Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 018572 из НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ)

Глава II.

Элементы векторной алгебры.

• О. Вектор AB - направленный отрезок,

• А - начало, В - конец вектора.

• О. Длина (модуль) вектора AB - число, равное длине отрезка АВ , изображающего вектор.

| AB |

• О. Нулевой вектор АА - вектор, у которого начало и конец совпадают.

• OA+AB=OB b

Теорема. Свойства операций.

1.a b b a? ? ? ,

2.(a b c a b c? )? ? ?( ? ),

3.a ?0 ? a, 4.a ? ?( a) ? 0,

5. (?? ??a) ? ( )a,

6. (?a b? ) ?? ?b ? a,

7.(? ? ? ?? )a ? a ? a,

8.1?a a? • Теорема. Пусть e? 1, e? 2- два неколлинеарных вектора на плоскости. Тогда любой вектор a? этой плоскости единственным образом представляется в виде: a xe xe

? 1 1 ? 2 2 • где x1, x2 - однозначно определенные числа (они называются координатами вектора a? в базисе e? 1, e? 2).

Координаты вектора в прямоугольной системе координат.

• О. Вектор i? - вектор единичной длины на оси Ox, его направление совпадает с положительным направлением оси Ox.

• О. Вектор j? - аналогичный на оси Oy.

• i? , j? - координатные векторы на плоскости.

OA? =x• i? y

Расстояние между точками.

• Даны точки A=(x1,y1) и B= (x2,y2).

Вектор AB? ?(x x y2 1; 2 ?y1),

Длина вектора AB:| |? (x x2 ? 1)2 ? ?(y2 y1)2

§2. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности векторов.

• О. Скалярное произведение ненулевых векторов a? и b? - число, равное:

• (a? • b? ) =| a? || b? |cos ? (2.1) ,

• где ? - угол между a? и b? .

• Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор полагается равным нулю.

Теорема (свойства скаляр.

произведения ).

1.(a b? ) ? (b a? ) ?симметричность.

2.a b?( ?с) ? (a b? ) ? (a с дистрибутивность? ) ? .

3.(?a b? ) ??(a b? ) ?однородность.

4.(a a? ) ?| a a|| |? 0, (a ? 0)

• Замечание. Из формулы (2.1) получаем :

(a b? ) cos??

| a b|| | Теорема. Пусть векторы a?0 и b ? 0. Тогда

(a b? ) 0? ? a b?

• Теорема. Пусть a=(x1,y1), b=(x2,y2). Тогда

• (a b? ) ? xx1 2 ? yy1 2

• Следствие. Угол между векторами:

cos?? (a b? ) ? xx1 2? yy1 2

| a b|| | x12? y12 x22? y22

• Доказательство.

a ? ?xi1 y j b1 , ? ?x i2 y j2 .

• В силу свойств (*):

(a b? ) (? x i1 ? y j x i1 )( 2 ? y j2 ) ?

? x x i i1 2( ? )? x y i1 2( ? j)? y x1 2( j i? )? y y1 2( j j? ) ?

? x x1 2 ? y y1 2

Пример.

• Пусть a? =(2,-1), b? =(8,-4). Найти угол между векторами.

• Решение.

• (a? • b? ) = x1x2+ y1y2=2•8+(-1)(-4)= 20,

• | a? |=v5, | b? |=v80.

• cos ?=20/20=1 =>?=0 (ответ очевиден из коллинеарности векторов a? , b? ).

§3. Векторы в R3.

• Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые Ox, Oy, Oz.

• Пусть i? , j,? k? - единичные векторы вдоль положительных направлений осей Ox, Oy, Oz.

• Вектор OM? =(x0,y0,z0)= i? x0+ j ? y0+ k ? z0.

• i? =(1,0,0); ?j =(0,1,0); k? =(0,0,1).

• Даны точки A=(x1,y1 ,z1) и B= (x2,y2 ,z2).

Вектор AB? ?(x2 x y1; 2 ?y z1; 2 ?z1), Длина вектора :

| AB |? (x2 ?x1)2 ? ?(y2 y1)2 ? ?(z2 z1)2

• О. Скалярное произведение векторов a? и b? - число, равное:

• (a? • b? ) =| a? || b? |cos ?, где ? - угол между a? и b? .

• Если a? _|_ b? , то (a? • b? ) =0.

• Теорема. Пусть a? =(x1,y1 ,z1), b? =(x2,y2 ,z2).

Тогда (a? • b? ) = x1x2+ y1y2 + z1z2 .

• Следствие. Угол между векторами:

cos?? (a b? ) ? xx1 2? y y1 2? zz1 2

| a b|| | x12? y12? z12 x22? y22? z22

Пример. • Пусть a=(2,-1,-2), b=(8,-4,0), c=2a, d=b-a.

• Найти угол ? между векторами c и d.

• Решение. c=2a=(4,-2,-4), d=b-a=(6,-3,2).

cos?? (c d? ) ? 24 ? 6 ?8 ? 11

| c d|| | 16 ? 4 ?16 36 ?9 ? 4 21

Компланарные векторы.

• О. Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Теорема. Пусть e? 1, e? 2 , ?e3-три некомпланарных вектора. Тогда любой вектор a? пространства единственным образом представляется в виде: a ae ae ae

? 1 1? 2 2 ? 3 3

• где a1, a2, a3 - однозначно определенные числа.

• О. Линейно независимая система векторов называется базисом, если любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации этих векторов.

О. Система векторов a a a1, 2, 3,...,an называется базисом векторного пространства V, если она линейно независима и любой вектор b V? есть линейная комбинация данных векторов: b xa x a x a? 1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ?... x an n

• О. Числа (x1,... ,xn) называются координатами вектора b? в базисе a a a1, 2, 3,...,an

• Т.1. Эти числа определены однозначно.

• Пример 2. Векторы e? 1=(1,0,...,0), ..., e? n=(0,...,0,1) образуют базис Rn.

• Пусть x? =(x1,... xn ) , т.е.

??x1?? ??1?? ??0?? ??0??

x ???x...2??? x1??0..??? x2??1..??...? xn??0..??? x1e1? x2e2?...? xnen

? ? ? ? ? ? ? ? ?xn?? ??0?? ??0?? ??1??

? § 7. Линейные отображения

(операторы) векторного пространства и матрицы.

О. Говорят, что в векторном пространстве V задано отображение (оператор) ?A, если каждому вектору x? €V поставлен в соответствие определенный вектор ?A(x? )€V. Пример 1. V =R2. ?A - поворот вокруг начала координат на угол ? против часовой стрелки.

• О. Отображение ?A называется линейным, если для любых двух векторов x? и y? из V и произвольного числа ?:

• 1) ?A(x? +y? )= ?A(x? )+ ?A (y? ),

• 2) ?A(?x? )= ? ?A (x? ).

• Пример 2. ?A x? =x? - тождественное отображение.

• 3. ?A x? =5x?

О.Матрица линейного отображения ?A: Rn> Rn.

Пусть e e e1 2 3, , ,...,en - базис пространства Rn.

• Отображение ?A : e? i --> ?A(e? i)

Вектор ?A(e? i) € Rn . Разложим его по базису :

• ?A(e? i) = a1ie? 1+... +anie ?n =(a1i, a2i,..., ani)

• Возьмем матрицу А, i-ый столбец которой образован коэффициентами разложения вектора ?A(e? i) по базису e? 1,...,e? n.

Координаты образа.

• Пусть e? 1,...,e? n - базис пространства V, x? = x1e? 1+... +xne? n . ?A - линейное отображение.

• Теорема. Координаты образа (вектора ?Ax? ) вычисляются по формуле:

??x1'' ?? ??a a11 12 a x1n???? 1 ??

?Аx????x..2 ???????a a..21 ..22 .. a x..2n?????? ..2 ???

??x' ? ??a an1 n2 a xnn???? n?? n?

• Пример 4. Пусть A- поворот всех векторов обычной плоскости Oxy вокруг начала координат на угол ? против часовой стрелки. Пусть базисные векторы e? 1 =(1,0), e? 2 =(0,1). Тогда

• ?Ae? 1 =(cos ?)e1 + (sin ?)e2.

• ?Ae? 2 =(-sin ?)e1 + (cos ?)e2. =>

• A= cos ? -sin ?

• sin ? cos ?

• - матрица поворота на угол ? .

Пример 6. Найти матрицу оператора проектирования ?A: R3> R3 на плоскость Oxy. Решение.

?1 0 0? A???0 1 0?? ??0 0 0??

Элементы аналитической геометрии

Пример 2.

• Найти уравнение множества точек, равноудаленных от двух заданных точек

• А=(-4,2) и В=(-2,-6).

• Решение. Пусть M(x,y) - точка искомой линии. По условию |AM|=|BM|, т.е.

(x? ? ?4)2 (y 2)2 ? (x? ? ?2)2 (y 6)2 ?

1 5 y? x? 4 4

§2. Основные формы уравнения прямой на плоскости.

• П1. Уравнение прямой l с угловым коэффициентом.

• Пусть прямая l пересекает ось Oy в точке В(0,b) и образует с положительным направлением оси Ox угол ? (0 y - y1 =k(x - x1).

• Коэффициент k пока не знаем.

• M2 лежит на прямой => y2 - y1 =k(x2 - x1).

=> y2?y1 k? x2?x1

Искомое уравнение.

y ?y1? yx22??xy11?x ?x1?

y ?y1 y2?y1,т y ?y1 x ?x1

? .е. ? x ?x1 x2?x1 y2?y1 x2?x1

Пример. • Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1(3,1) и M2(7,2).

• Решение. y?1 x?3

? ? 2?1 7?3

4(y? ? ?1) x 3, 4y x? ?1, x? ? ? ?4y 1 0 ответ.

П4. Общее уравнение прямой.

• Ax+By+C=0 (A2+B2?0).

• C=0, если т.(0,0) лежит на прямой.

• Ax+By=0- прямая П.

Пусть M=(x,y)€П (М - любая точка прямой П).

• Вектор O? M=(x,y). Обозначим N? =(A,B).

• Скалярное произведение (O? M? N? )=Ax+By=0. • => вектор N? =(A,B) перпендикулярен O? M. Он называется нормалью к прямой.

Условие параллельности прямых.

• Т. П1 || П2 : ?1= ?2 .=> k1= k2 .

• Условие перпендикулярности прямых.

• ?= ?/2, ctg(?/2)=0.

• ctg ? = (1+ k1k2)/(k2 - k1)=0 => 1+ k1k2=0.

1 Теорема П . 1 ? П2 ? k2 ? ? k1

§4. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности

прямых (в терминах коэффициентов общего уравнения прямой).

• Даны две прямые:

• П1 : A1x+B1y+C1=0, П2 : A2x+B2y+C2=0.

• Нормали к ним:

• N? 1 =(A1,B1), N? 2 =(A2,B2).

• Угол между прямыми равен углу между нормалями к ним =>

Угол между П1 и П2.

(N N? ) AA BB? cos?? 1 2 ? 1 2 1 2

| N N1|| 2 | A B A B12? 12 22? 22

• П1 || П2 : N? 1 || N? 2 => N? 1= cN? 2 ,т.е.

• (A1,B1) = с (A2,B2)= (сA2,сB2) =>

• A1= сA2 , B1= сB2 . Итак,

A B • Теорема. П1 || П2 : 1 ? 1

A2 B2 Теорема П . 1 ? П2 ? N1 ? N2 ? (N N1? 2) ? 0 ?

AA BB1 2 ? 1 2 ? 0

• О. Расстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой П: Ax+By+C=0 - длина перпендикуляра, опущенного из точки М0 на прямую П.

• Теорема.

d? | Ax0?By0?C |

Пример 1.

• Найти расстояние между параллельными прямыми: 3x+4y-24=0 и 3x+4y+ 6=0.

• Решение.

• Возьмем любую точку на 1-й прямой:

• М=(0,6). Найдем расстояние от нее до 2-й прямой: | 3 0? ? 4 6? ? 6 |

d ?? 6

Пример 2.

• Дан треугольник с вершинами А(-2,0), В(2,4), С(6,0). Найти уравнения стороны ВС, медианы АЕ, высоты АН.

В А Е С

Решение.

• 1. Уравнение ВС: y ?4 ? x?2 ? 4(y? ? ?4) ( 4)(x? ? ? ? ?2) x y 6 0.

0 ?4 6?2 • 2. Уравнение высоты АН:

AH BC ? ? kAH ? ? 1 ? ?1 kBC уравнение AH : (y ?0) ? ?1 (x ?2),те y x. . ? ?2.

• 3. Уравнение медианы АЕ.

• Е - середина отрезка ВС ==>ОЕ=(1/2)(ОВ+ОС)

В 2?6 4?0 xE ? 2 ? 4, yE ? 2 ? 2

О C • Уравнение прямой, проходящей через точки А(-2,0) и Е(4,2) есть

• y?0 ? x?2 ? ?6y 2(x?2) или y? 1(x?2)

2 0? 4 2? 3 §6. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

• П 1. Общее уравнение кривой 2-го порядка:

• Ax2+ Cy2 +Bxy+Dx+Ey+F=0 • (A2+ C2 +B2?0).

• Это уравнение можно упростить введением новых переменных и привести к более простому (каноническому виду).

П 2.Каноническое уравнение эллипса.

• О. Эллипс - геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат Oxy удовлетворяют уравнению x2 y2

(6.1) a2 ? ?b2 1, где a b? ? 0,

• Уравнение (6.1) - каноническое уравнение эллипса.

• При a=b получаем окружность.

• 1. Координатные оси являются осями симметрии: если точка (x,y) принадлежит эллипсу, то точки (-x,y), (x,-y), (-x,-y) тоже принадлежат эллипсу.

• 2. Точки (±a,0), (0, ±b) - вершины эллипса.

• 3. Точка О(0,0) - центр эллипса.

• 4. Линейный эксцентриситет эллипса - число c? a b2 ? 2

• 5. Точки F1=(-c,0), F2=(c,0) - фокусы эллипса.

• Свойство эллипса:

• Теорема. Для любой точки M(x,y) эллипса сумма расстояний от этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2a, т.е.

• | F1M |+ | F2M |=2a.

• Частный случай. Окружность: c=0.

• x2+y2=r2- окружность с центром в начале координат и радиусом r.

Пример. Выделение полных квадратов.

Нет слагаемого Bxy.

2x2+ 5y2 -12x+10y+13=0,

(2x2 -12x)+(5y2 +10y)+13=0, 2(x2 -6x+9 - 9)+5(y2 +2y+1- 1)+13=0, но x2 -6x+9 =(x-3)2, y2 +2y+1=(y+1) 2. => 2(x-3)2 - 18+5(y+1)2 -5+13=0, т.е.

2(x-3)2 +5(y+1)2 =10, т.е. (x-3)2/5+(y+1)2/2=1.

Пусть x'=x-3, y'=y+1,

(x')2/5+(y')2/2=1. - каноническое уравнение эллипса.

O'x'y' - каноническая система координат.

• Ее начало координат O': x'=x-3=0, y'=y+1=0,

т.е. в старых координатах: x=3, y=-1.

П 3.Каноническое уравнение гиперболы.

• О. Гипербола - геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат Oxy удовлетворяют уравнению x2 y2

(6.2) a2 ? ?b2 1, где a? 0, b? 0.

• Уравнение (6.2) - каноническое уравнение гиперболы.

• 1. Координатные оси являются осями симметрии.

• 2. Точки (±a,0)- вершины гиперболы.

• 3. Точка О(0,0) - центр гиперболы.

• 4. Прямые y??b x - асимптоты гиперболы. a

• 5. Линейный эксцентриситет гиперболы - число c? a b2 ? 2

• 6. Точки F1=(-c,0), F2=(c,0) - фокусы гиперболы.

• Свойство гиперболы :

• Теорема. Для любой точки M(x,y) гиперболы абсолютная величина разности расстояний от этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2a, т.е.

• | | F1M |- | F2M | |=2a.

Пример. • Через точку М(0,-1) и правую вершину гиперболы 3x2-4y2=12 проведена прямая.

Найти вторую точку пересечения этой прямой с гиперболой.

• Решение. Каноническое уравнение этой гиперболы:

x2 y2

? ?1, те a. . ? 2,b? 3

4 3 • Правая вершина: B(2,0).

• Уравнение прямой, проходящей через М и B: y?1 x?0

? , те x. . ? ? ?2y 2 0.

0 1? 2?0 • Точка D пересечения этой прямой с гиперболой: ? x? ?2 2y

? 2 2 ?3x ?4y ?12

• 3(2y+2)2-4y2=12 => 8y2+24y=0 8y(y+3)=0.

• => y=0 , y=-3.

• Итак, yD =-3, xD =2yD +2=-4. Ответ: D(-4,-3).

П 4.Каноническое уравнение параболы.

• О. Парабола - геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат Oxy удовлетворяют уравнению

(6.3) y ?

2 2px, где p? 0.

• Уравнение (6.3) - каноническое уравнение параболы.

• 1. Ось абсцисс Ox является осью симметрии.

• 2. Точка О(0,0) - вершина параболы.

• 3. Число p - фокальный параметр параболы.

• 4. Точка F(p/2;0) - фокус параболы.

• 5. Прямая x=-p/2 - директриса параболы.

y2=2px.

Свойство параболы.

• Теорема. Точка M(x,y) принадлежит параболе она равноудалена от фокуса и директрисы.

§7. Уравнение плоскости в R3.

• Пусть плоскость ? проходит через точку

M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N=(A,B,C).

• Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор N=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости.

• Возьмем в плоскости ? произвольную точку M(x,y,z).

• Вектор M0M=(x-x0,y-y0,z-z0) будет перпендикулярен вектору N=(A,B,C) =>

• Скалярное произведение этих векторов равно нулю: (N, M0M)=0, т.е. в координатной форме: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (7.1)

• Уравнение (7.1) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору N=(A,B,C) и проходящей через данную точку M0(x0,y0,z0).

• Уравнение плоскости, записанное в виде Ax+By+Cz+D=0

• называется общим уравнением плоскости.

• Теорема. Всякое уравнение 1-й степени (при A2+B2+C2?0) с тремя переменными есть уравнение плоскости.

Исследование общего уравнения плоскости.

• 1. D=0, Ax+By+Cz=0.

• Плоскость проходит через начало координат.

• 2. A=0, By+Cz+D=0.

• Плоскость параллельна оси Ox.

• 3. A=0, B=0, Cz+D=0 или z=-D/C.

• Плоскость параллельна плоскости Oxy.

• z=0 - плоскость Oxy.

• Уравнение плоскости в отрезках на осях:

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

• Даны две плоскости: • П1 : A1x+B1y+C1z+D1 =0,

• П2 : A2x+B2y+C2z+D2 =0.

• Нормали к ним:

• N1 =(A1,B1,C1), N2 =(A2,B2 ,C2).

• Т 1. П1 || П2 : N1 || N2 N1= cN2

A1 ? B1 ?C1 A2 B2 C2

• Т 2. П1 _|_ П2 N1 _|_ N2 (N1*N2)=0,

т.е. • A1A2 + B1B2+ С1С2=0.

• Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3,1,-2) и параллельной заданной плоскости:

• -2x+2y+3z+1=0.

• Ответ: -2(x-3)+2(y-1)+3(z+2)=0.

• Расстояние d от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости П: Ax+By+Cz+D=0 - длина перпендикуляра, опущенного из точки М0 на плоскость П.

• Теорема. d ? | Ax0? By0?Cz0? D |

2 2 2

A ? B ?C

Пример. • Написать уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки: M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).

• Ответ:

x x? 1 y y? 1 z z? 1

x2 ?x1 y2 ?y1 z2 ? ?z10 x3 ?x1 y3 ?y1 z3 ?z1

Взаимное расположение двух плоскостей.

• Даны две плоскости: • П1 : A1x+B1y+C1z+D1 =0,

• П2 : A2x+B2y+C2z+D2 =0.

• 1. П1 || П2 , но не совпадают. Нет точек пересечения.

• Система несовместна.

• 2. Плоскости совпадают. A1x+B1y+C1z +D1 =0.

ФСР соответствующей однородной системы - два базисных вектора на плоскости A1x+B1y+C1z =0.

• 3. Плоскости пересекаются по прямой l. Тогда ранг системы равен 2.

ФСР соответствующей однородной системы - один вектор - базис на прямой, параллельной l и проходящей через начало координат.

Показать полностью…
500 Кб, 11 сентября 2013 в 20:36 - Россия, Москва, НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ), 2013 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении