Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 065811 из РОАТ МИИТ (бывш. РГОТУПС, ВЗИИТ)

РОССИЙСКАЯ ОТКРЫТАЯ АКАДЕМИЯ ТРАНСПОРТА

________________________________________________________________

Одобрено кафедрой

"Высшая и прикладная математика"

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Задание на контрольную работу с методическими указаниями по выполнению для студентов-специалистов 2 курса

специальности: "Инфокоммуникационные технологии и системы связи"

специализации: "Оптические системы и связи"

Москва - 2012

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры "Высшая и прикладная математика" РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из программы по математике для соответствующей специальности, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 7, в контрольной работе решает задачи 20.1.7, 20.2.17, 20.1.27, 20.1.37.

Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов математических дисциплин, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе по математике для своей специальности (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателярецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

Теория случайных процессов. Случайные последовательности и функции.

1-10. 20.1.1. Пусть случайный процесс ?(t) определён следующим образом: ?(t) ? tX , t ?[0,1], где X ~ R[0,1] - случайная величина, равномерно распределённая на отрезке [0,1]. Описать множество сечений и траекторий случайного процесса ?(t).

20.1.2. Пусть X , Y - независимые случайные величины, имеющие

гауссовское распределение N??0, 1??. Случайный процесс определён

? 2?

соотношением ?(t) ? X ?t Y , t ?0. Вычислить ?????(t) ? 3t ??? для произвольного t ?0.

20.1.3. Пусть ?(t) ? X?(t), t?T , где X - действительная гауссовская случайная величина со средним и дисперсией 2 , а ?(t) - неслучайная функция на T . Найти характеристическую функцию процесса ?(t) .

20.1.4. Пусть ?(t) ? Xt2 ?Yt , t ?0 - случайный процесс, где X и Y - независимые случайные величины с гауссовским распределением N?0,1?. Найти вероятность того, что траектория монотонно не убывает.

20.1.5. Пусть X и Y - независимые случайные величины с функциями распределения FX (x) и FY (y) . Пусть ??(t),t ? 0? - случайный процесс, определённый соотношением ?(t) ? Xt ?Y . Описать траектории данного процесса, найти семейство конечномерных функций распределения.

10 20.1.6. Пусть ?(t) ? ?Xi?i (t), t?T , где X i - действительные

i?1 независимые и гауссовские случайные величины с распределением N?0,1?, а

??i (t)? - заданные на T детерминированные функции. Найти F?(x,t) .

20.1.7. Найти плотность одномерного распределения гауссовского случайного процесса ?(t) ? X ? t , t ?0, где X - случайная величина с гауссовским распределением N?0,4?. Показать, что ? не имеет плотности распределения порядка больше 2.

20.1.8. Пусть случайная последовательность ??(n), n ? 0,1,2,?? определена рекуррентным соотношением ?(n) ? 2?(n ?1) ??n , n ?1,2,?, ?(0) ? 0 где ??n? - последовательность независимых в совокупности гауссовских случайных величин с параметрами M(?n ) ? 0, D(?n ) ?1. Найти одномерную функцию распределения случайной последовательности ?.

20.1.9. Пусть ??(t),t ? 0? - процесс броуновского движения. Найти среднее значение и ковариационную функцию процесса броуновского моста, описываемого: ?(t) ??(t) ?t?(1), ?(0) ??(1) ? 0.

20.1.10. Найти ковариационную функцию процесса ?(t) ? X cos?t ?Y?, где

X и Y - независимы, X имеет распределение N?0,1?, а Y имеет равномерное распределение на [??,?].

11-20.

20.2.11. Вещественная случайная последовательность определена соотношением ?k ? X ??k , где X - случайный параметр M(X ) ? и D(X) ?1,

??k ? - центрированный дискретный белый шум, такой, что D(?k ) ? 31k , причём

1 n X не коррелирует с ??k ?. Вычислить M(?n ) и D(?n ), если ?n ? n ?1?k?0?k .

20.2.12. Пусть ?k ,?k - действительные некоррелированные случайные

величины, причём: M(?k ) ? M(?k ) ? 0, D(?k ) ? D(?k ) ? 41k . Найти ковариационную функцию R?(n) последовательности

? ?n ????k cos?kn??k sin?kn?, предварительно проверив её стационарность.

k?1 20.2.13. Пусть последовательность ??n? удовлетворяет рекуррентному

?n?1 , где ??n? - вещественная стационарная случайная соотношению: ?n ? ??n

2 последовательность. Найти моментные характеристики случайной последовательности ??n?.

20.2.14. Пусть случайная величина X имеет равномерное распределение на [??,?], а случайная величина Y распределена по закону

N?0,1? и не зависит от X . Найти ковариационную функцию и спектральную

? Y, если n ? 0

плотность стационарной последовательности ?n ?? iXn , если n ? 0.

?e 20.2.15. Пусть линейное преобразование задано рекуррентной

?n?1 , где ??n? - центрированная стационарная случайная формулой ?n ? ??n

3 1

последовательность с ковариационной функцией R?(n) ? D?. Найти

2 спектральную плотность случайной последовательности ??n?.

20.2.16. Найти частотную характеристику преобразования стационарной случайной последовательности Y в последовательность X(n) ? ?Y(n) ?Y(n ?1) ?Y(n ? 2)?.

20.2.17. Найти спектральную плотность стационарной случайной

последовательности ??n?: ?n ? ?n ??n?1 , где ??n? - центрированный белый шум

5 3

с дисперсией .

20.2.18. Найти ковариационную функцию R?(n) стационарной случайной последовательности, имеющей спектральную плотность

?? ? f?(?) ? 2 .

? 20.2.19. Пусть стационарная случайная последовательность ??n?

удовлетворяет уравнению авторегрессии ?n ??n?1 ??n?2 ??n . Найти M(?n ),

2 3

если M(?n) ? .

20.2.20. Пусть ?n ? cos(nX ?Y), где Y - случайная величина, равномерно распределённая на [0,2?], а X не зависит от Y и имеет некоторую функцию распределения F(x). Проверить центрированность стационарной случайной последовательности ?? ??n , n?Z?.

21-30. 20.1.21. Цепь Маркова задана стохастическим графом. Найти вероятности состояний на третьем шаге при условии, что в начальный момент цепь Маркова находилась в состоянии e1.

20.1.22. Найти финальные вероятности состояний цепи Маркова, описывающей координаты частицы, блуждающей по целым точкам на вещественной оси по следующей схеме из произвольной допустимой точки на оси: а) с вероятностью 0,55 сдвигается на 1 вправо, а с вероятностью 0,45 остаётся на месте; б) с вероятностью 0,5 сдвигается на 1 вправо и с вероятностью 0,5 - на 1 влево.

20.1.23. Пусть целые числа m ? 0,M ? 0 - начальные капиталы первого и второго игрока соответственно. Проводятся последовательно игры, в результате каждой из которых с вероятностью 0,65 капитал первого игрока увеличивается на 1. Результаты любой игры не зависят от результатов любых других игр. Пусть ?n - капитал первого игрока после n игр. Предполагается, что в случае ?n? 0 или ?n? m ? M игра прекращается (ситуация разорения одного из игроков). Показать, что ??n? - образует цепь Маркова, найти переходную матрицу и построить стохастический граф цепи.

20.1.24. Конечная цепь Маркова задана стохастическим графом. Показать, что при любом

?(0) ????12 , 12??? финальные вероятности не существуют.

20.1.25. Пусть ?n - координата частицы, блуждающей по целым точкам на вещественной оси по следующей схеме из произвольной допустимой точки на оси: а) с вероятностью 0,45 сдвигается на 1 вправо, а с вероятностью 0,55 остаётся на месте; б) с вероятностью 0,6 сдвигается на 1 вправо и с вероятностью 0,4 - на 1 влево. Провести классификацию состояний цепи Маркова ??n?, если ?0? 0.

20.1.26. Цепь Маркова задана стохастическим графом, где состояния e0 и e3 - отражающие барьеры. Найти стационарное распределение ? вероятностей состояний, если оно существует.

20.1.27. Пусть для эргодической цепи Маркова, заданной стохастическим графом, определено предельное стационарное распределение ?0 ? ??0,?1?,

удовлетворяющее соотношениям ?0 ? ?*?0 и

?0 ??1 ?1. Найти ?0, при условии, что в начальный момент цепь Маркова находилась в состоянии e1.

20.1.28. Пусть случайные величины ?v0,v1,?? независимы в совокупности и каждая принимает значения +1 и -1 с вероятностями .

Проверить, какая из последовательностей ?n ? vn ? vn?1 и ?n ? vn ?vn?1 является 2

цепью Маркова.

20.1.29. Цепь Маркова, описывающая случайное блуждание частицы по целым неотрицательным точкам прямой E ? ?0,1,?? с

поглощающим состоянием e0 ? 0, задана

стохастическим графом, где p ? , q ?1? p . Известно, что в начальный момент времени частица находилась в некотором состоянии em ? m ? 0. Найти финальные вероятности состояний данной цепи Маркова.

20.1.30. Цепь Маркова задана стохастическим графом. Найти стационарное распределение вероятностей состояний.

31-40.

20.1.31. Случайная функция ?(t) задана на отрезке [0,1] следующим

образом: ?(t) ????X1, если t ? 112 , где X1 и X2 - независимые одинаково

?X2, если t ?

? 2

распределённые случайные величины со средним 0,8 и дисперсией 1.

Исследовать непрерывность ?(t) в точке t0 ? 1 .

2 20.1.32. Случайная функция ?(t) определена формулой

?(t) ? X1 sin 2t ? X2 cos 2t, t ? 0, где X1 и X2 - независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Найти

t явный вид интеграла ?(t) ? ??(?)d? ?t ? 0? в среднеквадратическом смысле и

0 вычислить его математическое ожидание и дисперсию.

20.1.33. Пусть случайная функция ?(t) определена на отрезке [0,1]

?X1, если t ? r r - случайная величина, следующим образом: ?(t) ?? , где

?X2, если t ? r

равномерно распределённая на [0,1], а X1 и X2 - гауссовские случайные величины с одинаковым средним 0,6 и дисперсией 1. Случайные величины r , X1 и X2 независимы в совокупности. Показать непрерывность в среднеквадратичном смысле случайной функции ?(t) на отрезке [0,1].

20.1.34. Случайная функция ?(t) ?t ? 0? удовлетворяет соотношению: ??(t) ? ?(t) ??, ?(0) ??, где ?,? образуют гауссовский случайный вектор.

Найти закон распределения случайной величины ?(t) при любом t ?0, если известно, что m? ? M???, m? ? M???, D?? D???, D? ? D???, ?? cov??,??.

20.1.35. Пусть ?(t) - гауссовская случайная величина, такая что m?(t) ? 0 и M??(t) ??(?) 2?? 3t ?? для всех t,??[0,1]. Показать, что ?(t) имеет

непрерывную модификацию.

20.1.36. Найти среднеквадратичную производную ??(t) для случайной функции ?(t) ? X1sin(2t ? X2), где X1 и X2 случайные величины с конечными вторыми моментами.

20.1.37. Пусть центрированная случайная функция ?(t) имеет ковариационную функцию R?(t,?) ? 2e?(t??)2 . Вычислить дисперсию D??(t), где

??(t) - производная в среднем квадратическом.

20.1.38. Пусть центрированная случайная функция ?(t) имеет ковариационную функцию R?(t,?) ?16t?. Вычислить M??2?, если

2 ?? ?0?(t)sin????2t ???dt.

20.1.39. Для гауссовской случайной функции ??(t), t ?R1? с математическим ожиданием m?(t) ? t2 и ковариационной функцией

R?(t,?) ? 4t? вычислить P???(2) ? 2?.

20.1.40. Пусть ?(t) ? X1t ? X2, где X1 и X2 - случайные величины с конечными вторыми моментами. Решить дифференциальное уравнение:

??(t) ? 9?(t) ? 81?(t), при условии ?(0) ? 0.

Показать полностью… https://vk.com/doc6036560_437380303
Рекомендуемые документы в приложении