Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Студенческий документ № 025551 из ИМЭ

; МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

"РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -

МСХА имени К.А. ТИМИРЯЗЕВА"

Факультет "Процессы и машины в агробизнесе"

Кафедра "Эксплуатация машинно-тракторного парка и высокие технологии в растениеводстве"

Левшин А.Г., Левшин А.А., Бутузов А.Е., Майстренко Н.А.

"Планирование и организация эксперимента"

Учебное пособие

Москва

Издательство РГАУ-МСХА

2015 УДК 621.77:631.3

ББК

К 55 Левшин А.Г. Планирование и организация эксперимента: Учебное пособие/ А.Г. Левшин, А.А. Левшин, А.Е. Бутузов, Н.А. Майстренко- М.: Изд-во РГАУ-МСХА, 2015.- 65 с.

В учебном пособии представлена методика статистического анализа опытных данных, описания факторного пространства уравнениями регрессии и оценки их достоверности при выполнении индивидуальных заданий в ходе лабораторно-практических занятий по дисциплине "Планирование и организация эксперимента".

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов, обучающихся по программам магистратуры по направлениям: "Агроинженерия", "Стандартизация и метрология", "Управление качеством" и "Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов". Отдельные задания могут быть рекомендованы бакалаврам. Будут полезны для повышения квалификации специалистов, занимающихся вопросами испытании сельскохозяйственной техники и аспирантам.

Рецензенты: доктор техн. наук, проф. Лобачевский Я.П..;

доктор техн. наук, проф. Девянин С.Н.

ISBN

(c) Левшин А.Г., Левшин А.А.,

Бутузов А.Е., Майстренко Н.А.

(c) РГАУ-МСХА им. К.А. Тимирязева 2015;

(c) Издательство РГАУ-МСХА;

Содержание

№№ п/п

Темы практических занятий Стр. Введение 4 1 Статистическая оценка одномерной выборки случайной величины. 6 2 Статистическая обработка выборки большого объема 13 3 Выбор закона распределения случайной величины 18 4 Оценка статистической взаимосвязи двух случайных величин. 22 5 Аппроксимация опытных данных методом наименьших квадратов. 26 6 Планирование полного факторного эксперимента 2к 32 7 Планирование дробного факторного эксперимента 23-1 36 8 Поиск области экстремума функции отклика методом крутого восхождения 40 9 Описание области экстремума функции отклика уравнениями второго порядка. 43 Приложение 1. Таблицы критических значений статистических распределений

49

Введение

Учебное пособие "Планирование и организация эксперимента" предназначено для самостоятельной работы студентов по изучению теоретических основ экспериментального изучения объекта исследования, формированию навыков и умений по планированию, проведению эксперимента и анализу полученных результатов.

Цель дисциплины - освоение студентами (магистрами, аспирантами) методики планирования и организации эксперимента для получения достоверной информации об исследуемом объекте при минимальных затратах труда и в кратчайшие сроки.

Задачи дисциплины - научить оценивать достоверность полученной экспериментальной информации; определять характеристики случайных величин и минимально необходимый объем выборок; выбирать и ранжировать наиболее существенные технологические факторы, влияющие на исследуемый процесс; описывать функцию отклика для выбранного факторного пространства и определять оптимальную область для исследуемого процесса; оценивать парную и множественную статистическую взаимосвязь между случайными величинами и аппроксимировать опытные данные математическими зависимостями; оценивать точность и адекватность математических моделей.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины. В результате изучения дисциплины студент (магистр, аспирант) должен:

Иметь представление: о методах экспериментальных исследований процессов работы машин.

Знать: основы теории математической статистики и планирования эксперимента применительно к задачам формирования достоверных опытных данных об исследуемых объектах.

Уметь: оценивать достоверность результатов измерений и контроля; аппроксимировать опытные данные математическими зависимостями и оценивать их адекватность; планировать порядок проведения эксперимента при испытании с.-х. техники; обрабатывать опытные данные на ЭВМ; строить математические модели исследуемых процессов и их физическую интерпретацию.

Владеть навыками: планирования многофакторного эксперимента и обработки опытных данных; использования прикладных программ для обработки результатов экспериментов ЭВМ.

Сформированные знания, умения и навыки составляют методическую основу экспериментальных исследований сельскохозяйственных объектов и (или) процессов в процессе испытаний. Испытания - экспериментальное определение количественных и (или) качественных характеристик свойств объекта испытаний как результата воздействия на него, при его функционировании, при моделировании объекта и (или) воздействий. Основой испытаний является опыт.

Опыт - это метод исследования, который воспроизводится в описанных условиях неограниченное количество раз, и даёт идентичный результат (воспроизводимый опыт). Совокупность опытов для достижения поставленных задач в исследовании представляет собой эксперимент. Экспериме?нт (от лат. Experimentum - проба, опыт) - метод исследования некоторого явления или процесса в управляемых условиях. Отличается от наблюдения активным взаимодействием с изучаемым объектом. Обычно эксперимент проводится для проверки гипотезы, установления причинных связей между действующими факторами и откликом.

Лабораторно-практический курс при изучении дисциплины "Планирование и организация эксперимента" состоит из 9 расчетных заданий и выполняется по индивидуальным вариантам. В индивидуальных заданиях охвачены основные разделы курса планирования эксперимента и обработки статистической информации. Задания составлены таким образом, чтобы стимулировать инициативу и самостоятельную формулировку и доказательность выводов и рекомендаций студента. При этом в каждом задании содержатся элементы исследовательской работы.

Задания формируются в зависимости от образовательной программы и уровня подготовки обучающегося. Результаты выполнения индивидуального задания оформляются в "Рабочей тетради".

Выполненные индивидуальные задания необходимо защитить для формирования навыков научной дискуссии.

Статистическая обработка одномерной выборки

случайной величины

Цель и задачи

Цель - изучить методику статистической обработки одномерной выборки случайной величины.

Задачи - освоить основные понятия (случайная величина, выборка, характеристики случайной величины), методику формулировки и проверки статистических гипотез, изучить требования к выборке и методику проверки их соблюдения, научиться определять достоверные статистические характеристики случайной величины.

Основные понятия и определения

Случайная величина - это переменная, которая принимает в результате опыта одно значение из множества исходов, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Все возможные значения случайной величины называют генеральной совокупностью. Если мы проведем n повторных измерений случайной величины Х, то есть получим n конкретных различных численных значений , то этот результат эксперимента можно считать выборкой объема n из гипотетической генеральной совокупности результатов единичных измерений. Оценивая характеристики выборки, мы можем иметь представление о свойствах генеральной совокупности.

Репрезентативная выборка - точно (достоверно) отражает свойства генеральной совокупности. Чтобы выборка правильно отражала основные свойства, присущие генеральной совокупности, она должна быть случайной, т.е. все объекты генеральной совокупности должны иметь равные шансы попасть в выборку. Для этого выборки формируются с помощью специальных методик. Репрезентативная выборка должна быть достаточной по объему для обеспечения необходимой точности определяемых показателей (характеристик).

Достоверная выборка не должна содержать грубые ошибки (промахи, не характерные значения реализации случайной величины).

Доверительная вероятность - вероятность того, что значение рассчитываемых оценочных характеристик для генеральной совокупности попадет в доверительный интервал. Чем больше доверительная вероятность, тем больше должен быть доверительный интервал.

Для оценки случайной величины используют характеристики положения и рассеивания.

Характеристики положения: математическое ожидание, мода и медиана.

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины представляет абсциссу центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M(x). Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х равно , а математическое ожидание дискретной случайной величины равно .

Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее наиболее вероятное значение, а модой непрерывной случайной величины - значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е. Р(Х Ме).

Характеристики рассеивания: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса случайной величины около ее математического ожидания и представляет собой математическое ожидание квадрата ее отклонения: . Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины .

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е. .

Коэффициент вариации V[X] - отношение стандартного отклонения ?[X] к математическому ожиданию M[X], выраженное в процентах или в долях (в расчетах).

Для оценки приведенных выше истинных характеристик случайной величины используют некоторые оценочные функции этих величин , которые называются статистиками (или характеристиками). Значения статистик зависят от объема выборки и свойств случайной величины.

Математическое ожидание М [X] оценивается выборочным средним

. (1.1)

Дисперсия D[X] оценивается выборочной дисперсией

. (1.2)

Оценочный коэффициент вариации вычисляется по формуле

, (1.3)

где S - оценочное значение среднего квадратического отклонения S_x=v(S_x^2 ).

Задание

Для сформированной на компьютере выборки объемом (N=25) выполнить проверки соблюдения требований к выборке:

- проверить наличие грубых ошибок в выборке;

- проверить соблюдение требований о случайном характере выборки;

- проверить соблюдения требований о достаточности выборки;

- определить оценочные статистические характеристики случайной величины.

Рекомендации по выполнению задания

С помощью специальной программы в среде MathCAD (рис.1.1) смоделируем N=25 значений случайной величины. Варианты индивидуального задания задаются преподавателем или задаются параметры рассеивания условной случайной величины (табл. 1.1.)

Моделирование условной выборки

Для вывода данных набрать команду X=

Рис. 1.1 Программа моделирования условной выборки

Найдем статистические характеристики для полученной выборки

Выборочное среднее:

. (1.4)

Выборочная дисперсия:

. (1.5) Среднее квадратическое отклонение:

. (1.6)

Таблица 1.1.

Данные для моделирования выборки на компьютере

Вариант Параметры Вариант Параметры Вариант Параметры a b a b a b 1 15 1 6 15 2 11 15 1.75 2 18 1.5 7 18 2.5 12 18 2 3 21 2 8 21 3 13 21 2.25 4 24 2.5 9 24 3.5 14 24 2.75 5 27 3 10 27 3 15 27 3.2

Исключение грубых ошибок

Смоделированную на компьютере выборку представим в виде вариационного ряда, т.е. ряда упорядоченного по мере возрастания (колонка 3). Проанализируем наибольшее значение Хmax= 29,114 и наименьшее значение - Xmin=0,117. Если эти значения выделяются из приведенной совокупности, то их моно считать грубыми ошибками и исключить из выборки.

Проверку этого утверждения относительно Хmax= 29,114 выполним в следующем порядке:

Сформулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:

H0: Хmax является грубой ошибкой;

H1: Хmax не является грубой ошибки.

Выбираем статистический критерий, который представляет собой отношение удаления подозреваемой величины Хmax= 29,114 от среднего значения x ?=17,193 к среднему квадратическому отклонению и находим расчетное значение

(1.7) Определяем критическое значение статистического критерия таблица 1 (приложения)

V_кр?V?=0.05; n=25 = 2,717.

Сравниваем расчетное значение с критическим: так как Vp 20 ? распределено по нормальному закону распределения с параметрами

m_x=1 ; S_x=v(1/(n+1)•(1-1/(n-1)) )?1/v(n+1) . (1.11)

В этом случае ?_кр определяется из условия

v(n+1)/v2? ?_(-?)^(?_кр)-exp[-((?-1)^2•(n+1))/2] d?=?. (1.12)

Для n=25, ?=0,05 находим параметр нормирования ЗНР t=(x-m_x)/S_x по таблице 10 (приложения1) соответствующий уровню доверительной вероятности 0,95, получим t=1,65. , для 0,05 t=-1,65.

Искомое значение будет равно ?_кр=x=t•S_x+m_x . Значение m_x=1, а S_x подсчитываем по формуле (1.11) S_x=1/v(25+1)=0,196. Тогда

(1.13) 3.4. Вывод: так как ?_рN=25, следовательно выборка не достаточная по объему. В этом случае, необходимо провести дополнительную серию опытов.

Определение минимально необходимого числа измерений при разработке методики исследования.

В практической работе исследователя чаще всего встречается задача обоснования необходимого числа измерений при разработке рабочей методики испытаний. На этом этапе выборочных значений не имеем. Значения величин по формуле (1.16) найти не можем, так как каждое из них зависит от искомого объема выборки.

При выполнении задания необходимо самостоятельно разобраться и объяснить, как поступить в этом случае?

Контрольные вопросы:

Дать определение случайной величины и привести примеры из своей практики.

Как будут изменяться статистические характеристики случайной величины при увеличении и выборки?

Объяснить порядок проверки статистических гипотез.

Объяснить понятие статистического критерия.

Как сравнить два исследуемых идентичных процесса с разными средними и дисперсиями одного признака?

2. Статистическая обработка выборки большого объема

2.1.Основные понятия и определения

По мере увеличения объема выборки увеличивается риск ввода ошибочных данных. В практической статистике выборки более 30-40 значений относят к выборкам большого объема. Для определения статистических характеристик выборку в этом случае преобразуем в форму представления случайной величины в виде ряда распределения.

Ряд распределения - это таблица, ставящая в соответствие значения случайной величины и вероятности их появления.

xi x1 x2 ...... xn pi p1 p2 ....... pn

В статистике ряд распределения - представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности по группам, разделяемым по определенному варьирующему признаку. В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивными - называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.

Сгруппированные данные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационным рядом. Количественный признак может иметь дискретные (целочисленные) значения или непрерывные значения. Непрерывные значения признака могут быть разбиты на интервалы и оценены частотой попадания выборочных значений в тот или иной интервал.

Ряд распределения характеризуется двумя элементами: вариантой (Х) и частотой (f). Варианта - это отдельное значение признака отдельной единицы или группы совокупности. Число, показывающее, сколько раз встречается то или иное значение признака, называется частотой. Сумма всех частот должна быть равна численности единиц всей совокупности. Если частота выражена относительным числом, то она называется частостью (опытной вероятностью).

2.2. Задание

Для анализа методики статистической обработки выборки большого объема необходимо определить по данным из 1-ого задания:

- преобразовать выборку объемом n= 25 (взять из 1-ой работы) в ряд распределения;

- определить статистические характеристики;

- сравнить значения статистических характеристик, полученных в 1-ом и 2-ом задании.

2.3.Выполнение задания

Задаемся числом интервалов m и разбиваем весь диапазон изменения случайной величины от min до max на равные участки. Процедура не формализованная. Существует достаточно много эмпирических соотношений. В частности в ряде учебников приводится формула Стерджесса m=1+3.22•lgN; есть практические рекомендации: при n 0; F(x) = 0,5 + Ф(t).

Таблица 3.2

Расчетная таблица для критерия Колмогорова

№ Хi Pi ti F*(xi) Ft(xi) Di = | F*- Ft | 1 3,0167 0,04 -2,118 0,02 0,0174 0,0026 2 8,8161 0,16 -1,252 0,12 0,1057 0,0143 3 14,6155 0,36 -0,385 0,38 0,3483 0,0317 4 20,4149 0,28 0,481 0,7 0,6844 0,0156 5 26,2143 0,16 1,35 0,92 0,9115 0,0085

Находим разницу между опытными и теоретическими значениями функции распределения по абсолютной величине

D_i=|F^* (x_i )-F(x_i)| (3.4)

Выбираем максимальное значение D_i и определяем расчетное значение критерия Колмогорова А.Н.

?_р=D_(i max)•vm=0,0317•v5= 0,07 . (3.5)

По таблице 5 (приложение 1) находим ?кр = 0,52 или вероятность согласия P(?_p^2 )=1 . Так как ?_рR_кр, следовательно между шириной захвата В_к (x_i) и мощностью N_т (y_i) есть статистическая взаимосвязь или эти величины взаимокоррелированы.

8. Найдем уравнение большой оси эллипса рассеивания по формуле (4.3)

у ?=y ?+r_(x,y)•S_y/S_x (x-x ? )=94,857+0,998•22,064/0,994 (x-4,286)=-0,048+22,14x.

Таблица 4.2.

Критические значения коэффициента парной корреляции

K=n-2 Доверительная ошибка ? K=n-2 Доверительная ошибка ? 0.10 0.05 0.01 0.10 0.05 0.01 1 0.988 0.997 0.999 6 0.621 0.707 0.834 2 0.900 0.950 0.990 7 0.582 0.666 0.798 3 0.805 0.878 0.959 8 0.549 0.632 0.765 4 0.729 0.811 0.971 9 0.521 0.602 0.735 5 0.669 0.755 0.875 10 0.497 0.576 0.708

9. Построим график. Для этого выбираем масштаб координатных осей, затем в выбранном масштабе наносим координаты опытных точек.

Рис. 4.1. Эллипс рассеивания опытных данных

Для функциональной зависимости эллипс рассеивания сходится к линии, а при отсутствии корреляционной связи в окружность.

Контрольные вопросы:

Какие могут быть виды вероятностной взаимосвязи между двумя случайными характеристиками?

Может ли оценить наличие значимой взаимосвязи коэффициент парной корреляции для нелинейных зависимостей?

Как будет изменяться коэффициент парной корреляции при увеличении объема выборки?

С какой достоверность принимается или отвергается гипотеза о наличии вероятностной (стохастической) взаимосвязи между двумя случайными величинами?

Аппроксимация опытных данных математическими

зависимостями по методу наименьших квадратов

Цель и задачи

Цель - изучить методику аппроксимации опытных данных математическими зависимостями.

Задачи - освоить основные понятия (аппроксимация, линеаризация, дисперсия адекватности, регрессия) и методику аппроксимации опытных данных математическими зависимостями и оценки их достоверности, изучить метод наименьших квадратов, научиться определять эмпирические коэффициенты и оценивать точность математических уравнений на основе дисперсионного анализа.

Основные понятия и определения

Корреляционный анализ позволяет оценить наличие линейной стохастической (вероятностной) взаимосвязи и получить одно из возможных линейных уравнений. Для анализа и описания нелинейных зависимостей используют методы регрессионного анализа.

Регрессионный анализ - это статистический метод исследования зависимости случайной величины у (показатель, отклик) от переменных (аргументов, действующих факторов) хj (j = 1, 2,..., k) случайных величин, оцениваемых средними значениями, независимо от истинного закона распределения xj. Методику применения регрессионного анализа рассмотрим для одномерной зависимости, т.е. для j=1. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид функции y=f(x).

Рис.5.1. Вид функции отклика y=f(x).

Для анализа о характере зависимости между x и y , как и в предыдущем задании, необходимо иметь n - независимых парных наблюдений, исходом каждого из которых является пара чисел (x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ), ..., (xn ,yn).

Задача регрессионного анализа заключается в поиске такой функции f, которая описывает эту зависимость. Регрессия может быть представлена в виде суммы неслучайной и случайной составляющих

y = f(x) + ?, (5.1)

где f - функция регрессионной зависимости, а ? - аддитивная случайная величина с нулевым математическим ожиданием. Обычно предполагается, что величина ? имеет гауссовское распределение (подчиненное нормальному закону) с нулевым средним mx=0 и дисперсией ?2 (?) .

Вид функции y=f(x) может быть линейным или нелинейным.

Линейная регрессия - это такая зависимость, когда при любом значении аргумента x одинаковые приращения его вызывают одинаковые изменения функции y

y ?=a+b•x+?. (5.2)

Если при одинаковых приращениях аргумента функция имеет неодинаковые изменения, регрессия называется криволинейной, в простейшем случае - парабола

y ?=a+b•x+c•x^2+? . (5.3)

Для нахождения лучших эмпирических коэффициентов a и b функция F(x) эффективности аппроксимации опытных данных зависимостью (5.2) в виде суммы квадратов отклонений опытных значений y_i и (y_i ) ? - подсчитанных по уравнению должна быть наименьшей

F(x)=?_(i=1)^n-?(y_i-(y_i ) ? )^2=?_(i=1)^n-(y_i-a-b•x_i )^2 ?min?. (5.4)

Для нахождения минимума функции F(x) двух переменных a и b возьмем две частные производные и приравняем их к нулю, получим систему уравнений

(dF(x))/da=2?_(i=1)^n-(y_i-a-b•x_i )^1 •(-1)=0 (5.5)

(dF(x))/db=2?_(i=1)^n-(y_i-a-b•x_i )^1 •(-x_i )=0 .

Преобразуем полученную систему уравнений

a•n+b?-x_i =?-y_i

a•?-x_i +b?-x_i^2 =?-y_i •x_i . (5.6)

Решая систему (5.6) по методу Крамера, получим

a=(?-?y_i•?-?x_i^2-?-?x_i•?-?y_i x_i ????)/(n•?-?x_i^2-(?-x_i )^2 ?) ; (5.7)

b=(n•?-?y_i x_i-?-?x_i•?-y_i ??)/(n•?-?x_i^2-(?-x_i )^2 ?). (5.8)

Функция (5.3) выражает суть метода наименьших квадратов (МНК) и является базовым методом регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Важным моментом при аппроксимации является обоснование достаточной точности описания опытных данных той или иной зависимостью. Для этого рассмотрим дисперсию адекватности, оценивающую рассеивание опытных данных относительно уравнения (5.2)

S_ад1^2=1/f_ад •?_(i=1)^n-(y_i-(y_i ) ? )^2 , (5.9)

где f_ад=N-d-1 -число степеней свободы, а d количество независимых связей (для прямой d=1).

Повысим степень уравнения и аппроксимируем наши данные уравнением второго порядка (5.3) и определим S_ад2^2 . Мы получим две дисперсии, оценивающие рассеивание опытных данных для прямой S_ад1^2 и параболы S_ад2^2 , которые можем сравнить по критерию Фишера (F критерий), представляющий собой функцию плотности распределения отношения двух дисперсий F=(S_1^2)/(S_2^(2 ) ), где S_1^2>S_2^2 со степенями свободы f1 и f2.

Задание

1.Для имеющихся данных однотипных сельскохозяйственных машин разных марок и производителей (исходные данные задания 4) найти коэффициенты уравнения (5.2) и дисперсию адекватности (5.9).

2. Для тех же данных с помощью компьютерной программы ("Регрессия") найти коэффициенты уравнения параболы (5.3) и дисперсию адекватности S_ад2^2 по формуле (5.9).

3. Сравнить полученные дисперсии и сделать вывод о виде зависимости, рекомендуемой для аппроксимации опытных данных.

Порядок выполнения задания

Для исходных данных подсчитаем значения коэффициентов системы уравнений (5.6) для определения коэффициентов a и b уравнения прямой по методу наименьших квадратов (таблица 5.1)

Таблица 5.1.

Исходные данные для анализа

№ Хi Yi Xi?Yi X_i^2 1 3 66 198 9 2 3.5 77 269,5 12,25 3 4 88 352 16 4 4.5 103 463,5 20,25 5 4 88 352 16 6 5 110 550 25 7 6 132 792 36 ?-?x_i=?30 ?-?y_i=?664 ?-?x_i y_i=?2977 ?-?x_i^2=?134,5

Составим систему уравнений (5.6)

a•7+30b=664

a•30+134,5b=2977

Определим значения коэффициентов по формулам (5.7 и 5.8)

a=(?-?y_i•?-?x_i^2-?-?x_i•?-?y_i x_i ????)/(n•?-?x_i^2-(?-x_i )^2 ?)=(664•134.5-30•2977)/(7•134.5-?(30)?^2 )=0,048

b=(n•?-?y_i x_i-?-?x_i•?-y_i ??)/(n•?-?x_i^2-(?-x_i )^2 ?)=(7•2977-30•664)/(7•134.5-?(30)?^2 )=22,14

Получим уравнение прямой y ?= 0,048+22,14•x.

Подсчитаем дисперсию адекватности для прямой по формуле (5.9)

S_ад1^2=1/f_ад •?_(i=1)^n-(y_i-(y_i ) ? )^2 =1/5•13,968=2,794

Число степеней свободы равно f_ад=N-d-1=7-1-1=5.

Таблица 5.2.

Определение дисперсии адекватности для прямой

№ Хi Yi (y_i ) ? (y_i-(y_i ) ? ) (y_i-(y_i ) ? )^2 1 3 66 66,47 0,47 0,221 2 3.5 77 77,54 0,54 0,292 3 4 88 88,61 0,61 0,372 4 4.5 103 99,63 3,37 11,357 5 4 88 88,61 0,61 0,372 6 5 110 110,75 0,75 0,562 7 6 132 132,89 0,89 0,792 ?-(y_i-(y_i ) ? )^2 =13,968

Определяем коэффициенты уравнения параболы для данных таблицы 5.1. по программе "Полиноминальная регрессия" (рис. 5.2).

Рис. 5.2 Компьютерная программа "Полиноминальная регрессия"

Запускаем программу "Полиноминальная регрессия" в математическом пакете MathCAD. Для этого курсором нажимаем кнопку "файл" и в меню выбираем нужную программу.

Вводим данные:

- нажимаем курсором на вектор X , выделяем значения (кроме знака "Т") вектора и удаляем;

- нажимаем курсором на иконку "матрица" и задаем число столбцов в транспонированной матрице равной числу пар данных и число строк равное 1;

- в образовавшийся макет вводим данные (в качестве разделителя дробной части ставит точку);

- вводим аналогично значения вектора Y;

- выписываем значения коэффициентов уравнения параболы, дисперсию адекватности

y ?=a+b•x+c•x^2=-12,327 +27,831 x-0,629 x^2;

S_ад2^2= 2,718 .

Подсчитываем расчетное значение критерия Фишера для

Находим критическое значение критерия Фишера для ?=0,05, k1=5 и k2=4 (таблица 7 приложения 1)

F_кр?F_(?=0,05;k_1=5;k_2=4)= 5,192 .

8. Сравниваем расчетное и критическое значения и делаем вывод о равенстве дисперсий. Если Fкр U?; n)=?

n ? n ? 0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 3 1,406 1,412 1,414 20 2,447 2,623 2,959 5 1,791 1,869 1,955 25 2,537 2,717 3,071 7 1,974 2,093 2,265 30 2,609 2,792 3,156 10 2,146 2,294 2,540 40 2,718 2,904 3,281 15 2,326 2,493 2,800 50 2,800 2,987 3,370

Таблица 2.

Критические значения ??; kкритерия ?, определяемые из условия Р(? = 0,01

Степени свободы для числителя k1 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 24 ? k2 3 34,116 30,816 29,457 28,710 28,237 27,911 27,671 27,489 27,228 27,052 26,597 26,126 5 16,258 13,274 12,060 11,392 10,967 10,672 10,456 10,289 10,051 9,888 9,466 9,022 7 12,246 9,547 8,451 7,847 7,460 7,191 6,993 6,840 6,620 6,469 6,074 5,651 10 10,044 7,559 6,552 5,994 5,636 5,386 5,200 5,057 4,849 4,706 4,327 3,910 11 9,646 7,206 6,217 5,668 5,316 5,069 4,886 4,744 4,539 4,397 4,021 3,604 12 9,330 6,927 5,953 5,412 5,064 4,821 4,640 4,499 4,296 4,155 3,780 3,362 13 9,074 6,701 5,739 5,205 4,862 4,620 4,441 4,302 4,100 3,960 3,587 3,166 14 8,862 6,515 5,564 5,035 4,695 4,456 4,278 4,140 3,939 3,800 3,427 3,005 15 8,683 6,359 5,417 4,893 4,556 4,318 4,142 4,004 3,805 3,666 3,294 2,870 16 8,531 6,226 5,292 4,773 4,437 4,202 4,026 3,890 3,691 3,553 3,181 2,754 18 8,285 6,013 5,092 4,579 4,248 4,015 3,841 3,705 3,508 3,371 2,999 2,567 20 8,096 5,849 4,938 4,431 4,103 3,871 3,699 3,564 3,368 3,231 2,859 2,422 30 7,562 5,390 4,510 4,018 3,699 3,473 3,305 3,173 2,979 2,843 2,469 2,008 40 7,314 5,178 4,313 3,828 3,514 3,291 3,124 2,993 2,801 2,665 2,288 1,806 50 7,171 5,057 4,199 3,720 3,408 3,186 3,020 2,890 2,698 2,563 2,183 1,685 70 7,011 4,922 4,074 3,600 3,291 3,071 2,906 2,777 2,585 2,450 2,067 1,542 100 6,895 4,824 3,984 3,513 3,206 2,988 2,823 2,694 2,503 2,368 1,983 1,429 200 6,763 4,713 3,881 3,414 3,110 2,893 2,730 2,601 2,411 2,275 1,886 1,281 оо 6,637 4,607 3,784 3,321 3,019 2,804 2,641 2,513 2,323 2,187 1,793

Таблица 8

Критические значения для критерия Кохрена

р n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 1 % 5 % 1 % 5 % 1 % 5 % 1 % 5 % 1 % 5 % 2 - - 0,995 0,975 0,979 0,939 0,959 0,906 0,937 0,877 3 0,993 0,967 0,942 0,871 0,883 0,798 0,834 0,746 0,793 0,707 4 0,968 0,906 0,864 0,768 0,781 0,684 0,721 0,629 0,676 0,590 5 0,928 0,841 0,788 0,684 0,696 0,598 0,633 0,544 0,588 0,506 6 0,883 0,781 0,722 0,616 0,626 0,532 0,564 0,480 0,520 0,445 7 0,838 0,727 0,664 0,561 0,568 0,480 0,508 0,431 0,466 0,397 8 0,794 0,680 0,615 0,516 0,521 0,438 0,463 0,391 0,423 0,360 9 0,754 0,638 0,573 0,478 0,481 0,403 0,425 0,358 0,387 0,329 10 0,718 0,602 0,536 0,445 0,447 0,373 0,393 0,331 0,357 0,303 11 0,684 0,570 0,504 0,417 0,418 0,348 0,366 0,308 0,332 0,281 12 0,653 0,541 0,475 0,392 0,392 0,326 0,343 0,288 0,310 0,262 13 0,624 0,515 0,450 0,371 0,369 0,307 0,322 0,271 0,291 0,243 14 0,599 0,492 0,427 0,352 0,349 0,291 0,304 0,255 0,274 0,232 15 0,575 0,471 0,407 0,335 0,332 0,276 0,288 0,242 0,259 0,220 16 0,553 0,452 0,388 0,319 0,316 0,262 0,274 0,230 0,246 0,208 17 0,532 0,434 0,372 0,305 0,301 0,250 0,261 0,219 0,234 0,198 18 0,514 0,418 0,356 0,293 0,288 0,240 0,249 0,209 0,223 0,189 19 0,496 0,403 0,343 0,281 0,276 0,230 0,238 0,200 0,214 0,181 20 0,480 0,389 0,330 0,270 0,265 0,220 0,229 0,192 0,205 0,174 21 0,465 0,377 0,318 0,261 0,255 0,212 0,220 0,185 0,197 0,167 22 0,450 0,365 0,307 0,252 0,246 0,204 0,212 0,178 0,189 0,160 23 0,437 0,354 0,297 0,243 0,238 0,197 0,204 0,172 0,182 0,155 24 0,425 0,343 0,287 0,235 0,230 0,191 0,197 0,166 0,176 0,149 25 0,413 0,334 0,278 0,228 0,222 0,185 0,190 0,160 0,170 0,144 26 0,402 0,325 0,270 0,221 0,215 0,179 0,184 0,155 0,164 0,140 27 0,391 0,316 0,262 0,215 0,209 0,173 0,179 0,150 0,159 0,135 28 0,382 0,308 0,255 0,209 0,202 0,168 0,173 0,146 0,154 0,131 29 0,372 0,300 0,248 0,203 0,196 0,164 0,168 0,142 0,150 0,127 30 0,363 0,293 0,241 0,198 0,191 0,159 0,164 0,138 0,145 0,124 31 0,355 0,286 0,235 0,193 0,186 0,155 0,159 0,134 0,141 0,120 32 0,347 0,280 0,229 0,188 0,181 0,151 0,155 0,131 0,138 0,117 33 0,339 0,273 0,224 0,184 0,177 0,147 0,151 0,127 0,134 0,114 34 0,332 0,267 0,218 0,179 0,172 0,144 0,147 0,124 0,131 0,111 35 0,325 0,262 0,213 0,175 0,168 0,140 0,144 0,121 0,127 0,108 р - количество лабораторий для данного уровня;

Проверка однородности дисперсий включает вычисление доли максимальной дисперсии среди всех дисперсий: , которая затем сравнивается с критическим значением G(p,m,f), где f - число степеней свободы каждой дисперсии (должно быть одинаковым у всех дисперсий), m - число дисперсий, p - доверительная вероятность.

Таблица 9

Значения плотности стандартного нормального распределения .

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,398942 0,398922 0,398862 0,398763 0,398623 0,398444 0,398225 0,397966 0,397668 0,397330 0,1 0,396953 0,396536 0,396080 0,395585 0,395052 0,394479 0,393868 0,393219 0,392531 0,391806 0,2 0,391043 0,390242 0,389404 0,388529 0,387617 0,386668 0,385683 0,384663 0,383606 0,382515 0,3 0,381388 0,380226 0,379031 0,377801 0,376537 0,375240 0,373911 0,372548 0,371154 0,369728 0,4 0,36827 0,366782 0,365263 0,363714 0,362135 0,360527 0,358890 0,357225 0,355533 0,353812 0,5 0,352065 0,350292 0,348493 0,346668 0,344818 0,342944 0,341046 0,339124 0,337180 0,335213 0,6 0,333225 0,331215 0,329184 0,327133 0,325062 0,322972 0,320864 0,318737 0,316593 0,314432 0,7 0,312254 0,310060 0,307851 0,305627 0,303389 0,301137 0,298872 0,296595 0,294305 0,292004 0,8 0,289692 0,287369 0,285036 0,282694 0,280344 0,277985 0,275618 0,273244 0,270864 0,268477 0,9 0,266085 0,263688 0,261286 0,258881 0,256471 0,254059 0,251644 0,249228 0,246809 0,24439 1,0 0,241971 0,239551 0,237132 0,234714 0,232297 0,229882 0,227470 0,22506 0,222653 0,220251 1,1 0,217852 0,215458 0,213069 0,210686 0,208308 0,205936 0,203571 0,201214 0,198863 0,196520 1,2 0,194186 0,19186 0,189543 0,187235 0,184937 0,182649 0,180371 0,178104 0,175847 0,173602 1,3 0,171369 0,169147 0,166937 0,164740 0,162555 0,160383 0,158225 0,15608 0,153948 0,151831 1,4 0,149727 0,147639 0,145564 0,143505 0,14146 0,139431 0,137417 0,135418 0,133435 0,131468 1,5 0,129518 0,127583 0,125665 0,123763 0,121878 0,120009 0,118157 0,116323 0,114505 0,112704 1,6 0,110921 0,109155 0,107406 0,105675 0,103961 0,102265 0,100586 0,098925 0,097282 0,095657 1,7 0,094049 0,092459 0,090887 0,089333 0,087796 0,086277 0,084776 0,083293 0,081828 0,08038 1,8 0,07895 0,077538 0,076143 0,074766 0,073407 0,072065 0,070740 0,069433 0,068144 0,066871 1,9 0,065616 0,064378 0,063157 0,061952 0,060765 0,059595 0,058441 0,057304 0,056183 0,055079 2,0 0,053991 0,052919 0,051864 0,050824 0,04980 0,048792 0,047800 0,046823 0,045861 0,044915 2,1 0,043984 0,043067 0,042166 0,041280 0,040408 0,039550 0,038707 0,037878 0,037063 0,036262 2,2 0,035475 0,034701 0,033941 0,033194 0,03246 0,031740 0,031032 0,030337 0,029655 0,028985 2,3 0,028327 0,027682 0,027048 0,026426 0,025817 0,025218 0,024631 0,024056 0,023491 0,022937 2,4 0,022395 0,021862 0,021341 0,020829 0,020328 0,019837 0,019356 0,018885 0,018423 0,017971 2,5 0,017528 0,017095 0,016670 0,016254 0,015848 0,015449 0,015060 0,014678 0,014305 0,01394 2,6 0,013583 0,013234 0,012892 0,012558 0,012232 0,011912 0,011600 0,011295 0,010997 0,010706 2,7 0,010421 0,010143 0,009871 0,009606 0,009347 0,009094 0,008846 0,008605 0,00837 0,00814 2,8 0,007915 0,007697 0,007483 0,007274 0,007071 0,006873 0,006679 0,006491 0,006307 0,006127 2,9 0,005953 0,005782 0,005616 0,005454 0,005296 0,005143 0,004993 0,004847 0,004705 0,004567 3,0 0,004432 0,004301 0,004173 0,004049 0,003928 0,003810 0,003695 0,003584 0,003475 0,00337 3,1 0,003267 0,003167 0,00307 0,002975 0,002884 0,002794 0,002707 0,002623 0,002541 0,002461 3,2 0,002384 0,002309 0,002236 0,002165 0,002096 0,002029 0,001964 0,001901 0,001840 0,001780 3,3 0,001723 0,001667 0,001612 0,001560 0,001508 0,001459 0,001411 0,001364 0,001319 0,001275 3,4 0,001232 0,001191 0,001151 0,001112 0,001075 0,001038 0,001003 0,000969 0,000936 0,000904 3,5 0,000873 0,000843 0,000814 0,000785 0,000758 0,000732 0,000706 0,000681 0,000657 0,000634 3,6 0,000612 0,00059 0,000569 0,000549 0,000529 0,000510 0,000492 0,000474 0,000457 0,000441 3,7 0,000425 0,000409 0,000394 0,000380 0,000366 0,000353 0,000340 0,000327 0,000315 0,000303 3,8 0,000292 0,000281 0,000271 0,000260 0,000251 0,000241 0,000232 0,000223 0,000215 0,000207 3,9 0,000199 0,000191 0,000184 0,000177 0,000170 0,000163 0,000157 0,000151 0,000145 0,000139 4,0 0,000134 0,000129 0,000124 0,000119 0,000114 0,000109 0,000105 0,000101 0,000097 0,000093 В таблице приведены значения плотности стандартного нормального распределения с параметрами a=0 (мат. ожидание) и ?=1 (ср. кв. отклонение). В Excel значения этой функции можно вычислить с помощью формулы =НОРМРАСП(x;0;1;0). Если рассматриваемое вами распределение отлично от стандартного (a?0 или ??1), предварительно величину нужно нормализовать: x* = (x-a)/?, а потом уже смотреть в таблице, или воспользоваться формулой в Excel =НОРМРАСП(x;a;?;0).

Таблица 10

Значение функции Лапласа .

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) 0,00 0,00000 0,50 0,19146 1,00 0,34134 1,50 0,43319 2,00 0,47725 3,00 0,49865 0,01 0,00399 0,51 0,19497 1,01 0,34375 1,51 0,43448 2,02 0,47831 3,05 0,49886 0,02 0,00798 0,52 0,19847 1,02 0,34614 1,52 0,43574 2,04 0,47932 3,10 0,49903 0,03 0,01197 0,53 0,20194 1,03 0,34849 1,53 0,43699 2,06 0,48030 3,15 0,49918 0,04 0,01595 0,54 0,20540 1,04 0,35083 1,54 0,43822 2,08 0,48124 3,20 0,49931 0,05 0,01994 0,55 0,20884 1,05 0,35314 1,55 0,43943 2,10 0,48214 3,25 0,49942 0,06 0,02392 0,56 0,21226 1,06 0,35543 1,56 0,44062 2,12 0,48300 3,30 0,49952 0,07 0,02790 0,57 0,21566 1,07 0,35769 1,57 0,44179 2,14 0,48382 3,35 0,49960 0,08 0,03188 0,58 0,21904 1,08 0,35993 1,58 0,44295 2,16 0,48461 3,40 0,49966 0,09 0,03586 0,59 0,22240 1,09 0,36214 1,59 0,44408 2,18 0,48537 3,45 0,49972 0,10 0,03983 0,60 0,22575 1,10 0,36433 1,60 0,44520 2,20 0,48610 3,50 0,49977 0,11 0,04380 0,61 0,22907 1,11 0,36650 1,61 0,44630 2,22 0,48679 3,55 0,49981 0,12 0,04776 0,62 0,23237 1,12 0,36864 1,62 0,44738 2,24 0,48745 3,60 0,49984 0,13 0,05172 0,63 0,23565 1,13 0,37076 1,63 0,44845 2,26 0,48809 3,65 0,49987 0,14 0,05567 0,64 0,23891 1,14 0,37286 1,64 0,44950 2,28 0,48870 3,70 0,49989 0,15 0,05962 0,65 0,24215 1,15 0,37493 1,65 0,45053 2,30 0,48928 3,75 0,49991 0,16 0,06356 0,66 0,24537 1,16 0,37698 1,66 0,45154 2,32 0,48983 3,80 0,49993 0,17 0,06749 0,67 0,24857 1,17 0,37900 1,67 0,45254 2,34 0,49036 3,85 0,49994 0,18 0,07142 0,68 0,25175 1,18 0,38100 1,68 0,45352 2,36 0,49086 3,90 0,49995 0,19 0,07535 0,69 0,25490 1,19 0,38298 1,69 0,45449 2,38 0,49134 3,95 0,49996 0,20 0,07926 0,70 0,25804 1,20 0,38493 1,70 0,45543 2,40 0,49180 4,00 0,49997 0,21 0,08317 0,71 0,26115 1,21 0,38686 1,71 0,45637 2,42 0,49224 4,05 0,49997 0,22 0,08706 0,72 0,26424 1,22 0,38877 1,72 0,45728 2,44 0,49266 4,10 0,49998 0,23 0,09095 0,73 0,26730 1,23 0,39065 1,73 0,45818 2,46 0,49305 4,15 0,49998 0,24 0,09483 0,74 0,27035 1,24 0,39251 1,74 0,45907 2,48 0,49343 4,20 0,49999 0,25 0,09871 0,75 0,27337 1,25 0,39435 1,75 0,45994 2,50 0,49379 4,25 0,49999 0,26 0,10257 0,76 0,27637 1,26 0,39617 1,76 0,46080 2,52 0,49413 4,30 0,49999 0,27 0,10642 0,77 0,27935 1,27 0,39796 1,77 0,46164 2,54 0,49446 4,35 0,49999 0,28 0,11026 0,78 0,28230 1,28 0,39973 1,78 0,46246 2,56 0,49477 4,40 0,49999 0,29 0,11409 0,79 0,28524 1,29 0,40147 1,79 0,46327 2,58 0,49506 4,45 0,50000 0,30 0,11791 0,80 0,28814 1,30 0,40320 1,80 0,46407 2,60 0,49534 4,50 0,50000 0,31 0,12172 0,81 0,29103 1,31 0,40490 1,81 0,46485 2,62 0,49560 4,55 0,50000 0,32 0,12552 0,82 0,29389 1,32 0,40658 1,82 0,46562 2,64 0,49585 4,60 0,50000 0,33 0,12930 0,83 0,29673 1,33 0,40824 1,83 0,46638 2,66 0,49609 4,65 0,50000 0,34 0,13307 0,84 0,29955 1,34 0,40988 1,84 0,46712 2,68 0,49632 4,70 0,50000 0,35 0,13683 0,85 0,30234 1,35 0,41149 1,85 0,46784 2,70 0,49653 4,75 0,50000 0,36 0,14058 0,86 0,30511 1,36 0,41309 1,86 0,46856 2,72 0,49674 4,80 0,50000 0,37 0,14431 0,87 0,30785 1,37 0,41466 1,87 0,46926 2,74 0,49693 4,85 0,50000 0,38 0,14803 0,88 0,31057 1,38 0,41621 1,88 0,46995 2,76 0,49711 4,90 0,50000 0,39 0,15173 0,89 0,31327 1,39 0,41774 1,89 0,47062 2,78 0,49728 4,95 0,50000 0,40 0,15542 0,90 0,31594 1,40 0,41924 1,90 0,47128 2,80 0,49744 5,00 0,50000 0,41 0,15910 0,91 0,31859 1,41 0,42073 1,91 0,47193 2,82 0,49760 0,42 0,16276 0,92 0,32121 1,42 0,42220 1,92 0,47257 2,84 0,49774 0,43 0,16640 0,93 0,32381 1,43 0,42364 1,93 0,47320 2,86 0,49788 0,44 0,17003 0,94 0,32639 1,44 0,42507 1,94 0,47381 2,88 0,49801 0,45 0,17364 0,95 0,32894 1,45 0,42647 1,95 0,47441 2,90 0,49813 0,46 0,17724 0,96 0,33147 1,46 0,42785 1,96 0,47500 2,92 0,49825 0,47 0,18082 0,97 0,33398 1,47 0,42922 1,97 0,47558 2,94 0,49836 0,48 0,18439 0,98 0,33646 1,48 0,43056 1,98 0,47615 2,96 0,49846 0,49 0,18793 0,99 0,33891 1,49 0,43189 1,99 0,47670 2,98 0,49856

Для отрицательных значений Ф(-X)=-Ф(X). Для x>5 Ф(X)=0,5 . В Excel значение функции Лапласа можно вычислить с помощью формулы =НОРМСТРАСП(число) - 0,5. По своему логическому содержанию функция Лапласа Ф(X) близка к интегральной функции нормального распределения F(X), их взаимосвязь: Ф(X) = F(X) - 0,5

Учебное издание

Составители:

Левшин Александр Григорьевич

Левшин Андрей Александрович

Бутузов Антон Евгеньевич

Майстренко Николай Александрович

"Планирование и организация эксперимента"

Учебное пособие

Корректор Т.Н. Куклева

Компьютерная верстка, о-макет - А.С Лаврова

Обложка - Н. В. Савина

Подписано в печать 02.12.2015 г. Формат 60х84 1/8

Усл. печ. л. 3. Уч. изд. л. 2,5. Усл. Кр.-отт.

Тираж 100 экз. Изд. № . Зак. .

Издательство РГАУ-МСХА

127550, Москва, Тимирязевская ул. 44

Тел. 8 (499) 977-00-12; 977-40-64

1

57 62

Показать полностью… https://vk.com/doc-101468501_437268635
597 Кб, 11 февраля 2016 в 17:21 - Россия, Москва, ИМЭ, 2016 г., docx
Рекомендуемые документы в приложении