Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 065885 из РОАТ МИИТ (бывш. РГОТУПС, ВЗИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра "Вычислительвая математика"

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Рекомендовано редающонно-издательсютм советом утверситета

в качестве тестовых заданий для студентов строительных специальностей

Москва - 2007

удк 517 Д18

Данилова И.А., Козлов О.К., Логинова Н.Б., Перфилова Н.П. Аналитическая геометрия: Сборник тестовых заданий по дисциплине "Высшая математика". - М.: МИИТ, 2007 - 12 с.

Тестовые задания охватывают основные типы задач раздела "Аналитическая геометрия". Данные задачи могут быть использованы как при проведении практических занятий, так и в качестве домашних заданий, а также для текущего контроля успеваемости.

(c) Московский госудч"ственный университет путей сообщения сшит), 2007

ТЕМА 1. О С Н О В Н Ы Ё З А Д А Ч И

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Даны точки А, В, С и число Х. Найти:

а) координаты вектора АВ и его длину;

б) единичный вектор АВО ;

в) точку D такую, что АВ = DC ;

г) точку К такую, что АК : КВ = Х;

Д) точку Р такую, что ВР = РС;

е) длину вектора 2 АВ - ВС .

ТЕМА 2. СК АЛ Я Р Н О Е П Р О ИЗ В ЕД Е Н И Е

1. даны точки А(З; 4) и В(-1; 6). Найти проекцию вектора АВ на вектор

2. Даны векторы ОА = а и ОВ = Ь, причем lal = 2, lbl -4, а угол между векторами а и Ь равен 600. Определить угол между медианой ОМ треугольника АОВ и стороной ОА .

3. Дан треугольник с вершшами А(1; 6), В(-5; 4), С(2; -3). Найти угол при вершине В и ддшту медианы А

4. Векторы а и Ь образуют угол 300, причем а [ = 1, = З. Найти угол между векторами (а + Ь ) и (а - Ь ).

5. Дан треугольник с вершинами АО; -2), В(-4; 5), С(5; 8). Найти угол между медианой ВМ и стороной ВА .

6. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(2; -2), В(-4; О), С(4; 8).

Найти угол между диагоналями параллелограмма.

7. Вычислить: (i - 2k)k + О + 3k)2.

8. Даны три вектора: а = (1; -3), Ь = (З; -4), с = (-1; 1). Вычислить пра(а + Ь), пр; +6 а и угол между векторами Ь и с.

9. Найти вектор х, коллкшеарный вектору аи

удовлетворяющий условию х • а = З.

10. Векторы а и Ь образуют угол 1200, причем lal = З, 1 Ь I -- 4. Вычислить

(а + - +25).

ТЕМА З. В Е К Т О Р Н О Е П Р О И З В Е Д Е Н И Е

1. даны векторы а = (3; -1; 2) и ; = (1; 2; -1). Вычисјшть. векторное произведение (2 а + Ь Ь .

2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а =i+5j-2kIi Ь =2i-2j-4lc

3. Даны точки "4(2; -1; 2), Щ 1; 2; -1), С(З; 2; 1). Найти координаты векторного произведения ( ВС - 2 СА СВ .

4. Найти площадь треугольника с вершинами Щ 1; -1; 2), В(5; -6; 2),

5. Показать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а =2m+n и Ь =-Зт+п, равна 37.5 кв.ед., если lml=3, а угол между векторами т и п равен Мб.

6. Вычислить: Кх (ј х К) - Кх (i + ј) + 2јх (i - К).

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

Ь =2i+2j -k. 8. Показать, что вектор а = (-4; 2; 2) коллинеарен вектору Ь х с, где

ТЕМА 4. СМЕШАННОЕ ПР О ИЗ В ЕДЕ Н И Е

1. Найти объем параллелепипеда, построенного - на векторах a =i+2j +3k, Ь

2. Доказать, что точки А(2; 1; З), В(-1; 2; 1), C(l; 2; -1) и D(O; 1; 5) лежат в одной плоскости.

З. Найти объем тетраэдра, вершины которого лежат в точках АР; -1; 1), ВО, 5; 4), СО; 2; -1) иЦ4•, 1; 3).

4. Показать, что векторы а =(2; -1; 2), Ь =(3;-4;7) и с = (1; 2; -3) компланарны.

5. Лежат ли точки АР; -3; З), ВО; О; 1), С(2; О; 5) и D(l; 0; -2) в одной плоскости?

6. Найти объем пирамиды, построекшой на векторах а = i + ј + К,

-3i + Зј + К.

7. Компланарныливекторы а =(З; 1; 2), Ь = (-2; 1; 4) и с = (0; 1; 2)?

ТЕМА 5. П Р Я М А Я Н А П Л О С К О С Т И

1. Даны прямые Л, Ь иточкаА,В, С. Найти:

а) уравнение прямой, проходящей через точку А

i. параллельно пршой Л; ii. перпендикулярно прямой Ь;

б) угол между крямыми и Ь;

в) расстояние отточки А до прямой 11',

г) координаты точки пересечения прямых ll и l2.

Таблица 2.

2 З 4 1 х- ЗУ = 5 2 3х+2у=7 х-2у=2 x+y=l 4х-5=-3 4 5 продолжение таблицы 2

1 2 4 6 3x-y=2 7 -2х+3у= 1 6х-у=2 8 х -4у=6 9 6х0=2 х - Зу = -2 10 -3х + 2у = З 2х+5у=1 11 5х -у = -4 2. Найти проекцию точют А(7; 5) на прямую 2х + у - 4 = 0 и расстояние от точки А до этой прямой.

З. Найти координаты точки пресечения медианы BL и высоты АК треугольника с вершинами А(2; 8), В(-б; 6) и 0(0; О).

4. В параллелограмме АВО вершина В шеет координаты (2; 7), а уравнение стороны АО. х + 8у - 6 = О. Составить уравнение стороњк ВС. Написать уравнение высоты ВЦ опущенной на сторону АД и длину этой высоты.

5. Найти координаты точки, симметричной точке С(-4; 4) относительно прямой 3х + у- 2 = О.

6. В треугольнике с вершинами АО; -8), В(7; 2) и C(-l; 2) найти:

а) уравнение и длину высоты АЛЮ,

б) угол между высотойАМи стороной АС.

7. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(4; 6), В(8; 2), C(O; -2). Составить уравнения сторокш AD и высоты СК, опущенной на сторону АВ. Найти угол между стороной АО и высотой СК.

8. В треугольнике АВС вершина А прет координат (-5; 1), а уравнение стороны ВС: 2х + у - 6 = 0. Найти уравнение и длину высоты АЕ. Какой угол составляет прямая АЕ с осью О У?

ТЕМА 6. П Л О С К О С Т ь

1. Даны плоскости а, Д и точка А, В, С. Выполнить следующие задания:

а) построить плоскость а;

б) найти угол между плоскостями а и Д;

в) составить уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно шюскости р;

г) найти расстояние от точки А до плоскости а.

Таблица 3.

а х- Зу +5=0 2r-y+5z- 16=0 2 x+3y+z-1=O x+z-1=O з 4x-5y+3z-l=O x-4y-z+9=O 4 3x-y+2z+ 15 = О 4х+ 9y-3z- = О 5 6x+2y-4z+ 17 = О 9x+3y-6z-4=O 6 x+2y+6z-12=O 5x+3y-2z=O 7 2х-у + 3z- 1 = О x+2y+2z-3=O 8 x-3y-2z-8=O 2r+y-z+3 = О 2х+2у-З7+ 1 = О x+y-z+3=O х- Зу + 37-4 = 0 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (2

(З; 1; 2) параллельно оси ОИ

3. При каких А и В шюскости 2r + у - 4z + 5 = 0 и Ах - 2у + 3Bz - 1 - 0 параллельны? Найти угол Мещу первой плоскостью и плоскостью ХОУ.

4. между плоскостями2х-у +2.z + 6 = 0 и 2х-у + Е- 12 = 0.

5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки (1; -1; -2), (З; 1; 1) и перпендикулярна плоскости х - 2у + 3z -5 = О.

6. Составить уравнение шюскосм, кроходящей через точ:Ђ' (-3; -4; 1) и ось Ш.

7. При каких плоскости 3х+ их- Зу+Е-4 = О neprreH№kYJIQHbI?

Найти угол между первой плоскостью и плоскостью XOZ.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 0; 1), (2; -3; 4), (1; 5; -2), и найти угол, который она составляет с плоскостью 4z - 3х + 5 = О.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1; -1; 2) перпендикулярно плоскостям х + у - z + 5 = 0 и х = 2у.

ТЕМА 7. П Р Я М А Я В П Р О С Т Р А Н С Т В Е

1. Составить параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей YOZ и 5х - 7у + 2z - З = 0.

3x+Y-5z+l = О

2. Доказать п,фпендикулярность кряњж и х = 2x+3y-8z+3=O

З. Даны вершины треутољнша: А(З; 6; -7), Ц-5; 2; З) и С(4; -7; -2). Составить пщзаметрические уравнения ет медианы, кроведешюй вершины С.

4. Найти острый угол между прямыми и

х +1 у-4 z

З 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2 3'

3x-Y+2z-7=O параллельно прямой

х + Зу -2z +3 = 0

6. Доказать перпендикулярность прямых и

7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(l; 2; З) параллельно оси 0Z. Лежит ли точка В(З; 2; 1) на этой прямой?

8. Доказать параллельность прямых и

2 -1 9. Через точки АН; 6; -5), B(12; -6; 1) проведена прямая. Найти координаты точек пересечения этой прямой с координатными

плоскостями.

10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(З; -4; 5) перпенщжулярно оси ОХ. Лежит ли точка В(З; 8; -10) на этой прямой?

ТЕМА 8. В ЗА И М Н О Е Р АС П ОЛ ОЖ Е Н И Е

П Р Я "Т О Й И П Л О С К О С Т И

1. Найти координаты точки пересечения прямой х- 1 = и

плоскости 2х + Зу + z- 1 = 0.

2. Доказать, что прямые у = 21+2 лежат в одной

шюскости.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2 перпенщжулярно к плоскости 6х - Зу - 5z + 2 = О.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1

z+2 перпендикулярно к пртой

4 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х- 2 у-З z+l

перпендикулярно к штоскости х + 4у - 3z + 7 = 0.

5 1 2 x=2t+l 6. y=-t-3 z=5t-2

7. Найти проекцию точки (5; 2; -1) на плоскость 2х-у+ 3z+3 = 0.

8. Составить уравнение шюскости, проходящей через две параллельные

Ху-З z+2 прямые - 7 З 5 7 З 5

9. Найти угол между прямой

х +2 у-5

10. Лежит ли щлмая =z на плоскости l5 = 0?

З 4 ТЕМА 9. КРИВЫЕ В Т О Р О Г О ПО РЯДКА

Построить кривые, заданные уравнениями:

1. х2 +4у

2. З. = 16, у = (х -2)2 + З;

4. 9х2 + 25у2 = 225, 9х2 = 225, у = Ах;

5. х2 + 4у2 = 4, х2 - 4у2

6. 25х2 +9у2 =225,

7. 9х2 +у2 = 9, 9х2 -у2 = 9, х2 = -у;

8. -11- Учебно-методическое издание

Ирина Александровна Данилова

Олег Константинович Козлов

Надежда Борисовна Логинова Нина Петровна Перфилова

АНАЛШИЧЕСКАЯ

СБОИ-ИКТЕСГОВЬЖ ЗАДАНИЙ по

"ВЫСШАЯ ИТЕМАТИКА"

Подщисано к печати

Формат 60х84116 Усл.-печ. л. - О 35, Тираж 100 экз.

изд. № 2-07 Заказ № 52 7,

127994, г. Москва, ул. Образцова, 15

Типография МИИТа

Показать полностью… https://vk.com/doc-42428605_132109762
Рекомендуемые документы в приложении