173. yк = x ? 2в точке(1;?1);yк = x + 6 в точке(?3;3).

3.174. 3.177. 3.180.

3.181..

3.182. 3.184. 3.187.

3. 192.. 3.198. 0. 3.199. 4. 3.200. .

3.202. 3.204. 3.207.

3. 209..

3.210. 3.212. 3.215. d2y = (20x3 + 24x2)dx2 + (5x4 + 8x3)d2x; d2y = 2t6(45t2 + 56)dt2.

3.216. . 3.217. d2y = (2cosx ? x sinx)dx2 + (sinx + x cosx)d2x; d2y = [cos(t2 +

. Тема 4 4.1. 1. 4.2. -

точка устранимого разрыва. 4.6. x ? (??;?2) ? (?2;2) ? (2;+?); x = 2, x = ?2 - точки разрыва второго рода.

4.7. x ? (??;0) ? (0;+?); x = 0 - точка разрыва первого рода.

4.8. x ? (??;?7) ? (?7;1) ? (1;+?); x = ?7 - точка разрыва второго рода; x = 1 - точка устранимого разрыва. 4.9. (??;+?); точек разрыва нет. 4.10. x ? (??;?10) ? (?10;+?); x = ?10 - точка устранимого разрыва. 4.11. x ? (??;?2)?(?2;?1)?(?1;2)?(2;+?); x = 2, x = ?2 - точки устранимого разрыва; x = ?1 -точка разрыва второго рода. 4.12. x ? (??;8) ? (8;+?); x = 8 - точка разрыва первого рода. 4.13. x ? (??;?2) ? (?2;2) ? (2;+?); x = 2 - точка разрыва первого рода; x = ?2 - точка разрыва второго рода.

4.14. x ? (??;0) ? (0;+?); x = 0 - точка разрыва первого рода.

4.15.; . v 4.22. f(3) = 3 9; f(0) = f(2) = 0. 4.23. f(?) = ?; f(??) = ??.

4.24..

Тема 5 5.1. ? = 2. 5.2. При x = 1 производная функции не существует, поэтому условия теоремы Ролля не выполнены. 5.3.

5.6. , 0 1. ---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

6 Тема 1. Введение в анализ

4 6 Тема 1. Введение в анализ

7

7 6 Тема 1. Введение в анализ

11 11 6 Тема 1. Введение в анализ

§1.7. Неравенства. Метод интервалов 25

§1.7. Неравенства. Метод интервалов 25

6 Тема 1. Введение в анализ

7 11 6 Тема 1. Введение в анализ

§1.12. Тригонометрические уравнения и неравенства 45

§1.12. Тригонометрические уравнения и неравенства 45

6 Тема 1. Введение в анализ

§1.13 Основные элементарные функции 51

§1.13 Основные элементарные функции 51

6 Тема 1. Введение в анализ

§1.14 Графики элементарных функций 61

§1.14 Графики элементарных функций 61

6 Тема 1. Введение в анализ

11

76 Тема 2. Предел функции

§2.2. Определение предела функции 77

76 Тема 2. Предел функции

76 Тема 2. Предел функции

§2.3 Пределы рациональных функций 85

§2.3 Пределы рациональных функций 85

76 Тема 2. Предел функции

§2.4 Пределы иррациональных функций 91

§2.4 Пределы иррациональных функций 91

100 Тема 2. Предел функции

Решение.

§2.5 Основной тригонометрический предел 101

Решение.

§2.5 Основной тригонометрический предел 99

76 Тема 2. Предел функции

11

§2.5 Основной тригонометрический предел 99

76 Тема 2. Предел функции

§2.7 Сравнение бесконечно малых 111

§2.7 Сравнение бесконечно малых 111

118 Тема 3. Производная и дифференциал

§3.1 Правила дифференцирования 119

118 Тема 3. Производная и дифференциал

§3.2 Касательная и нормаль. Дифференциал 133

§3.2 Касательная и нормаль. Дифференциал 133

118 Тема 3. Производная и дифференциал

§3.3 Производные и дифференциалы высших порядков 139

§3.3 Производные и дифференциалы высших порядков 139

146 Тема 4. Непрерывные функции

152 Тема 5. Аналитические приложения дифференциального исчисления

§5.1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора 153

152 Тема 5. Аналитические приложения дифференциального исчисления

152 Тема 5. Аналитические приложения дифференциального исчисления

11

11 152 Тема 5. Аналитические приложения дифференциального исчисления

§5.3 Экстремумы функции, промежутки монотонности 165

§5.3 Экстремумы функции, промежутки монотонности 165

152 Тема 5. Аналитические приложения дифференциального исчисления

7

7 152 Тема 5. Аналитические приложения дифференциального исчисления

11 11 152 Тема 5. Аналитические приложения дифференциального исчисления

§5.6. Построение графиков 181

§5.6. Построение графиков 181

202 Тема 6. Дифференциальная геометрия кривых

7 202 Тема 6. Дифференциальная геометрия кривых

§6.2. Сопровождающий трёхгранник линии. Кривизна и кручение 205

§6.2. Сопровождающий трёхгранник линии. Кривизна и кручение 205

202 Тема 6. Дифференциальная геометрия кривых

§6.3 Дифференциально-геометрические характеристики линии 211

§6.3 Дифференциально-геометрические характеристики линии 211

218 Ответы

Ответы 219

Показать полностью…
2 Мб, 11 сентября 2013 в 20:47 - Россия, Москва, НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ), 2013 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении