Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 018567 из НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ)

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора. Будут рассмотрены два примера: первый пример - с пояснениями; вто-v рой - как образец оформления. Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств. Рекомендуется рассматривать эти утверждения как хорошие теоретические задачи для самостоятельного решения. Полный список теоретических задач приведён в конце.

Пусть L - векторное пространство, A - линейный оператор в L.

Ядро (=нуль-пространство) линейного оператора - полный прообраз множества {0}, т. е. множество всех векторов, которые переводятся линейным оператором в 0:

kerA = A?1({0}) = {x ? L | Ax = 0}.

Образ (=множество значений) линейного оператора - множество всех векторов, у которых есть прообразы относительно A:

imA = A(L) = {y ? L | ?x ? L: Ax = y}.

v Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами .

Например, если L - координатная плоскость (двумерное векторное пространство с базисом e1,e2) и оператор A проектирует радиус-векторы на ось абсцисс (=на линейную оболочку вектора e1) параллельно оси ординат (=параллельно линейной оболочке вектора e2), то kerA - ось ординат (линейная оболочка вектора e2), imA - ось абсцисс (линейная оболочка вектора e1):

kerA = `(e2), imA = `(e1).

Рассмотрим на примере, как находить базисы ядра и образа линейного оператора, заданного матрицей в некотором базисе.

Пример 1. Дана матрица линейного оператора A в базисе e =

(e1,e2,e3,e4): .

Столбцовый способ основан на следующем принципе: под координатным столбцом вектора x пишется координатный столбец его образа Ax, т. е. под xe пишется (Ax)e.

Если отождествлять векторы пространства L с их координатными столбцами в базисе e, то можно выразиться короче: под каждым вектором x пишется его образ Ax.

По условию, известны образы векторов базиса (вспомните определение матрицы оператора). Поэтому сверху пишем единичную матрицу: E = ((e1)e,...,(e4)e), а снизу - матрицу оператора: Ae =

((Ae1)e,...(Ae4)e).

. Далее будем делать с верхней и нижней матрицами одинаковые столбцовые преобразования, приводящие нижнюю матрицу к столбцово псевдотреугольному виду. Матрица называется столбцово псевдотреугольной, если в каждом ненулевом столбце есть ненулевой элемент, правее которого стоят нули.

Переставим местами третий столбец с первым, чтобы (1,1)-й элемент нижней матрицы стал равен 1. Выберем этот элемент в качестве ведущего и с помощью столбцовых преобразований "уничтожим" элементы правее него:

? 0 0 1 0 ? ? 0 0 1 0 ?

? 0 1 0 0 ? C2 + 3C1 ? 0 1 0 0 ?

? 1 0 0 0 ?? C3 ? 2C1 ?? 1 3 ?2 ?4 ?? ?

C1 - C3 ? 0 0 0 1 ?? C4 ??4C1 ??? 0 ???

? ??? ? 2 4 ? ??

? 2 2 ?3 ?1 ?? ?? 2 8 ?7 ?9 ??

? ? ?3 ?7 8 6 ?? ?? ?3 ?16 14 18 ??

? ?1 ?5 5 5 ?1 ?8 7 9

Отметим, что одни и те же столбцовые преобразования проводятся с верхней и нижней матрицами. Поскольку оператор A линейный, то при таких преобразованиях всегда сохраняется основной принцип столбцового способа: под каждым вектором пишется его образ. Например, если в верхней матрице имеются столбцы xe и ye (а под ними стоят (Ax)e и (Ay)e) и мы заменяет xe на xe +?ye и (Ax)e на (Ax)e +?(Ay)e, то новый нижний столбец оказывается образом нового верхнего столбца:

(Ax)e + ?(Ay)e = (Ax + ?Ay)e = (A(x + ?y))e.

Это легко проверить: если любой верхний столбец умножить слева на матрицу Ae, то должен получиться нижний столбец.

Продолжим вычисления. Можно заметить, что в нижней матрице второй, третий и четвёртый столбцы пропорциональны. Умножим третий и четвёртый столбцы на 8, а затем "уничтожим" их с помощью второго:

? 0 0 8 0 ? ? 0 0 8 0 ?

? 0 1 0 0 ? C3 + 7C2 ? 0 1/8 7 9 ?

C3 · 8 ? 1 3 ?16 ?32 ?? C4 + 9C2 ?? 1 3/8 5 ?5 ?? ? C4 · 8 ? 0 ?? C2 ·?(1/8) ??? 0 0 00 0 80 ????.

? ??? ?? ? ? ?56 ?72 ?? ?? 2 1 0 0 ??

? 2 8 ? ?3 ?16 112 144 ?? ?? ?3 ?2 0 0 ??

? ?1 ?8 56 72 ?1 ?1 0 0

Нижняя матрица приведена к столбцово псевдотреугольному виду: в ненулевых столбцах (1-м и 2-м) есть элементы, правее которых нули.

Обозначим через v1 и v2 векторы пространства L, координатные столбцы которых стоят над нулевыми столбцами нижней матрицы:

v1 = 8e1 + 7e2 + 5e3, v2 = 9e2 ? 5e3 + 8e4,

так что

(v1)e = (8,7,5,0)T, (v2)e = (0,9,?5,8)T.

Ясно, что векторы v1 и v2 принадлежат ядру оператора A, так как их образы равны нулю.

Обозначим через b1 и b2 векторы пространства L, координатные столбцы которых являются ненулевыми столбцами нижней матрицы:

(b1)e = (1,2,?3,?1)T, (b2)e = (0,1,?2,?1)T.

Ясно, что b1 и b2 принадлежат образу оператора A, так как у них имеются прообразы - векторы с координатными столбцами

(0,0,1,0)T, (0,1,3,0)T.

v Теорема 1 . Пусть матрицаприведена элементарными столбцовыми преобразованиями к матрице , где матрица Y - столбцово псевдотреугольная. Тогда столбцы матрицы Y - координатные столбцы векторов базиса imA, а столбцы матрицы X, стоящие над нулевыми столбцами матрицы Y - координатные столбцы векторов базиса kerA.

(v1,v2) - базис kerA, а (b1,b2) - базис imA. В частности, найдены размерность ядра (дефект) и размерность образа (ранг): dimkerA = 2, dimimA = 2. Заметим, что

dimkerA + dimimA = dimL.

Как сделать проверку? Нужно убедиться в том, что последняя пара матриц удовлетворяет основному принципу: под каждым вектором расположен его образ. Для этого нужно умножать матрицу Ae на верхние столбцы и проверять, получаются ли при этом нижние. Можно сразу умножить матрицу Ae на верхнюю матрицу и убедиться в том, что получилась нижняя:

. Строчный способ - приведение матрицы оператора строчными элементарными преобразованиями к строчно псевдодиагональному (=приведённому) виду. При этом одновременно решается однородная система линейных уравнений (Aexe = 0) и находится базисная подсистема (=максимальная линейно независимая подсистема) системы столбцов матрицы Ae. Тем самым находятся базис ядра и базис образа.

C2 ? 2C1 ? 2 ?3 1 4 ? C3 + 3C1 ? 2 ?3 1 4 ?

??? ?38 ?72 ?32 ?16 ??? C4 ?+ C1 ??? ?147 ?168 00 ?189 ??? C2 · (??1/7)

5 ?5 ?1 5 7 ?8 0 9

? 2 ? ?? 1 ? 14

7 ?3 ?8/7 ?16 ?8 C1 ? 2C2

1 4 ? C3 ? 14C2 ? 0 ?5/7

0 9/7 ? C4 ??7C2 ?? 1 ?8/7

0 18 ?? ? 0 0 0 9 0 0 1

0 0 0 10/7 ? 9/7 ?.

0 ??

0 Матрица приведена к строчно псевдодиагональному (=приведённому) виду: в каждой ненулевой строке есть ненулевой ведущий элемент, в столбце которого все остальные элементы нулевые.

1-й и 3-й столбцы, содержащие ведущие элементы, образуют базисную подсистему системы столбцов последней матрицы (они линейно независимы, а 2-й и 4-й столбцы линейно выражаются через 1-й и 2-й). При строчных преобразованиях линейные зависимости между столбца-v ми матрицы не меняются , поэтому 1-й и 3-й столбцы исходной матрицы Ae образуют базисную подсистему системы её столбцов. Пусть a1 = Ae1, a2 = Ae3:

(a1)e = (2,?8,8,5)T, (a2)e = (1,2,?3,?1)T.

v (a1)e и (a2)e - базисная подсистема столбцов матрицы Ae, поэтому a1 и a2 - базис imA.

Система координатных столбцов векторов базиса ядра - это базис пространства решений системы Aexe = 0, т. е. фундаментальная система решений этой системы.

Последняя матрица соответствует такой системе уравнений:

= 0; = 0.

Выразим базисные переменные через свободные:

, Сначала подставляем x2 = 7, x4 = 0; затем наоборот: x2 = 0, x4 = 7. Пусть u1 и u2 - векторы из L, у которых соответствующие векторыстолбцы:

(u1)e = (8,7,5,0)T, (u2)e = (?9,0,?10,7)T.

v Векторы v1 и v2 образуют базис ядра .

Проверка состоит из трёх частей:

2) Векторы a1 и a2 линейно независимы, так как матрица

? 2 1 ? ((a1)e,(a2)e) = ??? ?88 ?32 ???

5 ?1 содержит ненулевой минор второго порядка:

. 3) Векторы u1 и u2 принадлежат ядру A:

Ae(u1)e = 0, Ae(u2)e = 0.

Проверяется так:

. Сравним ответы, полученные двумя способами.

Столбцовый способ:

kerA: (v1)e = (8,7,5,0)T, (v2)e = (0,9,?5,8)T. imA: (b1)e = (1,2,?3,?1)T, (b2)e = (0,1,?2,?1)T. Строчный способ: ker. im.

Две системы векторов называются эквивалентными, если векторы второй системы являются линейными комбинациями векторов первой системы, и наоборот.

Убедимся в том, что системы (v1,v2) и (u1,u2) эквивалентны:

( (

v1 = u1, u1 = v1, v2 = (9u1 + 8u2)/7; u2 = (?9v1 + 7v2)/8.

Чтобы подобрать коэффициенты, нужно смотреть на нулевые координаты. Системы (b1,b2) и (a1,a2) также эквивалентны:

( b1 = a2, b2 = (?a1 + 2a2)/7; (

a1 = 2b1 ? 7b2, a2 = b1.

Пример 2. Построить базисы в ядре и образе оператора A, действующего в пространстве матриц M2(C) по правилу

. Выберем в M2(C) базис

. Найдём образы базисных векторов (матриц) относительно оператора A и разложения этих образов по базису:

, Коэффициенты разложений, записанные по столбцам, образуют матрицу оператора A в базисе E:

. Можно сделать частичную проверку, вычислив AX двумя способами для какой-то матрицы X:

. Проверка сошлась.

Пример 2, столбцовый способ построения базисов в kerA и imA:

? 1 0 0 0 ? ? 1 0 2 1 ?

? 0 1 0 0 ? ? 0 1 0 0 ?

? 0 0 1 0 ?? C3 + 2C1 ?? 0 0 1 0 ??

? ? 0 0 0 1 ??? C4 ?+ C1 ??? 00 ?20 ?3 00 1 ???? C?2/2

? ? 0 ?2 ?3 0 ? ?

? ? 3 4 0 ?3 ?? ?? 3 4 6 0 ??

? ? 2 0 ?4 ?2 ?? ?? 2 0 0 0 ??

? 0 2 3 0 0 2 3 0

? 1 0 2 1 ? ? 1 0 4 1 ?

? 0 1/2 0 0 ? ? 0 1/2 ?3 0 ?

? 0 0 1 0 ?? C3 ? 3C2 ? 0 0 2 0 ??

? ? ? 0 0 0 1 ??? C3?· 2 ? 00 ?01 0 10 0 ????.

? ?? 0 ?1 ?3 0 ? ??

? ? ? 3 2 6 0 ?? ? 3 2 0 0 ??

? ?

? 2 0 0 0 ?? ? 2 0 0 0 ??

? ? 0 1 3 0 0 1 0 0

Проверка:

. Базис ядра:

; . Базис образа:

; . Пример 2, строчный способ построения базисов в kerA и imA:

? 0 ?2 ?3 0 ? C2 + 2C1 ? 0 ?2 ?3 0 ? C2 · (1/3)

? 3 4 0 ?3 ? C4 ?+ C1 ?? 3 0 ??46 ??23 ??? C3 ·?(1/2)

?? 2 0 ?4 ?2 ?? ? 2 0

0 2 3 0 0 0 0 0

? 0 ?2 ?3 0 ? ? 0 ?2 ?3 0 ?

? ?? 1 0 ?2 ?1 ?? C3 ?? C2 ?? 1 0 ?2 ?1 ??.

? 1 0 ?2 ?1 ? ? 0 0 0 0 ?

0 0 0 0 0 0 0 0

Ведущие элементы стоят в первом и втором столбце, поэтому базис imA образуют AE1 и AE2:

. Рассмотрим систему уравнений, соответствующих последней матрице.

Выразим базисные переменные через свободные:

( x2 = ?(3/2)x3, x1 = 2x3 + x4.

Подставляем сначала x3 = 2, x4 = 0; затем x3 = 0, x4 = 1:

(u1)E = (4,?3,2,0)T, (u2)E = (1,0,0,1)T.

Базис ядра образуют матрицы

. Проверка:

1) dimkerA + dimimA = 2 + 2 = 4 = dimM2(C);

2) a1 и a2 не пропорциональны и поэтому линейно независимы; 3) умножая AE на столбцы (a1)E и (a2)E, получаем нулевые столбцы:

. Столбцовый и строчный способы: за и против

Преимущества столбцового способа:

• наглядность и простота проверки на каждом шаге (под каждым вектором записан его образ);

• все вычисления делаются по одной схеме и в конце выписывается готовый ответ (а в строчном способе нужно ещё вычислять ФСР);

• делается лишь прямой ход метода Гаусса (матрица приводится к псевдотреугольному, а не псевдодиагональному виду).

Преимущества строчного способа:

• работа с одной матрицей вместо двух;

• базис образа находится как подсистема векторов Ae1,...,Aen.

Число арифметических операций в этих способах примерно одинаково: при столбцовом способе приходится проводить вычисления с двумя матрицами, но зато делать лишь прямой ход метода Гаусса.

Рекомендация: если в матрице Ae хорошо видны линейные зависимости между строками, используйте строчный способ; если видны зависимости между столбцами, столбцовый.

Теоретические задачи и упражнения

Сначала повторим некоторые факты из программы 1-го курса.

Элементарные преобразования

Матрица называется элементарной, если она получается из единичной в результате элементарного преобразования (строчного или столбцового).

1 Строчные преобразования матрицы равносильны умножению слева на элементарные матрицы. Например, строчная трансвекция C2 + 3C3 равносильна умножению слева на элементарную матрицу

, а столбцовая трансвекция C3 ? 5C1 равносильна умножению справа на элементарную матрицу

. Сделать проверку, умножив эти элементарные матрицы на какую-нибудь матрицу, например

. Найти матрицы, соответствующие следующим элементарным преобразованиям, и сделать численную проверку:

C2 ? 8C1, C2 - C3, C1 · 5; C2 + 43, C1 - C3, C2 · (?3).

2 Элементарные преобразования обратимы. Например, обратным к C3 ? 4C1 является C3 + 4C1.

3 Элементарные преобразования сохраняют линейную независимость: если строки матрицы линейно независимы, то после строчных элементарных преобразований строки останутся линейно независимыми. (Аналогично для столбцов при столбцовых преобразованиях.)

4 Элементарные преобразования сохраняют линейную оболочку: если какой-то вектор линейно выражался через строки матрицы, то после строчных элементарных преобразований матрицы этот вектор также линейно выражается через её строки. (Аналогично для столбцов при столбцовых преобразованиях.)

5 Если строки матрицы (m ? n) образуют базис в пространстве Rn, то после элементарных строчных преобразований строки также образуют базис в пространстве Rn. (Аналогично для столбцов и пространства Rm при столбцовых преобразованиях.)

6 Строчные элементарные преобразования сохраняют линейные зависимости между столбцами: если какие-то столбцы линейно зависимы, то после строчных преобразований они линейно зависимы; если один столбец линейно выражается через другие, то после строчных преобразований он выражается через столбцы с теми же номерами. (Аналогично для строк и столбцовых преобразований.)

7 Строчные элементарные преобразования сохраняют базисную (максимальную линейно независимую) подсистему столбцов: если столбцы Aj1,...,Ajk образуют базисную подсистему столбцов матрицы A, то после элементарных строчных преобразований соответствующие столбцы преобразованной матрицы A?j1,...,A?jk образуют базисную подсистему столбцов преобразованной матрицы A?.

Псевдотреугольные и псевдодиагональные матрицы

1 Если матрица строчно псевдотреугольная, то её ненулевые строки линейно независимы. Если матрица столбцово псевдотреугольная, то её ненулевые столбцы линейно независимы.

2 Если матрица строчно псевдодиагональная и в каждой ненулевой строке выбран ведущий элемент, то столбцы, содержащие ведущие элементы, образуют базисную подсистему системы столбцов. Если матрица столбцово псевдодиагональная и в каждом ненулевом столбце выбран ведущий элемент, то строки, содержащие ведущие элементы, образуют базисную подсистему системы строк.

Векторы и их координатные столбцы

Пусть e = (e1,...,en) - фиксированный базис в векторном пространстве

Векторы a1,...,ak линейно зависимы ?? их координатные столбцы (a1)e,...,(ak)e линейно зависимы.

2 b = Pkj=1 ak ?? be = Pkj=1(ak)e.

3 Векторы a1,...,an образуют базис L ?? их координатные столбцы (a1)e,...,(an)e образуют базис Rn.

Линейные операторы и линейная зависимость

В следующих задачах все векторы принадлежат L; A - линейный оператор в L.

1 kerA - линейное подпространство L.

2 Если векторы v1,...,vk линейно зависимы, то их образы Av1,...,Avk также линейно зависимы.

3 Если векторы Av1,...,Avk линейно независимы, то v1,...,vk также линейно независимы.

4 Если x ? `(v1,...,vk), то Ax ? `(Av1,...,Avk).

5 imA - линейное подпространство L.

6 x ? y ? kerA ?? Ax = Ay.

7 Пусть a1,...,ak ? L, причём (Aa1,...,Aak) - базис в imA. Дан вектор x ? L. Построить такой вектор y ? L, что x ? y ? kerA.

8 Пусть (b1,...,br) - базис imA, a1,...,ar - такие векторы, что Aa1 = b1,...,Aar = br (почему такие векторы существуют?), z1,...,zd - базис kerA. Доказать, что (a1,...,ar,z1,...,zd) - базис L.

9 Теорема о размерностях ядра и образа:

dimkerA + dimimA = dimL.

Рассмотрим инъективные, сюръективные и биективные операторы. Напомним определения. Оператор A

• инъективный, если из Ax = Ay следует x = y (для любого вектора существует не более одного прообраза);

• сюръективный, если imA = L, т. е. для любого y ? L существует такой x ? L, что Ax = y (для любого вектора существует не менее одного прообраза);

• биективный, если он инъективный и сюръективный (для любого вектора существует ровно один прообраз).

Как известно, если отображение A обратимо, то для него существует обратное отображение B, обладающее свойством AB = BA = I, где I - тождественное отображение.

10 A инъективен ?? из Ax = 0 следует x = 0 ?? kerA = {0}.

11 A инъективен ?? для любой линейно независимой системы векторов (u1,...,uk) система векторов (Au1,...,Auk) также линейно независима.

12 A сюръективен ?? для любой полной системы векторов (u1,...,uk) система векторов (Au1,...,Auk) также полная.

13 Если A - биективный линейный оператор и отображение B обратно к A, то B также линейно.

Предыдущие задачи легко обобщить на случай, когда A: L1 > L2, где dimL1 6= dimL2. (При этом матрица оператора может быть не квадратной, а прямоугольной.) Следующие утверждения специфичны для "квадратного" случая (L1 = L2).

14 detAe = detAf для любых базисов e и f (Указание: использовать формулу перехода.) Это позволяет писать просто detA.

15 Критерий обратимости линейного оператора. Следующие условия равносильны:

(a) A обратим;

(b) A инъективен (kerA = {0});

(c) A сюръективен (imA = L);

(d) detA 6= 0. Указание: использовать теорему о размерностях ядра и образа, критерий обратимости матрицы и формулу (AB)e = AeBe.

Подробное обоснование столбцового способа Пусть проведены столбцовые преобразования:

, где матрица Y столбцово псевдотреугольная. Без ущерба для общности мы можем и будем считать, что её первые r столбцов (Y 1,...,Y r) ненулевые, а остальные столбцы (Y r+1,...,Y n) нулевые; обозначим через X1,...,Xr и Xr+1,...,Xn соответствующие столбцы матрицы X.

Далее, пусть vj и bj - векторы пространства L с координатными столбцами Xj и Y j:

(vj)e = Xj, (bj)e = Y j.

1 Векторы Y 1,...,Y r линейно независимы.

2 Векторы b1,...,br линейно независимы.

3 Если y ? imA, то y линейно выражается через Ae1,...,Aen.

4 Если y ? imA, то ye линейно выражается через (Ae1)e,...,(Aen)e.

5 Если y ? imA, то ye линейно выражается через Y 1,...,Y n.

6 (b1,...,bn) - полная система в imA (если y ? imA, то y линейно выражается через b1,...,bn).

7 (b1,...,br) - полная система в imA.

8 (b1,...,br) - базис в imA.

9 Векторы (e1)e,...,(en)e образуют базис Rn.

10 Векторы X1,...,Xn образуют базис Rn.

11 (v1,...,vn) - базис L.

12 Векторы vr+1,...,vn линейно независимы.

13 Если x ? L и Ax = 0, то x линейно выражается через vr+1,...,vn.

14 (vr+1,...,vn) - базис kerA.

В частности, отсюда dimkerA = n ? r, т. е. получено ещё одно доказательство теоремы о размерностях ядра и образа:

dimkerA + dimimA = dimL.

Подробное обоснование строчного способа

После приведения матрицы Ae к строчно псевдодиагональному виду получили матрицу M. Пусть b1,...,bn - векторы L, имеющие координатные столбцы M1,...,Mn.

Предположим, что в ненулевых строках i1,...,ir матрицы M выбраны ведущие элементы Mi1,j1,...,Mir,jr, равные 1.

1 Доказать, что столбцы Mj1,...,Mjr образуют базисную подсистему системы M1,...,Mn.

2 Доказать, что столбцы (Aej1)e,...,(Aejr)e образуют базисную подсистему системы (Ae1)e,...,(Aer)e.

3 Доказать, что векторы Aej1,...,Aejr образуют базисную подсистему системы Aej1,...,Aejr.

4 Доказать, что (Aej1,...,Aejr) - базис в imA.

Пусть d = n ? r, {s1,...,sd} - индексы свободных переменных, так что

{1,...,n} = {j1,...,jr} ? {s1,...,sd},

и столбцы w1,...,wd построены так, как обычно строится ФСР однородной системы линейных уравнений: для свободных координат с номерами j = sq выполняются соотношения (wp)sq = ?pq, а остальные координаты подбираются так, чтобы Mwp = 0. Обозначим через u1,...,ud векторы пространства L с координатными столбцами w1,...,wd (так что (up)e = wp).

5 Матрица, составленная из столбцов w1,...,wd, столбцово псевдодиагональная.

6 Столбцы w1,...,wd линейно независимы.

7 Векторы u1,...,ud линейно независимы.

8 Если Mxe = 0, то xe линейно выражается через w1,...,wd (это нетривиальное утверждение, но доказательство должно быть на первом курсе при обсуждении ФСР).

9 Соотношение Mxe = 0 равносильно соотношению Aexe = 0.

10 Если x ? kerA, то x линейно выражается через u1,...,ud.

11 (u1,...,ud) - базис в L.

Так как d = n ? r, получено ещё одно доказательство теоремы о размерностях ядра и образа.

1 ) dimkerA + dimimA = dimL (2 + 2 = 4);

---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

1

1 1

Показать полностью…
166 Кб, 11 сентября 2013 в 20:34 - Россия, Москва, НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ), 2013 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении