Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 046110 из МГСУ НИУ (МГСУ-МИСИ)

Клашанов Федор Константинович

Лекция №1 12.02.13

Испытания и события

Событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти либо не произойти.

Совокупность условий S осуществлена или равносильна, произведено иcспытание.

Событие будем рассматривать как результат испытания.

Пример:

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 области.

Выстрел - испытание.

Попадание в определенную область мишени - событие.

Результат испытания - элемент выборки, а множество всех возможных элементов определяет выборочное пространство.

Событием называется подмножество выборочного пространства.

Элементарное (простое) событие - один элемент выборочного пространства.

Сложное событие - состоит более чем из одного элемента.

Графически выборочное пространство можно представить деревом событий

Пример:

В урне имеются цветные шары, из них на удачу берут 1 шар.

Излечение шара из урные - испытание.

Появление шара определенного цвета - событие.

Виды случайных событий

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном итом же испытании.

Пример: Брошена монета.

Появление "герба" исключает появление "надписи".

События - появился "герб" и появилась "надпись" - несовместны.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Появление хотя бы одного из событий полной группы - достоверное событие.

Если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Классическое определение вероятности

Вероятность :

* число, характеризующее степень возможностей появления события.

* количественный способ учета неопределенности.

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу называют вероятностью события А.

m - число благоприятствующих событию А;

n - общее число.

Примечание:

Предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Свойства вероятностей

1. вероятность достоверного события = 1

2. вероятность невозможного события = 0

3. вероятность случайного события - положительное число от 0 до 1

Относительная частота

* принадлежит к основным понятиям теории вероятности.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

m - число появления события;

n - общее число испытаний;

Чем больше n, тем больше W стремится к P.

Определение вероятности не требует проведения испытания в действительности, т.е. не вероятность вычисления до опыта, а относительную частоту после опыта.

Из наблюдения следует, что если в одинаковых условиях произведены опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.

Теорема сложения вероятностей

Суммой A+B называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих этих событий, т.е. появление хотя бы одного из этих событий.

Теорема:

Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство:

* доказать методом полной математической индукции.

Если число несовместных событий, входящих в сумму будет бесконечно большим, то распространение правила сложения вероятностей на этот случай распространяется аксиоматически.

Аксиома:

Вероятность суммы бесконечно большого числа несовместных событий = сумме вероятностей этих событий.

Следствия:

1) если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

2) Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Теорема умножения вероятностей

Событие А называется независимым по отношению к событию В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. В противном случае событие А называется зависимым от события В.

События, ни коем образом не влияющее друг на друга, называется независимыми событиями. А события не являющиеся взаимоисключающими влияют друг на друга.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из 2 совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Доказательство:

Для наступления события А, достаточно, чтобы произошло хотя бы одно из следующих несовместных событий: A*B или неА*B. Аналогично для наступления события B.

Лекция №2 19.02.13

Математически условие независимости события А от события В записывают в виде :

Теорема:

Вероятность произведения для совместного наступления нескольких событий равна произведению вероятностей одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленные в предположении, что все предшествующие события имели место.

Доказательство:

Для доказательства теоремы применим метод полной метаматической индукции. Пусть теорема имеет место для n-1 события:

Введем событие С как произведение n-1 событий:

тогда в силу аксиомы умножения веротностей запишем, что

ч.т.д.

Следствие 1:

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство:

Т.к. событие А не зависит от В, то

На основании аксиомы умножения вероятностей:

Из следствия 1 вытекает, что понятие завсимости и независимости событий взаимно. В связи с этим можно дать новое определение, независимых событий.

Два события называются незавсимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий, содержащая либо все остальные события, либо часть из них есть события независимые.

Если независимы в совокупности, то

будут независимыми.

Следствие 2:

Вероятность произведения независимых совокупностей событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

Формула сложения n событий

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий , составляющих полную группу. События такого рода обычно называют гипотезами. Известно также условные вероятности наступления события А при составлении каждой из указанных гипотез.

Вероятность события А определяется по следующей теореме:

Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной и гипотез равна сумме парных произведений вероятностей каждой из этих гипотез на отвечающее им условие вероятности наступления события А.

Эта формула носит название функции полной вероятности&

Доказательство:

Т.к. гипотезы образуют полную группу, то событие А можно представить в виде следующей суммы событий:

Т.к. события не совместны, то и событие также несовместно. Это позволяет применить для определения вероятности события А теорему сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность произведения находится по аксиоме умножения вероятностей :

ч.т.д.

Теорема гипотез (формула Бейеса)

До сих пор мы рассматривали вероятности событий до испытаний, т.е. в комплексе условий не фигурировал результат проведения опыта.

Решим следующую задачу: Имеется полная группа несовместных гипотез . Известны вероятности каждой из гипотез . Производится опыт и в его результате осуществляется некоторое событие А, вероятности которого по каждой из гипотез известны . Найти какие вероятности меют гипотезы в связи с появлением события А, т.е. найти условные вероятности .

Теорема гипотез:

Верояность гиопотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:

Доказательство:

На основании аксиомы умножения вероятностей

Разрешая это уравнение относительно .

Выражая P(A) получим (1) ч.т.д.

Если все гипотезы до испытания имеют одинаковую вероятность, т.е. , то формула Бейеса принимает вид :

Лекция №3 26.02.13

Случайные величины

События являются качественной характеристикой случайного результата опыта. Случайный результат можно характеризовать и количественно. Количественной характеристикой случайного результата опыта является случайная величина.

Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное, но только одно значение, причем заранее до опыта неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначаются обычно заглавными буквами конца латинского алфавита (X,Y,Z,W...), а их возможные значения малыми буквами {}. Среди случайных величин можно выделить 2 основных типа:

* дискретные случайные величины (величина, число возможных значений которой либо конечно либо бесконечно, но четное множество)

* непрерывные случайные величины

Случайная величина является абстрактным выражением случайного события. Каждое событие А можно связать некоторую характеристическую случайную величину.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Пусть производится несколько испытаний, в результате которых может появиться событие А с определенной вероятностью. Если вероятность А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания - независимые относительно события А.

Пусть требуется определить вероятность того, что в результате проведения n независимых испытаний некоторое событие А наступит ровно m раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с постоянной вероятностью Р(А)=p. Определить вероятность того, что в результате n независимых испытаний некоторое событие А наступит ровно m раз, если в каждом из этих испытаний событие наступает с постоянной вероятностью.

Решение: Искомую вероятность будем обозначать или . Непосредственное применение теорем сложения и умножения вероятностей для решения поставленной задачи с увеличением числа испытаний, приводит к очень грамостким вычислениям, поэтому возникает необходимость применения менее долгоемких способов расчета. Один из таких способов основан на применении формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли:

Предположим, в одинаковых условиях производится n незавсимых испытаний, результатом каждого из которых может быть наступление события А с вероятностью P(A)=p либо ему противоположного c вероятностью P()=1-p.

Обозначим через наступление события А в i-том испытании. В силу постоянства условий испытания:

Вероятность того, что событие А при n испытаниях наступает ровно m раз, а в оставшихся n-m испытаниях наступит ему противоположное . При этом событие А в n испытаниях может появиться ровно m раз в разных последовательностях, число которые равно .

Событие В - это событие, при котором событие А наступит ровно m раз

По условию испытания независимы. Это значит, что независимые события, входящие в эту комбинацию, поэтому используюется теорема умножения для независимых событий, получим:

Т.к. все комбинации событий подобные комбинации В являются несовместными событиями и нам безразлично в какой именно последовательности появится событие А и в какой именно последовательности появится , то применяя теорему сложения вероятностей:

- Формула Бернулли

Формула Бернулии применяется в задачах, связанных с повторением опыта при одинаковых условиях. Т.к. события, состоящие в различном числе появления А в серии из n испытаний несовместны и образуют полную группу, то сумма вероятностей из n по m

Биноминальное распределение позволяет ввести для вычисления вероятностей возможно числа наступлений события А серии из n независимых испытаний, так называемую, производящую функцию:

Эта функция обладает тем свойством, что коэффициент при в этом разложении равен вероятности наступления события А ровно m раз из n независимых испытаний, проводимых в постоянных условиях.

Если условия переменны:

Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется число, для которого вероятность превышает n по крайней мере не меньше вероятности каждого из остальных возможных исходов.

Следствие из формулы Бернулли:

Показать полностью…
758 Кб, 4 марта 2013 в 20:27 - Россия, Москва, МГСУ НИУ (МГСУ-МИСИ), 2013 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении