Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 065886 из РОАТ МИИТ (бывш. РГОТУПС, ВЗИИТ)

2879

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ сииит)

Кафедра "Вычислительная математика"

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Часть 1 Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине

"Высшая математика"

МОСКВА - 2008

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ОПИт)

Кафедра "Вычислительная математика"

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Часть 1 Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов строительных специальностей

МОСКВА - 2008

удк А 64 Григорец О.А., Данилова И.А., Занина Л.Н., Козлов О.К., Перфилова Н.П.

Аналитическая геометрия. Часть 1. Методические указания к практическим занятиям. - М.: мшат, 2008.- 12c.

Данные методические указания охватывают основные типы задач раздела аналитической геометрии. Эти задачи мотут быть использованы при проведении практических занятий, в качестве домашних заданий, а также для текущего контроля успеваемости.

Московский государственный университет путей сообщения

(МИИТ), 2008

Тема 1. Определители. Системы линейных уравнений.

Пример 1. Вычислить определитель двумя способами. Сначала - разложением по первой строке:

4 2 1 2 0 = 3 • -4

- зо + 20 +5 = 55.

Теперь вычислим этот определитель, используя свойства определителей. Для лого из последней строп\ вычтем пфвую, умноженную на 5 , и полученный определитель разлоим по последнему столбщ:

1 2 0 4 -16 23 о -46 23 2

= 23 +32 = 55. Заданяе1. Вычислить определители (первый используя определение, второй используя свойства определителей).

1. 2 з1 5 25 2. 2 5 7

5 з 2 ,7 49 2 8 8

8 64 8 2 4. 1

2 2 з 4 7 1

5. 6 з 1 2 6, 4 2 з -2

4 1 -3 , 2 3 -1 2 з , -2

-1-2 2 о 7. 1 8.з 2

-2 з 2 -1 о 2 5 з 4 2

9.10. 5 6 3

1 2 3 8 , о о

7 4 5 11. 2 о з 12. 4 2 3 75 4 5 6

6 О 5 7 Задание 2. Решить, если она совместна, систему уравнений.

1. 2.

З. х + Зу = -2 4. 2х+3у = 5 3x-y= 7 4х+0=7 5. х 12 6х- 8у = 10 2х+ 0=19 3x-y=3 2х-0=8

7. 13х + пу = -9 8. 3х + 2у = 7

2х +Зу = 18

9. 10. 6х + ту 2х + 7У 19 11. 2x+ 3y= 17

4х + бу 24 Задание З. Решить уравнение или неравенство.

3) 4 22+x 4) 3х - З 2 5) sin х sin 2х 6) х

х - 1 cos х х

-1 8)log2 х 2 9) х 3х

=-6 -3 4 2х 10) 2х sin 3х 11) 2х-212) х 4

7-хх 13) 1х-6 tg х 2 -3 х sin х Индивидуальные задания. Решить системы уравнений, спользуя формулы Крамера.

1) 3х +y+z=-2 2) 2х

10x-y-3z= 13 х- у + 5 z 123x-2y+4z=- 15

3)4) 2х - Зу + 5z=- 7 x+y+z=-4

[5х + Зу -4z =

5) х + 2у - 3z = 0 6) 6х+3у -3z= 13

2х - у + 4z -5 2х -3у + -10

3х x+z=O 7)5x-y-z= 10 8)2х + у + z = 2 2х +3z=-75х +y+3z= 14 x-y-z=62х + у + 2z =5

5 9)2x - y + 7z -28 10) 2x-y + z 4 3x 13 x-3y+ z 15 4x - 2)' + 3z-- 7

11) 2x + 3y -4z - 4 12)

3x + 2y + 5z 22 3x - 2y - z -0

2y - z 2 13)x- 5y + 4z-- 3 14) 3x + 6y 9z -18 x+y+z--4

15) x+y+z- l3x + 2y - 2

5x + 3z 7 4x + y + 4z - 2x- 3y + 7z - 5

17)3x- 3y + 4z-- 10 18) 2x + 3y - 2z 13 x

19) 3x + y - z z -4 20) x - y + 9z 26 x + 2)' 2z 3 3x + 2y - 3z x- 3y + 62x + 3y - 4z - 4

21) 2x -Y z O 22) 3x + 2y + 2z 3

5x + 5z 23 3x + 2y + 2z 3

+ 2z - 5

23) 3x-y +2z-- 1 24) x-y-3z- 13

- 4z - 23y+z-2 +5z 12+3z-- 15

25) 6 Тема 2, Декартова система координат. Основные задачи аналитической геометрии.

Пример 2. Точки "4(-8;5), ВР; 7), С(О;-З) - вершины треугольника АВС Найти точку К пересечения его медиан и длину медианы СМ.

Решение, Точка М- середина отрезка АВ, значит её координаты

т.е.

Точка пересечения медиан К делит медиану СМ в отношении

= СК:КМ = 2. По формулам деления отрезка в данном отношении координаты точки К равны;

Вектор СМ имеет координаты СМ Значит длина медианы СМ

МС, ЗИГ .

Задание 1. Решить задачу.

1. Является ли равнобедренным треугольник с вершинами А(З;б), ВОЗ), ?

2. Доказать, что точки (1; 2), (-1; 1), (3;-5), (3;-l) являются

последовательными вершинами трапеции.

З. Найти единичный вектор, параллельный вектору АД если

4. На оси ординат найти точку, одинаково удалённую от точки (-2;5) и начала координат.

5. Найти четвёртую вершину параллелограмма, если даны три его последовательные вершины (-4;5), (-2;5), (5;-7).

6. Лежат ли на одной прямой точки (О; 1), (-3;-1), (6; 5) ?

7. Доказать, что треугольник с вершинами (-2,2), (0;5), (б; 1) прямоугольный.

8. На оси Ох найти точкуАтакую, что АВ = 10, а В(б;-б).

9. Найти точку В, симметричную точке Щ-3;-1) относительно биссектрисы второго координатного утла. Найти расстояние АВ.

10. Найти длину диагоншм BD параллелограмма АВСД если

Задание 2.

1. Даны две смежные верижны параллелограмма В(1;7) и точка пересечения диагоналей ; 1). Найти две другие вершины.

2. Вершины треугольника A(l;4), В(З;-9), Найти длину его медианы ВК и угол между ВК и ф.

З.Найти координаты точек деления отрезка АВ на три равные части, если В(4;З). Найти расстояние от точки В до начала координат и до оси Ох.

4. Зная вершины параллелограмма В(5;-З), С(-1;З), найти его вершину Д точку пересечения диагоналей и .AD.

5. точи (2;-1), (-1;4), (-22) - середины сторон треугольника.

Найти его вершины.

6. Найти координаты концов отрезка АД который точками Р(2;2) и ; 5) разделен на три равные части.

7. Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медиан треугольника с вершинами (З; 1), (3;-2), (4;0).

8. Найти длины диагоналей параллелограмма, если даны три его последовательные вершины (-1,2), (2;4), (5;-1).

9. Найти длину медианы ОС и биссектрисы 0D треугольника АВС с вершинами В(О;б), 0(0;0).

10. В треугольнике АВС известны Вк-3;2), С(5;4) и точка пересечения медиан М(2;1). Найти точку А и длину медианы AL.

Тема З. Кривые второго порядка.

Пример З. Построить кривую

х? + - 4х + бу - З О.

Эта кривая является окружностью, так как: коэффициенты при х2 и у2 оба равны +l. Найдём центр и радиус окружности..

(х2-4х+ 4) -4 + 02 + бу + 9)_ = 0,

Значит, центр окружности С(2; -3) и радиус R = 4.

Задание 1. Построить окружности.

1) х2 +у2 -бх+4у-2З=О 2) Р"? +5х-0+2,5-

4) х2 + + 4х + 2)" 20

8 7) х2+у2+ 8у+ [5=0

8) x2 +y2 - iOx+ 4y+ 25 = о

10) 11) х2 12) х: + уР+ 6х-8у+ М = 0 Задание 2. Построить кривые. Найти фокусы и эксцентриситет

эллипсов и гипербол.

3) 4) 5)

6) 7) - 92 б

2 = 2х2 + + 1

х - у2 + 8х +

= 2х2 - + 13 +4х-7

--х2 +5х+7 у= 2х2 -2х + З

х 2у2 + +3 9) 4х2 - 9у2 = 36, у=х-х2 10) 4х2 + 9у2 = 36,

Задание З. Найти точки пересечения кривых и построить их.

Построить кривые х) - 2х + 4у2 - 16y + 13 = 0 и х + у - 4 = О и найти их точки пересечения.

Решение Преобразуем уравнение первой кривой:

(х2 -- 2х + 1) - + (4у2 -- 16y +16) - 16 + 13 = 0, следовательно

(у-2)2 (х - + 4(у - = 4 или 4 = 1. Значит,

имеем эллипс с полуосями а = 2, Ь = и центром (1 ;2).

Второе уравнеие у = 4 - х описывает прямую, пересекающую оси координат в точках (0;4) и (4;0). Для нахождения точек пересечения данных линий надо решить систему уравнений:

+ 4(у - = 4

Подставим у = 4 - х в первое уравнение, получим уравнение

5х2 - 18х + 13 = О, решая которое, найдем корни: =l, х2 = 2,6.

Соответственно, получим: ул = З, У2 = 1,4, т.е. точки пересечения данных линий: А(1;З), В(2,6;1,4).

1) х2 + 8х + у2 = О,

2) х2+ у2 - 4y = О,

З) х2 + 2х + у2 - 2у =7, 4) х2 - 2х + у2 +2у = 14,

5) х2 + 6х + у2 = 16,

3х + 4y = 10. 2x-y+l х + 2у =7. У = 3х. У = зх.

2 = 3х. у 9) х) + у2 4-4у 30,

10) х2 + у2 +7у = О,

Полярная система координат.

Пример Записать уравнение кривой r = 4сомр в декартовых координатах и построить эту кривую.

Решение Уравнение r = 4сомр описывает окружность радиуса 2 с центром в точке: ф О, r -2. Связь декартовых координат с полярными осуществляется по формулам: х = rcosp, у = rsin"p и

r= х 2 + у , сожр

Подставляя эти значения r и сомр в уравнение кривой r = 4сомр будем иметь

2 , т.е. х2 + у2 - 4х = 0 или (х - + у2*4.

Задание 4. 1 .Построить точки, полярные координаты которых имеют следующие значения:

4) (1d2, З)

2) (20, 1) 5) (5х16, 2)

9) (30, 6) Найти декартовы координаты ЭТиХ точек.

2. Преобразовать к декартовым координатам уравнения линий и построить линии:

1) r = 6sinp 7) r = 3simp 2) rcosQ = 1 5) rsinq = 4 З) tgp = З 6) r = cosp 9) ctgp = 2 Учебно-методическое издание

Ольга Александровна Григорец

Людмила Николаевна Занина

Ирина Александровна Данилова

Нина Петровна Перфилова

Олег Константинович Козлов

АНАЛПИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ часть Методические указания к практическим занятиям по дисциплине

"Высшая математика"

Показать полностью… https://vk.com/doc-42428605_132109429
Рекомендуемые документы в приложении