Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 043093 из НИТУ МИСиС

2 Решение матричных уравнений

2.1 Цель работы

1. Нахождение обратной матрицы.

2. Решение матричного уравнения c помощью обратной матрицы.

2.2 Теоретическое введение

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. При сложении матриц складываются их соответствующие элементы,а при умножения матрицы на число на него умножается каждый элемент этой матрицы.

. (2.1) Произведение матрицы A на матрицу B определено только в том случае, когда число столбцов матрицы Aравно числу cтрок матрицы B. В результате умножения получается матрица C = A · B, у которой столько же строк, сколько в матрице A, и столько же столбцов, сколько в матрице B :

Матрица A B C = A·B Число строк m n m Число столбцов n l l

Запишем матрицы A и B в виде

. Обозначим элементы матрицы C = A · B через c, .

Тогда . По определению элемент ci j , матрицы C = A · B равен скалярному произведению i-й строки матрицы A (i - первый индекс элемента ci j ) на j-й столбец матрицы B ( j - второй индекс элемента ci j ), т.е.

ci j = (ai 1 , ai 2 ,..., ai n ) · (b1 j , b2 j ,..., bn j ) = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ...+ ai n · bn j (2.2) Наряду с матрицей A будем рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы A. Эту матрицу называют транспонированной к A и обозначают через AT .

Совокупность элементов a11, a22 , ..., an n , квадратной матрицы A = (ai j ), n = m, называется главной диагональю матрицы.

Матрица, у которой моменты, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные равны нулю, называется единичной матрицей, и обозначается буквой E. Так, единичная матрица 3-го порядка имеет вид

. Единичная матрица обладает замечательным свойством:

умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную не меняет исходную матрицу т.е. A · E = E · A = A. Это свойства и объясняет ее название.

Матрица A-1 называется обратной матрицей к квадратной матрице A, если

A·A-1 = A-1·A = E (2.3) Если определитель |A| квадратной матрицы A не равен нулю, то существует и, притом единственная, матрицаA-1.

Правило нахождения обратной матрицы

Дополнительным минором Mi j к элементу ai j квадратной матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы n - 1-го порядка, которая получается из матрицы A путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца (на пересечении которых стоит элемент ai j ).

Алгебраическим дополнением Ai j , элемента ai j называется величина

Ai j = (-1)i+j· Mi j .

Через Av обозначим матрицу (называемую присоединенной к матрице A ), элементами которой являются алгебраические дополнения Ai j :

Av = (Ai j );

Тогда обратная матрица A-1 находится по формуле:

(2.4) Для матрицы A третьего порядка (3х3) обратная матрица A-1 имеет вид:

. В типовом расчете рассматриваются матричные уравнения двух типов: X · A = B и A · X = B, где A - квадратная матрица с |A| ? 0.

Рассмотрим сначала уравнение X · A = B. Умножим обе части этого уравнения справа на матрицу A-1, тогда по определению обратной матрицы уравнение X · A · A-1 = B · A-1 равносильно уравнению

X · E = B · A-1 или X = B · A-1 (2.5)

Если в условии варианта дано уравнение A · X = B, то умножим обе части этого уравнения слева на матрицуA-1, тогда уравнение A-1 · A · X = A-1 · B равносильно уравнению

E · X = A-1 · B или X = A-1 · B (2.6) 2.3 Содержание типового расчета

Заданы квадратная матрица A и прямоугольная матрица B. Решить матричное уравнение вида X · A = B или A · X = B, где X - искомая матрица. Конкретный вид уравнения задан в каждом варианте. Провести поэтапный контроль: расчета обратной матрицы A-1 умножением A на A-1; найденного решения X подстановкой в исходное уравнение.

2.4 Пример выполнения типового расчета

Условие типового расчета Вариант

Уравнение Матрица A Матрица B 930207

A * X = B -2 -8 11 -14 7 16 -10 -11 -16 6 -297 -366 122 159 -52 Выполнение типового расчета

1. Найдем обратную матрицу A-1 по формуле (4)

При вычислении определителя использовано разложение его по первой cтроке. Получившиеся определители второго порядка упрощены вынесением общего множителя из какой-либо строки или столбца. Затем найдем матрицу алгебраических дополнений:

. Тогда

Для удобства дальнейших расчетов не будем умножать матрицу на множитель, стоящий перед ней.

Проведем контроль расчетов, для этого перемножим матрицы A и A-1. Если расчеты проведены верно, результатом должна быть единичная матрица.

При умножении использована удобная форма записи, при которой вторая матрица-сомножитель записывается правее и ниже первой, а правее первой и выше второй записывается результат умножения. При такой записи каждое число матрицы-результата стоит на пересечении той строки первой матрицы и того столбца второй матрицы, скалярное произведение которых дает искомое число.

3) Решение X уравнения A · X = B найдем по формуле (2.5).

X = B · A-1 =

X = . Теперь подставим матрицу X в исходное уравнение для проверки полученного результата:

X · A = B X·A = = B 2.5 Оформление отчета

В отчете по ТР должны быть представлены: расчет обратной матрицы A-1, проверка ее умножением матриц Aна A-1, расчет искомой матрицы X, проверка найденного результата подстановкой матрицы X в исходное уравнение.

В ответе необходимо записать определитель матрицы A и матрицу X :

|A| = 5408 .

Показать полностью…
188 Кб, 2 декабря 2013 в 10:35 - Россия, Москва, НИТУ МИСиС, 2013 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении