Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Студенческий документ № 025552 из ИМЭ

; МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

"РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -

МСХА имени К.А. ТИМИРЯЗЕВА"

Факультет "Процессы и машины в агробизнесе"

Кафедра "Эксплуатация машинно-тракторного парка и высокие технологии в растениеводстве"

Левшин А.Г., Левшин А.А., Бутузов А.Е., Майстренко Н.А.

"Планирование и организация эксперимента"

Рабочая тетрадь

Москва

Издательство РГАУ-МСХА

2015

Планирование и организация эксперимента: Рабочая тетрадь/ Составители Левшин А.Г., Левшин А.А., Бутузов А.Е., Майстренко Н.А.- М.: Изд-во РГАУ-МСХА, 2015.- 48 с.

В рабочей тетради представлен материал для лабораторно-практических занятий по дисциплине "Планирование и организация эксперимента".

Рабочая тетрадь предназначена для самостоятельной работы студентов, обучающихся по программам магистратуры по направлениям: "Агроинженерия", "Стандартизация и метрология", "Управление качеством" и "Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексы". Отдельные задания могут быть рекомендованы бакалаврам. Будут полезны для повышения квалификации специалистов, занимающихся вопросами испытании сельскохозяйственной техники и аспирантам.

(c) Левшин А.Г., Левшин А.А.,

Бутузов А.Е., Майстренко Н.А.

(c) РГАУ-МСХА им. К.А. Тимирязева;

(c) Издательство РГАУ-МСХА;

1. Статистическая обработка одномерной выборки случайной величины

Цель и задачи.

Цель - изучить методику статистической обработки одномерной выборки случайной величины.

Задачи - освоить основные понятия (случайная величина, выборка, характеристики случайной величины), методику формулировки и проверки статистических гипотез, изучить требования к выборке и методику проверки их соблюдения, научиться определять достоверные статистические характеристики случайной величины.

Задание.

Для сформированной на компьютере выборки объемом N=_25___ выполнить проверки соблюдения требований к достоверной (репрезентативной) выборке:

1) проверить наличие грубых ошибок в выборке;

2) проверить соблюдение требований о случайном характере выборки;

3) проверить соблюдения требований о достаточности выборки;

4) определить оценочные статистические характеристики случайной величины.

Выполнение расчетов.

Определяем оценочные характеристики случайной величины:

- выборочное среднее

; (1.1) - выборочная дисперсия

; (1.2)

- среднее квадратическое отклонение

. (1.3) Проверяем наличие и исключаем грубые ошибки.

Проверяем, является ли Xmax грубой ошибкой, и рассмотрим порядок проверки статистических гипотез.

2.1. Формулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:

H0 :_____________________________________;

H1 :_____________________________________.

2.2. Для проверки справедливости выдвинутых гипотез выбираем статистический критерий и находим его расчетное значение

. (1.4) Таблица 1.1.

Исходные данные для расчета оценочных характеристик.

№ п\п Выборочные значения d i = x i+1-xi di ?i= xi- xср ? i В порядке

появления В порядке

Возрастания (вариационный ряд) 1

2 3

4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

20 21

22 23 24 25 ?xi=_____ ?di=______ ?? i=

2.3. Находим критическое значение статистического критерия по таблице 1.2.

Таблица 1.2.

Значения U?; nкритерия V (для отбрасывания грубых ошибок при измерениях), определяемые из условия Р(V> U?; n)=?

n ? n ? 0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 3 1,406 1,412 1,414 20 2,447 2,623 2,959 5 1,791 1,869 1,955 25 2,537 2,717 3,071 7 1,974 2,093 2,265 30 2,609 2,792 3,156 10 2,146 2,294 2,540 40 2,718 2,904 3,281 15 2,326 2,493 2,800 50 2,800 2,987 3,370

V_(кр )?V_(?=0.05; n=25 )=___________. (1.5).

2.4. Расчетное значение критерия Vр сравниваем с критическим значением Vкр и выбираем справедливую гипотезу H0 или H1 .

Вывод:_______________________________________________________________________________________________________________________

Проверяем, является ли Xmin грубой ошибкой.

Расчетное значение критерия равно

V_p=(X ?-X_min)/S_x = --------------- =________. (1.6)

Вывод: _______________________________________________________

___________________________________________________________

Проверяем случайность выборки.

Для проверки случайности используем метод разностей. Для данной выборки формируем новую случайную величину di , равную разности смежных значений d_i=X_(i+1)-X_i ( см. табл.1.1).

Рассчитываем дисперсию Cx 2

(1.7)

Проверку гипотезы о случайности выборки выполним по критерию ?

, (1.8)

где Sx2 - дисперсия случайной величины X; Cx2 - дисперсия, подсчитанная по методу разностей.

Критическое значение выбранного критерия для объема выборки n ? 20 ?_(кр )??_(?;n) находим по таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Критические значения ??; kкритерия ?, определяемые из условия Р(?20 ? распределено по нормальному закону распределения с параметрами

m_x=1 ; S_x=v(1/(n+1)•(1-1/(n-1)) )?1/v(n+1) . (1.9)

В этом случае ?_кр определяется из условия

v(n+1)/v2? ?_(-?)^(?_кр)-exp[-((?-1)^2•(n+1))/2] d?=?. (1.10)

Для n=25, ?=0,05 находим параметр нормирования ЗНР t=(x-m_x)/S_x по таблице 10 (приложения1) соответствующий уровню доверительной вероятности 0,95, получим t=1,65. , для 0,05 t=-1,65.

Искомое значение будет равно ?_кр=x=t•S_x+m_x . Значение m_x=1, а S_x подсчитываем по формуле (9) S_x=1/v(25+1)=0,196

Тогда

(1.11) Если ?р ? ?кр , то принимаем гипотезу о случайности выборки, ?р 0 значения F(x)=0.5+Ф(t). Полученные значения заносят в таблицу 3.2 (столбец 6);

- находим разницу между опытной и теоретической функцией распределения (столбец 7):

D_i=|F^* (x_i )-F(x_i)| ; (3.6)

- находим максимальное значение Di и рассчитываем расчетное значение критерия Колмогорова:

Dmax =max |F^* (x_i )-F(x_i)| = _________; (3.7)

?_p=D_max•vm=_________________; (3.8)

Таблица 3.2

Расчетная таблица для критерия Колмогорова

№ Хi Pi ti F*(xi) Ft(xi) Di = | F*- Ft | 1 2 3 4 5

по таблице 5 (приложение 1) находим критическое значение для заданного уровня доверительной вероятности 0,95 ?_кр=_________;

сравниваем критическое значение с расчетным ?р и делаем вывод о справедливости проверяемой гипотезы: ____________________________

_________________________________________________________________.

Контрольные вопросы:

Что оценивает расчетное значение критерия Пирсона?

Что оценивает расчетное значение критерия Колмогорова?

С какой вероятность делается вывод о справедливости проверяемой гипотезы?

Как определить вероятность согласия опытных данных и теоретического закона распределения?

Как выбрать лучший закон распределения для имеющихся опытных данных?

Оценка статистической взаимосвязи

двух случайных величин

Цель и задачи

Цель - изучить методику статистической оценки системы случайных величин.

Задачи - освоить основные понятия (система случайных величин, эллипс рассеивания, ковариация и корреляционный момент, коэффициент парной и множественной корреляции), методику оценки статистической взаимосвязи двух случайных величин, изучить виды взаимосвязи случайных величин, научиться определять коэффициент парной корреляции и оценивать его значимость.

Задание

1.Для заданного типа сельскохозяйственных машин разных марок и производителей по справочным данным выбрать два показателя (4...6 значений) и оценить их взаимосвязь.

Оценить значимость взаимосвязи между выбранными параметрами однотипных машин.

Для области рассеивания опытных данных получить уравнение большой оси эллипса рассеивания и привести его к каноническому виду.

4. Выбрать масштаб осей и нанести опытные данные на координатное поле и в пределах поля рассеивания точек нарисовать полученное уравнение.

Порядок выполнения

Для заданного вида сельскохозяйственных машин разных марок и производителей по каталогам или рекламным проспектам выбрать два показателя и для 4...6 моделей однитипных машин занесем в таблицу 4.1

Таблица 4.1.

Исходные данные для оценки статистической взаимосвязи двух случайных величин

№ ______________ ( x) ______________(y) 1 2 3 4 5 6

Определим статистические характеристики:

Оценим значимость коэффициента парной корреляции.

Для этого расчетное значение коэффициента парной корреляции сравним с критическим значением (таблица 4.2)

r_кр?r_(?=0,05;n-2)=_____________.

Сравниваем расчетное и критическое значение и делаем вывод:

__________________________________________________________________Находим уравнение большой оси эллипса (4.3) рассеивания и строим график

y ?=_____+____/(____-_____)= _____________.

y

x

Рис. 4.1 Корреляционная зависимость ________________

Таблица 4.2.

Критические значения коэффициента парной корреляции

k=n-2 Доверительная ошибка ? k=n-2 Доверительная ошибка ? 0.10 0.05 0.01 0.10 0.05 0.01 1 0.988 0.997 0.999 6 0.621 0.707 0.834 2 0.900 0.950 0.990 7 0.582 0.666 0.798 3 0.805 0.878 0.959 8 0.549 0.632 0.765 4 0.729 0.811 0.971 9 0.521 0.602 0.735 5 0.669 0.755 0.875 10 0.497 0.576 0.708

Контрольные вопросы:

Какие могут быть виды вероятностной взаимосвязи между двумя случайными характеристиками?

Может ли оценить наличие значимой взаимосвязи коэффициент парной корреляции для нелинейных зависимостей?

Как будет изменяться коэффициент парной корреляции при увеличении объема выборки?

С какой достоверность принимается или отвергается гипотеза о наличии вероятностной (стохастической) взаимосвязи между двумя случайными величинами?

5. Аппроксимация опытных данных математическими зависимостями по методу наименьших квадратов

Цель и задачи

Цель - изучить методику аппроксимации опытных данных математическими зависимостями.

Задачи - освоить основные понятия (аппроксимация, линеаризация, дисперсия адекватности, регрессия) и методику аппроксимации опытных данных математическими зависимостями и оценки их достоверности, изучить метод наименьших квадратов, научиться определять эмпирические коэффициенты и оценивать точность математических уравнений на основе дисперсионного анализа.

Задание

1.Для имеющихся данных однотипны сельскохозяйственных машин разных марок и производителей (исходные данные задания 4) найти коэффициенты уравнения и дисперсию адекватности для прямой.

2. Для тех же данных найти коэффициенты уравнения и дисперсию адекватности для параболы (компьютерная программа "Регрессия").

3. Сравнить полученные дисперсии и сделать вывод о виде зависимости, рекомендуемой для аппроксимации опытных данных.

Порядок выполнения задания

Находим по методу наименьших квадратов коэффициенты a и b уравнения прямой

a=1/n (?-y_i -b?-x_i )=1/(___________-_________)=_____________;

b=(n?-y_i •x_i-?-y_i •?-x_i )/(n?-x_i^2 -(?-x_i )^2 )=---------=___________________.

Для уравнения y ?=a+b•x=_____+____x подсчитаем дисперсию адекватности

S_ад1^2=1/f_ад •?_(i=1)^n-?(y_i-(y_i ) ? )^2=1/(N-1-1)?[?(___-____)?^2+?(____-____)?^2+

+?(____-____)?^2+?(____-_____)?^2+?(____+_____)?^2________________.

Число степеней свободы f_ад1=N-1-1=_________.

2.Эмпирические коэффициенты для уравнения параболы находим по программе "Полиноминальная регрессия" (рис. 5.1). Для этого в водим вектор переменной x и y (рис.5.1). В результате расчета в векторе S для уравнения 2-ой степени три последних цифры показывают значения коэффициентов уравнения: a=_______; b=________; c=________ и дисперсии адекватности S_ад2^2=_______, Число степеней свободы f_ад2=N-2-1=______.

Полиноминальная регрессия

Ввод данных :

Расчет коэффициентов регрессии :

Статистические характеристики :

Расчет дисперсии адекватности :

Рис. 5.1. Программа "Полиноминальная регрессия"

3. Сравниваем дисперсии S_ад1^2 и S_ад2^2 по критерию Фишера

F_p=(S_ад1^2)/(S_ад2^2 )=---=_______.

По таблице 7 (приложение 1) находим критическое значение

F_кр?F_(?=0.05;k_1=___;k_2=______)=__________.

Вывод:_____________________________________________

___________________________________________________

Контрольные вопросы:

В чем разница корреляционного и регрессионного уравнения?

В чем суть метода наименьших квадратов?

Если подобрать значения фактора так, что сумма будет равна нулю ?-x_i =0 , как изменятся формулы для определения коэффициентов?

Что оценивает дисперсия адекватности?

Как поступить, если расчетное значения критерия Фишера будет меньше 1?

6. Планирование полного факторного

эксперимента (ПФЭ) 2n.

6.1. Цель и задачи

Цель - изучить методику планирования многофакторного эксперимента для получения линейной формы.

Задачи - освоить основные понятия планирования многофакторного эксперимента и методику дисперсионного анализа полученных результатов, метод наименьших квадратов для ортогональных матриц, научиться планировать и проводить многофакторный эксперимент и оценивать адекватность полиноминального уравнения и значимость его коэффициентов.

Задание

С помощью имитационной модели для условного 3 факторного пространства:

- задаться диапазоном варьирования каждого фактора;

- построить план-матрицу полного факторного эксперимента (ПФЭ 23;

- провести имитационное моделирование в соответствии с блоком планирования план-матрицы и выбранными уровнями варьирования;

- провести дисперсионный анализ полученных результатов;

- получить уравнение регрессии и оценить его адекватность;

- оценить значимость коэффициентов уравнения.

Порядок выполнения задания

Выбираем уровни варьирования действующих факторов. Верхний и нижний уровень варьирования каждого действующего фактора задаемся произвольно из допустимого диапазона (0,100) для условной физической системы и записываем в таблицу 6.1. При выборе интервала варьирования необходимо учитывать, что большие значения интервала повышают точность линейной аппроксимации, но при этом увеличивают погрешность описания.

Таблица 6.1.

Уровни варьирования действующих факторов

Уровни X1 X2 X3 1.Нижний (xiн) 2.Верхний (xiв) 3.Основной (xiо) 4. Интервал варьирования (Jiн)

Строим план-матрицу полного факторного эксперимента 23.

План-матрица представляет таблицу (таблица 6.2), в которой в первом столбце указывается номер опыта (для плана 23 потребуется проведение 8 опытов), второй - фиктивный столбец, необходимый для определения среднего значения функции отклика, 3, 4 и 5 столбцы представляют блок планирования и указывают очередность одновременного изменения факторов. Для повышения точности аппроксимации включаем 3 повторности (столбцы 6, 7 и 8), в которые будем записывать результаты опытов. В столбцы 9 и 10 записываются результаты статистической обработки полученных результатов: среднее значение функции отклика в опыте и дисперсия. В последний столбец записывают значения отклика, подсчитанные по уравнению регрессии (6.6).

Таблица 6.2.

План-матрица полного факторного эксперимента ПФЭ

№ опыта Повторности (y_j ) ?

1 2 3 1 + + + + 2 + - + + 3 + + - + 4 + - - + 5 + + + - 6 + - + - 7 + + - - 8 + - - -

Проведение имитационного моделирования.

Проведение эксперимента осуществляется в следующем порядке. Для каждого опыта в соответствии с блоком планирования (столбцы переменных выделены жирной чертой) в программе "Планирование эксперимента" (МаthCAD, рис. 6.1) устанавливают значения переменных в физической системе (табл. 6.1) на верхнем (+1) или на нижнем (-1) уровне.

В каждом опыте задают моделирование трех значений (n:=3) центрированных случайных поправок.

Результаты моделирования заносят в таблицу 6.2 :

- значения функции отклика для каждой повторности - 1, 2 и 3;

- среднее [mean(y)] ;

- дисперсию [var(y)].

В указанном порядке проводят 8 опытов.

Планирование эксперимента

ввод значений переменных из области определения факторов в исходной размерности

ввести каждый раз число повторных опытов

Значения функции отклика

в nовторностях

дисперсия

Рис. 6.1. Программа имитационного моделирования "Планирование эксперимента"

Дисперсионный анализ результатов эксперимента

Проверяем однородность ряда дисперсий. Для оценки наличия грубых ошибок в полученных данных проверяем гипотезу об однородности ряда дисперсий, для этого выбираем максимальное значение дисперсии из проведенных опытов и подсчитываем расчетное значение критерия Кохрена

G_p=(S_jmax^2)/(?-S_j^2 )=------=_______________. (6.3)

Критическое значения критерия находят по таблице 8 (приложение 1 Методических указаний) для относительной ошибки ?=0,05, для N=8 опытов и 3 повторностей n=3

G_кр?G_(?=0.05;N=8;n-1=2)=_______________________ . (6.4)

Расчетное значение сравнивают с критическим и делают вывод:

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Определяем дисперсию воспроизводимости, оценивающую точность определения показателя (отклика функции) y

S_в^2=(?-S_j^2 )/N=----=___________________. (6.5)

Число степеней свободы для дисперсии воспроизводимости S_в^2 равно f_в=N(n-1)=8•2=16.

Определяем коэффициенты a_i уравнения регрессии (6.6) по методу наименьших квадратов

(y ) ?=a_0+a_1 (x_1+)+° a_2 (x_2+)+° a_3 (x_3)+° . (6.6)

Для ортогональной матрицы (?-(x_i=0))+° метод наименьших квадратов примет вид

a_i=1/N ?_(j=1)^N-?x_ij •y ?_j ? (6.7)

Получим уравнение

(y ) ?=____+____(x_1+)+°____ (x_2+)+°____(x_3)+°.

Определяем дисперсию адекватности

S_ад^2=1/f_ад •?_(j=1)^N-?(y_j-(y_j ) ? )^2 ?=1/4________=__________ (6.8)

Число степеней свободы для дисперсии адекватности равно f_ад=N-d-1=N-3-1=4.

Оцениваем адекватность полученного уравнения, для чего сравниваем дисперсию воспроизводимости S_в^2 и дисперсию адекватности S_ад^2 . Для этого подсчитываем расчетное значение критерия Фишера

F_p=(S_ад^2)/(S_в^2 )=----------=_________________. (6.9)

Критическое значение критерия находим по таблице 7 (приложения 1 Методических указаний) для ?=0.05; f_ад=4 и f_в=16

F_(кр )?F_(?=0.05?;f?_ад=4?;f?_в=16)=______________. (6.10)

Сравниваем расчетное значение с критическим и делаем вывод: ____

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Оцениваем значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого определяем среднее квадратическое отклонение для коэффициентов

S_(a_i )=v((S_в^2)/(N•n))=v((_________)/(8•3))=______________ (6.11)

Далее определяем расчетные значения критерия Стьюдента для каждого коэффициента при неизвестных

t_p1=a_1/S_(a_i ) =---=______________;

t_p2=a_2/S_(a_i ) =---=______________;

t_p3=a_3/S_(a_i ) =---=______________.

По таблице 1 (приложения 1 Методических указаний) определяем критическое значение критерия Стьюдента для ?=0.05, k=N•n=8•3=24

?t_(кр )?t?_(?=0.05;k=24)=__________.

Сравниваем расчетные значения с критическим и делаем вывод: _____

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Контрольные вопросы:

Что собой представляет нормированное факторное пространство?

Как подсчитать значения отклика y для заданной точки факторного пространства: x_1, x_2 и x_3 ?

Можно ли по значениям оценить силу влияния каждого фактора?

Планирование дробного факторного

эксперимента (ДФЭ) 2n-k

7.1. Цель и задачи

Цель - изучить методику планирования дробного многофакторного эксперимента для получения линейной формы уравнения.

Задачи - освоить основные понятия планирования дробного многофакторного эксперимента, научиться планировать, проводить и обрабатывать результаты многофакторного эксперимента и оценивать адекватность уравнения.

Задание

С помощью имитационной модели для условного 3-х факторного пространства для диапазонов варьирования факторов, принятых при моделировании полного факторного эксперимента (задание 6):

- построить план-матрицу дробного факторного эксперимента ДФЭ 23-1;

- провести имитационное моделирование в соответствии с блоком планирования план-матрицы и заданными уровнями варьирования;

- провести дисперсионный анализ полученных результатов;

- получить уравнение регрессии и оценить его адекватность.

Порядок выполнения задания

Задаемся уровнями варьирования факторов. В данном задании уровни варьирования перенесем из задания 6.

Таблица 7.1.

Уровни варьирования действующих факторов

Уровни X1 X2 X3 1.Нижний 2.Верхний 3.Основной 4. Интервал варьирования

Построение план-матрицы дробного факторного эксперимента 23-1.

За основу плана берем план-матрицу ПФЭ 22 (4 опыта). Значения фактора X3 приравняем к парному произведению (x_3 ) ?=(x_1 ) ?•(x_2 ) ? (столбец 5). Повторности будем учитывать при проведении имитационного моделирования, но в таблицу 7.2 будем записывать только средние значения и дисперсию.

Таблица 7.2

План-матрица ДФЭ 23-1

№ опыта (x_0 ) ? (x_1 ) ? (x_2 ) ? (x_3 ) ?=(x_1 ) ?•(x_2 ) ? (y_j ) ?

1 + + + + 2 + - + - 3 + + - - 4 + - - +

Проведение имитационного моделирования. Проведение эксперимента осуществляется в том же порядке, что и в предыдущем задании 6.

Результаты имитационного моделирования заносят в таблицу 7.2 :

- среднее [mean(y)] ;

- дисперсию [var(y)].

Дисперсионный анализ результатов эксперимента

Проверка однородности ряда дисперсий

G_p=(S_jmax^2)/(?-S_j^2 )=------=_______________. (7.1)

Критическое значения критерия равно

G_кр?G_(?=0.05;N=4;n-1=2)=_______________________ . (7.2)

Расчетное значение сравнивают с критическим и делают вывод:

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определяют дисперсию воспроизводимости

S_в^2=(?-S_j^2 )/N=----=___________________. (7.3)

Число степеней свободы для дисперсии воспроизводимости S_в^2 равно f_в=N(n-1)=4•2=8.

Определяют коэффициенты a_i уравнения регрессии (6.6) по методу наименьших квадратов

a_i=1/N ?_(j=1)^N-?x_ij •y ?_j ? (7.4)

a_1=1/4 ?_(j=1)^4-?x_1j •y ?_j=? 0.25(____-____+____-_____+_____)=______;

a_2=1/4 ?_(j=1)^4-?x_2j •y ?_j ?=0,25(_____+______-______-_______)=_________.

a_3=1/4 ?_(j=1)^4-?x_3j •y ?_j ?=0,25(_____-______-_______+______)=_________.

Получим уравнение

(y ) ?=____+____(x_1+)+°____ (x_2+)+°____(x_3)+°.

Определяем дисперсию адекватности

S_ад^2=1/f_ад •?_(j=1)^N-?(y_j-(y_j ) ? )^2 ?=1/4________=__________ (7.5)

Число степеней свободы равно f_ад=N-0-1=3. Если дисперсия адекватности близка к 0, точки принадлежат поверхности и п 7 не проводят, считаем модель адекватной.

Для оценки адекватности полученного уравнения подсчитываем расчетное значение критерия Фишера

F_p=(S_ад^2)/(S_в^2 )=----------=_________________. (7.6)

Критическое значение критерия находим по таблице (приложения 1) для ?=0.05; f_ад=3 и f_в=8

F_(кр )?F_(?=0.05?;f?_ад=3?;f?_в=8)=______________. (7.9)

Сравниваем расчетное значение с критическим и делаем вывод: ____

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Контрольные вопросы:

По какому принципу формируется блок планирования?

Что оцениваю коэффициенты уравнения?

Можно ли по значение коэффициентов однозначно утверждать о силе влияния того или иного фактора ?

Какое преимущество и недостатки имеет метод дробного планирования?

8. Поиск области экстремума функции методом крутого восхождения (спуска)

8.1. Цель и задачи

Цель - изучить методику планирования многофакторного эксперимента для поиска области расположения экстремума функции.

Задачи - освоить основные понятия планирования многофакторного эксперимента по методу крутого спуска (восхождения), научиться планировать, проводить и обрабатывать результаты многофакторного эксперимента при поиске опытным путем экстремума функции.

Задание

Для уровней варьирования 3-х факторов, принятые в задании 6, и уравнения регрессии (6.6) :

- рассчитать допустимые смещения вдоль осей для движения вдоль вектора градиента и составить план эксперимента;

- с помощью имитационной модели для условного 3-х факторного пространства проводить опыты, начиная с центра факторного пространства;

- после каждого опыта провести анализ динамики изменения частного сечения неизвестной функции отклика и проводить опыты до достижения максимума.

Порядок выполнения задания

Задаемся уровнями варьирования факторов Таблица 8.1). При выполнении задания уровни варьирования перенесем из задания 6.

Таблица 8.1.

Уровни варьирования действующих факторов

Уровни X1 X2 X3 1.Нижний 2.Верхний 3.Основной 4. Интервал варьирования

В качестве опорного решения берем результаты полного факторного эксперимента (задание 6). Уравнение регрессии, полученное при проведении полного факторного эксперимента

(y ) ?=____+____(x_1+)+°____ (x_2+)+°____(x_3)+°. (8.1)

Построение расчетной таблицы и матрицы планирования (таблица 8.2).

3.1.В первую строчку запишем коэффициенты уравнения с соблюдением знака (учитываем только значимые значения коэффициентов).

3.2.Значения коэффициентов умножаем на величину интервала варьирования (табл.8.1) и результат записываем во вторую строчку.

3.3.Находим базовый коэффициент, соответствующий минимуму абсолютных значений второй строчки.

3.4.Подсчитываем масштабный коэффициент и рассчитываем расчетный шаг движения вдоль градиента (строчка 3). Расчетные значения округляют до удобного для реализации эксперимента значения ?i.

Таблица 8.2

Расчетная таблица матрица планирования эксперимента

Показатель

Расчеты Коэффициенты уравнения, ai Min{| ai •Ji |}=_____

aбаз=______.

Масштабный коэффициент:

km=1/aбаз=______ 2.Произведение ai •Ji 3.Расчетное смещение (шаг движения), ai ?Ji?km 4. Округленный шаг смещения ?i 0 (xio) y0 =_______ 1 y1 =_______ 2 y2 =_______ 3 y3 =_______

Проведение имитационного моделирования.

Задать начальную точку, соответствующую центру эксперимента (точка xio ). Проведение эксперимента осуществляется в том же порядке, что и задании 6.

Результаты моделирования среднее [mean(y)] заносят в таблицу 8.2. и анализируем значения функции отклика. Если происходит увеличение функции, продолжаем движение вдоль градиента пока значения не начнут уменьшаться. В окрестности максимальной точки далее следует искать искомый максимум.

Контрольные вопросы:

Как выбрать начальную точку планирования эксперимента?

Как определить направление движения в факторном пространстве?

Как определить шаг движения вдоль градиента?

При каком условии прекращается проведение эксперимента?

9. Описание области экстремума функции уравнениями второго порядка

9.1. Цель и задачи.

Цель - изучить методику планирования многофакторного эксперимента для описания области экстремума функции уравнениями второго порядка.

Задачи - освоить основные понятия планирования многофакторного эксперимента для планов второго порядка, научиться планировать, проводить и обрабатывать результаты многофакторного эксперимента при описании области экстремума функции уравнениями второго порядка.

Задание.

С помощью имитационной модели для условного 2-х факторного пространства:

- выбрать диапазоны варьирования факторов для точки локального экстремума (координаты, полученные при выполнении задания 8);

- построить план-матрицу планирования многофакторного эксперимента типа В2;

- провести имитационное моделирование эксперимента в соответствии с блоком планирования план-матрицы и выбранными уровнями варьирования факторов;

- провести дисперсионный анализ полученных результатов;

- найти экстремум полученной функции отклика.

Порядок выполнения задания

1.Определить уровни варьирования факторов.

При выборе уровней варьирования факторов в качестве основного уровня принять координаты локального экстремума, полученные при выполнении задания 8. Затем задаться интервалами варьирования факторов и рассчитать верхний и нижний уровни. Данные записать в таблицу 9.1. В дальнейшем принять один фактор постоянным и свести задачу к 2-х факторной (исследовать частное сечение отклика).

Таблица 9.1.

Уровни варьирования действующих факторов

Уровни X1 X2 X3 1.Основной 2.Интервал варьирования 3.Нижний 4.Верхний

2.Построить план-матрицу эксперимента типа В2.

Для этого по принципу центрального композиционного планирования в качестве ядра плана выбираем план ПФЭ 22 (4 опыта). В качестве звездных точек выбираем точки пересечения вписанной окружности в факторное пространство (количество точек 2n=4). Выделенные столбцы представляют блок планирования.

Таблица 9.2.

План- матрица эксперимента В2

Х0 Х1 Х2 Х1 Х2 1 + + + + + + 2 + - + - + + 3 + + - - + + 4 + - - + + + 5 + + 0 0 + 0 6 + - 0 0 + 0 7 + 0 + 0 0 + 8 + 0 - 0 0 +

3.Проведение имитационного моделирования.

Проведение имитационного эксперимента по программе "Планирование эксперимента" (рис. 6.1) осуществляется в том же порядке, что и в предыдущем задании 6.

Результаты моделирования: среднее значение функции отклика (команда в программе [mean(y)= ]) и дисперсию (команда [var(y)= ] заносят в таблицу 9.2.

Рис. 9.1 Программа "В2Н" определения коэффициентов уравнения регрессии.

4.Дисперсионный анализ результатов эксперимента.

4.1. Проверка однородности ряда дисперсий

G_p=(S_jmax^2)/(?-S_j^2 )=------=_______________. (9.1)

Критическое значения критерия равно

G_кр?G_(?=0.05;N=4;n-1=2)=_______________________ . (9.2)

Расчетное значение сравниваем с критическим и делаем вывод:

_________________________________________________________________

Определяем дисперсию воспроизводимости

S_в^2=(?-S_j^2 )/N=----=___________________. (9.3)

Число степеней свободы для дисперсии воспроизводимости S_в^2 равно f_в=N(n-1)=4•2=8.

Определение коэффициентов уравнения регрессии.

Значения коэффициентов уравнения регрессии находим по методу наименьших квадратов в матричной форме по программе "В2Н" (рис. 9.1). Для определения коэффициентов вводим в программу вектор полученных значений функции отклика . При выполнении команды "В=" появится вектор коэффициентов уравнения регрессии (6 значений). Значения коэффициентов соответствую переменным, указанным в план-матрице (первая строка).

Метод наименьших квадратов представлен в виде матричного уравнения

, (9.4) где x - матрица планирования (6х8).

Получим уравнение

(y ) ?=____+____(x_1+)+°____ (x_2+)+°____x_1 (x_2+)+° ______(x_1^2 ) ? ______(x_2^2 ) ?. (9.5)

Определяем дисперсию адекватности

S_ад^2=1/f_ад •?_(j=1)^N-?(y_j-(y_j ) ? )^2 ?=1/4________=__________ (9.6)

Число степеней свободы равно f_ад=N-5-1=2.

Оцениваем адекватность модели.

Для оценки адекватности полученного уравнения подсчитываем расчетное значение критерия Фишера

F_p=(S_ад^2)/(S_в^2 )=----------=_________________. (9.7)

Критическое значение критерия находим по таблице 7 (приложения 1) для ?=0.05; f_ад=3 и f_в=8

F_(кр )?F_(?=0.05?;f?_ад=3?;f?_в=8)=______________. (9.8)

Сравниваем расчетное значение с критическим и делаем вывод: ____

______________________________________________________________

Оцениваем значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого определяем среднее квадратическое отклонение для коэффициентов

S_(a_i )=v((S_в^2)/(N•n))=v((_________)/(8•3))=______________ (9.9)

Далее определяем расчетные значения критерия Стьюдента для каждого коэффициента при неизвестных

t_p1=a_1/S_(a_i ) =---=______________;

t_p2=a_2/S_(a_i ) =---=______________;

t_p3=a_12/S_(a_i ) =---=______________.

t_p1=a_11/S_(a_i ) =---=______________;

t_p1=a_22/S_(a_i ) =---=______________.

По таблице 1 (приложения 1) определяем критическое значение критерия Стьюдента для ?=0.05, k=N•n=8•3=24

?t_(кр )?t?_(?=0.05;k=24)= ________.

Сравниваем расчетные значения с критическим и делаем вывод: _____

_______________________________________________________________

Находим экстремум функции отклика. Для уравнения 2х переменных находим частные производные и приравниваем их к нулю:

dy/(dx_1 )=_______+_______x_2+_______x_1=0;

dy/(dx_2 )=______+________x_1+_________x_2=0

Находим решение системы уравнений: (x_1оп ) ?=______; (x_2оп ) ?=________.

Полученные значения в кодированной системе координат переводим в физическую систему _________________________________________________________.

Контрольные вопросы:

По какому принципу формируется блок планирования план-матрицы?

На что влияет выбираемая величина интервала варьирования?

Как повысить точность определения коэффициентов уравнения регрессии ?

Какие виды планов второго порядка Вы знаете и опишите их особенности?

Содержание

Темы практических занятий 1 Статистическая обработка одномерной выборки случайной величины. 3 2 Определение характеристик случайной величины для выборки большого объема. 8 3 Выбор закона распределения для случайной величины 12 4 Оценка статистической взаимосвязи двух случайных величин. 15 5 Аппроксимация опытных данных математическими зависимостями по методу наименьших квадратов. 18 6 Планирование полного факторного эксперимента (ПФЭ) 2n 20 7 Планирование дробного факторного эксперимента (ДФЭ) 2n-k 24 8 Поиск области экстремума функции методом крутого восхождения (спуска) 27 9 Описание области экстремума функции уравнениями второго порядка. 29

Учебное издание

Составители:

Левшин Александр Григорьевич

Левшин Андрей Александрович

Бутузов Антон Евгеньевич

Майстренко Николай Алесандрович

"Планирование и организация эксперимента"

Рабочая тетрадь

Издано в редакции составителей

Корректура составителей

Отпечатано с оригинала,

Представленного составителями

Подписано в печать 02.12.2015 г. Формат 60х84 1/8

Усл. Печ. Л. 3. Уч. Изд. Л. 2,5. Изд.№ . Зак. .

Издательство РГАУ-МСХА

127550, Москва, Тимирязевская ул. 44

Тел. 8 (499) 977-00-12; 977-40-64

1

Показать полностью… https://vk.com/doc-101468501_437268636
239 Кб, 11 февраля 2016 в 17:21 - Россия, Москва, ИМЭ, 2016 г., docx
Рекомендуемые документы в приложении