Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 018590 из НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ)

Семь размышлений на темы философии математики

Предисловие | 1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается? | 2. Можно ли определить понятие натурального числа? | 3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)? | 4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)? | 5. Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть? | 6. Что такое доказательство? | 7. Можно ли сделать математику понятной? | Литература

Предисловие

С 26 по 29 сентября 1985 г. в городе Обнинске проходил Всесоюзный симпозиум "Закономерности и современные тенденции развития математики". Автор принял участие в этом мероприятии по приглашению Владимира Ивановича Купцова, которому симпозиум в немалой степени обязан царившей на нём непринуждённой, творческой и деловой атмосферой. Доклады сопровождались интенсивными обсуждениями, продолжавшимися на так называемых "круглых столах". Автор, не заявивший какого либо специального доклада, неоднократно выступал в ходе этих обсуждений. Высказанные им соображения показались достойными опубликования Михаилу Ивановичу Панову, который и предложил оформить их в виде статьи для составляемого им сборника. Так появились настоящие "Семь размышлений". Вот их темы:

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?

2. Можно ли определить понятие натурального числа?

3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)?

Опубликовано в сборнике: Закономерности развития современной математики. | М.: "Наука", 1987. | С.106{155.

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (сострочной буквы)?

5. Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать,ни опровергнуть?

6. Что такое доказательство?

7. Можно ли математику сделать понятной?

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?

Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке | причём не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к их удовольствию, осознаётся не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере следующие три присущие только ей черты. Во первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во вторых, в математике | опять таки в отличие от других наук | всё строго доказывается из аксиом. В третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой науке. Репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым, а уж о современной "высшей" математике и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что обычно не задумываются, что третья из перечисленных черт вступает в известное противоречие с первыми двумя.)

Когда что то слишком общеизвестно, закрадывается подозрение, не является ли это "что то" мифом (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.

Тогда, во первых, обнаруживаем, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое через третье и т.д.; где то мы должны остановиться. ("Портной учился у другого, другой у третьего, да первый то портной у кого же учился?" | справедливо замечает г жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С.И.Шатуновский, приводя определение всё новых и новых понятий, в ответ на повторные вопросы "А что такое то то и то то" наконец не выдерживал

и сам спрашивал: "А что такое что такое?\".

" Семь размышлений на темы философии математики: 1

Давайте задумаемся об устройстве толкового словаря какого либо языка | русского, английского и т.д. В нём одни слова определяются через другие, другие через третьи и т.п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т.е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счёте через само себя 1). Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают 2. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно, если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека | сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа.

При составлении перечня (вряд ли могущего быть вполне отчётливым) категорий (первичных понятий) математики следует соблюдать известную осторожность. Иначе число первичных понятий будет неоправданно велико в нарушение принципа "бритвы Оккама". В самом деле, возьмём, например, такое понятие, как шар. Шар, как известно, есть геометрическое место точек пространства, равноудалённых от одной определённой точки | центра шара. Однако вряд ли кто нибудь впервые узнает, что такое шар, из этого определения. Надо полагать, что человек усваивает понятие шара в детстве | на примере мяча, глобуса, шарика из подшипника и бильярдного шара. Приведённое выше определение он узнает лишь на уроках в школе. При этом отнюдь не всегда удосуживаются объяснить учащемуся, что тот шар, который он знает с раннего детства, и тот шар, которому его обучили в школе, | это один и тот же шар. В результате и возникает представление, что "у них в физике и математике всё наоборот. Может быть, у них и шар пойдёт вверх" 3. Но следует ли на основании того, что понятие шара узнаётся из опыта, а не из словесной формулировки, считать понятие шара неопределяемым понятием, одной из категорий математики? Вероятно, нет.

Казалось бы, дело обстоит яснее с более сложными и дальше отстоящими от опыта понятиями математики, такими, например, как понятие группы | уж понятие то группы никак не отнесёшь к числу первичных. Однако образование понятия группы в умах профессионалов математиков, возможно, не слишком отличается от образования понятия шара в умах людей вообще (как математиков, так и нематематиков): как понятие шара возникает в результате многочисленного рассмотрения различных шаров, так и понятие группы возникло в результате рассмотрения конкретных групп | а уж потом это понятие закрепляется в словесной формулировке (здесь, разумеется, речь идёт о возникновении понятия группы в коллективном опыте математиков, а не в опыте отдельного математика). Поэтому характерным признаком первичности (категориальности) понятия надлежит считать не способ его возникновения, а способ передачи сведений о нём при передаче системы знаний. Для разъяснения сказанного представим себе, что носитель некоторой системы знаний | в нашем случае знаний о математике | должен передать свои знания другому. Тогда он может сообщить другому, что такое шар или что такое группа, пользуясь словесным определением соответствующего понятия. И потому эти понятия | не категориальные. Если же нужно сообщить, что такое множество, что такое прямая или что такое натуральное число, то это делается по другому. Говорится примерно так: все стулья в этой комнате составляют множество, и все страусы за Полярным кругом 4 составляют множество, и все иррациональные числа отрезка [0;1] составляют множество; и далее, после приведения достаточного числа примеров, говорится: "всё это множества" | и так возникает общее понятие множества. Аналогично: ноль 5, один, два, три, четыре, пять и т.д. | всё это натуральные числа, и так возникает общее понятие натурального числа. (Мы видим, что при объяснении понятия натурального числа явно или неявно присутствуют слова "и так далее" | и это иначе и не может быть для первичных понятий: указывается достаточное количество примеров, а дальше | "и т.д.".)

Итак, первый из мифов о математике | "в математике всё определено" | оказывается разрушенным. Перейдём ко второму: "В математике все доказывается из аксиом". Чтобы убедиться, что это не так и, таким образом, разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник

Семь размышлений на темы философии математики: 2

геометрии А.П.Киселёва, или какой нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных | она же пятый постулат Евклида) найдём какие либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем, теорем теории чисел? По видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом.

(Насколько их можно сформулировать | тема следующего размышления.)

Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы. Сложнее дело обстоит с третьей отмеченной нами чертой математики | её непонятностью. Проще всего сказать, что это миф, но если относительно первых двух черт достаточно было спросить самоё математику | спросить и получить отрицательный ответ, | то здесь, конечно, обращение к математике с вопросом, понятна ли она, неуместно. А опрос общественного мнения, безусловно, выставит математику на призовое место по уровню непонятности. Выяснение причин этого явления | которое следует признать настолько объективным, насколько вообще могут быть объективными явления социальной психологии | тема отдельного большого исследования, на которое мы не замахиваемся. Некоторым комментариям на эту тему будет посвящено наше последнее размышление.

2. Можно ли определить понятие натурального числа?

Конечно, можно сказать, что натуральное число | это количество предметов в конечной совокупности. Эта формулировка, по видимому, будет отвечать как значению (точнее, одному из значений) слова "определить", предложенному "Толковым словарём русского языка" под редакцией Д.Н.Ушакова [5] ("дать научную, логическую характеристику, формулировку какого либо понятия, раскрыть его содержание"), так и формулировке Философской энциклопедии [11] ("поскольку результаты изучения объекта отображаются в соответствующих понятиях, определение можно рассматривать как формулирование (в явной и сжатой форме) содержания этих понятий"). Подойдём, однако, к понятиям "определить", "определение" с позиций математика. А именно потребуем, чтобы определение содержало в себе исчерпывающую информацию об определяемом понятии | настолько исчерпывающую, что человек, ничего ранее не знавший об этом понятии, мог бы составить правильное представление о нём исключительно из предложенного определения. Можно ли в таком случае предположить, что человек, вовсе не знающий, что такое натуральное число (не термин, а именно понятие), может усвоить это понятие из первой фразы этого абзаца? Весьма сомнительно: вряд ли, искренне не зная, что такое число, он понимает, что количество предметов не означает, скажем, их суммарный вес, да и само понятие конечной совокупности предметов расплывается при переходе к очень большим совокупностям. Вероятно, все согласны, что триллион в триллионной степени | это натуральное число; но, однако, это число больше числа атомов во Вселенной. Неясно, насколько уместно говорить о конечной совокупности, состоящей из триллиона в триллионной степени предметов [16].

Итак, будем придирчиво требовать от определения исчерпывающей полноты, т.е. будем требовать, чтобы определяемое понятие выражалось с помощью общепринятых синтаксических конструкций через другие понятия, отправные для рассматриваемого определения. С учётом сказанного попробуем предложить такую формулировку: натуральное число | это мощность конечного множества. В этом определении участвуют три основных понятия: 1) множество, 2) мощность, 3) конечное. В рамках тех теорий, в которых эти понятия уже как то разъяснены (в частности, объявлены неразъясняемыми или первичными), приведённая только что формулировка действительно является определением натурального числа. Именно такое определение | в идейном смысле такое, с точностью до несущественных деталей | принято, например, в трактате Николая Бурбаки "Начала математики" 6. (Напомним в связи с этим, что полное имя единицы в теории Бурбаки требует для своей записи десятки тысяч знаков [6, с.188].) Однако здравый смысл отказывается признать понятия множества, мощности, конечного более простыми, чем понятие натурального числа. Здесь типичный пример определения простого через сложное.

Сказанное не следует воспринимать как критику в адрес Н.Бурбаки и других авторов, предлагающих аналогичные формулировки. Разумеется, они, как и все люди, имеют априорное представление о натуральном числе (априорное, разумеется, по отношению к предлагаемому определению, но не к опыту). Они не ставят себе цель дать объясняющее определение понятия натурального числа (т.е. определение, посредством которого можно было бы обучить новичка). Их цель более скромная и более техничная: дать определение этому понятию в рамках излагаемой аксиоматической теории множеств.

Семь размышлений на темы философии математики: 3

Можно определить понятие функции через понятие пары, а можно понятие пары через понятие функции. Ясно, что эти умственные построения имеют мало общего с объяснением непосвящённому, что такое пара и что такое функция. Все предыдущие рассуждения имеют целью подвести к следующей почти очевидной мысли. Оставим в стороне математическую и логическую проблематику, связанную с поисками определения (а правильнее было бы сказать | поисками отражения, моделирования) понятия натурального числа в рамках той или иной аксиоматической теории. Займёмся попытками дать "наивное" объяснение понятия натурального числа, позволяющее незнающему узнать, что это такое. Довольно скоро мы убеждаемся, что такие попытки бесплодны. Натуральное число следует признать первичным, неопределяемым понятием, одной из категорий математики.

3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)?

Потерпев неудачу в попытках определить, что такое натуральное число (или, напротив, обретя удачу в отнесении этого понятия к категории неопределяемых), обратимся к понятию Натурального Ряда. Натуральный Ряд | с большой, или прописной, буквы | это совокупность всех натуральных чисел. Если мы знаем, что такое натуральное число и понимаем слова "совокупность всех", то мы знаем и что такое Натуральный Ряд. Обратно, зная Натуральный Ряд, мы легко определим натуральное число как его элемент. Поэтому понятие Натурального Ряда столь же неопределимо, как и понятие натурального числа. (Впрочем, можно считать фразу "Натуральный Ряд есть множество всех натуральных чисел" законным определением понятия Натурального Ряда через первичные неопределимые понятия "натуральное число" и "множество всех".)

"Как же так? | воскликнет читатель. | А аксиомы Пеано? Разве они не определяют Натуральный Ряд?" Конечно нет, да они на это и не претендуют, если понимать Натуральный Ряд так, как мы его понимаем | т.е. как единственную (!) совокупность некоторых однозначно понимаемых сущностей, называемых натуральными числами. В самом деле, посмотрим, как выглядят аксиомы Пеано. Они гласят: "Ноль есть натуральное число, и ноль не следует ни за каким натуральным числом, и т.д.". Таким образом, они опираются на понятия "ноль" и "следовать за" (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т.е. что такое "ноль" и что такое "следовать за"), а лишь указывают связи между ними. Причём аксиомы сформулированы таким образом, что если ноль этих аксиом | это обычный Ноль 7 Натурального Ряда, а "следование за" означает непосредственное следование одного числа за другим в Натуральном Ряду (так что за Нолём следует Единица, за Единицей | Двойка и т.д.), то все эти связи будут выполнены в Натуральном Ряду. Иными словами, аксиомы Пеано оказываются верными, истинными утверждениями при естественной их интерпретации на Натуральном Ряду. Но они, разумеется, будут верны не только на Натуральном Ряду, но и на всякой структуре, изоморфной 8 Натуральному Ряду. Например, если интерпретировать встречающийся в аксиомах Пеано термин "ноль" как наименьшее простое число, а термин "следовать за" | как переход от одного простого числа к ближайшему за ним следующему, то при такой интерпретации все аксиомы Пеано окажутся верными. Выходит, они, эти аксиомы, не дают даже возможности отличить Натуральный Ряд от совокупности всех простых чисел. Повторяю, они на это и не претендуют. Они претендуют на то, чтобы, как говорят, "определить Натуральный Ряд с точностью до изоморфизма". Более точно это означает, что аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много математических структур, причём все они изоморфны Натуральному Ряду и, следовательно, изоморфны между собой. Ещё более точно, аксиомы Пеано определяют весь класс таких структур. Любую такую структуру будем называть натуральным рядом (с маленькой, или строчной, буквы!). Таким образом, Натуральный Ряд есть один из натуральных рядов.

Говоря коротко, изоморфизм двух математических структур | это взаимно однозначное соответствие между совокупностями элементов первой структуры и второй структуры, сохраняющее определённые на этих структурах операции и отношения. В нашем примере изоморфизм между структурой N (Натуральный Ряд с операцией "следовать за") и структурой P (простые числа с операцией "следовать за") задаёт бесконечная таблица

0 1 2 3 4 5 6 ...

2 3 5 7 11 13 17 ...

Операция "следовать за" при этом соответствии действительно сохраняется: 6 следует за 5, и одновременно 17 следует за 13, и вообще y следует за x в верхнем ряду тогда и только тогда, когда соответствующие им чле-

ственность. Слова "Ноль", "Один" (или "Единица"), "Два" (или "Двойка") и т.д. | собственные имена в абсолютном смысле (такие, как слова "Солнце", "Луна", "Земля"), у каждого из них единственное значение | количество элементов пустого, одноэлементного, двухэлементного и т.д. множества. А "ноль" аксиом Пеано является именем собственным лишь относительно, в пределах данного контекста, а точнее | в контексте той структуры, которая описывается этими аксиомами. Таких структур много, и в каждой из них свой ноль.

8 По поводу понятий "изоморфизм", "изоморфный" мы отсылаем читатели ко второй из двух статей "Изоморфизм" в 3 м издании Большой Советской Энциклопедии [14].

Семь размышлений на темы философии математики: 3

ны нижнего ряда py и px (именно в этом порядке!) следуют один за другим (следуют в смысле, определённом для P).

Иногда говорят, что Натуральный Ряд | это есть ряд ноль; один; два; три; :::; сто двадцать шесть; :::

(его членами являются выражения, составленные из русских букв и пробелов между словами); или ряд

0;1;2;3;:::;126;:::

(его членами являются выражения, составленные из арабских цифр); или ряд

0;I;II;:::;CXXVI;:::

(его членами являются выражения, составленные из римских цифр с добавлением придуманного нами символа 0 | "римский ноль" 8).

Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд (который состоит из абстрактных количественный категорий и не может быть изображён), а есть всего лишь ряд имён, обозначений для его членов, т.е. для натуральных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имён может рассматриваться как один из натуральных рядов с маленькой буквы.

Ситуация с Натуральным Рядом имеет универсальный характер. Аналогичным образом обстоит, например, дело с тем трёхмерным евклидовым пространством, в котором мы живём. Отвлечёмся от того, что мы, скорее всего, живём в неевклидовом пространстве, да и вообще живём в пространстве не математическом, а физическом 9, а это разные вещи. Вообразим, отвлекаясь от реальности, что мы живём в совершенно конкретном трёхмерном Евклидовом Пространстве (мы опять употребляем прописные буквы, чтобы подчеркнуть уникальность этого пространства). Конечно, его нельзя определить никаким числом аксиом, а только | "указав пальцем". С другой стороны, существуют многочисленные системы аксиом (наиболее известная из них принадлежит Гильберту [3]), определяющих это пространство "с точностью до изоморфизма". Взятый в кавычки фразеологизм означает, что система аксиом определяет целый класс изоморфных между собой пространств, а наше "реальное" Евклидово Пространство | одно из них.

Вообще, никакая система математических аксиом никогда не определяет какую либо структуру однозначным образом, а в лучшем случае | с точностью до изоморфизма. (Мы говорим "в лучшем случае", поскольку бывают и весьма важные системы аксиом, определяющие класс неизоморфных структур. Например, аксиомы теории групп определяют математические структуры, называемые группами, но не все они изоморфны между собой.)

Подведём итоги. Определить аксиоматически Натуральный Ряд невозможно. Можно пытаться определить аксиоматически понятие натурального ряда | т.е. понятие произвольной структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Обсуждению этих попыток мы посвящаем наше следующее размышление.

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?

Итак, приступим к попыткам определить аксиоматически понятие натурального ряда | структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Как только произносится слово "изоморфизм", уже тем самым предполагается, что указано, какие отношения и операции должны сохраняться при этом изоморфизме. Следовательно, мы должны прежде всего точно указать, какие отношения и операции мы желаем рассматривать на Натуральном Ряду и изоморфных ему натуральных рядах. В число этих операций могут быть включены нульместные операции (т.е. индивидные константы; например, индивидную константу "ноль" можно рассматривать как нульместную операцию) и одноместные отношения (т.е. свойства). Указание этих выделенных операций и отношений в значительной мере произвольно. Например, можно рассматривать Натуральный Ряд (и тем самым любой изоморфный ему натуральный ряд): 1) как структуру лишь с отношением порядка " 0, y > 0, z > 0. С логической точки зрения более естественно рассматривать уравнение xn + yn = zn как о д н о уравнение с четырьмя неизвестными n, x, y, z. Теорема Ферма, стало быть, утверждает, что это уравнение не имеет целых решений, таких, что n > 2, x > 0, y > 0, z > 0.

Современные эксперты сходятся во мнении, что Ферма на самом деле не обладал доказательством своей теоремы, хотя, возможно, действительно умел её доказывать для двух частных случаев, а именно для случая, когда показатель степени n равен 3, и для случая, когда этот показатель равен 4. Впервые доказательства для этих двух случаев были опубликованы великим немецким и российским математиком Эйлером в XVIII в. Заметим, что из доказательства теоремы Ферма для какого либо показателя n немедленно вытекает её доказательство для всех показателей, делящихся на n. Таким образом, ещё в XVIII в. теорема оказалась установленной для всех показателей, делящихся на 3 или на 4. Далее теорема Ферма была доказана последовательно для случаев показателей, делящихся на 5 (1825 г.), на 14 (1832 г.), на 7 (1839 г.). К 1978 г. справедливость теоремы Ферма была установлена для всех показателей, меньших ста двадцати пяти тысяч. Однако все эти успехи не позволяют утверждать истинность теоремы Ферма в её полном объёме, т.е. утверждать отсутствие целых таких положительных целых чисел x, y, z, которые смогли бы удовлетворить уравнению xn + yn = zn хотя бы при одном каком нибудь показателе n, большем, чем 2.

Поиски доказательств теоремы Ферма продолжаются. Теоретически говоря, могли бы происходить и поиски её опровержения, но они не происходят. Ситуация с гипотезой, называемой "теоремой Ферма", значительно отличается от той, которая имеет место для континуум гипотезы: ведь для континуум гипотезы, как мы знаем, доказано, что её нельзя ни доказать, ни опровергнуть (более точно, Гёдель в 1939 г. показал, что её нельзя опровергнуть, а Коэн в 1963 г. | что её нельзя доказать). Для гипотезы (теоремы) Ферма такое доказательство | доказательство невозможности её ни доказать, ни опровергнуть | отсутствует. Спрашивается: это доказательство п о к а отсутствует (с надеждой его получить в будущем) или оно в принципе невозможно? Если бы это доказательство удалось получить, это несомненно принесло бы математике большую пользу, поскольку раз навсегда закрыло бы шлюз для потока безграмотных попыток доказать теорему Ферма.

Этот прогноз оказался слишком оптимистическим. Как мне сообщили в Российской Академию наук в январе 2001 г., поток лже доказательств теоремы Ферма, поступающих в эту академию, не прекратился.

К сожалению, такое доказательство невозможно. И мы сейчас разъясним, почему невозможно. Правда, остаётся теоретическая возможность того, что удастся доказать, что теорему Ферма нельзя доказать. Появление такого доказательства также перекрыло бы вышеназванный шлюз | но тогда, вероятно, возник бы поток попыток опровергнуть теорему Ферма (например, путём предъявления в косвенной форме четвёрок астрономически больших чисел n, x, y, z, для которых нужное равенство было бы практически непроверяемым).

Итак предположим, что (а) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя доказать; (б) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть.

Наша цель теперь | показать, что (а) и (б) несовместимы, т.е. не может быть, чтобы оба эти утверждения были истинны одновременно. На самом же деле мы обнаружим, что (б) несовместимо даже с более слабым, чем (а), утверждением (а1): "теорему Ферма нельзя доказать". Именно, мы покажем, что из (б) следует наличие у теоремы Ферма доказательства и тем самым отрицание (а1).

Сперва | некоторые предварительные комментарии. Всякую четвёрку натуральных чисел n, x, y, z, такую, что n > 2, x > 0, y > 0, z > 0 и xn + +yn = zn, условимся называть четвёркой Ферма. Теорема Ферма гласит, что четвёрок Ферма не существует в природе. Опровергнуть какую либо теорему 15 | это значит доказать её отрицание. Опровергнуть теорему Ферма | это значит доказать, что четвёрки Ферма существуют.

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Ферма существуют, то их не существует.

Замечание. Пусть A | какое либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что A, то A неверно. Однако | и в этом содержание леммы | это так, коль скоро A есть утверждение "четвёрки Ферма существуют".

Доказательство леммы 1 ведём от противного. В самом деле, предположим, что четвёрки Ферма существуют. Выпишем какую либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел a, b, c, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т.е. проверим выполнение неравенств a > 2, b > 0, c > 0, d > 0 и равенства ba + ca = da. Предъявление четвёрки a > 2, b > 0, c > 0, d > 0 вкупе с указанной проверкой образует доказательство существования четвёрки Ферма. Разумеется, если четвёрка состоит из гигантских чисел, то время, потребное на проверку, может превосходить длительность жизни человека, а то и всего человечества (а объём вычислений | размеры видимой Вселенной). Однако мы от этого отвлекаемся и считаем, что даже и в этом случае проверка того, что предъявленная четвёрка является четвёркой Ферма, в о з м о ж н а в п р и н ц и п е. Философ скажет, что здесь мы используем так называемую абстракцию потенциальной осуществимости, как раз и состоящую в отвлечении от ограниченности наших реальных возможностей в пространстве и времени.

Лемма 2. Если нельзя опровергнуть теорему Ферма, то теорема Ферма верна.

Замечание. Не видно причин, почему это должно быть верно для любой теоремы.

Доказательство леммы 2. Лемма 2 есть просто переформулировка леммы 1. Ведь "опровергнуть теорему Ферма" значит "доказать, что четвёрки Ферма существуют", а "теорема Ферма верна" значит "четвёрки Ферма не существуют".

Лемма 2, которую мы доказали, имеет строение "если P, то Q". Поэтому если P имеет доказательство, то и Q имеет доказательство (доказательство Q состоит в сочетании доказательства леммы с доказательством P). Поэтому имеем такое

Следствие леммы 2. Если существует доказательство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует и доказательство того, что теорема Ферма верна, т.е., попросту, доказательство теоремы Ферма.

Ввиду важности этого следствия ещё раз сформулируем его: если существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть, то теорему Ферма можно доказать. Итак, если (б), то теорему Ферма можно доказать, что и представляет собою обещанное отрицание утверждения (а1).

Полученное противоречие и завершает наше рассуждение о том, что (а1) и (б), а тем более (а) и (б), несовместимы.

Возникает следующий естественный вопрос: а почему проведённое рассуждение нельзя повторить для континуум гипотезы, о которой шла речь в конце нашего предыдущего, четвёртого размышления? В самом деле, гипотеза (теорема) Ферма утверждает, что нет четвёрок Ферма, а континуум гипотеза | что нет множеств мощности, промежуточной между ?0 и c. Давайте заменим четвёрку Ферма на множество промежуточной мощности, теорему Ферма | на континуум гипотезу и ещё раз проведём только что проведённое рассуждение. Мы должны, обязаны где то споткнуться, ведь утверждения (а0) и (б0), получающиеся из (а) и (б) заменой слов "теорема Ферма" на слово "континуум гипотеза", оба верны. Где же мы споткнёмся? А вот где | в доказательстве леммы 1 (разумеется, не в первоначальной формулировке, а с заменой слов "четвёрки Ферма" на слова "множества промежуточной мощности"). Приведённое выше доказательство леммы 1 обосновывалось на следующей идее: можно фактически предъявить четвёрку чисел a, b, c, d и удостовериться, что она образует четвёрку Ферма. Но что значит предъявить множество? Могут возразить, что и мы, собственно, предъявляем не числа как количественные категории, их предъявить невозможно, можно только написать их имена (например, в виде нуля со штрихами или в виде десятичной записи). Но дело в том, что каждое натуральное число имеет имя, чего нельзя сказать о множествах: м н о ж е с т в б о л ь ш е, ч е м и м ё н (если понимать последние как конечные комбинации знаков какого нибудь алфавита). Но даже если ограничиться множествами, имеющими имена, и предъявлять вместо множеств эти имена, всё равно остаётся главная трудность: как проверить, что предъявленное множество имеет промежуточную мощность? Проверить, что четвёрка чисел есть четвёрка Ферма, в принципе (если отвлечься от количества шагов и необходимого пространства) несложно: надо подставить числа в уравнение и сравнить левую и правую части. Способа же, который по предъявленному множеству определил бы его мощность или хотя бы определил, будет ли эта мощность удовлетворять неравенству ?0 Компьютерная часть всё ещё остаётся скорее предметом веры. Ведь даже проверка распечаток всех программ и всех входных данных не может гарантировать от случайных сбоев или даже от скрытых пороков электроники (вспомним, что ошибки при выполнении деления у первой версии процессора Pentium были случайно обнаружены спустя полгода после начала его коммерческих продаж | кстати, математиком, специалистом по теории чисел). По видимому, единственный способ проверки компьютерных результатов | написать другую программу и для другого типа компьютера. Это, конечно, совсем непохоже на стандартный идеал дедуктивных рассуждений, но именно так осуществляется проверка утверждений во всех экспериментальных науках. Из которых математика, стало быть, исключена напрасно.

Создаётся впечатление, что с развитием математики (и появлением всё более и более сложных и длинных доказательств) доказательства теряют своё главное свойство | свойство убедительности. Делается непонятным, что же тогда остаётся от доказательства: ведь убедительность как бы входит в их определение. Кроме того, с усложнением доказательства возрастает его элемент субъективности. Конечно, ф о р м а л ь н о е доказательство объективно. Но, во первых, формальными доказательствами обладают не сами суждения, а их выражения, записи в формализованных языках. Во вторых, проверка утверждения, что данный текст является формальным доказательством, хотя и осуществляется алгоритмически, может, при объёмистом тексте, вызвать значительные практические трудности.

Большие доказательства начинают жить по каким то своим, макроскопическим законам. При чрезмерном возрастании объёма доказательства расплывается само представление о доказательстве | подобно тому как в "большом" расплывается понятие о натуральном числе (ещё раз отсылаем читателя к статье П.К.Рашевского [16]).

Получается, что хотя все доказательства должны, по определению, быть убедительными, одни доказательства убедительнее других, т.е. как бы в большей степени являются доказательствами, чем другие. Возникает нечто вроде градации доказательств по степени доказательности | идея, которая, конечно, в корне противоречит первоначальным представлениям об одинаковой непреложности всех доказательств. Но ведь и математические истины допускают нечто вроде такой градации. Каждое из следующих трёх утверждений: "2·2 = 4", "1714 > 3111", "300! > 100300" истинно. Однако мы говорим: "Верно, как 2 · 2 = 4", но не говорим: "Верно, как 1714 > 3111" или "Верно, как 300! > 100300".

7. Можно ли сделать математику понятной?

В чём причины того, что математика непонятна столь многим? Эта проблема волновала великого Пуанкаре. Вот что он писал в своём известном трактате "Наука и метод" (книга 2 "Математические рассуждения", глава 2 "Математические определения и преподавание", раздел 1; см. [2, с.353]): "Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле... здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания".

Скорее всего, "виноваты" обе стороны. Виноваты нематематики, приученные дурным воспитанием к непониманию и даже неприязненному отношению к математике (как указывает Пуанкаре, "зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков её" [2, с.354]). Виноваты математики, не желающие тратить свои усилия на то, чтобы разъ-

Семь размышлений на темы философии математики: 7

яснить свою математику непосвящённым (а сколько людей удивляется, что в математике ещё осталось, что открывать!). Конечно, в математике всегда останутся многочисленные детали, недоступные непрофессионалу (и даже профессионалу, но в другой области математики). Но ведь так обстоит дело всюду: в шахматах, например, многие ходы Карпова и Каспарова в их сражениях друг с другом были непонятны даже гроссмейстерам. В то же время гораздо больше из математики, чем думают обычно, могло бы быть объяснено широким кругам доброжелательных слушателей и читателей | не в деталях, конечно, а на уровне общей сути. Разумеется, это требует от математиков целенаправленной деятельности в новом для них направлении.

Возможно, что в этом и состоит их нравственный долг перед человечеством.

"Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сначала хорошо узнать то, что их останавливает" [2, с.354]. Во многих случаях, по видимому, препятствием является сложное логическое строение математических определений и утверждений | строение, в котором логические связки и кванторы существования и общности чередуются друг с другом. Всякий преподававший математический анализ знает трудности, возникающие на пути параллельного усвоения понятия предельной точки последовательности, определение которой имеет структуру ?"?k ?n(A?B), и понятие предела последовательности, определение которого имеет структуру ?"?k ?n(A ? B). Однако являются ли возникающие при усвоении этих понятий учащимися психологические трудности трудностями сути дела или трудностями словесного выражения? Автор не знает окончательного ответа на этот вопрос, который связан с ещё более глубоким вопросом: можно ли отделить математику от словесных формулировок? Иначе говоря, пребывает ли математика исключительно в математических текстах или же математика имеет некоторую отличительную от текстов сущность, а тексты служат лишь тем или иным (и потому, может быть, не всегда удачным) способом выражения этой сущности. По видимому этот вопрос, который мы назвали более "глубоким", применим не только к математике, но и к любой другой науке. Математика же выделяется среди других наук тем, что она есть, по формулировке Энгельса из "Диалектики природы", "абстрактная наука, занимающаяся умственными построениями, хотя бы и являющимися отражениями реальности" 23 [1, с.529].

По видимому, всё же, математические понятия, как и всякие разумные понятия, существуют в виде представлений, не обязательно связанных с текстами. Определяющие же эти понятия словесные тексты следует признать важным, но не единственным способом их усвоения.

Думается, что уже сегодня мы располагаем более совершенными способами внедрения в сознание обучающегося понятий предела и предельной точки последовательности (обучающегося, не имеющего специальных "математических способностей", которые | при современном понимании этого взятого в кавычки словосочетания | предполагают высокое умение воспринимать именно словесные формулировки). Представим себе экран, на котором рисуется траектория движения точки, неограниченно приближающейся к некоторой неподвижной точке, которая и есть предел. Этот сюжет многократно повторяется с изменением как положения предела (чтобы не создавалось ложного впечатления, что у всех последовательностей один и тот же предел), так и способа приближения движущейся точки к пределу (чтобы не создавалось, в частности, ложного впечатления, что расстояние между движущейся точкой и её пределом изменяется монотонно). Можно представить и аналогичную наглядную иллюстрацию понятия предельной точки, когда траектория хотя и неограниченно приближается временами к этой точке, но вместе с тем опять таки временами отдаляется от неё на определённое расстояние. Кажется правдоподобным, что у любого наблюдающего такие картинки возникнет правильное представление и о пределе, и о предельной точке.

Можно быть уверенным, что с внедрением компьютеров преподавание пойдёт по пути визуализации понятий, традиционно считавшихся совершенно абстрактными.

Если бы излагаемая тема имела только педагогическое значение, мы бы не останавливались на ней так подробно в сочинении философского характера. Однако тема выходит за рамки педагогики, смыкаясь с вопросом об онтологической природе математических сущностей. Вопрос же этот, как и всякий разумный теоретический вопрос, имеет прикладное значение | в данном случае, в порядке обратной связи, педагогическое. В самом деле, если математическое понятие имеет сущность, отдельную от воплощения в словесном определении или формуле, то можно надеяться на лучшее понимание этой сущности путём демонстрации различных её проявлений (а не только формулировки).

Чтобы не быть голословными, приведём свежий пример. На с.71{72 недавно вышедшего учебного пособия [24] приведена формула, определяющая некое математическое понятие | так называемый конус Кларка. Сформулировав определение, авторы пишут: "Однако с первого взгляда невозможно понять ни свойств конуса Кларка, ни сам смысл его формального определения". И дальше они сперва приводят эвристические соображения, позволяющие уяснить конус Кларка, а затем переводят эти соображения на язык нестандартного анализа. Здесь можно уловить мысль, что понятие конуса Кларка существует как бы само по себе; определение же в виде формулы | лишь один из способов (и не наиболее удобный) постижения этого понятия, а для лучшего постижения полезны описания вроде "результаты разгляды-

Семь размышлений на темы философии математики: Литература

вания множества в микроскоп" [24, с.86]. Независимо от того, так ли это на самом деле, представляется плодотворной следующая рабочая гипотеза: подлинно глубокое математическое понятие или математическое утверждение должно быть в своей сути просто. А тогда есть надежда, что оно окажется понятным (или, лучше сказать, понятым): ведь к простому легче привыкнуть, а мы не знаем иного толкования для "понять", чем "привыкнуть".

Литература

[1] МарксК., ЭнгельсФ. Соч. 2 е изд. | Т.20. | М.: Госполитиздат, 1961.

[2] ПуанкареА. О науке / Пер. с французского под ред. Л.С.Понтрягина. | М.: Физматлит, 1983. | 560 с.

[3] ГильбертД. Основания геометрии / Пер. с немецкого И.С.Градштейна под ред. П.К.Рашевского. | М.{Л.: Гостехиздат, 1948. | 491 с.

[4] НейгебауэрО. Лекции по истории античных математических наук. Т.1. Догреческая математика. | М.{Л.: ОНТИ, 1937. | 243 с.

[5] Толковый словарь русского языка / Под ред. Д.Н.Ушакова. | Т.2 | М.: Гос. изд во иностр. и нац. словарей, 1938. | Стлб.832.

[6] БурбакиН. Теория множеств / Пер. с франц. Г.Н.Поварова и Ю.А.Шихановича под ред. В.А.Успенского. | М.: "Мир", 1965. | 455 с.

[7] ЧёрчА. Введение в математическую логику / Пер. с английского В.С.Чернявского под ред. В.А.Успенского. | М.: Изд во иностр. лит ры, 1960. | 485 с.

[8] HornbyA.S., ParnwellE.C. An English Reader's Dictionary. | L.: Oxford University Press, 1959. | 511 p.

[9] ЮшкевичА.П. История математики в Средние века. | М.: Физматгиз, 1961. | 448 с.

[10] ПотоцкийМ.В. О педагогических основах обучения математике: Пособие для учителей. | М.: Учпедгиз, 1963. | 200 с.

[11] ГорскийД. Определение // Философская Энциклопедия. | Т.4. | М.: "Советская Энциклопедия", 1967. | С.150{152.

[12] УспенскийВ.А. Предисловие // Математика в современном мире. М.: "Мир", 1967. | С.5{11. [А также в настоящем издании: с. 266{273.]

[13] БожичС.П. О способах истинностной оценки естественнонаучного высказывания // Логика и эмпирическое познание. | М.: "Наука", 1972. | С.243{255.

[14] Изоморфизм // Большая Советская Энциклопедия. 3 е изд. | Т.10. | М.: "Сов. Энциклопедия", 1972. | С.98.

[15] ДемидовС.С. К истории аксиоматического метода // История и методология естественных наук. | Вып.14. Математика. Механика. | М.: Изд во Московского Университета, 1973. | С.74{91.

[16] РашевскийП.К. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. | 1973, т.28. | Вып.4 (172). | С.243{246.

[17] AppelK., HakenW. Every planar map is four colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. | 1976, vol.82. | Ђ5. | Pp.711{712.

[18] AppelK., HakenW. Every planar map is four colorable. Part I: Discharging // Illinois Journal of Mathematics. | 1977, vol.21. | Ђ3. | Pp.429{490.

[19] AppelK., HakenW. Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility // Illinois Journal of Mathematics. | 1977, vol.21. | Ђ3. | Pp.491{567.

[20] AppelK., HakenW. The solution of the Four Color Map problem // Scienti?c American. | 1977, vol.237. | Ђ4. | Pp.108{121.

[21] УспенскийВ.А. Теорема Гёделя о неполноте. | М.: Физматлит, 1982. | 111 с.

[22] ПлискоВ.Е. Теорема // Математическая Энциклопедия. | T.5. | М.: "Советская Энциклопедия", 1985. | Стлб.334{335.

[23] КозыревВ.П., ЮшмановС.В. Теория графов (Алгоритмические, алгебраические и метрические проблемы) // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. | Т.23. М.: ВИНИТИ, 1985. | (Итоги науки.) | С.68{117.

[24] КусраевА.Г., КутателадзеС.С. Субдифференциалы и их применения: Учебное пособие. | Новосибирск: Новосибирский гос. университет, 1985. | 86 с.

[25] Уроки открывает беседа с математиком Л.Понтрягиным: Интервью академика Л.С.Понтрягина "Учительской газете" // Учительская газета, 1985, 23 мая.

[26] CantorG. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre // Journal fu-r die reine und angewandte Mathematik. | 1878. | Bd.84. | S.242{258. (Русский перевод Ф.А.Медведева в [29], с.22{35.)

[27] CantorG. Uber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr.6 // Mathema-tische Annalen. | 1884. | Bd.23. | H.4. | S.453{488. (Русский перевод

Ф.А.Медведева в [29], с.106{139.)

[28] CantorG. Gesammelte Abhandlungen. | Berlin: Springer, 1932. | 486S.

[29] КанторГ. Труды по теории множеств. / Перевод Ф.А.Медведева, П.С.Юшкевича. Отв. редакторы А.Н.Колмогоров, А.П.Юшкевич. | М.: "Наука", 1985. | 430 с.

[30] CoxD.A. Introduction to Fermat's Last Theorem // American Mathematical Monthly. | 1994, January. | Pp.3{14.

[31] СингхС. Великая теорема Ферма. | М.: МЦНМО, 2000. | 288 с. (Это есть перевод с английского книги: S i n g h S. Fermat's Last Theorem. | London: Fourth Estate, 1997.)

[32] ThomasR. An update on the Four Color Theorem // Notices of the American Mathematical Society. | 1998, vol.45. no.7. | Pp.848{859.

[33] СамохинА.В. Проблема четырёх красок: неоконченная история доказательства // Соросовский образовательный журнал. | 2000, т.6. | Ђ7 (56). | С.91{96.

1 Полезно представить себе граф, в котором в вершинах размещены слова, а стрелка идёт от вершины X в вершину Y в том случае, если в словарной статье, толкующей слово X, встречается слово Y .

2 Например, в толковом словаре английского языка Хорнби и Парнуэлла [8] оставлены без объяснений такие слова, как "thing" (в основном значении) и "all". К сожалению, для русского языка подобный словарь ещё не создан.

3 Цитированные слова произнёс "неглупый ученик" в оправдание сделанному на уроке заявлению, что шар, положенный на наклонную плоскость, покатится вверх. Этот замечательный эпизод описан в [10] на с.150{151.

4 Пример акад. П.С.Александрова.

5 Давно пора покончить с анахронизмом, начинающим натуральный ряд с единицы. В пенале всегда какое то натуральное число карандашей | может быть нуль. Натуральное число | это мощность (число элементов) конечного множества, в частности | пустого.

6 Автор пользуется случаем выразить свой протест против получившего, к сожалению, распространение русского перевода названия трактата Бурбаки как "Элементы математики" (в подлиннике "El?ements de math?ematique"). Французские издания "Начал" Евклида также озаглавлены "El?ements". Параллель замыслов Евклида и Бурбаки бросается в глаза. (Несколько менее очевидное сходство заключается в загадочности личностей обоих авторов и скудности биографических сведений о них. Ведь само существование Евклида как отдельного человека иногда также подвергается сомнению.) Перевод "El?ements" как "Элементы" (в применении к сочинению Бурбаки) представляется чистым недоразумением.

7 Члены Натурального Ряда | Ноль, Один (Единица), Два (Двойка) и т.д. | мы пишем с большой буквы, чтобы подчеркнуть их уникальность, т.е. абсолютную един-

8 Не отсутствием ли "римского ноля" в традиционном наборе символов объясняется упорное исключение ноля из натурального ряда? Короче говоря, не находимся ли мы в этом вопросе в плену у латыни?

9 Заметим в этой связи, что "физический" Натуральный Ряд, скорее всего, отличается от своей математической модели | "математического" Натурального Ряда. См. по этому поводу глубокую и недостаточно оценённую статью П.К.Рашевского [16]. Вот цитата из неё: "Духу физики более соответствовала бы такая математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в какомнатурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так ска-то смысле "размытый вид\, а не являлись строго определёнными членами зать, переуточнена: добавление единицы меняет число | а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом?"

10 Нетрудно заметить, что свойство формулы "быть закрытой" не зависит от того, в применении к какой структуре мы рассматриваем эту формулу; это свойство может

11 Когда мы говорим об аксиомах, мы имеем в виду символический язык, подобный описанному выше для сигнатуры {

12 А залог ясности понимания вопроса состоит в ясности понимания возможных ответов на этот вопрос.

13 Примечание для специалистов. Известные автору примеры подобных формул содержат предикатные символы валентности 2. Однако и аксиома индукции, если заменить в ней функциональный символ штрих на предикатный, будет содержать предикатный символ валентности 2.

14 Впрочем, не все придерживаются этой точки зрения. Так, Виктолий Иванович Будкин на с.45 своей книги "Методика познаниятеоремы Ферма" (Ярославль: Верх. Волж. кн. изд"истины\. Доказательство Великойво, 1975, 48 с.) указывает: "Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде". Следует отметить, что подавляющему большинству ферматистов всё же не удаётся опубликовать свои псевдодоказательства.

15 Мы по прежнему пользуемся неточной терминологией и отождествляем слово "теорема" со словом "утверждение", а не со словом "доказанное утверждение".

16 Это значит, что существует алгоритм, который для любого c проверяет, верно ли A(c) или нет.

17 Слова "истинно" и "верно" | синонимы. Слово "доказуемо" имеет другой смысл (и даже другие смыслы).

18 По поводу "расплывания в большом" представлений о натуральном числе см. уже упоминавшуюся статью П.К.Рашевского [16].

19 См., например, относящееся к толкованию древнеегипетских текстов примечание переводчика С.Я.Лурье на с.139 в [4].

20 Вот что говорит по этому поводу академик Л.С.Понтрягин: "Первая известная нам математическая рукопись | это рукопись Ахмеса, составленная за две тысячи лет до нашей эры. В ней содержатся некоторые алгебраические и геометрические правила | например, вычисление площади треугольника... Однако в папирусе Ахмеса была допущена ошибка. Согласно ему, площадь равнобедренного треугольника равна произведению основания на половину боковой стороны | а каждый сегодняшний школьник знает, что это неверно" [25].

21 Вот формулировка этой гипотезы в 29 м томе Большой Советской Энциклопедии, изд. 3 е, в статье "Четырёх красок задача": Четырёх различных красок достаточно для того, чтобы раскрасить любую карту так, чтобы никакие две области, имеющие общий участок границы, не были окрашены в один и тот же цвет. Проблема четырёх красок возникла в картографической среде: впервые наблюдение о достаточности четырёх красок было сделано в 1852 г. при составлении карты графств Англии. Обнаружилась, что гипотеза четырёх красок подтверждается во всех известных частных случаях. Сравнительно просто удаётся доказать (и это было сделано в 1890 г.), что для любой мыслимой карты достаточно пяти красок. Попытки же доказать аналогичное утверждение для четырёх красок долгое время (в течение ста лет) были безуспешны.

22 Микрофиша | отдельно взятый кадр микрофильма, очень маленький слайд.

23 Эти умственные построения вряд ли могут быть осуществлены человеческим умом, если они не опираются на общечеловеческую логику, а следовательно, на реальность, из оперирования с которой эта логика происходит.

---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

Философия

66

65

63 Философия

Семь размышлений на темы философии математики: 4

64

63 Семь размышлений на темы философии математики: 4

63

Философия

Семь размышлений на темы философии математики: 5

64

63 Семь размышлений на темы философии математики: 5

63

Философия

Семь размышлений на темы философии математики: 6

64

63

Семь размышлений на темы философии математики: 6

63

Философия

64

63

63

Показать полностью…
819 Кб, 14 октября 2014 в 16:57 - Россия, Москва, НИУ ВШЭ (ГУ-ВШЭ), 2014 г., pdf
Рекомендуемые документы в приложении