Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 081034 из СИЮ

Министерство образования РФ

Московский государственный университет леса

ЛЕКЦИЯ № 5

Дисциплина:

"МЕТРОЛОГИЯ"

Тема:

"Класс точности СИ и его обозначение. Погрешности измерений. Источники и классификация погрешностей измерений. Систематические погрешности. Методы исключения систематических погрешностей".

Вопросы:

1. Класс точности СИ.

2. Допуск. Квалитет.

3. Погрешность измерения. Доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка, предел погрешности.

4. Классификация погрешностей. Принцип неопределенности Гейзенберга.

5. Классификация систематических погрешностей измерений. формы представления результатов измерений. Методы борьбы с систематическими погрешностями

1. Класс точности СИ

Класс точности - основная метрологическая характеристика прибора, определяющая допустимые значения основных и дополнительных погрешностей, влияющих на точность измерения.

Погрешность может нормироваться, в частности, по отношению к:

результату измерения (по относительной погрешности);

длине (верхнему пределу) шкалы прибора (по приведенной погрешности).

Для стрелочных приборов принято указывать класс точности, записываемый в виде числа, например, 0,05 или 4,0. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра, работающего в диапазоне измерений 0 - 30 В, класс точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении стрелки в любом месте шкалы не превышает 0,3 В. Соответственно, среднее квадратичное отклонение s прибора составляет 0,1 В.

Относительная погрешность результата, полученного с помощью указанного вольтметра, зависит от значения измеряемого напряжения, становясь недопустимо высокой для малых напряжений. При измерении напряжения 0,5 В погрешность составит 60 %. Как следствие, такой прибор не годится для исследования процессов, в которых напряжение меняется на 0,1 - 0,5 В.

Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность s прибора всегда принимают половину цены его наименьшего деления. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно стараться определить доли деления, так как результат измерения от этого не станет точнее.

Обозначения класса точности могут иметь вид заглавных букв латинского алфавита, римских цифр и арабских цифр с добавлением условных знаков. Если класс точности обозначается латинскими буквами, то класс точности определяется пределами абсолютной погрешности. Если класс точности обозначается арабскими цифрами без условных знаков, то класс точности определяется пределами приведённой погрешности и в качестве нормирующего значения используется наибольший по модулю из пределов измерений. Если класс точности обозначается арабскими цифрами с галочкой, то класс точности определяется пределами приведённой погрешности, но в качестве нормирующего значения используется длина шкалы. Если класс точности обозначается римскими цифрами, то класс точности определяется пределами относительной погрешности.

2. Погрешность измерения

Погрешность измерения - отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение никакой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно РМГ 29-99 термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины хд, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. с некоторой оговорённой вероятностью.

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительным интервалом параметра распределения случайной величины с уровнем доверия p, порождённым выборкой , называется интервал с границами и , которые являются реализациями случайных величин и , таких, что

. Граничные точки доверительного интервала и называются доверительными пределами.

Стандартная ошибка среднего в математической статистике - величина, характеризующая стандартное отклонение выборочного среднего, рассчитанное по выборке размера из генеральной совокупности. Термин был впервые введён Удни Юлом в 1897 году. Величина стандартной ошибки зависит от дисперсии генеральной совокупности и объёма выборки .

Стандартная ошибка среднего вычисляется по формуле:

где - величина среднеквадратического отклонения генеральной совокупности, и - объём выборки.

Поскольку дисперсия генеральной совокупности, как правило, неизвестна, то оценка стандартной ошибки вычисляется по формуле:

где - стандартное отклонение случайной величины на основе несмещённой оценки её выборочной дисперсии и - объём выборки.

Предел погрешности (также предельная погрешность, предел ошибки, доверительная граница или доверительный предел) - статистическая величина, определяющая, с определенной степенью вероятности, максимальное значение, на которое результаты выборки отличаются от результатов генеральной совокупности. Составляет половину длины доверительного интервала. (Генеральная совокупность - совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы. Выборка или выборочная совокупность - часть генеральной совокупности элементов, которая охватывается экспериментом)

Пример использования: "средний рост студента первого курса составляет 180 ± 20 см с вероятностью 95 %"

Здесь:

180 см - среднее значение выборки;

95 % - доверительная вероятность (коэффициент надёжности);

160-200 см - доверительный интервал;

20 см - предел погрешности.

Толкование: "с вероятностью 95 % истинное среднее значение генеральной совокупности лежит в интервале 160-200 см"

Для нормального распределения:

где, - среднее значение, z - Z-оценка (зависит от выбранной доверительной вероятности), - среднеквадратическое отклонение, n - размер выборки.

Пределом относительной погрешности называют величину:

Среднеквадратическая погрешность

Среднеквадратическое отклонение - в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок.

Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

3. Классификация погрешностей. Принцип неопределенности Гейзенберга

По форме представления

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины . Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.

Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,3806488(13)?10?23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,3806488?10?23±0,0000013?10?23 Дж/К

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):

, . Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.

Приведённая погрешность - погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле , где - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то определяется равным верхнему пределу измерений;

если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведённая погрешность также является безразмерной величиной.

По причине возникновения

Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.

Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.

Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определённой заранее заданной точностью - основной погрешностью, допускаемой в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора. В различных областях науки и техники могут подразумеваться различные стандартные (нормальные) условия (например, Национальный институт стандартов и технологий США за нормальную температуру принимает 20 °C, а за нормальное давление - 101,325 кПа); кроме того, для прибора могут быть определены специфические требования (например, нормальное рабочее положение). Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора - например, температурная (вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной), установочная (обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения), и т. п.

Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведённых основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)?10n, где показатель степени n = 1; 0; ?1; ?2 и т. д.

По характеру проявления

Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние обычно можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

Математически случайную погрешность, как правило, можно представить белым шумом: как непрерывную случайную величину, симметричную относительно 0, независимо реализующуюся в каждом измерении (некоррелированную по времени).

Основным свойством случайной погрешности является возможность уменьшения искажения искомой величины путем усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объёма данных стремится к 0 (закон больших чисел).

Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине часто полагают распределение случайной погрешности "нормальным" (см. Центральная предельная теорема). "Нормальность" позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.

Однако априорная убежденность в "нормальности" на основании ЦПТ не согласуется с практикой - законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.

Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).

Систематическая погрешность - погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.

Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. Её устраняют либо с помощью поправок, либо "улучшением" эксперимента.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.

Грубая погрешность (промах) - погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).

Надо отметить, что деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определённых условиях может носить характер как случайной, так и систематической ошибки.

По способу измерения

Погрешность прямых измерений вычисляется по формуле

где: :

o - стандартная ошибка среднего (выборочное СКО, деленное на корень из количества измерений );

o - квантиль распределения Стьюдента для числа степеней свободы и уровня значимости ;

- абсолютная погрешность средства измерения (обычно это число, равное половине цены деления измерительного прибора).

Погрешность косвенных воспроизводимых измерений - погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины. Если , где - непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность , то:

Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений вычисляется аналогично вышеизложенной формуле, но вместо ставится значение, полученное в процессе расчётов.

Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности одновременного определения пары наблюдаемых физических величин, характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Таким образом, из аксиом квантовой механики следует принципиальная невозможность одновременного определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот факт накладывает серьёзные ограничения на применимость понятия "истинное значение физической величины".

4. Классификация систематических погрешностей измерений. формы представления результатов измерений. Методы борьбы с систематическими погрешностями

Классификация погрешностей

Систематические погрешности По причине возникновения По характеру измерения инструментальные постоянные внешние переменные:

- прогрессивные

- периодические

- меняющиеся по сложному закону методические субъективные

Инструментальная погрешность измерения(аппаратная погрешность) - составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.

Внешняя погрешность (погрешность измерения из-за изменений условий измерения) - составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.

Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); неправильной установки средств измерений, нарушения правил их взаимного расположения и др.

Погрешность метода измерений (методическая погрешность) - составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.

Эта погрешность обусловлена:

? отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения;

? влиянием способов применения СИ. Это имеет место, например, при измерении напряжения вольтметром с конечным значением внутреннего сопротивления. В таком случае вольтметр шунтирует участок цепи, на котором измеряется напряжение, и оно оказывается меньше, чем было до присоединения вольтметра;

? влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений. Вследствие упрощений, принятых в уравнениях для измерений, нередко возникают существенные погрешности, для компенсации действия которых следует вводить поправки;

? влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерений.

Иногда погрешность метода называют теоретической погрешностью.

Отличительной особенностью погрешностей метода является то, что они не могут быть указаны в документации на используемое СИ, поскольку от него не зависят; их должен определять оператор в каждом конкретном случае. В связи с этим оператор должен четко различать фактически измеряемую им величину и величину, подлежащую измерению.

Иногда погрешность метода может проявляться как случайная.

Субъективная погрешность измерения (субъективная погрешность) - составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора.

Встречаются операторы, которые систематически опаздывают (или опережают) снимать отсчеты показаний средств измерений. Иногда субъективную погрешность называют личной погрешностью или личной разностью.

В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.

Постоянные погрешности - погрешности, которые длительное время сохраняют свое значение, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто.Постоянные систематические погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчёта, неправильной градуировке средств измерения. Эти погрешности сохраняются и при повторных измерениях. Поэтому их очень трудно обнаружить.

Прогрессивные погрешности - непрерывно возрастающие или убывающие погрешности. К ним относятся, например, погрешности вследствие износа измерительных наконечников, контактирующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля. Другой пример: одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, поэтому оно быстрее нагревается и удлиняется. Это приводит к систематическому сдвигу начала отсчёта и к монотонному изменению показаний весов.

Периодические погрешности - погрешности, значение которых является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора.Например, периодическая погрешность может возникнуть, например, при круговой шкале, если её ось не совпадает с осью вращения.

Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совместного действия нескольких систематических погрешностей.

Методы борьбы с систематическими погрешностями заключаются в их обнаружении и последующем исключении путём:

1) устранения источников погрешностей до начала измерения. Этот метод особых комментариев не требует. Необходимо четко соблюдать инструкцию по эксплуатации средства измерений в части соблюдения условий измерений, правильной установки оборудования, подключения к цепям питания, экранирования от источников электромагнитного излучения и прочие правила;

2) исключения погрешностей в процессе измерения методами:

- замещения, который заключается в замене измеряемой величины известной (мерой), притом так, чтобы в состоянии и действии всех используемых СИ не происходило никаких изменений;

- противопоставления, когда измерение выполняется с двумя наблюдениями, проводимыми так, чтобы причина неисключенной систематической погрешности (НСП) оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений;

- компенсации погрешности по знаку, который предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы НСП входила в результат каждого из них с разными знаками. Например при измерении электрического тока прибором электромагнитной системы, подверженному сильному влиянию магнитных полей, необходимо произвести повторное измерение, повернув прибор на 180 градусов. Таким образом будет скомпенсировано действие магнитного потока по знаку и результат измерения надо взять как среднее арифметическое из двух результатов;

- рандомизации (перевода систематической погрешности в случайную), которыйкоторый заключается в такой организации измерений, при которой фактор, вызывающий НСП, при каждом наблюдении действует по-разному. Так, например, инструментальная погрешность конкретного экземпляра СИ является систематической во всех случаях, тогда как для партии таких СИ она будет случайной. Измерив физическую величину двумя или тремя однотипными СИ, можно существенно уменьшить систематическую погрешность;

- симметричных наблюдений, который применяется для устранения прогрессирующих систематических погрешностей, линейно меняющихся пропорционально времени. Используют следующее свойство любых двух наблюдений, симметричных относительно средней точки интервала наблюдений: среднее значение линейно прогрессирующей погрешности результатов любой пары симметричных наблюдений равно погрешности, соответствующей средней точке интервала. Ряд наблюдений выполняют через равные промежутки времени и вычисляют средние арифметические значения результатов симметрично расположенных наблюдений (симметрично относительно среднего по времени наблюдения). Как было сказано, они должны быть равны. Это дает возможность контролировать в ходе измерения, соблюдается ли условие линейности возрастания систематической погрешности;

3) внесения известных поправок в результате измерения.

Поправка -значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности.

Знак поправки противоположен знаку погрешности

Поправку, прибавляемую к номинальному значению меры, называют поправкой к значению меры; поправку, вводимую в показание измерительного прибора, называют поправкой к показанию прибора.

Соответственно различают:

- неисправленный результат измерения(неисправленный результат) - значение величины, полученное при измерении до введения в него поправок, учитывающих систематические погрешности;

- исправленный результат измерения(исправленный результат) - полученное при измерении значение величины и уточненное путем введения в него необходимых поправок на действие систематических погрешностей.

Поправочный множитель -числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения влияния систематической погрешности. Поправочный множитель используют в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины.

Неисключенная систематическая погрешность- составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости.

Иногда этот вид погрешности называют неисключенный остаток систематической погрешности. Неисключенная систематическая погрешность характеризуется ее границами.

Границы неисключенной систематической погрешности при числе слагаемых N? 3 вычисляют по формуле

, где - граница i-ой составляющей неисключенной систематической погрешности.

При числе неисключенных систематических погрешностей N ? 4 вычисления проводят по формуле

, где К - коэффициент зависимости отдельных неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равномерном распределении. Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р = 0,95.

2

Показать полностью… https://vk.com/doc140886897_442911681
195 Кб, 4 марта 2017 в 17:41 - Россия, Москва, СИЮ, 2017 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении