Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 018575 из НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ)

Лекция 3

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы

Бесконечно малые функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при х?а, где а может быть числом или одной из величин ?, +? или -?, если lim f x( ) ? 0.

x a?

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х?а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + ?(x),

где ?(х) - бесконечно малая при х ? а (?(х)?0 при х ? а). Свойства бесконечно малых функций

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х?а тоже бесконечно малая функция при х?а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х?а тоже бесконечно малая функция при х?а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х?а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Функция y x( ) называется бесконечно большой при x ? a , если lim ( )y x ??, что геометрически можно объяснить существованием

x a?

вертикальной асимптоты x ? a графика функции y x( ):

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f(x)?0 при х?а (если х?? ) и не обращается в ноль, то

1 y ? ??. f x( )

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть ?(х), ?(х) и ?(х) - бесконечно малые функции при х ? а. Будем обозначать эти функции ?, ? и ? соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

? Если lim ? 0, то функция ? называется бесконечно малой более x a? ?

высокого порядка, чем функция ?.

? Если lim ? A, A? 0, A ? const , то ? и ? называются бесконечно x a? ?

малыми одного порядка.

? Если lim ?1,то функции ? и ? называются эквивалентными x a? ?

бесконечно малыми. Записывают ? ~ ?.

Бесконечно малая функция ? называется бесконечно малой

? порядка k относительно бесконечно малой функции ?, если предел limx a? ?k

конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции

? можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет

? предела, то функции несравнимы.

Таблица основных эквивалентных бесконечно малых функций

При вычислении пределов часто используют таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при a x( ) ? 0, подставляя вместо одной функции в выражение предела ей эквивалентную:

a x( ) 1) sina x( ) ? a x( ); 6) logb(1? a x( )) ? ;

lnb 2) arcsina x( ) ? a x( ); 7) ba x( ) ? ?1 a x( )ln ;b

3) tga x( ) ? a x( ); 8) (1? a x( ))n ? ?1 na x( );

a x( ) 4) arctga x( ) ? a x( ); 9) n 1? a x( ) ? ?1 ; n

( ( ))a x 2 a x( )

5) 1? cos( ( ))a x ? ; 10) e ? ?1 a x( ).

2 Свойства эквивалентных бесконечно малых.

? ? ? 1) ? ~ ?, ??limx a? ??1??

? ? ?? ?? ? 2) Если ? ~ ? и ? ~ ?, то ? ~ ?, ?limx a? ? ? limx a? ??? ?? ?? ? ? ?1 1 1??

? ? ? ? ? 1 ?

3) Если ? ~ ?, то ? ~ ?, ?lim ? lim ?1?

? x a? ? x a? ? ?

?? ? ?? ? ?1 ?k или lim? ?? lim 1 .

4) Если ? ~ ?1 и ? ~ ?1 и lim ? k , то и lim

x a? ? x a? ?1 x a? ? x a? ?1

? ? ?1 Следствие: а) если ? ~ ?1 и lim ? k , то и lim ? lim

x a? ? x a? ? x a? ?

? ? ?

б) если ? ~ ?1 и lim ? k , то lim ? lim

x a? ? x a? ? x a? ?1

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов. Замечательные пределы sin x

Первый замечательный предел: lim ?1.

x?0 x x ? 1 ?

Второй замечательный предел: lim 1? ? ? ? e. x??? x?

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

ln(1? x) ax ?1 (1? x)m ?1

lim ?1; lim ? ln ;a lim ? m.

x?0 x x?0 x x?0 x

Показать полностью…
194 Кб, 11 сентября 2013 в 20:40 - Россия, Москва, НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ), 2013 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении