Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 043090 из НИТУ МИСиС

7 Исследование кривых второго порядка

7.1 Цель работы

Определить вид кривых, найти их основные характеристики и сделать рисунки.

7.2 Теоретическое введение

I Классификация кривых второго порядка

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) можно представить в виде:

(7.1) Одна и та же кривая в зависимости от расположения, относительно ДПСК будет, иметь разные уравнения. Оказывается, что для каждой кривой, определяемой уравнением (7.1), можно подобрать такую новую ДПСК ( повернутую), что ее уравнение примет вид:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0; (A2 + B2 ? 0), (7.2) т.е. уравнение не будет содержать произведение xy.

В типовом расчете дается именно это уравнение (7.2), поэтому мы и будем его рассматривать.

Вид кривой, определяемой уравнением (7.2), зависит от коэффициентов A, B, C, D, E поэтому проведем подробный анализ каждого из следующих случаев.

1. AB ? 0, т.е. A ? 0 и B ? 0 случай центральной кривой.

Выделим полные квадраты:

Таким образом (7.2) примет вид

(7.3) Положим ? = -C / 2A, ? = -D / 2B и

тогда получим

A(x - ?)2 + B(y - ?)2 = H (7.4)

Перейдем теперь к новой ДПСК - X?O?Y?, которая получается из исходной ДПСК XOY параллельным переносом (соответствующие оси координат параллельны и сонаправлены). Начало ДПСК X?O?Y? поместим в т. O?(?, ? ). Тогда точка M, имеющая относительно ДПСК XOY координаты (Х,У) будет иметь относительно ДПСК X?O?Y? координаты x' = x - ? и y' = y - ?, а уравнение (7.4) в ДПСК X?O?Y? запишется

(7.5) (для удобства в дальнейшем вместо x' и y' будем писать x и y).

1.1 AB > 0 - эллиптический тип.

a) A > 0, B > 0, H > 0.

Положив перепишем (7.5) в виде

(7.6) В этом уравнении, не нарушая общности, можно считать a2 ? b2, в противном случае нужно просто ДПСК повернуть на 90°.

Кривая, уравнение которой относительно некоторой ДПСК имеет вид называется эллипсом. Уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

b) A > 0, B > 0, H = 0.

Положив a2 = 1 / A, b2 = 1 / B, получим

. Этому уравнению удовлетворяют координаты единственной точки O' (0,0).

c) A > 0, B > 0, H 0. Теперь перейдем к следующему случаю.

1.2 AB 0, B 0.

Положив a2 = H / A, b2 = -H / B, перепишем (7.5) в виде

(7.7) Кривая, уравнение которой относительно некоторой ДПСК имеет вид , называется гиперболой. Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Замечание. Если A > 0, B 0, то (7.5) можно преобразовать к виду повернув затем ДПСК X?O?Y? на 90°, мы получим уравнение вида

, где x" = y', y" = -x'.

b) A > 0, B 0, в противном случае нужно повернуть ДПСК на 180°.

Замечание. Случай B = 0, D ? 0, очевидно, сводится к предыдущему, если повернуть ДПСК на 90°.

Наконец, чтобы полностью завершить анализ уравнения (7.2) нам осталось рассмотреть последние три случая.

2.2 A = 0 (B ? 0), C = 0.

В этом случае уравнение (7.2) имеет вид By2 + Dy + E = 0.

Выделив полный квадрат, преобразуем его к виду: . Положим , , получим, (y - ?)2 = H, перейдя к ДПСК и опуская в уравнении штрихи, получим:

y2 = H (7.9) a) H > 0

Обозначим a2 = H тогда (7.9) примет вид:

y2 = a2 (7.10) Этому уравнению удовлетворяют координаты точек, лежащих на параллельных прямых y = a и y = -a(вырожденная парабола).

b) H 0), то говорят, что уравнению y2 = 0 соответствует пара совпадающих параллельных прямых.

Замечание. Случай B = 0 и D = 0 сводится к предыдущему поворотом осей на 90°.

Таким образом, подобрав новую ДПСК, уравнение Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 можно привести к одному из следующих 9 видов (см. таблицу).

Классификация алгебраических кривых второго порядка Номер вида Уравнение кривой Название кривой Рисунок кривой Эллиптический тип кривой (AB > 0) 1

(a > b > 0) Эллипс 2 Точка 3 Мнимый эллипс Гиперболический тип кривой (AB 0) Парабола 7 y2 = b2 Пара параллельных прямых (вырожденная парабола) 8 y2 = -b2 Пара мнимых паралельных прямых 9 y2 = 0 Пара совпадающих параллельных прямых Уравнения 1-5 относятся к случаю центральной кривой, так как каждое из них описывает либо пустое множество, либо множество, имеющее единственный центр Наш анализ показывает, что из всех алгебраических кривых второго порядка интерес представляют только эллипс, гипербола и парабола (прямые мы рассматривали ранее). Эти кривые действительно обладают рядом замечательных свойств, которые используются в технике. Отметим важнейшие из них.

II ЭЛЛИПС (a > b > 0) 1. Эллипс имеет центр симметрии - начало координат O(0,0).

2. Эллипс имеет две оси симметрии - оси координат.

3. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами - A1(-a,c), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b) (4 вершины).

4. Отрезок A1A2 называется большой осью эллипса, длина этой оси равна 2a; аналогично, отрезок B1 B2называется малой осью эллипса, длина малой оси 2b (2b 2c).

6. Эксцентриситетом эллипса называется число ? = c/a.

Заметим, что эксцентриситет эллипса ? 0, b > 0) 1. Гипербола имеет центр симметрии - начало координат т.O(0,0).

2. Гипербола имеет две оси симметрии - оси координат.

3. Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы. В отличие от эллипса гипербола имеет 2 вершины: A1(-a, 0) и A2(a, 0) - т.е. гипербола пересекает только одну ось симметрии.

4. Отрезок A1A2 называется действительной осью гиперболы, длина действительной оси равна 2a. Точки B1(0, -b) и B2(0, b) лежат на оси симметрии, которую гипербола не пересекает. Отрезок B1B2 называется мнимой осью гиперболы, длина мнимой оси равна 2b .

Все сказанное далее в предыдущем разделе II п.4 для эллипса, касающееся полуосей и терминологии, относится и к гиперболе.

5. Точки, лежащие на продолжении действительной оси гиперболы F1(-C, 0) и F2(C, 0), где , называются фокусами гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы: для любой точки M, лежащей на гиперболе ||F1M| - |F2M|| = 2a, т.е. гипербола является множеством точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости, фокусов, есть величина постоянная, равная 2a > 0.

6. Эксцентриситетом гиперболы называется число ? = C/a.

Заметим, что эксцентриситет гиперболы ? > 1.

7. Прямые z1: x = - a/? и z2: x = a/? перпендикулярные действительной оси гиперболы, называютсядиректрисами.

Директориальное свойство гиперболы дословно формулируется так же, как и для эллипса, только ? 0) 1. Парабола в отличие от эллипса и гиперболы, не имеет центра симметрии, т.е. не относится к центральным кривым.

2. Парабола имеет одну ось симметрии - ось абсцисс.

3. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной - т. О(0,0), т.е. парабола имеет одну вершину.

4. Число p > 0 называется параметром параболы.

5. Точка , лежащая на оси симметрии параболы и отстоящая от ее вершины на p/2, называется фокусом параболы.

6. Прямая , перпендикулярная оси параболы и отстоящая от ее вершины на p/2, называетсядиректрисой параболы. Заметим, что фокус лежит "внутри" параболы, а директриса "вне" ее, т.е. фокус и директриса лежат по разные стороны от параболы, как и в случае эллипса и гиперболы.

Директориальное свойство параболы: для любой точки M, лежащей на параболе, |FM| = ?(M,L), т.е. |FM| /?M(L) = 1 и можно считать, что эксцентриситет параболы ? = 1. Таким образом, парабола занимает промежуточное положение между эллипсом, у которого ? 1.

Замечание. Директориальное свойство является определяющим для параболы так же , как и для эллипса, и для гиперболы.

7. Оптическое свойство параболы: луч, идущий из фокуса, отразившись от параболы, идет параллельно оси параболы, т.е. параболическое зеркало дает параллельный пучок света, если источник поместить в фокус параболы.

На рис. 7.3 изображена парабола с ее замечательными точками и прямыми.

Рис. 7.3 Парабола

Замечание. Форма параболы хорошо известна из школьного курса, так как парабола является графиком квадратного трехчлена.

7.3 Содержание типового расчета

Четыре алгебраические кривые второго порядка заданы уравнениями вида

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0.

Определить тип каждой кривой, найти ее основные параметры и сделать чертеж.

7.4 Пример выполнения типового расчета

Условие типового расчета

Уравнения кривых заданы таблицей из коэффициентов.

№ п/п A B C D E 1 25 -36 -50 -72 3589 2 0 2 -16 6 -23 3 2 3 -12 6 21 4 2 1 -4 0 0 Приведем решения первых трех задач, указанных в задании.

Задача 1.

1. По условию, уравнение имеет вид: 25x2 - 36y2 - 50x - 72y + 3589 = 0.

2. Так как AB = 25·(-36) 1.

6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых сначала в ДПСК X?O?Y?, затем, пользуясь формулами (7.12), в данной ДПСК XOY.

a) Следовательно, координаты центра гиперболы O' в данной ДПСК XOY будут (1,-1).

b) Уравнения осей симметрии. Как мы уже отмечали, наша гипербола имеет действительную ось - ось O'Y' : x'= 0 и мнимую ось - ось O'X' : y' = 0 . С учетом (7.12) уравнение действительной оси x = 1, аналогично,уравнение мнимой оси: y = -1.

с) Вершины:

В системе X'O'Y'

, где ; , где ;

отсюда, в системе XOY, A1 (X1,Y1) = A1(1; -11), A2(X2, Y2) = A2(1; 9).

d) Фокусы. В системе X'O'Y' :

Отсюда в системе XOY : F1(-1; -16,6); F2(1; 14,6).

e) Директрисы.

L1 : y = -7,4; L2: y = 5,4.

f) Асимптоты.

. x - 1,2y - 2,2 = 0.

. x + 1,2y + 0,2 = 0.

?1 : x - 1,2y - 2,2 = 0; ?2 : x + 1,2y + 0,2 = 0.

7 Сводка полученных результатов

Данное уравнение кривой 25x2 - 36y2 - 50x - 72y + 3589 = 0 Уравнение кривой относительно ДПСК X'O'Y'

(после параллельного переноса) Название кривой Гипербола Полуоси Действительная полуось a = 10

Мнимая полуось b = 12 Расстояние от центра до фокуса Эксцентриситет Связь между координатами точки (X,Y )

и (X',Y' ) ;

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ Координаты в ДПСК X'O'Y' Координаты в ДПСК XOY Центр O' (0, 0) (1, -1) Вершины

A1 A2 (0; -10)

(0; 10) (1; -11)

(1; 9) Фокусы

F1 F2 (0; -15,6)

(0; 15,6) (1; -16,6)

(1; 14,6) ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Уравнение в ДПСК X'O'Y' Уравнение в ДПСК XOY Оси Действительная Мнимая

x' = 0

y' = 0 x = +1 y = -1 Директрисы

L1 L2 y' = -6,4

y' = 6,4 y = -7,4

y' = 5,4 Асимптоты

?1 ?2 x' = 1,2y'

x' = -1,2y' x - 1,2y - 2,2 = 0

x + 1,2y + 0,2 = 0 8. На рисунке 7.4 изображена гипербола.

Рис. 7.4 Гипербола

Задача 2.

1. По условию уравнение имеет вид

y2 - 16x + 6y - 23 = 0.

2. Так как AB = 0 ·1 = 0, то это уравнение параболического типа (см. 1, п.2); далее, так как C ? 0 (см. 1, п. 2.1), то это уравнение определяет параболу.

3. Выделим полный квадрат:

(y2 + 6y + 9) = 16x + 23 + 9; (y + 3)2 = 16(x + 2).

4. Перейдем к новой ДПСК X'O'Y'

(7.14) тогда наше уравнение примет вид: (y')2 = 16x'.

5. Найдем параметр: 2p = 16, p = 8.

6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых:

а) Вершина (См. (14)). O'(-2; -3).

b) Уравнение оси: y' = 0, y + 3 = 0, т.е. y = -3.

c) Координаты фокуса F(p/2,0):

F(2, -3). d) Уравнение директрисы: z : X' = -p/2; X' = -4; X + 2 = -4 или X = -6.

Сводка полученных результатов

Данное уравнение y2 - 16x + 6y - 23 = 0 Уравнение кривой относительно ДПСК X'O'Y'

(после параллельного переноса). (y')2 = 16x' Название кривой Парабола Параметр p = 8 Эксцентриситет ? = 1 Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ Координаты в ДПСК X'O'Y' Координаты в ДПСК XOY Вершина O' (0, 0) (-2, -3) Фокус F (4, 0) (2, -3) ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Уравнение в ДПСК X'O'Y' Уравнение в ДПСК XOY Ось y' = 0 y = 3 Директриса x' = -4 x' = -6 8. На рисунке 7.5 изображена парабола.

Рис. 7.5 Парабола

Задача 3.

1. По условию уравнение имеет вид:

2x2 + 3y2 - 12x + 6y + 21 = 0.

2. Так как A · B = 2 · 3 > 0, то уравнение эллиптического типа (см. 1, п. 1.1), следовательно, оно может определять либо эллипс, либо пустое множество (мнимый эллипс), либо точку.

3. Выделим полные квадраты:

2(x2 - 6x + 9) + 3(y2 + 2y + 1) - 18 - 3 +21 = 0;

2(x - 3)2 + 3(y + 1)2 = 0.

Точка с координатами (3, -1)

Замечание. Мы ограничились разбором решения только трех задач, однако это дает представление о выполнении работы в целом.

7.5 Порядок оформления работы

1. Все результаты каждой задачи должна быть сведены в таблицу, как это сделано в примерах. Таблица должна содержать каноническое уравнение и название кривой, основные числовые характеристики кривой (полуоси, расстояние от центра до фокусов, параметр, эксцентриситет), формулы, связывающие координаты точки относительно рассматриваемых ДПСК, координаты замечательных точек (центра, вершин, фокусов) и уравнения замечательных прямых (осей симметрии, директрис, асимптот) относительно всех рассматриваемых ДПСК.

2. Если рассматриваемая кривая - эллипс, то нужно сформулировать его основные замечательные свойства: фокальное, директориальное и оптическое, аналогично для гиперболы и параболы.

3. Решение задачи завершается аккуратно сделанным рисунком кривой в данной ДПСК.

В заключение отметим, что работа должна содержать не только ответы на вопросы, поставленная в задании, но и все вычисления, на основании которых сделаны выводы.

Показать полностью…
504 Кб, 2 декабря 2013 в 10:33 - Россия, Москва, НИТУ МИСиС, 2013 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении