Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 018578 из НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ)

ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС

"ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА"

Е. М. ИВЕНИНА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Часть 2 Учебно-методическое пособие

Е. М. ИВЕНИНА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Часть2 Учебно-методическое пособие

Под редакцией

А. Ф. Салимовой

Издание ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина"

2010

УДК 517 Р е ц е н з е н т ы:

директор НОУ "Центр современного образования", д.п.н., профессор

В.А. Лазарев;

к.ф.-м.н., профессор ГОУ ВПО "Московский авиационный институт

(государственный технический университет)"

А.А. Пунтус

Под редакцией А. Ф. Салимовой

Математический анализ. Примеры и задачи. Часть 2: учебно-методическое пособие/ Ивенина Е. М.,

Омельченко И. Н., Рыжаков Г. В., Салимова А. Ф. Под. ред. А. Ф. Салимовой. - М: Изд. ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф.

Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина", 2010. - 159 с.

Учебно-методическое пособие в трех частях предназначено для студентов-иностранцев, обучающихся в технических вузах. Оно содержит примеры решения и подборку задач по дисциплине "Математический анализ" и охватывает основные разделы данной дисциплины. В каждой теме разобраны примеры решения типовых задач, в конце каждой темы приведены задачи для самостоятельного решения. Задачи снабжены ответами. Вторая часть пособия содержит разделы и темы, относящиеся к теории функций крмплексной переменной, интегральному исчислению функций одной переменной и дифференциальным уравнениям

УДК 517 c Ивенина Е. М., Омельченко И. Н.,

Рыжаков Г. В., Салимова А. Ф., 2010

c Издательство ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина", 2010

Оглавление

II. Функции комплексного переменного

Тема 7 Комплексные числа. Теория функций комплексного

переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§7.1 Понятие комплексного числа. Арифметические действия

над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§7.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного

числа. Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.2.1 Умножение и деление комплексных чисел в тригоно-

метрической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.2.2 Формула Муавра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.2.3 Извлечение корня с натуральным показателем из

комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.2.4 Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§7.3 Функции комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . 20

Тема 8 Рациональные функции комплексного аргумента 24

§8.1 Многочлен, его корни. Разложение многочлена на множители 24

§8.2 Разложение рациональных дробей на элементарные дроби .

III. Интегральное исчисление

25 Тема 9 Неопределённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . 32 §9.1 Неопределённый интеграл. Его простейшие свойства . . . . 32 9.1.1 Некоторые свойства неопределенного интеграла . . . 33 9.1.2 Основная таблица неопределенных интегралов . . . . 33 §9.2 Общие методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.2.1 Внесение функции под знак дифференциала . . . . . 41 9.2.2 Интегрирование по частям в неопределенном интеграле 46

4 Оглавление

9.2.3 Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование некоторых иррациональностей . . . . 51 §9.3 Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . §9.4 Интегралы, содержащие тригонометрические функции. 55 Универсальная тригонометрическая подстановка . . . . . . .

§9.5 Интегрирование выражений, содержащих алгебраические 61 корни, и дифференциальных биномов . . . . . . . . . . . . . 68 Тема 10 Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . 73 §10.1 Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . .

10.1.1 Основные свойства определённого интеграла и его 73 геометрический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1.2 Вычисление определённых интегралов. Формула 75 Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§10.2 Приложение определённых интегралов к вычислению пло- 76 щадей и длин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 §10.3 Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. Дифференциальные уравнения

89 Тема 11 Дифференциальные уравнения первого порядка .

§11.1 Общий вид дифференциального уравнения первого поряд- 95 ка. Решение дифференциального уравнения . . . . . . . . . .

11.1.1 Геометрический смысл дифференциального уравне- 95 ния и его решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1.2 Задача Коши для дифференциального уравнения 96 первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1.3 Некоторые классы дифференциальных уравнений 97 первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §11.2 Системы дифференциальных уравнений первого порядка . 113

Тема 12 Дифференциальные уравнения высших порядков 117

§12.1 Общий вид дифференциального уравнения высших порядка. Решение дифференциального уравнения . . . . . . . . . . 117

12.1.1 Некоторые типы дифференциальных уравнений выс-

ших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

12.1.2 Некоторые классы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка . . . . . . . . . . . 118 Оглавление

Тема 13 Линейные дифференциальные уравнения . . . . . 127

§13.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 §13.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

(ЛНДУ) с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . 131

13.2.1 Решение ЛНДУ методом вариации произвольных по-

стоянных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13.2.2 Решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами методом подбора частного решения . . . . . . . . . . . . 133

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6 II. Функции комплексного переменного

Тема 7

Комплексные числа. Теория функций

комплексного переменного

§7.1 Понятие комплексного числа. Арифметические действия над

комплексными числами

Комплексным числом называется упорядоченная пара (a; b) действительных чисел: a,b ? R. Для данного комплексного числа z = (a; b) число a называют действительной частью и обозначают Rez = a, число b - мнимой частью, Imz = b.

Два комплексных числа z1 = (a1; b1) и z2 = (a2; b2) называют равными, если равны их действительные и мнимые части:

z1 = z2 ?? a1 = a2 и b1 = b2.

Для любых двух комплексных чисел определена операция сложения:

(a1; b1) + (a2; b2) = (a1 + a2; b1 + b2).

Операция сложения напоминает операцию сложения для двумерных векторов (векторов на плоскости). Основное отличие комплексных чисел от них - в определении операции умножения.

А именно, для любой пары комплексных чисел определена операция умножения по правилу:

(a1; b1) · (a2; b2) = (a1a2 ? b1b2; a1b2 + a2b1).

Непосредственно из определений получаем, что для любых комплексных чисел z1, z2 и z3 справедливо:

1. z1 + z2 = z2 + z1;

2. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);

3. z1 · z2 = z2 · z1;

4. (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3);

5. (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3.

Таким образом, при алгебраических преобразованиях комплексных чисел можно использовать знакомые из действий с действительными числами правила.

Если у двух комплексных чисел мнимые части равны нулю, то операции сложения и умножения выполняются по следующим правилам:

(a1; 0) + (a2; 0) = (a1 + a2; 0), (a1; 0) · (a2; 0) = (a1a2; 0),

эти соотношения позволяют отождествить комплексное число вида (a; 0) с действительным числом a с сохранением операций сложения и умножения. Кроме того, для любого комплексного числа справедливо разложение

(a; b) = (a;0) + (b; 0) · (0; 1). (7.1.1)

Комплексное число (0; 1) называют мнимой единицей и обозначают i. Разложение (7.1.1) записывают для краткости в следующей символической форме:

(a; b) = a + b · i,

которую называют алгебраической формой комплексного числа. Из определения мнимой единицы следуют соотношения:

i2 = ?1, i3 = ?i, i4 = 1, ...

где под возведением в степень понимается, как и для действительных чисел, умножение числа на себя соответствующее число раз.

Для произвольного комплексного числа z = (a; b) = a + ib число z = a ? ib называется сопряжённым, причём

z · z = (a + ib)(a ? ib) = a2 + b2.

§7.1. Действия с комплексными числами

Частным от деления двух комплексных чисел z1 и z2 называют число z, удовлетворяющие условию: z2 · z = z1.

Деление двух комплексных чисел определено тогда, когда делитель не равен нулю: z2 6= 0 = (0; 0), причём в этом случае результат однозначен.

На практике можно не зазубривать формулы для произведения, а, используя алгебраическую форму записи, получать её непосредственно. Именно, пусть даны два комплексных числа z1 = (a1; b1) и z2 = (a2; b2).

Тогда для их произведения получим

z1 · z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 + i2b1b2 =

= a1a2 ? b1b2 + i(a1b2 + a2b1).

Аналогично при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю и воспользоваться формулой разности квадратов:

. Примеры решения задач

Пример 7.1. Даны комплексные числа z1 = 2 ? 3i, z2 = 1 + 2i.

Вычислить

1. z1 + z2; 3. z1 · z2; 5. ;

2. z1 ? z2; 4. z1 · z1; 6. .

Решение. 1. z1 + z2 = (2 + 1) + (?3 + 2)i = 3 ? i.

2. z1 ? z2 = (2 ? 1) + (?3 ? 2)i = 1 ? 5i.

3. z1 · z2 = (2 ? 3i)(1 + 2i) = 2 ? 3i + 4i ? 6i2 = 8 + i.

4. z1 · z1 = (2 ? 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13.

5. . 6. . Задачи

Вычислить:

7.1.7.7. 7.2. 7.8.

7. 3..

7.9. 7.4. 7.10.

7.5. 7.6.7.11..

Даны комплексные числа z1 = 3 + 2i и z2 = 4 ? i. Найти:

7. 12.. 7.18. (z1 ? z2)2 .

7.13. 7.19.. 7.14.

7.15.7.20. Re(z1) + Im(z2).

7.16.7.21. Re(z1z2) ? Re(z1)Re(z2).

7.17. 7.22. .

§7.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Комплексная плоскость

Каждому комплексному числу z = (a; b) = a + ib можно поставить во взаимно однозначное соответствие точку на плоскости с координатами (a; b) или же радиус-вектор данной точки.

Геометрически сложение и вычитание комплексных чисел эквивалентно сложению или вычитанию соответствующих радиус-векторов (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Сложение и вычитание комплексных чисел на комплексной плоскости.

Для выяснения геометрического смысла произведения комплексных чисел представим их в так называемой тригонометрической форме. А именно, вспомним, что любой радиус-вектор однозначно определяется своим модулем (т. е. длиной) r и углом наклона 3 к положительному направлению оси абсцисс. Связь между этими величинами и координатами (a; b) вектора следующая:

; tg3 = b/a.

Для комплексных чисел вводятся соответствующие определения: модулем комплексного числа z = (a; b) называется величина

|z| = pa2 + b2, (7.2.1)

представляющая собой длину соответствующего радиус-вектора. Для нахождения модуля помимо формулы (7.2.1) можно воспользоваться соотношением

|z|2 = z · z. (7.2.2)

Аргументом комплексного числа называется величина, численно равная углу наклона соответствующего радиус-вектора к положительному направлению оси Ox. Так как это угол определён неоднозначно, а именно, с точностью до 2?, вводится понятие главного значения аргумента, обозначаемое argz, такое, что argz ? [0; 2?). Кроме этой функции существует функция Argz, отличающаяся в написании заглавной буквой "A", которая представляет собой все возможные значения углов:

Argz = argz + 2?n, n ? Z.

Зная модуль |z| и аргумент 3 = argz, комплексное число можно представить в виде z = |z|(cos3 + isin3).

Такое представление носит название тригонометрической формы записи комплексного числа.

Для нахождения главного значения аргумента 3 = argz комплексного числа z = a + ib можно воспользоваться соотношениями

или .

Однако следует учитывать, что решение таких уравнений неоднозначно; чтобы получить правильное значение аргумента, нужно узнать, в какой четверти находится радиус-вектор, соответствующий данному комплексному числу, и учесть знаки величин a и b. В тех случаях, когда комплексное число изображается радиус-вектором, сонаправленным или противоположно направленным какой-либо координатной оси, выбор аргумента очевиден:

a > 0, cos3 = 1, b = 0, sin3 = 0, положительная часть оси Re, 3 = 0; a = 0, cos3 = 0, b > 0, sin3 = 1, положительная часть оси Im, 3 = ; a 0, cos3 > 0,

I-ая четверть,;

b > 0, sin3 > 0,

a 0, sin3 > 0, a 0, cos3 > 0,

IV-ая четверть,.

b 0 и b 0. Коэффициенты an,an?1,··· ,a1,a0 в общем случае являются комплексными числами.

Многочлен можно разложить на множители двух типов: линейные (x? a) и квадратичные (x2 +px+q), дискриминант которых меньше нуля p2 ? 4q 0: всякий многочлен степени n > 0 имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).

§8.2 Разложение рациональных дробей на элементарные дроби

Под рациональной дробью понимается выражение вида

, где P(x) и Q(x) - многочлены. Если степень многочлена P больше или равна степени Q, то такая рациональная дробь называется неправильной, и предварительно следует выделить целую часть данной дроби, например, путём деления числителя на знаменатель "в столбик", группировкой слагаемых или другими способами.

Рациональной функцией называется функция одной переменной, которая путём элементарных преобразований может быть приведена к виду рациональной дроби.

Для разложения правильной рациональной дроби на сумму элементарных представим знаменатель Q(x) в виде, аналогичном (8.1.1):

Q(x) = bn(x ? x1)?1 · (x ? x2)?2 · ... · (x ? xm)?m?

? (x2 + p1x + q1)?1 · (x2 + p2x + q2)?2 · ... · (x2 + pkx + qk)?k.

Каждому множителю в этом разложении (x?xi)r соответствует r слагаемых вида

, а каждому множителю (x2 + pjx + qj)s - s слагаемых вида

, где A1, A2, ..., Ar, M1, N1, M2, N2, ..., Mr, Nr - постоянные, которые предстоит найти (разумеется, для каждого множителя в разложении Q(x) эти постоянные, вообще говоря, различны).

Один из способов нахождения этих постоянных - привести все слагаемые к одному и тому же знаменателю Q(x) и приравнять числитель полученной дроби к числителю исходной. Так как такое равенство должно выполняться при любых значениях переменной x, то коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства должны совпадать. Приравнивая по отдельности коэффициенты при xn?1, xn?2, ..., x и свободные члены, получим n уравнений, из которых однозначно определяются искомые постоянные.

Кроме того, после приведения к общему знаменателю можно подставить n различных числовых значений вместо x и получить n линейно независимых уравнений. Подставлять следует такие числа, чтобы результирующая система имела наиболее простой вид. Этот приём особенно эффективен, если в разложении знаменателя есть много линейных множителей в первой степени, и при больши?х n он вычислительно проще, так как отсутствует необходимость раскрытия скобок и приведения подобных членов в числителе.

Примеры решения задач

Пример 8.1. Разложить на множители многочлены: а) 7x2 ? 15x + 2.

б) x3 ? 64; в) x4 + 10x2 + 25;

г) 8x3 ? 36x2 + 54x ? 27;

Решение. а) решим соответствующее квадратное уравнение:

, откуда следует:

2); б) по формуле разности кубов:

x3 ? 43 = (x ? 4)(x2 + 4x + 16).

Дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего во второй скобке, меньше нуля, следовательно, его дальше разложить не получится, так как действительных корней он не имеет;

в) по формуле квадрата суммы:

; г) по формуле куба разности:

8x3 ? 36x2 + 54x ? 27 = (2x)3 ? 3 · (2x)2 · 3 + 3 · 2x · 9 ? 33 = (2x ? 3)3 .

Пример 8.2. Разложить на множители многочлен

2x3 + 3x2 + 3x + 2.

Решение. Можно сгруппировать слагаемые:

(2x3 + 2) + (3x2 + 3x) = 2(x3 + 1) + 3x(x + 1).

Далее по формуле суммы кубов:

2(x + 1)(x2 ? x + 1) + 3x(x + 1) =

= (x + 1)(2x2 ? 2x + 2 + 3x) = (x + 1)(2x2 + x + 2).

Пример 8.3. Разложить на множители многочлен:

P3(x) = x3 ? 2x2 + 5x + 56.

Решение. Степень данного многочлена равна трём. Сразу найти его корни не получится. Перебором среди делителей свободного члена найдём, что один из корней x = ?2. Теперь поделим P3(x) на (x + 2), причём по теореме Безу это деление должно в остатке дать нуль:

x3 ? 2x2 + 5x + 26 x + 2

? x3 + 2x2 x2 ? 4x + 13

? 4x2 + 5x ? ? 4x2 ? 8x

13x + 26 ? 13x + 26

0 Дискриминант трёхчлена x2 ?4x+13 отрицателен, следовательно, можем записать окончательный ответ:

P3(x) = (x + 2)(x2 ? 4x + 13).

Пример 8.4. Разложить на элементарные дроби функцию

. Решение. Так как дробь неправильная, выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель:

2x5 + 6x3 + 1 x4 + 3x3

? 2x5 + 6x3 2x

1 Таким образом, исходное выражение принимает вид:

. Дробь, стоя?щая в правой части, является правильной, её и будем раскладывать на элементарные.

Разложим на множители знаменатель:

x4 + 3x2 = x2(x2 + 3).

Следовательно,

. Приведём правую часть к общему знаменателю:

. Приравняем отдельно числители, а в правой части раскроем скобки и приведём подобные члены:

1 = (B + C)x3 + (A + D)x2 + 3Bx + 3A.

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Выражение слева не содержит x, это означает, что соответствующие коэффициенты равны нулю:

. Окончательно,

Пример 8.5. Разложить на элементарные дроби выражение

. Решение. Дискриминант выражения x2 + x ? 6 больше нуля, следовательно, его можно разложить на множители:

x2 + x ? 6 = 0 =? x1 = 2; x2 = ?3,

x2 + x ? 6 = (x ? 2)(x + 3).

Таким образом, исходная рациональная дробь раскладывается на следующие элементарные:

. Приведём дроби к общему знаменателю и приравняем числители:

1 + 2x = A(x ? 2)(x + 3) + B(x ? 1)(x + 3) + C(x ? 1)(x ? 2).

В данном случае легче подставить вместо x определённые значения, при этом отпадает необходимость раскрытия скобок. В качестве значений x возьмём корни знаменателя:

x = 1: 3 = A · (?1) · 4, x = 2: 5 = B · 1 · 5, x = ?3: ?5 = C · (?4) · (?5), откуда сразу находим неизвестные константы:

, Итак,. Задачи

Разложить на множители:

8.1. x4 ? 27x. 8.6. x3 + 4x2 ? 11x ? 30.

8.2. x5 + 64x2. 3 2

8.7. 2x + 3x ? 8x + 3.

8.3. x4 + 20x2 + 100.

8.4. x3 + 2x2 + 3x ? 6. 8.8. x3 ? 12x2 + 45x ? 50.

8.5. x3 + x2 + 3x + 10. 8.9. x4 ? 3x3 + 7x2 ? 15x + 10.

Разложить дроби на элементарные дроби:

8.10. . 8.11. .

8.12. . 8.16. 8.13.8.17..

8. 14.. 8.18. 8.15.8.19.

8.20. . Разложить дроби на элементарные, предварительно выделив целую часть:

8.21.8.24. 8.22.. 8.25.

8.23.8.26.. 8.27.

8.28. 8.29.. 8.30.

8.31. III. Интегральное исчисление

Тема 9

Неопределённый интеграл

§9.1 Неопределённый интеграл. Его простейшие свойства

Пусть функция y = f(x) непрерывна в некотором конечном или бесконечном промежутке. Первообразной функции f(x) называется всякая функция F(x), производная которой в этом промежутке равна данной функции f(x), т. е.

F 0(x) = f(x).

Так, например, функция x3 является первообразной функции 3x2, а sin(3x + 4) - первообразной функции 3cos(3x + 4).

Если F(x) - первообразная функции f(x) в некотором промежутке, то сумма F(x)+C определяет семейство первообразных функции f(x), где C - произвольная постоянная. В конечном или бесконечном промежутке любые две первообразные одной и той же функции f(x) отличаются друг от друга на константу. Это означает, что если F(x) и G(x) - первообразные функции f(x) на (a;b), то F(x) ? G(x) = C.

Операцию отыскания первообразной данной функции f(x) называют интегрированием, а семейство всех первообразных - неопределённым интегралом. Его обозначение: w f(x)dx,

при этом f(x) называется подынтегральной функцией.

Если в некотором промежутке функция f(x) имеет первообразную F(x), то

w f(x)dx = F(x) + C,

где C - произвольная постоянная.

9.1.1 Некоторые свойства неопределенного интеграла

Интегрирование и дифференцирование по сути являются взаимно обратными операциями, что выражается в следующих свойствах:

1. 2. 3. 4. Следующие свойства описывают линейные свойства неопределённого интеграла.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённогоинтеграла: w ?f(x)dx = ?w f(x)dx.

6. Неопределённый интеграл суммы функций равен сумме интеграловслагаемых:

9.1.2 Основная таблица неопределенных интегралов

5) 5а) 6) 7)

4) 8) 9) 10) w shxdx = chx + C.

11) w chxdx = shx + C.

12)

13) ; 14) 15)

Если известно, что F(x) - первообразная функции f(x), то

Примеры решения задач

Пример 9.1. Вычислить неопределённый интеграл

Решение. Вычислим этот интеграл, опираясь лишь на понятие первообразной функции и линейные свойства неопределённого интеграла. В данном случае подынтегральная функция может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций:

. Первообразные функций f1(x) и f2(x) известны:

Итак, Здесь C выражает общую произвольную постоянную для тех неопределённых интегралов, в виде линейной комбинации которых был переписан исходный интеграл.

Пример 9.2. Вычислить неопределённый интеграл

v 3 xdx. Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степени с основанием x и используем табличную формулу:

Пример 9.3.

=? Решение. Поступаем аналогично тому, как был вычислен интеграл в предыдущем примере:

Пример 9.4. Вычислить неопределённый интеграл

w 4x · ex dx .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к табличной показательной функции с основанием 4e:

Пример 9.5.

w v v

( x ? 1)( x + 1)dx =?

Решение. Сначала перепишем подынтегральную функцию, перемножив скобки, а затем используем линейные свойства интеграла:

Пример 9.6.

=? Решение.

Пример 9.7.

=? Решение. В этом примере можно получить табличный интеграл, если вынести множитель 2, стоящий перед x2, за скобку:

Пример 9.8.

=? Решение.

Пример 9.9. Найти интеграл

Решение. После возведения в квадрат скобки, стоящей в числителе подынтегральной функции, воспользуемся способом группировки слагаемых:

Пример 9.10. Найти интеграл

Решение. В числителе подынтегральной функции добавим и вычтем x2:

Группируем слагаемые в числителе и разбиваем интеграл на два интеграла:

Пример 9.11. Вычислить интеграл

w tg2 xdx. Решение. Сначала преобразуем подынтегральную функцию:

. По линейным свойствам исходный интеграл можно разбить на разность интегралов, которые уже являются табличными:

Пример 9.12. Вычислить интеграл

. Решение.

Пример 9.13. Найти интеграл

w e3x+4dx. Решение. Подынтегральная функция не является табличной, но в показателе степени стоит линейное относительно x выражение, поэтому можно вычислить интеграл с помощью формулы

В нашем случае при a = 3, b = 4 получим:

Пример 9.14.

=? Решение. Вычисляем интеграл по той же формуле, что и в предыдущем примере, принимая :

Пример 9.15.

w 5x ? 3dx =? v Решение.

Пример 9.16. w cos2 xdx =?

Решение. Известно, что

. Понизим с помощью этой формулы степень косинуса и представим исходный интеграл в виде суммы:

Пример 9.17. w sin3x · cos2xdx =?

Решение. Вспомним тригонометрическую формулу

. Перепишем подынтегральную функцию:

Преобразуем этот результат в сумму интегралов:

Пример 9.18.

=? Решение. Подынтегральная функция представляет собой дробь, в знаменателе которой записан квадратный трёхчлен, а в числителе - константа, равная единице. Выделим полный квадрат в знаменателе:

. На этом этапе для вычисления интеграла можно использовать формулу

Итак,

В результате преобразований получим окончательный ответ:

Пример 9.19.

=? Решение. Как и ранее, выделяем полный квадрат в знаменателе и приходим к табличному интегралу:

Задачи

Вычислить неопределённые интегралы:

9.1. 9.2. 9.3.

. 9.4. 9.5. 9.6.

9.7.

9.8. 9.9. 9.19.9.31.

9.20. 9.32. 9.21.

9.33. 9.22.

9.23.9.34.

9.24. 9.35. 9.25.

9.26.9.36. 9.27.

9.37. 9.28. 9.38.

9.29..

9.30.9.39.. §9.2 Общие методы интегрирования

9.2.1 Внесение функции под знак дифференциала

Если функция F(x) является первообразной функции f(x), т. е. F 0(x) = f(x), то сложная функция F(3(x)) служит первообразной выражения f(3(x)) · 30(x). Это можно записать так:

w f(3(x)) · 30(x)dx = F(3(x)) + C.

Поскольку 30(x)dx = d3(x), левую часть этого равенства можно записать и таким образом:

w f(3(x))d3(x) = F(3(x)) + C.

Заметим, что частным случаем этой формулы является приведённая в предыдущем параграфе формула

В ней в качестве функции 3(x) выступает линейная функция ax + b.

Примеры решения задач

Пример 9.20. Вычислить неопределённый интеграл

w x sinx2dx. Решение. Как видим, подынтегральная функция не является табличной, поэтому направим усилия на то, чтобы сделать её таковой. Внесём x под знак дифференциала следующим образом:

. Правильность этих действий легко можно проверить с помощью дифференцирования. Теперь интеграл запишется так:

. Его уже можно считать табличным:

Связь интеграла с соответствующим табличным выражением будет более очевидной, если положить x2 = t:

При появлении определённого навыка в интегрировании функций с помощью внесения множителя под знак дифференциала совершенно не обязательно производить замену в каждом примере.

Пример 9.21. Найти интеграл

Решение. В результате внесения x2 под знак дифференциала получим:

Обращаем внимание, что после внесения под дифференциал x2 к полученному x3 добавлена единица. Константу всегда можно добавить или вычесть под знаком дифференциала, это никак не влияет на результат, т. к. дифференциал константы равен нулю. Конечно, добавление единицы можно и не производить. Это сделано лишь с единственной целью - приблизить подынтегральное выражение к табличному.

Пример 9.22. Вычислить интеграл

Решение. Воспользовавшись равенством

получим:

Пример 9.23. Вычислить интеграл

Решение. Внесение множителя под знак дифференциала осуществим в два этапа: сначала домножим x по знаком dx на 3 и запишем перед знаком интеграла, основываясь на линейном свойстве о вынесении константы за знак неопределённого интеграла, а уже затем квадрат косинуса внесём под дифференциал в виде тангенса:

Пример 9.24. Найти интеграл

Решение. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов и в каждом из них осуществляем внесение под dx по-своему:

Пример 9.25.

=? Решение. В этом примере подынтегральная функция имеет особый вид - числитель является производной знаменателя, поэтому для этого частного случая общая формула

w f(3(x)) · 30(x)dx = F(3(x)) + C

может быть записана следующим образом:

Разумеется, запоминать специально эту формулу нет необходимости, можно вносить числитель под знак дифференциала по общему правилу, но применение этой формулы сокращает время продвижения к ответу:

Пример 9.26.

=? Решение. Заметим, что если умножить числитель на 20, то выражение 20e5x есть производная функции, стоящей под знаком корня в знаменателе:

. По этой причине, как и в предыдущем примере, вместо общей формулы можно использовать важный частный случай:

Итак,

Задачи Вычислить неопределённые интегралы:

9.40.9.49. 9.50.

9.41. 9.51.. 9.42.

9.52.

9. 43.. 9.53. 9.44.

9.45.9.54. 9.55. 9.46.

9.56. 9.47. 9.57.

9.48.9.58.

9.59.9.63. 9.60.9.64.

9.61.. 9.65. 9.62.9.66..

9.2.2 Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Интегрированием по частям называют преобразование исходного интеграла по формуле

w udv = uv ? w v du,

где u и v - дифференцируемые функции.

Различают два основных типа интегралов, вычисляемых интегрированием по частям. К первому типу относят интегралы, в которых подынтегральная функция есть произведение многочлена на sinx, cosx, ex, ax. В этом случае необходимо в качестве функции u выбрать многочлен, а всю оставшуюся часть в подынтегральном выражении принять за dv, причём интегрирование по частям придётся выполнить столько раз, какова степень многочлена.

К интегралам второго типа относятся те, в которых подынтегральная функция в качестве сомножителя содержит lnx, loga x, а также все обратные тригонометрические функции. В этом случае за u принимают этот сомножитель.

Есть такие интегралы, которые формально к этим двум типам не относятся, но легко и быстро вычисляются по частям. Например, если один сомножитель подынтегральной функции легко интегрируется, а второй не усложняется дифференцированием, при этом получается несложный интеграл r v du. Также есть интегралы, в которых интегрирование по частям приводит к уравнению относительного искомого интеграла. В этом случае не следует понимать получающееся в ходе решения уравнение как обычное алгебраическое равенство, т. к. такое равенство является равенством множеств функций, что следует из самой сути понятия неопределённого интеграла как множества первообразных данной функции.

Примеры решения задач

Пример 9.27. Вычислить интеграл

w xexdx. Решение. В соответствии с приведёнными выше рекомендациями положим u = x, dv = exdx:

?u = x ? x ?dv = exdx? x w x

xe dx = ? ? = xe ? e dx =

?du = dx ? ? ? v = ex

= xex ? ex + C = ex(x ? 1) + C.

Пример 9.28. Вычислить интеграл

w (2x + 3)sin5xdx.

Решение. Этот интеграл также можно отнести к первому типу, поэтому примем многочлен за u:

Пример 9.29. Вычислить интеграл

w arctgxdx. Решение. Этот интеграл относится ко второму типу, следует arctgx принять за u, хотя нетрудно заметить, что иного варианта в этом примере просто нет. Итак,

Пример 9.30. Найти интеграл

w x2 cosxdx. Решение. Многочлен имеет вторую степень, поэтому последовательно применим интегрирование по частям дважды:

Пример 9.31. Найти интеграл

v xlnxdx. Решение. Выбираем в качестве u натуральный логарифм:

Пример 9.32. Найти интеграл

. Решение. К основным типам интегралов, вычисляемых по частям, этот интеграл не относится, но он довольно просто вычисляется этим способом, к тому же если считать u = x, то оставшаяся часть будет играть роль. Легко видеть, что dv хорошо интегрируется, а u не усложняется дифференцированием. Пробуем осуществить интегрирование по частям на практике:

Пример 9.33. Вычислить интеграл

px2 + 2dx. Решение. Этот интеграл тоже не относится к стандартным, вычисляемым по частям, тем не менее попытаемся применить этот способ и посмотрим, что же получится:

В оставшемся интеграле в числителе подынтегральной функции добавим и вычтем 2:

. Третье слагаемое представляет собой табличный интеграл, а вот второе - есть исходный интеграл. Как было указано во введении к данному разделу, это равенство является равенством множеств и не может быть рассмотрено как алгебраическое уравнение. Однако в последнем равенстве можно в качестве искомых интегралов слева и справа от знака равенства написать одну и ту же первообразную I, что приводит к уравнению

. Если перенести I в левую часть и поделить почленно на 2, то получится следующее выражение:

, откуда следует окончательный ответ:

Задачи Вычислить неопределённые интегралы:

9.67. w (2x + 1)ex dx. 9.73..

9.68. w xe?x dx. 9.74.

9.69. w x · 7x dx. 9.75.

9.70. w (3x + 5)cosxdx. 9.76. 9.71. w xsin(x + 1)dx. 9.77. 9.72. w (x2 + x ? 1)sinxdx. 9.78.

9.79.9.85. 9.80.9.86.

9.81. 9.87.. 9.82.

9.88.

9.83.. 9.84.9.89.

9.2.3 Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование подстановкой выполняется по следующему правилу:

w f(x)dx = w f(3(t)) · 30(t)dt.

При этом функция x = 3(t) называется подстановкой. Практическое использование замены переменной в неопределённом интеграле не всегда просто, т. к. в выборе удачной подстановки нужен некоторый опыт.

Примеры решения задач

Пример 9.34. Вычислить интеграл

Решение. Корень в знаменателе подынтегральной функции содержит квадратный трёхчлен, поэтому сначала выделим полный квадрат:

Теперь примем x?3 за новую переменную t и преобразуем подынтегральную функцию:

Пример 9.35. Вычислить интеграл

. Решение. Подынтегральная функция содержит и квадратный корень, и корень третьей степени. Подстановку будем подбирать так, чтобы избавиться сразу от обоих корней. Например, положим x = t6:

Пример 9.36. Вычислить интеграл

. Решение. В знаменателе подынтегральной функции содержится корень из квадратного трёхчлена, умноженный на x. Воспользуемся обратной подстановкой:

Пример 9.37. Вычислить интеграл

pa2 ? x2 dx. Решение. В этом интеграле естественна тригонометрическая подстановка x = asint (при ), т. к. она позволяет освободиться от корня в знаменателе дроби:

Учитывая, что при справедливо равенство |cost| = cost, получим интеграл от чётной степени косинуса, который, как рассматривалось выше, вычисляется с помощью формулы понижения степени и удвоения аргумента:

Теперь нужно вернуться к старой переменной интегрирования x, для этого воспользуемся равенством x = asint. Из него следует, что . Отсюда

. После несложных преобразований получим окончательный ответ:

Пример 9.38. Вычислить интеграл

. Решение. В этом примере тоже можно использовать обратную подстановку, но здесь предложим другой вариант: если подынтегральная функ-v

ция содержит квадратные корни вида x2 + a2, то удобна подстановка x = atgt. Итак,

Для того, чтобы вернуться к старой переменной x, используем формулу

. В итоге получим:

Пример 9.39. Вычислить интеграл

. Решение. Пусть ex = t, тогда, тогда

Задачи Вычислить неопределённые интегралы:

9.90. . 9.91. .

9.92.9.103. 9.93.9.104.

9. 94.. 9.105. 9.95.

9.106. 9.96. 9.107..

9.97.

9.108. 9.98. 9.109.

9.99. 9.110. 9.100.

9.111. 9.101.

9.102.9.112.

§9.3 Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называют всякую элементарную функцию, в аналитической записи которой над любыми выражениями, содержащими аргумент, производятся лишь операции сложения, вычитания, умножения, деления таких выражений друг на друга или на числа. Всякую такую функцию можно преобразовать к отношению двух многочленов и записать в виде. При этом можно считать, что многочлены P(x)

и Q(x) не имеют общих корней.

Всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы так называемых элементарных дробей и, быть может, многочлена. Интегралы элементарных дробей выражаются элементарными функциями.

Рациональную дробь вида

, где r - натуральное число, будем называть элементарной (или простейшей) дробью первого рода, а элементарной дробью второго рода будем считать дробь

, где s - натуральное число, M, N, p, q, r - действительные числа, при этом D = p2 ?4q 0 существует такое число ?, зависящее, вообще говоря, от ?, что при любом

разбиении [Lk], удовлетворяющем условию ? ?

a k=1

при любом выборе нормальной последовательности разбиения.

10.1.1 Основные свойства определённого интеграла и его геометрический смысл

Если на отрезке [L] = [a;b] выполняется неравенство f(x) > 0, то

где S - площадь фигуры [S], ограниченной снизу отрезком [a;b], с боков - отрезками прямых x = a, x = b, сверху - графиком функции f(x). Такая фигура называется криволинейной трапецией (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Геометрический смысл определённого интеграла

Теорема о разбиении отрезка интегрирования. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и точка c ? [a;b], то

10.1.2 Вычисление определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

Если F(x) - первообразная непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x), то

. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле:

Переход в определённом интеграле к новой переменной интегрирования производится с помощью соответствующей подстановки по формуле

b ? f(x)dx = w f(3(t))30(t)dt.

a ? Предполагается, что подстановка x = 3(t) на отрезке [?;?] обладает непрерывной производной 30(t), к тому же 3(?) = a, 3(?) = b.

Примеры решения задач

Пример 10.1. Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала находим одну из первообразных подынтегральной функции x2, а затем осуществляем подстановку пределов интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

. Пример 10.2. Вычислить определённый интеграл

Решение.

. Пример 10.3. Вычислить определённый интеграл

. Решение.

. Пример 10.4. Вычислить определённый интеграл

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям, полагая в ней u = lnx, dv = dx:

. Пример 10.5. Вычислить определённый интеграл

. Решение. На практике преобразование определённого интеграла к новой переменной интегрирования, т. е. интегрирование подстановкой, имеет целью вычислить интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Это вызывает необходимость поиска эффективной подстановки, позволяющей быстро найти первообразную подынтегральной функции. Заметим, что потребуется пересчитать пределы интегрирования для новой переменной интегрирования, но нет необходимости возвращаться к прежней переменной и к старым пределам.

. Преобразуем подынтегральную функцию:

. В результате двойной подстановки получаем:

Пример 10.6. Вычислить определённый интеграл

. Решение. Воспользуемся подстановкой x = tgt. Вычислим dx:

. Пересчитаем пределы интегрирования:

. Теперь подставим все эти выражения в исходный интеграл, попутно преобразуя подынтегральную функцию:

Для чётной степени косинуса запишем формулу понижения степени и удво-

ения аргумента . В итоге получим

. Задачи

Вычислить определённые интегралы:

. 10.8. 10.9. . 10.10..

. 10.11. . 10.12.

. 10.13..

10.14. . . . .

. . §10.2 Приложение определённых интегралов к вычислению площадей и длин

Плоскую фигуру [S] назовём стандартной областью в плоскости Oxy, если проекция [S] на ось Ox представляет собой отрезок [a;b]; всякая прямая, параллельная Oy и пересекающая [a;b], имеет с фигурой общий отрезок или точку; фигура [S] снизу и сверху ограничена графиками непрерывных на [a;b] функций y1(x) 6 y2(x) (см. рис 10.2).

Площадь S стандартной области [S] можно вычислить по формуле

Площадь сектора в полярных координатах (рис. 10.3), ограниченного лучами 3 = 31, 3 = 32 и кривой r = r(3):

. Будем считать, что на кривой [L] введён естественный параметр s - дуговая координата текущей точки M ? [L]. Сама кривая [L] при этом

Рис. 10.2.

задаётся естественной параметризацией в виде >?r = >?r (s). Равенство ds = |d~r| будем использовать в трёх вариантах и в соответствии с каждым из них вычислять длину L дуги [L]:

Рис. 10.3. Площадь сектора в полярных координатах

1. Кривая [L] задана параметрическими уравнениями

? x = x(t),

?? y = y(t), ?? z = z(t).

В этом случае ds = |d>?r | = px02 + y02 + z02 dt. При этом предполагается, что при возрастании s и t точка M по [L] движется в одну сторону;

2. Кривая [L] лежит на плоскости Oxy и является графиком функции y = f(x). Система параметрических уравнений в этом случае такова:

. Отсюда

т. е. Формула длины дуги графика y = f(x):

3. Кривая [L] на плоскости определяется полярным уравнением ? = ?(3). В этом случае дифференциал дуговой координаты s равен

p 2 + ?02 d3. ds = ?

Длина дуги в полярных координатах:

. Примеры решения задач

Пример 10.7. Найти площадь фигуры [S], ограниченной линиями

y = x2 ? 3x; x = 2; x = ?1; y = x ? 5.

Решение. Фигура [S] представляет собой стандартную область. Её проекцией на ось Ox является отрезок [?1;2]. Важно определить, какой именно график ограничивает область сверху, а какой - снизу. В нашем случае y2(x) = x2 ? 3x; y1(x) = x ? 5 соответственно (см. рис. 10.4).

Рис. 10.4. К решению примера 10.7

. Пример 10.8. Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного графиками функций y = x2 ? 4x и y = x.

Решение. В отличие от предыдущей задачи здесь заранее неизвестно, в какой отрезок оси Ox проецируется фигура, поэтому для начала решим уравнение

x2 ? 4x = x. Корни этого уравнения x1 = 0, x2 = 5 - соответственно нижний и верхний пределы интегрирования при вычислении площади:

. Пример 10.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

. Решение. Соответствующие параметрические уравнения эллипса записываются следующим образом:

В силу симметричности эллипса относительно координатных осей Ox и Oy можно сначала вычислить площадь той части фигуры, которая расположена в первой четверти, сверху ограничена дугой эллипса, снизу - прямой y = 0, а затем умножить полученный результат на 4. При этом учтём, что когда точка M движется по эллипсу из точки (0;b) к точке (a;0), параметр t меняется от до 0 :

Итак, площадь фигуры с эллиптической границей вычисляется по формуле S = ?ab, где a и b - полуоси эллипса.

Пример 10.10. Задано уравнение циклоиды:

. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной дугой арки циклоиды и осью абсцисс.

Решение. Площадь одной арки вычисляется по формуле:

Для вычисления интеграла перейдём к новой переменной интегрирования t, полагая x = a(t?sint), y = a(1?cost). Новые пределы интегрирования: когда x1 = 0, t1 = 0 - нижний предел интегрирования; когда x2 = 2?a, t2 = 2? - верхний предел. Таким образом, площадь одной арки равна:

Пример 10.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

. Решение. Запишем уравнение лемнискаты в полярных координатах, подставив вместо x и y выражения x = r cos3, y = r sin3. Получим уравнение: r2 = 8cos23.

Будем рассматривать площадь половины фигуры. Нижний предел интегрирования 31 = ??/4, верхний предел 32 = ?/4.

. Пример 10.12. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

. Решение. Пределы интегрирования: t1 = 0, t2 = 2?, так как параметр t пробегает отрезок [0;2?], когда абсцисса изменяется от 0 до 2?a. Итак,

Пример 10.13. Вычислить длину дуги параболы от точки с абсциссой x1 = 0 до точки с абсциссой x2 = 1. Решение.

. Пример 10.14. Вычислить длину границы фигуры, ограниченной параболой y = x2 и отрезком прямой y = x + 2.

Решение. Сначала найдём координаты концов отрезка, в который проецируется вся фигура на ось Ox, для этого решаем уравнение

x2 = x + 2, x1 = ?1, x2 = 2.

Теперь определим длину границы параболического сегмента:

Подобный интеграл вычислялся раньше при изложении темы "Неопределённый интеграл", поэтому здесь ограничимся лишь краткой выкладкой:

. Длину хорды AB можно вычислить как длину отрезка с координатами концов A(?1;1) и B(2;4):

v L2 = |AB| = p(2 ? (?1))2 + (4 ? 1)2 = p32 + 32 = 3 2.

Складывая полученные результаты, окончательно получим:

. Пример 10.15. Найти длину одного витка спирали Архимеда.

Решение. Полярное уравнение спирали: ? = a3. Полярный угол 3 изменяется в пределах от 0 до 2?. Длина одного витка вычисляется с помощью интеграла

. Задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченных линиями:

2 v 10.26. y = x , y = x.

10.27. y = x2 + 4x, y = x + 4.

10.28. y = x2 + 1, x + y = 3.

10.29. y = ?x2 + 6x ? 5, y = x ? 5.

10.30. y = ?x2 + 4x + 1, y ? x ? 1 = 0.

10.31. x2 ? 2x ? y = 0, x2 + y ? 4 = 0.

10.32. y2 = 9x, y = x + 2.

10.33. y2 = 2x + 1, x ? y ? 1 = 0.

10.34. y = lnx и y = ln2 x. 10.35. x = y2, x = 2y2 ? 4.

10.36. x2 + y2 = 8, y = x2/2.

. 10.38. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos3 t, y = = a sin3 t.

10.39. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = = 2cost, y = 6sint и полуплоскостью y > 3.

10.40. Определить площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией y2 = x2 ? x4.

10.41. Определить площадь фигуры, ограниченной архимедовой спиралью ? = a3 и лучами .

10.42. Найти площади фигур, образованных пересечением эллипса

+ y2 = 1 и гиперболы .

10.43. Область ограничена линиями 2y = x2 и y = 2. Определить длину её границы.

10.44. Найти длину дуги линии y = ln(1?x2) от точки с абсциссой x1 = = 0 до точки с абсциссой.

10.45. Вычислить длину дуги кривой , отсечённой прямой y = = 2x.

10.46. Определить длину дуги архимедовой спирали ? = a3, когда 3 меняется от до .

10.47. Вычислить длину дуги кривой .

10.48. Найти длину дуги эвольвенты окружности x = R(cost + + tsint), y = R(sint ? tcost), 0 6 t 6?.

10.49. Определить длину астроиды x = a cos3 t, y = a sin3 t.

10.50. Стандартная область [S] определяется системой неравенств

( 2 2

x + y 6 8, y > x2 ? 2.

Определить длину граничного контура этой области.

§10.3 Несобственные интегралы

Несобственный интеграл непрерывной на промежутке [a;b) функции f(x) при a +0 f(x) > +?:

. Этот несобственный интеграл не существует (расходится).

Пример 10.18.

Решение. Подынтегральная функция непрерывна на

всей числовой оси (??;+?), поэтому

. Итак, данный несобственный интеграл существует и равен ?.

Пример 10.19. Рассмотреть несобственные интегралы двух функций

в интервале (?1;1).

Решение. Графики заданных функций в интервале (?1;1) почти неразличимы. Уточним, что при x ? (0;1) график функции f1(x) выше графика f2(x). Несобственные интегралы этих функций представим в виде

Сначала рассмотрим вторые слагаемые:

, . Интеграл функции f1(x) на интервале (?1;1) не существует. Для полного исследования второго интеграла рассмотрим первое слагаемое:

. Итак,

. Таким образом, несобственный интеграл второй функции существует и равен нулю.

Пример 10.20. Существует ли несобственный интеграл

? Решение. Этот интеграл нельзя считать определённым и вычислять его по формуле Ньютона-Лейбница, т. к. функция f(x) = 1/x2 в нуле имеет бесконечный разрыв. её несобственный интеграл на отрезке [?1;1] не существует, т. к. не существуют интегралы

, .

Пример 10.21. Существует ли интеграл функции

?1;0), (0;2]? Решение. Рассматривается интеграл разрывной функции: при x = 0 функция имеет разрыв первого рода. Её односторонние пределы равны: f(?0) = 1, f(+0) = 4. Представим несобственный интеграл данной функции как сумму интегралов:

. Задачи Вычислить несобственные интегралы (или показать, что они не существуют):

. .

, , где v ?1 ?1/ x; x ? (0;1].

. . , , где

. . IV. Дифференциальные уравнения

Тема 11

Дифференциальные уравнения первого порядка

§11.1 Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Решение дифференциального уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение

, связывающее, в общем случае, независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и её производные y0(x) ,y00(x) ,y000(x), ...,y(n)(x). Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, входящей в это уравнение. Решить дифференциальное уравнение (проинтегрировать) - значит найти функцию y = y(x), удовлетворяющую этому уравнению для всех значений x из определённого интервала. При этом функция y = y(x) называется решением (интегралом) дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения

называется множество функций

y = y(x, C1, C2, C3, ..., Cn),

где C1, C2, C3, ..., Cn - произвольные постоянные, такие, что любое решение данного дифференциального уравнения получается из общего при соответствующем выборе констант Ci, i = 1;...n. При любом конкретном наборе значений C1, C2, C3, ..., Cn получаются частные решения дифференциального уравнения.

Уравнение вида F (x,y,y0) = 0 называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если в этом уравнении можно выразить y0, то оно называется разрешённым относительно первой производной: y0 = f (x,y) или

. Общее решение уравнения первого порядка имеет вид y = y(x, C). При определённом значении C = C0 получается частное решение y = y(x, C0).

11.1.1 Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решений

График любого частного решения называется интегральной кривой. Геометрически общее решение y = y(x, C) дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Oxy. Угловой коэффициент наклона касательной в каждой точке интегральной кривой равен производной y0(x), которая, согласно дифференциальному уравнению, равна f(x,y). Таким образом, можно, не зная решения y(x), изобразить множество касательных и по ним графически построить решение.

Совокупность векторов, приложенных ко всем точкам плоскости, в которых определена функции f(x, y), тангенс угла наклона к положительному направлению оси Ox которых численно равен f(x, y), а первая координата неотрицательна, называется полем направлений. Другими словами, поле направлений получается, когда в каждой точке, в которой f(x, y) имеет смысл, прикладывается вектор~a = (ax; ay), параллельный касательной, проведённой к интегральной кривой в этой точке: ay/ax = f(x, y). Так как у векторов из поля направлений важен только угол наклона, длина их выбирается достаточно произвольно из соображений удобства изображения их на графике. Например, можно изображать их всех одинаковой длины, или с одинаковой первой координатой.

При построении поля направлений удобно определить кривые, на которых векторы из поля направлений имеют одинаковый угол наклона. Такие кривые называются изоклинами и определяются из условия

f(x, y) = k,

где k - фиксированное число, определяющее конкретную кривую. Как следует из определения, изоклины представляют собой линии уровня функции f(x, y).

11.1.2 Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Дано дифференциальное уравнение F (x,y,y0) = 0 и начальное условие y(x0) = y0. Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. Геометрически это означает: из семейства всех интегральных кривых выбрать ту, которая проходит через точку с координатами (x0; y0).

Для успешного решения дифференциального уравнения первого порядка необходимо разрешить его относительно первой производной, преобразовать правую часть f (x,y) и по её виду определить тип уравнения.

11.1.3 Некоторые классы дифференциальных уравнений первого порядка

Кроме описания видов уравнений коротко укажем методы их решения. Применение этих методов рассмотрим на примерах.

1. Простейшее уравнение: y0 = f (x). Решается интегрированием обеих частей уравнения.

2. Уравнение с разделяющимися переменными: y0 = f (x) · g (y). Решается разделением переменных и интегрированием обеих частей уравнения.

3. Однородное уравнение:

. Общее решение находят при помощи подстановки

или откуда y0 = t + xt0.

4. Линейное уравнение: y0 = p(x)y + q (x). Решается методом вариации произвольной постоянной или подстановкой y(x) = u(x) · v(x). При q (x) = 0 уравнение называется линейным однородным, в нем переменные разделяются.

5. Уравнение Бернулли: y0 = p(x)y + q (x)y?, ? 6= 0, ? = 16. Решается теми же методами, что и линейное уравнение.

Примеры решения задач

Пример 11.1. Изобразить изоклины, поле направлений и интегральные кривые дифференциального уравнения

. Решение. Уравнение изоклин записывается в виде

x2 + y2 = k. Очевидно, что параметр k ? [0; +?). При k = 0 изоклина состоит из одной точки (0; 0), в которой соответствующий вектор поля направлений сонаправлен с осью Ox. При k > 0 изоклина представляет собой окружностьv

с центром в начале координат и радиусом k. Тангенс угла наклона векторов, приложенных на этих окружностях, равен k. Таким образом, с увеличением радиуса окружности у векторов увеличивается угол наклона к положительному направлению оси Ox. Если изобразить несколько изоклин с векторами поля направлений на них, то можно схематично изобразить интегральные кривые данного дифференциального уравнения (рис 11.1). Уже на таком приблизительном графике виден характер этих кривых и некоторые их свойства.

Пример 11.2. Найти общее решение уравнения

sin2 3x · y0 = cos3x.

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Разрешим его относительно y0, для чего разделим на sin2 3x (sin2 3x 6= 0, иначе, если sin2 3x = 0, то, как следует из уравнения, и cos3x = 0, а одновременно эти функции не могут быть равными нулю):

. Правая часть зависит только от аргумента x, то есть уравнение имеет вид y0 = f (x) и является простейшим. Перепишем его в виде:

, Рис. 11.1. Поле направлений, изоклины и интегральные кривые примера 11.1.

отсюда

Полученное простейшее уравнение решается интегрированием обеих его частей:

В результате внесения косинуса под знак дифференциала получим:

. Записываем общее решение:

Искомая функция получена в явном виде. Чтобы убедиться в правильности решения, сделаем проверку, для чего подставим получившуюся функцию в исходное уравнение:

После упрощения получим верное тождество cos3x ? cos3x. Пример 11.3. Дано уравнение

. Найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку

(1; 3).

Решение. Чтобы найти интегральную кривую дифференциального уравнения, необходимо прежде всего отыскать его общее решение. Это уравнение простейшее: dy = 3x2 dx.

Интегрируем

w dy = w 3x2 dx.

Получаем общее решение y = x3 +C, представляющее собой семейство кубических парабол (см. рис. 11.2).

Точка (1; 3) принадлежит искомой интегральной кривой, поэтому

3 = 13 + C.

Итак, C = 2. Интегральная кривая, проходящая через точку (1; 3), определяется уравнением y = x3 + 2 (рис. 11.2). Пример 11.4. Решить уравнение

. Решение. Данное уравнение первого порядка, разрешенное относительно y0. Переписав правую часть в виде

, Рис. 11.2. Интегральные кривые примера 11.3.

убеждаемся в том, что это уравнение с разделяющимися переменными вида y0 = f (x) · g (y), где

и g (y) = y + 4.

Имеем . Разделяем переменные, для чего обе части уравнения делим на y+4 6= 6= 0:

. Общее решение уравнения получается, если проинтегрировать обе части равенства:

. Здесь C1 > 0, а в качестве произвольной постоянной использован lnC1 ? ? (??;+?). По свойству суммы логарифмов следует:

ln|y + 4| = ln(|x + 3| · C1).

Откуда |y + 4| = |x + 3| · C1

или y + 4 = ±(x + 3) · C1.

Обозначив ±C1 = C ? R, получим

y = ?4 + (x + 3) · C.

Замечание. Для разделения переменных пришлось делить на выражение (y + 4). Следствием этого действия может послужить потеря решений. При y + 4 = 0 получаем y = ?4. Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функция y = ?4 также является решением дифференциального уравнения. В данном примере оно не было потеряно, поскольку может быть получено из общего решения при C = 0.

Пример 11.5. Найти частное решение дифференциального уравнения x2y0 ? x2 = y2 + xy, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 0.

Решение. Для решения задачи Коши сначала найдем общее решение, затем подставим в него начальное условие с целью найти значение произвольной постоянной. Определим тип данного дифференциального уравнения первого порядка, для чего преобразуем его к виду:

(полагаем x 6= 0).

Или . Правая часть уравнения зависит от отношения переменных y/x. Нетрудно видеть, что это однородное уравнение первого порядка вида

. Однородные уравнения подстановкой y (x) = x · t(x) (или y/x = t) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Здесь t(x) - новая неизвестная функция. Итак,

y = x · t, y0 = t + xt0.

Подставляя в уравнение, получаем

t + xt0 = t2 + t + 1,

. Решаем получившееся уравнение с разделяющимися переменными

(при этом t2 + 1 6= 0, x 6= 0).

Интегрируем

. Общий интеграл уравнения

arctgt = ln|x| + lnC, C > 0.

Итак, arctgt = ln(|x| · C).

Подставим y/x = t :

. Получено общее решение дифференциального уравнения в неявном виде. В явном виде решение выглядит так:

y = x · tgln|x · C|.

Найдём неизвестную константу C. Подставим в общее решение начальное условие y(1) = 0:

0 = 1 · tglnC,

откуда C = 1. Итак, частное решение дифференциального уравнения имеет вид y = x · tgln|x|.

Пример 11.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y0 cosx ? y sinx = cos2 x.

Решение. Выразим y0:

или y0 = tgx · y + cosx. (11.1.1)

Нетрудно видеть, что это линейное уравнение первого порядка вида y0 = = p(x)y + q (x), где p(x) = tgx, q (x) = cosx.

I способ решения (метод вариации произвольной постоянной). Найдем сначала общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:

y0 ? tgx · y = 0.

Разделяем переменные и интегрируем

. Имеем ,

где C = ±C1. Теперь полагаем величину C функцией от переменной x:

, тогда

. Подставим эти соотношения в уравнение (11.1.1):

Решим получившееся уравнение относительно функции C(x):

Имеем Таким образом, получим общее решение исходного уравнения

или, переобозначая константу C2,

. II способ (метод Бернулли). Линейные уравнения первого порядка можно решить с помощью подстановки y = uv, где u и v - некоторые неизвестные функции, зависящие от переменной x. При этом y0 = u0v+uv0. После такой замены линейное уравнение распадается на два уравнения с разделяющимися переменными. Перенесем слагаемое, содержащее y, в левую часть уравнения и выполним подстановку:

y0 ? tgx · y = cosx, u0v + uv0 ? uv · tgx = cosx.

После группировки получим:

u0v + u(v0 ? v · tgx) = cosx. (11.1.2)

Выберем такую функцию v, чтобы выражение в скобках стало равным нулю: v0 ? v · tgx = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив его, найдем какое-либо частное решение v(x):

Интегрируем:

. Поскольку ищем частное решение v(x), то константу можно считать равной нулю. Итак,

. Подставим v(x) в уравнение (11.1.2) и решим его относительно функции u(x):

(11.1.3) Разрешаем относительно

u0 = cos2 x. Интегрируем: u = w cos2 xdx.

Общим решением дифференциального уравнения (11.1.3) будет функция

Теперь, зная функции u и v, составим общее решение исходного дифференциального уравнения:

. Пример 11.7. Найти частное решение дифференциального уравнения

y0 = xy2 ? y,

удовлетворяющее начальному условию

. Решение. Данное уравнение первого порядка является уравнением Бернулли вида y0 = p(x)y + q (x)y?, где p(x) = ?1, q(x) = x. В отличие от линейных уравнений, уравнения указанного типа содержат функцию y не только в первой степени, но и в какой-нибудь степени ? (? 6= 0, ? 6= 1).

Выполним подстановку y = uv. Перенесем слагаемое, содержащее y в первой степени, в левую часть уравнения:

y0 + y = xy2.

Выполним подстановку y = uv, y0 = u0v + uv0:

u0v + uv0 + uv = xu2v2.

Группируем слагаемые:

u0v + u(v0 + v) = xu2v2. (11.1.4)

Найдем какое-нибудь частное решение v(x), для чего выражение в скобках приравняем к нулю:

v0 + v = 0. Решим уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируем

Произвольную константу считаем нулевой и в качестве частного решения берем v = e?x. Найденную функцию v = e?x подставим в уравнение (11.1.4):

u0e?x = xu2e?2x.

Выразив u0, получим уравнение с разделяющимися переменными:

u0 = xu2e?x. Разделяем переменные, интегрируем:

или Заметим, что интеграл, стоящий в правой части уравнения, вычислен с помощью формулы интегрирования по частям. Итак,

. Общее решение исходного дифференциального уравнения записывается как произведение функций u и v:

или

. Подставим начальные условия:

, откуда находим, что C = 1. Запишем искомое частное решение уравнения:

. Задачи Решить простейшие дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения с разделяющимися переменными:

. .

. Проинтегрировать дифференциальные однородные уравнения первого порядка:

. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли:

. Определить тип дифференциальных уравнений первого порядка и решить их:

. . .

Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений первого порядка:

. §11.2. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через точку M:

. §11.2 Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система вида

, где x - независимая переменная, y и z - искомые функции общего аргумента x, а y0 и z0 - их производные, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Принято считать, что система двух дифференциальных уравнений записана в нормальной форме, если она имеет вид:

, Решением системы называется всякая пара функций y(x) и z(x), удовлетворяющих обоим уравнениям системы, то есть, подстановка этих функций в уравнения приводит к тождествам:

, Задача Коши для указанной системы состоит в отыскании решения y (x), z (x), удовлетворяющего начальным условиям

y (x0) = y0, z (x0) = z0,

где x0, y0, z0 - заданные числа.

Для нахождения решения системы двух уравнений следует преобразовать её к одному уравнению второго порядка с целью воспользоваться имеющимся опытом интегрирования уравнений высших порядков. После нахождения решения этого уравнения его можно преобразовать в решение первоначальной системы.

Пример 11.8. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 2, z(0) = 0.

Решение. Сведём систему дифференциальных уравнений к одному уравнению второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение: y00 = ?2z0 + cosx.

Теперь в силу второго уравнения,

y00 = ?2(y ? 3z + 3sinx) + cosx

или y00 = ?2y + 6z ? 6sinx + cosx.

Чтобы исключить отсюда z, снова воспользуемся первым уравнением системы: Теперь

и, окончательно, y00 + 3y0 + 2y = cosx ? 3sinx.

Получили линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Решая его обычным путём, находим общее решение

y = C1e?x + C2e?2x + cosx.

Теперь из первого уравнения системы, как уже было отмечено,

§11.2. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

и получаем

Запишем окончательный ответ

Итак, найдено общее решение исходной системы:

Для того, чтобы найти решение поставленной задачи Коши, воспользуемся начальным условием. При x = 0 получаем:

, откуда C1 = 2, C2 = ?1 и, окончательно, решение исходной задачи Коши запишется:

( ?x ?2x

y = 2e ? e + cosx, z = e?x ? e?2x + sinx.

Подведём некоторые итоги. Для того, чтобы решить поставленную задачу Коши для системы, эту систему свели к одному уравнению. С этой целью дифференцировали первое уравнение системы, исключая из правой части производную z0 и саму неизвестную функцию z с использованием уравнений системы. Затем было найдено общее решение полученного линейного уравнения и, опять-таки воспользовавшись уравнениями системы, записали решение исходной линейной системы. Затем, воспользовавшись начальными условиями, нашли значения произвольных констант и, подставив их в общее решение, получили решение поставленной задачи Коши.

Приведённый план можно реализовать и в общем случае, однако при большом числе уравнений процедура сведения системы к одному уравнению сама по себе может оказаться довольно громоздкой.

Задачи

Найти решение систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

? 0 y = z, ?? 0

11.109. z = ?y + 1,

?? y(0) = 0, z(0) = 1.

? 0 y = y + z, ?? 0

11.110. z = 2y + 2z,

?? y(0) = 0, z(0) = 3.

? 0 y = y + z ? x,

?? 0 0 11.111. z = y ? y,

?? y(0) = 1, z(0) = 0.

? 0 4x y = 3y ? z + e ,

?? 0

11.112. z = y + z,

?? y(0) = 1, z(0) = ?1.

Тема 12 Дифференциальные уравнения высших порядков

§12.1 Общий вид дифференциального уравнения высших порядка. Решение дифференциального уравнения

Общий вид дифференциального уравнения порядка n:

. (12.1.1) Постановка задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков. Дано дифференциальное уравнение (12.1.1) и начальные условия y(x0) = y0, y0(x0) = y1, y00(x0) = y2, ..., y(n)(x0) = yn. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

12.1.1 Некоторые типы дифференциальных уравнений высших порядков

1. Уравнения, допускающие понижение порядка.

а) простейшее: или y(n) = f (x);

б) уравнение, в котором явно отсутствует искомая функция и, может быть, несколько младших производных до порядка k:

= 0; в) уравнение, в котором явно отсутствует аргумент:

. 2. Линейные дифференциальные уравнения.

а) линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛОДУ):

any(n) + an?1y(n?1) + ... + a1y0 + a0y = 0,

где an, an?1, ..., a1, a0 - действительные числа;

б) линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛНДУ):

any(n) + an?1y(n?1) + ... + a1y0 + a0y = f (x), где an, an?1, ..., a1, a0 - действительные числа.

12.1.2 Некоторые классы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка

В этом пункте будут рассмотрены методы решения следующих типов дифференциальных уравнений высших порядков:

1. Простейшее: . Для нахождения общего решения следует разрешить уравнение относительно производной: y(n) = f (x) и n раз проинтегрировать.

2. "Нет y" - уравнение, в котором явно отсутствует искомая функция и, может быть, несколько младших производных до порядка k:

. Порядок такого уравнения снижается

на k единиц подстановкой y(k) = z(x).

3. "Нет x" - уравнение, в котором явно отсутствует аргумент:

. Порядок этого уравнения понижается

на единицу путём подстановки y0 = p(y), y00 = p0p, y000 = p00p2 + p02p,

... Примеры решения задач

Пример 12.1. Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка

. Решение. Данное уравнение относится к уравнениям, допускающим понижение порядка. Это простейшее уравнение вида y(n) = f (x), где n = = 3,

. Перепишем уравнение в виде

. В результате интегрирования обеих частей по переменной x получаем

или . Порядок уравнения снизился на единицу. Далее

. Интегрируем ещё раз:

или

Получаем

После второго интегрирования порядок уравнения снизился ещё на единицу. Интегрируем в третий раз:

. Обозначив ,

получим окончательный результат:

y = 3ln|x + 1| + C1x2 + C2x + C3.

Пример 12.2. Найти общее решение уравнения

xy(4) ? y000 = x3.

Решение. Данное уравнение четвёртого порядка явно не содержит искомую функцию и производные этой функции первого и второго порядка. Выполним подстановку y000 = z, где z - вспомогательная функция аргумента x. Тогда y(4) = z0. Имеем

xz0 ? z = x3.

В результате подстановки порядок уравнения снизился на три единицы. Решим получившееся уравнение первого порядка относительно функции z (x):

0 z 2 z = + x . x

Нетрудно видеть, что это линейное уравнение, которое можно решить методом Бернулли. Перепишем его в виде

. Сделаем замену z = uv, z0 = u0v + uv0:

. Группируем слагаемые:

. (12.1.2) Найдём функцию v таким образом, чтобы она обращала в нуль выражение в скобках:

. Интегрируем получившееся уравнение с разделяющимися переменными:

, откуда v = x. Подставив полученную функцию v в уравнение (12.1.2), найдём функцию u:

. Теперь можем составить функцию z = uv:

или Поскольку y000 = z, то уравнение перепишем в виде:

Имеем простейшее уравнение третьего порядка, которое решаем трёхкратным интегрированием:

Далее . После интегрирования в третий раз находим искомую функцию:

. Обозначив постоянные

, получим окончательный ответ:

. Пример 12.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00y3 + 1 = 0, удовлетворяющее начальным условиям

y(0) = 1, y0(0) = 1.

Решение. Данное уравнение второго порядка явно не содержит аргумент x. Порядок уравнения понижается на единицу путём подстановки y0 = p, где функция p зависит от y. В этом случае y00 = p0p. В результате указанной подстановки получаем уравнение первого порядка

p0py3 + 1 = 0, которое является уравнением с разделяющимися переменными относительно функции p:

. Интегрируем

, или

, где C1 = 2c1.

При решении задачи Коши для уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, необязательно находить общее решение, а потом определять значения входящих в него постоянных. Будем вычислять их сразу после того, как они появляются в процессе решения уравнения. Определим значение постоянной C1, воспользовавшись условием y00(0) =

= 1/2. Подставляя начальные условия, находим, что C1 = 0. Отсюда

. Вынесем y2 из-под знака корня. В общем случае py2 = |y|, но так как перед корнем стоит символический знак ±, не будет путаницы со знаком, и модуль можно снять:

. Заменяя y0 = p, получим уравнение с разделяющимися переменными

. Разделяем переменные и интегрируем:

w y dy = ±w dx.

Отсюда или

y2 = ±x + C2, гдеC2 = 2c2.

Из начальных условий находим, что C2 = 1. Записываем окончательный ответ:

y2 = ±x + 1.

Пример 12.4. Найти частное решение дифференциального уравнения y000 · cos3 x + sinx = 0,

удовлетворяющее начальным условиям

. Решение. Это простейшее уравнение третьего порядка. Перепишем его в виде

. Интегрируем:

. . Значит, C1 = 1:

. Продолжаем интегрировать:

Используя начальное условие y0(0) = ?1, найдём значение C2:

. Отсюда C2 = ?1,

. Снова интегрируем левую и правую части уравнения:

откуда y3.

2 2 Подставим y(0) = 0:

. Получили C3 = 0. Таким образом, можно записать частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Задачи

Найти общее решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка:

. . Решить задачу Коши:

. Тема 13 Линейные дифференциальные уравнения

§13.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛОДУ) имеют вид:

any(n) + an?1y(n?1) + ... + a1y0 + a0y = 0,

где an, an?1, ..., a1, a0 - действительные числа. Функция y = ekx является решением ЛОДУ. Для нахождения общего решения ЛОДУ выполняют подстановку y = ekx, которая приводит к характеристическому уравнению данного линейного дифференциального уравнения:

ankn + an?1kn?1 + ... + a1k + a0 = 0.

Чтобы составить характеристическое уравнение, необязательно каждый раз выполнять подстановку y = ekx. Проще в дифференциальном уравнении n-ю производную функции заменить на n-ю степень k. Далее находим корни характеристического уравнения, определяем их кратность (кратность - число повторений корня уравнения) и составляем общее решение по нижеследующему правилу в зависимости от того, действительные корни или комплексные:

1. Действительному корню k кратности r характеристического уравнения в общем решении соответствует слагаемое следующего вида:

. В частности, простому корню k в общем решении соответствует слагаемое C1ekx.

2. Паре комплексных корней ? ± ?i кратности r характеристического уравнения в общем решении соответствует следующее слагаемое:

. В частности, паре простых корней ? ± ?i в общем решении соответствует слагаемое

. Примеры решения задач

Пример 13.1. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ? 3y0 + 2y = 0.

Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка (ЛОДУ). Подстановка y = = ekx в уравнение приводит к характеристическому уравнению данного линейного дифференциального уравнения:

k2 ? 3k + 2 = 0.

Корни получившегося характеристического уравнения k1 = 1, k2 = 2. Это простые корни, то есть кратность каждого r = 1. Теперь для составления общего решения ЛОДУ yоо нужно воспользоваться правилом 1: действительному корню k1 = 1 кратности r = 1 характеристического уравнения в общем решении соответствует слагаемое C1e1x; действительному корню k1 = 2 кратности r = 1 характеристического уравнения в общем решении соответствует слагаемое C2e2x. Таким образом, запишем общее решение ЛОДУ: yоо = C1ex + C2e2x.

§13.1. ЛОДУ с постоянными коэффициентами

Заметим, что функции y1 = ex и y2 = e2x составляют систему фундаментальных решений ЛОДУ.

Пример 13.2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y(4) + y000 = 0.

Решение. Данному ЛОДУ соответствует характеристическое уравнение k4 + k3 = 0

или k3(k + 1) = 0.

Его корни k1 = 0 кратности r = 3 и простой корень k2 = ?1 (r = 1). Оба корня действительные, поэтому общее решение однородного уравнения составляем по правилу 1: действительному корню k1 = 0 кратности r = 3 характеристического уравнения в общем решении соответствует слагаемое; действительному корню k2 = ?1 кратности r = 1 характеристического уравнения в общем решении соответствует слагаемое C4e?x. Ответ:

yоо = C1 + C2x + C3x2 + C4e?x.

Пример 13.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 5y = 0.

Решение. Корнями характеристического уравнения

k2 + 4k + 5 = 0

является пара комплексно сопряжённых чисел k1,2 = ?2 ± i. Таким образом, здесь ? = ?2, ? = 1. Кратность этих корней равна единице. Согласно правилу 2 общее решение записывается так:

yоо = e?2x(C1 cosx + C2 sinx).

Пример 13.4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y(4) + 4y00 + 4y = 0.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

k4 + 4k2 + 4 = 0

или . v v

Корни комплексно сопряжённые k1,2 = ± 2i. Здесь ? = 0, ? = 2.

Кратность этих корней r = 2. Общее решение:

h v v i 0x yоо = e (C1 + C2x)cos 2x + (C3 + C4x)sin 2x

или v v yоо = (C1 + C2x)cos 2x + (C3 + C4x)sin 2x.

Задачи

Найти общее решение ЛОДУ:

13.1. y00 ? 49y = 0.

13.2. y000 ? y0 = 0.

13.3. y000 ? 4y00 ? 5y0 = 0.

13.4. 2y00 ? 7y0 + 3y = 0.

13.5. y(4) ? 5y00 + 4y = 0.

13.6. y(4) + 4y000 + 4y00 = 0.

13.7. y000 + 2y00 + y0 = 0.

13.8. y000 ? 3y00 + 3y0 ? y = 0.

13.9. y(5) + 3y(4) + 3y000 + y00 = 0.

13.10. y000 + 3y00 ? 4y = 0.

13.11. y000 + 6y00 + 11y0 + 6y = 0.

13.12. y00 ? 4y0 + 13y = 0. 13.13. y00 + 6y0 + 13y = 0.

13.14. y(4) ? 16y = 0.

13.15. y000 ? 8y = 0.

13.16. y(4) + 9y00 = 0.

13.17. y(4) + 2y00 + y = 0.

13.18. y(4) + 8y00 + 16y = 0.

13.19. y(6) ? y = 0.

Решить задачу Коши:

13.20. y00 ? 5y0 + 6y = 0, y(0) = y0(0) = 1.

13.21. y000 + y00 + y0 + y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 1, y00(0) = 2. 13.22. y000 + y00 ? y0 ? y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 0, y00(0) = 3.

13.23. y000 ? y00 ? y0 + y = 0, y(0) = 4, y0(0) = 0, y00(0) = 0.

13.24. y000 ? y00 + y0 ? y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = ?1.

§13.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

с постоянными коэффициентами

Общий вид ЛНДУ:

any(n) + an?1y(n?1) + ... + a1y0 + a0y = f (x),

где an, an?1, ..., a1, a0 - действительные числа. Структура общего решения такова: yон = yоо + yчн, где yоо - общее решение соответствующего ЛОДУ, а yчн - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Если f(x) - функция специального вида

f (x) = e?x [Pn (x)cos?x + Qm (x)sin?x],

где Pn(x) и Qm(x) - многочлены, то частное решение находят методом подбора. В случае произвольной правой части используют метод вариации произвольных постоянных.

13.2.1 Решение ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных

Изучим этот метод на примере ЛНДУ второго порядка a2y00 + a1y0 + a0y = f (x). Запишем общее решение соответствующего ЛОДУ: y = C1y1 + C2y2. Но в этом случае C1 и C2 считаем функциями, зависящими от x, то есть, y = C1(x)y1 + C2(x)y2. Чтобы найти неизвестные функции C1(x) и C2(x), нужно составить и решить систему:

. Примеры решения задач

Пример 13.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

. Решение. Для ЛОДУ y00 + y0 = 0 составим характеристическое уравнение k2 + k = 0. Его корни простые: k1 = 0 и k2 = ?1. Общее решение ЛНДУ ищем в виде: y = C1 (x) + C2 (x)e?x.

Здесь система фундаментальных решений y1 = 1 и y2 = e?x. Тогда и . Составим систему:

. Эту систему можно решать методом Крамера или любым другим способом.

Из второго уравнения находим:

. Подставляя в первое уравнение, получим:

. Интегрированием найдём функции C1 (x) и C2 (x):

, здесь C3 - постоянная;

. Подставим C1 (x) и C2 (x) в общее решение ЛНДУ:

y = ln(ex + 1) + C3 + (?ex + ln(ex + 1) + C4) · e?x

Переобозначая произвольные константы, получим окончательный ответ:

y = C1 + C2e?x + ln(ex + 1) ? 1 + e?x ln(ex + 1).

Обратите внимание, что в этом решении прослеживается структура общего решения ЛНДУ: yон = yоо + yчн. Здесь yоо = C1 + C2e?x и yчн = = ln(ex + 1) ? 1 + e?x ln(ex + 1).

13.2.2 Решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами методом подбора частного решения

В случае, когда правая часть имеет вид

f (x) = e?x [Pn (x)cos?x + Qm (x)sin?x],

где Pn(x) - многочлен степени n, Qm(x) - многочлен степени m, частное решение находят методом подбора. Прежде чем говорить об алгоритме решения ЛНДУ, рассмотрим несколько функций, имеющих специальный вид, указанный выше:

1. . Здесь ? = 3, ? = 7, характеристическое число ? + ?i = 3 + 7i, P(x) = x2 - многочлен второй степени (n = 2), Q(x) = 5 - многочлен нулевой степени (m = 0).

2. f2 (x) = x ? 2.

Многочлен также является функцией специального вида. В этом случае ? = 0, ? = 0, характеристическое число ?+?i = 0, P(x) = x?2 - многочлен первой степени (n = 1), Q(x) = 0 - многочлен нулевой степени, e0x = 1, cos0x = 1, sin0x = 0. В специальном виде функцию f2(x) можно переписать так:

f2 (x) = x ? 2 = e0x((x ? 2)cos0x + 0sin0x).

3. f3 (x) = 2e4x.

Здесь ? = 4, ? = 0, характеристическое число ? + ?i = 4, P(x) = = 2, Q(x) = 0, cos0x = 1, sin0x = 0. Запишем функцию f3(x) в специальном виде:

f3 (x) = 2e4 = e4x(2cos0x + 0sin0x).

4. f4 (x) = xsin5x.

Определяем, что ? = 0, ? = 5, характеристическое число ?+?i = 5i, P(x) = 0, Q(x) = x. Функцию f4(x) можно представить в специальном виде:

f4 (x) = xsin5x = e0x(0 · cos5x + xsin5x).

Итак, алгоритм решения ЛНДУ следующий:

1. Записать ЛОДУ, которое соответствует данному ЛНДУ:

any(n) + an?1y(n?1) + ... + a1y0 + a0y = 0.

Составить характеристическое уравнение, найти его корни с указанием кратности, записать yоо (см. примеры 13.1-13.4).

2. Найти характеристическое число правой части ? + ?i, проверить, не совпадает ли оно с каким-либо из корней характеристического уравнения.

3. Для нахождения частного решения ЛНДУ применить метод подбора:

а) если характеристическое число правой части ? + ?i не совпало ни с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ЛНДУ ищут в виде

yчн = e?x [Al (x)cos?x + Bl (x)sin?x],

где Al(x), Bl(x) - многочлены с неопределёнными коэффициентами степени l = max(m,n). Заметим, что эти многочлены должны быть полными, то есть содержать все степени переменной x от степени l до нулевой степени;

б) если характеристическое число правой части ? + ?i совпало с каким-либо корнем характеристического уравнения, и кратность этого корня r, то частное решение ЛНДУ ищут в виде

yчн = xre?x [Al (x)cos?x + Bl (x)sin?x].

4. Подставить yчн в ЛНДУ и найти коэффициенты многочленов Al(x) и Bl(x).

Пример 13.6. Найти общее решение ЛНДУ без нахождения коэффициентов в частном решении: а) y(5)?4y(4)+5y000 = x2e3x; б) y(5)?4y(4)+5y000 = = x3 ? 6x; в) y(5) ? 4y(4) + 5y000 = e2x(x2 ? 3)cosx. Решение. а) составим ЛОДУ:

y(5) ? 4y(4) + 5y000 = 0.

Корнями характеристического уравнения k5 ? 4k4 + 5k3 = 0 будут k1 = = 0 (r = 3) и k2,3 = 2 ± i (r = 1). Тогда yоо = C1 + C2x + C3x2 + + e2x(C4 cosx + C5 sinx). Определяем характеристическое число правой части: ? = 3, ? = 0, ? + ?i = 3. Видим, что характеристическое число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения. Далее, n = 2, m = 0, l = max(n,m) = 2. Тогда частное решение ЛНДУ примет вид: yчн = e3x(Ax2 + Bx + C).

Запишем общее решение ЛНДУ:

yон = C1 + C2x + C3x2 + e2x(C4 cosx + C5 sinx) + e3x(Ax2 + Bx + C);

б) рассмотрим теперь уравнение

y(5) ? 4y(4) + 5y000 = x3 ? 6x.

Оно отличается от предыдущего только правой частью, поэтому сразу перейдём к нахождению частного решения ЛНДУ. Здесь n = 3, m = 0, l = max(n,m) = 3; ? = 0, ? = 0, характеристическое число ?+?i = 0 совпадает с корнем характеристического уравнения кратности r = 3, поэтому частное решение запишется так:

yчн = x3(Ax3 + Bx2 + Cx + D).

Таким образом, yон = C1 + C2x + C3x2 + e2x(C4 cosx + C5 sinx) + x3(Ax3 + Bx2 + Cx + D);

в) рассмотрим ещё одно уравнение с такой же левой частью:

. Здесь P(x) = x2 ? 3 - многочлен степени n = 2, Q(x) = 4x - многочлен степени m = 1, l = max(n,m) = 2. Характеристическое число ? + ?i = = 2 ± i совпадает с простым корнем характеристического уравнения (r = = 1). Запишем частное решение:

. Общее решение имеет вид:

. Пример 13.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y000 ? 2y00 = 24x2 ? 4

с нахождением коэффициентов в частном решении.

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами третьего порядка. Линейному однородному уравнению y000 ? 2y00 = 0 соответствует характеристическое уравнение k3 ? 2k2 = 0. Его корни: k1 = 0 кратности r = 2 и k2 = 2 кратности r = 1. Общее решение однородного уравнения:

yоо = C1 + C2x + C3e2x.

Найдём частное решение неоднородного уравнения. В правой части многочлен, характеристическое число ?+?i = 0. Это число является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому частное решение имеет вид:

или yчн = Ax4 + Bx3 + Cx2.

Найдём коэффициенты A, B, C методом неопределённых коэффициентов. Для этого подставим yчн в исходное уравнение, предварительно отыскав его производные второго и третьего порядков:

yчн0 = 4Ax3 + 3Bx2 + 2Cx,

Итак, ,

Из равенства коэффициентов при одинаковых степенях x получаем систему:

? ?24A = 24, ??

24A ? 12B = 0,

?? 6B ? 4C = ?4.

Решив систему, получаем A = ?1, B = ?2, C = ?2. Записываем частное решение неоднородного уравнения:

yчн = ?x4 ? 2x3 ? 2x2.

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения запишется:

yон = C1 + C2x + C3e2x ? x4 ? 2x3 ? 2x2.

Пример 13.8. Найти частное решение дифференциального уравнения y00 + y = cos2x,

удовлетворяющее начальным условиям

. Решение. Сначала найдём общее решение неоднородного уравнения. Характеристическое уравнение k2 + 1 = 0 имеет простые корни k1,2 = ±i. Общее решение однородного уравнения:

yоо = C1 cosx + C2 sinx.

В правой части функция специального вида

f(x) = cos2x = e0x(cos2x + 0sin2x).

Здесь n = 0, m = 0, l = max(n,m) = 0, ? = 0, ? = 2. Характеристическое число ?+?i = 2i не совпадает с корнями характеристического уравнения. Частное решение имеет вид:

yчн = Acos2x + B sin2x.

Найдём коэффициенты, для чего подставим yчн в данное ЛНДУ:

Итак, ?4Acos2x ? 4B sin2x + Acos2x + B sin2x = cos2x,

?3Acos2x ? 3B sin2x = cos2x.

Данное равенство будет тождеством только при условии равенства коэффициентов у подобных членов. Приравниваем коэффициенты при cos2x и sin2x в обеих частях равенства:

( ?3A = 1, ?3B = 0.

Отсюда . Итак,

Общее решение неоднородного уравнения запишется:

Теперь можем найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям

. Продифференцируем общее решение неоднородного уравнения, получим равенства:

Подставим в них начальные условия:

. Следовательно

, откуда C1 = 1, C2 = 0. Следовательно, можем записать искомое частное решение ЛНДУ:

Пример 13.9. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ? 3y0 = 6e3x + 10sinx.

Решение. Характеристическое уравнение k2 ? 3k = 0 имеет простые корни k1 = 0 и k2 = 3, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид yоо = C1 + C2e3x.

Правая часть данного уравнения представляет собой сумму функций специального вида: f1(x) = e3x (?+?i = 3 является простым корнем характеристического уравнения) и f2(x) = sinx (?+?i = i - не корень характеристического уравнения). В этом случае частное решение неоднородного уравнения ищут в виде yчн = yчн1 + yчн2. Подбираем частные решения yчн1 = Axe3x и yчн2 = B cosx + C sinx. Таким образом,

yчн = Axe3x + B cosx + C sinx.

Определим коэффициенты A, B и C. Для этого находим yчн0 и и подставляем в уравнение:

yчн0 = Ae3x + 3Axe3x ? B sinx + C cosx, yчн00 = 3Ae3x + 3Ae3x + 9Axe3x ? B cosx ? C sinx.

Имеем Или после упрощения

3Ae3x + (?B ? 3C)cosx + (?C + 3B)sinx = 6e3x + 10sinx.

Приравниваем коэффициенты у подобных членов в левой и правой частях уравнения:

e3x : 3A = 6, cosx: ?B ? 3C = 0, sinx: ?C + 3B = 10. Решив систему, получим A = 2, B = 3, C = ?1. Таким образом,

yчн = 2xe3x + 3cosx ? sinx.

Тогда общее решение ЛНДУ запишется как:

yон = C1 + C2e3x + 2xe3x + 3cosx ? sinx.

Задачи Решить ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных:

. Методом подбора частного решения (без отыскания коэффициентов в частном решении) составить общее решение ЛНДУ:

13.31.

а) y(4) + 25y00 = 2x ? 4;

б) y(4) + 25y00 = x3e5x;

в) y(4) + 25y00 = 7xcos5x;

г);

д). . 13.42. y(4) ? y = 2x cos2x.

Найти общее решение ЛНДУ с нахождением коэффициентов в общем решении:

Найти общее решение ЛНДУ с нахождением коэффициентов в общем решении:

. Решить задачу Коши:

. Ответы

Тема 7 7. 1..

7.7. 7.13. 7.17.

7.22.

7.27. v v 7.33. ?1. 7.34. 16 + 16i. 7.35. 2 + i 2, argz = ?/4, |z| = 2,

v v z3 = ?4 2 ? 4i 2. 7.38. 2 + i 2, argz = ?/4, |z| = 2,

v v v | 3 z| = p3 1/2, z3 = ?i/8. 7.41. 1 ? i 3, argz = 5?/3, |z| = 2,

arg(,

argz = 3?/4, |z| = 2, arg(.

v 7.43. ?1 ? i 3, argz = 4?/3, |z| = 2, arg( ,

v z3 = 8. 7.44. 3/4 + i/4, arg, arg(, |v3 z| = p3 1/2, z3 = i/8. 7.45. arg.

7.46. arg;

v ± 3 ± i. 7.50. arg arg,

v |z| = 3 2. 7.52. arg;

arg. 7.56. arg arg.

7.58. arg arg.

7.60. arg arg. 7.62. arg arg,

|z| = 2. 7.64. arg;

arg arg; 7.69.

7.71. .

7.74. i. 7.75. ch?.

Тема 8 8.1. x(x ? 3)(x2 + 3x + 9). 8.2. x2(x + 4)(x2 ? 4x + 16). 8.3. (x2 + 10)2.

8.4. 8. 6.. 8.9.

8.11.

8.13.. 8.16. 8.18.

8.20. 8.22. 8.24.

8.26. 8.28. 8.30.

Тема 9

9.1. 9.5. 9.7.

9.9. 9.11. 9.13.

9.16. 9.19. 9.22.

9.25.

9.28. 9.30. 9.33.

9.35. 9.37. 9.39.

9.42. 9.45. 9.46.

9.48.

9.51. 9.53. 9.56.

9.59. 9.61. 9.64.

9.66. 9.69. 9.71.

9.72.

9.73. 9.75. 9.77.

9.79. 9.81. 9.82.

9.83. 9.84. 9.86.

9.87.

9.88. 9.90. 9.92.

9.94. 9.95. 9.96.

9.97. 9.99. 9.100.

9.102.

9.104. 9.106. 9.108.

9.110. 9.112. 9.113.

9.114. 9.115. 9.116.

9.117.

9.141. 9.142.

9.143. 9.144. 9.146.

9.147. 9.149. Тема 10

. ;

. 10.51. Не существует. Не существует.

Не существует. 10.58. Не существует.

Не существует.

10.64. 0. 10.65. Не существует. 10.66. ?.

Тема 11 . .

. . 11.110. y = e3x ? 1;z = 2e3x + 1.

11.111. y = (2 ? x)ex ? 1;z = ?ex + 1 + x.

11.112. y(x) = (0,25+1,5x)e2x +0,75e4x;z(x) = (?1,25+1,5x)e2x +0,25e4x.

Тема 12 . . .

Тема 13 . 13.31. а) y = C1 + C2x + C3 cos5x + C4 sin5x + (Ax + B)x2; б)

= C1 + C2x + C3 cos5x + C4 sin5x + ((Ax + B)cos5x + (Cx + D)sin5x)x; г) y = C1 + C2x + C3 cos5x + C4 sin5x +

; д)

. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Часть 2 Учебно-методическое пособие

Под редакцией А. Ф. Салимовой

К изданию подготовлено кафедрой Подписано в печать 16.09.2010 г.

Формат 60 ? 84/16 10 п. л. 9,3 усл. п. л.

Изд. №10189 Тираж 100 экз. Зак. №229

Свободная цена

Типография ВУНЦ ВВС "ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина"

125190, Москва, ул. Планетная, д. 3, тел. 251-23-88

1 x2 ? 4 ---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

5

3

8 Тема 7. Комплексные числа

9 8 Тема 7. Комплексные числа

8 Тема 7. Комплексные числа

§7.2. Тригонометрическая форма. Комплексная плоскость 11

§7.2. Тригонометрическая форма. Комплексная плоскость 11

8 Тема 7. Комплексные числа

9 9 26 Тема 8. Рациональные функции комплексного аргумента

§8.2. Разложение рациональных дробей на элементарные дроби 25

24 34 Тема 9. Неопределённый интеграл

§9.1. Свойства неопределённого интеграла 33

24 34 Тема 9. Неопределённый интеграл

§9.2. Общие методы интегрирования 41

§9.2. Общие методы интегрирования 41

34 Тема 9. Неопределённый интеграл

§9.3. Интегрирование рациональных функций 55

§9.3. Интегрирование рациональных функций 55

34 Тема 9. Неопределённый интеграл

§9.4. Интегралы, содержащие тригонометрические функции 61

§9.4. Интегралы, содержащие тригонометрические функции 61

34 Тема 9. Неопределённый интеграл

3 3 74 Тема 10. Определённый интеграл

§10.1. Определённый интеграл 75

74 Тема 10. Определённый интеграл

74 Тема 10. Определённый интеграл

§10.2. Приложение определённых интегралов 81

§10.2. Приложение определённых интегралов 81

74 Тема 10. Определённый интеграл

§10.3. Несобственные интегралы 89

§10.3. Несобственные интегралы 89

96 Тема 11. Дифференциальные уравнения первого порядка

§11.1. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка 97

3

96 Тема 11. Дифференциальные уравнения первого порядка

3 3 118 Тема 12. Дифференциальные уравнения высших порядков

§12.1. Общий вид дифференциального уравнения высшего порядка 119

118 Тема 12. Дифференциальные уравнения высших порядков

128 Тема 13. Линейные дифференциальные уравнения

3 3 128 Тема 13. Линейные дифференциальные уравнения

§13.2. ЛНДУ с постоянными коэффициентами 131

§13.2. ЛНДУ с постоянными коэффициентами 131

144 Ответы

Ответы 145

3

Показать полностью…
877 Кб, 11 сентября 2013 в 20:47 - Россия, Москва, НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ), 2013 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении