Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 055176 из МПГУ (бывш. МГПИ им. Ленина) (до 2015)

Н.?И.?ГУСЕВА,?Н.?C.?ДЕНИСОВА,?O.?Ю.?ТЕСЛЯ

Сборник задач

по геометрии

в 2-х частях

Часть II

Рекомендовано УМО

по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальности "Математика"

КНОРУС •?МОСКВА?•?2016

УДК 514.18(075.8)

ББК 22.151.3я73

Г96

Рецензенты:

Л.Е. Евтушик, засл. проф. МГУ им. М.В. Ломоносова, д-р физ.-мат. наук,

В.Ф. Кириченко, заведующий кафедрой геометрии МПГУ, д-р физ.-мат. наук, проф.

Гусева Н. И.

Г96 Сборник задач по геометрии : в 2 ч. - Ч. II : учебное пособие / Н. И. Гусева, Н. C. Денисова, O. Ю. Тесля. - М. : КНОРУС, 2016. - 528 с. ISBN 978-5-406-04628-9

Содержит задачи по проективной геометрии, методам изображений, элементам топологии, многогранникам, дифференциальной геометрии, основаниям геометрии, геометрии Лобачевского, площади и объему, неевклидовым геометриям. Также включает основные теоретические положения и примеры решения основных типов задач по каждому разделу и задачи второй части курса геометрии по специальностям: "Математика", "Физико-математическое образование (бакалавриат)", "Математика (бакалавриат)" и "Информатика".

Для студентов математических и физико-математических факультетов педагогических вузов. Может быть использовано для очных и заочных форм обучения, а также для организации самостоятельной работы студентов.

УДК 514.18(075.8)

ББК 22.151.3я73

Гусева Надежда Ивановна

Денисова Наталья Серафимовна Тесля Оксана Юрьевна

СБоРНИК заДач по ГЕомЕтРИИ чаСть II

Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16604 от 07.07.2014.

Изд. № 9171. Формат 60?90/16.

Гарнитура "NewtonC". Печать офсетная.

Усл. печ. л. 33,0. Уч.?изд. л. 19,5. Тираж 200 экз. Заказ № Р-1831.

ООО "Издательство "КноРус".

117218, г. Москва, ул. Кедрова, д. 14, корп. 2.

Тел.: 8-495-741-46-28.

E-mail: office@knorus.ru http://www.knorus.ru

Отпечатано в ОАО "ТАТМЕДИА".

Полиграфическо-издательский комплекс "Идел-Пресс".

420066, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Декабристов, д. 2.

(c) Гусева Н. И., Денисова Н. C., Тесля О. Ю., 2016

ISBN 978-5-406-04628-9 (c) ООО "Издательство "КноРус", 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Глава 1. Проективное пространство

1.1. Центральное проектирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Понятие проективного пространства. Модели проективных

пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Координаты точек на проективной прямой и на проективной

плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Преобразование проективных координат точек на плоскости

и на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5. Уравнение прямой. Координаты прямой . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Принцип двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7. Теорема Дезарга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8. Сложное отношение четырех точек прямой . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9. Сложное отношение четырех прямых пучка . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10. Проективные преобразования плоскости. Гомология . . . . . . . . 40

1.11. Аналитическое выражение проективных преобразований

плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Вопросы к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Глава 2. Основные факты проективной геометрии

2.1. Полный четырехвершинник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2. Проективные отображения прямых и пучков . . . . . . . . . . . . . 63

2.3. Проективные преобразования прямой. Инволюции . . . . . . . . . 67

2.4. Аналитическое выражение проективных преобразований

прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5. Линии второго порядка. Проективная классификация линий

второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6. Касательная к линии второго порядка. Полюс и поляра . . . . . . . 74

2.7. Овальная линия второго порядка. Задачи на построение,

связанные с овальной линией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.8. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной

прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.9. Евклидова геометрия с проективной точки зрения . . . . . . . . . 100

2.10. Приложение проективной геометрии к решению задач

элементарной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Вопросы к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Глава 3. Методы изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.1. Параллельное проектирование. Изображение плоских фигур

в параллельной проекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Плоские аффинные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Плоские метрические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Изображение описанных и вписанных в данную окружность

многоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4•Оглавление

3.2. Изображение многогранников, цилиндра, конуса шара

в параллельной проекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.3. Аксонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.4. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи . . . . . 135

3.5. Построение сечений многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Построение сечения многогранника плоскостью,

проходящей через три данные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Построение сечения многогранника плоскостью,

параллельной данной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Построение сечения многогранника плоскостью,

параллельной данной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.6. Метрические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Построение перпендикуляра из точки на плоскость . . . . . . . 147 Построение сечения многогранника плоскостью,

перпендикулярной данной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Построение сечения многогранника плоскостью,

перпендикулярной данной прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Построение общего перпендикуляра двух скрещивающихся

прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.7. Задачи на комбинацию цилиндра, конуса и шара

с многогранниками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.8. Метод Монжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Вопросы к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Глава 4. Элементы топологии

4.1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.2. Топологические пространства. Открытые и замкнутые множества. Отделимость. Компактность. Связность . . . . . . . . 174

4.3. Непрерывность и гомеоморфизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.4. Многообразия. Эйлерова характеристика . . . . . . . . . . . . . . 193

Вопросы к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Глава 5. Многогранники в евклидовом пространстве

5.1. Геометрическое тело. Выпуклые многогранники . . . . . . . . . . 202

5.2. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3. Группа симметрий правильных многогранников . . . . . . . . . . 208

Вопросы к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Глава 6. Линии в евклидовом пространстве

6.1. Векторная функция скалярного аргумента . . . . . . . . . . . . . . 213

6.2. Понятие линии. Гладкие линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.3. Касательная. Длина дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.4. Сопровождающий репер линии. Кривизна и кручение линии.

Формулы Френе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.5. Плоская линия. Эволюта и эвольвента плоской линии. . . . . . . 247

Вопросы к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Глава 7. Поверхности в евклидовом пространстве

7.1. Векторная функция двух скалярных аргументов. . . . . . . . . . . 259

7.2. Понятие поверхности. Гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . 263

Оглавление•5

7.3. Касательная плоскость и нормаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7.4. Первая квадратичная форма поверхности . . . . . . . . . . . . . . 278

7.5. Кривизна линии на поверхности. Вторая квадратичная форма

поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.6. Главные кривизны. Полная и средняя кривизны поверхности . . . 298

Вопросы к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Глава 8. Внутренняя геометрия поверхности

8.1. Теорема Гаусса. Геодезическая кривизна линии на поверхности. Геодезические линии. Дефект геодезического

треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.2. Изометричные поверхности. Изгибание поверхности . . . . . . . 319

Вопросы к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Глава 9. Исторический обзор обоснований геометрии.

Элементы геометрии Лобачевского

9.1. Первая группа аксиом системы аксиом Гильберта и следствия

из нее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

9.2. Вторая группа аксиом систем аксиом Гильберта и следствия

из аксиом групп I и II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

9.3. Третья группа аксиом системы аксиом Гильберта и следствия

из аксиом групп I, II и III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

9.4. Четвертая и пятая группы аксиом систем аксиом Гильберта

и следствия из аксиом групп I-V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

9.5. Утверждения, эквивалентные пятому постулату Евклида . . . . . 341

9.6. Геометрия Лобачевского. Свойства треугольников и четырехугольников на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . 344

9.7. Свойства параллельных и расходящихся прямых

на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

9.8. Свойства окружности, эквидистанты, орицикла . . . . . . . . . . 352

Свойства окружности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Свойства эквидистанты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

Свойства орицикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Вопросы к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Глава 10. Общие вопросы аксиоматики.

Обоснование евклидовой геометрии

10.1. Понятие о математической структуре. Интерпретации системы аксиом. Изоморфизм структур.

Непротиворечивость, независимость и полнота системы

аксиом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

10.2. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства . . . 367 Выполнение аксиом І группы Гильберта в теории Т(?W)

и следствий из них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

10.3. Луч, угол, отрезок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 10.4. Равенство отрезков и углов. Длина отрезка . . . . . . . . . . . . . 377

10.5. Параллельность прямых и плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Вопросы к главе 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

6•Оглавление

Глава 11. Площадь и объем

11.1. Площадь многоугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Площадь треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 Площадь параллелограмма и трапеции . . . . . . . . . . . . . . . 392

Площадь многоугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 11.2. Объем многогранника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Вопросы к главе 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Глава 12. Неевклидовы геометрии

12.1. Гиперболическая плоскость Лобачевского. Модель Кэли-

Клейна гиперболической плоскости Лобачевского . . . . . . . . 400

12.2. Сферическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 12.3. Эллиптическая плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Вопросы к главе 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 Ответы и указания к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

Ответы и указания к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

Ответы и указания к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Ответы и указания к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

Ответы и указания к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

Ответы и указания к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Ответы и указания к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Ответы и указания к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

Ответы и указания к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Ответы и указания к главе 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Ответы и указания к главе 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Ответы и указания к главе 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий сборник задач составлен в полном соответствии с учебным пособием Л. С. Атанасяна и В. Т. Базылева "Геометрия. Часть II" для студентов педагогических вузов. Эти две книги дополняют друг друга и представляют единое учебное пособие по второй части курса геометрии для педвузов.

В сборник включены задачи: по проективной геометрии, методам изображений, элементам топологии, многогранникам в евклидовом пространстве, дифференциальной геометрии, основаниям геометрии, геометрии Лобачевского, площади и объему, неевклидовой геометрии.

Задачник предназначен для студентов математических и физикоматематических факультетов педагогических вузов, обучающихся по специальностям 032100 "Математика", 540200 "Физико-математическое образование (бакалавриат)", 510100 "Математика (бакалавриат)" и 031021 "Информатика".

В сборнике задач помещены теоретические сведения, используемые для решения задач. Основные типы задач приведены с подробными решениями. Задачник снабжен ответами и большим количеством указаний. Благодаря этому данный сборник задач может быть эффективно использован студентами не только дневных отделений, но также вечерних и заочных отделений и для организации самостоятельной работы студентов.

В конце каждой главы помещены вопросы, которые помогут студентам при подготовке к коллоквиумам и зачетам.

Отдельные разделы задачника могут быть использованы при проведении элективных курсов и для организации кружковой работы в средней школе, а также для написания курсовых работ студентами.

ГЛАВА 1

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.1. Центральное проектирование

Рассмотрим в евклидовом пространстве Е3 две плоскости - ? и ? - и точку О, не лежащую в этих плоскостях. Пусть M - произвольная точка плоскости ?. Точка M' пересечения прямой OM с плоскостью ? называется проекцией точки M на плоскость ? из центра O (рис. 1.1). Между плоскостями ? и ? устанавливается соответствие, которое называется центральным проектированием плоскости ? на плоскость ? из центра O. Плоскость ?, на которую осуществляется проектирование, называется плоскостью проекций.

Если на плоскости ? задана фигура F, то множество проекций всех1 точек фигуры F на плоскость ? является фигурой плоскости ?, которая называется проекцией фигуры F.

Изменяя положение центра проектирования, можно

получить различные проек-

Рис. 1.1 ции фигуры F.

Задачи 1.1. Задано центральное проектирование плоскости ? на плоскость ? из центра O. Является ли центральное проектирование взаимно однозначным отображением, если: а) плоскости ? и ? параллельны; б) плоскости ? и ? не параллельны?

1.2. Задано центральное проектирование плоскости ? на плоскость ? (плоскости не параллельны) из центра O. В плоскости ? найти прямую p, которая не имеет проекции.

1.1. Центральное проектирование

1.3. Задано центральное проектирование плоскости ? на плоскость ? (плоскости не параллельны) из центра O. В плоскости ? найти прямую q', которая не имеет прообраза.

1.4. Задано центральное проектирование плоскости ? на плоскость ? (плоскости не параллельны) из центра O. В плоскости ? найти отрезок АВ, который не имеет проекции.

1.5. Задано центральное проектирование плоскости ? на плоскость ? из центра O. В плоскости ? указать такой отрезок АВ, проекцией которого является: а) отрезок; б) луч; в) фигура, состоящая из двух лучей.

1.6. Какие фигуры могут быть проекциями угла?

1.7. Какие фигуры могут быть проекциями треугольника (вместе с его внутренней областью)?

1.8. Какие фигуры могут быть проекциями квадрата (с его внутренней областью)?

1.9. Какие фигуры могут быть проекциями окружности?

1.10. Показать, что центральное проектирование не всегда сохраняет понятие "лежать между" для трех точек одной прямой, т.е. проекция C' точки С, лежащей между точками А и В, может не лежать между проекциями А' и B' точек А и В.

1.11. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой d. Показать, что при центральном проектировании проекции точек А и В могут не лежать по разные стороны от проекции прямой d.

Расширенная прямая. Расширенная плоскость. Чтобы центральное проектирование из центра O было взаимно однозначным отображением плоскости ? на плоскость ?, к обычным - собственным - точкам пространства Е3(А3) добавим так называемые несобственные (бесконечно удаленные) точки. При этом будем считать, что:

1) каждой прямой принадлежит одна и только одна несобственная точка; прямую, дополненную несобственной точкой, назовем расширенной прямой;

2) две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а две непараллельные прямые имеют различные несобственные точки;

3) если расширенная прямая лежит в плоскости, то несобственная точка этой прямой лежит в той же плоскости; все несобственные точки плоскости образуют одну несобственную (бесконечно удаленную) прямую; плоскость, дополненную несобственными точками, назовем расширенной плоскостью;

4) все несобственные точки пространства Е3(А3) образуют одну несобственную (бесконечно удаленную) плоскость; пространство Е3(А3),

дополненное несобственной плоскостью, назовем расширенным евклидовым (аффинным) пространством.

Бесконечно удаленные точки и прямые обозначаются так: А?,m?.

Задачи

1.12. Доказать, что в расширенном аффинном пространстве через любые две точки проходит единственная прямая.

1.13. Доказать, что в расширенном аффинном пространстве через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

1.14. Доказать следующие утверждения о взаимном расположении прямых и плоскостей в расширенном аффинном пространстве: а) любые две прямые, лежащие в плоскости, пересекаются, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) точку; б) любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку; в) любые две плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) прямую.

1.15. Доказать, что в расширенном аффинном пространстве через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

1.16. Доказать, что в расширенном аффинном пространстве три различные плоскости, не проходящие через одну прямую, пересекаются в одной точке.

1.2. Понятие проективного пространства. Модели проективных пространств

Пусть V - векторное пространство размерности n + 1 над полем R вещественных чисел, а V' - множество всех ненулевых векторов этого пространства. Непустое множество Рn называется n-мерным проективным пространством (порожденным векторным пространством V ), если задано отображение f: V' > Pn, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам проективного пространства):

1. Отображение f сюръективно, т.е. любой элемент из Рn имеет хотя бы один прообраз.

2. Равенство f ( x ) = f ( y ) выполняется тогда и только тогда, когда векторы x и y коллинеарны.

1.2. Понятие проективного пространства. Модели проективных пространств

Замечание. Вместо поля R можно взять любое другое поле К. Можно показать, что если поле К конечно, то полученное n-мерное проективное пространство состоит из конечного множества точек.

Элементы множества Рn называются точками проективного пространства. Если f ( x ) = X, то говорят, что вектор x порождает точку X. Множество всех векторов пространства V, порождающих одну точку, есть одномерное векторное подпространство без нулевого вектора.

Одномерное проективное пространство P1 называется проективной прямой, а двумерное проективное пространство P2 - проективной плоскостью.

Если Р2 - проективная плоскость, порожденная трехмерным векторным пространством V, то множество всех точек из Р2, которые порождаются ненулевыми векторами подпространства L2 векторного пространства V, называется прямой. Любую прямую проективной плоскости можно рассматривать как одномерное проективное пространство (т.е. как проективную прямую).

Если Р3 - трехмерное проективное пространство, порожденное четырехмерным векторным пространством V, то множество всех точек из Р3, которые порождаются ненулевыми векторами подпространства Lk (k = 2, 3) векторного пространства V, называется прямой, если k = 2, и плоскостью, если k = 3. Любая плоскость трехмерного проективного пространства является двумерным проективным пространством (т.е. проективной плоскостью). Любую прямую проективного пространства можно рассматривать как проективную прямую.

Свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей трехмерного проективного пространства

1. Через любые две точки А и В проходит одна и только одна прямая.

2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

3. Если две точки А и В лежат в плоскости ?, то прямая АВ лежит в плоскости ?, т.е. каждая точка прямой АВ лежит в плоскости ?.

4. Любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются.

5. Любая плоскость и не лежащая в ней прямая имеют одну и только одну общую точку.

6. Любые две плоскости имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Если найдены конкретные множество Рn и отображение f множества ненулевых векторов некоторого векторного пространства на множество Рn, удовлетворяющее аксиомам проективного пространства, то говорят, что построена интерпретация данной системы аксиом; само множество Рn называется моделью проективного пространства.

Задачи

1.17. Доказать, что проективная прямая P1 содержит по крайней мере три точки.

1.18. Доказать, что проективная плоскость P2 содержит по крайней мере семь точек.

1.19. Каково наименьшее число точек проективного пространства P3, порожденного векторным пространством над полем К ?

1.20. F22 = F2 ?F2 - двумерное векторное пространство над полем F2 вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная прямая P1, порожденная этим векторным пространством, содержит ровно три точки.

1.21. F23 - трехмерное векторное пространство над полем F2 вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная плоскость P2, порожденная этим векторным пространством, содержит ровно семь точек.

1.22. Доказать, что три точки проективной плоскости лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда порождающие их векторы линейно зависимы.

1.23. Доказать, что проективная плоскость P F2( 23) (см. задачу 1.21) содержит ровно семь прямых.

1.24. Доказать, что на проективной плоскости P2 существуют четыре точки общего положения2.

1.25. Доказать, что в n-мерном проективном пространстве Pn существуют n + 2 точки общего положения.

1.26. F33 - трехмерное векторное пространство над полем F3 вычетов по модулю 3. Сколько точек содержит каждая прямая проективной плоскости P2, порожденной этим векторным пространством?

1.27. Доказать, что через любые две точки А и В трехмерного проективного пространства проходит одна и только одна прямая.

1.28. Доказать, что в трехмерном проективном пространстве через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

1.2. Понятие проективного пространства. Модели проективных пространств

1.29. Доказать, что в трехмерном проективном пространстве если две точки А и В лежат в плоскости ?, то каждая точка прямой АВ лежит в плоскости ? (прямая АВ лежит в плоскости ?).

1.30. Доказать, что в трехмерном проективном пространстве любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются.

1.31. Доказать, что в трехмерном проективном пространстве любая плоскость и не лежащая в ней прямая имеют одну и только одну общую точку.

1.32. Доказать, что в трехмерном проективном пространстве любые две плоскости имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

1.33. Пусть А3 - трехмерное аффинное пространство над векторным пространством V; Р2 - множество всех прямых пространства А3, проходящих через фиксированную точку О (связка прямых с центром в точке О). Задано отображение f ненулевых векторов пространства V на множество Р2 по закону: ненулевому вектору a из V соответствует прямая, проходящая через точку О параллельно вектору a . Доказать, что Р2 - модель проективной плоскости.

1.34. Пусть А4 - четырехмерное аффинное пространство над векторным пространством V; Р3 - множество всех прямых пространства А4, проходящих через фиксированную точку О. Задано отображение f ненулевых векторов пространства V на множество Р3 по закону: каждому ненулевому вектору a из V соответствует прямая, проходящая через точку О параллельно вектору a . Доказать, что Р3 - модель проективного пространства.

1.35. Пусть d - расширенная прямая, лежащая в расширенной плоскости ? трехмерного расширенного аффинного пространства над векторным пространством V; О - собственная точка плоскости

?, не лежащая на прямой d. Задано отображение f множества нену-

левых векторов направляющего подпространства W плоскости ?

на прямую d по закону: каждому ненулевому вектору a из W соответствует точка, в которой прямая, проходящая через точку О парал-

лельно вектору a, пересекает прямую d. Доказать, что d - модель проективной прямой.

1.36. Пусть ? - расширенная плоскость трехмерного расширенного аффинного пространства (над векторным пространством V ), О -

собственная точка этого пространства, не лежащая в плоскости ?. Задано отображение f множества ненулевых векторов направляющего

пространства V на плоскость ? по закону: каждому ненулевому вектору a из V соответствует точка, в которой прямая, проходящая через

точку О параллельно вектору a , пересекает плоскость ?. Доказать, что

? - модель проективной плоскости.

1.37. На евклидовой плоскости ? задана окружность. Пусть Р - множество всех пар диаметрально противоположных точек этой окружности. Задано отображение f множества ненулевых векторов направляющего подпространства W плоскости ? на множество Р по закону: каждому ненулевому вектору a из W соответствует такая пара (A, A' ) диаметрально противоположных точек окружности, что векторы a и AA? коллинеарны. Доказать, что множество Р - модель проективной прямой.

1.38. В евклидовом пространстве задана сфера S. Пусть Р - множество всех пар диаметрально противоположных точек сферы S. Найти векторное пространство V и задать отображение f ненулевых векторов этого пространства на множество Р так, чтобы множество Р было моделью проективной плоскости.

1.3. Координаты точек на проективной прямой и на проективной плоскости

Упорядоченная совокупность трех точек А1, А2, Е проективной прямой l называется проективным репером прямой и обозначается так: R = (A1, A2, E ). Точки А1 и А2 называются вершинами, а точка Е - единичной точкой репера.

Если векторы a1, a2, e, порождающие вершины и единичную точку проективного репера R, выбраны так, что e = a1 + a2 , то система векторов { a1 , a2 , e } называется согласованной относительно репера R. Существует бесконечное множество систем векторов, каждая из которых согласована относительно данного репера R, причем если { a1, a2, e } и { b1, b2 , e? } - две такие системы, то существует отличное от нуля действительное число ?, такое, что b1 = ? a1, b2 =

= ?a2, e? = ? e .

Пусть R = (A1, A2, E ) - проективный репер проективной прямой l, { a1 , a2 , e } - система векторов, согласованная относительно репера R.

Проективными координатами точки М в репере R проективной прямой l называются координаты (m1, m2) вектора m , порождающего эту точку, в базисе { a1, a2 }.

Если на расширенной прямой d задан проективный репер R = (A ?, B, E ), где A ? - несобственная точка этой прямой, и собственная точка M пря-

мой d в репере R имеет координаты (x1, x2), то та же точка в аффинной

x1 системе координат (B, BE ) на прямой d имеет координату x = . x2

Проективные координаты точки M (x1, x2) в репере R = (A ?, B, E ) называются ее однородными координатами, а координата х этой точки в аффинной системе координат (B, BE ) называется ее неоднородной координатой.

Для построения точки М (x1, x2) по ее координатам в любом проек-

тивном репере R = (A1, A2, E ) на расширенной прямой d следует:

1) на расширенной аффинной плоскости ?, содержащей d, взять собственную точку O, не принадлежащую прямой d;

2) на прямой ОЕ выбрать любую собственную точку Е';

3) через точку E' провести прямую Е'А1' параллельно ОА2 (точка А1' принадлежит прямой ОА1);

4) через точку E' провести прямую Е'А2' параллельно ОА1 (точка А2' принадлежит прямой ОА2).

Векторы OA1? = a1 , OA2? = a2 и OE? = e порождают точки A1, A2, E;

{a1 , a2 , e } - система векторов, согласованная относительно репера R;

5) построить вектор OM?= x1 a1 + x2 a2 .

Искомая точка М является пересечением пря-

мой ОМ' и прямой d

(рис. 1.2). Докажем, что положение точки М на прямой

d не зависит от выбора

точки О. Пусть O' - некоторая собственная точка плоскости ?, отличная

от точки O. Пусть постро-

ены векторы O E? ??, O A? ??1 Рис. 1.2

и O A? ??2 , которые порождают точки A1, A2, E и { O A? ??1, O A? ??2, O E? ?? } - система векторов, согласованная относительно репера R. Пусть также построена точка М'' такая, что O M? ?? = x O A1 ? ??1 + x O A2 ? ??2 . Докажем, что пря-

мая О'М'' пересекает прямую d в той же точке М, что и прямая OM'.

Рассмотрим аффинное преобразование f плоскости ?, при котором аффинный репер R1 = (O A, 1?, A2?) переходит в аффинный репер R2 = = ( O?, A1??, A2??). При этом преобразовании точка М' с координатами (х1, х2) в репере R1 переходит в точку M'' c теми же координатами (x1, x2) в репере R2, а точки A1, A2 и Е - инвариантные (две из них - обяза-

тельно собственные точки прямой d ). Значит, f - перспективно аффинн ое преобразование плоскости с осью d. Прямая О'М'' - образ прямой ОМ' при этом преобразовании. По свойствам перспективно аффинных преобразований плоскости соответственные прямые либо пересекаются на оси родства, либо параллельны ей, а значит, на ? имеют общую точку, собственную или несобственную, принадлежа-

щую прямой d.

Для построения точки М (x1, x2) по ее координатам в проективном

репере R = ( A11, A2, E ) на расширенной прямой d можно также вос-

? x1 ? пользоваться неоднородной координатой этой точки: М? ? в аф-

? x2 ?

финной системе координат (A2, A E2 ).

Пример 1.1. На расширенной прямой d задан проективный репер R ). Построить точку М(2, -3).

Решение. Надо построить систему векторов { a1, a2, e }, согласованную относительно данного репера, а затем построить вектор m = 2a1 ?3a2, порождающий точку М.

Построение. Строим:

1) точку О, не принадлежащую прямой d;

2) прямую а1 = ОА1;

3) прямую а2 = OA2? (а2 проходит через точку О параллельно пря-

мой d );

4) прямую ОЕ;

5) точку Е' на прямой ОЕ ( ОЕ? = е , в качестве точки Е' можно взять точку Е );

6) прямую E A? 1? параллельно а2 (точка A1? принадлежит прямой а1);

7) прямую Е'А'2 параллельно а1 (точка А'2 принадлежит прямой а2);

8) точку X так, что OX = 2OA1?;

9) точку Y так, что OY = ?3OA2?;

10) точку М' так, что OM = OX + OY;

11) точку М пересечения прямой ОМ' и прямой d, М - искомая точка (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Пример 1.2. На расширенной прямой d даны точки А?, В и М. Построить такую точку С, чтобы М(2, 5) в репере R = (А?, B, C ).

Решение. Рассмотрим любую точку О, не принадлежащую данной

прямой d. Пусть вектор ОМ порождает точку М. Найдем систему { а , b, с } векторов, согласованную относительно репера R = (А?, B, C), такую, что ОМ = 2 а + 5 b. Так как А? - бесконечно удаленная точка

прямой d, то вектор а параллелен прямой d; вектор b параллелен прямой ОВ. OM = ОВ + BM (рис. 1.4) и ОМ = 2 а + 5 b, поэтому BM = 2 а , ОВ = 5 b.

и прямой ОС1. Рис. 1.4

Задачи 1.39. Доказать, что задание проективного репера R на проективной прямой l определяет координаты произвольной точки М этой прямой с точностью до общего множителя, т.е. если точка М имеет координаты (m3, m2) в репере R, то для любого числа ? ? 0 (?m1, ?m2) - координаты той же точки М в этом репере.

1.40. Пусть R = (A1, A2, E ) - проективный репер проективной прямой l. Найти координаты точек A1, A2, E в репере R.

1.41. На расширенной прямой d в проективном репере R , A2, E ) заданы точки своими однородными координатами: М(1, 2), N(-1, 3), P(4, 2), Q(2, -3). Найти неоднородные координаты этих точек в соответствующем аффинном репере.

1.42. Найти однородные координаты точек расширенной прямой в проективном репере R ), если в соответствующем аффинном репере эти точки заданы своими неоднородными координатами:

? 2 ?

K(3), L?- ? , S(0), T(-1).

? 3 ? 1.43. На расширенной прямой d задан проективный репер R = (A1, A2, E ). Построить точки М(1, -1), N(-2, 1), L(-2, 2) по их координатам в этом репере.

1.44. На расширенной прямой d задан проективный репер R = (A1, A2, E ?). Построить точки М(-1, 1), N(1, -2), L(-2, 3) по их координатам в этом репере.

1.45. На расширенной прямой d задан проективный репер R =

). Построить точки М(-1, -3), N(2, -1), L(-3, 1) по их ко-

ординатам в этом репере.

1.46. На расширенной прямой d даны точки А1, Е и М. Построить точку А2 так, чтобы в репере R (А1, А2, Е) точка М имела координаты М(-1, 3).

1.47. На расширенной прямой d задан проективный репер R =

= (A1, A2, E ). A1, A2 - собственные точки прямой d, E - середина от-

резка A1A2. Найти координаты несобственной точки D ? прямой d в репере R.

1.48. На расширенной прямой d задан проективный репер R = = (A1, A2, E ?), D - середина отрезка A1A2. Найти координаты точки D в репере R.

что несобственная точка D ? прямой d имеет координаты D ? (-1, 2) в репере R.

1.50. На расширенной прямой d задан проективный репер R = (A1, A2, E ), все точки которого - собственные. В репере R собственная точ x1 (A A1 2,E)

ка М прямой d имеет координаты (x1, x2). Доказать, что = , x2 (A A1 2,M)

где (А1А2, Е ) и (А1А2, М) - простые отношения соответствующих точек.

1.51. На расширенной прямой d задан проективный репер R = (A1, A2, E ) и точки M, N и L (рис. 1.5). Установить, одинаковые или разные знаки в репере R имеют координаты точки: а) M; б) N; в) L.

Пусть ? - проективная

плоскость. Упорядоченная со- L A1 M E A2 N

- вокупность точек А1, А2, А3, Е d общего положения плоскости ? Рис. 1.5

называется проективным репером, или проективной системой координат на плоскости, и обозначается так: R = (A1, A2, А3, E ). Точки А1, А2 и А3 называются вершинами, а точка Е - единичной точкой репера. Прямые А1А2, А1А3 и А2А3 называются координатными прямыми.

Если векторы a1, a2, a3, е, порождающие вершины и единичную точку проективного репера R, выбраны так, что e = a1 + a2 + a3, то система векторов { a1, a2, a3, e } называется согласованной относительно репера R. Существует бесконечное множество систем векторов, каждая из которых согласована относительно данного репера R, причем если { a1, a2, a3, e } и { b1, b2 , b3, e? } - две такие системы, то существует отличное от нуля действительное число ?, такое, что b1 =

= ? a1, b2 = ? a2, b3 = ? a3, e? = ? e .

Пусть R = (A1, A2, А3, E ) - проективный репер на плоскости ?,

{ a1, a2, a3, e } - система векторов, согласованная относительно репера R.

Проективными координатами точки М в репере R на проективной плоскости называются координаты (m1, m2, m3) вектора m , порождающего эту точку, в базисе { a1 , a2 , a3 }.

Задание проективного репера R на плоскости ? определяет координаты произвольной точки М плоскости с точностью до общего множителя.

Точки X (x1, x2, x3), Y (y1, y2, y3), Z (z1, z2, z3), заданные координатами в проективном репере R на проективной плоскости ?, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

x1 y1 z1

x2 y2 z2= 0 . x3 y3 z3

Пусть на проективной плоскости задан репер R = (A1, A2, A3, E ). Пусть Е1 - проекция4 точки Е из вершины A1 на прямую A2A3, Е2 - проекция точки Е из вершины A2 на прямую A1A3, Е3 - проекция точки Е из вершины A3 на прямую A1A2. На каждой из координатных прямых A2A3, A1A3, A1A2 возникает свой проективный репер R1 = (A2, A3, E1), R2 = (A1, A3, E2) и R3 = (A1, A2, E3). Если произвольная точка Х, отличная от вершины A1 проективного репера R, имеет координаты x1, x2, x3 в репере R, то проекция X1 точки Х из центра А1 на координатную прямую А2A3 в репере R1 имеет координаты x2, x3. Аналогично проекция X2 точки Х из центра А2 на координатную прямую А1A3 в репере R2 имеет координаты x1, x3; проекция X3 точки Х из центра А3 на ко-

ординатную прямую А1A2 в репере R3 имеет координаты x1, x2 (рис. 1.6).

Пример 1.3. На расши-

ренной плоскости ? задан проективный репер R =

, где A1? ?, A2 -

несобственные точки этой плоскости, Е1 и Е2 - проекции точки Е из вершин A1? и

A2? на координатные прямые

A и A соответствен-

но. Собственная точка M

плоскости ? в репере R имеет координаты (x1, x2, x3). Доказать, что та же точка в аф-

Рис. 1.6 финной системе координат

x1 (A3, a1 , a2 ), где a1 = А Е3 2 , a2 = А Е3 1 , имеет координаты x = , y = x3

x x3 Решение. Для произвольной точки О, не принадлежащей плоскости

? , OE = OA3 + A O3 = OA3 + А Е3 1 + А Е3 2, т.е. система векторов

{ А Е3 2, А Е3 1, OA3, OE } согласована относительно репера R.

Собственная точка М плоскости имеет проективные координаты (x1, x2, x3). Это означает, что вектор m, порождающий точку М, m =

= x1 А Е3 2 + x2 А Е3 1 + x3 OA3. Заметим, что x3 ? 0, так как иначе точка М является несобственной точкой плоскости.

С другой стороны, если М(x, y) в аффинной системе координат (A3, a1 , a2 ), то OM = OA3 + x А Е3 2 + y А Е3 1 = x А Е3 2 + y А Е3 1 + OA3 . Векторы m и OM коллинеарны, поэтому их координаты пропор-

x1 x2 циональны, откуда следует: x = , y = .

x3 x3 Проективные координаты точки M (x1, x2, x3) в репере R = ( A11, A21, A3, E ) называются ее однородными координатами, а координаты (х, y) этой точки в аффинной системе координат (A3, a1, a2 ) называются ее неоднородными координатами.

Задачи 1.52. Пусть R = (A1, A2, A3, E ) - проективный репер на проективной плоскости ?. Найти координаты точек A1, A2, A3, E в репере R.

1.53. Доказать, что точка X (x5, x2, x3) лежит на координатной прямой Аi Aj тогда и только тогда, когда xk = 0 (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3).

1.54. Пусть R = (A1, A2, A3, E ) - проективный репер на проективной плоскости ?. Точка Х имеет координаты x1, x2, x3 в репере R. Пусть Xi - проекция точки Х из центра Аi на координатную прямую Аj Ak (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3). Найти:

а) координаты точек Xi (i = 1, 2, 3) в репере R; б) координаты точек Еi в репере R.

1.55. На расширенной плоскости в репере R , A ) за-

даны точки своими однородными координатами: М (1, 3, 1), N (-3, 6, 3), К (2, -3, 1), Р (3, 0, 1). Найти неоднородные координаты данных точек в соответствующей аффинной системе координат.

1.56. Найти однородные координаты точек расширенной плоскости в проективном репере R ), если в соответствующей аффинной системе координат точки имеют координаты Р(0, 1),

Q(3, -2), S(-3, -1), Т(0, 0).

1.57. Дана трапеция АВСD. Доказать, что точка F пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, точка G пересечения диагоналей и середины М и N ее оснований АВ и CD принадлежат одной прямой.

1.58. На расширенной плоскости ? задан проективный репер R = = (A1, A2, A3, E ), вершины и единичная точка которого - собственные точки. Построить следующие точки по их координатам в репере R:

M (1, 2, 0), В (-1, 3, 2), N (-1, 1, 2), K (-2, 1, 3), L (0, -2, 1), Q (0, -4, 0).

1.59. На расширенной плоскости ? задан проективный репер R = = (A1, A2, A3, E ?) с собственными вершинами и несобственной единичной точкой E ?. Построить точки М (1, 1, 2) и N (-1, 0, 2) по их координатам в репере R.

1.60. На расширенной плоскости ? задан проективный репер R = = (A1, A2, A3, E ), вершины которого - собственные точки, единичная точка - центр тяжести треугольника A1A2A3. Определить положение точки М (1, 1, -1) относительно репера R.

1.61. На расширенной плоскости ? задан проективный репер R =

= ( A1?, A2, A3, E ), одна из вершин которого - несобственная точка. Построить точку М (1, 2, -1) по ее координатам в репере R.

1.4. Преобразование проективных координат точек на плоскости и на прямой

1.63. На расширенной плоскости ? задан проективный репер R = = (A, B ?, C ?, E ), две вершины которого - несобственные точки. Построить точки М (2, 3, -1) и N (0, -1, 2) по их координатам в репере R. Воспользоваться указанием к задаче 1.58 или неоднородными координатами точки М.

1.4. Преобразование проективных координат точек на плоскости и на прямой

Пусть R = (A1, A2, A3, E ) и R' = (A'1, A'2, A'3, E' ) - два проективных репера на проективной плоскости и в репере R вершины и единичная точка репера R' имеют координаты А'1 (а11, а21, а31), А'2 (а12, а22, а32),

А'3 (а13, а23, а33), Е' (а10, а20, а30).

Матрица ? a11 a12

? ?a21 a22 ? a31 a32

? a13 a23 a33 a10 ?

? a20 ? a30 ?? называется матрицей перехода от репера R к реперу R'. Заметим, что

a11 det ||aij|| =a21

a31 a12 a22 a32 a13

a23 ? 0. a33 Говорят, что столбцы матрицы перехода от репера R к реперу R' согласованы, если четвертый столбец является суммой первых трех столбцов, т.е. ai0 = ai1 + ai2 + ai3 , i = 1, 2, 3.

Поскольку элементы столбцов матрицы перехода - координаты вершин и единичной точки репера R' - определяются с точностью до числового множителя, всегда можно найти такие не равные нулю одновременно коэффициенты k1, k2, k3, что столбцы матрицы

? k a1 11

? ?k a1 21 ? k a1 31 ?

согласованы. k a2 12 k a2 22 k a2 32 k a3 13 k a3 23 k a3 33 a10 ?

? a20 ? a30 ?? Если произвольная точка М проективной плоскости в реперах R и R' имеет соответственно координаты (x1, x2, x3) и (y1, y2, y3), то связь между этими координатами выражается следующими формулами:

?x1 = a y11 1 +a y12 2 +a y13 3,

?x2 = a y21 1 +a22 y2 +a23 y3, (1.1)

?x3 = a y31 1 +a32 y2 +a33 y3,

det ||aij|| ? 0,

? a11 a12 a13 a10 ?

? ? причем ?a21 a22 a23 a20 ? - матрица перехода от репера R к реперу

?? a31 a32 a33 a30 ??

R', столбцы которой согласованы. В этом случае формулы (1.1) называются формулами преобразования координат точек проективной плоскости при переходе от репера R к реперу R'.

Пример 1.4. Написать формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = (A1, A2, A3, E ) к реперу R' = (A3, E,

A2, A1).

Решение. Запишем матрицу перехода от репера R к реперу R':

?0 ? ?0 ?1 ? 1

1 1 0 1 0 1? ? 0?.

0?? Столбцы матрицы не согласованы. Согласуем их, т.е. найдем такие ненулевые коэффициенты k1, k2, k3, что

0?k1 +1?k2 + 0?k3 =1,

0?k1 +1?k2 +1?k3 = 0, 1?k1 +1?k2 + 0?k3 = 0.

Такими коэффициентами являются k1 = -1, k2 = 1 и k3 = -1. Матрица перехода от репера R к реперу R' принимает вид

? 0 ? ? 0 ??1 ? 1

1 1 0

?1 0 1? ? 0?.

0?? Запишем теперь формулы преобразования проективных координат:

??x1 = 0y1 +1y2 +0y3,

? ??x2 = 0y1 +1y2 ?1y3,

???x3 = ?1y1 +1y2 +0y3,

1.4. Преобразование проективных координат точек на плоскости и на прямой

или ??x1 = y2,

? ??x2 = y2 - y3,

???x3 = -y1 + y2.

Пусть R = (A1, A2, E ) и R' = ( A1?, , A2?, E' ) - два проективных репера на проективной прямой и в репере R вершины и единичная точка ре-

пера R' имеют координаты A1? (a11, a21), A'2 (a12, a22), E' (a10, a20), причем

?a11 a12 a10 ?

? ? - матрица перехода от репера R к реперу R', столбцы

?a21 a22 a20 ? которой согласованы.

Если произвольная точка М проективной прямой в реперах R и R' имеет соответственно координаты (x1, x2) и (y1, y2), то связь между этими координатами выражается следующими формулами:

?x1 = a y11 1 +a y12 2,

?x2 = a y21 1 +a22 y2, (1.2)

det aij ? 0, ,i j =1 2, .

В этом случае формулы (1.2) называются формулами преобразования координат точек проективной прямой при переходе от репера R к реперу R'.

Задачи

1.64. Написать формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = (A1, A2, A3, E ) к реперу: а) R' = (A2, A3, A1, E ); б) R' = (A3, A1, E, A2); в) R' = (E, A3, A1, A2).

1.65. Написать формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = (A1, A2, A3, E ) к реперу: а) R' = (A1, A2, A3, E' ), если в репере R E' (-1, 2, 3).

1.66. Дан проективный репер R = (A1, A2, A3, E ), Еi - проекция точки Е из вершины Ai на прямую Aj Ak (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3). Написать формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = (A1, A2, A3, E ) к реперу: а) R' = (E1, E2, E3, E ); б) R' = (E1, E2, A3, E ).

1.67. Дан проективный репер R = (A1, A2, A3, E ), Еi - проекция точки Е из вершины Ai на прямую Aj Ak (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3). Существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в реперах R и R' = (E1, E2, E3, E )?

1.68. Пусть R = (A1, A2, A3, E ) и R' = (A'1, A'2, A'3, E' ) - два проективных репера на проективной плоскости и в репере R вершины и единичная точка репера R' имеют координаты А'1 (1, -1, 1), А'2 (1, 0, 1), А'3 (2, 1, -3), Е' (5, -4, 0). Найти: а) координаты точки Е в репере R'; б) координаты точки N в репере R, если в репере R' N (-1, 0, 1); в) координаты точки М в репере R', если в репере R М (1, 1, 0).

1.69. Пусть R = (A1, A2, A3, E ) и R' = ( A1?, A2?, A3?, E' ) - два проективных репера на проективной плоскости и в репере R вершины и единичная точка репера R' имеют координаты А'1 (1, 1, 0), А'2 (0, -1, 2), А'3 (1, 1, 1), Е' (2, 3, -5). Написать формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R к реперу R'. Найти координаты точки М в репере R, если М (2, 1, -1) в репере R'.

1.70. Написать формулы преобразования проективных координат точек проективной прямой при переходе от репера R = (A1, A2, E ) к реперу: а) R' = (A2, A1, E ); б) R' = (A1, E, A2); в) R' = (E, A1, A2).

1.71. Пусть R = (A1, A2, E ) и R' = ( A1?, A2?, E' ) - два проективных репера на проективной прямой и в репере R вершины и единичная

точка репера R' имеют координаты A1? (-1, 1), A2? (-1, 2), Е' (2, 3). Написать формулы преобразования проективных координат точек проективной прямой при переходе от репера R к реперу R'. Найти координаты точки Е в репере R'.

1.72. Пусть R = (A1, A2, E ) - проективный репер на расширенной прямой, Е - середина отрезка A1A2, D ? - несобственная точка прямой. Написать формулы преобразования проективных координат точек данной расширенной прямой при переходе от репера R к реперу R' =

= (A1, A2, D ?).

1.5. Уравнение прямой. Координаты прямой

Пусть на проективной плоскости выбран репер R = (A1, A2, A3, E ) и в этом репере известны координаты двух точек A (a1, a2, a3),

B (b1, b2, b3) прямой d. Тогда уравнение прямой d имеет вид

x1 a1

1) x2 a2 = 0 , откуда x3 a3

u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0,

a2 b2a3 b3 где u1 = - координаты прямой d.

a3 b3a1 b1

1.5. Уравнение прямой. Координаты прямой

Уравнение u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 - общее уравнение прямой d; коротко записывают: d (u1, u2, u3);

2) x1 = ?a1 + ?b1, x2 = ?a2 + ?b2, x3 = ?a3 + ?b3,

где ? и ? - действительные числа (параметры), не равные нулю одновременно.

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой d.

Пусть в репере R заданы прямые d1 (u1, u2, u3) и d2 (v1, v2, v3). Прямые

?u1 u2 u3 ?

d1 и d2 совпадают тогда и только тогда, когда rang? ? =1 , и пе-

?v1 v2 v3 ? ?u1 u2 u3 ?

ресекаются тогда и только тогда, когда rang? ? = 2 .

?v1 v2 v3 ?

Пример 1.5. В репере R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости точки А и В имеют координаты: А (-1, 0, 3), В (2, 1, 1). Написать: а) общее уравнение прямой АВ; б) параметрические уравнения прямой АВ. Решение:

а) точка М (x1, x2, x3) принадлежит прямой АВ тогда и только тогда, x1 ?1 2

когда x2 0 1= 0 , откуда 3х1 - 7х2 + х3 = 0 - общее уравнение пряx3 3 1

мой АВ; (3, -7, 1);

б) составим параметрические уравнения:

х1 = -1 ? ? + 2??, х2 = 0 ? ? + 1??, х3 = 3 ? ? + 1??,

где ? и ? - действительные числа.

Задачи

1.73. На проективной плоскости задан репер R = (A1, A2, A3, E ). Еi - проекция точки Е из центра Аi на координатную прямую Аj Ak (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3). Составить общие и параметрические уравнения: а) координатных прямых Аi Aj; б) прямых АiEi; в) прямых EiEj.

1.74. На проективной плоскости задан репер R = (A1, A2, A3, E ). Еi - проекция точки Е из центра Аi на координатную прямую Аj Ak (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3). Доказать, что точки Mk пересечения прямых EiEj и Ai Aj лежат на одной прямой d.

Составить уравнение этой прямой.

1.75. В репере R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости точки А, В, С и D имеют координаты: А (1,-2, 2), В (3, 0, 1), С (2, 3, 1), D (0, 1, -1). Написать: а) общее уравнение прямой, проходящей через точки А и В; б) параметрические уравнения прямой, проходящей через точки С и D.

1.76. Найти координаты двух точек, принадлежащих прямой m, заданной относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости: а) общим уравнением 3x1 + 2x2 - 2x3 = 0; б) параметрическими уравнениями x1 = 2? - 3?, x2 = 2?, x3 = -? +?.

1.77. Относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости прямая m задана общим уравнением x1 + 3x2 - 2x3 = 0. Написать параметрические уравнения этой прямой.

1.78. Относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости прямая m задана параметрическими уравнениями x1 = 3? - 2?, x2 = 2? + 2?, x3 = -? - ?. Написать общее уравнение этой прямой.

1.79. Выяснить взаимное расположение следующих пар прямых, заданных относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости уравнениями: а) 3х1 - 2х2 + 4х3 = 0 и х1 + х2 + 3х3 = 0; б) 4х1 - - х2 + х3 = 0 и х1 + х2 - х3 = 0; в) 3х1 - х2 + 3х3 = 0 и 3х1 + 2х2 - 4х3 = = 0; г) х1 + х2 = 0 и 3х1 - 4х3 = 0; д) х1 - 2х2 + х3 = 0 и 3х1 - 6х2 + 3х3 = 0; е) 2x1 + x2 - x3 = 0 и x1 - x2 + 2x3 = 0. Если прямые не совпадают, найти координаты общей точки.

1.80. Выяснить взаимное расположение следующих пар прямых, заданных относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости уравнениями: а) (1, -3, 1) и (1, 5, -7); б) (2, 4, -6) и (-1, -2, 3); в) (1, 4, 5) и (0, 1, 3). Если прямые не совпадают, найти координаты общей точки.

1.81. Относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости прямые m и n заданы уравнениями x1 + 3x2 - 2x3 = 0 и 2x1 - x2 + + 2x3 = 0. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (1, -2, 4) и точку пересечения прямых m и n.

1.82. Выяснить взаимное расположение следующих пар прямых, заданных относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости уравнениями: а) х1 = ? + 5?, x2 = ? + ?, x3 = 2? + 4? и x1 + 3x2 - - 2x3 = 0; б) х1 = 2? + 3?, x2 = ? + ?, x3 = -? - 3? и 3x1 - 2x2 + 4x3 = 0; в) х1 = ? + ?, x2 = ? + 7?, x3 = ? + 5? и x1 - x2 + 3x3 = 0.

1.83. Доказать, что на проективной плоскости прямая d (u1, u2, u3), заданная в проективном репере R = (A1, A2, A3, E ) этой плоскости, проходит через вершину Аi репера R тогда и только тогда, когда ui = 0 (i = = 1, 2, 3).

1.5. Уравнение прямой. Координаты прямой

1.84. Какова особенность расположения прямой АВ относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости, если А (а1, a2, a3), В (b1, b2, b3) в этом репере и при этом: а) а1 : b1 = a2 : b2; б) а1 : b1 = a3 : b3; в) а2 : b2 = a3 : b3?

1.85. Какова особенность расположения точки М пересечения различных прямых d1 (u1, u2, u3) и d2 (v1, v2, v3) относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости, если в этом репере первые пары координат данных прямых пропорциональны?

1.86. Доказать, что прямые a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3), c (c1, c2, c3), заданные своими координатами относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости, имеют общую точку тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

1.87. Выяснить, имеют ли общие точки прямые, заданные своими координатами относительно репера R = (A1, A2, A3, E ) на проективной плоскости: а) а (1, -3, 1), b (1, 5, -7), с (1, -4, 2); б) а (3, -2, 4), b (1, 3, -2), с (2, -3, 1); в) а (1, -3, 0), b (2, 1, -1), с (3, -2, 1); г) а (1, -1, 3), b (1, 1, -1), с (1, 2, -3).

1.88. На расширенной плоскости построить прямую по ее координатам относительно заданного проективного репера R = (A1, A2, A3, E ): а) m (1, 2, -2); б) n (2, 0, 1).

1.89. На расширенной плоскости построить прямую по ее координатам относительно заданного проективного репера R ,

E ): а) m (-1, 0, 2); б) n (2, 1, 1).

1.90. На расширенной плоскости построить прямую по ее координатам относительно заданного проективного репера R , A,

E ): а) m (0, 1, 2); б) n (2, 3, 1).

1.91. На расширенной плоскости построить прямую по ее координатам относительно заданного проективного репера R ,

E ?): а) m (-1, 2, -2); б) n (1, 0, 3).

1.92. Единичная точка E проективного репера R = (A1, A2, A3, E ), заданного на расширенной плоскости, является центром тяжести треугольника A1A2A3. Найти координаты несобственной точки прямой: а) A1A3; б) A2A3.

1.93. Какова особенность расположения прямой m (1, 1, 1), заданной в проективном репере R = (A1, A2, A3, E ) на расширенной плоскости, если единичная точка Е этого репера является точкой пересечения медиан треугольника A1A2A3?

1.6. Принцип двойственности

В проективной геометрии важное значение имеет принцип двойственности. Этот принцип позволяет принять без доказательства одно из двойственных предложений, если обосновано другое.

Принцип двойственности на проективной плоскости (малый принцип двойственности) заключается в следующем. Если справедливо предложение П, в котором говорится о точках, прямых на проективной плоскости и об их взаимной принадлежности, то справедливо двойственное предложение П*, которое получается из П заменой слов "точка", "прямая", "принадлежит", "проходит через" соответственно словами "прямая", "точка", "проходит через", "принадлежит"6.

Также имеет место принцип двойственности в трехмерном проективном пространстве (большой принцип двойственности). Если справедливо предложение П, в котором говорится о точках, прямых и плоскостях трехмерного проективного пространства и об их взаимной принадлежности, то справедливо двойственное предложение П*, которое получается из П заменой слов "точка", "прямая", "плоскость", "принадлежит", "проходит через" соответственно словами "плоскость", "прямая", "точка", "проходит через", "принадлежит".

При необходимости порядок слов в предложении можно изменять.

Пример 1.6.

а) Сформулировать предложение, двойственное данному по мало-

му принципу двойственности: существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой;

б) сформулировать предложение, двойственное данному по боль-

шому принципу двойственности: для любых двух точек существует единственная прямая, проходящая через эти точки.

Решение.

а) Выделим слова, которые подлежат замене по малому принципу

двойственности: существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Заменим эти слова соответственным образом: существуют по крайней мере три прямые, не проходящие через одну точку;

б) выделим слова, которые подлежат замене по большому прин-

ципу двойственности: для любых двух точек существует единственная прямая, проходящая через эти точки.

1.6. Принцип двойственности

Заменим эти слова соответственным образом: для любых двух плоскостей существует единственная прямая, принадлежащая этим плоскостям (т.е. любые две плоскости пересекаются по одной прямой).

Задачи 1.94. Две фигуры назовем двойственными на проективной плоскости, если между их элементами можно установить соответствие по малому принципу двойственности. Определить фигуры, двойственные следующим фигурам на проективной плоскости: а) две точки; б) множество точек, принадлежащих одной прямой; в) три точки, не принадлежащие одной прямой; г) три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку; д) прямая и не принадлежащая ей точка.

1.95. Две фигуры назовем двойственными в проективном пространстве, если между их элементами можно установить соответствие по большому принципу двойственности. Определить фигуры, двойственные следующим фигурам в проективном пространстве: а) две точки; б) две прямые, принадлежащие одной плоскости; в) прямая и не принадлежащая ей точка; г) три точки, не принадлежащие одной прямой; д) две прямые, не проходящие через одну точку; е) три плоскости, не проходящие через одну точку.

1.96. Пучком прямых на проективной плоскости называется фигура, состоящая из всех прямых этой плоскости, проходящих через одну точку. Определить фигуру, двойственную пучку прямых на плоскости.

1.97. Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно эти точки. Определить фигуру, двойственную трехвершиннику на проективной плоскости.

1.98. Сформулировать предложение, двойственное данному утвержд ению, на проективной плоскости: а) через любые две точки проходит единственная прямая; б) любой прямой принадлежит не менее трех точек; в) каждой прямой принадлежит бесконечное множество точек; г) существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.

1.99. Сформулировать предложение, двойственное данному утверждению, в проективном пространстве: а) через любую прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость; б) через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость; в) две прямые, проходящие через одну точку, принадлежат одной плоскости; г) если три прямые попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они имеют единственную общую точку; д) существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

1.100. Пользуясь принципом двойственности, доказать, что на проективной плоскости: а) через каждую точку проходит не менее трех прямых; б) существуют по крайней мере три прямые, не проходящие через одну точку.

1.101. Пользуясь принципом двойственности, доказать, что в проективном пространстве: а) через каждую прямую проходит не менее трех плоскостей; б) существуют четыре плоскости, не проходящие через одну точку; в) для любой плоскости ? существуют хотя бы две плоскости ? и ?, такие, что ?, ? и ? не проходят через одну прямую; г) если три прямые попарно пересекаются и не проходят через одну точку, то они принадлежат одной плоскости.

1.7. Теорема Дезарга

Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые - сторонами трехвершинника. Трехвершинник с вершинами А, B и С обозначается так: АВС.

Теорема Дезарга: если прямые, проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников, проходят через одну точку, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Согласно малому принципу двойственности, справедливо следующее утверждение (обратная теорема Дезарга): если соответственные стороны двух трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.

На рисунке 1.8 прямые АА', ВВ', СС', проходящие через соответственные вершины А и А', В и В', С и С' двух трехвершинников АВС и А'В'С', пересекаются в одной точке S. Точки D, E и F пересечения соответственных сторон AB и А'В', AC и А'С', BC и В'С' принадлежат одной прямой s.

Два трехвершинника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга, будем называть дезарговыми трехвершинниками; точку пересечения прямых, проходящих через соответственные вершины, - дезарговым центром; прямую, на которой пересекаются пары соответственных сторон, - дезарговой осью.

1.7. Теорема Дезарга

Рис. 1.8 1.102. Указать все пары дезарговых трехвершинников, изображенных на рис. 1.8.

1.103. На проективной плоскости задан репер R = (А1, А2, А3, Е), Еi - проекция точки Е из вершины Аi на прямую Аj Аk (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3). Доказать, что точки Мk пересечения прямых EiEj и Ai Aj лежат на одной прямой.

1.104. На расширенной плоскости дан трехвершинник АВС. Постройте трехвершинник А'В'С' таким образом, чтобы трехвершинники АВС и А'В'С' были дезарговыми, если также даны: а) дезаргова ось s и дезаргов центр S; б) дезаргова ось s, дезаргов центр S и вершина А'; в) дезаргова ось s и вершины А' и В'; г) вершины А' и В' и точка F пересечения прямых ВС и В'С'. Однозначно ли определяется трехвершинник А'В'С' в каждом случае?

1.105. На расширенной плоскости построить дезарговы трехвершинники таким образом, что: а) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром - собственная точка; б) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром - несобственная точка; в) дезарговой осью является собственная прямая, а дезарговым центром - несобственная точка.

1.106. На расширенной плоскости через вершины А, В и С треугольника АВС проведены три параллельные прямые а, b и с, на которых произвольно взяты точки А', В' и С'. Доказать, что точки пересечения прямых AB и А'В', AC и А'С', BC и В'С' принадлежат одной прямой.

1.107. Дана трапеция АВСD. Доказать, что точка F пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, точка G пересечения диагоналей и середины М и N ее оснований АВ и CD принадлежат одной прямой.

1.108. Трапеция вписана в четырехугольник так, что ее основания параллельны одной из его диагоналей. Доказать, что боковые стороны трапеции пересекаются на прямой, содержащей другую диагональ четырехугольника.

1.109. На расширенной плоскости параллелограмм АВСD пересечен прямыми p и q, параллельными диагонали АС: прямая p пересекает стороны АD и DC в точках P и N, прямая q пересекает стороны АВ и ВС в точках Q и М соответственно. Доказать, что точка пересечения прямых PQ и MN принадлежит диагонали ВD.

1.110. На плоскости дана трапеция с основаниями АВ и CD. Через точки А и В проведены прямые m и n параллельно прямой, проходящей через середины оснований трапеции, при этом m пересекает прямую BD в точке Е, n пересекает прямую АС в точке F. Доказать, что прямые EF и AB параллельны.

1.111. Прямая EF параллельна основаниям АВ и CD трапеции АВСD, заданной на расширенной плоскости, причем точки Е и F принадлежат прямым AD и BC соответственно. На прямой EF взята произвольная точка М, через которую проведены прямые m и n: m пересекает стороны AD и ВС в точках P и N, n пересекает те же стороны в точках К и S. Доказать, что точки пересечения прямых ЕN и PF, ES и KF, AD и BC лежат на одной прямой.

1.112. Доказать, что на евклидовой плоскости два подобных треугольника, соответственные стороны которых параллельны, гомотетичны.

1.113. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

1.114. Доказать, что если три трехвершинника имеют общий дезаргов центр, то дезарговы оси каждой пары этих трехвершинников пересекаются в одной точке.

Пример 1.7. На чертеже ограниченных размеров даны прямые m и n, пересекающиеся в точке Р за пределами чертежа (в недоступной точке), а также точка Q, не принадлежащая этим прямым. С помощью линейки построить доступную часть прямой PQ.

Решение. Построим два дезарговых трехвершинника АВС и А'В'С' таким образом, чтобы искомая прямая PQ была дезарговой осью. Тогда в точках P и Q пересекаются две пары соответственных сторон этих трехвершинников. Пусть AB и А'В' пересекаются в точке Q; AC и А'С'

1.7. Теорема Дезарга

пересекаются в точке P (т.е. точки А и С, А' и С' лежат соответственно на прямых m и n, их можно выбрать произвольно). Задача сводится к построению точки Т пересечения сторон ВС и В'С', которая также принадлежит прямой PQ.

Дезаргов центр S является точкой пересечения прямых АА' и СС'. Точки В и В' лежат на прямой, проходящей через точку S, и принадлежат прямым QA и QA' соответственно. Построение. Строим (рис. 1.9):

Рис. 1.9 1) произвольную прямую а, не проходящую через точку Q и пересекающую прямые m и n в точках А и А' соответственно;

2) произвольную прямую с, не проходящую через точку Q и пересекающую прямые а, m и n в точках S, С и С' соответственно;

3) прямые QA и QA';

4) произвольную прямую b, проходящую через точку S, не проходящую через точку Q и пересекающую прямые QA и QA' в точках В и В' соответственно;

5) точку T пересечения прямых ВС и В'С'; 6) прямую QT.

Прямая QT - искомая.

Действительно, АВС и А'В'С' - два трехвершинника, для которых прямые АА', ВВ' и СС' проходят через одну точку S. По теореме Дезарга точки Q, P и T пересечения пар прямых AB и А'В', AC и А'С', ВС и В'С' принадлежат одной прямой.

Задачи

1.115. Через данную точку А с помощью линейки провести прямую, параллельную двум заданным параллельным прямым c и d.

1.116. Через точку пересечения диагоналей данного параллелограмма с помощью линейки провести прямые, параллельные его сторонам.

1.117. Через точку пересечения диагоналей данной трапеции с помощью линейки провести прямую, параллельную ее основаниям.

1.118. На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых: m и q, пересекающиеся в недоступной точке Q; и n и p, пересекающиеся в недоступной точке P. Точки M и N пересечения прямых m, p и n, q доступны. Построить с помощью линейки доступную часть прямой PQ.

1.119. С помощью линейки построить диагонали четырехугольника MPNQ, если его вершины являются недоступными точками.

1.8. Сложное отношение четырех точек прямой

Пусть на проективной прямой d даны точки А, В, С и D так, что А, В и С - различные точки, а точка D не совпадает с точкой А.

Обозначим (x1, x2) координаты точки D в репере R0 = (А, В, С ) пря-

x1 мой d. Число называется сложным (двойным или ангармоническим) x2

отношением точек А, В, С, D и обозначается так: (АВ, СD).

Если А, В и С - различные точки прямой, а ? - любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка Х, такая, что (АВ, СХ) = ?. Отсюда следует: если на прямой даны точки А, В, С, D и D', удовлетворяющие условию (АВ, СD) = (АВ, СD' ), то точки D и D' совпадают.

Если на проективной прямой d задан некоторый репер R = (A1, A2, E ), в котором точки А, В, С и D имеют координаты А (а1, а2), В (b1, b2), C (c1, c2), D (d1, d2), то (АВ, СD) = .

Свойства сложного отношения четырех точек прямой:

1. (CD, AB) = (АВ, СD);

1 1 2. (AB, DC) = ; (BA, CD) = , если (АВ, СD) ? 0;

(AB CD, ) (AB CD, )

1.8. Сложное отношение четырех точек прямой

3. (АВ, СD) + (AC, BD) = 1.

О четырех точках А, В, С и D одной прямой говорят, что пара точек А, В разделяет пару точек С, D, если (АВ, СD) 0.

Если (АВ, СD) = -1, то говорят, что пара точек А, В гармонически разделяет пару точек С, D (или гармонически сопряжена с парой точек С, D). Говорят также, что А, В, С, D - гармоническая четверка точек.

Для четырех точек расширенной прямой сложное отношение имеет следующий геометрический смысл: если А, В, С и D - собственные точки, а P ? - несобственная точка расширенной прямой, то

(АВ С, ) ?) = -(АВ, С ), (АВ, СD) = , (АВ, CP (АВ D, )

где (АВ, С ) и (АВ, D) - простые отношения соответствующих точек.

Теорема об инвариантности сложного отношения четырех точек прямой при центральном проецировании: если А, В, С, D - точки прямой g, а A', B', C', D' - их проекции на прямую g' из точки О, не принадлежащей этим прямым, то (АВ, СD) = (A'B', C'D' ).

Задачи 1.120. Для точек А, В, С найти (если возможно) сложные отношения: а) (АВ, СА); б) (АВ, СВ); в) (АВ, СС ).

1.121. Для точек А, В, С, D проективной прямой (АВ, СD) = -2. Найти: а) (AB, DC); б) (AC, BD); в) (BC, DA); г) (DB, AC).

1.122. Найти значения сложных отношений всех четверок точек, которые можно составить из точек А, В, С, D, если (АВ, СD) = ?.

1.123. Доказать, что для пяти различных точек А, В, М, U, V проек(AB UM, )

тивной прямой имеет место равенство (АВ, UV ) = .

(AB VM, ) 1.124. Доказать, что для пяти различных точек А, В, С, D и F проективной прямой (АВ, СD)(АВ, DF )(АВ, FС ) = 1.

1.125. Доказать, что точка D является четвертой гармонической к тройке точек А, В, С одной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты (d1, d2) в репере R = (А, В, С ) связаны соотношением d1 = -d2.

1.126. На расширенной прямой даны три различные точки А, В, С. Доказать, что пара точек X и Y гармонически разделяет пару А, В тогда и только тогда, когда (АВ, СX) + (AB, CY) = 0.

1.127. А, В, С, D - четыре точки расширенной прямой, точка С лежит между точками А и В. Доказать, что точка D не лежит между точками А и В тогда и только тогда, когда (АВ, СD) 0.

Если (ab, cd) = -1, то говорят, что пара прямых a, b гармонически разделяет пару прямых c, d (или гармонически сопряжена с парой прямых c, d). Говорят также, что a, b, c, d - гармоническая четверка прямых.

Задачи

1.136. На расширенной плоскости даны прямые a, b и c, принадлежащие одному пучку. Построить прямую d этого пучка так, чтобы: а) (ab, cd) = 2; б) (ab, cd) = -3; в) (ab, cd) = -1.

1.137. Доказать, что прямые a, b, c, d принадлежат одному пучку, и найти сложное отношение (ab, cd) в следующих случаях:

а) а (0, 1, -1), b (1, -2, 0), с (1, -1, -1), d (1, -5, 3); б) а (1, 0, 0), b (0, 3, -1), с (1, -3, 1), d (2, 3, -1); в) а (2, -1, 0), b (1, 0, 1),

с (1, -1, -1), d (3, -1, 1); г) а (1, -1, 0), b (2, 0, -1), с (1, 1, -1), d (0, 2, -1); д) а (1, -2, 4), b (1, -1, 1), с (2, -1, -1), d (3, -1, -3); е) а (0, 0, 1), b (1, 1, 2), с (1, 1, -2), d (1, 1, 0).

1.138. На проективной плоскости задан репер R = (A1, A2, A3, E ), Еi - проекция точки Е из центра Аi на координатную прямую Аj Ak (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3), Mk - точки пересечения прямых EiEj и AiAj. Доказать, что пара прямых АiEi, АiMi гармонически разделяет пару прямых АiАj, АiАk.

1.139. Доказать, что на расширенной плоскости прямая, содержащая медиану СМ треугольника АВС, и прямая СD, параллельная стороне АВ, гармонически разделяют прямые СА и СВ.

1.140. Доказать, что на расширенной плоскости прямые, содержащие биссектрисы СD и СF внутреннего и внешнего углов при вершине С треугольника АВС, гармонически разделяют прямые СА и СВ.

1.141. Прямые а и b пересекаются в точке С, прямые с и d содержат биссектрисы углов, образованных прямыми а и b. Доказать, что а, b, c, d - гармоническая четверка прямых.

1.142. На расширенной плоскости указать четвертую гармоническую прямую: а) к прямым, содержащим две стороны треугольника и медиану, проведенную к третьей стороне; б) к прямым, содержащим две стороны треугольника и биссектрису угла между ними.

1.10. П роективные преобразования плоскости. Гомология

Преобразование проективной плоскости называется проективным, если точкам любой прямой соответствуют точки, лежащие на некоторой прямой так, что сохраняется сложное отношение четырех точек, т.е. для любых четырех точек A, B, C, D одной прямой и их образов A', B', C', D' выполняется равенство (AB, CD) = (A'B', C'D' ).

Если R = (A1, A2, A3, E ) и R' = (A'1, A'2, A'3, E' ) - проективные реперы проективной плоскости, то отображение f, которое каждой точке с заданными координатами в репере R ставит в соответствие точку с теми же координатами в репере R', является проективным преобразованием.

Основная теорема о проективных преобразованиях: если R = (A1, A2, A3, E ) и R' = (A'1, A'2, A'3, E' ) - проективные реперы проективной плоскости, то существует одно и только одно проективное преобразование, которое переводит репер R в репер R', причем точка с данными координатами в репере R переходит в точку с пропорциональными координатами в репере R'.

Основные свойства проективных преобразований. При проективном преобразовании:

1) три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, также не лежащие на одной прямой;

2) любой репер переходит в репер;

3) прямая переходит в прямую;

4) пучок прямых переходит в пучок прямых.

Задачи 1.143. Доказать, что если проективное преобразование f плоскости имеет четыре инвариантные точки общего положения, то f - тождественное преобразование плоскости.

1.144. Доказать, что если проективное преобразование плоскости имеет три инвариантные точки, принадлежащие одной прямой, то любая точка этой прямой является инвариантной.

1.145. Доказать, что если проективное преобразование плоскости имеет три инвариантные прямые, принадлежащие одному пучку, то любая прямая этого пучка является инвариантной.

1.146. Доказать, что если проективное преобразование f плоскости имеет прямую g инвариантных точек, то существует такая инвариантная точка S, что всякая прямая, содержащая точку S, является инвариантной прямой преобразования f.

Гомология. Нетождественное проективное преобразование плоскости называется гомологией, если оно имеет по крайней мере три инвариантные точки, лежащие на одной прямой.

Свойства гомологии:

1. Любая точка прямой, содержащей три инвариантные точки гомологии, является инвариантной.

2. Прямая, проходящая через несовпадающие соответственные точки гомологии, является инвариантной прямой.

3. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки гомологии, принадлежат одному пучку, центр которого является инвариантной точкой гомологии.

Центр пучка инвариантных прямых называется центром гомологии.

Прямая инвариантных точек называется осью гомологии.

Если центр гомологии не лежит на оси гомологии, то гомология называется гиперболической; если центр гомологии лежит на оси, то гомология называется параболической.

Задачи 1.147. Доказать, что если при нетождественном проективном преобразовании f плоскости точка S является инвариантной и существуют по крайней мере три различные инвариантные прямые, проходящие через эту точку, то f - гомология с центром S.

1.148. На проективной плоскости задан репер R = (А1, А2, А3, Е), Еi - проекция точки Е из вершины Аi на прямую Аj Аk (i, j, k - попарно различные числа, принимающие значения 1, 2, 3). Доказать, что точки Мk пересечения прямых EiEj и Ai Aj имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R' = (E1, E2, E3, E ).

1.149. Доказать, что гиперболическая гомология, кроме центра гомологии, не имеет других инвариантных точек, не лежащих на оси гомологии.

1.150. Доказать, что параболическая гомология не имеет инвариантных точек, не лежащих на оси гомологии.

1.151. Доказать, что соответственные прямые гомологии пересекаются на оси гомологии.

1.152. Пусть f - гиперболическая гомология с центром S и осью g, M и M' - соответственные точки преобразования f, К - точка пересечения прямых g и ММ'. Показать, что сложное отношение точек S, K, M, M' одинаково для всех точек М плоскости, отличных от точки S и не принадлежащих прямой g (это сложное отношение (SK, MM' ) называется инвариантом гомологии f ).

Пример 1.8. Доказать, что если на проективной плоскости даны три точки S, A и А', лежащие на одной прямой, и прямая g, не проходящая через точки A и А', то существует одна и только одна гомология с осью g и центром S, которая переводит точку А в точку А'. Решение.

Возможны два случая:

1) точка S не принадлежит прямой g.

Пусть прямая AA' пересекает прямую g в точке M. Пусть B и C - точки, принадлежащие прямой g, отличные от точки М. Рассмотрим два проективных репера: R = (S, A, B, C) и R' = (S, A', B, C) (рис. 1.10). Согласно основной теореме о проективных преобразованиях, существует единственное проективное преобразование f, переводящее репер R в репер R'.

При этом преобразовании S, B, C - инвариантные точки, А и А' - соответственные точки, причем S, A и A' - точки одной прямой. Тогда прямые ВС и АА' - инвариантные прямые, следовательно, точка М их пересечения - инвариантная точка.

Итак, проективное преобразование f имеет три инвариантные точки В, С, М, принадлежащие одной прямой g. Кроме того, проективное преобразование f является нетождественным, так как соответственные точки А и А' не совпадают. По определению f - гомология c осью g. Точка S не принадлежит оси и является инвариантной точкой гомологии f.

Значит, S - центр гомологии f; 2) точка S принадлежит прямой g.

Прямая AA' пересекает прямую g в точке S. Пусть B - точка, принадлежащая прямой g, отличная от точки S. Выберем точку Е, не принадлежащую прямым АА', АВ и g. Пусть М - точка пересечения прямых АЕ и g, а Е' - точка

Рис. 1.10 пересечения прямых SE и А'М.

Рассмотрим два проективных репера: R = (S, A, B, Е) и R' = (S, A', B, Е' ) (рис. 1.11).

Согласно основной теореме о проективных преобразованиях, существует единственное проективное преобразование f, переводящее репер R в репер R'.

При этом преобразовании S, B - инвариантные точки, значит, g - инвариантная прямая. А и А', Е и Е' - пары соответственных точек. Тогда точка М пересечения прямых АЕ и g переходит в точку

Рис. 1.11 пересечения прямых А'Е' и g, т.е.

является инвариантной точкой.

Итак, точки В, S, М - инвариантные при преобразовании f точки одной прямой g. Преобразование f является нетождественным, так как точки А и А' не совпадают. Значит, f - гомология c осью g. Точка S - инвариантная точка, принадлежащая оси. Она является точкой пересечения прямых, проходящих через соответственные точки гомологии f. Значит, S - центр гомологии f.

Пример 1.9. На расширенной плоскости гиперболическая гомология f задана центром в собственной точке S, собственной осью g и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить образ В' некоторой собственной точки В, не принадлежащей оси гомологии.

Решение. Построение точки В' выполняется с учетом того, что:

1) прямая ВВ' проходит через точку S;

2) прямые АВ и А'В' пересекаются на оси гомологии (задача 1.151).

1. Точка В не принадлежит прямой SA.

Построение. Строим:

1) прямую SB;

2) прямую АВ;

3) точку М пересечения прямых АB и g;

4) прямую А'М;

5) точку В' пересечения прямых SB и А'М (рис. 1.12).

2. Точка В принадлежит

прямой SA. Рис. 1.12

В этом случае следует построить вспомогательную пару соответственных точек С и С', выбрав С произвольно вне прямых g и SA. Тогда построение точки В' осуществляется по паре соответственных точек С и С' (см. пункт а).

Пример 1.10. На расширенной плоскости гиперболическая гомология f задана центром в собственной точке S, собственной осью g и парой соответственных точек А и А'. Построить образ В' некоторой несобственной точки B ?, не принадлежащей оси g.

Решение. Поскольку каждой прямой расширенной плоскости принадлежит единственная бесконечно удаленная точка, то несобственную точку B ? зададим произвольной прямой b.

Построение. Строим:

1) прямую с = SB', т.е. прямую, проходящую через точку S параллельно прямой b;

2) прямую а = АB', т.е. прямую, проходящую через точку А параллельно прямой b;

3) точку M пересечения прямых АB ? и g;

4) прямую A'M;

5) точку В' пересечения прямых c и А'М (рис. 1.13).

Задачи В задачах 1.153-1.158 гомология задана на расширенной аффинной плоскости.

1.153. Гиперболическая гомология f задана центром в собственной точке S, собственной осью g и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить: а) прообраз некоторой собственной точки, не принадлежащей оси гомологии; б) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в собственной точке; в) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в несобственной точке; в) образ несобственной прямой.

1.154. Гиперболическая гомология f задана центром в несобственной точке S ?, собственной осью g и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить: а) образ некоторой собственной точки,

Рис. 1.13 не принадлежащей оси гомоло-

гии; б) образ некоторой собственной прямой, отличной от оси гомологии.

1.155. Гиперболическая гомология f задана центром в собственной точке S, несобственной осью g? и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить образ собственной точки М.

1.156. Параболическая гомология f задана собственной осью g, центром в собственной точке S и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить: а) образ некоторой собственной точки, не принадлежащей оси гомологии; б) прообраз некоторой собственной точки, не принадлежащей оси гомологии; в) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в собственной точке; в) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в несобственной точке; г) образ несобственной прямой.

1.157. Параболическая гомология f задана собственной осью g, центром в несобственной точке S и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить: а) образ некоторой собственной точки; б) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в собственной точке; в) образ несобственной прямой.

1.158. Гомология задана центром S, осью g и парой соответственных точек А и А'. Построить образ трехвершинника АВС. Рассмотреть гиперболическую и параболическую гомологии.

1.159. Гомология задана одной точкой G оси g и двумя парами А, А' и В, В' соответственных точек, не лежащих на одной прямой. Построить ось и центр гомологии. Всегда ли задача имеет решение?

1.160. Гомология задана центром S, одной точкой G оси и двумя парами А, А' и В, В' соответственных точек, лежащих на одной прямой, не проходящей через точку G. Построить ось гомологии. Всегда ли задача имеет решение?

1.161. Гомология задана центром S, парой соответственных прямых a, a' и парой соответственных точек В, В', не лежащих на данных прямых. Построить ось гомологии.

1.162. Параболическая гомология задана двумя парами a, a' и b, b' соответственных прямых. Построить ось и центр гомологии.

1.163. Гомология задана осью g и двумя парами А, А' и В, В' соответственных точек, лежащих на одной прямой. Построить центр гомологии.

1.164. Даны три попарно непараллельные прямые a, b, g и точка S, не принадлежащая ни одной из данных прямых. Построить образ прямой b в гомологии с осью g и центром S, при которой образ а' прямой а параллелен прямой b.

1.165. Даны три попарно непараллельные прямые g, а, b и точка S, не принадлежащая ни одной из данных прямых. Построить образ некоторой точки М в гомологии с центром S и осью g, при которой образы прямых а и b параллельны.

1.166. На расширенной плоскости даны три попарно непараллельные прямые g, а, b и точки А и А', не принадлежащие ни одной из данных прямых. Построить центр S гомологии с осью g, соответствующими точками А и А', если при этой гомологии образы прямых а и b параллельны.

1.167. На расширенной плоскости даны три попарно непараллельные прямые g, а, b и точка S, не принадлежащая ни одной из данных прямых. Построить образ точки М пересечения прямых а и b при гомологии с центром S, осью g, при которой образы прямых а и b перпендикулярны. Сколько таких гомологий существует?

Рассмотрим применение гомологии к решению задач на построение ограниченными средствами (с помощью одной линейки).

Пример 1.11. На чертеже ограниченных размеров даны прямые m и n, пересекающиеся в точке В за пределами чертежа (в недоступной точке), а также точка А, не принадлежащая этим прямым. Построить доступную часть прямой АВ.

Решение. Всякая прямая определяется двумя принадлежащими ей точками. Пусть g - искомая прямая. Известна точка А, через которую проходит прямая g. Необходимо найти еще одну точку этой прямой.

Первый способ. Будем считать две данные прямые m и n соответственными при гомологии f с осью g - пусть n = f (m). В качестве центра гомологии выбираем точку S, отличную от точки А и не принадлежащую данным прямым m и n.

Зададим пару соответственных точек гомологии. Для этого через точку S проведем любую прямую d, пересекающую прямые m и n в точках D, D'. Если выбрать точку K на прямой AD, то образ K' этой точки принадлежит прямым SK и АD'.

Задача сводится к тому, чтобы построить ось гомологии, проходящую через данную точку А, если известны две пары D, D' и K, K' соответственных точек, не лежащих на одной прямой (задача 1.159).

Рассмотрим произвольную прямую p, проходящую через точку S и пересекающую прямые m и n в точках Р и Р'. Находим точку C пересечения прямых РK и Р'K'. Тогда прямая АС - искомая (рис. 1.14).

Построение. Строим:

1) любую точку S, не принадлежащую данным прямым m и n;

2) любую прямую d, проходящую через точку S и пересекающую прямые m и n в точках D и D' соответственно;

3) любую точку К на прямой AD;

4) точку K' пересечения прямых SK и AD';

5) любую прямую р, проходящую через точку S и пересекающую прямые m и n в точках Р и Р' соответственно;

6) точку С пересечения прямых KР и К'Р'; 7) прямую АС.

Второй способ. Будем считать одну из данных прямых, например m, осью гомологии f, а другую прямую n - прообразом искомой прямой с при этой

гомологии. Центр S гомо-

логии можно выбрать про- Рис. 1.14 извольно (вне прямой n).

Точка А принадлежит искомой прямой с, поэтому ее прообраз принадлежит прямой n. Тогда прямая SА пересекает прямую n в точке N:

А = f (N ), т.е. А и N - пара соответственных точек гомологии f.

Гомология f определена осью m, центром S и парой соответственных точек N и А.

Построим образ c прямой n. Возьмем любую точку К, не принадлежащую прямой n, и построим ее образ К' в заданной гомологии. Точку К следует выбирать так, чтобы прямые NK и LK пересекали ось m в доступных точках. Далее по паре соответственных точек К и К' построим образ L' точки L. Прямая АL' - искомая.

Построение. Строим:

1) произвольную точку S, не принадлежащую прямой m;

2) прямую SA;

3) точку N пересечения прямых n и SA;

4) произвольную точку К, не принадлежащую прямым n и SA;

5) образ К' точки К при гомологии f, заданной осью m, центром S и парой соответственных точек N и А;

6) произвольную точку L на прямой n;

7) образ L' точки L при заданной гомологии f; 8) прямую АL' (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Задачи 1.168. Через данную точку А провести прямую, параллельную двум заданным параллельным прямым c и d.

1.169. На чертеже ограниченных размеров даны прямые a, b, c и d. Прямые a и b, c и d пересекаются в недоступных точках М и N. Прямые а и с, b и d пересекаются в доступных точках U и V. Построить доступную часть прямой MN.

1.170. Построить диагонали четырехугольника, если вершины являются недоступными точками.

1.171. На чертеже ограниченных размеров даны прямые a и b, пересекающиеся в точке C за пределами чертежа (в недоступной точке), а также две параллельные прямые m и n. Построить прямую, проходящую через точку С параллельно прямым m и n.

Пример 1.12. Даны точки А и В и прямая n. Не проводя прямую АВ, построить точку С пересечения прямых АВ и n. Решение.

Первый способ. Пусть АВ - ось гомологии f. Необходимо построить прямую m = f (n), тогда точка пересечения прямых m и n принадлежит оси гомологии АВ.

Зададим центр S гомологии и пару соответственных точек.

Так как точки А и В принадлежат оси гомологии, то в каждой из них пересекаются пары соответственных прямых. Пусть а и а' - две соответственные прямые, проходящие через точку А; b и b' - две соответственные прямые, проходящие через точку В. Тогда точки М и М' пересечения пар прямых а, b и а', b' являются соответственными при гомологии f. Центр S гомологии выберем на прямой ММ' произвольно (но S не принадлежит прямой n). Построим образ прямой n при гомологии с осью АВ, центром S, зная пару соответственных точек М и М' (рис. 1.16).

Рассмотрим точки U и V пересечения прямой n с прямыми a и b соответственно. Образ U' точки U принадлежит прямым SU и а', т.е. является пересечением прямых SU и а'; образ V' точки V принадлежит прямым SV и b', т.е. является пересечением прямых SV и b'. Прямая U'V' - образ прямой n. Искомой точкой является точка С пересечения прямых n и U'V'.

Точка С принадлежит оси го- Рис. 1.16

мологии АВ, так как является точкой соответственных при этой гомологии прямых, одна из которых - прямая n.

Построение. Строим:

1) любую прямую а, проходящую через точку А;

2) точку U пересечения прямых а и n;

3) прямую b, проходящую через точку В и не проходящую через точку U;

4) точку V пересечения прямых b и n;

5) точку М пересечения прямых а и b;

6) прямую а', проходящую через точку А; 7) прямую b', проходящую через точку В;

8) точку М' пересечения прямых а' и b';

9) точку S на прямой ММ', не принадлежащую прямой n;

10) точку U' пересечения прямых а' и SU;

11) точку V' пересечения прямых b' и SV;

12) прямую U'V';

13) точку С пересечения прямых n и U'V'.

Второй способ. Рассмотрим гомологию с центром в искомой точке С пересечения прямых n и АВ, при которой точка В - образ точки А. Тогда прямая n - инвариантная прямая. Ось g гомологии можно выбрать произвольно, не проводя ее через точки А и В. Задача сводится к построению образа D' некоторой точки D. Центр гомологии - это точка пересечения прямых, проходящих через соответственные точки этой гомологии. Используя точки А и В и учитывая, что соответственные прямые гомологии пересекаются на оси гомологии, легко построить пару N, N' соответственных точек на прямой n. Зная две пары A, B и N, N' соответственных точек, построим образ точки D. Прямая DA и ее образ (проходящий через точку В) пересекаются в точке U на оси g; прямая DN и ее образ (проходящий через точку N' ) пересекаются в точке V на оси g. D' - точка пересечения прямых BU и N'V. Наконец, искомая точка С - пересечение прямых n и DD' (рис. 1.17).

Рис. 1.17 Построение. Строим:

1) любую прямую g, не проходящую через точки А и В;

2) точку N на прямой n, отличную от точки пересечения прямых n и g;

3) точку Y пересечения прямых g и AN;

4) прямую ВY;

5) точку N' пересечения прямых n и BY;

6) точку D, не принадлежащую прямым n и g;

7) точку U пересечения прямых g и AD; 8) прямую BU;

9) точку V пересечения прямых g и ND;

10) прямую VN';

11) точку D' пересечения прямых BU и VN';

12) прямую DD';

13) точку С пересечения прямых n и DD'.

Задачи

1.172. Даны точки А и В. Не проводя прямую АВ, построить еще одну точку прямой АВ.

1.173. Длина имеющейся линейки меньше, чем расстояние между данными точками А и В. Построить прямую, проходящую через точки А и В.

1.174. Провести прямую через данную точку D и точку пересечения доступной прямой n и прямой, заданной точками А и В, не строя прямую АВ.

1.175. Даны четыре прямые a, b, c и d, причем прямые а и с, а также b и d пересекаются в недоступных точках А и В. Точки пересечения пар прямых а и b, c и d доступны. Построить общую точку данной прямой n и прямой АВ.

1.176. Дан параллелограмм ABCD и некоторая прямая n, не параллельная его сторонам. Построить какую-нибудь прямую параллельно прямой n.

1.177. Дан параллелограмм, некоторая прямая n, не параллельная его сторонам, и точка L. Через точку L провести прямую параллельно прямой n.

1.178. Каким аффинным преобразованием плоскости является параболическая гомология на расширенной аффинной плоскости, у которой: а) ось - бесконечно удаленная прямая, центр - бесконечно удаленная точка; б) ось - собственная прямая, центр - бесконечно удаленная точка.

1.179. Каким аффинным преобразованием плоскости является гиперболическая гомология, у которой: а) ось - собственная прямая, центр - бесконечно удаленная точка; б) ось - бесконечно удаленная прямая, центр - собственная точка.

1.11. Аналитическое выражение проективных

преобразований плоскости

Формулы проективного преобразования плоскости, переводящего репер R = (A1, A2, A3, E ) в репер R' = (A'1, A'2, A'3, E' ), имеют вид:

?x1? = a11x1 +a x12 2 +a x13 3,

?x2? = a x21 1 +a22x2 +a x23 3, (1.3)

?x3? = a x31 1 +a x32 2 +a x33 3,

det ||aij|| ? 0,

? a11 a12 a13 a10 ?

? ?

где ?a21 a22 a23 a20? - матрица перехода от репера R к реперу R', столбцы

??a31 a32 a33 a30 ??

которой согласованы, М (x1, x2, x3) и М' (x'1, x'2, x'3) - координаты точки и ее образа в репере R.

Задачи

1.180. Доказать, что любое проективное преобразование плоскости имеет хотя бы одну инвариантную точку.

1.181. Доказать, что любое проективное преобразование плоскости имеет хотя бы одну инвариантную прямую.

Пример 1.13. Найти координаты инвариантных точек проективного преобразования плоскости, заданного формулами ?x1? = x1, ?x2? =

= x2, ?x3? = x1 - x3.

Решение. Точка М (x1, x2, x3) является инвариантной, если М' (x1, x2, x3). Подставив эти значения в формулы данного проективного преобразования, получаем систему уравнений:

? ?x1 = x1, ? ? ?x2 = x2,

???x3 = x1 ? x3,

или

? (1??)x1 = 0, ?

? (1??)x2 = 0, ??x1 ?(1+?)x3 = 0.

Эта линейная однородная система уравнений относительно x1, x2, x3 имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

1?? 0 0

0 1?? 0= 0, 1 0 ?(1+?)

или (1 - ?)2(1 + ?) = 0.

Это уравнение имеет решения при ?1 = -1 и ?2 = 1.

Если ?1 = -1, то решением системы будут такие x1, x2, x3, для которых x1 = x2 = 0, x3 - любое число, отличное от нуля. Получаем инвариантную точку М (0, 0, 1).

Если ?2 = 1, то решениями системы будут такие x1, x2, x3, для которых x3 = x1 - x3, или x1 - 2x3 = 0. Это уравнение прямой, т.е. инвариантными будут все точки этой прямой (прямая инвариантных точек).

Пример 1.14. Найти инвариантные прямые проективного преобразования плоскости, заданного формулами ?x'1 = -x2 + x3, ?x'2 = -x1 +

+ x3, ?x'3 = x3.

Решение. Пусть u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 - уравнение инвариантной прямой d. Если точка М (х1, х2, х3) принадлежит прямой d, то ее образ М' (-х2 + х3, -х1 + х3, х3) также принадлежит прямой d. Подставим координаты точки М' в уравнение прямой d: u1(-х2 + х3) + u2(-х1 + х3) + + u3х3 = 0 или d: -u2х1 - u1х2 + (u1 + u2+ u3)х3 = 0.

Уравнения u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 и -u2х1 - u1х2 + (u1 + u2+ u3)х3 =

= 0 - это уравнения одной и той же прямой d, поэтому существует

k ? 0 такое, что ?

? ? u1 = ?ku2, u2 = ?ku1, ??u3 = k u( 1 +u2 +u3).

Эта однородная система уравнений имеет ненулевое решение, если

1 k 0 k 1 0= 0. k k k +1

Получили характеристическое уравнение, решая которое находим два корня: k1 = -1, k2 = 1. Подставляя найденные значения в однородную систему, получаем: 1) k1 = -1:

? u1 = u2,

? ? u2 = u1, ??u3 = ?1(u1 +u2 +u3),

откуда ? u1 ?u2 = 0,

? ? ??u1 +u2 + 2u3 = 0,

или

? u2 = u1, ? ?u3 = ?u1.

В этом случае получаем инвариантную прямую x1 + x2 - x3 = 0.

2) k2 = 1: ? u1 = ?u2,

? ? u2 = ?u1,

??u3 = u1 +u2 +u3,

откуда ? u1 = ?u2,

? ?u3 ? любое.

В этом случае получаем инвариантные прямые x1 - x2 + ?x3 = 0, где ? - любое число (такие прямые образуют пучок прямых с центром

S(1, 1, 0)).

Задачи 1.182. Проективное преобразование f плоскости задано парой соответственных реперов R = (A1, A2, A3, E ) и R' = (A2, A1, E, A3). Написать формулы преобразования f плоскости. Найти координаты инвариантных точек этого преобразования.

1.183. Проективное преобразование f плоскости задано парой соответственных реперов R = (A1, A2, A3, E ) и R' = (A2, A3, E, A1). Написать формулы преобразования f плоскости. Найти координаты инвариантных точек этого преобразования.

1.184. Написать формулы проективного преобразования плоскости, переводящего репер R = (A1, A2, A3, E ) в репер R' = (A1, A2, A3', E' ).

1.185. Написать формулы проективного преобразования плоскости, переводящего репер R = (A1, A2, A3, E ) в репер R' = (A1, A2, A3, E' ).

1.186. Написать формулы проективного преобразования f плоскости, при котором координатные прямые A2A3 и A1A3 репера R = (A1, A2, A3, E ) инвариантны.

1.187. Написать формулы проективного преобразования f плоскости, при котором точки M и N инвариантны, точка А переходит в точку В, а точка В переходит в точку А: М (0, 1, 0), N (1, 0, 0), А (0, 0, 1), В (а, 0, 1), где a ? 0.

1.188. В проективном репере R = (A1, A2, A3, E ) плоскости заданы точки А (2, 1, 0), В (0, 1, 1), С (1, -1, 1), D (1, 3, 0). Написать формулы проективного преобразования f плоскости, при котором точки А, В, С и D переходят в точки A1, A2, A3, E соответственно.

1.189. Написать формулы проективного преобразования f плоскости, при котором точки А (0, 0, 1), В (1, 2, 0), С (1, 0, 1), D (0, 1, 0) переходят в точки А' (1, 2, 0), В' (1, 0, 1), С' (0, 1, 0), D' (0, 0, 1).

1.190. Относительно проективного репера R плоскости заданы прямые m: x1 + x2 + x3 = 0, m': 5x1 + 2x3 = 0 и точки А (0, 1, 1), В (2,-1, 2), С (1, 3, 0), А' (0, 4, 3), В' (-1, 1, 7), С' (4, 1, -4). Написать формулы проективного преобразования плоскости, при котором точки А, В, С переходят соответственно в точки А', В', С', а прямая m переходит в прямую m'.

1.191. Найти инвариантные точки и прямые проективного преобразования, заданного формулами: а) ?x1? = 4x1 - x2, ?x2? = 6x1 - 3x2, ?x3? = x1 - x2 - x3; б) ?x1? = x2, ?x2? = x3, ?x3? = x1.

1.192. Проективное преобразовании f плоскости, переводящее репер R = (A1, A2, A3, E ) в репер R' = ( A1?, A2? , A3?, E' ), задано формулами: ?x1? = 2x1 - 3x2 + x3, ?x2? = 3x1 - x2 + 4x3, ?x3? = 3x1 - 2x2 + 5x3. Найти

координаты вершин и единичной точки репера R'.

1.193. Проективное преобразование f плоскости задано формулами: ?x1? = x1 + x2 + x3, ?x2? = x3, ?x3? = x2. Найти образ прямой u1x1 + + u2x2 + u3x3 = 0 при этом преобразовании.

1.194. Проективное преобразование f плоскости задано формулами: а) ?x1? = x2 + x3, ?x2? = x1 + x3, ?x3? = x1 + x2; б) ?x1? = аx1 + сx3, ?x2? = аx2 + dx3, ?x3? = bx3, ab ? 0, a ? b. Показать, что f - гиперболиче-

ская гомология; найти ее ось S и центр g.

1.195. Преобразование f проективной плоскости задано формула-

ми: ?x1? = x2 - x3, ?x2? = x1 + x3, ?x3? = 2x1 - 2x2 + 3x3. Показать, что f - параболическая гомология; найти ее ось g и центр S.

1.196. В проективном репере R = (A1, A2, A3, E ) плоскости заданы точки М (3, -1, 2) и М' (1, -1, 0). Написать формулы параболической гомологии с осью A2A3, при которой М и М' - соответственные точки.

1.197. Написать в общем виде формулы гомологии, осью которой является прямая g (1, 1, 1). Выразить координаты центра гомологии через коэффициенты полученных формул.

1.198. На проективной плоскости задан репер R = (A1, A2, A3, E ). Написать формулы гиперболической гомологии f с центром A3 и осью

A1A2.

1.199. На проективной плоскости задан репер R = (A1, A2, A3, E ).

Написать формулы параболической гомологии f, с центром A1 и осью A1A2.

Вопросы к главе 1

1. Является ли центральное проектирование биективным отображением?

2. Верно ли, что образом отрезка при центральном проектировании является отрезок? (Сохраняется ли при центральном проектировании понятие отрезка?)

3. Сохраняет ли центральное проектирование понятие "лежать между" для трех точек одной прямой?

4. Сохраняет ли центральное проектирование свойство замкнутости фигуры?

5. Почему нулевой вектор исключается из векторного пространства при определении проективного пространства?

6. Существует ли на расширенной плоскости репер, три точки которого - бесконечно удаленные?

7. Существуют ли параллельные плоскости в трехмерном проективном пространстве? Ответ обосновать.

8. На проективной плоскости дан проективный репер R. Существует ли точка с координатами (0, 0, 0) в репере R? Ответ обосновать.

9. На проективной плоскости дан проективный репер R и точки А (2, -3, 1), В (-2, 3, 1), С (-6, 9, -3). Что можно сказать о взаимном расположении этих точек?

10. Точка А в репере R (А1, А2, Е ) имеет координаты А (5, 4). Какие координаты эта точка имеет в репере R1 (В1, В2, F ), если {a1, a2, e } и { b1, b2, f } - согласованные тройки векторов относительно реперов R и R1 и b1 = 5 a1 , b2 = 5 a2 , f = 5 e ?

11. Проверить, лежат ли точки А (1, -1, 2), В (-2, 1, 1), С (0, -1, 5) на одной прямой.

12. На проективной плоскости дан проективный репер R (А1, А2, А3, Е) и точка М (11, 13, 4). Найти координаты проекций М1, М2, М3 точки М из вершин А1, А2, А3 на прямые А2А3, А1А3, А1А2 в репере R и соответственно в реперах R1 (А2, А3, Е1), R2 (А1А3, Е2), R3 (А1, А2, Е3).

13. На проективной плоскости даны два проективных репера R1 (А1, А2, А3, Е) и R2 (А3, А1, А2, Е). Точка М в репере R1 имеет координаты М (1, -1, 5). Какие координаты имеет точка М в репере R2?

14. На проективной прямой даны два репера R1 и R2 и матрица

? 1 3 5?

? ? перехода от репера R1 к реперу R2. Как составить

??1 4 1? Вопросы к главе 1

формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R1 к реперу R2?

15. На проективной плоскости дан проективный репер R (А1, А2, А3, Е) и прямые m1: х1 - х2 = 0, m2: х3 = 0, m3: 2х1 + х3 = 0, m1: х1 + + х2 - 2х2 = 0. Что можно сказать о взаимном расположении каждой из данных прямых и репера R?

16. Дано утверждение ?: существуют три точки, не принадлежащие одной прямой. Сформулировать утверждение ?1, получающееся из утверждения ? с помощью: а) малого принципа двойственности; б) большого принципа двойственности.

17. Как доказать теорему Дезарга для таких двух трехвершинников АВС и А1В1С1, у которых: а) точка О лежит на прямой АВ, где О = АА1 ? ВВ1 ? СС1; б) точки А и А1 совпадают?

18. Сформулировать утверждение, полученное из теоремы Дезарга по большому принципу двойственности.

19. Почему в курсе проективной геометрии не доказывается обрат-ная теорема Дезарга?

20. Для каких точек проективной прямой не определено сложное отношение?

21. Сложное отношение точек (АВ, СD) = 3. Чему равно сложное отношение: а) (ВА, СD); б) (СD, АВ); в) (АС, ВD)?

22. На проективной прямой дан проективный репер R и точки А (1, -1), В (1, 5), С (2, -2), D (3, 2). Найти сложное отношение (СА, DВ).

23. Сложное отношение (ВС, DА) = 3. Чему равно сложное отношение (ХY, DZ), если прямые АХ, ВY, СZ пересекаются в точке О, точки О и D не совпадают и точки Х, Y, Z, D лежат на одной прямой?

24. На проективной плоскости дан трехвершинник и точка Е, не принадлежащая его сторонам. Сколько существует проективных преобразований проективной плоскости, при которых данный трехвершинник переходит в себя и точка Е переходит в себя?

25. При проективном преобразовании проективной плоскости ре-пер R1 переходит в в репер R2. Является ли точка М2 образом точки М1, если: а) М1 (1, -2, 5)R1, М2 (-2, 4, -10)R2; б) М1 (1, 1, 2)R1, М2 (-2, -2, 4)R2; в) М1 (1, 0, 1)R1, М2 (1, 1, 0)R2?

26. Что можно сказать о проективном преобразовании f, при котором репер R (А1, А2, А3, Е) переходит в репер R' (А'1, А'2, А'3, Е' ), если:

а) f (А1) = А'1, f (А2) = А'2, f (А3) = А'3, f (Е) = Е';

б) f (А1) = А'1, f (А2) = А'2, f (А3) = А'3, f (Е1) = Е'1. f (Е) ? Е', где Е1 =

= А1Е ? А2А3, Е'1 = А'1Е' ? А'2А'3;

в) f (А1) = А'1, f (А2) = А'2, f (А3) = А'3, f (Е) ? Е'?

27. Дана гомология с осью s и центром S. Построить образ прямой:

а) проходящей через точку S; б) проходящей через точки А и В, лежащие на прямой s; в) пересекающей прямую s.

28. Существуют ли пучки инвариантных прямых при гомологии с осью s и центром S ? Если существуют, то как расположены центры этих пучков?

29. При гомологии с осью s и центром S пучок прямых с центром О переходит в себя. Что можно сказать о расположении точки О?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасян Л. С. и др. Сборник задач по геометрии. Часть 2. М. : Просвещение, 1975.

2. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Часть 2. М. : Просвещение, 1987.

3. Атанасян Л. С. Геометрия Лобачевского. М. : Просвещение, 2001.

4. Атанасян Л. С., Денисова Н. С. Многогранники. М. : Прометей, 1993.

5. Вересова Е. Е., Денисова Н. С., Полякова Т. Н. Практикум по решению математических задач. М. : Просвещение, 1979.

6. Вольберг О. А. Основные идеи проективной геометрии / под ред. Н. В. Ефимова. М. : Книжный дом "Либроком", 2009.

7. Комиссарук А. М. Проективная геометрия в задачах. Минск : Вышэйшая школа, 1971.

8. Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. М. : Физматлит, 2008.

9. Сборник задач по геометрии / Базылев В. Т. [и др.]. М. : Просвещение, 1980.

10. Сборник задач по геометрии / Франгулов С. А. [и др.]. М. : Просвещение, 2002.

11. Феденко А. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М. : Наука, 1979.

1 Вообще говоря, не для каждой точки, принадлежащей плоскости ?, определена ее проекция в плоскости ?.

2 k точек, где k ? 3, называют точками общего положения, если никакие три из них не лежат на одной прямой.

3 .49. На расширенной прямой d даны точки A1 и A2. Построить единичную точку E проективного репера R = (A1, A2, E ), если известно,

4 Проекцией точки Х на прямую a из центра О, не принадлежащего прямой a, называется точка пересечения прямых ОХ и a.

5 .62. На расширенной плоскости ? задан проективный репер R = = (A ? B ?, С, E ), две вершины которого - несобственные точки. Построить точку M (2, -3, 1) по ее координатам в репере R.

6 В математической литературе вместо выражений "принадлежит" и "проходит через" используется также слово "инцидентна", которое заменяет оба эти выражения. В таком случае при формулировке двойственного предложения это слово остается без изменения.

---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

•9

10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

•9 10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.3. Координаты точек на проективной прямой и на проективной плоскости•15

1.3. Координаты точек на проективной прямой и на проективной плоскости•15

10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

•9 •9

10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

•27 •27

10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.10. Проективные преобразования плоскости. Гомология•41

1.10. Проективные преобразования плоскости. Гомология•41

10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.11. Аналитическое выражение проективных преобразований плоскости•51

1.11. Аналитическое выражение проективных преобразований плоскости•51

10•ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

•27

Показать полностью…
Рекомендуемые документы в приложении