Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 050741 из РГУТиС (бывш. МГУС)

Глава 1. Введение в анализ

1. Функция

Понятие функции - одно из основных в современной математике. Возможность выражения зависимостей между различными величинами через математические функции является важным средством при решении теоретических и прикладных задач.

1.1. Понятие функции. Область определения функции

Переменная величина называется функцией переменной величины , если каждому значению (которое она может принимать) соответствует единственное значение . Переменная величина при этом называется независимой переменной или аргументом функции. Обозначения функции: , , , и т.п. Функцию и её аргумент можно обозначать и другими буквами.

Множество всех значений аргумента, при которых функция принимает определённые действительные значения, называется областью определения этой функции. Множество всех значений функции называется областью её значений.

Значение, которое функция принимает при , обозначается .

Корнем или нулём функции называется значение аргумента , при котором.

Если , - функции своих аргументов, причём область определения функции содержит область значений функции , то каждому из области определения функции соответствует единственное , такое что , где . Функция заданная подобным образом, обозначается и называется функцией от функции или сложной функцией.

1.2. График функции

Графиком функции называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, т.е. множество точек .

Графики суммы, разности, произведения и частного функций: , , , , получаются из графиков функции и соответственно путём их сложения, вычитания, умножения и деления.

2. Предел

При решении разного рода задач широко используются понятия предела функции и предела последовательности.

2.1. Предел последовательности

Числовой последовательностью или последовательностью называется функция

, , заданная на множестве натуральных чисел. Каждое значение , , называется элементом последовательности, а число - его номером. Для последовательности с общим членом употребляются следующие обозначения: , , , .

Постоянная называется пределом последовательности , если для любого числа существует такой номер , что при всех выполняется неравенство

.

Обозначения предела последовательности : ; при .

Если последовательности и имеют пределы, то пределы их суммы, разности, произведения и частного существуют и определяются по формулам:

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

, . (2.4)

2.2. Предел функции

Постоянная называется пределом функции при (или в точке ), если для любого числа существует такой число , что при всех , удовлетворяющих условию

,

выполняется неравенство

. Обозначения предела функции : ; при .

Рассматриваются также односторонние пределы функции: предел слева ( стремится к , оставаясь меньше ) и предел справа ( стремится к , оставаясь больше ). Если односторонние пределы равны и равны , то предел функции в точке существует и равен . Если односторонние пределы функции различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции в соответствующей точке.

Если , то

. (2.5)

Если функции и имеют пределы при , то:

, (2.6)

, (2.7)

, . (2.8)

Из формулы (2,7) следует, что:

, , (2.9)

, (2.10)

, (2.11)

где - натуральное число.

. (2.12)

2.3. Некоторые важные пределы

Широко используются два замечательных предела.

1. Если угол выражен в радианах, то

. (2.13)

2. Числом называется предел

или . (2.14)

При нахождении многих пределов применяются также другие важные пределы:

, (2.15)

, (2.16)

, (2.17)

, (2.18)

. (2.19)

3. Непрерывность функции. Точки разрыва

Важное свойство непрерывности функции применяется при построении различных математических теорий и решении практических задач.

3.1. Непрерывные функции

Функция , определённая на интервале , называется непрерывной в точке , если

(т.е. предел функции равен её значению при предельном значении аргумента).

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции (критерий непрерывности функции):

. (3.1)

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Сумма и произведение двух функций, непрерывных в некотором промежутке, есть функция, непрерывная в том же промежутке.

Частное двух функций, непрерывных в некотором промежутке, есть функция, непрерывная при всех значениях аргумента из этого промежутка, для которых делитель не равен нулю.

Теорема о непрерывности сложной функции: если - функция, непрерывная на отрезке , причём её значения принадлежат отрезку , - функция, непрерывная на отрезке , то сложная функция непрерывна в промежутке .

3.2. Точки разрыва функции

Рассмотрим функцию , определённую на интервале , кроме, может быть, точки . Точка называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке.

Если - точка разрыва функции и существуют конечные пределы , , , то она называется точкой разрыва первого рода.

Величина называется скачком функции в точке .

Если - точка разрыва функции и , то она называется точкой устранимого разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или является бесконечным, то называется точкой разрыва второго рода.

3.3. Гиперболические функции

Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс определяются соответственно формулами:

, (3.2)

, (3.3)

, .

Основные формулы для гиперболических функций:

, , .

Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

4. Производная и дифференциал

Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

. Функция, имеющая конечную производную,

называется дифференцируемой.

Операция нахождения производной называется

дифференцированием.

Геометрический смысл производной:

производная функции при равна

угловому коэффициенту касательной к графику

данной функции в точке , т.е. , где - угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат (рис. 4.1).

Механический смысл производной: для функции , меняющейся со временем t, производная при есть скорость изменения функции в данный момент времени , т.е. , где - скорость в момент времени .

4.1. Производные степенных, тригонометрических, гиперболических функций

Если - дифференцируемые функции аргумента х, с - постоянная величина, то основные правила дифференцирования выражаются формулами:

, где , (4.1)

, (4.2)

, (4.3)

, , , (4.4)

, . (4.5)

Основные формулы для производных степенных, тригонометрических и гиперболических функций:

, , , , (4.6)

, , , , (4.7)

, , , .

4.2. Производная функции от функции

Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции) существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной :

. (4.8)

4.3. Производные показательных и логарифмических функций

Основные формулы:

, , ,

, . Если - дифференцируемая функция, то:

, , (4.9)

,

, . (4.10)

4.4. Производные обратных тригонометрических функций

Основные формулы:

, ,

, . Если - дифференцируемая функция, то:

, (4.11)

, (4.12)

, . (4.13)

4.5. Производные неявных функций и функций, заданных параметрически. Производная функции

Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной .

Если функция задана параметрически:

, , ,

где , - дифференцируемые функции и , то её производная определяется формулой

. (4.14)

Производная степенно-показательной функции , где - дифференцируемые функции от , находится с помощью предварительного логарифмирования.

4.6. Производные высших порядков

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от её производной (которую в дальнейшем будем называть первой производной).

Обозначения второй производной:

, . Механический смысл второй производной: если - закон прямолинейного движения точки, то - ускорение этого движения в момент времени t.

Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвёртого и более высоких порядков:

, , ..., .

4.7. Дифференциал функции

Дифференциалом функции называется произведение её производной на приращение независимой переменной:

или , (4.15)

так как . Из второй формулы следует, что .

При достаточно малых справедлива приближённая формула

или . (4.16)

5. Приложения производной

С помощью производной можно находить многие пределы (раскрывать соответствующие неопределённости), исследовать функции и строить их графики, решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций. Производная применяется также при численном решении уравнений.

5.1. Правило Лопиталя - Бернулли

Если и - дифференцируемые бесконечно малые или бесконечно большие функции при , то

. (5.1)

Формулой (5.1) и выражается правило Лопиталя - Бернулли: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует или равен бесконечности.

Правило это применимо и в случае, когда .

5.2. Касательная и нормаль к плоской кривой. Кривизна кривой

Касательной к кривой в точке называется прямая - предельное положение секущей , при условии, что точка стремится к вдоль данной кривой (рис. 5.1).

Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной в точке (рис. 5.1).

Уравнение касательной к кривой в точке :

. (5.2)

Уравнение нормали к кривой в точке :

. (5.3)

Углом между кривыми в их общей точке называется угол касательными к этим кривым в точке .

Кривизной кривой в её точке называется предел модуля отношения угла между касательными в точках и к длине дуги при (рис. 5.2), т.е.

,

где угол выражен в радианах.

Кривизна кривой вычисляется по формуле

. (5.4)

5.3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Функция называется возрастающей (рис.5.3, а) в некотором промежутке, если для любых точек и , принадлежащих данному промежутку, из неравенства следует неравенство .

Функция называется убывающей (рис.5.3, б) в некотором промежутке, если для любых точек и , принадлежащих данному промежутку, из неравенства следует неравенство .

Достаточное условие возрастания (убывания) функции: если в некотором промежутке производная данной функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке, если отрицательна, то функция убывает в этом промежутке.

Максимумом функции называется такое её значение , которое больше всех других её значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от неё (рис. 5.4, а), т.е. .

Минимумом функции называется такое её значение , которое меньше всех других её значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от неё (рис. 5.4, б), т.е. .

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Значения аргумента функции, при которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Достаточное условие экстремума (первое правило): если в точке производная функции обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, - экстремум функции, причём: 1) функция имеет максимум в точке , если знак производной меняется с плюса на минус (т.е. при , при , ); 2) функция имеет минимум в точке , если знак производной меняется с минуса на плюс (т.е. при , при , ).

Достаточное условие экстремума (второе правило): если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то - точка экстремума, причём: 1) - точка максимума, если ; 2) - точка минимума, если .

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке , необходимо вычислить значения её максимумов на этом отрезке, значения функции на его концах, т.е , , и из полученных чисел выбрать самое большое.

Аналогично находится наименьшее значение функции.

5.4. Направления вогнутости кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой

График функции называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке , если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной, проведённой в любой точке этой дуги (рис. 5.5).

График функции называется вогнутым вниз (или выпуклым вверх) в промежутке , если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной, проведённой в любой точке этой дуги (рис. 5.6).

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) кривой: если вторая производная функции положительна в промежутке , то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке; если вторая производная функции отрицательна в промежутке , то график этой функции вогнут вниз в данном промежутке.

Точкой перегиба непрерывной кривой называется такая её точка (рис. 5.7), при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот (относительно одного и того же направления, например, вниз).

Достаточное условие точки перегиба: если вторая производная функции в точке равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку, то - точка перегиба графика этой функции.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат (рис 5.8). различают асимптоты вертикальные и невертикальные.

Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке является бесконечным, т.е.

или , (5.5)

то прямая называется вертикальной асимптотой графика этой функции.

Если в правой части уравнения можно выделить линейную часть

, (5.6)

где при , то прямая называется невертикальной асимптотой графика функции .

Если существуют пределы:

, , (5.7)

то уравнение определяет невертикальную асимптоту графика функции .

Если существуют пределы:

, , (5.8)

то уравнение определяет другую невертикальную асимптоту графика функции .

Если линия задана параметрическими уравнениями , , то сначала выясняют, имеются ли значения параметров, при которых одна из функций обращается в бесконечность, а другая остаётся конечной. При , кривая имеет асимптоту ; при , - вертикальную асимптоту .

Если , причём

, , (5.9)

то линия имеет асимптоту, уравнение которой .

5.5. Исследование функций и построение их графиков

Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции, точки её разрыва.

2. Исследовать изменение функции при , стремящемся к концам промежутков области определения и точкам разрыва.

3. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции.

4. Вычислить значения экстремумов, построить соответствующие точки.

5. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, найти точки перегиба.

6. Найти точки пересечения графика функции с координатными осями.

7. Найти асимптоты графика функции.

Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной

6. Неопределённый интеграл

Первообразной функцией для функции называется такая функция , производная которой равна данной функции, т.е.

.

Неопределённым интегралом от непрерывной функции или от дифференциального выражения называется совокупность всех первообразных функций :

, где . Функция называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла:

1. производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

, ; 2. неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

, ; 3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

, ; 4. неопределённый интеграл от алгебраической суммы непрерывных функций равен соответствующей алгебраической сумме неопределённых интегралов от слагаемых:

. 6.1. Непосредственное интегрирование

Таблица основных неопределённых интегралов:

, , (6.1)

, , (6.2)

, ,

, , , , , ,

. (6.3)

Метод непосредственного интегрирования основан на свойстве 4 неопределённого интеграла.

6.2. Метод подстановки

В основе интегрирования путём введения новой переменной (метод подстановки) лежит формула

, где - дифференцируемая функций от .

Если , где , то

,

где - любая дифференцируемая функция от . Последняя формула даёт возможность значительно расширить таблицу простейших неопределённых интегралов, заменив на в каждой из формул этой таблицы.

6.3. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям выполняется по формуле

, (6.4)

полученной из равенства .

6.4. Интегрирование некоторых функций,

содержащих квадратный трёхчлен

Интеграл

сводится к одному из следующих интегралов:

, (6.5)

. (6.6)

Интеграл

можно привести к интегралу (6.5) или (6.6) и к интегралу

. Интеграл

сводится к одному из следующих интегралов:

, . (6.7)

Интеграл

сводится к одному из следующих интегралов:

, . (6.8)

6.5. Интегрирование рациональных функций

Неопределённый интеграл от целой рациональной функции (многочлена) находится непосредственно:

. При нахождении интегралов от дробных рациональных функций, т.е. функций вида

, предварительно выделяют целую часть путём деления, а остаток - правильную рациональную дробь - представляют в виде суммы элементарных дробей:

, , где - действительные числа и (квадратный трёхчлен не имеет действительных корней); - натуральные числа.

Знаменатель остатка (многочлен ) разлагают на множители вида , , а сам остаток в соответствии с полученным разложением - на сумму элементарных дробей следующим образом:

. (6.9)

Значения находятся методом неопределённых коэффициентов.

6.6. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида:

, ,

находятся с помощью тригонометрических формул:

, , . Интегралы вида

, где - чётные числа, находят с помощью формул:

, , .

Если хотя бы одно из чисел или нечётное, то предварительно от нечётной степени отделяется множитель и вводится новая переменная. В частности, если , то

. Интегралы вида

, где - рациональная функций, приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки

, (6.10)

при этом

, , . (6.11)

6.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы вида

, (6.12)

где - рациональная функций; - целые числа, с помощью подстановки

(6.13)

(здесь - наименьшее общее кратное чисел ) приводится к интегралу от рациональной функции.

Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл

,

где - рациональные числа; - постоянные, отличные от нуля, можно привести к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:

1) когда - целое число;

2) когда - целое число;

3) когда - целое число.

В первом случае интеграл находят путём разложения на слагаемые по формуле бинома Ньютона, если , или с помощью подстановки , где - общий знаменатель дробей и . Во втором случае интеграл вычисляются с помощью подстановки , где - знаменатель дроби . В третьем случае - с помощью подстановки .

6.8. Интегрирование гиперболических функций

Интегрирование гиперболических функций основано на формулах:

, ,

, . Интегралы от выражений с чётными степенями chx и shx находят с помощью формул:

, , . Интегралы от нечётных степеней chx и shx находят путём отделения множителя первой степени и введения новой переменной.

7. Определённый интеграл и его приложения

Пусть на отрезке определена функция . Разобьём на частей точками . В каждом из полученных элементарных отрезков длиной () произвольным образом выберем точку и составим сумму

.

Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке .

Обозначим через длину наибольшего из элементарных отрезков, т.е. .

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел её интегральной суммы в случае, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

.

Если функция непрерывна, то указанный предел существует и конечен.

Свойства определённого интеграла:

1. ; 2. ;

3. ;

4. ; 5. ;

6. , .

7.1. Вычисление определённого интеграла

Определённый интеграл от непрерывной функции в данном промежутке равен разности значений любой первообразной этой функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования:

, (7.1)

где . Замена переменной в определённом интеграле осуществляется по формуле

, (7.2)

где , , , - новая переменная; - новые пределы интегрирования.

Интегрирование по частям в определённом интеграле выполняется по формуле

.

7.2. Площадь плоской криволинейной фигуры

Площадь криволинейной трапеции (рис 7.1), ограниченной сверху графиком функции , слева и справа соответственно прямыми , , снизу осью , вычисляется по формуле

или .

Если функция задана параметрическими уравнениями: , , , то

.

Площадь криволинейной фигуры (рис. 7.2), ограниченной сверху и снизу соответственно , , слева и справа соответственно прямыми , , вычисляется по формуле

или . (7.3)

Площадь криволинейной трапеции (рис 7.3), прилежащей к оси , вычисляется по формуле

или , (7.4)

- уравнение дуги , ограничивающей трапецию справа; , - уравнения прямых, ограничивающих её соответственно снизу и сверху.

Площадь сектора (рис. 7.4), ограниченного дугой линии, заданной уравнением в полярных координатах и двумя полярными радиусами и , для которых соответственно , , вычисляется по формуле

. 7.3. Объём тела вращения. Длина дуги кривой.

Площадь поверхности вращения

Объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 7.7), где - дуга кривой , , вычисляется по формуле

или . (7.5)

Объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 7.8), где - дуга кривой , , вычисляется по формуле

или .

Длина дуги кривой , , вычисляется по формуле

или . Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: , , , вычисляется по формуле

или . Если кривая задана уравнением в полярных координатах , , то

.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой , , вычисляется по формуле

, (7.6)

где - дифференциал длины дуги.

В случае другого способа задания кривой площадь поверхности определяется по формуле (7.6) путём соответствующей замены переменных.

9

Показать полностью… https://vk.com/doc-30927695_24676289
1 023 Кб, 18 ноября 2011 в 15:07 - Россия, Москва, РГУТиС (бывш. МГУС), 2011 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении