Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Студенческий документ № 065892 из РОАТ МИИТ (бывш. РГОТУПС, ВЗИИТ)

Контрольная работа №1

Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры.

Вариант ?????6

???? 1.1.6. Найти угол между векторами AA и AN , если А(2;5;-3); В(5;2;-3), С(0;5;-1). Сделать чертеж.

Решение. ???? ????

Найдем векторы AAи AN

???? ????? 2 2 2

AA? ?(5 2;2? ? ? ? ?5; 3 3) (3; 3;0) и AA? 3 ? ? ? ?( 3) 0 18 3 2?

???? ????? 2 2 2

AN? ? ? ? ? ? ?(0 2;5 5; 1 3) ( 2;0;2)и AN ? ? ? ? ? ?( 2) 0 2 8 2 2

????????? ?????????? ?AA AC? ? 3 ( 2)? ? ? ?3 0?0 2? 6 1

cos(AA AC, ) ? ????????????? ? ? ? ?

AA ? AC 3 2 2 2? 12 2

arccos???? 12 ??? ?1200

Ответ: ?

2.1.16. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х-4у+15=0 и 4х+у-9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2).Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж. Решение.

Найдем точку пересечения двух известных сторон треугольника 5х-4у+15=0 и 4х+у-

9=0. Решим систему

?5o?4o?15?0 ? решение системы х=1, у=5, т.е. т.А(1,5) - одна из вершин треугольника. ? 4o?o?9?0

Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины, то есть для точки пересечения Р верно АР:РD=2:1=2=?, поэтому координаты точки D (середины стороны ВС) можно найти из соотношений:

oD ? oR ??oD , oD ? oR ??oD

1?? 1??

0 ? 1?2oD , 1?2oD ? 0, oD ? ? 1

1?2 2 2 ? 5? 2oD , 5?2oD ? 6 oD ? 1

1? 2 2 Получили D( ? ;) - середина стороны ВС. Точки В, С лежат на прямой ВС, проходящей через точку D(? ;), ее можно записать в виде: o?kx?0.5?0.5k . Тогда

B?xB,kxB ?0.5?0.5k?, С?xC,kxN ?0.5?0.5k?

Пусть точка B лежит на прямой 5х-4у+15=0, получаем уравнение: 5xB ?4?kxB ?0.5?0.5k??15 ? 0

Пусть точка С лежит на прямой 4х+у-9=0, получаем уравнение: 4xN ?kxN ?0.5?0.5k?9 ? 0

Учтем также, что D(? ;) середина стороны ВС, получим уравнение xA ?xN 1

?? 2 2

Получили систему: ?5xB ?4?kxB ?0.5?0.5k??15 ?

? ? 4xN ? kxN ?0.5?0.5k ?9 ? 0

?? xA ? xN ? ?1

С

2.2.16. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

? 5o? o?z-7 ?0 ?

?-2x?y-3z?5?0 a) 7x-2y+17z=0;

б) 7х+2у-17z+5=0;

в) -2х+17у+7z+3=0;

г) 2x-17y+7z+2=0;

д) 17х+7у-2z+1=0.

Сделать схематический чертеж.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой i j k

1 ?15 ?151 s ?5 1? ?2i ?17 j ? 7k

1 ?3? 2 ?3? 21

-2 1 -3 Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны.

а)Проверим условие перпендикулярности для плоскости 7x-2y+17z=0; ?

7 ? 2 ? ??прямая и плоскость не являются перпендикулярными.

? 2 17

б) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 7х+2у-17z+5=0; ?

7 2 ?17 ? ? ?прямая и плоскость не являются перпендикулярными.

? 2 17 7 в) Проверим условие перпендикулярности для плоскости -2х+17у+7z+3=0;?

? 2 ? ? ?прямая и плоскость перпендикулярны.

? 2 г) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 2x-17y+7z+2=0; ?

2 ?17 ? ??прямая и плоскость не являются перпендикулярными

? 2 17 д) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 17х+7у-2z+1=0 ?

17 7 ? 2

? ? ?прямая и плоскость не являются перпендикулярными.

? 2 17 7 3.1.36. Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение. Сделайте схематический чертеж. 4xy?9 ? 0

Решение.

А=0, В=2, С=0, D=0, Е=0

Btg2??(C ? A)tg?? B ? 0

2tg2??2 ? 0 tg??1 или tg???1

? ?? ? 4?(x ? y)(x ? y) ?9 ? 0

4(o2 ? o2) ?9 ? 0

4(o2 ? o2) ? 9

4o2 4o2 ? ?1 9 9

Уравнение гиперболы

3.1.46. Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса. Сделать проверку.

?2x ? y ? z ?1

? ?x ? o ? z ? ?2 ??3x ? y ? z ? 6

Решение.

1)Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B,

?2 1 ?1? ? x? ? 1 ?

? ? ? ? ? ? -1 -1

где A = ?1 ?1 ?1?, X = ? y? , B = ?? 2?. Тогда X = A B. Найдем матрицу A .

?3 1 1 ?? ?? z ?? ?? 6 ??

? ? А

1 ? 11 Вычислим обратную матрицу А?1 ? ? А12

? ? А13 ? А21 А22

А23 А31 ? ? А32 ?.

А33 ??

2 1 ?1 ??1 ?1 ?1?8

3 1 1 R11 ? ??1?1?1?????11 ?11?????0

R12 ? ??1?2?1???13 ?11??????4

? R13 ? ??1?3?1???13 ?11????? 4

? R21 ? ??1?2?1????11 ?11????? ?2 R31 ? ??1?3?1?????11 ??11????? ?2

R22 ? ??1?2?2???23 ?11?????5 R32 ? ??1?3?2????12 ??11?????1

? R23 ? ??1?3?2???23 11?????1 R33 ? ??1?3?3????12 ?11????? ?3

? ? 0

Тогда A-1 = 1??? 4

8? 4 ? Получим ? 2

5 1 ? 2? ? 1 ?

? 3?? ? 0 ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 0?1? 2?(?2) ? 2?6 ? ? ?8 ? ?1?

X = A-1B = 1??? 4 5 1 ?? ??? 2??= 1??? 4?1? 5?(?2) ?1?6?? ? 1?? ?8 ?? =??1?? . 8?? 4 1 ? 3?? ?? 6 ?? 8?? 4?1?1?(?2) ?3?6 ?? 8???16?? ??2??

2) Для решения системы методом Гаусса приведем матрицу к треугольному виду.

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду: Поменяем местами первую и вторую строчки.

?1 ?1 ?1? 2?

?? ?2 1 ?11 ?= [умножаем первую строчку на -2 и складываем со второй,

?1 ? умножаем первую на -3 и складываем с третьей] = ?0

?0 ? ?1 3 4 ?1

1 4 ? 2?

? 5 ? = умножаем вторую

12 ?? ??3 1 16 ??

?1 ?2?? 1 5 ?

8 16?

? 3 3 ? ??1 ?1

4 ?0 3 строку на ? и складываем с третьей] =

3 ? ?0 0 ?

Получаем систему:

? ?х? у?z ??2

?? 3y?z ?5 ? 8 16

?? 3z ? 3 Получаем х=1, у=1, z=2.

Проверка: Подставим полученные значения переменных в исходную систему уравнений:

?2x ? y ? z ?1 ?2?1?1? 2 ?1

??x ? o ? z ? ?2 ? ??1?1? 2 ? ?2 Получаем верные равенства ??3x ? y ? z ? 6 ??3?1?1? 2 ? 6

Ответ: х=1, у=1, z=2

Показать полностью… https://vk.com/doc39451800_437207301
Рекомендуемые документы в приложении