Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 040884 из МГВМИ

Лекция 3.10. Понятие об обратном пространстве. Связь прямого и обратного пространства.

1. Понятие об обратном пространстве.

Идеальную кристаллическую поверхность можно получить удалением всех атомов, располагающихся с одной стороны некоторой кристаллографической плоскости трехмерного кристалла, оставляя неизменным расположение атомов по другую сторону этой кристаллографической плоскости. Идеальная кристаллическая поверхность сохраняет симметрию плоскости разрыва. В реальных же поверхностях кристаллов расположения атомов в поверхностных слоях отличается от их расположения в объеме кристалла, так как силы действующие на атомы вблизи поверхности будут отличаться от тех сил, которые действуют на атомы в объеме кристалла. Поверхностные атомы в реальных кристаллических поверхностях образуют двумерную периодическую структуру, в общем случае отличающуюся от структуры плоскости разрыва

Так же как и для трехмерного кристалла, упорядоченной двумерной периодической структуре атомов, можно сопоставить двумерную кристаллическую решетку, в каждую точку которой можно попасть из исходной точки путем смещения на вектор трансляции

(4.1)

где a и b - элементарные векторы трансляции, определяющие элементарную двумерную или поверхностную решетку, m и n - целые числа.

Двумерная периодичность кристаллической поверхности позволяет классифицировать различающиеся по симметрии и расположению узлов возможные структуры поверхности. Элементами симметрии для двумерных решеток являются:

1. Оси вращения 1-, 2-, 3-, 4- и 6- порядков;

2. Зеркальное отражение в плоскости, перпендикулярной поверхности;

3. Отражение скольжения (включает отражение относительно прямой с последующей трансляцией вдоль этой прямой на половину трансляционного периода в этом направлении.

Все остальные преобразования симметрии вывели бы двумерную решетку из ее плоскости.

Симметрия двумерных кристаллических решеток описывается 10 двумерными кристаллографическими точечными группами (1, 2, 3, 4, 6, m, 2mm, 3m, 4mm, 6mm), объединенными в 4 двумерные кристаллические системы (косоугольная, гексагональная, прямоугольная и квадратная). Для двумерных кристаллических решеток возможны лишь 5 решеток Браве (рис. 4.1).

Косоугольная решетка с неодинаковыми сторонами ячейки Браве (a?b) и непрямым углом между элементарными векторами трансляции (g? 90°) отвечает точечным группам 1 и 2. Прямоугольная решетка соответствует точечным группам m и 2mm. Этим же группам соответствует центрированная прямоугольная решетка Браве, в центре которой располагается узел, соответствующий трансляции (a + b)/2. Для такой решетки можно было бы выбрать элементарную примитивную решетку в форме ромба, но в этом случае симметрия элементарной ячейки не соответствовала бы симметрии кристалла, что является основным условием при выборе решетки Браве [1]. Квадратная решетка отвечает точечным группам 4 и 4mm. Гексагональная решетка с элементарной ячейкой в форме ромба соответствует точечным группам 3, 3m, 6 и 6mm.

2. Обратная решетка.

Понятие обратной решетки играет важную роль в дифракции электронов как в объеме твердого тела, так и на его поверхности. Условия дифракции легко интерпретируются на основе законов сохранения энергии и импульса с добавлением вектора обратной решетки.

Для трехмерного случая, если a,b и c- базисные векторы трансляции прямой решетки, то соответствующие векторы обратной решетки a*,b* и c* определяются следующими векторными соотношениями:

. (4.5)

Смешанное произведение, стоящее в знаменателях соотношений (4.5) равно, как известно, объему прямой решетки.

Любой вектор обратной решетки записывается через элементарные векторы обратной решетки:

(4.6)

где h, k, l - любой набор целых чисел (индексы Миллера).

Вектор обратной решетки (4.6) обладает следующими свойствами:

- он перпендикулярен семейству плоскостей прямой решетки с индексами Миллера hkl;

- его длина обратно пропорциональна расстоянию между этими плоскостями.

Общее правило построения обратной решетки можно распространить и для двумерного случая. Для этого необходимо формально заменить вектор трансляции с на единичный вектор n в направлении, перпендикулярном поверхности.

. (4.7,а)

Поскольку величина численно равна площади параллелограмма со сторонами a и b и углом между ними ?, то абсолютные значения a* и b* векторов двумерной обратной решетки можно представить в виде [5]:

, (4.7,б)

причем .

На рис. (4.5) приведен пример построения обратной решетки. Прямая решетка, определяемая элементарными векторами трансляции a и b и обратная решетка с элементарными векторами a* и b* располагаются в плоскости рисунка. Узлы прямой решетки показаны светлыми кружками, обратной - темными. Для прямой решетки приведены в качестве примера две линии (штриховые прямые) из семейства атомных рядов (11) и (21). Индексы Миллера h=1, k=1 и h=2, k=1 соответственно для семейства рядов (11) и (21) определяют величину отрезков, отсекаемых этими рядами на координатных осях. Векторы обратной решетки g11 и g21, также показанные на рисунке, перпендикулярны соответствующему семейству рядов двумерной прямой решетки.

Следует заметить, что в отличие от трехмерных кристаллических структур, симметрии поверхностных прямых и обратных решеток совпадают [6].

Следует особо подчеркнуть, что в отличие от трехмерного случая, когда обратная решетка представляет собой точки в обратном пространстве, обратная решетка плоского кристалла представляет собой совокупность прямых линий (стержней обратной решетки), которые расположены перпендикулярно плоскости кристалла (и плоскости обратной решетки). Эти стержни располагаются в обратном пространстве периодически с векторами трансляции a* и b*. На рис. 4.5. стержни обратной решетки располагаются перпендикулярно плоскости рисунка и пересекают плоскость обратной решетки в точках, обозначенных темными кружками.

Этот результат можно получить, если формально устремить период прямой решетки в направлении, перпендикулярном плоскости кристалла (направление, параллельное вектору прямой трехмерной решетки с) к бесконечности при переходе от трехмерной к двумерной структуре [5]. Тогда период обратной решетки в направлении вектора обратной решетки с* будет стремиться к нулю. По этой причине ряд узлов обратной решетки в направлении вектора с превратиться в прямые линии. Эта особенность геометрического представления обратной решетки становится существенной при интерпретации результатов по дифракции электронов на двумерных структурах.

Лекция 2.12. Сфера Эвальда. Дифракция в терминах обратной решетки.

1. Условия дифракции. Построение Эвальда

Понятие обратной решетки позволяет в простой форме представить условия, при которых происходит усиление электронных волн, отраженных от кристаллической решетки. Рассмотрим вначале условие дифракции при рассеянии электронов на одномерной цепочке атомов. Пусть расстояния между атомами а, волновой вектор падающей волны k перпендикулярен линии атомов, волновой вектор рассеянной волны k' составляет угол ? c линией атомов (рис. 3).

Как видно из рисунка 3, а, разность хода электронных волн, рассеянных двумя соседними атомами ? = acos?. Тогда условие усиления можно записать ввиде

Рис. 3. Дифракция электронов на цепочке атомов:

а - волновые вектора падающих и рассеянных электронов; б - конус, на котором интерференция приводит к усилению волны.

Здесь ?- длина волны электронов.Так как при рассеянии энергия электрона не изменяется, то k= k' =2?/? и предыдущее равенство можно преобразовать к виду:

(4.8)

В выражении (4.8) учтено, что произведение k'cos? есть проекция волнового вектора рассеянной волны на направление линии атомов, которая, в свою очередь, равна проекции вектора рассеяния ?ka или изменению волнового числа k вдоль линии атомов.

Из (4.8) получим

(4.9)

Так как электронные волны рассеиваются в различных направлениях, то максимумы лежат на поверхностях конусов с углами раствора 2?n (n = 0, ±1, ±2, ±3 и т.д. (рис. 3б).

Двумерное периодическое расположение атомов с постоянными элементарной решетки a и b будет, очевидно, давать два условия дифракционных максимумов

(4.10)

(4.11)

которые должны выполняться одновременно. Условия (4.10) и (4.11) называют уравнениями Лауэ для дифракции на двумерной решетке. Уравнения Лауэ определяют те направления вектора рассеянной электронной волы, для которых происходит усиление интенсивности.

В правых частях равенств (4.10) и (4.11), как нетрудно заметить, записаны векторы обратной двумерной решетки с индексами Миллера h = na и k = nb. Следовательно, условие дифракции на двумерной кристаллической решетке можно записать в виде одного векторного равенства

(4.12)

Вектор ?k, равный разности волновых векторов рассеянной и падающей электронных волн, называют дифракционным вектором [6].

Индексы h= 0 и k= 0 соответствуют зеркальному отражению электронов от поверхности. Отраженный луч в этом случае называется 00-рефлексом или зеркальным рефлексом.

Удобным графическим представлением уравнения (4.12) является модифицированная версия построения сферы Эвальда [6]. Для этого построения необходимо:

- в плоскости, параллельной поверхности, выбрать начало координат (точка 00) и построить обратную решетку в виде стержней, перпендикулярных поверхности кристалла;

- из начала координат в направлении падающего луча проводится прямая и на ней откладывается отрезок длиной 2?/?, с центром в этой точке строят сферу Эвальда радиусом 2?/?;

- точки пересечения этой сферы со стержнями обратной решетки определяют направления дифракционных рефлексов.

На рис. 4.7 и 4.8 показан пример построения сферы Эвальда для двумерной решетки. На первом рисунке построены стержни двумерной обратной решетки, показаны направление падения и плоскость падения первичного электронного луча. Вектор k, определяющий направление падающего электронного луча, лежит в плоскости, перпендикулярной поверхности кристалла и пересекающей ее в направлении x. Конец вектора k находится в начале координат обратной решетки, соответствующего индексам Миллера 00. На рис. 5. показано сечение сферы Эвальда в плоскости падения первичного электронного луча. Для любых направлений, в которых сфера радиусом , построенная из начала вектора k, пересекает стержни обратной решетки, выполняются условия дифракции. Построение остается трехмерным, так как падающие и дифрагированные лучи распространяются в трехмерном пространстве. Показаны направления, в которых наблюдаются рефлексы только при отражении электронных волн от поверхности кристалла (дифракция на отражение).

Рис. 5. Сечение сферы Эвальда в плоскости падения луча первичных электронов.

2. Дифракция медленных электронов. Экспериментальная техника ДМЭ

Дифракция медленных электронов (ДМЭ) - это старейший из современных методов исследования поверхности. Начало этому методу положили классические опыты К. Дэвиссона и Л. Джермера, проведенные в 1927 году, послужившие первым доказательством волновой природы электрона. Однако, широкое применение ДМЭ, как и остальных методов исследования поверхности, началось с 60-х годов в связи с развитием современной техники сверхвысокого вакуума.

Медленными называются электроны с энергией 10 ... 100 эВ. Эта энергия сравнима по абсолютной величине с энергией внешних оболочек атомов. По этой причине медленные электроны сильно взаимодействуют с веществом, хорошо рассеиваются, в результате чего средняя длина свободного пробега составляет всего 5 ... 10 А. Этим обусловлена поверхностная чувствительность метода.

Дифракционные картины при рассеянии медленных электронов интерпретируют обычно в кинематическом приближении, в котором пренебрегают потерями энергии первичных электронов. Другими словами, вклад в дифракционную картину в этом приближении учитывается только от упруго отраженных электронов. Поскольку при малых энергиях разница в энергиях упруго отраженных и истинно вторичных электронов мала, необходимо в экспериментальной установке принимать меры для отделения упруго отраженных электронов от неупруго рассеянных.

Для наблюдения дифракции медленных электронов применяют сеточный сферический анализатор с задерживающим полем, используемый для анализа вторичных электронов в электронной спектроскопии (рис. 4.9). Электронная пушка 1 создает на образце (мишени) 2 пучок с силой тока приблизительно 1 мкА. Регистрация рассеянных упругих электронов осуществляется с помощью сферического коллектора 3, покрытого люминофором. Перед коллектором расположены 2-3 сферические сетки 4. Потенциал первой сетки от образца тот же, что и образца. В этом случае электроны движутся от образца к коллектору прямолинейно, не испытывая действия электрического поля. Последующие одна или две сетки служат для замедления всех электронов, кроме упруго отраженных. Для этого на эти сетки подается потенциал, несколько меньший потенциала катода электронной пушки, в результате чего сетки пропускают только упруго рассеянные электроны. Эти электроны затем проходят последнюю стадию ускорения в пространстве между сетками и коллектором, на который подается потенциал +3 ... +5 кВ. На коллекторе в этом случае получается светящееся изображение дифракционной картины, которое можно наблюдать либо "на просвет", либо "на отражение" сквозь сетки позади образца.

На этом же рисунке показаны стержни обратной решетки и построение Эвальда для данной геометрии эксперимента. Из этого построения довольно четко видно, что дифракционная картина есть проекция поверхностной обратной решетки.

Увеличение дифракционной картины в плоскости наблюдения определяется радиусом сферы Эвальда, т.е. энергией электронов и расстоянием от образца до коллектора R. Из рисунка получим, что межплоскостное расстояние

, (4.13)

где длина волны электронов ? зависит от их энергии E следующим образом:

. (4.14)

Рис. 7. Вид дифракционной картины в плоскости наблюдения Здесь длина волны измеряется в ангстремах, а энергия в электронвольтах.

На рисунке 4.10 приведена дифракционная картина в плоскости наблюдения для геометрии эксперимента, изображенном на рисунке 4.9.

Анализ геометрии дифракционной картины на основе приведенных выше элементарных соотношений позволяет довольно просто определять периоды и симметрию поверхностной решетки.

В современных вариантах регистрации максимумов дифракции для наблюдения за экраном часто используют видеокамеру. Анализ видеосигнала с применением компьютерной обработки позволяет получать информацию не только о положениях рефлексов, но и о распределении интенсивности внутри каждого дифракционного максимума, что увеличивает информативность метода.

3. Дифракция отраженных быстрых электронов

Рис. 8. Схема эксперимента для ДОБЭ:

1 - электронная пушка; 2 - образец; 3 - экран. Поверхностная чувствительность метода ДМЭ определяется выбором низкого значения энергии электронов. При нормальном падении электронов сэнергией 10 ... 100 кэВ поверхностная чувствительность теряется. Однако, если быстрые электроны направить таким образом, чтобы первичный луч скользил по поверхности кристалла, то несмотря на относительно большую среднюю длину свободного пробега электронов, рассеяние отраженных электронов будет происходить в поверхностной области. Поверхностная чувствительность метода отраженных быстрых электронов (ДОБЭ) обусловлена, таким образом геометрией эксперимента. Геометрия метода ДОБЭ обеспечивает хороший доступ к поверхности, чем обусловлена его популярность для контроля роста эпитаксиальных структур непосредственно в процессе их получения методом молекулярно-лучевой эпитаксии.

Поскольку имеется большое различие между энергией упруго рассеянных электронов и энергией электронов, создающих фон неупругого рассеяния, нет необходимости в тщательной энергетической фильтрации рассеянных электронов. Нет также необходимости в повторном ускорении этих электронов, так как они обладают энергией достаточной для возбуждения свечения люминесцирующего экрана. В связи с этим, схема эксперимента по дифракции отраженных быстрых электронов имеет очень простой вид (рис. 4.11).

Особенности дифракционной картины, наблюдаемой на люминесцирующем экране 3, в сравнении с ДМЭ обусловлены существенным различием в энергии электронов. Согласно соотношению (4.14) длина волны электрона lэл с энергией 150 эВ составляет приблизительно 1 А.Для быстрых же электронов с энергией ~ 15 000 эВ lэл ~ 0,1 А. Поэтому сфера Эвальда для быстрых электронов очень велика по отношению к расстоянию между стержнями обратной решетки (рис.9.). СфераЭвальда в этом случае пересекает стержни обратной решетки не в отдельных точках, как это имеет место при дифракции медленных электронов, а в виде полосы. По этой причине картины ДОБЭ представляются не отдельными дифракционными пятнами, а виде дифракционных полос. Следует отметить, что эти полосы соответствуют стержням обратной решетки, лежащим вне плоскости схемы, представленной на рис. 9.

Индицирование электронограмм в методе ДОБЭ осуществляется по формуле

, (4.15)

где r - удвоенное расстояние между центром экрана и соответствующей дифракционной полосой, d - межплоскостное расстояние, L - расстояние от образца до экрана, l - длина волны электрона.

Рис. 9. Сравнение построений Эвальда для быстрых и медленных электронов.

kб, k 'б - волновые векторы соответственно падающих и рассеянных быстрых электронов: kм, k 'м - волновые векторы медленных электронов. Для выявления полной двумерной периодичности в методе ДОБЭ необходимо поворачивать образец вокруг нормали к поверхности, т.к. полосатая структура дифракционной картины позволяет определить межплоскостное расстояние только для атомных рядов, расположенных в плоскости образца перпендикулярно первичному электронному лучу. Это является существенным недостатком метода в сравнении с дифракцией медленных электронов. Отсутствие полной количественной теории ДОБЭ, методов расчета по экспериментальным интенсивностям также существенно ограничивают возможности метода в сравнении с ДМЭ.

4.7. Применение ДОБЭ к исследованию микроморфологии поверхности

Возросшая популярность в последние годы метода ДОБЭ связана с его чувствительностью к качеству микроповерхности. На вставке на рис. 4.11 показаны схематически рассеяния под углом скольжения на гладкой поверхности (внизу) и на поверхности с трехмерным кристаллическим островком (вверху). Трехмерные кристаллические островки, приводящие к шероховатости поверхности, сильно влияют на дифракционную картину. За счет рассеяния на микронеоднородностях поверхности меняется интенсивность и ширина рефлексов на дифракционной картине, появляются дополнительные дифракционные пятна по отношению к идеально гладкой поверхности, обусловленные дополнительной дифракцией на микронеоднородностях.

Однако, наиболее широко метод ДОБЭ применяется в молекулярно-лучевой эпитаксии для исследования осцилляций интенсивности зеркального луча отраженных электронов с целью контроля послойного роста эпитаксиальных структур. Впервые этот эффект был обнаружен в 1983 году при исследовании эпитаксиального роста арсенида галлия (GaAs). В процессе роста эпитаксиальной структуры наблюдались затухающие осцилляции интенсивности зеркального рефлекса с периодом, равным времени заполнения одного монослоя.

Качественную картину возникновения ДОБЭ-осцилляций иллюстрирует рисунок 4.13. Атомарно гладкая поверхность дает максимальное значение интенсивности зеркально отраженного луча. Образование ступенек двумерных островков высотой в один

атомный слой приводит к уменьшению интенсивности зеркального рефлекса, что связано с рассеянием отраженного луча на ступеньках, окружающих двумерные островки. Уменьшение интенсивности происходит до степени заполнения слоя атомами q = 0,5, а затем интенсивность вновь начинает расти. Рост интенсивности связан со срастанием двумерных островков и увеличению вследствие этого гладкости поверхности. При q = 1, когда поверхность вновь становится атомарно гладкой, интенсивность зеркального рефлекса близка к своему первоначальному значению. Этот цикл изменения интенсивности многократно повторяется по мере роста следующих слоев, если образование двумерных зародышей нового монослоя начинается после заполнения предыдущего монослоя. Отклонение от этого механизма приводит к возрастанию шероховатости поверхности и постепенному уменьшению амплитуды осцилляций.

Двумерные островки непосредственно наблюдались рядом исследователей методами сканирующей туннельной микроскопии и электронной микроскопии на отражение.

В большинстве экспериментальных работ для исследования эпитаксиального роста используются качественные эффекты, например, исчезновение ДОБЭ-осцилляций при переходе от двумерно-слоевого роста к ступенчато-слоевому. Дело в том, что процессы зарождения и роста двумерных островков определяются поверхностной диффузией адатомов и среднее расстояние между островками равно длине диффузии. Длина диффузии увеличивается с увеличением температуры или уменьшением молекулярного потока из источника. Выше некоторой критической температуры длина поверхностной диффузии адатомов превышает расстояние между ступенями на поверхности и рост в этом случае осуществляется по ступенчато-слоевому механизму. При таком росте не происходит периодического изменения плотности ступеней и осцилляции не наблюдаются.

Рис.4.14. Осцилляции интенсивности зеркального рефлекса при росте сверхрешетки GexSi1-x. Следующий пример применения метода дифракции отраженных быстрых электронов связан с возможностью определения состава твердых растворов полупроводников по изменению периода ДОБЭ-осцилляций при переходе от роста чистого материала к росту слоев твердого раствора. На рисунке 4.14 показан пример осцилляций при росте сверхрешетки, состоящей из слоев Si и твердого раствора GexSi1-x. Переход к росту твердого раствора осуществляется подачей дополнительного потока Ge при постоянном потоке Si. Состав слоя твердого раствора можно определить из соотношения

,

где t1 и t2 - периоды осцилляций при росте слоев кремния и твердого раствора соответственно.

Показать полностью… https://vk.com/doc-27804135_132627460
265 Кб, 13 октября 2012 в 20:36 - Россия, Москва, МГВМИ, 2012 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении