Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 018576 из НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ)

ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС

"ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА"

Н. Г. АФЕНДИКОВА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО,

Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИМЕРЫИЗАДАЧИ

Часть 3 Учебно-методическое пособие

Н. Г. АФЕНДИКОВА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Часть3 Учебно-методическое пособие

Под редакцией А. Ф. Салимовой

Издание ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина"

2011

УДК 517 Р е ц е н з е н т ы:

директор НОУ "Центр современного образования", д.п.н., профессор

В.А. Лазарев;

к.ф.-м.н., профессор ГОУ ВПО "Московский авиационный институт

(государственный технический университет)"

А.А. Пунтус

Под редакцией А. Ф. Салимовой

Математический анализ. Примеры и задачи. Часть 3: учебно-методическое пособие/ Афендикова Н. Г.,

Омельченко И. Н., Рыжаков Г. В., Салимова А. Ф. Под. ред. А. Ф. Салимовой. - М: Изд. ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф.

Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина", 2011. - 151 с.

ISBN 978-5-903111-53-4 (Ч.3)

ISBN 978-5-903111-41-1

Учебно-методическое пособие в трех частях предназначено для студентов-иностранцев, обучающихся в технических вузах. Оно содержит примеры решения и подборку задач по дисциплине "Математический анализ" и охватывает основные разделы данной дисциплины. В каждой теме разобраны примеры решения типовых задач, в конце каждой темы приведены задачи для самостоятельного решения. Задачи снабжены ответами. Третья часть пособия содержит разделы и темы, относящиеся к теории рядов, функциям нескольких перменных и операционному исчислению.

УДК 517

Афендикова Н. Г., Омельченко И. Н.,

ISBN 978-5-903111-41-1 Рыжаков Г. В., Салимова А. Ф., 2011

c Издательство ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина", 2011

Оглавление

V. Ряды Тема 14 Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§14.1 Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

14.1.1 Основные свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . 5

14.1.2 Признаки сходимости рядов с положительными чле-

нами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

14.1.3 Сходимость знакопеременных рядов . . . . . . . . . . 13

14.1.4 Приближенное суммирование рядов . . . . . . . . . . 17

§14.2 Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

14.2.1 Признак Вейерштрасса равномерной сходимости . . . 20

14.2.2 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

14.2.3 Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . 25

14.2.4 Вычисление значений функций и определенных инте-

гралов с помощью рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§14.3 Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

VI. Функции нескольких переменных

Тема 15 Функции нескольких переменных . . . . . . . . . 40

§15.1 Введение в анализ функций нескольких переменных . . . . 40

15.1.1 Понятие функции нескольких переменных. Область

ее определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

15.1.2 Линии уровня функции двух переменных и поверхно-

сти уровня функции трех переменных . . . . . . . . . 43

15.1.3 Предел и непрерывность функции нескольких пере-

менных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

§15.2 Дифференцирование функции нескольких переменных . . . 49

15.2.1 Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

15.2.2 Полный дифференциал функции нескольких пере-

менных и его связь с полным приращением функции 51

Оглавление

15.2.3 Дифференцирование сложной функции. Инвариан-

тная формула полного дифференциала . . . . . . . . 54

15.2.4 Дифференцирование неявной функции . . . . . . . . 60

§15.3 Повторное дифференцирование функций нескольких пере-

менных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

15.3.1 Частные производные и полные дифференциалы выс-

ших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

15.3.2 Повторное дифференцирование сложной функции

нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

15.3.3 Повторное дифференцирование неявной функции

нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

15.3.4 Формула Тейлора для функции двух переменных . . 77

§15.4 Геометрические приложения дифференциального исчисле-

ния функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . 81

15.4.1 Производная по направлению. Градиент . . . . . . . . 81

15.4.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . 83

§15.5 Экстремумы функций двух переменных . . . . . . . . . . . 84

§15.6 Уравнения в частных производных первого порядка . . . . 89

VII. Операционное исчисление

Тема 16 Операционное исчисление . . . . . . . . . . . . . . 92

§16.1 Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 16.1.1 Интеграл Лапласа, условие его сходимости. Изображение функции-оригинала по Лапласу . . . . 92

16.1.2 Основные свойства преобразования Лапласа . . . . . 95

16.1.3 Таблица изображений основных элементарных функций 99 §16.2 Нахождение оригинала по данному изображению . . . . . . 110

§16.3 Интегрирование линейных дифференциальных уравнений операционным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

16.3.1 Изображение по Лапласу линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решение задачи Коши для дифференциальных урав-

нений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

16.3.2 Интегрирование систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . 126

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Тема 14 Ряды

§14.1 Числовые ряды

Выражение в виде бесконечной суммы

, где a1,a2,...,an,... - бесконечная числовая последовательность, n ? N, называется числовым рядом с общим членом an = f(n) . Величины Sn = a1 + a2 + ... + an называются n-ми частичными суммами ряда. Говорят, что данный сходится, если существует конечный предел

lim Sn = S, n>+?

который называют суммой ряда. В противном случае говорят, что ряд расходится.

14.1.1 Основные свойства сходящихся рядов

+? 1. Если сходится ряд an, то сходится и ряд(называемый m-остатком данного ряда) и обратно.

nP=1 2. Если сходится рядего сумма, то сходится и ряди

=1 его сумма равна ?S.

3. Если сходятся ряды и их суммы равны S и ? соответственно, то сходится и ряд и его сумма S + ?.

4. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то lim an = 0. Таким образом, если то ряд

расходится.n>+?

Примеры решения задач

Для ряда

частичные суммы находятся по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q

. Предел lim Sn существует только при |q| +?

что ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Сумма этого ряда.

Пример 14.1. Исследовать ряд на сходимость и найти его сумму.

Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с, поэтому он сходится. Здесь и его сумма

.

Легко исследовать на сходимость ряды вида

. В этом случае частичная сумма Sn = f(n+1)?f(1), поэтому ряд сходится, если существует предел S = lim (f(n + 1) ? f(1)). n>+?

Пример 14.2. Исследовать ряд на сходимость и найти его сумму.

Решение. Находим , поэтому . Так как lim Sn = 1, то ряд сходится и его сумма равна 1.

n>+?

Пример 14.3. Исследовать ряд

на сходимость и найти его сумму.

Решение. Запишем для наглядности слагаемые ряда:

. Часть слагаемых можно сократить и поэтому частичная сумма Sn = 1 ?

. Найдём

. Поэтому lim Sn = 1?v2. Таким образом ряд сходится и его сумма равна n>+?

. Формулу для частичных сумм ряда также можно найти, используя ме-

тод математической индукции.

Пример 14.4. Исследовать ряд сумму.

на сходимость и найти его Решение. Находим . Исходя из полученных значений, делаем основное предположение индукции, что .

Теперь делаем шаг индукции

. Итак, предположение индукции верно, т. е. для данного ряда, далее находим lim Sn = 1. Ряд сходится и его сумма равна 1. n>+?

Часто бывает полезным, прежде чем исследовать ряд на сходимость, проверить, выполнен ли необходимый признак сходимости.

Пример 14.5. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Находим. Тем самым не выполняется необходимый признак сходимости, значит, ряд расходится.

Задачи Исследовать сходимость ряда, в случае сходимости найти его сумму:

. . . . 14.1.2 Признаки сходимости рядов с положительными членами 1. Признак сравнения в форме неравенства.

+? +?

Пусть даны два ряда an, bn. Если начиная с некоторого номеравыполняется неравенство, то из P P

nP=1 nP=1 сходимости ряда bn следует сходимость ряда an, а из расходи-

мости рядаследует расходимость ряда.

2. Признак сравнения в предельной форме.

+? Если существует конечный предел, то ряды an,

nP=1 сходятся или расходятся одновременно. (Будем называть такие ряды эквивалентными и использовать запись

Чтобы применять эти признаки для исследования сходимости рядов, приведём известные сходящиеся и расходящиеся ряды (эталонные ряды).

Сходящиеся ряды:

, . Расходящиеся ряды:

, . Ряд называется гармоническим рядом, а ряд обобщённым гармоническим рядом.

Чтобы воспользоваться признаком сравнения в предельной форме, следует уметь находить эквивалентный ряд из числа эталонных.

Общий член исследуемого ряда должен стремиться к(иначе ряд заведомо расходится), и необходимо найти для него эк0 при n > ?вивалентную бесконечно малую. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых. При x > 0 верны соотношения:

sinx ? arcsinx ? tgx ? arctgx ? x, ex ? 1 ? x, ln(x + 1) ? x, (x + 1)? ? 1 ? ?x

Примеры решения задач

Пример 14.6. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Верно неравенство . Ряд сходится, следовательно, сходится и исходный ряд.

Пример 14.7. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Сначала найдём

. Отсюда следует, что при n > +?

и данный ряд - сходящемуся обобщённому гармоническому ряду, следовательно, он сходится.

Пример 14.8. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Сначала найдём, поэтому при n > +?

. Следовательно, данный ряд эквивалентен гармоническому ряду, значит, он расходится.

Задачи Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:

. .

. . . . . .

. 3. Признак Даламбера.

Если для ряда существует , то при q 1.

Примеры решения задач

Пример 14.9. Исследовать ряд! на сходимость.

Решение. Найдём

. По признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 14.10. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Найдём

. По признаку Даламбера данный ряд расходится.

Пример 14.11. Исследовать рядна сходимость.

Решение. Найдём

. По признаку Коши данный ряд сходится.

Пример 14.12. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Применим интегральный признак:

, .

Интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.

Задачи Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера:

. . Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши:

. . Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака:

. . 14.1.3 Сходимость знакопеременных рядов

Пусть члены рядаимеют произвольные знаки.

1. Абсолютная сходимость ряда.

Если ряд сходится, то сходится и ряд, при этом он называется абсолютно сходящимся.

Чтобы установить абсолютную сходимость ряда , достаточно

применить к ряду признаки сходимости положительных рядов.

Если ряд расходится, а рядсходится, то он называется условно сходящимся.

Для определения условной сходимости ряда

(знакочередующийся ряд) применяется признак Лейбница.

2. Признак Лейбница. Ряд

сходится, если lim cn = 0 и cn > cn+1, n = 1,2,... (условие моноn>+?

тонности стремления к нулю).

Чтобы исследовать рядсо слагаемыми произвольного знака, следует сначала исследовать ряд, составленный из модулей, т. е. ряд .

Если он сходится, сходится и данный ряд, причём абсолютно. Если ряд расходится, например, по необходимому признаку или по признакам Даламбера или Коши, то и данный ряд расходится. Если же он расходится по признакам сравнения, интегральному, то в случае знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница.

Примеры решения задач

Пример 14.13. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Так как при любом n, то

. Ряд сходится , поэтому по признаку сравнения в форме неравенства сходится ряд, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 14.14. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Ряд, составленный из модулей членов данного ряда, является гармоническим, следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

С другой стороны, данный ряд можно представить как сумму двух рядов:

, каждый из которых сходится по признаку Лейбница, значит исходный ряд сходится условно.

Пример 14.15. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Проверим, выполняется ли для ряда необходимый признак:

. Итак, общий член не стремится к нулю, следовательно,этот ряд расходится, значит, расходится и данный ряд.

Пример 14.16. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Нетрудно видеть, что для этого ряда необходимый признак выполнен.

Находим

при n > +?.

Ряд сходится, следовательно, сходится и ряд по признаку сравнения в предельной форме, значит, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 14.17. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. При n > ? верно,что . Ряд расходится

по интегральному признаку, так как расходится интеграл Значит, данный ряд не сходится абсолютно.

Применим признак Лейбница. Так как , то и

= 0. Теперь проверим монотонность убывания к нулю величины при n > +?. Для этого найдём производную функции при x > 2:

. При x > 3 производная отрицательна, следовательно, функция монотонно убывает, значит, для данного ряда условие монотонности признака Лейбница выполнено (начиная с n = 3). Итак, ряд сходится условно.

Задачи

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость :

. . . . 14.1.4 Приближенное суммирование рядов

Если некоторое (неизвестное) число представлено в виде разложения в числовой ряд, то можно найти его приближенное значение с ошибкой,

+? nP

не превышающей заданную величину ?. Пусть S = an. Частичная суммаотличается от S на величину остатка rn, т. е.,

. Нужно найти такой номер n, чтобы начиная с него выпол-

= +1 нялось неравенство |rn| 4. Окончательно получаем ответ

S ? 1/6 + 1/26 + 1/126 + 1/626 = 0,215.

Пример 14.20. Найти сумму ряда с точностью ? =

0,0001. Решение. Проверим сходимость ряда по интегральному признаку, вычисляя интеграл. Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд и его остаток можно оценить интегралом:

. Решаем неравенство

. Находим подбором, что неравенство выполняется при n > 4. Вычисляем ответ

S ? 1/16 + 1/625 + 1/4096 + 1/11979 =

= 0,0625 + 0,0016 + 0,00024 + 0,00008 = 0,0654.

Обратим внимание, что вычисления проводим с пятью знаками после запятой, а ответ округляем до четырёх, если требуется найти величину с точностью до 0,0001.

Задачи Найти приближенные суммы рядов с точностью до 0,001:

. . §14.2 Функциональные ряды

Ряд , члены которого являются функциями от аргумента , называется функциональным рядом. Функции - его частичные суммы.

Совокупность x, при которых ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда, а функция lim Fn(x) = F(x)

n>+? называется его суммой. Если функциональный ряд сходится при x ? X,

+P? то F(x) = Fn(x) + 3n(x), где 3n(x) = fk(x) - остатки ряда и

k=n+1 lim 3n(x) = 0. n>+?

Сходящийся функциональный ряд называется равномерно сходящимся на на множестве X, если для ?? > 0 ? номер N(?) такой, что при всех n > N(?) и сразу для всех x ? X выполняется неравенство |3n(x)| 1 применим к ряду

. Получили, что при

Пример 14.23. Найти область сходимости функционального ряда

. .

Решение. Используем признак Даламбера:

. Данный ряд будет сходится, причём абсолютно, если |x ? 2| > log2 3. Как известно, признак Даламбера не даёт ответ, если

= 1, поэтому проверим сходимость ряда при x = log2 3. Получим ряд, который сходится. Итак, область сходимости x > log2 3.

Пример 14.25. Убедиться, что функциональный ряд сходится равномерно при любых x.

Решение. Верно неравенство , а так как ряд сходится, то данный ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса при любых x.

Пример 14.26. Исследовать функциональный ряд

на равномерную сходимость в промежутке 0 ?

Теперь найдём lim 3n(x) = 1/2, следовательно, остаток ряда невозможx>0

но сделать сколь угодно малым сразу для всех x из промежутка (0,+?). Таким образом, ряд сходится неравномерно.

Пример 14.27. Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость в промежутке 0 6 x 0 находим номер такой, что при n > N |3n(x)| 3. Поэтому

и ошибка не превышает 0,001.

Пример 14.33. Вычислить с точностью до .

Решение. Сначала преобразуем = 3(1 + 1/9)1/3. Далее в разложение

подставим ? = 1/3, x = 1/9, умножим его на 3 и получим разложение в знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по модулю слагаемыми

Ряд сходится по признаку Лейбница и поэтому для его приближенного суммирования достаточно ограничиться первыми тремя слагаемыми, т. к. четвёртое . Итак,

. Пример 14.34. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Находим

. Далее вычисляем интеграл

. Задачи Вычислить значения с точностью 0,001:

14.86. e?1/5. 14.87. ln1,04.

Вычислить определённые интегралы с точностью 0,001:

. . §14.3 Ряды Фурье

Разложение функции в ряд Фурье

Рядом Фурье функции f(x), определенной на отрезке [a,b] называется ряд

, где ? = 2T? - основная частота ряда, T = b ? a, и коэффициенты ряда вычисляются по формулам

Если функция f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям Дирихле: а) имеет конечное число экстремумов; б) является непрерывной, за исключением конечного числа точек разрыва I рода, т. е. в каждой точке разрыва ? ? (a,b) существуют левый предел f(??0) = lim f(x) и правый предел x>??0

f(? + 0) = lim f(x), тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой x>?+0 точке отрезка [a,b], и для суммы Ff(x) этого ряда выполнено:

1. Ff(x) = f(x) в точках непрерывности функции f(x) на интервале

(a,b);

2. в точках разрыва ? ? (a,b) Ff(?) = [f(? ? 0) + f(? + 0)]/2;

3. Ff(a) = Ff(b) = [f(a + 0) + f(b ? 0)]/2.

Если же f(x) имеет кусочно непрерывную производную, то на всех отрезках [?,?] ? [a,b], на которых f(x) непрерывна, сходимость равномерна. В окрестностях всех точек разрыва предельные значения колебаний частичных сумм

превышают скачки самой функции примерно на 18% (явление Гиббса).

Сумма Ff(x) ряда Фурье является периодической функцией с периодом T.

Напомним, что функция u : R > R называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x ? R, u(x + T) = = u(x).

Если f(x) определена на отрезке [?l,l] и является чётной функцией, то её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы:

где

Если f(x) определена на отрезке [?l,l] и является нечётной функцией, то её ряд Фурье содержит только синусы:

где Разложение в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам

Функцию f(x), заданную на отрезке [0,l], можно продолжить на промежуток [?l,0) произвольным образом и поэтому её можно разложить в различные ряды Фурье, например, содержащие только косинусы или только синусы. Разложение по косинусам получается при чётном продолжении,

f(x) = f(?x), ?l 6 x 0,

или x2 + y2 6 9.

Границей области определения служит окружность, заданная уравнением x2 + y2 = 9. Она разбивает плоскость Oxy на две области: внутри окружности и вне ее. Выберем пробную точку в одной из областей. Если ее координаты удовлетворяют неравенству x2 + y2 6 9, то и все точки из этой области являются решениями данного неравенства. Например, из области внутри окружности выберем точку O(0; 0). Ее координаты удовлетворяют указанному неравенству, значит, областью определения данной функции служит множество всех точек круга с центром в точке O(0; 0) радиуса 3 вместе с границей.

Графиком функцииявляется верхняя половина сферы x2 + y2 + z2 = 9. Область значений Ef = [0; 3].

Пример 15.2. Найти область определения и область значений функции z = x2 + y2.

Решение. Формула, определяющая данную функцию, имеет смысл при любых значениях x и y, следовательно, ее областью определения служит вся плоскость Oxy. Графиком служит параболоид вращения. Область значений Ef = [0; +?).

Пример 15.3. Найти область определения функции

. Решение. Функция принимает действительные значения при условии

(x ? 1)(y + 2) > 0,

что означает

и .

На рисунке заштрихована часть плоскости, являющейся областью определения данной функции. Прямые x = 1 и y = ?2 служат границами области, но сами этой области не принадлежат, т. к. знаки неравенств в системах строгие, поэтому соответствующие прямые изображены пунктирными линиями.

Пример 15.4. Найти область определения функции

u = p4 1 ? x2 ? y2 ? z2

. Решение. Действительные значения функция принимает при условии

1 ? x2 ? y2 ? z2 > 0,

или x2 + y2 + z2 6 1.

Равенство x2 + y2 + z2 = 1 определяет в пространстве сферу с центром в начале координат и радиусом 1, которая разбивает все пространство на две части: внутри сферы и вне ее. Исследуем внутреннюю часть сферы. Выберем в ней любую точку, например, точку O(0; 0; 0). Ее координаты удовлетворяют неравенству x2+y2+z2 6 1, поэтому областью определения данной функции является множество точек шара.

Пример 15.5. Найти область определения функции

. Решение. Область определения данной функции составляют точки с координатами (x, y), удовлетворяющие системе

, т. к. квдаратный корень существует из неотрицательных выражений, а логарифм - для положительных, причем эти условия должны выполняться одновременно.

Заменяем в системе знаки неравенства знаками равенства и изображаем линии x?y2 +1 = 0 и y ?x+1 = 0, при этом, следуя знакам в системе неравенств, параболу изображаем сплошной линией, а прямую - пунктирной. Парабола и прямая делят всю плоскость на пять частей. В каждой из них выберем пробную точку, например, O(0; 0), A(3; 0), B(0; 5), C(?4; 0) и D(0; ?6). По очереди подставляя координаты этих точек в систему неравенств, обнаруживаем, что системе удовлетворяет только точка O(0; 0). Ту часть плоскости, которой принадлежит указанная точка, покрываем штриховкой. множество точек выделенного параболического сегмента и составляют область определения данной функции.

15.1.2 Линии уровня функции двух переменных и поверхности уровня функции трех переменных

Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется линия, которая на плоскости Oxy задается уравнением f(x, y) = C, где C ? Ef. В точках, принадлежащих линии уровня, функция сохраняет постоянное значение.

Поверхностью уровня функции трех переменных u = f(x, y, z) называется поверхность, определяемая уравнением f(x, y, z) = C, где C ? Ef, или, другими словами, поверхность уровня функции u = f(x, y, z) - это множество всех точек M ? Df, в которых функция сохраняет постоянное значение C ? Ef.

Примеры решения задач

Пример 15.6. Построить линии уровня функции z = y ? 2x.

Решение. Линии уровня данной функции определяются уравнением y? Ef = (??; +?). Это семейство прямых вида

y. Пример 15.7. Найти линию уровня функции z = y?2x, проходящую через точку M0(1; 3).

Решение. Как было указано в предыдущем примере, семейство линий уровня данной функции определяется уравнением y = 2x+C. Чтобы определить уровень C, подставим координаты точки M0 и получим, что C = 1.

Итак, линия уровня, проходящая через точку M0(1; 3), имеет уравнение y = 2x + 1.

Пример 15.8. Найти поверхности уровня функции трех переменных u = z ? 2x2 ? 4y2.

Решение. Поверхности уровня данной функции определяются уравнением z ? 2x2 ? 4y2 = C, или z = 2x2 + 4y2 + C, где C ? Ef = (??; +?).

В пространстве оно определяет семейство эллиптических параболоидов с осью симметрии Oz и вершинами (0; 0; C).

15.1.3 Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Пусть определена функция u = f(x) с областью определения Df ? Rn. Число b является пределом функции u = f(x) в точке a, если для

?? > 0, ??(?) > 0, ?x ? D(f) : 0 a

Результат предельного перехода не зависит от того, каким путем точка x сближается с точкой a.

Для функций нескольких переменных справедливы все теоремы теории пределов функции одной переменной.

Функция u = f(x) непрерывна в точке a, если выполняется условие

lim f(x) = f(a).

x>a Наряду с этим определением существует второе определение функции, непрерывной в точке: функция непрерывна в точке a, если бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции. Например, функция двух переменных z = f(x, y) непрерывна в точке M0(x0, y0), если lim ?z = 0 или.

?x>0,?y>0 Если функция непрерывна в каждой точке области, то она непрерывна во всей этой области.

Если в какой-либо точке происходит нарушение условия непрерывности, то точка называется точкой разрыва функции нескольких переменных. Функция многих переменных может терпеть разрыв не только в отдельных точках, но и на целых линиях и даже поверхностях.

Примеры решения задач

Пример 15.9. Установить, имеет ли предел в точке O(0; 0) функция

. Решение. Предположим, что M(x, y) > O(0; 0) вдоль прямой y = kx, где k = 06 . Тогда

. Как видим, при различных значениях k получаются различные значения, следовательно, данная функция в точке O(0; 0) предела не имеет.

Пример 15.10. Найти предел функции при x > 0, y > 5.

Решение. Запишем данный предел и, получив неопределенность, домножим числитель и знаменатель дроби на y:

. Здесь учтено, что согласно теореме об основном тригонометрическом пределе

В данном случае .

Пример 15.11. Вычислить предел

. Решение. Функция, стоящая под знаком предела, является отношением двух бесконечно малых при x > 0, y > 0. Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:

. Преобразуем числитель по формуле разности квадратов:

. Пример 15.12. Доказать непрерывность функции z = x2y на всей плоскости Oxy.

Решение. Область определения данной функции - вся плоскость Oxy. Составим приращение функции в произвольной точке M(x, y) ? Oxy:

Переходим к пределу при x > 0, y > 0:

. В силу произвольности выбора точки M(x, y) функция z = x2y непрерывна в любой точке плоскости Oxy, а значит, и на всей этой плоскости. Пример 15.13. Найти точки разрыва функции

. Решение. Дробь под знаком косинуса не существует при тех значениях переменных, при которых знаменатель обращается в нуль. Там же терпит разрыв данная функция. Знаменатель равен нулю при условии

x2 ? y2 = 1. Это уравнение на плоскости Oxy определяет гиперболу, все точки которой являются точками разрыва функции.

Пример 15.14. Найти точки разрыва функции

. Решение. Функция не определена при условии z = xy, т. е. она разрывна в каждой точке гиперболического параболоида z = xy, который можно назвать поверхностью разрыва.

Задачи Найти и изобразить области определения функций:

. Построить линии уровня функций двух переменных:

15.17. z = x ? y.

15.18. z = x2 ? y.

15.19. z = x2 + y2..

Построить линию уровня функций, проходящую через точку M0(x0, y0):

. Найти поверхности уровня функций трех переменных:

15.27. u = x + y + z.

. . Вычислить пределы: 15.33. lim xy2.

x>1,y>3 . . Доказать непрерывность функций на всей плоскости Oxy:

15.39. z = x + y. 15.41. u = x + y ? z.

15.40. z = xy. 15.42. u = x2 + y2 + 2z.

Найти точки разрыва функций:

. . §15.2. Дифференцирование функции нескольких переменных

. .

§15.2 Дифференцирование функции нескольких переменных

15.2.1 Частные производные

Частной производной функции u = f(x1, x2, ..., xn) по заданной переменной называется производная этой функции, вычисленная по указанной переменной в предположении, что остальные переменные фиксированы. Это определение вместе с обозначением записывается в виде:

где

?xku = f(x1,...,xk + ?xk, ..., xn) ? f(x1,...,xk, ..., xn) есть частное приращение функции по переменной xk. Для функции n переменных можно найти n частных производных. Встречаются следующие обозначения частных производных:

. При нахождении частных производных функции нескольких переменных используются правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.

Примеры решения задач

Пример 15.15. Найти частные производные функции

. Решение. При нахождении частной производной функции f(x, y) по переменной x следует считать y фиксированным и дифференцировать функцию по x:

. При нахождении частной производной по переменной y будем считать фиксированным x:

. Пример 15.16. Вычислить частные производные функции

u(x, y, z) = z · cos(2x + yz).

Решение. Для функции трех переменных можно найти три частные производные. При нахождении дифференцируем по переменной x, считая y и z фиксированными:

. Вычислим, полагая фиксированными x и z:

. Теперь находим при фиксированных x и y, используя формулу производной произведения:

. Пример 15.17. Вычислить значения частных производных функции

u = x · esin(yz)

в точке M0(1; 3; 0).

Решение. Сначала следует найти частные производные по всем переменным в произвольной точке M(x, ,y, z) ? Df:

, . В полученные выражения подставим значения координат точки M0:

. 15.2.2 Полный дифференциал функции нескольких переменных и его связь с полным приращением функции

Пусть M(x1, x2, ..., xn) - внутренняя точка области определения функции u = f(x1, x2, ..., xn). Функция u = f(x1, x2, ..., xn) называется дифференцируемой в точке M, если в окрестности этой точки полное приращение функции ?u = f(x1 + ?x1, ..., xn + ?xn) ? f(x1, x2, ..., xn) можно представить в виде

?u = ?1?x1 + ?2?x2 + ... + ?n?xn + ?,

где ? - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с расстоянием

между точками M(x1, x2, ..., xn) и M(x1 +?x1, x2 +?x2, ..., xn +?xn),

т. е. величиной f

|MMf| = q?x21 + ?x22 + ... + ?x2n.

Выражение ?1?x1 + ?2?x2 + ... + ?n?xn, линейное относительно приращения независимых переменных, называется полным дифференциалом данной функции и обозначается du. Коэффициенты ?1, ?2, ... ?n являются частными производными этой функции в точке M, т. е.

. Связь полного дифференциала функции с полным приращением выражает следующая теорема. Если M(x1, x2, ..., xn) - внутренняя точка области определения функции u = f(x1, x2, ..., xn) и если частные производные существуют в некоторой окрестности точки M и непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке M, т. е.

?u = du + ?, где при q?x21 + ?x22 + ... + ?x2n > 0.

От равенства ?u = du+? перейдем к приближенному равенству ?u ? du, что в развернутом виде можно записать следующим образом:

. Эту формулу называют формулой линеаризации вблизи точки M(x1, x2, ..., xn). Для функции двух переменных в окрестности точки M0(x0, y0) эта формула выглядит следующим образом:

. Примеры решения задач

Пример 15.18. Найти частные полный дифференциал функции

. Решение. Найдем частные производные данной функции:

. Выпишем формулу полного дифференциала функции двух переменных:

Теперь подставляем в эту формулу выражения для частных производных:

Пример 15.19. Найти частные полный дифференциал функции

в точке .

Решение. Запишем формулу полного дифференциала функции трех переменных:

Найдем частные производные:

, Вычислим значения этих производных в заданной точке M, подставив значения:

. Таким образом,

Пример 15.20. Вычислить приближенное значение выражения

0,9783,014. Решение. Введем в рассмотрение функцию двух переменных f(x, y) = = xy. При x0 = 1, y0 = 3 значение функции легко вычисляется: f(1; 3) = = 13 = 1. Найдем приращение ?f функции f(x, y) = xy, соответствующее изменению величины x от x0 = 1 до x0 + ?x = 0,978 и y от y0 = 1 до y0 + ?y = 3,014. Имеем ?x = ?0,022, ?y = 0,014.

Вычислим значения частных производных в точке M0(1; 3):

, . Воспользуемся формулой линеаризации:

Итак, 0,9783,014 ? 1 + 3 · (?0,022) + 0 · 0,014 = 0,934.

15.2.3 Дифференцирование сложной функции. Инвариантная формула полного дифференциала

Если u = f(x, y, z), а x = x(s, t), y = y(s, t), z = z(s, t), то функция u = f(x(s, t), y(s, t), z(s, t)) называется сложной функцией независимых переменных s и t. При этом x, y и z называются промежуточными аргументами. Частные производные по независимым переменным s и t этой сложной функции выражаются по формулам:

, Пусть дана функция u = f(x, y, z), причем x служит аргументом, а y и z зависят от x, т. е. y = y(x), z = z(x). Производная по x, взятая с учетом этой зависимости, называется полной производной (в отличие от частной производной

. Пусть функция u = f(x, y, z) дифференцируема в некоторой точке M. Дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных: dx = ?x, dy = ?y, dz = ?z. Тогда формулу полного дифференциала функции трех переменных можно записать с помощью формулы

которую называют инвариантной формулой полного дифференциала. Это означает, что формула универсальна и не зависит от того, являются ли x, y и z независимыми или промежуточными переменными. Таким образом, если функция u = f(x, y, z) является сложной функцией аргументов s и t, т. е. u = f(x(s, t), y(s, t), z(s, t)), то ее дифференциал вычисляется по инвариантной формуле. Следует лишь помнить, что смысл символов dx, dy и dz меняется:

Примеры решения задач

Пример 15.21. Дана сложная функция z = ln(3x + 5y), где x = cost, y = sint. Найти полную производную .

Решение. В данном примере функция является сложной функцией, т. е. z = f(x(t), y(t)). Производная по t этой сложной функции вычисляется по формуле (обратите внимание на обозначения производных):

Итак, , Теперь составляем выражение для полной производной :

. Тот же результат можно получить другим путем, выразив явно z через t и отыскав производную функции z(t).

Пример 15.22. Дана функция z = e5t, где t = x2 +y3. Найти.

Решение. Здесь функция z непосредственно зависит от одной переменной t, которая в свою очередь зависит от двух переменных x и y, т. е. z = f(t(x, y)). Производные данной сложной функции по независимым переменным вычисляются по формулам:

, Имеем: .

Таким образом,

. Пример 15.23. Дана функция , где y = ex. Вычислить

и . Решение. Данная функция z является функцией двух переменных x и y. Переменная y является функцией, зависящей от x, т. е. переменная x служит одновременно и промежуточной, и независимой. Полную производную сложной функции следует вычислять по формуле

. Здесь - частная производная сложной функции z по промежуточной переменной x. Итак,

. Следовательно, полная производная z по переменной x запишется так: или

Пример 15.24. Дана функция u = px4 + 2y3 ? z2, где x = 2s + 3t,

. Найти . Решение. Функция u зависит от трех переменных x, y и z, которые являются функциями переменных s и t, т. е. функция u есть сложная функция переменных s и t: u = f(x(s, t), y(s, t), z(s, t)).

Для вычисления частной производной функции u по переменной s фиксируем t и применяем формулу

. Вычисляем частные производные:

, В результате подстановки этих производных в формулу для частной производной получим:

. Итак,

. Аналогично вычисляем :

. Учитывая, что

, получим:

. В результате подстановки

. Пример 15.25. Найти функции z = (x .

Решение. Функция зависит от двух переменных и y. Для вычисления частных производных удобно ввести промежуточные переменные, например,. Тогда z = uv · w. По формуле производной сложной функции

. Вычисляем частные производные:

, Находим , подставив выражения промежуточных переменных:

После преобразований получим:

. Для нахождения используем формулу

. Остается найти

. В результате подстановки получим:

. Таким образом,

. Пример 15.26. Дана сложная функция, где x =

= vxy, y = uv. Выразить дифференциал этой функции через промежуточные переменные; через независимые переменные. Убедиться в инвариантности формулы первого дифференциала. Решение. Воспользуемся формулой

Найдем производные функции по переменным x и y:

. Подставляя эти выражения в формулу дифференциала, получим:

dz = 2x cos(x2 ? 3y2)dx ? 6y cos(x2 ? 3y2)dy.

Теперь выразим дифференциал через независимые переменные:

Выпишем производные сложной функции по независимым переменным u и v:

, Подставим полученные выражения в формулу дифференциала:

Для того, чтобы убедиться в инвариантности формулы первого дифференциала, раскроем в полученном выражении скобки и перегруппируем слагаемые:

Заметим, что в скобках записаны дифференциалы переменных x и y:

Тогда дифференциал функции можно переписать в виде:

dz = 2x cos(x2 ? 3y2)dx ? 6y cos(x2 ? 3y2)dy,

что, соответственно, равно

Таким образом, убеждаемся в инвариантности формулы первого дифференциала.

15.2.4 Дифференцирование неявной функции

Функция z называется неявной функцией от x и y, если она задается уравнением F(x, y, z) = 0, неразрешенным относительно z. Если переменным x и y придавать произвольные значения из области определения, то уравнение определяет соответствующее им значение z. Тот факт, что z - функция, а x и y - аргументы, записывается тождеством F(x, y, z(x, y)) ? 0 по совокупности допустимых значений x и y. Если F(x, y, z) дифференцируема и, то определяемая уравнением неявная функция z(x, y) также дифференцируема и ее частные производные находятся по формулам:

. Система m уравнений, связывающая n переменных, определяет m неявных функций n независимых аргументов (m 3 также будет равен нулю. По приведенной выше формуле Тейлора для данной функции можно записать:

. Значение функции в точке M0(0, 1) равно нулю. Найдем дифференциал df:

Учитывая, что dx = x ? 0, dy = y ? 1, вычислим дифференциал функции в точке M0: df(0, 1) = 2(x ? 0) + 0(y ? 1) = 2x.

Найдем дифференциал второго порядка по формуле

. Получим: d2f = 6xdx2 + 2(?4y + 4)dxdy ? 4xdy2.

В точке M0: d2f(0, 1) = 0.

Дифференциал третьего порядка находим по формуле

. Итак,

d3f = 6dx3 + 3 · 0dx2 dy + 3 · (?4)dxdy2 + 0dy3 = 6x3 ? 12x(y ? 1)2.

Подставим все полученные выражения в формулу Тейлора:

. Задачи Убедиться в равенстве вторых смешанных частных производных заданных функций:

15.152. z = arcsin(xy) + xey..

15.153. z = x · 5x+y.

Вычислить все возможные частные производные второго порядка заданных функций:

. Найти d2z:

15.162. z = exy + ln(xy). 15.165. z = cos2(7x + 4y).

15.163. z = x sin2 y ? 2xy.

15.164. z = arctgxy + x lgy. 15.166. z = x · 4y + y log4 x.

Найти d3z: 15.167. z = x4y4 + x3y3. 15.169. z = 7 ? x6y5 + yx4.

15.168. z = 10x2y2 ? 5x4 ? 1. 15.170. z = xy ? 5y7 ? 7x5 + x6y6.

Вычислить d2z в точке M0(x0, y0):

15.171. z = x arccosy + exy, M0(0, 2).

. . . Найти частные производные второго порядка и полный дифференциал второго порядка заданных функций двумя способами: найти частные производные и с их помощью составить полные дифференциалы; найти полные дифференциалы и из них определить частные производные:

. 15.177. z = exy.

15.178. z = sin(5x + y).

Найти : . Найти :

15.183. z = x2y2, где x = u + 3, y = v ? 2.

15.184. z = 2x + cosy, где x = u + v, y = u ? v.

15.185. z = x lny, где x = u2 + v, y = u + v3.

15.186. z = ln(x + y), где.

, где x = u4 ? v2, y = uv.

15.188. Найти , если.

15.189. Найти , если.

15.190. Найти , если z = tg(2v ? 3xy), x = t ? v, y = 4t + 2v.

15.191. Найти , если w = 3xy ? y2 cost, x = tv, y = t2 + 2v.

15.192. Найти , если z = x sin(y2 ? xt), x = t + 6v, y = 1t ? 2v.

Найти частные производные второго порядка функций,заданных неявно:

=? =? =? =? Найти функций z = f(x, y),заданных неявно:

15.197. lnz + x = z ? y.

15.198. cosz ? xy + xz2 + 1 = 0.

15.199. z ? xy3 + sin3z = 0.

15.200. x + arctgz = yz.

Разложить функцию z = f(x, y) по формуле Тейлора по степеням x ? x0, y ? y0 в окрестности точки M0(x0, y0):

15.201. f(x, y) = x2y ? y ? 1, M0(1, 1).

15.202. f(x, y) = x3 ? xy + y, M0(1, 0).

§15.4. Геометрические приложения

§15.4 Геометрические приложения дифференциального исчисления функции нескольких переменных

15.4.1 Производная по направлению. Градиент

Рассмотрим функцию u = f(x, y, z), точку M0 ? Df и вектор , задающий некоторое направление. Из точки M0 в направлении вектора проведем луч, на котором обозначим текущую точку M(x, y, z), не совпадающую с точкой M0. Запишем определение производной функции u = f(x, y, z) по направлению вектора вместе с обозначением:

. Вычисляют производную функции u = f(x, y, z) по направлению по формуле:

где -вектор градиента функции; ?>l 0 -орт заданного направления.

Отметим следующее свойство градиента. Производная функции по направлению градиента этой функции максимальна и равна модулю градиента, т. е. градиент указывает направление наибольшего роста функции.

Примеры решения задач

Пример 15.37. Найти градиент функции u = (tgy + 1)vx ? xlnz и вычислить его в точке M0(1, 0, e).

Решение. Сначала найдем градиент функции в произвольной точке M(x, y, z) ? Du:

Получим:

Теперь подставим координаты точки M0(1, 0, e):

Пример 15.38. Найти производные функции 2z2 в точке

M0(1, 1,????1)>по направлению вектора? l = i ?5 j +3 k ; по направлению вектора M1M2, где M1(0, 2, 1), M2(6, 0, 4); по направлению градиента. Решение. Запишем градиент функции u(x, y, z):

Вычислим его в точке M0(1, 1, ?1):

Единичный вектор ?>l 0 найдем по формуле:

. Итак, Теперь можно вычислить производную функции в точке M0 в направлении вектора:

?> . , а затем его орт:

§15.4. Геометрические приложения

Вычисляем производную функции в точке M0 в направлении вектора

???>

. Наконец, чтобы вычислить производную функции в направлении градиента, сначала найдем орт этого градиента:

Теперь вычислим производную функции u по направлению градиента как скалярное произведение векторов градиента и его орта:

. Заметим, что при сравнении производных в точке M0 в направлении векторов большее значение принимает производная, вычисленная в направлении градиента.

15.4.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть на поверхности через некоторую точку M проведены всевозможные линии, имеющие в M касательные. Если все эти касательные лежат в одной плоскости, то эта плоскость называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке M.

Прямая, проведенная через точку касания M перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

Градиент функции трех переменных является вектором нормали к поверхности уровня, проходящей через точку, в которой вычислен градиент.

Если поверхность определяется уравнением F(x, y, z) = 0 и M0(x0, y0, z0) - точка на этой поверхности, то уравнение касательной плоскости в точке M0 записывается следующим образом:

. Канонические уравнения нормали к поверхности в точке M0:

. Примеры решения задач

Пример 15.39. Для функции u = x2+y+z2 в точке M0(1, 2, 1) написать уравнение поверхности уровня, проходящей через точку M0, а также уравнение касательной плоскости и нормали в точке M0 к этой поверхности уровня.

Решение. Уравнение поверхности уровня данной функции, проходящей через точку M0(1, 2, 1), найдем, подставив координаты точки M0 в равенство, которое определяет семейство поверхностей уровня данной функции: x2 + y + z2 = C =? C = 4.

Итак, поверхность уровня, проходящая через точку M0(1, 2, 1), описывается уравнением:

x2 + y + z2 = 4.

Найдем вектор нормали к этой поверхности в точке M0:

Подставим координаты полученного вектора в уравнение касательной плоскости:

2(x ? 1) + 1(y ? 2) + 2(z ? 1) = 0,

или

2x + y + 2z = 6.

Подставим координаты вектора ?>N в канонические уравнения нормали к поверхности:

. §15.5 Экстремумы функций двух переменных

Рассмотрим функцию f(x,y) с областью определения Df. Определение. Если в окрестности точки M0(x0,y0) ? Df при всех M(x,y) ? Df выполняется неравенство f(x0,y0) 6 f(x,y) , то точка называется точкой минимума, а если верно неравенство f(x0,y0) > f(x,y), то M0(x0,y0) - точка максимума. Точки максимума и минимума называются точками экстремума данной функции.

§15.5. Экстремумы функций двух переменных

Теорема (необходимый признак существования точек экстремума дифференцируемой функции). Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то частные производные данной функции, взятые по каждому из аргументов, равны нулю.

Точки из области определения, в которых каждая из частных производных равна нулю или не существует, называются критическими. Точки экстремума следует искать среди этих точек.

Теорема (достаточный признак существования точек экстремума дифференцируемой функции). Если в критической точке выполняется неравенство

то функция f(x,y) имеет в этой точке экстремумы: максимум, если

; минимум, если .

Примеры решения задач

Пример 15.40. Найти точки экстремума и экстремумы функции z = x2 + y2 ? 4y + 4 .

Решение. Найдем критические точки. Согласно необходимому условию экстремума они находятся из системы уравнений

Имеем

. Нашлась одна критическая точка (0;2). Найдем частные производные второго порядка с целью установить, является ли эта точка точкой зкстремума:

. Найдем величину

. Величина ? положительна везде, в том числе и в критической точке, следовательно, точка (0;2) является точкой экстремума. Поскольку во всех точках ( и в критической), то функция имеет в точке минимум:

zmin = 02 + 22 ? 4 · 2 + 4 = 0.

Пример 15.41. Найти точки условного экстремума и экстремумы функции z = ?В данном примере ищется условный экстремум функцииx2 + xy ? y2 + 1, если x + y = 2 . Решение.

z = f(x,y) = ?x2 + xy ? y2 + 1 при условии 3(x,y) = x + y ? 2 = 0, которое называется уравнением связи. То есть экстремум функции следует искать не на всей области определения, а лишь для точек линии x+y = 2. Используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Сначала следует составить функцию ?(x,y) = f(x,y) + ?3(x,y), где ? - постоянный множитель. Функция ?(x,y) называется функцией Лагранжа. Затем найдем ее частные производные по x и y , приравняем их к нулю и к полученной системе присоединим уравнение связи. Решив систему , получим координаты точки условного экстремума. Итак,

?(x,y) = ?x2 + xy ? y2 + 1 + ?(x + y ? 2).

Найдем и приравняем к нулю частные производные:

? ?0x(x,y) = ?2x + y + ? = 0,

????? ?0y(x,y) = x ? 2y + ? = 0,

x + y ? 2 = 0. Решив систему, получим ? = 1,x = 1,y = 1. Чтобы исследовать характер критической точки (1,1), найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа при условии, что ? = 1:

. Исследуем знак величины

. Значит, точка (1,1) является точкой экстремума, а точнее, точкой максимума, поскольку .

§15.5. Экстремумы функций двух переменных

Замечание 1. Метод Лагранжа применим и в случае функции другого числа переменных.

Замечание 2. Если из уравнений связи 3(x,y) = 0 одна переменная легко выражается через другую, например, y = h(x) , то можно подставить это выражение в функцию z = f(x,y) , получив при этом функцию одной переменной z = f(x,h(x)) . Экстремум этой функции совпадает с условным экстремумом функции двух переменных.

Задачи

Найти градиент gradu(M0) :

. Найти производную функции u(x,y,z) в точке M0 по направлению векто-

ра l: . Найти производную функции u(x,y,z) в точке M0 по направлению векто-

ра M0M:

. Найти производные функции u(x,y,z) в точке M0 : а) по направлению

вектора M0M; б) по направлению градиента.

. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности F(x,y,z) = 0 в точке M0(x0,y0,z0).

. Для функции u(x,y,z) написать уравнение поверхности уровня, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке M0.

. 15.233. К поверхности x2+2y2+3z2 = 21 провести касательные плоскости , параллельные плоскости x + 4y + 6z = 0.

15.234. Показать, что поверхности x + 2y ? lnz + 4 = 0 и x2 ? xy ? 8x + z +5 = 0 касаются друг друга (т. е. имеют общую касательную плоскость) в точке M(2;?3;1).

§15.6. Уравнения в частных производных первого порядка

Найти точки экстремума и экстремумы функций.

15.235. z = x2 + y2 + 1.

15.236. z = ?x2 ? xy ? y2 + x + y.

15.237. z = x2 ? y2 + 6y ? 9.

15.238. z = x3 + y3 ? 3xy.

15.239. z = ?x2 + y2 ? 2x + 1.

15.240. z = x2 + xy + y2 + x ? y + 1.

Найти точки условного экстремума функций.

, если x + y = 1.

15.242. z = x2 + xy + 3y2 + 5, если x + y = 4.

, если x2 + y2 = 1.

, если x ? y2 = 1.

§15.6 Уравнения в частных производных первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть является дифференциалом некоторой функции u = u(x,y):

Здесь. Необходимым и достаточным условием того, что уравнение вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 является уравнением в полных дифференциалах, служит равенство

. Общее решение данного уравнения имеет вид u(x,y) = C, где C - произвольная постоянная.

Пример решения задачи

Пример 15.42. Решить уравнение

(ey + 3x2y2 + 2)dx + (xey + 2yx3 ? 1)dy = 0.

Решение. Выясним сначала, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах, для этого проверим, выполняется ли равенство

. Имеем

Равенство выполняется, следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрируем его. Поскольку

, то считая y постоянным, вычислим интеграл по x:

. Здесь 3(y) играет роль постоянной ( относительно переменной интегрирования x, но не y.

Найдем частную производную по переменной y полученной функции

y .

Но, с другой стороны,

. Приравняем эти выражения с целью определить 30(y):

eyx + x3 + 30(y) = xey + 2yx3 ? 1,

откуда 30(y) = 2yx3 ? x3 ? 1.

§15.6. Уравнения в частных производных первого порядка

Тогда 3(y) = r (2yx3 ? x3 ? 1)dy = y2x3 ? yx3 ? y + C. Подставим 3(y) в выражение функции u(x,y):

u(x,y) = eyx + x3y + 2x + 3(y) = eyx + x3y + 2x + y2x3 ? yx3 ? y + C.

Окончательно имеем

u(x,y) = eyx + 2x + y2x3 ? y + C.

Итак, запишем общий интеграл дифференциального уравнения:

eyx + 2x + y2x3 ? y = C.

Задачи

Решить уравнения.

15.245. ydx + (x + yey)dy = 0.

15.246. (ey + x)dx + (xey ? 2y)dy = 0.

15.247. (3x2 + 6xy2)dx = (5y3 + 6x2y + 5y)dy.

15.248. (yex ? 2x)dx + (ex + y)dy = 0.

15.249. (1 ? y cosx)dx + (sinx + y)dy = 0.

15.250. (2xcosy ? 2e?2x)dx ? x2 sinydy = 0.

Тема 16 Операционное исчисление

§16.1 Преобразование Лапласа

16.1.1 Интеграл Лапласа, условие его сходимости.

Изображение функции-оригинала по Лапласу

Пусть функция f(t) - функция действительного аргумента t, который можно интерпретировать как время. Ограничим класс рассматриваемых функций тремя условиями:

1. Значение функции f(t) равно нулю для всех отрицательных значений t: f(t) = 0, t 0 и ?0 > 0 , что выполняется

|f(t)| 0.

Такие функции в операционном исчислении называются оригиналами.

Пусть p = ? + ?i - комплексный параметр и Re p = ? > ?0. При

вышеперечисленных условиях несобственный интеграл

сходится и является функцией параметра p = ? + ?i .

Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция комплексного аргумента называется изображением (по Лапласу) функции-оригинала f(t). Символически этот факт записывается следующим образом:

. Теорема (условие существования изображения). Если функция f(t) удовлетворяет условиям 2 и 3, то интеграл Лапласа

сходится абсолютно для всех значений p, удовлетворяющих неравенству Rep > ?0, где ?0 - показатель роста функции f(t). При этом изображение fb(p) является аналитической функцией.

Примеры решения задач

Пример 16.1. Найти изображение функции Хевисайда

, Решение. Используем интеграл Лапласа:

. Здесь учтено, что

при Rep > 0.

Итак, . Условимся, что в этой части пособия, если речь идет о каких-либо функциях, например, о sint, cost, et и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции

( 0 , t 0 . ( 0 , t 0 .

( 0 , t 0 . С помощью единичной функции ?(t) можно записать

f1(t) = ?(t)sin(t), f2(t) = ?(t)cos(t), f3 = ?(t)et,

однако для сокращения записи в большинстве случаев множитель ?(t) будем опускать. Например, будем писать

. Пример 16.2. Найти изображение функции f(t) = t2. Решение. Снова используем преобразование Лапласа:

Первообразную подынтегральной функции находим с помощью двукратного интегрирования по частям:

. Следовательно,

. Заметим, что при

Этот результат получен по правилу Лопиталя.

Второй раз применим формулу интегрирования по частям:

. Здесь учтено, что

. Итак, Пример 16.3. Найти изображение функции f(t) = e?t.

Решение. .

? ? При p ? ? > 0 имеем

p t

. Следовательно,

при p > ?. 16.1.2 Основные свойства преобразования Лапласа

Теорема линейности. Изображением линейной комбинации функций с постоянными коэффициентами является линейная комбинация изображений этих функций с теми же коэффициентами:

. Теорема подобия. При умножении аргумента оригинала на положительное число аргумент изображения и само изображение делятся на это число:

. Теорема смещения. Если оригинал f(t) умножить на показательную функцию e?t, где ? - постоянная величина, то в изображении аргумент p меняется на (p ? ?):

e?tf(t) ??> fb(p ? ?). ? ?

Теорема запаздывания. Изображение функции ?(t ?)f(t ?), запаздывающей относительно функции f(t) на ? > 0, равно произведению изображения функции f(t) на показательную функцию e?p?:

. На рис. 16.1 изображены график функции ex/4?1 (сплошная линия) и график той же функции, но запаздывающей на ? = 2, т. е. график функции (пунктирная линия).

Рис. 16.1. Запаздывающая функция.

Изображение свертки. Сверткой двух функций-оригиналов 3(t) и ?(t) называется функция аргумента t, которая выражается через так называемый интеграл Дюамеля:

Свертка обладает свойством коммуникативности, т. е. она не изменится, если функции 3(t) и ?(t) поменять местами:

Теорема свертывания. Изображением свертки двух оригиналов является произведение изображений свертываемых функций, т. е.3(p) и ?(t) ??> ?b(p), то если 3(t) ??>

b 3(t) ? ?(t) ??> 3b(p) · ?b(p).

Теорема об изображении интеграла. Интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление на p изображения этого оригинала, т. е. если f(t) ??> fb(p), то

. Теорема об изображении производной. Изображение производной данного оригинала равно произведению аргумента p на изображение самого оригинала без начального изображения оригинала, т. е. если f(t) ??> , то f0(t) ??> pfb(p) ? f(0),

где f(0) = f(+0) = lim f(t). t>+0

Следствие. Изображение производной n-го порядка находится по формуле:

. Теорема о дифференцировании изображения. Если функцию f(t), имеющую изображение , умножить на tn, где n - натуральное число, то изображение функции tnf(t) находится по формуле:

. Теорема об интегрировании изображения. Если функция является оригиналом, то из следует

При этом интеграл должен сходиться в полуплоскости Rep > ?0.

16.1.3 Таблица изображений основных элементарных функций

f(t), t > 0 f(p) 1 1 b 2 tn n!

pn+1 3 e?t 4 sin?t ?

p2 + ?2 5 cos?t p

p2 + ?2 6 sh?t ?

p2 ? ?2 7 ch?t p

p2 ? ?2 8 tne?t n!

(p ? ?)n+1 9 e?t sin?t ?

(p ? ?)2 + ?2 10 e?t cos?t 11 tsin?t 2p?

(p2 + ?2)2 12 tcos?t Примеры решения задач

Пример 16.4. Найти изображение функции

. Решение. Воспользуемся результатами предыдущего пункта:

. Следовательно, по теореме линейности

. Пример 16.5. Найти изображения гиперболических функций sht и cht.

Решение. Гиперболические функции определяются по формулам:

sh, ch.

Пользуясь теоремой линейности и изображением функции e?t, получим:

sh, ch. Итак, sh, ch.

Аналогично могут быть получены формулы

. Пример 16.6. Найти изображение функции sh3t.

Решение. Воспользуемся теоремой подобия и формулой

sh. Получим: sh3.

В данном случае можно было воспользоваться табличной формулой

sh. Пример 16.7. Найти изображение функции f(t) = e5tt2.

Решение. Поскольку, то по теореме смещения получим:

. Итак, Пример 16.8. Найти изображение функции f(t) = e?8t sh2t.

Решение. Изображением по Лапласу оригинала f(t) = sh2t является функция . По теореме смещения получим изображение

. Пример 16.9. Найти изображение функции .

Решение. Сначала найдем изображение функции cos7t:

. Воспользовавшись теоремой смещения, получим:

. Пример 16.10. Найти изображение функции ?(t ? 3)sin(t ? 3). Решение. Поскольку , то изображение функции ?(t ? ?3)sin(t?3), запаздывающей на ? = 3 относительно функции sint, находится по теореме запаздывания:

. Пример 16.11. Найти изображение одного синусоидального импульса

, Решение. Воспользуемся теоремой запаздывания. Чтобы получить импульс в виде одной полуволны синусоиды, сложим два оригинала, один из которых есть sint, а другой - та же синусоида, но запаздывающая на ?, т. е. ?(t ? ?)sin(t ? ?) (сплошной и пунктирный графики на рис. 16.2).

Рис. 16.2. К примеру 16.10.

Таким образом,

f(t) = sint + ?(t ? ?)sin(t ? ?). Используем теорему линейности и получим ответ

. Пример 16.12. Найти свертку функций 3(t) = 1 и ?(t) = sint.

Решение. Составим оба варианта свертки:

Вычислим второй интеграл:

. Итак, Пример 16.13. Найти изображение свертки 1 ? sint.

Решение. Свертка функций 3(t) = 1 и ?(t) = sint была вычислена в предыдущем примере: 1 ? sint = 1 ? cost. Тогда

. Найдем изображение свертки другим способом, воспользовавшись теоремой свертывания. Если

, то

. Пример 16.14. Найти изображение свертки функций 3(t) = t2 и ?(t) = cost.

Решение. Находим изображения данных функций:

. По теореме свертывания получаем изображение свертки данных функций:

. Пример 16.15. Найти изображение степенной функции с натуральным показателем.

Решение. Докажем, что

. Воспользуемся для этого методом математической индукции. При n = 1 данная формула уже была получена:

. Предположив справедливость формулы для n ? 1, докажем, что она верна и для n.

Итак, по предположению

. Воспользуемся теоремой об изображении интеграла:

. Вычислив интеграл, получим:

. По методу математической инрдукции заключаем, что формула верна для любого натурального n. Заметим, что при решении задач полученную формулу чаще используют в виде

. Пример 16.16. Найти изображение функции , пользуясь теоремой об изображении интеграла.

Решение. Известно, что

, тогда .

Пример 16.17. Найти изображение функции f(t) = cos2 t. Решение. Согласно теореме об изображении производной

. В данном случае

f(0) = cos2 0 = 1, f0(t) = (cos2 t)0 = ?2costsint = ?sin2t. Известно, что

, поэтому

. Отсюда получаем, что

. Следовательно,

. Пример 16.18. Найти изображение функции f(t) = t · sin2t.

Решение. По теореме о дифференцировании изображения для любого натурального числа

. Тогда, зная изображение синуса, находим, что

. Обобщив полученный результат, можно записать следующую формулу:

. Пример 16.19. Найти изображение функции f(t) = t2 cos?t. Решение. По теореме о дифференцировании изображения

. Здесь использовано изображение косинуса

. Найдем последовательно первую и вторую производные изображения:

. Таким образом,

. Пример 16.20. Найти изображение функции.

Решение. Поскольку

sh, то по теореме об интегрировании изображения

sh t Задачи

Найти изображения функций, используя преобразование Лапласа:

16.1. f(t) = C, где C = const. 16.3. f(t) = t3.

16.2. f(t) = t. 16.4. f(t) = at.

Найти изображения степенных функций по таблице:

16.5. f(t) = t4.

16.6. f(t) = t5. 16.7. f(t) = t7.

16.8. f(t) = t11. Найти изображения функций с помощью теоремы подобия:

. . Найти изображения функций, используя теорему запаздывания:

. ???? 0 , 0 2? .

( t , 0 ? .

Найти изображения функций по теореме смещения:

. . Найти изображения функций, используя теорему линейности и таблицу:

16.31. f(t) = 1 ? 3sint + 5t2.

. Найти изображения функций:

. . Найти изображения функций, используя теорему о дифференцировании

изображения:

16.45. f(t) = tcos5t.

16.46. f(t) = t2 sint.

16.47. f(t) = t2 sin?t.

16.48. f(t) = tch?t. 16.49. f(t) = tsh?t.

16.50. f(t) = tsin5tcos3t.

Найти изображения функций с помощью теоремы об интегрировании изображения:

. .

Найти свертки заданных функций:

16.57. 3(t) = 1, ?(t) = cos2t. 16.61. 3(t) = t, ?(t) = sint.

16.58. 3(t) = 1, ?(t) = e5t. 16.62. 3(t) = sin3t, ?(t) = cost.

16.59. 3(t) = et, ?(t) = et.

16.60. 3(t) = cost, ?(t) = cost..

Найти изображения сверток двух функций, используя теорему свертывания:

16.65. 3(t) = 1, ?(t) = sht.

16.66. 3(t) = t3, ?(t) = ch2t. 16.67. 3(t) = e2t, ?(t) = sint.

16.68. 3(t) = t6, ?(t) = cos3t. Найти изображения функций, используя теорему об изображении производной:

16.69. 16.70. f(t) = sint. f(t) = sht. 16.71.

16.72. f(t) = at. f(t) = sin2 t. Найти изображения функций по теореме об изображении интеграла:

. . .

§16.2 Нахождение оригинала по данному изображению

Для нахождения оригинала по заданному изображению следует пользоваться таблицей соответствия между оригиналами и изображениями, а также основными свойствами преобразования Лапласа. Если изображение является правильной рациональной дробью, то необходимо разложить ее на элементарные дроби, а затем от каждой такой дроби искать оригинал.

Примеры решения задач

Пример 16.21. Найти оригинал изображения

. Решение. Воспользуемся формулой

, которую удобно переписать в виде

. С помощью этой формулы получается следующий оригинал для заданного изображения:

. Пример 16.22. Найти оригинал изображения

. Решение. Заданное изображение представим в следующем виде:

. Далее по таблице находим:

Пример 16.23. Найти оригинал изображения

. Решение. Чтобы получить табличное выражение для данного изображения, преобразуем знаменатель, а также домножим и разделим дробь на 4:

Итак,

Пример 16.24. Найти оригинал изображения

. Решение. Произведем следующие преобразования:

. Теперь по таблице выписываем оригинал:

Пример 16.25. Найти оригинал изображения

. Решение. Изображение содержит множитель e?3p. Применим теорему запаздывания. Поскольку

то . Пример 16.26. Найти оригинал изображения

. Решение. В данном случае изображение смещено вдоль оси p на величину ? = 12, значит, следует применить теорему смещения:

. Имеем

следовательно, после смещения аргумента в изображении переходим к оригиналу:

. Пример 16.27. Найти оригинал изображения

. Решение. Для нахождения оригинала сначала следует преобразовать данное изображение. Выделим полный квадрат в знаменателе:

. Выражение (p?2) в знаменателе приводит к мысли, что необходимо применить теорему смещения, но сразу это сделать нельзя, т. к. в числителе дроби нет выражения (p ? 2), поэтому вычтем и добавим в числителе 2:

. Таким образом, исходная дробь представлена в виде суммы двух дробей, от каждой из которых теперь и находим оригиналы:

Окончательно оригинал запишется следующим образом:

Пример 16.28. Найти оригинал изображения

. Решение. Поскольку изображение представлено в виде правильной рациональной дроби, степень числителя которой больше двух, следует разложить эту дробь на сумму элементарных, предварительно определив корни знаменателя. В данном случае все они действительные и простые, поэтому в разложении выписывается сумма элементарных дробей I рода:

. Для отыскания неизвестных буквенных коэффициентов приведем все дроби к общему знаменателю:

. Дальнейшие действия могут быть различными. Можно перегруппировать слагаемые в числителе, а затем приравнять многочлены, стоящие в числителях заданной дроби и той, что получена в результате разложения. Напомним, что при этом знаменатель не изменялся, значит, следует приравнять числители путем сравнения коэффициентов, стоящих при одинаковых степенях p, а затем найти решение системы трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами. Однако в этом примере эти коэффициенты найдутся гораздо проще, если учесть тот факт, что числители дробей будут равны и при конкретных значениях p, в том числе и при значениях p, равных корням знаменателя. Такой способ эффективен в тех случаях, когда знаменатель имеет действительные и простые корни, и позволяет в результате подстановки каждого такого p сразу получать один неизвестный коэффициент. Итак, по очереди подставляем в числители значения p = 0, p = ?1, p = 2:

p = 0 : ?2 = ?2A ?

p = ?1 : ?5 = 3B ?, p = 2 : 4 = 6C ?

Таким образом,

. Для полученных табличных изображений выписываем оригинал:

. Пример 16.29. Найти оригинал изображения

. Решение. Сначала перепишем правильную рациональную дробь, разложив ее знаментатель на множители:

. При этом корни знаменателя следующие: действительный корень p = 0 кратности 2 (для этого корня в разложении выписываются две элементарные дроби I рода), а также пара комплексно сопряженных корней многочлена p2 + 2p + 2, дискриминант которого отрицателен (в этом случае выписывается элементарная дробь II рода). Теперь составляем разложение исходной дроби:

. Приведем дроби к общему знаменателю и соберем коэффициенты при одинаковых степенях p:

. Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях p приводит к системе

, Находим искомые коэффициенты:

A = 1, B = 0, C = 0, D = ?1.

Подставляя найденные коэффициенты в исходное разложение, получим:

. Для первого слагаемого оригинал уже известен:

а в знаменателе второй дроби выделим полный квадрат и применим теорему смещения:

В итоге получаем:

Пример 16.30. Найти оригинал изображения

. Решение. Изображение является элементарной дробью II рода с кратными корнями в знаменателе. Чтобы воспользоваться теоремой о свертке, представим в виде произведения двух множителей, оригиналы которых известны, а затем составим свертку для этих оригиналов:

Пример 16.31. Найти оригинал изображения

, если известно, что

. Решение. По теореме о свертке

где . Составим интеграл Дюамеля:

После сокращения на ex учтем, что интеграл вычисляется относительно переменной x, значит, выражение e?t можно вынести за знак интеграла:

. Окончательный ответ:

Задачи Найти оригиналы f(t) данных изображений :

. . Найти оригиналы f(t) данных изображений , используя теорему запаздывания:

. . . . Найти оригиналы f(t) данных изображений, используя теорему смещения:

. .

. Найти оригиналы f(t) данных изображений , используя теорему свертывания:

. . Найти оригиналы f(t) изображений:

, где 3b(p) 1:

a0 y(n) + a1 y(n?1) + ... + an?1 y0 + an y = f(t),

где y - неизвестная функция аргумента t; f(t) - правая часть уравнения, являющаяся функцией-оригиналом; a0, a1, ...,an?1, an - постоянные коэффициенты, причем a0 6= 0. y(t) и ее про-

В качестве начальных условий заданы значения функции изводных при нулевом значении аргумента:

. К интегрированию такого ЛДУ удобно применить операционный метод, суть которого заключается в том, что искомая функция, ее производные, а также функция в правой части уравнения, заменяются соответствующими изображениями по Лапласу: y ??> y,

y000 ??> p3 y ? pb2 y(0)b ?b py0(0) ? y00(0), y0 ??> py ? y(0),

y00 ??> p2 y ? py(0) ? y0(0),

b ... y(n) ??> pn y ? pn?1 y(0) ? ··· ? py(n?2) ? y(n?1)(0), b f(t) ??> fb(p).

Пользуясь свойством линейности изображений, получаем изображение линейного дифференциального уравнения, которое иногда называют операторным уравнением:

. Таким образом, получилось линейное алгебраическое уравнение относительно изображения y, оригинал которого будет решением ЛДУ, удовлетворяющим заданным начальным условиям.b

Примеры решения задач

Пример 16.32. Проинтегрировать дифференциальное уравнение операционным методом:

y00 + 2y0 + 5y = 20e3t, где y(0) = 1, y0(0) = 3.

Решение. Переходим в данном уравнении от оригиналов к изображениям, подставляя начальные условия:

, Получим следующее алгебраическое уравнение относительно yb:

. В результате преобразований получим:

или Выражаем yb:

Получено изображение искомой функции, остается лишь перейти к оригиналу:

. Итак, получено частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y(t) = e3t.

Пример 16.33. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

, где y(0) = 0, y0(0) = 0.

Решение. Особенностью данного уравнения является тот факт, что затруднительно найти изображение функции, стоящей в правой части. Пусть

. Переходим к изображениям в обеих частях уравнения, учитывая начальные условия:

y0 ??> py ? y(0) = py,

y00 ??> p2 yb? pyb (0)b? y0(0) =b p2 y,b

f(t) ??> f(p). Изображение данного уравнения примет вид:

. Выразим y:

b .

Преобразуем второй множитель правой части, представив его в виде суммы элементарных дробей:

. Тогда уравнение примет вид:

. Известно, что

. Возвращаясь к оригиналу, дважды применим в правой части теорему свертывания: или

Вычислим интегралы:

. который можно переписать в виде

. Пример 16.34. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: y00 + 2y0 + 5y = 2e?t cos2t.

Решение. Введем в рассмотрение начальные условия, записанные в наиболее общем виде:

y(0) = C1, y0(0) = C2.

Далее следуем общей схеме решения ЛДУ, переходя от оригиналов к изображениям в обеих частях уравнения:

. Отсюда получаем:

. Разрешаем это уравнение относительно yb:

. Незначительно преобразуя второе и третье слагаемые, получим:

. Для нахождения оригинала первой дроби воспользуемся формулой

и теоремой смещения:

При переходе к оригиналу во второй и третьей дробях также используем теорему смещения:

Наконец, формируем ответ:

Задачи Решить задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений операционным методом:

16.141. y00 + 4y0 + 5y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 5. 16.142. y00 ? 6y0 ? 7y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 4.

16.143. y00 + 2y0 + y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 1.

16.144. y00 + 4y0 + 13y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 2.

16.145. y000 ? y00 = 0, y(0) = 3, y0(0) = ?5, y00(0) = 5.

16.146. y000 + y00 ? 2y0 = 0, y(0) = 0, y0(0) = 0, y00(0) = 1.

16.147. y00 ? 4y = 4, y(0) = ?1, y0(0) = 0.

16.148. y00 ? 6y0 + 5y = 3, y(0) = 0, y0(0) = 1.

16.149. y000 ? 2y00 + 2y0 = 4, y(0) = 1, y0(0) = 2, y00(0) = 2.

16.150. y00 + 4y = t, y(0) = 1, y0(0) = 0.

16.151. y00 + y0 = 3t2 + 6, y(0) = 0, y0(0) = ?6.

16.152. y00 + y = t3 + 6t, y(0) = 0, y0(0) = 0.

16.153. y00 ? 4y = 4e2t, y(0) = 0, y0(0) = 0.

16.154. y00 ? y = e?2t, y(0) = 0, y0(0) = 0.

16.155. y00 ? 5y0 + 6y = 2et, y(0) = 1, y0(0) = 1.

16.156. y00 + 2y0 + 5y = 2e3t, y(0) = 1, y0(0) = 3.

16.157. y00 ? 9y = 5e?2t, y(0) = 1, y0(0) = 2.

16.158. y000 ? y00 = et, y(0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = 0.

16.159. y00 ? 2y0 = tet, y(0) = 0, y0(0) = ?1.

16.160. y00 + 2y0 + y = 12t2e?t, y(0) = 1, y0(0) = ?1.

16.161. y000 + y0 = 10e2t, y(0) = 0, y0(0) = 0, y00(0) = 0.

16.162. y00 + y = e?t + 2, y(0) = 0, y0(0) = 0.

16.163. y00 + y = sin2t, y(0) = 0, y0(0) = 0.

16.164. y00 + 4y = 4cos2t, y(0) = 0, y0(0) = 2.

16.165. y00 + y = 2cost, y(0) = 0, y0(0) = 1.

16.166. y00 ? y0 ? 6y = 3sint, y(0) = 2, y0(0) = ?1.

16.167. y00 ? y0 = 2sin2t ? 4cos2t, y(0) = 0, y0(0) = 1.

16.168. y00 + 2y0 + y = cht, y(0) = 2, y0(0) = 1.

. Найти общие интегралы дифференциальных уравнений операционным методом:

16.175. y00 + 3y0 + 2y = 0, y(0) = C1, y0(0) = C2.

16.176. y00 + 2y0 + 10y = 2e?t cos3t, y(0) = C1, y0(0) = C2.

16.177. y000 ? y00 = 0, y(0) = C1, y0(0) = C2, y00(0) = C3.

16.3.2 Интегрирование систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по существу не отличается от интегрирования одного уравнения. Сначала следует перейти к изображению каждого уравнения системы, при этом получается система алгебраических уравнений, линейных относительно изображений искомых функций. После отыскания этих изображений осуществляется переход к их оригиналам.

Примеры решения задач

Пример 16.35. Найти частное решение системы

удовлетворяющее начальным условиям:

x(0) = 1, y(0) = 1.

Решение. Выполним следующие действия: x ??> x,b

y ??> y, x0 ??> px ? x(0) =b pxb? 1,

y0 ??> pby ? y(0) = pyb? 1. Перейдем к изображению системы:b

После преобразований получим:

. Разрешаем полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно x и y, для этого из первого уравнения системы выразим y и подставим во второе уравнение:b bb

. Выписываем отдельно второе уравнение и разрешаем его относительно xb:

, Для перехода к оригиналам преобразуем полученную дробь:

. Находим оригинал x(t):

x(t) = et cost ? 2et sint.

Теперь подставим выражение для xb в уравнение

Получим: ,

откуда

Находим оригинал

y(t) = et cost + 3et sint.

Итак, получено частное решение системы дифференциальных уравнений:

Задачи

Найти частные решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

????????x0 + y = 0, ?????????x0 = 4y,

x + y0 = 0, y0 = x + 3y + 10,

16.178.16.179. x(0) = 1, x(0) = 40, y(0) = ?1. y(0) = 10.

????x0 = ?2x + y + 1, ????x00 ? y0 = 0,

y0 = ?3x + 2y + 2, 16.185. ?x0 ? y00 = 2cost,

16.180. x(0) = 2, x(0) = 0, x0(0) = 2, ???y(0) = ?1. ?y(0) = 2, y0(0) = 0.

x0 ? y0 + 4x = 0,

x(0) = 1, 16.186. x + y = sint, y(0) = 1. x(0) = 0, x0(0) = 0, ???y(0) = 0, y0(0) = 0. y0 ? y + x = 1,5t ,

16.181. ????????????????????y0 ? x + y = 0, 2t ??????????????????y0000 ? x00 = cost,

x0 + 4y + 2x = 4t + 1, x(0) = 0,

16.182. ? 2x00 + x ? y0 = ?3sint,

x + y0 = sint, y(0) = 0. 16.187. ? x(0) = 0, x0(0) = 1,

2x00 ? y0 ? y = e? , y(0) = 0.

? ? x0 + y = 1, ????????????x(0) = 0, x0(0) = 0, ???????x00 + y0 = 2sint,

16.183.

? y(0) = 1. y00 + z0 = 2cost, x00 ? y0 = 0, 16.188. ??????????z00 ? x = 0,

x ? y00 = 2sint, x(0) = 0, x0(0) = ?1,

16.184. ? x(0) = ?1, x0(0) = 1, y(0) = ?1, y0(0) = 0, y(0) = 1, y0(0) = 1. z(0) = 0, z0(0) = 1.

? x00 ? 3x0 + 2x + y0 ? y = 0,

16.189. ??????? ? x0 + x + y00 ? 5y0 + 4y = 0,

x(0) = 0, x0(0) = 0, y(0) = 1, y0(0) = 0.

Ответы Тема 14

14.1. . 14.2. . 14.3. . 14.4. . 14.5. . 14.6. Расходится.

14.7. Расходится. 14.8. Сходится. 14.9. Расходится. 14.10. Сходится.

14.11. Расходится. 14.12. Сходится. 14.13. Сходится.

14.14. Сходится. 14.15. Сходится. 14.16. Сходится. 14.17. Сходится.

14.18. Расходится. 14.19. Сходится. 14.20. Сходится.

14.21. Расходится. 14.22. Сходится. 14.23. Расходится.

14.24. Сходится. 14.25. Сходится. 14.26. сходится. 14.27. сходится.

14.28. Расходится. 14.29. Сходится. 14.30. Сходится. 14.31. Сходится абсолютно. 14.32. Сходится условно. 14.33. Сходится условно

14.34. Сходится абсолютно 14.35. Сходится условно 14.36. Сходится абсолютно. 14.37. Сходится абсолютно. 14.38. Сходится абсолютно.

14.39. Сходится абсолютно. 14.40. Сходится условно. 14.41. Сходится абсолютно. 14.42. Сходится абсолютно. 14.43. Сходится абсолютно.

14.44. 0,460. 14.45. 0,168. 14.46. 0,515. 14.47. Сходится абсолютно при 1/e ?2 и x 0. 14.54. Сходится абсолютно при |x| e, при 1 1, условно при |x| 6 1.

14.58. Сходится абсолютно при ?1 0. 15.3. Область определяется неравенствами y x2. 15.4. Область внутри эллипса x2 + 4y2 = 1 без границы. 15.5. Прямоугольник, определяемый неравенствами x 6 2, x > 5, y 6 ?1, y > 3. 15.6. Область определяется неравенствами y > 5 ? x, y = 06 . 15.7. Область определяется системами x > 4, y > 5 и x 1, x 6= 0 . 15.10. Область определяется неравенствами x2 + y2 = 96 , y 6 x. 15.11. Область определяется системами y ?x и y > x, y 0, y > 0, z > 0, 3x + y + 2z 6 1, включая границы. 15.16. Область определяется неравенствами x > 4, y > ?5, z > 0. 15.17. Прямые x ? y = C, C ? R. 15.18. Параболы x2 ? y = C, C ? R. 15.19. Окружности

C при y = 0.

15.21. ЭллипсыГиперболы 4x2 ? 9y2 = C

припри C = 0. 15.27. Плоскости

C, C ? R. 15.29. Сферы x2 + y2 + z2 = C, C > 0. 15.30. Эллипсоиды

Коническая поверхность

при C = 0, двуполостные гиперболоиды при C > 0,

однополостные гиперболоиды ? y2 ? z2 = C при C

15.32. Гиперболические параболоиды z = C ? x2 + y2, C ? R. 15.33. 9.

Разрыв в

точке (0; 0). 15.44. Все точки прямой y = 2x. 15.45. Все точки прямых x = 0 и y = 0. 15.46. Все точки окружности x2 + y2 = 9. 15.47. Все точки параболы x = y2. 15.48. Все точки плоскости x + y + z = 1.

15.49. Все точки сферы x2 + y2 + z2 = 25. 15.50. Все точки конической поверхности x2 + y2 = z2. 15.51. Все точки однополостного гиперболоида x2 + y2 ? z2 = 1. 15.52. Все точки сфер

. , . . , . .

, ,

, , , , , ,

, . ln(1 + lg. . .

, , . , . . . .

, . ,гдеu = x4 + y3,v = xy.

,где. , . ,

, , . , . ,

, . , гдеu = xy,v = x2 + y2.

, ,

гдеu = vxy,v = x3 + y3.

, где. 15.130. dz = ?sinx siny dx + cosx cosy dy,dz =

(?sinx siny ev + cosx cosy v)du + (?sinx siny uev + cosx cosy u)dv,

где

, гдеx = u cosv,y = v sinu.

15.132. dz = (3x2yx + x3yx lny)dx + x4yx?1 dy,dz = (3x2yx + x3yx lny) ·

, где. , где.

. .

, , , . , , ,

. yx?xyx?1 cost,

где , где

, где.

, , , где x = u + v,

, , где x = u2 + v, y = u + v3.

, , . , , , где x = u4 ? v2, y = uv.

, где

, где. , .

, , , . . .

? 15.233. x + 4y + 6z ? 21 = 0; x + 4y + 6z + 21 = 0. 15.235. Минимум

z = 1 в точке.

15.237. Нет экстремума. 15.238. Минимум z = ?1 в точке (1;1).

15.239. Нет экстремума. 15.240. Минимум z = 0 в точке (?1;1).

15.241. Точка минимума Точка минимума .

15.243. Точка минимума).

15.244. Точка минимума yx y ? C.

. Тема 16 .

. . . . .

Надежда Геннадьевна Афендикова

Ирина Николаевна Омельченко

Глеб Владимирович Рыжаков Альфия Фаизовна Салимова

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Часть 3 Учебно-методическое пособие

Под редакцией А. Ф. Салимовой

К изданию подготовлено кафедрой Подписано в печать 17.10.2011 г.

ФорматИзд. №1024560 ? 84/16Тираж 50 экз.9,5 п. л. 8Зак. №481,7 усл. п. л.

Свободная цена

Типография ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина"

125190, Москва, ул. Планетная, д. 3, тел. 251-23-88

6 Тема 14. Ряды

4

6 Тема 14. Ряды

§14.1. Числовые ряды 7

§14.1. Числовые ряды 7

6 Тема 14. Ряды

§14.2. Функциональные ряды 19

§14.2. Функциональные ряды 19

6 Тема 14. Ряды

§14.3. Ряды Фурье 29

§14.3. Ряды Фурье 29

42 Тема 15. Функции нескольких переменных

§15.1. Введение в анализ функций нескольких переменных 41

42 Тема 15. Функции нескольких переменных

§15.2. Дифференцирование функции нескольких переменных 51

49 42 Тема 15. Функции нескольких переменных

§15.3. Повторное дифференцирование ФНП 69

§15.2. Повторное дифференцирование ФНП 67

42 Тема 15. Функции нескольких переменных

81 81 42 Тема 15. Функции нескольких переменных

49 49 94 Тема 16. Операционное исчисление

§16.1. Преобразование Лапласа 93

94 Тема 16. Операционное исчисление

§16.2. Нахождение оригинала по данному изображению 111

§16.2. Нахождение оригинала по данному изображению 111

94 Тема 16. Операционное исчисление

§16.3. Интегрирование дифференциальных уравнений 121

§16.3. Интегрирование дифференциальных уравнений 121

132 Ответы

Ответы 131

Показать полностью…
787 Кб, 11 сентября 2013 в 20:46 - Россия, Москва, НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ), 2013 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении