Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 027818 из ИССО

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО

ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОНИКИ

И ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Кафедра "Проектирование и технология электронных и вычислительных систем"

Колоколов Ю.В., Моновская А.В.

Методические указания и задания

по выполнению практических работ

Дисциплина - "Исследование сложных электронных систем"

Специальности - 220500 (210202) "Проектирование и технология электронных и вычислительных средств", 220008 (210201) "Проектирование и технология радиоэлектронных средств"

Печатается по решению редакционно-

издательского совета ОрелГТУ

Орел 2005

Авторы д. т. н., проф. Колоколов Ю.В.

к. т. н., доц. Моновская А.В.

Рецензент д. т. н., проф. каф. ПТЭиВС Суздальцев А.И.

Настоящие методические указания предназначены для выполнения практических работ по курсу "Исследование сложных электронных систем" студентами специальностей 220500 и 220008 очной формы обучения. Практические работы нацелены на углубление знаний и навыков практического использования формализованных средств системного анализа, нелинейной теории и теории оптимизации при исследовании моделей электронных систем.

Редактор

Технический редактор

Орловский государственный технический университет

Лицензия ИД №00670 от 05.01.2000 г.

Подписано к печати. Формат 60x84 1/16.

Печать офсетная. Уч. изд. л. Усл. печ. л. . Тираж экз.

Заказ № Отпечатано с готового оригинал-макета

на полиграфической базе ОрелГТУ,

302030, г. Орел, ул. Московская, 65.

(c) ОрелГТУ,

(c) , ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 "Практические рекомендации по формированию и исследованию математической модели системы на основе использования методики системного анализа" 7

1.1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 7

1.2. ЗАДАНИЕ №1 "Исследование динамики контура электрической схемы на основе использования модели косвенного подобия" 14

1.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СЕМИНАРА №1 14

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2 "Введение в нелинейную теорию. Пример исследования динамики нелинейной электронной системы" 15

2.1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 15

2.2. ЗАДАНИЕ №2 "Реализация решения математической модели импульсного понижающего преобразователя напряжения с ШИМ-2 и пропорциональным законом регулирования в интерактивной системе для проведения инженерных и научных расчетов MatLAB" 34

2.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СЕМИНАРА №2 34

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3 "Введение в теорию оптимизации. Пример решения задачи линейного программирования в геометрической и аналитической формах. Достоинства и ограничения оптимизационного подхода" 36

3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 36

3.2. ЗАДАНИЕ №3 "Формирование целевой функции для получения следующих частных решений: единственного, множественного и несовместного" 55

3.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СЕМИНАРА №3 55

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 57

ВВЕДЕНИЕ

Постановка формальной задачи и ее решение, для традиционных инженерных дисциплин является начальным, отправным этапом работы. В рамках системного анализа [1], нацеленного на исследование сложных систем, этот этап является промежуточным результатом, которому, во-первых, предшествует длительная кропотливая и сложная работа по формированию исходной проблемы, а во-вторых, последующая работа по анализу полученного решения. При этом большую и очень важную роль играют этапы, на которых системный аналитик и привлекаемые им эксперты должны выполнить творческую работу, поэтому методология системного анализа в принципе не может быть полностью формализована. Попытки создать достаточно общий, универсальный алгоритм системного анализа (приведены, например, в [2-5]) продемонстрировали, что можно выделить ряд основных процедур, из которых может состоять алгоритм исследования конкретной системы:

* Определение конфигуратора;

* Определение проблемы и проблематики;

* Выявление целей;

* Формирование критериев;

* Генерирование альтернатив;

* Формирование и использование моделей;

* Оптимизация;

* Выбор; * Декомпозиция;

* Агрегирование;

* Исследование информационных потоков;

* Исследование ресурсных возможностей;

* Наблюдения и эксперименты над исследуемой системой;

* Реализация, внедрение результатов анализа.

Приведенный перечень является укрупненным, может иметь другую последовательность, каждая из процедур может быть разбита на более мелкие и т. д. Базовые вопросы, касающиеся реализации перечисленных процедур формируют содержание лекционного курса по "Исследованию сложных электронных систем". Однако студенты и начинающие практику аналитики нуждаются в более определенных рекомендациях, алгоритмах и примерах их использования, основываясь на которых в дальнейшем можно было бы ставить и решать прикладные задачи. В частности, в данных методических указаниях рассматриваются примеры характерных проблемных ситуаций, возникающих на трех этапах исследования сложных систем: формирование математической модели, решение этой модели и выбор оптимального решения.

В первой части (рассчитана на 4 академических часа) представлен пример алгоритма системного анализа, который позволяет наглядно продемонстрировать следующее:

* Что первоначальная формулировка - приблизительный намек на то, какой именно должна быть рабочая постановка проблемы;

* Что алгоритм исследования сложной системы является длительным и итеративным;

* Что желательно уметь видеть сходные закономерности явлений различной природы, чтобы использовать результаты уже проведенных исследований как моделей косвенного подобия.

Вторая часть (рассчитана на 8 академических часов) включает введение в нелинейную теорию и посвящена вопросам исследования систем с нелинейной динамикой. Т.е. речь идет о непосредственном решении уже сформулированной задачи и демонстрируется сложность этого решения на примере класса систем с переменной структурой, когда использование аналитических методов решения ограничено (соответственно ограничены возможности получения общего вида решения), а динамика систем является многообразной и в ней присутствует вероятностная составляющая. Соответственно, становится необходимо не только получить решение математической модели систем, но и идентифицировать тип полученного решения и его устойчивость.

Третья часть (рассчитана на 4 академических часа) включает введение в теорию оптимизации. Тематика рассматриваемых теоретических вопросов включает: общий случай постановки задачи оптимизации, классификацию основных методов решения задач оптимизации, алгоритм решения задачи оптимизации. Пример решения задачи оптимизации рассмотрен для задачи линейного программирования.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

Практические рекомендации по формированию и исследованию математической модели системы на основе использования методики системного анализа

1.1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Как уже отмечалось во введении, при решении конкретной проблемы выбор методики осуществляет системный аналитик. В частности, в данных методических указаниях будет рассматриваться методика [6,7], нацеленная на решение прикладных задач общего характера, предполагающих использование математической модели. Алгоритм методики представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Алгоритм методики системного анализа

Еще раз подчеркнем, что, во-первых, любая методика системного анализа призвана помочь более осмысленно и грамотно ставить и решать задачи. Во-вторых, как правило, процесс решения задачи носит итеративный характер, т.е. если на каком-то этапе алгоритма возникают затруднения, то нужно вернуться на один из предыдущих этапов и изменить (модифицировать) его. Если и это не помогает, то задача оказалась слишком сложной, и ее нужно разбить на несколько более простых подзадач, т.е. провести декомпозицию, причем каждую из полученных подзадач решают по той же методике. В-третьих, целесообразно рассматривать возможность использования полученных результатов решения для формирования модели косвенного подобия, которое существует в природе и обнаруживается в виде совпадения или достаточной близости абстрактных моделей различных явлений. Наиболее удивительное в области моделирования состоит в том, что небольшое число сравнительно простых математических моделей дает ключ к пониманию и исследованию огромного количества различных явлений [8].

Например, достаточно часто используются механистические упрощения, которые позволяют визуализировать главные эффекты исследуемого явления. Например, идеальный газ, модель атома, непоглощающее зеркало и т.д. Причем, наиболее известным примером являются электромеханические аналогии, которые, с одной стороны, позволяют использовать электрические схемы вместо громоздких механических и проиграть варианты, в механике пока не осуществимые (например, произвольное и непрерывное изменение масс, длин и т.д.). С другой стороны, с помощью механических аналогий, становятся более очевидными как проблемы, так и пути их возможного решения. В частности, в данной практической работе для иллюстрации применения методики системного анализа разберем механистическую модель и далее, в ходе обсуждения на семинаре и выполнения задания сформируем и исследуем ее электрический аналог.

Условие задачи: Рассмотрим автомобиль, находящийся перед гаражом на некотором расстоянии от него (рисунок 2, а). Необходимо поставить автомобиль в гараж и сделать это по возможности, наилучшим образом. При решении будем руководствоваться алгоритмом системного анализа (рисунок 1).

Гараж

Автомобиль

а) б)

М

Ff

в) г)

Рисунок 2 - Этапы решения задачи

Этап 1. Система: автомобиль и гараж (автомобиль, приближающийся к гаражу).

Этап 2. Вход: сила тяги двигателя. Выход: пройденный путь.

Этап 3. Цель: автомобиль должен проехать заданный путь и затормозить.

Этап 4. Построение математической модели (ММ) начинается с обозначения всех величин (переменных и постоянных), существенных для задачи. Введем следующие обозначения:

- сила тяги в момент времени t (вход);

- путь, пройденный к моменту t (выход);

- расстояние от автомобиля до гаража (параметр).

Затем выписываются все уравнения и соотношения, существующие между введенными величинами, как в школьных задачках на составление уравнений. Если возможных уравнений несколько, выбираю простейшее. В нашей задаче - это уравнение динамики (2-й закон Ньютона):

, (1)

где m - масса автомобиля и начальные условия: ?

Этап 5. Модель (1) достаточно хорошо изучена и в детальном анализе не нуждается. Укажем лишь, что она адекватна, если можно пренебречь размерами автомобиля, ограничением на его мощность, силами трения и сопротивления и другим, более второстепенными факторами. А также при учете грамотной организации вычислительного процесса при решении модели.

Этап 6. Простейший вариант формализации цели

, (2)

где - момент остановки - оказывается неудовлетворительным, поскольку в (2) не формализовано само требование остановки и, значит, неясно, как система будет вести себя при . Правильнее задать цель соотношением

при , (3)

из которого следует, в частности, что при .

На первый взгляд, задача поставлена и можно переходить к ее решению, т.е к этапу 8 (рисунок 1). Но, оказывается, однозначного решения задача не имеет: здравый смысл говорит о том, что существует бесконечно много способов достичь цели (3). Значит, нужно дополнить цель правилом отбора способов, позволяющим отвечать на вопрос: какой способ лучше. Зададимся следующим разумным правилом: тот способ считается лучшим, который быстрее приводит к цели. Формально новую цель можно записать так:

при. (4)

Но теперь физические соображения показывают, что решение искомой задачи тривиально: искомый минимум в (4) равен нулю! Действительно, выбрав достаточно большую силу тяги, можно придать автомобилю как математическому объекту, описываемому моделью (1), сколь угодно большое ускорение и сколь угодно быстро? переместить его на любое заданное расстояние. Видимо, требуется ввести какие-то ограничения, исключающие бессмысленные решения. Можно было бы усложнить модель системы: учесть ограниченную мощность двигателя, его инерционность, силы трения и т.д. Однако разумнее попытаться остаться в рамках модели (1), (4), дополнив ее ограничением на силу тяги:

(5)

Таким образом, чтобы придать задаче смысл, нам пришлось возвратиться на этап 7.

Этап 8. Для решения задачи можно было бы применить мощный и хорошо разработанный аппарат теории управления (вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и др.). Однако сначала надо попытаться решить задачу элементарными средствами. Для этого часто бывает полезно перейти к геометрической интерпретации задачи, чтобы привлечь нашу геометрическую интуицию.

Естественная интерпретация (рисунок 2, б) не дает ключа к решению, так как не позволяет в удобной форме представить ограничения на допустимые траектории движения автомобиля. Ситуация меняется коренным образом, если перейти к другой математической модели. Введем новую переменную (скорость): . Тогда:

вместо (1) возникает уравнение

(6)

цель (4) запишется в виде

при , (7)

а ограничения (5) превратятся в ограничения на скорость изменения новой переменной:

(8)

Таким образом, мы изменили выход системы, из-за чего пришлось заново пройти этапы 2 - 7.

Геометрическая интерпретация движения системы (6) - (8) в плоскости изображена на рисунке 2 , в. Из него видно, что для решения задачи нужно найти кривую с заданной площадью фигуры F под ней и наименьшей возможной координатой правого конца , лежащую в треугольнике OMN с заданными углами наклона боковых сторон (в соответствии с (8) ).

Геометрическое решение очевидно: фигура F должна занимать весь треугольник OMK. Это значит, что автомобиль должен двигаться с максимальным ускорением до некоторого момента , затем включить максимальное торможение и в момент времени выключить двигатель. Формулы для определения момента переключения выводятся из элементарного расчета треугольника ОМК по заданной площади и углам. Они имеют вид:

, (9)

В заключение, необходимо отметить, что рассмотренная геометрическая модель позволяет решать и более сложные задачи. Например, если по соображениям безопасности нужно учесть ограничение на максимальную скорость:

, (10)

то решение становится очевидным из рисунка 2, г: график оптимальной траектории представляет собой трапецию.

Еще более сложные задачи (например, при введении ограничения на расход топлива в виде ) не имеют простого аналитического решения, подобного (9), и практически решаются лишь численно, с привлечением математического аппарата приближенной минимизации функционалов. Однако и для них решение упрощенной задачи не теряет важности, поскольку оно позволяет получить начальное приближение к решению сложной задачи, установить качественные свойства решения сложной задачи, выявить факторы, наиболее сильно влияющие на решение сложной задачи и, главное, соотнести результаты математического исследования со здравым смыслом.

Резюмируя сказанное, можно сформулировать несколько практических рекомендаций по формированию и исследованию математической модели системы:

1. Не решать сложную задачу, не решив сначала более простую;

2. Привлекать на этапах постановки, решения и анализа задачи здравый смысл механистических построений и геометрическую интерпретацию задачи;

3. Проанализировать полученное решение на граничные условия, ограничения использования и возможность решения более сложных задач на основе использования данной модели, в том числе возможность получения начального приближения, выявления качественных свойств решения и т.д.

Далее, в ходе выполнения практических работ №№2, 3 этапы 8 и 9 будут рассматриваться более детально с точки зрения использования нелинейной теории (этап 8) и теории оптимизации (этап 9).

1.2. ЗАДАНИЕ №1

На основе аналогий, которые существуют между физическими величинами, характеризующими механические системы и электрические контуры (Таблица 1) сформировать модель косвенного подобия для системы, рассмотренной в примере теоретической части. Проанализировать динамику соответствующего электрического контура.

Таблица 1 - Аналогии между физическими величинами

Механическая система Электрическая система Масса, m

Коэффициент квазиупругой силы, k

Коэффициент трения, r

Сила, F Смещение, x

Скорость, v=dx/dt

Ускорение, a=dv/dt Индуктивность, L

Величина, обратная емкости, 1/C

Сопротивление, R

Э.Д.С. , E Заряд, q

Сила тока, I=dq/dt

Скорость изменения силы тока, dI/dt

1.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СЕМИНАРА №1

* Пояснить понятие "методика системного анализа";

* Проанализировать преимущества использования моделей косвенного подобия и возможные сложности, возникающие при этом;

* Вывести формулы 9;

* Схематично изобразить итеративность решения задачи исследования сложной системы на основе примера алгоритма системного анализа и пояснить ключевые моменты в ходе его выполнения;

* Пояснить рекомендации по формированию и исследованию математической модели системы.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

Введение в нелинейную теорию. Пример исследования динамики нелинейной электронной системы.

2.1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1.1. Введение в нелинейную теорию.

Нелинейная теория является междисциплинарной областью знания в которой систематизируются методы и методики, связанные с идеями нелинейной динамики. В данном разделе приведены некоторые общие вопросы, кратко характеризующие спектр рассматриваемых задач, а также достижения, проблемы и перспективы данной области знания [2,3,8].

Анри Пуанкаре в начале века обратил внимание на то, что в развитии большинства наук наблюдаются два противоположных процесса. Первый связан с тем, что накопленные результаты исследований позволяют увидеть за сложностью, многообразием, обилием фактов и гипотез внутреннюю логику, ясность и простоту (например, возникновение химии из алхимии). Второй связан с тем, что за простейшими, очевидными, твердо установленными фактами обнаруживается глубина и сложность.

В частности, в нелинейной динамике начало первого процесса связано с "эпохой диссипативных структур", когда, начиная с А. Тьюринга, удивлялись тому, что сложные системы могут вести себя просто. Например, в пространственно-распределенных системах, потенциально обладающих бесконечным числом степеней свободы, происходит самоорганизация - спонтанное выделение небольшого числа переменных (параметров порядка) определяющих динамику всей системы. Явление самоорганизации удалось выявить в химических реакциях, в открытых гидродинамических системах, в задачах физики плазмы, в нелинейной оптике, в динамике популяций и т.д., что позволило использовать для различных систем близкие модели и за внешним многообразием и сложностью открыть внутреннюю общность и простоту. Один из простейших примеров, поясняющий явление самоорганизации, основан на использовании Фурье коэффициентов. Пусть в начальный момент времени пространственное распределение интересующей нас величины определяется сложной "изрезанной" функцией а(x) (рисунок 3,а). "Сложность и изрезанность" можно выразить через коэффициенты Фурье : значения многих коэффициентов (иными словами, амплитуды гармоник) близки по величине. В процессе эволюции, благодаря вязкости, теплопроводности, диффузии и т.п. (диссипативные процессы) формируется более "простая и менее изрезанная" функция а(x) (рисунок 3,б), которую можно представить достаточно точно с использование небольшого числа коэффициентов . Более подробно о самоорганизации см., например, [4].

Рисунок 3 - Иллюстрация понятия "самоорганизация"

Таким образом, диссипативные процессы позволяли открытым, далеким от равновесия системам "забыть" начальные условия и сформировать с течением времени одни и те же или подобные стационарные распределения изучаемых переменных. Системы с такими свойствами стали называть диссипативными. Математическими образами таких стационарных распределений (диссипативных структур, предельных режимов, процессов) являются притягивающие множества в фазовом пространстве (аттракторы). Простейшим аттракторам (неподвижным точкам) соответствуют не меняющиеся со временем процессы, более сложным - предельным циклам - различные периодически изменяющиеся со временем (волновые) процессы, см., например, [5,9]. Типичная постановка задачи в этот период - выяснить, как изменяются характеристики стационарного распределения при изменении внешних и внутренних параметров, исходных данных. В частности, изменение числа или устойчивости решений системы стали называть бифуркацией. Исследования показали, что:

1. Упрощенными математическими моделями различных процессов оказались одни и те же уравнения;

2. Хотя процессы в системах разворачивались во времени и пространстве и описывались уравнениями в частных производных, качественное поведение удавалось понять с помощью простейших динамических систем (обычно с помощью системы дифференциальных уравнений 2-3 порядков);

3. Множество различных нелинейных процессов и неустойчивостей оказались воплощением одних и тех же бифуркаций.

Проблематика изучения диссипативных систем стала основой новой области знания - синергетики, которая за 5-7 лет превратилась из занятия физиков-теоретиков в объект интереса ученых из разных областей естественных наук. Однако со временем при более глубоких исследованиях выяснилось, что число систем, где можно наблюдать "в сравнительно чистом виде" предсказываемые диссипативные структуры невелико. Более того, их поиск при решении многих теоретических и прикладных задач зачастую требовал учета дополнительных, усложняющих картину нелинейных явлений и эффектов. Таким образом, явления, аналогичные в главном на качественном уровне, оказались различными в деталях. Кроме того, четко и ясно определить решение можно в случае простейших аттракторов, несмотря на то, что нелинейная динамика на сегодняшний день располагает мощными специализированными численными методами решения задач данного вида. Тем не менее, многие области физики "открывают для себя" явления самоорганизации и эксперты полагают, что они будут формировать новое поколение технологий, охватывающее сферы от микро- до макромиров. Например, создание приборов с использованием нанопроводов, оптико-электронные системы на квантовых точках, одноэлектронные приборы, стержневые структуры в лазерной термохимии, проекты ускорения элементарных частиц в кильватере мощной электромагнитной волны, нелинейные эффекты при столкновении кометы с планетой [10-15] и т.д.

Следующий период в развитии нелинейной динамики условно можно назвать периодом "динамического хаоса", когда стало ясно, что простые динамические системы могут вести себя сложно, что существуют принципиальные ограничения на получение прогноза динамики нелинейных явлений [16, 5]. Одним из ключевых понятий на этом этапе стала "чувствительность к начальным данным" - экспоненциальное (в среднем) разбегание двух бесконечно близких траекторий для класса странных аттракторов. Суть заключается в том, что становится невозможно сравнивать траекторию объекта и даже идеальной модели "поточечно" в одни и те же моменты времени, т.к. сколь угодно малая ошибка в начальных условиях будет экспоненциально нарастать и спустя некоторое время обнаружится, что модель по сравнению с объектом "пошла иным путем". В центре внимания исследователей оказались методы анализа временных рядов, проблема сравнения теории и эксперимента, задачи построения прогнозирующих систем, определение законов движения объекта по ряду наблюдений.

В этой связи возникли два принципиальных вопроса. Во-первых, алгоритмы определения количественных характеристик хаоса, построения предсказывающих систем достаточно "капризны". Они требуют большой выборки весьма точных измерений предшествующих состояний объекта. Живые существа такими данными для обучения не располагают, поэтому неясно, как им удается эффективно ориентироваться в быстро меняющейся обстановке. Это особенно удивительно, когда предшествующий опыт невелик и ранее не было возможности действовать методом проб и ошибок. Другими словами, возник класс задач, очень сложных для компьютеров (или для разработчиков алгоритмов) и сравнительно легко решаемых биологическими объектами. С другой стороны, большинство алгоритмов анализа данных на основе представлений нелинейной динамики эффективны, когда размерность фазового пространства невелика. Соответственно, возникает задача перехода от простейших моделей динамического хаоса к реальным. Возникло странное противоречие между красивыми и ясными представлениями нелинейной динамики и трудностью приложения развитых алгоритмов и теорий к исследованию многих реальных систем.

Тем не менее, в нелинейной динамике был создан "язык", на котором можно описать многие нелинейные явления. Этот язык состоит из новых понятий, базовых математических моделей и алгоритмов их решения. Использование этого языка позволяет решать конкретные практические задачи, а знание того каких конструкций в нем не хватает, позволяет формировать те вопросы, которые обязательно следует задавать при исследовании динамики нелинейной системы. В частности, использование концепций нелинейной теории при проектировании современных электронных систем (больших и многоконтурных) становится все более актуальным, т.к. при их эксплуатации в широком диапазоне вариации параметров возникают процессы с отличными от эксплуатационных качественными и количественными характеристиками. В частности, в разделах 2.1.2. - 2.1.4. рассматривается пример их практического использования при проектировании импульсной системы преобразования энергии.

2.1.2. Пример исследования динамики нелинейной электронной системы.

На настоящий момент времени наилучшей энергоэффективностью процесса преобразования обладают импульсные системы преобразования энергии (ИСПЭ), что подтверждается широкой сферой их применения в практической деятельности (например, электрический транспорт, системы коммунального хозяйства, металлургия, химическое производство, обеспечение питания компьютерных систем и т.д.). Однако, функционирование ИСПЭ в условиях воздействия на динамику широкого спектра внешних и внутренних случайных факторов создает объективные предпосылки для потери устойчивости эксплуатационного процесса и эволюции динамики в направлении процессов с иными количественными и качественными характеристиками преобразованной энергии. Наиболее показательно их негативное экономическое и социальное воздействие проявляется в ответственных технологических процессах, т.к. может привести к человеческим жертвам, значительным материальным потерям и катастрофическим воздействиям на окружающую среду. Накопленный опыт эксплуатации и экспериментальные исследования констатируют, что полностью исключить на стадии проектирования возможность возникновения опасных процессов, с учетом вышеприведенных возмущающих факторов, не представляется возможным. Тем не менее, можно попытаться заранее выявить диапазоны вариации параметров, в которых возможно возникновение конкретных типов стационарных процессов, в том числе, отличных от эксплуатационного.

Например, одним из наиболее распространенных сценариев перехода к хаосу в ИСПЭ является сценарий удвоение периода. В результате которого эксплуатационный процесс теряет устойчивость и возникают процессы с кратным двум увеличением периода: 2-4-... типы стационарных процессов. Для определения диапазонов вариации параметров, в которых возможно возникновение данных процессов необходимо решить прямую задачу Коши для математической модели ИСПЭ. Соответствующая модель является динамической системой с переменной структурой, получение общего решения которой является затруднительным вследствие проблематичности использования аналитических приемов. Рассмотрим подробно этапы решения задачи Коши на примере простейшей ИСПЭ - понижающего преобразователя напряжения с ШИМ-2 и пропорциональным законом регулирования.

2.1.2.1. Формирование модели ИСПЭ.

Схема замещения преобразователя постоянного напряжения понижающего типа с широтно-импульсной модуляцией второго рода и пропорциональным законом регулирования представлена на рисунке 4. Математическая модель преобразователя представляет собой систему дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и скалярную функцию коммутации, которая определяет моменты изменения структуры системы. Рассмотрим формирование этой модели последовательно.

Рисунок 4 - Схема замещения преобразователя напряжения с ШИМ и П-регулятором

Для формирования системы дифференциальных уравнений будем использовать замкнутые контуры I, II и узел 1 (рисунок 4). Получаем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

(11)

(12)

и уравнение по первому закону Кирхгофа:

(13)

Преобразуем полученные выражения в систему дифференциальных уравнений, с этой целью выразим из выражения (13) i3 и подставим в выражение (12).

,

, (14)

. (15)

Затем подставим выражение (15) в выражение (11).

,

(16)

В результате, получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

(17)

где КF - импульсная функция, которая отражает состояние ключевого элемента (замкнут/разомкнут). Таким образом, возможны два участка постоянства структуры - при потреблении энергии от питающей сети (ключевой элемент замкнут КF=1) и состояние "свободного хода", при котором силовая часть отключена от сети (ключевой элемент разомкнут КF=0). Изменение функции КF происходит при переходе через нулевое значение функции коммутации .

(18)

Функция коммутации определяется в соответствии с пропорциональным законом регулирования и ШИМ-2, рассмотрим ее формирование подробнее.

Управление в преобразователе производится по напряжению, снимаемому с эквивалентного нагрузочного сопротивления, которое усиливается коэффициентом усиления обратной связи ? и вычитается из напряжения уставки (рисунок 4). Далее полученный сигнал рассогласования ?

(19)

обрабатывается по пропорциональному закону регулирования (формируется сигнал ). В блоке системы управления СУ в соответствии с широтно-импульсной модуляцией второго рода (ШИМ-2) формируется управляющая импульсная последовательность сигналов. Соответствующая структура регулятора напряжения представлена на рисунке 5.

Она иллюстрирует, что если преобразованный сигнал больше опорного напряжения, то на выходе регулятора напряжения формируется сигнал управления , если же преобразованный сигнал становится меньше опорного пилообразного напряжения, то на выходе регулятора напряжения сигнал управления равен нулю. Принцип формирования импульсной последовательности в соответствии с ШИМ-2 поясняется на рисунке 6.

Таким образом, функция коммутации определяется следующим образом:

(20)

где - пилообразное опорное напряжение в случае ШИМ-2 заднего фронта, Е1 - целочисленная функция, U0 - амплитуда опорного напряжении, Т - период ШИМ. С учетом (19), окончательный вид функции коммутации:

(21)

Подставим в (21) выражение (14):

(22)

где , При этом не нулевое значение сигнала управления соответствует замкнутому состоянию ключевого элемента, а нулевое значение сигнала управления - разомкнутому состоянию ключевого элемента.

Для исключения формирования нескольких импульсов на тактовом интервале в ШИМ-2 предполагается, что момент коммутации определяется как момент времени, при котором коммутационная функция в первый раз принимает нулевое значение, а все остальные нули этой функции (в пределах одного тактового интервала) игнорируются. Это исключает такие неприятные эффекты, как супергармонические колебания и быстрые переключения, характерные для релейных систем. Кроме того, коммутация может происходить не обязательно на каждом тактовом интервале, т.е. возможны случаи, когда в течение всего периода ключ либо разомкнут, либо замкнут. Таким образом, возможны три случая, которые поясняются на рисунке 7:

1. В начале текущего тактового интервала значение преобразованного сигнала , меньше нуля и КF=0 на всём его протяжении.

2. В начале текущего тактового интервала значение преобразованного сигнала , и соответственно значение коммутационной функции больше нуля, а в конце интервала значение преобразованного сигнала больше амплитуды опорного пилообразного напряжения. В этом случае КF=1 на всём протяжении тактового интервала.

3. В начале текущего тактового интервала значение преобразованного сигнала больше нуля, а в конце меньше амплитуды опорного пилообразного напряжения, соответственно коммутация на данном тактовом интервале произошла.

Таким образом, моделью преобразователя являются системы (17), (18) и функция (22).

2.1.2.2. Линеаризованная форма решения модели ИСПЭ. Организация численного решения.

В матричной форме система уравнений (17) может быть представлена:

(23)

где Х - вектор переменных состояния системы; А - матрица постоянных коэффициентов; В - кусочно-постоянная матрица.

(24)

Система дифференциальных уравнений (23) с начальными условиями составляет прямую задачу Коши, линеаризованное решение которой на участке постоянства структуры имеет следующий вид:

(25)

Если на k-том тактовом интервале ШИМ [(k-1)T, kT] происходит коммутация, то он распадается на два участка, которые характеризуются постоянством импульсной функции KF: и . Для удобства перепишем уравнение (25) в следующем виде:

, (26)

где E - единичная матрица размером 2?2.

Распишем линеаризованное решение задачи Коши (26) на каждом участке постоянства импульсной функции KF.для k-го тактового интервала, на котором произойдёт коммутация (рисунок 8).

Рисунок 8 - Пояснение получения итерационного закона вычисления вектора переменных Xk в момент времени kT в зависимости от значения вектора Xk-1 в момент времени (k-1)T.

1)KF=1,

В этом случае для k-го такта ШИМ начальными условиями будет значение вектора X в конце предыдущего (k-1)-го тактового интервала

(27)

Запишем значение вектора X в момент коммутации tk:

Перейдём для удобства от момента коммутации tk к относительной длительности импульса :

, , (28)

где , .

2) KF=0, Для данного промежутка времени начальными условиями будет значение вектора X в момент коммутации ().

(29)

Т.к. kT-tk=(1-?k)T, то выражение (29) запишется следующим образом:

(30)

где , .

Подставим в (30) выражение (28):

. (31)

где , .

Это выражение представляет собой итерационный закон вычисления вектора переменных в момент времени kT в зависимости от значений вектора в тактовом узле (k-1)T. Коэффициенты заполнения находятся из выражения (25), при условии, что Задача определения момента изменения структуры решается численными методами. Один из наиболее распространенных - итерационный метод последовательных приближений. Поясним суть этого метода.

На первом этапе реализации метода решается система дифференциальных уравнений (11) для случая КF=1 для всего периода. При этом период разбивается на интервалы h (шаги интегрирования). В начале и конце каждого шага интегрирования находится значение вектора переменных состояния системы. Затем, подставляя значение вектора переменных состояния системы на каждом шаге интегрирования h в коммутационную функцию (24), осуществляется проверка на переключение ключевого элемента. Второй этап связан с тем, что в случае выполнения условия переключения, строится локальная модель, линейная относительно tk, исходя из значения вектора состояния системы X в начальный t1 и конечный t2 = t1+h точках интервала интегрирования (рисунок 9):

, (32)

где - значение функции коммутации в момент времени t. Откуда из условия определяется приближённое значение . Если значение

, (33)

где tol- допустимая величина погрешности нахождения , то этапы 1-2 повторяются с учетом того, что граничными значениями интервала интегрирования становится не весь период, а t1 и или t2 и в зависимости от знака функции .

2.1.3. Идентификация стационарного процесса. Эволюция динамики импульсной системы на примере сценария перехода к хаосу через удвоение периода 1-2-4-...

В общем случае, решение задачи идентификации стационарного процесса предусматривает решение трех задач [5]: идентификация стационарности текущего процесса; идентификация типа стационарного процесса (субгармонического, квазипериодического, хаотического); определение локальной устойчивости стационарного процесса по Ляпунову.

В рамках данной практической работы рассмотрим решение простейшей задачи: идентификацию типа субгармонического процесса методом установления в рамках одного из наиболее распространенных в динамике ИСПЭ сценария перехода к хаосу через удвоение периода 1-2-4-... Принцип этого метода заключается в том, что временной ряд переменных состояния обрабатывается с целью определения интервала времени, через который значения вектора переменных состояний начнут повторяться в той же последовательности. Применительно к рассматриваемому примеру это означает, что первый стационарный процесс представляет собой периодический процесс с частотой равной частоте коммутации (рисунок 10,а). Далее, при вариации бифуркационного параметра, начиная с некоторого его значения, данный процесс теряет устойчивость и возникает периодический процесс с периодом в два раза большим, чем период коммутации (рисунок 10,б). При дальнейшей вариации параметров аналогично возникает периодический процесс с периодом в четыре раза большим, чем период коммутации (рисунок 10,в) и т.д.

2.2. ЗАДАНИЕ №2

1. Определить решение математической модели импульсного понижающего преобразователя напряжения с ШИМ-2 и пропорциональным законом регулирования в интерактивной системе для проведения инженерных и научных расчетов MatLAB [17]. Для решения использовать значения параметров, представленные в таблице 2

2. Проиллюстрировать понятие самоорганизации на примере временного распределения одной из переменных состояния математической модели (ток, напряжение и т.д.) с использованием понятия коэффициентов Фурье.

Таблица 2 - Варианты для выполнения самостоятельного задания №2:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R1, Ом 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 R2, Ом 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 R3, Ом 25 20 15 10 5 25 20 15 10 5 L, Гн 1e-4 C, Ф 1e-5 E0 ,В 24 24 23 23 22 22 21 21 20 20 ? 1 Uy , В 12 Uo , В 3 ? 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25

2.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СЕМИНАРА №2

* Пояснить понятия "самоорганизация", "диссипативная система";

* Достижения, проблемы, перспективы синергетики;

* Пояснить понятие "чувствительность к начальным данным";

* Проблемы исследования динамического хаоса;

ТЕМЫ ОБЗОРОВ ДЛЯ СЕМИНАРА №2

* Полупроводниковые гетероструктуры;

* Память на основе нано-мим-диода с углеродистой активной средой;

* Субмикронные структуры в микроэлектронике.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

Введение в теорию оптимизации. Пример решения задачи линейного программирования в геометрической и аналитической формах. Достоинства и ограничения оптимизационного подхода.

3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3.1.1. Введение в теорию оптимизации.

Поиск оптимальных решений относится к одному из древнейших классов задач, начиная со времен, когда платой за неправильное решение вопросов жизнеобеспечения была смерть. В современном производстве плата за ошибку чаще исчисляется в денежном эквиваленте, хотя при проектировании, изготовлении и производстве изделий вопросы остаются теми же: что, с какими свойствами, из чего, кому, где, когда, сколько, в какой последовательности...? Однако, уровень ошибки неуклонно возрастает. Например, пусть при интуитивном распределении людей на работы возможность их использования по сравнению с оптимальным вариантом хуже всего лишь на 3%. Такая ошибка, например, для суконного цеха XV века с 40 работниками привела бы к недоиспользованию 1 человека. Для современного производства, в котором занято, например, 50 млн. человек такая ошибка аналогична снижению трудовых ресурсов на 1,5 млн. Идея повышения эффективности труда нашла одну из своих ясных и понятных форм в трех постановках задачи оптимизации:

1. Проектирование изделия при заданных затратах ресурсов с наилучшими свойствами;

2. Проектирование изделия с заданными свойствами при минимальных затратах ресурсов;

3. Задача оптимального распределения ресурсов вообще, в том числе, по времени.

Пути ее решения можно сформулировать как "прямую задачу": что будет, если... и "обратную задачу" - что надо, чтобы....

3.1.1.1 Общий случай задачи оптимизации.

Задача оптимизации общем случае формулируется следующим образом:

ЦФ F = f(хj) > max(min,Const)

g1 (xj) ? (=; ?) b1

...

ОГР gi(xj) ? (=; ?) bi (34)

... ГРУ gm (xj) ? (=; ?) bm

dj ? xj ? Dj; i = 1, m; j = 1, n; n > m

Систему (34) принято записывать более компактно.

F = f(xj) > max

gi(xj) ? bi (35)

dj ? xj ? Dj

i = 1, m; j = 1, n; n > m

В систему (35) входят три составляющие.

1. ЦФ - целевая функция или критерий оптимизации, показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, т. е. наилучшим. При этом возможны 3 вида назначения целевой функции: максимизация; минимизация; назначение заданного значения.

2. ОГР - ограничения устанавливают зависимости между переменными. Они могут быть как односторонними, например:

gi(xj) ? bi,

так и двусторонними

ai ? gi(xj) ? bi.

3. ГРУ - граничные условия показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым. Если математическая модель задачи оптимизации составлена правильно, то задача будет иметь целый ряд допустимых решений. Если задачи не имеют решения, то они называются несовместными. Поясним возможные варианты.

Важной характеристикой задачи оптимизации является ее размерность, определяемая числом переменных n и числом ограничений m. Соотношение этих величин является определяющим при постановке задачи оптимизации. Проанализируем три возможных соотношения n m, которые сначала рассмотрим для случая уравнений:

1. n m, например,

х1 + х2 = 5,

соответственно n = 2, m = 1. В этом случае может быть бесчисленное множество значений x1 и х2, которые удовлетворяют данному уравнению, поэтому существует возможность выбора.

Достаточно часто ограничения записываются в виде неравенств, например: x1 ? 5.

Введем дополнительную переменную y1 ? 0 и перейдем от заданного неравенства к уравнению: x1+ y1 = 5.

Для этого уравнения n = 2, m = 1 и, значит, оно имеет бесчисленное множество решений. Таким образом, если в общем случае ограничения имеют вид

gi(xj) ? bi

i = 1, m; j =1, n;

тo их можно записать в виде

gi(xj) + yi = bi

yi ? 0; i = 1, m; j =1, n;

В этом случае общее число переменных xj и yj, равное N, будет N = n + m, а число уравнений остается прежним, равным m. Очевидно, что N = n + m > m, и система имеет бесчисленное множество решений. Значит, если ограничениями являются неравенства, то система всегда имеет бесчисленное множество решений.

Таким образом, во-первых, условие n > m - это непременное требование для задач оптимизации. Заметим, что такую систему уравнений, для которых n = m, можно рассматривать как задачу оптимизации, имеющую одно допустимое решение, и решать ее как обычную задачу оптимизации, назначая в качестве целевой функции любую переменную.

Во-вторых, чтобы из всех возможных решений выбрать только одно, необходимо договориться, по какому признаку мы это будем делать. Естественно, желательно, чтобы выбранное решение оказалось правильным. Но что такое правильное решение? Сказать, что решение правильное или неправильное - это значит дать оценку, которая может оказаться весьма субъективной. Поэтому в дальнейшем не будем говорить о правильных решениях, потому что мы просто не знаем, что это такое. Наш разговор будет об оптимальных решениях. Что же касается оптимального решения, название которого происходит от лат. optimus (наилучший), то здесь все четко и определенно. Оптимальное решение - это наилучшее. Но решения, наилучшего во всех смыслах, быть не может. Оно может быть наилучшим, т. е. оптимальным, только в одном, строго установленном смысле.

Принимающий решение должен абсолютно точно представлять, в чем заключается оптимальность решения, т. е. по какому критерию (от греч. kriterion - мерило, оценка, средство для суждения) принимаемое решение должно быть оптимально. Критерий часто называют целевой функцией. Критерий выбирается тем человеком, кто принимает решение. В общем случае с помощью критерия можно оценивать качества как желательные (например, прибыль, производительность, надежность), так и нежелательные (затраты, расход материала, простои оборудования). Тогда в первом случае стремятся к максимизации критерия, а во втором - к его минимизации. Так, если при принятии решения требуется максимизировать какую-то величину, например, прибыль, производительность или надежность, то в этом случае для оптимального решения критерий будет иметь самое большое значение из всех допустимых. Если же требуется минимизация критерия (затраты, расход материала, простой оборудования), то для оптимального решения критерий будет иметь самое меньшее значение из всех допустимых.

Стремление к оптимизации - это естественное состояние человека. Человек по своей природе является прирожденным оптимизатором. Он занимается оптимизацией, потому что ему необходимо экономить свои ограниченные запасы энергии, ресурсов, времени. Каждый шаг человека, каждое принимаемое им решение - это зачастую неосознанное действие для того, чтобы получить оптимальный результат. И не случайно это естественное поведение человека нашло отражение в пословицах "Рыба ищет, где глубже, а человек - где лучше", что соответствует задаче максимизации, и "Из двух зол выбирают меньшее" - задаче минимизации. Итак, задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям:

* существует реальная возможность выбора из более, чем одного решения, т.е. существует множество допустимых решений;

* существует критерий, показывающий, в каком смысле принимаемое решение должно быть оптимальным, т. е. наилучшим из допустимых.

3.1.1.2. Классификация задач оптимизации.

Важным этапом изучения явлений, предметов, процессов является их систематизация, которая обычно завершается классификацией по ряду признаков, а поскольку признаков может быть достаточно много, то и выполненные классификации могут различаться между собой. Любая классификация должна преследовать достижение поставленных целей. Выбор цели определяет набор тех признаков, по которым она будет проводиться. Наша цель - показать, что совершенно различные по своему содержанию задачи оптимизации можно решать одними методами, которые различаются по виду математических моделей, включающих следующие элементы: исходные данные; искомые переменные; зависимости.

Исходные данные рассматриваются как детерминированные или случайные. Детерминированными называются такие исходные данные, когда при составлении модели их точные значения известны. В достаточно распространенных задачах распределения ресурсов точное значение имеющегося ресурса, а также других элементов, входящих в модель, может быть заранее неизвестно. В таких случаях эти элементы модели являются случайными величинами. Искомые переменные рассматриваются как непрерывные и дискретные. Непрерывными называются такие величины, которые в заданных граничных условиях могут принимать любые значения. Дискретными называются такие переменные, которые могут принимать только заданные значения. Целочисленными называются такие дискретные переменные, которые могут принимать только целые значения. Зависимости между переменными (как целевые функции, так и ограничения) могут быть линейными и нелинейными. Напомним, что линейными называются такие зависимости, в которые переменные входят в первой степени и с ними выполняются только действия сложения или вычитания. Если же переменные входят не в первой степени или с ними выполняются другие действия, то зависимости являются нелинейными. При этом следует иметь в виду, что если в задаче хоте бы одна зависимость нелинейная, то и вся задача является нелинейной. Сочетание различных элементов модели образует различные классы задач оптимизации, которые требуют разных методов решения. Основные классы задач оптимизации приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Основные классы задач оптимизации

Исходные данные Искомые

переменные Зависимости Классы задач Детерминированные Непрерывные Линейные Линейного программирования Детерминированные Целочисленные Линейные Целочисленного программирования Детерминированные Непрерывные, целочисленные Нелинейные Нелинейного программирования Случайные Непрерывные Линейные Стохастического программирования

3.1.1.3. Алгоритм решения задачи оптимизации:

1. Формулировка цели - это важнейший вопрос. Решение задачи, особенно достаточно сложной, требует много времени. И если цель сформулирована неудачно, то это может привести не только к справедливому сожалению о потерянном времени, но, что более печально, к разочарованию в применении методов оптимизации. При формулировке задачи оптимизации предполагается выполнение следующих требований:

* должно существовать, как минимум, два варианта решения задачи; ведь если вариантов решения нет, значит, и выбирать не из чего;

* надо четко знать, в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим. Если же мы четко не знаем, чего хотим, то математические методы, реализованные даже на самом лучшем компьютере, помочь не смогут.

Формулировка цели завершается ее содержательной постановкой.

2. Содержательная постановка задачи является переходным мостиком от желания решить задачу к ее формулировке в такой форме, на основании которой было бы ясно, каковы элементы математической модели:

* исходные данные: величины детерминированные или случайные;

* искомые переменные: непрерывные или дискретные;

* пределы, в которых могут находиться значения искомых величин в оптимальном решении;

* зависимости между переменными: линейные или нелинейные;

* критерии, по которым следует находить оптимальное решение.

3. Составление математической модели - очень ответственный этап работ. Формирование математической модели адекватной поставленной цели обсуждалось в рамках практической работы №1.

4. Сбор исходных данных является необходимым этапом работы при поиске оптимального решения. Прежде чем анализировать исходные данные их, естественно, необходимо сформировать, причем не все имеющиеся, как это иногда пытаются делать, а лишь те, которые входят в математическую модель. Следовательно, сбор исходных данных не только целесообразно, но и необходимо производить лишь после того, как будет сформулирована математическая модель. Причем, решение задач большой размерности целесообразно начать с контрольного примера. Цель контрольного примера - проверить правильность математической модели, поэтому он может быть весьма ограниченной размерности (пример рассматривался в практической работе №1). Это потребует собрать на начальном этапе работы небольшое количество исходных данных для быстрой оценки правильности составленной модели. Кроме того в качестве модели для контрольного примера может быть использована модель косвенного подобия.

5. Решение задачи с использованием методики конкретного класса задач оптимизации (рассматривается в п. 3.1.2. на примере задачи линейного программирования).

6. Анализ решения - генерирование возможных альтернатив (рассматривается в п. 3.1.1.4).

7. Принятие оптимального решения - конечный этап работы. Надо четко себе представлять, что решение принимает не компьютер, не программа а тот человек, который должен отвечать за результаты принятого решения.

8. Графическое представление результата решения и анализа - мощный фактор наглядности информации, необходимой для принятия решения.

3.1.1.4. Анализ решаемых задач.

Диагностика в современной медицине является одним из ключевых этапов лечения и профилактики и предполагается, что никто не будет устанавливать диагноз и выписывать лекарства, т. е. принимать решение, без результатов анализа. К сожалению, при принятии решений в экономике и технике так бывает далеко не всегда.

Мощным средством анализа является математическая модель. Не стоит покупать ружье, чтобы сделать только один выстрел. Нецелесообразно тратить время и средства на составление математической модели, чтобы по ней выполнить один единственный расчет. Математическая модель, как мы уже говорили, является прекрасным средством получения ответов на широкий круг самых разнообразных вопросов, возникающих при принятии оптимальных решений. Виды анализа, выполняемого на основе математической модели, приведены на рисунке 12. Поясним некоторые вопросы.

На этапе постановки задачи производится анализ с целью ответа на вопросы: "что будет, если..?" и/или "что надо, чтобы..?". Анализ с целью ответа на первый вопрос называется вариантным анализом; на второй - решениями по заказу. Вариантный анализ бывает следующих видов:

* Параметрическим будем называть такой анализ, который заключается в решении задачи при различных значениях некоторого параметра. Примеры параметрического анализа приводятся в книге неоднократно.

* Под структурным анализом будем понимать решение задачи оптимизации при различной структуре ограничений.

* Многокритериальный анализ - это решение задачи по разным целевым функциям.

* Если исходные данные, используемые при решении задачи, зависят от соблюдения дополнительных условий, то такой анализ называется анализом при условных исходных данных.

Во вторую группу задач анализа - решения по заказу - входят задачи, целью которых является решение задачи оптимизации при заданных значениях: переменных, левых частей ограничений, целевой функции, что эквивалентно решению обратной задачи. Кроме анализа, выполняемого на этапе постановки задачи, мощным средством, помогающим принять решение, является анализ полученного оптимального решения (примеры которого рассмотрены в практической работе №2).

3.1.2. Метод решения задач линейного программирования.

3.1.2.1. Постановка задачи. Формирование алгоритма решения.

Чтобы смотреть телевизор, совсем не обязательно иметь представление о принципах его работы. Большинство авиапассажиров не знает, что такое подъемная сила и почему самолеты летают на больших высотах. Точно так же, чтобы принимать оптимальное решение на основе математической модели, совершенно не обязательно знать достаточно сложные алгоритмы, по которым это решение находится. С другой стороны, когда известно, каким путем получен результат больше уверенности в его правильности и в дальнейшем можно использовать известную методику получения алгоритма для решения сходных задач. Рассмотрим формирование алгоритма решения задач оптимизации на примере задачи линейного программирования (см. таблицу 3), которая является достаточно распространенной задачей принятия оптимальных решений и простейшей из них. Она представляется в следующем виде:

Задачу линейного программирования можно решать аналитическими и графическими методами. Аналитические методы представляют собой последовательность вычислений по некоторым правилам. Однако, их недостаток заключается в том, что в отличие от графических методов, они совершенно не наглядны. Графические же методы достаточно наглядны, но обычно они пригодны лишь для решения таких задач, в которых число переменных n = 2, что дает возможность представлять задачу на плоскости. Учитывая наглядность графических методов, идею решения задачи линейного программирования мы рассмотрим с их помощью. Начнем с простых примеров.

Как известно, уравнение прямой имеет вид

a1x1 + a2x2 = b. (36)

Построим прямую

2x1 + x2 = 2.

Для этого запишем уравнение в виде

(37) При такой форме записи в знаменателе показаны отрезки, которые отсекает прямая (36) на осях координат, что показано на рисунке 13. Если от уравнения (36) перейти к неравенству

2x1 + x2 max. (41)

Эта зависимость на рисунке 16 представлена в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом х2 = F - x1, из которого видно, что tg? = - 1. При этом угол ? = 135°, а величина F равна отрезку, отсекаемому прямой на оси координат. Если прямую перемещать параллельно самой себе в направлении, указанном стрелками, то величина F будет возрастать. Совместим теперь ОДР, изображенную на рисунке 13, с линией целевой функции (41), построенной на рисунке 16 как это показано на рисунке 17.

Рисунок 16 - Линия Рисунок 17 - ОДР,

целевой функции совмещенная с линией

целевой функции

Поскольку требуется найти оптимальное решение, при котором целевая функция F = х1 + х2 > max, то будем перемещать график целевой функции в направлении увеличения F. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки С, равные x1* и х2*. При этом F = F*. Это позволяет сделать исключительно важный вывод: оптимальным решением являются координаты вершины ОДР. На этом выводе базируется аналитический метод решения задач линейного программирования, который заключается в следующем:

* Найти вершины ОДР, как точки пересечения ограничений.

* Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.

* Вершина, в которой целевая функция приобретает оптимальное (максимальное или минимальное) значение, является оптимальной вершиной.

* Координаты этой вершины и являются искомыми оптимальными значениями переменных.

Эти правила, сформулированные на основании графического решения задачи на плоскости, т. е. в двухмерном пространстве, справедливы и для трехмерного. В этом случае ОДР представляет собой многогранник. Координаты каждой его вершины - это допустимые решения. Координаты той вершины, в которой целевая функция имеет максимальное (или минимальное) значение, являются оптимальным решением задачи. Для трехмерного пространства, где число переменных равно трем, это нетрудно себе представить. В практических же задачах число переменных может исчисляться десятками и даже сотнями. В этом случае никакое пространственное воображение не поможет, поэтому обычно задачу решают аналитически.

3.1.2.2. Если решения нет.

При решении задачи линейного программирования достаточно часто оптимального решения получить не удается. Это происходит по двум следующим причинам. Причину 1 проиллюстрируем на следующем примере. Систему (42)

представим графически (рисунок 18). На рисунке видно, что нет таких значений x1 и х2, которые удовлетворяли бы системе (42). Значит, в данном примере ОДР отсутствует. Про такую систему говорят, что ограничения несовместны.

К сожалению, это очень часто встречается на практике, а не только теоретически возможный вариант. В общем случае несовместность может быть следствием двух причин:

* неправильная математическая модель;

* неправильные исходные данные.

Причину 2 рассмотрим на следующем примере. Построим систему

(43)

Рисунок 19 - Пример системы с несовместными ограничениями из-за неправильных исходных данных

Эта система показана на рисунке 19, из которого видно - ОДР не ограничена сверху, соответственно при максимизации целевой функции F = х1 > max решение получено быть не может. Чтобы избежать таких ошибок, надо выполнять следующие правила:

1. При максимизации целевой функции она должна быть ограничена сверху либо с помощью ограничений, либо с помощью граничных условий, при этом модель с точки зрения содержания должна иметь вид:

(44)

2. При минимизации целевой функции она, соответственно должна быть ограничена снизу:

(45) 3.1.3. Достоинства и ограничения оптимизационного подхода.

Центральной идеей оптимизации является максимизация или минимизация критерия в заданных условиях (ограничениях и граничных условиях). Это предполагает:

1. Что известен критерий, способ генерирования и сравнения альтернатив и выбор среди них наилучшей;

2. Что изменения условий может привести к тому, что при том же критерии наилучшим будет иной вариант (или несколько или вообще такой вариант не существует).

Идея оптимальности получила строгое и точное представление в математических теориях и прочно вошла в практику проектирования и эксплуатации технических систем. В частности, определение оптимальных вариантов особенно важно для оценки состояния современной техники и определения перспектив ее дальнейшего развития. Знание параметров оптимальной альтернативы позволяет составить представление о принципиально возможных пределах системы, сравнение с этими параметрами помогает решить вопрос о целесообразности дальнейших усилий по улучшению того или иного показателя качества изделия. В частности, если для уже имеющейся системы в результате оптимизации значение критерия качества можно повысить на десятки процентов, то может возникать вопрос о поиске принципиально новых путей совершенствования данной системы. Таким образом, оптимизация является мощным средством повышения эффективности, но использовать его необходимо все более осторожно по мере возрастания сложности системы. Для такого заключения имеются достаточно веские основания.

Во-первых, оптимизационное решение часто оказывается достаточно "хрупким": незначительные изменения в условиях задачи (в ограничениях) могут привести к выбору отличных альтернатив. Более того, не задав всех необходимых ограничений на решение (граничных условий), можно одновременно с максимизацией критерия получить непредвиденные и нежелательные эффекты. Во-вторых, оптимизация опирается на предположение, что критерий достаточно хорошо отображает поставленную цель, однако критерий и цель продолжают относится друг к другу как модель и оригинал, соответственно критерий описывает цель лишь косвенно и всегда приближенно. Кроме того, даже почти идеальная локальная оптимизация подсистемы не обязательно приводит к оптимизации системы в целом.

Соответственно, хотя многие задачи проектирования технических систем могут быть сведены к математическим моделям, которые позволяют ставить и решать задачи оптимизации, неизбежно остаются две "ловушки": неустойчивость оптимальных решений (их чувствительность к изменениям условий) и неоднозначность постановки многокритериальных задач. При этом возможны следующие пути их решения: исследование чувствительности и поиск устойчивых процедур [18,19]; сведение многокритериальных задач к однокритериальным [1,20,21]. Кроме того, сложные системы потому и сложны, что не поддаются полной формализации, соответственно решения задач оптимизации неизбежно имеют частный характер и являются средством для получения предварительных, вспомогательных данных для дальнейшего анализа системы или изменения исходной постановки задачи исследования сложной системы.

Таким образом, идея оптимальности, в первую очередь связана с анализом полученных решений. Однако задача оптимизации возникает, например, при численных методах решения: определение времени вычисления для достижения заданной точности и, наоборот, определение гарантируемой точности, достигаемой за заданное время решения (число итераций), т.е. на стадиях решения проблемы. Кроме того, вследствие ограничений, присущих оптимизационному подходу, задачи оптимизации часто целесообразно формулировать и решать на начальных стадиях исследования сложных систем.

3.2. ЗАДАНИЕ №3

Пусть существуют две типовые однокаскадные схемы с известным составом и коэффициентом усиления (см. пример в таблице 4). Необходимо:

1. Сформировать одну многокаскадную схему, используя типовые, с максимальным коэффициентом усиления при условии, что число элементов для ее изготовления ограничено;

Таблица 4 - Данные для выполнения самостоятельного задания №3:

Первая схема Вторая схема Назна-чение ЦФ ку 10 20 max Элементы R1 6 8 100 Максимальное число элементов в каскаде R2 3 5 200 R3 1 4 150 L1 3 20 L2 2 5 20 L3 20 C1 4 9 50 C2 2 1 50 C3 1 50

2. Определить какой должна быть целевая функция, чтобы получить следующие частные решения: единственное, множественное и несовместное;

3. Привести пример задачи линейного программирования.

3.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СЕМИНАРА №3

* Общий вид задачи оптимизации: целевая функция, граничные условия, ограничения;

* Требования, необходимые для существования решения задачи оптимизации;

* Классификация классов задач оптимизации;

* Алгоритм решения задачи оптимизации: обсудить пункты 4, 7, 8 этого алгоритма.

* Сформулировать достоинства идеи оптимальности;

* Сформулировать недостатки идеи оптимальности и пути их возможного устранения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.: ил.

2 Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 360 с.: ил.

3 Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.: ил.

4 П. Эткинс. Порядок и беспорядок в природе.

5 Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. -312 с.: ил.

6 Егоренков Д. Л., Фрадков А. Л., Харламов В. Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке MatLAB. Издание 2-е.- СПб.: БГТУ,1996. - 192 с.: ил.

7 Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. - М.: Физматлит, 1994. - 192 с.

8 Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. - М.: Едиториал УРСС, 2000. - 256 с.: ил.

9 Андронов А.А. Динамические системы на плоскости. М. Наука, 1961.

10 Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. - М.: УРСС, 2001. - 288 с.

11 Алферов Ж.И. История и будущее полупроводниковых гетероструктур / Ж.И. Алферов // Физика и техника полупроводников. - 1998. - №32. - С. 3-18.

12 Память на основе нано-мим-диода с углеродистой активной средой/ К.А.Валиев, С.Е.Кудрявцев, В.Л Левин и др. // Микроэлектроника. - 1997. - №26. - С. 3-11.

13 Нестандартные методы формирования субмикронных структур в микроэлектронике/ Д.Р. Илькаев, А.Д. Кривоспицкий, А.А. Окшин и др. // Микроэлектроника. - 1996. - №25. - С. 339-345.

14 Карлов Н.Н., Кириченко Н.А., Лукьянчук Б.С. Лазерная термохимия. - М.: Центрком, 1995.

15 Лазерные методы ускорения заряженных частиц / С.В. Буланов, Т.Ж. Есиркепов, Ф.Ф. Каменец и др. // Радиотехника (Электромагнитные волны). - 1995. - №12. - С. 49-55.

16 Пределы предсказуемости: Сб. статей под ред. Ю.А. Кравцова - М.: Центрком, 1997.

17 Колоколов Ю.В., Моновская А.В. Методические указания для выполнения лабораторных работ по курсу "Исследование сложных систем" - Орел: ОрелГТУ, 2006.

18 Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимизации. - М.: Наука, 1987.

19 Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир, 1984.

20 Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решения. - М.: Наука, 1987.

21 Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. - М.: Наука, 1986.

22 Гуд Г.Х., Макол Р.Э. Системотехника. Введение в проектирования больших систем. - М.: Сов. Радио, 1962.

23 Оптнер С.Л. Системный анализ для решения деловых и промышленных проблем. - М.: Сов. Радио, 1969.

24 Черняк Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой. - М.: Экономика, 1975.

25 Янг С. Системное управление организацией. - М.: Сов. Радио, 1972.

26 Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. - СПб.: BHV, 1997. - 384 с.: ил.

* y' , а также dy/dt - обозначение производной

? Математик здесь, конечно, заметит, что минимум в (4), строго говоря, может не достигаться, и в формулировке (4) нужно заменить min на inf ("инфминимум" - точная нижняя грань множества). Однако ситуация от этого не изменится: формализация в данном случае не отражает существа задачи, т.е. проведена неверно. В дальнейшем, чтобы не "путать" инженера, мы будем пользоваться обозначениями min, max, имея в виду, что при необходимости их следует заменить на более общие inf, sup.

---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

1 4

Показать полностью…
931 Кб, 24 февраля 2013 в 15:00 - Россия, Москва, ИССО, 2013 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении