Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 065883 из РОАТ МИИТ (бывш. РГОТУПС, ВЗИИТ)

2874

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра "Вычислительная математика"

АНАЛИТИЧЕСКМ

ГЕОМЕТРИЯ

Часть 2

москва-еша

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ (ШИТ)

Кафедра "Вычислительная математика"

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Часть 2

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов строительньж специальностей

Москва - 2008

удк 514.12 А 64

Григорец О. А., Данилова И. А., Занина Л. Н., Козлов О. К. , Перфилова Н. П. Аналитическая геометрия. Часть 2. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Высшая математика". - М.: МИИТ, 2008.-16 с

Данные методические указания охватывают основные типы задач раздела аналитическая геометрия. Эти задачи мотут быть использованы при проведении практических занятий, в качестве домашних заданий, а также щи текущего контроля успеваемости.

(c) Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2008

127994, Москва А-55, ул. Образцова, 15

Типография МУШТ

ТЕМА 1. Векторная алгебра

Задача 1 . Даны векторы б = (2; - З; 1), б = 2; 1). Найти скалярное и векторное произведение векторов б и Ь , а также смешанное произведение б •b • б . Ре ше н ие : Скалярное произведение

Векторное произведение

Смешанное произведение

з о -1 2 = 2 • (О - 2) + З • (З + 1) + (6 - О) = -4 + 12 6 = 14.

Задача 2. Даны вектор б = 4i +j-k и две точки

А (-1; 1; З) и В (2; 5; З). Найти угол между векторами б и

Решение: Вектор АН его

длина АВ= 32 + 42 + 02 = 5. Длина вектора б равна а = 42 + 1 2 + (-l)2 = . Скалярное произведение

АВ = З •4+4•1+0• (-1) = 16. Значит,

AB.a845

Cosp =, а угол р = arcCos

"ом- 5-30 - 15 15

Задача З . Доказать, что точки А (2; 1; З), В (О; 1; 5), С ( -1; 2; 1) и D ( 1; 2; -1) лежат в одной плоскости.

Р е ш е н и е : Достаточно проверить, что векторы

АД АС, AD компланарны, т. е. равно О их смешанное произведение. Найдем координаты этих векторов:

Смешанное произведение

-3 -2 AB.AC.AD= -3 2 =-2.

-1 = -2. (-4+2) +2. 4-4=0.

Задания: Даны векторы б, Ь и б . Найти

а) угол между векторами б и Ь ,

б) модуль векторного произведения Ь на б ,

в) проекцию вектора б на б ,

г) площадь треугольника, построенного на векторах

Д) угол между вектором 26+ б и осью ОХ.

Проверить

е) компланарны ли б, Ь и б ,

ж) перпендикулярны ли Ь и б .

а -1, 5, 5, -1, 2 ( 1, -2, 0) ( 1, 1 1 Дополнительные задачи.

1. Даны векторы ОА = а и ОВ = Ь , причем

а угол между векторами б и Ь равен 600. Определить угол МэК,Щ/ медианой ОМ треугольника АОВ и стороной ОА .

2. Дан треугольник с вершинами Щ 1; 6), В(-5; 4), СР; -3).

Найти угол при вершине В и длину медианы АК .

З. Дан треугольник с вершинами А(1; -2), В(-Ф, 5), С(5; 8). Найти угол между медианой ВМ и стороной ВА .

4. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(2; -2), В(-4; 0), С(4; 8). Найти угол между диагоналями

параллелограмма.

5. Вычислить: (i- + О + 3k)2.

6. Векторы а и Ь образуют угол 300, причем = 1, = 3 .

Найти угол между векторами a+b) и а- Ь

7. Найти вектор х, коллинеарный вектору а = (2; 1; -1) и удовлетворяющий условию х • а = З.

8. Даны точки А (З; 4) и В (-1; 6). Найти проекцию вектора АВ на вектор CD = (7; -1).

9. Даны векторы а = (З; -1; 2) и Ь = (1; 2; -1). Вычислить векторное произведение (2а + Ь ) х Ь

10. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а =i+ 5ј-2Ки Ь =2i-2j-4k.

11. Даны точки АР; -1; 2), ВО; 2; -1), С(З; 2; 1). Найти координаты векторного произведения ( ВС - 2 СА ) х СВ . 12. Найти площадь треугольника с вершинами Щ 1; -1; 2), во, -6; 2), со; з;

13. Показать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а = 2m + п и Ь =-Зт + п, равна 37.5 кв.ед., если lml = З, lnl = 5, а угол между векторами т и п равен

Мб.

14. Вычислить: КхОхК) - Кх (i +ј) + 2јх (i- К).

15. Показать, что вектор а = (-4; 2; 2) коллинеарен вектору ь ха, где ; = (2; з; 1), а 2; 0).

16. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а =i+ 2ј + ЗК, Ь = 4i-j + К и б = 3i-4j + К.

17. Найти объем тетраэдра, вершины которого лежат в точках А (2; -1; 1), В(5•, 5; 4), ср; 2; -1) и D(4•, l•, 3).

18. Лежат ли точки А(2; -3; З), ВО; 0; 1), С(2; 0; 5) и ; О; -2) в одной плоскости?

19. Найти объем пирамиды, построенной на векторах а =i+j+ k, Ь = б + Зј+ К.

20. Сила 14' = приложена в точке А(2,0,- 1) . Найти работу силы F, когда точка ее приложения, двтаясь прямолинейно, перемещается в точку Щ и мощуль момента силы F относительно точки В .

ТЕМА 2. Прямая на плоскости

Задача. Найти уравнение медианы ВК и высоты СМ в треугольнике с вершинами Щ 7; -1), Щ- 1; 2) , С(З; 7) .

Ре ше ни е: Точка К - середина отрезка СА , поэтому ее 3+7 7-1

координаты хк = -=З, т. е.

2 2

Вектор тс - направляющий вектор медианы ВК . Значит, уравнение прямой ВК будет

, т. е. х- бу +13=0

6 Вектор АВ = (7 + 1; 1 -2) = (8; - З ) является нормальным вектором высоты СЛ4 . Поэтому уравнение высоты СМ

"х -3) -30-7) = О или 8х-Зу-З=О.

Задания: Даны прямые ll , l2 и точка А. Найти:

а) уравнение прямой, проходящей через точку А

i. параллельно прямой ; ii. перпендикулярно прямой [2 ;

б) угол между прямыми ll и [2 ;

в) расстояние от точки А до прямой ll ;

г) координаты точки пересечения прямых ll и l2 .

1 2 З 4 5 6 7

8 9

10 11 х- Зу = 5 3х+4=7

2х + у = -4 3х-у = 2

-2х + Зу = 1

-3х + 2у = З

2. Найти проекцию точки А (7; 5) на прямую 2х + у - 4 = 0 и расстояние от точки А до этой прямой.

З. Найти координаты точки пресечения медианы BL и высоты АК треугольника с вершинами А (2; 8), В (-6; 6) и

4. В параллелограмме ABCD вершина В имеет координаты (2; 7), а уравнение стороны О: х + 8у - б = О. Составить уравнение стороны ВС. Написать уравнение высоты Ш, опущенной на сторону АД и длину этой высоты.

5. Найти координаты точки, симметричной точке С (-4; 4) относительно прямой 3х + у- 2 = 0.

6. В треугольнике с вершинами А (1; -8), В (7; 2) и С (-1; 2) найти:

а) уравнение и длину высоты АМ;

б) угол между высотой АМ и стороной АС.

7. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (4; 6), В (8; 2), С (О; -2). Составить уравнения стороны AD и высоты СК, опущенной на сторону АВ. Найти угол между стороной AD и высотой СК.

8. В треугольнике АВС вершина А имеет координаты (-5; 1), а уравнение стороны ВС: 2х + у - 6 = О. Найти уравнение и длину высоты АЕ. Какой угол составляет прямая АЕ с осью ОР?

ТЕМА З. плоскость

З ада ча 1 . Найти уравнение плоскости, проходящей через точку МО; 2; З) и ось ОУ .

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ , имеет вид Ах + Cz = 0. Т. к. точка М лежит на этой плоскости , т. е. ее координаты удовлетворяют этому уравнению А + С З = 0 . Отсюда А = -3С . Значит имеем (-3С)х +Cz=O или- 3х +z = 0.

З а дача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(2;3;-l) и В(Ф,- l;2) и перпендикулярно к плоскости 2х - у + к: - 1 = О .

Ре ше н ие : Точка M(x,y,z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы

• З) и нормальный вектор заданной плоскости ЛУ = (2; - 1; 1) компланарны. Значит, смешанное произведение АМ • AB.N=O. имеем:

или --(х - 2) + 4(у -3) + 6(z + 1) = 0 .

Ответ: х-4у- 6z +4=0.

Задания: 1. Даны плоскости а, р и точка А. Выполнить следующие задания:

а) построить плоскость а;

б) найти угол между плоскостями а и Д;

в) составить уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно плоскости р; г найти асстояние от точки А до плоскости а.

а 1 2х- + 16=0 2 З 4 3х- +22+ 15 =0 5 6х +2 -42+ 17=0 6 + Ь- 12 =0 7 8 -22-8 =0 -z + 3 = 0 9 2х +2 -32+ 1 =0 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (2; -1; 1), (З; 1; 2) параллельно оси ОУ.

З. При каких А и В плоскости 2х + у - 4z + 5 = 0 и Ах - Гу +

0 параллельны? Найти угол между первой плоскостью и плоскостью ХОК

4. Найти расстояние между плоскостями 2х - у + 2z + б = 0 и 2х-у + 2z- 12 = 0.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (-3; -4; 1) и ось 0Z.

6. При какт плоскости 3х + 5' х - Зу + Е - 4 = 0 перпендикулярны? Найти угол между первой плоскостью и плоскостью XOZ.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 0; 1), (2; -3; 4), (1; 5; -2), и найти угол, который она составляет с плоскостью 4z - 3х + 5 = О.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1 ; -1; 2) перпендикулярно плоскостям

ТЕМА 4. Прямая в пространстве

З ада ча . Прямая задана общим уравнением

Написать канонические уравнения

3х+2у-Г+З=О этой прямой.

Решение: В качестве направляющего вектора прямой где векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая.

Возьмем точку на прямой. Положим х = О, тогда точка

х _ у+2 z-1 уравнения прямой

-1 4 5 Задания.

1. Составить параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей YOZ и 5х- 22-3 = о.

2. Доказать перпендикулярность прямых

y-l_ z и х = 2x+3y-8z+3=O

З. Даны вершины треугольника: А(З; 6; -7), В(-5; 2; З) и С(4; -7; -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

3x+y-5z +1=0 4. Найти острый угол между прямыми

x-y+z-lO=O

и З -2 5 12

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

А (2; З; -5) параллельно прямой

6. Доказать перпендикулярность прямых у = 3t - 2 и

+ 4 2х + у - 47 + 7 = О

4х у- 5z -9 = О

7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 2; З) параллельно оси 0Z. Лежит ли точка В (З; 2; 1) на этой прямой?

8. Доказать параллельность прямых и

-7+7. 2 -1 9. Через точки А (-6; 6; -5), В (12; -6; 1) проведена прямая. Найти координаты точек пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (З; -4; 5) перпендикулярно оси ОХ. Лежит ли точка

В (З; 8; -10) на этой прямой?

13 ТЕМА S Взаимное расположение прямой и плоскости

Задача 1 . При каких значениях т и С прямая х- 2 у +1 z-5 перпендикулярна к плоскости 4 -3

3x-2Y+Cz+l=O? Ре ше ние: Прямая перпендикулярна к плоскости, если направляющий вектор прямой Р = ( т; 4;-3) параллелен нормальному вектору плоскости (З; - 2;С), т. е. когда

-3 . Отсюда т = -6, С = 1,5 .

Задача 2. Найти проекщо точки М(4;-З;1) на плоскость х- 2 у -7-15=0.

Ре ше ние: Составим уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной данной плоскости. Направляющий вектор этой прямой совпадает с нормальным вектором плоскости N (1; - 2; - 1). Значит параметрические уравнения прямой будут x=t+4, у = -2t-3, z=-t+1. Точка пересечения М] полученной прямой с данной плоскостью и является проекцией точки М на плоскость. Для ее нахождения подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости.

0-6=0 t=l

Значит, координаты точки М]

Задания :

1. Дана плоскостьа, прямая I и точка А . Составить уравнения прямой, проходящей через точку А и

а) параллельной прямой ;

б) перпендикулярно к плоскости а ; Найти утол между

в) прямой и плоскостью а ;

г) прямой и плоскостью ХОУ •

Составить уравнения плоскости, проходящей через

д) прямую и точку А ,

е) прямую и перпендикулярную плоскости а ;

ж) точку А и перпендикулярную прямой I

а Х+2 z-3

4 2 z=3t 2х - Зу- 22+5 * О 4 .x=5t+2

5 3z+ 2х-Зу+2=О 6 y=2t

7 2X+3z-10=c 8 9 4 -1 -5 15

2. Найти координаты точки пересечения прямой

и плоскости 2х + Зу + z - 1 0

x-l y+l z-5 З. Доказать, что прямые

2 -3 4 лежат в одной плоскости.

4. Доказать, что прямая у = --t -3 принадлежит плоскости z=5t 2

4х + Зу -2 + З = 0.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через две

х у+2 х- 1 у- З z+2 параллельные прямые - и

7 з 5 7 З 5 16

4

4 4

Показать полностью… https://vk.com/doc-42428605_132109448
Рекомендуемые документы в приложении