Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 065812 из РОАТ МИИТ (бывш. РГОТУПС, ВЗИИТ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

(МИИТ)

Кафедра "Железнодорожная автоматика, телемеханика и связь"

Методические указания и задания к контрольной работе по дисциплине

Цифровая обработка сигналов для студентов второго курса

Специальность/направление 210700.62 Инфокоммуникационные технологии и системы связи / Оптические системы и сети связи

Москва 2013 г.

Контрольная работа по дисциплине "Цифровая обработка сигналов" включает две задачи: расчет рекурсивного (БИХ) цифрового фильтра нижних частот (ФНЧ) и расчет нерекурсивного (КИХ) цифрового согласованного фильтра.

Характеристики цифровых фильтров

Цифровой фильтр задается свой передаточной характеристикой H(z), которая представляет отношение z-образов выходного сигнала Y(z) к входному X(z):

, cm = am/a0; dn = bn/a0. (1) При этом z-преобразование входного и выходного сигналов получают путем отображения комплексной s-плоскости вида z = exp(sT), где T - период дискретизации входного сигнала, и импульсной характеристики фильтра. Без потери общности можно принять T = 1, тогда z = exp(s). Подставив в передаточную характеристику (1) дискретного фильтра z = exp(s), получаем передаточную характеристику фильтра по Лапласу, из которой можно получить комплексный коэффициент передачи дискретного фильтра путем подстановки s = j?. Таким образом, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра принимает вид H(e j?) и равен:

. Амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики цифрового фильтра можно получить из H(ej?) как её модуль и аргумент соответственно:

. Функции АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра являются непрерывными функциями частоты. При этом H(j?) является периодической функцией с периодом 2?, так как

. Таким образом, характеристики цифрового фильтра достаточно

проанализировать на интервале 2? [рад/с].

Цифровой фильтр также определяется своей импульсной характеристикой h(kТ), преобразование Фурье от которой дает комплексный коэффициент передачи H(j?) ? H(ej?). Если выбрать Т = 1 и учесть, что комплексный коэффициент передачи является периодической функцией частоты, то импульсная характеристика h(k) дискретного фильтра определяется как разложение в ряд Фурье :

Рассчитывать импульсную характеристику через интеграл не совсем удобно, кроме того количество отсчетов импульсной характеристики h(k) БИХ-фильтра бесконечно, и все их рассчитать невозможно. Однако, если фильтр устойчивый, то с увеличением k h(k) убывает, и можно рассчитать заданное количество отсчетов импульсной характеристики фильтра при помощи быстрого преобразования Фурье.

В контрольной работе осуществляется расчет цифровых фильтров двух типов по заданным характеристикам и значениям их параметров.

Задача 1

Расчет рекурсивного цифрового фильтра нижних частот

Фильтр нижних частот имеет коэффициент передачи близкий к единице в полосе от нуля до некоторой граничной частоты, и много меньше единицы на частотах выше граничной частоты.

Аппроксимацию амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) нормированного ФНЧ можно представить в виде:

, где ?p - допустимая неравномерность коэффициента передачи в полосе пропускания:

FN(?) - аппроксимирующая функция порядка N.

Существуют четыре основных метода аппроксимации:

? аппроксимация по Баттерворту, при которой FN(?) - степенной многочлен N-го порядка (?n), n?{};

? аппроксимация по Чебышеву, при которой FN(?) = ТN(?), где ТN(?) - многочлен Чебышева N-го порядка;

? аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Чебышева), при которой FN(?) = 1/ТN(?);

? аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация), при которой FN(?) = RN(?), где RN(?) - эллиптическая дробно-рациональная функция степени N.

Таким образом, для аппроксимации необходимо знать порядок нормированного фильтра. Нормированным фильтр называется потому, что его частота среза ?р = 1 [рад/с].

Методика расчета фильтра

У цифрового фильтра АЧХ |H(j?)| является функцией периодической, с периодом равным 2?, и симметричной относительно нормированной частоты ?н = ? [рад/с], поэтому исходные данные задаются относительно нормированной частоты ?н в интервале от 0 до ? [рад/с]1.

При расчете задают маску (коридор) АЧХ, а порядок фильтра выбирается таким, чтобы обеспечить АЧХ фильтра внутри коридора. Вид маски АЧХ приведен на рис. 1. Графически коридор допустимых значений АЧХ показан в виде незаштрихованной зоны, а сплошной линией - её возможный вид.

Расчет цифрового БИХ фильтра Баттерворта состоит в определении коэффициентов передаточной характеристики H(z) по заданной маске.

Для расчета фильтра необходимо выполнить следующие процедуры.

1. Произвести пересчет параметров коридора АЧХ цифрового фильтра в параметры коридора АЧХ эквивалентного аналогового фильтра.

2. Рассчитать порядок фильтра исходя из параметров коридора АЧХ аналогового фильтра .

3. Рассчитать передаточную характеристику Hн(s) аналогового нормированного ФНЧ требуемого порядка.

3

4. Выполнить частотное преобразование Hн(s) в передаточную характеристику H(s) аналогового фильтра, соответствующую коридору АЧХ.

5. Выполнить билинейное преобразование передаточной характеристики H(s) аналогового фильтра в передаточную характеристику H(z) цифрового фильтра.

0 ?p ?s ? 2? ?

Рис. 1 Маска АЧХ для расчета цифрового ФНЧ

?р - нормированная частота среза; ?s - нормированная частота заграждения;

?p - допустимая неравномерность в полосе пропускания (Ap = 10lg(?p2+1) [дБ]); ?s - минимальный уровень подавления в полосе заграждения (As = 10lg(?s2+1) [дБ]).

Пересчет параметров коридора АЧХ цифрового фильтра в параметры коридора АЧХ аналогового фильтра

Переход от аналогового фильтра к цифровому осуществляется через билинейное преобразование, которое нелинейно изменяет шкалу частот. На первом шаге необходимо учесть это искажение и сформулировать требования к коридору АЧХ аналогового фильтра таким образом, чтобы на этапе данного преобразования получить тот фильтр, который нам нужен. Изменение шкалы частот при билинейном преобразовании происходит согласно выражению:

, где T - интервал дискретизации,

- шкала частот аналогового фильтра, ?н - нормированная шкала частот цифрового фильтра.

Период АЧХ цифрового фильтра на нормированной шкале частот ?н, равен 2?, что соответствует интервалу дискретизации T = 2.

Пересчет исходных данных для задания коридора АЧХ аналогового фильтра производится по следующим формулам.

Частота среза аналогового фильтра р = tg(?р/2).

Частота заграждения аналогового фильтра s = tg(?s/2).

Неравномерность в полосе пропускания Ap и уровень подавления в полосе заграждения As при билинейном преобразовании не изменяются.

Расчет порядка фильтра, удовлетворяющего исходным данным

На втором этапе необходимо рассчитать порядок аналогового фильтра N (он же порядок цифрового, поскольку билинейное преобразование не меняет порядка фильтра) по заданному коридору АЧХ аналогового фильтра: р, s,

Ap = 10lg(?p2+1) [дБ], As = 10lg(?s2+1) [дБ]. Порядок ФНЧ Баттерворта равен:

, где ln(·) - натуральный логарифм,

, . Рассчитанную величину N округляют до большего целого значения, что дает порядок фильтра.

Расчет передаточной характеристики аналогового нормированного ФНЧ требуемого порядка

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Баттерворта порядка N имеет вид:

, (2)

где N = 2L + r, r?{0;1}, .

Частотное преобразование передаточной характеристики аналогового нормированного ФНЧ

Получена передаточная характеристика нормированного ФНЧ с частотой среза 1 рад/c, в то время как необходима передаточная характеристика H(s) аналогового ФНЧ с частотой среза p. Для получения H(s) с заданной частотой среза из передаточной характеристики Hн(s) ФНЧ с частотой среза 1 рад/с необходимо провести замену s >s/ p.

Расчет передаточной характеристики цифрового фильтра. Билинейное преобразование

Последний этап - билинейное преобразование передаточной характеристики аналогового фильтра в искомую передаточную характеристику H(z) цифрового фильтра.

Билинейное преобразование осуществляется подстановкой

. Учитывая, что интервал дискретизации Т = 2, то используем подстановку

. Раскрыв в (2) скобки, приведя подобные члены и отнормировав к свободному члену знаменателя а0 (коэффициенту при нулевой степени z0), получим передаточную характеристику фильтра.

Разностное уравнение полученного фильтра имеет вид:

, где x(k) - цифровой сигнал на входе фильтра, y(k) - цифровой сигнал на выходе фильтра. Так как коэффициенты передаточной характеристики нормированы к коэффициенту а0, имеем а0 = 1. Кроме того, все bm, и am при m > N равны нулю, тогда уравнение (13) можно переписать:

Структурная схема данного фильтра при N = 3 в канонической форме показана на рис. 2, а в прямой форме - на рис. 3.

Рис. 2 Структурная схема цифрового фильтра в канонической форме

Пример расчета

Пусть требуется произвести расчет цифрового ФНЧ Баттерворта, удовлетворяющего следующему коридору АЧХ:

Нормированная частота среза ?p = 0,2? [рад/с];

Нормированная частота заграждения ?s = 0,6? [рад/с]; Неравномерность в полосе пропускания Ap = 1 дБ; Уровень подавления в полосе заграждения As = 30дБ.

Произведем пересчет исходных данных для задания коридора АЧХ аналогового фильтра. Частота среза р аналогового фильтра: р = tg(?p/2) = tg(0,2?/2) ? 0,3254 рад/с.

Частота заграждения s аналогового фильтра:

s = tg(?s/2) = tg(0,6?/2) ? 1,3801 рад/с.

Рис. 3 Структурная схема цифрового фильтра в прямой форме

Неравномерность в полосе пропускания Rp = 1 дБ и уровень подавления Rs = 30 дБ в полосе заграждения при билинейном преобразовании не меняются и при переходе от дБ к разам получим:

,

Тогда порядок фильтра

. Округляем до большего целого и получаем порядок фильтра N = 3. Для него имеем: L .

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Баттерворта, будет иметь вид:

Получена характеристика нормированного ФНЧ Баттерворта 3-го порядка с частотой среза 1 рад/c, в то время как нужна передаточная характеристика H(s) аналогового ФНЧ с частотой среза p =0,3249 рад/с. Для получения H(s) с заданной частотой среза необходимо осуществить замену переменной s>s/ p:

(3)

Завершающий этап расчетов - преобразование передаточной характеристики (3) аналогового фильтра в искомую передаточную характеристику H(z) цифрового фильтра.

Билинейное преобразование, при Т = 2 осуществляется подстановкой

, и тогда передаточная характеристика H(z) равна:

.

Раскрыв скобки, приведя подобные члены и отнормировав к свободному члену знаменателя a0 = 32,82 (коэффициенту при z0), получим следующую передаточную характеристику:

. (4) Таким образом, рассчитаны коэффициенты фильтра, приведенные в табл. 1. Таблица 1.

b0 = 0,03047 a0 = 1 b1 = 0,0914 a1 = - 1,483 b2 = 0,0914 a2 = 0,9296 b3 = 0,03047 a3 = - 0,2033

Для проверки соответствия частотной характеристики заданному коридору необходимо построить АЧХ полученного фильтра в виде 10lg{|H(j?)|2} (рис. 4), подставив в (4) z = ej?.

|H(j?)|2, дБ

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 ?н/?, рад/с

Рис. 4 АЧХ рассчитанного фильтра На рис. 4 заливкой определен коридор АЧХ, соответствующий исходными данным, а характеристика рассчитанного ФНЧ Баттерворта полностью укладывается в заданный коридор.

Задание к задаче 1

1. По исходным данным, приведенным в таблице 2, рассчитать передаточную характеристику цифрового фильтра Баттерворта. Привести разностное уравнение полученного фильтра.

2. Построить АЧХ рассчитанного фильтра. Определить полосу пропускания фильтра по уровню 3 дБ.

3. В соответствии с указаниями таблицы 3 построить структурную схему рассчитанного рекурсивного фильтра.

Исходные данные к задаче 1

Таблица 2

Последняя цифра шифра ?p, рад ?s, рад Ap, дБ As, дБ 1 0,1 0,45 1,0 30 2 0,15 0,5 1,5 35 3 0,2 0,55 2,0 40 4 0,25 0,6 2,5 45 5 0,3 0,65 3,0 50 6 0,3 0,7 3,0 55 7 0,1 0,6 2,5 50 8 0,15 0,55 2,0 45 9 0,2 0,5 1,5 40 0 0,25 0,45 1,0 30

Таблица 3

Предпоследняя цифра шифра Форма структурной схемы фильтра четная прямая нечетная каноническая

Задача 2

Расчет нерекурсивного цифрового согласованного фильтра

При синтезе фильтров, которые используются в схемах обнаружения и различения дискретных сигналов, нет необходимости сохранять форму сигнала. Основная задача - обеспечить минимум ошибок при приеме сигналов. Очевидно, что вероятность ошибочного приема будет уменьшаться при увеличении отношения сигнал/шум. Поэтому при синтезе фильтров для дискретных сигналов используется критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе фильтра. Фильтры, удовлетворяющие данному критерию называются оптимальными фильтрами, или фильтрами, максимизирующими отношение сигнал/шум.

В случае, когда шум имеет равномерный энергетический спектр (белый шум), то максимум отношения сигнал/шум достигается у фильтра, имеющего АЧХ H(j?) комплексно сопряженную со спектром сигнала S(j?):

, (5)

где ? - постоянный множитель;

Т0 - задержка, вносимая фильтром;

* обозначает комплексно-сопряженную величину.

Задержка должна быть не менее длительности сигнала, что является условием физической реализуемости (казуальности) фильтра.

В момент времени Т0 амплитуда сигнала на выходе фильтра и отношение сигнал/шум q достигают своего максимального значения и равно:

, где E - энергия сигнала, а ?2 - дисперсия (мощность) шума на выходе фильтра. Величина q определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы.

Импульсная характеристика согласованного фильтра h(t) связана с передаточной характеристикой H(j?) преобразованием Фурье, так же, как и сигнал s(t) со своим спектром S(j?).

Тогда, учитывая условие (5) согласования фильтра с сигналом, для h(t) получим:

. (6)

Как следует из формулы (6), импульсная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отражением временной функции сигнала, сдвинутой на величину T0.

В цифровых системах обработки сигналов на вход фильтра поступают отсчеты некоторого сигнала x(kT), следующие с интервалом T, k = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... Импульсная характеристика цифрового фильтра, согласованного с данным сигналом, должна отвечать условию (6) - h(kT) = ?x(T0 - kT). Длительность реального сигнала ограничена, поэтому x(kT) будет иметь значения, отличающиеся от нуля, при k = 0, ..., N0. Полагаем также, что задержка в фильтре T0 = N0T, а коэффициент ? = 1, что не меняет существа протекающих процессов и величины отношения сигнал/шум. Выбором масштаба времени можно также обеспечить Т = 1. При таких допущениях импульсная характеристика согласованного фильтра запишется в виде:

. Импульсная характеристика цифрового фильтра конечна, поэтому фильтр может быть реализован по нерекурсивной схеме. Структурная схема такого фильтра при N0 = 3 приведена на рис. 6.

Выходной сигнал фильтра описывается выражением:

, где bm = x(N0 - m).

Пример расчета

В системах связи, радиолокации и других областях используют коды (последовательности) Баркера, обладающие уникальным свойством: их автокорреляционная функция имеет уровень боковых лепестков в N раз меньше главного лепестка, где N - число элементов кода. Всего имеется 6 последовательностей с числом элементов от 3 до 13, приведенных в табл. 4.

Таблица 4

N Последовательности Баркера Уровень боковых лепестков 3 +1 +1 ?1 или +1 ?1 +1 -1/3 4 +1 +1 ?1 +1 или +1 +1 +1 ?1 +1/4 5 +1 +1 +1 ?1 +1 +1/5 7 +1 +1 +1 ?1 ?1 +1 ?1 -1/7 11 +1 +1 +1 ?1 ?1 ?1 +1 ?1 ?1 +1 ?1 -1/11 13 +1 +1 +1 +1 +1 ?1 ?1 +1 +1 ?1 +1 ?1 +1 +1/13

Построим согласованный фильтр для кода Баркера длиной N = 7.

В этом случае сигнал x(k) принимает значения +1, +1, +1, ?1, ?1, +1, ?1, при k ? {0, 1, ..., 6}. Согласованный фильтр для такого сигнала должен иметь импульсную характеристику h(k) = x(7 - k), принимающую значения ?1, +1, ?1, ?1, +1, +1, +1, k ? {0, 1, ..., 6}, а нерекурсивный фильтр должен иметь весовые коэффициенты, приведенные в табл. 5.

Таблица 5

b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1

Учитывая, что умножение на +1 не изменяет значения сомножителя, а умножение на -1 инвертирует его знак, то схема согласованного фильтра для кода Баркера примет вид, показанный на рис. 7.

Рис. 8. Согласованный фильтр для кода Баркера при n = 7.

На рис. 9 показан процесс преобразования в согласованном фильтре входного сигнала x(k) в выходной y(k).

Рис. 9. Сигналы в согласованном фильтре

Из рисунка видно, что отклик на входной согласованный сигнал симметричен относительно основного лепестка. Уровень боковых лепестков определяется как отношение амплитуды наибольшего из боковых лепестков (Uбл = U0) к амплитуде основного лепестка (Uосн = 7U0):

?бл = Uбл / Uосн = 1/7.

На этом же рисунке пунктиром показан результат прохождения сигнала p(k), близкого по форме, но не согласованного с фильтром. В этом случае нет четко выраженного основного лепестка и отклик не обладает свойством симметрии.

Задание к задаче 2

1. Студенту необходимо выписать начальные буквы фамилии, имени и отчества (ФИО) и закодировать каждую букву пятиэлементным кодом № 2 (см. Приложение 1).

2. Для полученной 15-элементной кодовой комбинации определить импульсную характеристику согласованного фильтра h(t) и выписать в виде таблицы весовые коэффициенты bi, i?{0, 1, ..., 14}. Записать развернутое уравнение выходного сигнала фильтра.

3. Изобразить структурную схему фильтра с учетом значений весовых коэффициентов.

4. Графически изобразить процесс формирования выходного сигнала согласованного фильтра. По полученному графику определить уровень боковых лепестков автокорреляционной функции кодовой комбинации.

Приложение 1

№ комбинации Международный код №2 Кодовые комбинации буквы кириллицы буквы

латиницы цифры,

знаки 1 2 3 4 5 1 А A - + + - - - 2 Б B ? + - - + + 3 Ц C : - + + + - 4 Д D ~ + - - + - 5 Е E 3 + - - - - 6 Ф F Э + - + + - 7 Г G Ш - + - + + 8 Х H Щ - - + - + 9 И I 8 - + + - - 10 Й J Ю + + - + - 11 К K ) + + + + - 12 Л L ( - + - - + 13 М M . (ТЧК) - - + + + 14 Н N , (ЗПТ) - - + + - 15 О O 9 - - - + + 16 П P 0 - + + - + 17 Я Q 1 + + + - + 18 Р R 4 (Ч) - + - + - 19 С S ' (АПФ) + - + - - 20 Т T 5 - - - - + 21 У U 7 + + + - - 22 Ж V = - + + + + 23 В W 2 + + - - + 24 Ь X / + - + + + 25 Ы Y 6 + - + - + 26 З Z + + - - - + 27 Пробел (ПР) - - + - - 32 vБуквы русские (Рус) - - - - -

1 В некоторых случаях параметры фильтра задают относительно нормированной частоты ?н/? в интервале от 0 до 1, что необходимо учитывать при задании граничных частот фильтра и его расчете.

---------------

------------------------------------------------------------

---------------

------------------------------------------------------------

2

2

2

2

Показать полностью… https://vk.com/doc6036560_437380308
Рекомендуемые документы в приложении