Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 081154 из СИЮ

Неформальные логики в системном анализе

Вопрос1 Основные определения и операции на нечетких множествах. Принципы обобщения и декомпозиции. Триангулярные нормы и алгебра де Моргана.

Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0; 1], а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Он определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

1.1. Нечеткие множества

Пусть Е - универсальное множество, х - элемент Е, a R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

где -характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар

где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть - нечеткое множество, для которого

Тогда А можно представить в виде

или или

Пример

Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ,ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...} -множество марок автомобилей, а Е' = [0, оо) - универсальное множество "Стоимость", тогда на Е' мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

"Для бедных", "Для среднего класса", "Престижные", с функциями принадлежности вида рис. 1.1.

Операции над нечеткими множествами

Логические операции

Включение. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если

Обозначение:

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А С В, говорят, что В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если .

Обозначение: А = В.

Дополнение. Пусть М = [0, 1], А и В - нечеткие множества,

заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если

Обозначение: или .

Очевидно, что (дополнение определено для М = [0, 1],

но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение. - наибольшее нечеткое подмножество,

содержащееся одновременно в А и В:

Объединение. - наименьшее нечеткое подмножество,

включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

Разность. с функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма

с функцией принадлежности:

Примеры.

Пусть Здесь:

1) , т. е. А содержится в В или В доминирует А; С несравнимо

ни с А, ни с В, т.е. пары {А, С} и {А, С} - пары недоминируемых

нечетких множеств.

2) 3) 4) 5)

6) 7) Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами.

Для нечетких множеств

можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоуголь-

прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются

значения на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс.

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: a - нечеткое множествоА; б - нечеткое множество ; в - ; г -

На рис. 1.3а заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.35, в, г

даны А, АП А, Аи А.

Свойства операций

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются сле-

следующие свойства:

1. 2)

3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция удовлетворяющая

следующим условиям:

1) -ограниченность;

2) - монотонность;

3) - коммутативность;

4) - ассоциативность;

Примеры треугольных норм

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А и В обозначается и определяется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

Для операций {•, +} выполняются свойства:

1) 2). 3) 4)

Не выполняются:

1)идемпотентность;

2) дистрибутивность;

3) Замечание. При совместном использовании операций выполняются свойства:

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень а нечеткого множества А, где a - положительное число. Частным случаем

возведения в степень являются:

1) CON (А) = А2 - операция концентрирования (уплотнения);

2) DIL (А) = А0'5 - операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 1.4).

Умножение на число. Если а - положительное число, такое,

что , то нечеткое множество имеет функцию принадлежности:

Декартово (прямое) произведение нечетких множеств.

Пусть - нечеткие подмножества универсальных

множеств соответственно. Декартово, или прямое

произведение является нечетким подмножеством множества с функцией принадлежности:

Нечеткая и лингвистическая переменные

Четкое множество -уровня (или уровня ). Множеством -уровня нечеткого множества А универсального множества Е называется четкое подмножество универсального множества Е,

определяемое в виде

где Декомпозиция

Любое нечеткое множество А можно представить в виде

Нечеткая и лингвистическая переменные

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой , где - наименование переменной; X - универсальное множество (область определения ); А - нечеткое множество на X, описывающее ограничения на значения нечеткой переменной .

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности действительное число, т.е.

Операции над нечеткими числами. Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть Аи В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая произвольной алгебраической операции * над обычными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначения вместо и вместо ) можно записать

Отсюда:

Вопрос2

Нечеткая логика в узком и широких смыслах. Нечеткая логика в управлении и типы нечетких контроллеров.

Нечеткая логика:

1. в узком смысле - где множество истинности

2. в широком смысле ,

Очевидной областью внедрения алгоритмов нечеткой логики являются всевозможные экспертные системы, в том числе:

* нелинейный контроль за процессами ( производство );

* самообучающиеся системы ( или классификаторы ), исследование рисковых и критических ситуаций ;

* распознавание образов;

* финансовый анализ ( рынки ценных бумаг ) ;

* исследование данных ( корпоративные хранилища );

* совершенствование стратегий управления и координации действий, например сложное промышленное производство.

Основные преимущества применения нечеткой логики для решения задач автоматизации по сравнению с традиционными подходами теории автоматического управления состоят в следующем:

* значительное повышение быстродействия процессов управления при использовании нечетких контроллеров;

* возможность создания систем управления для объектов, алгоритмы функционирования которых трудно формализуемы методами традиционной математики;

* возможность синтеза адаптивных регуляторов на базе классических ПИД регуляторов;

* повышение точности алгоритмов фильтрации случайных возмущений при обработке информации от датчиков;

* снижение вероятностей ошибочных решений при функционировании управляющих алгоритмов, что позволяет увеличить срок службы технологического оборудования.

Микроконтроллер нечеткой логики

Общая структура микроконтроллера, использующего нечеткую логику, показана на рис.1. Она содержит в своем составе следующие составные части:

* блок фаззификации;

* базу знаний;

* блок решений;

* блок дефаззификации.

Блок фаззификации преобразует четкие (сrisp) величины, измеренные на выходе объекта управления, в нечеткие величины, описываемые лингвистическими переменными в базе знаний.

Блок решений использует нечеткие условные (if - then) правила, заложенные в базе знаний, для преобразования нечетких входных данных в требуемые управляющие воздействия, которые носят также нечеткий характер.

Блок дефаззификации преобразует нечеткие данные с выхода блока решений в четкую величину, которая используется для управления объектом.

Рис.3.1. Общая структура нечеткого микроконтроллера.

В качестве реальных микроконтроллеров, поддерживающих нечеткую логику выступают 68HC11, 68HC12 фирмы Motorola, MCS-96 фирмы Intel, а также некоторые другие.

Вопрос3

Нечеткие отношения типа 1 и типа 2. операции над нечеткими отношениями. Методы кластеризации на основе нечетких отношений.

Пусть - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например, М = [О, 1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на Е, принимающее свои значения в М. В случае n = 2 и М = [0, 1] нечетким отношением R между множествами будет называться функция которая ставит в соответствие каждой паре

элементов величину

Обозначение: нечеткое отношение на запишется в виде

В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отно-

отношение называется нечетким отношением на

множестве X.

Примеры 1) Пусть Нечеткое отношение R = XRY может быть задано, к примеру, табл. 1.3.

Таблица 1.3. Задание нечеткого отношения

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R1 и R2. Объединение двух

отношений обозначается и определяется выражением

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается и определяется выражением

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается и определяется выражением

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается и определяется выражением

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

Дополнение отношения. Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается и определяется выражением

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R -

нечеткое отношение с функцией принадлежности Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается и определяется выражением

По договоренности принимают

Композиция (свертка) двух нечетких отношений. Пусть

R1 - нечеткое отношение между X и Y,

и R2 - нечеткое отношение между Y и Z.

Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое , определенное через R1 и R2 выражением

называется (max-min)-композицией ((max-min)-сверткой) отношений R1 и R2.

Вопрос4

Нечеткое принятие решений в сложных системах в условиях неопределенности. Нечеткий метод иерархий Саати и нечеткие когнитивные карты.

Актуальность темы исследования

* Задача анализа ряда трудно формализуемых задач с использованием экспертной информации.

* Задача построения комплекса моделей развития ситуации в исследуемой предметной области и принятия решений.

* Отсутствие концептуальных моделей и формализма интегрированных моделей представления знаний о ситуации.

* Нехватка методов разработки интегрированных моделей представления знаний о ситуации для СППР.

Цели исследования

* Интеграция различных моделей представления знаний на основе параметрических Т-норм для разработки объектов, генерирующих и оценивающих альтернативы, прогнозирующих последствия предполагаемых решений, выбирающих лучший вариант и согласовывающих групповые решения.

* Разработка методологии и алгоритмов построения интегрированной модели представления знаний в системах поддержки принятия решений.

* Разработка алгоритмов анализа и выбора наилучшего решения для трудно формализуемых задач с использованием экспертной информации.

Модель иерархического оценивания

Эксперт: Построение дерева критериев методом структурной декомпозиции, цель декомпозируется на критерии, характеризующие ее.

Процесс заканчивается, когда определен уровень листовых критериев .

При построении иерархической модели действует правило положительной связи между критериями.

Функциональная связь между критериями смежных уровней является линейной.

Генеральная цель

Листовые критерии

Альтернативы решений

А={KJ}, J=1,M.

Определение коэффициентов важности факторов иерархической модели

* Парное сравнение факторов ki и kj на i-том уровне иерархии, по отношению к kr на i-1 уровне.

* Поиск max собственных векторов матриц парных сравнений в специальной регулярной алгебре RA= (A, A,A, *)

операция обобщенного сложения A

операция обобщенного умножения A

операция транзитивного замыкания

Метод упорядочения обладает следующими свойствами:

• инвариантность упорядочения объектов к любым

допустимым преобразованиям на шкале измерений,

• при изменении оценок только между одной парой объектов в пользу одного

из них результирующие коэффициенты важности изменяются также

в пользу этого объекта.

Иерархическое моделирование. Выбор лучшей альтернативы.

* Ставится задача нахождения наилучшей альтернативы KJ относительно генеральной цели - элемента верхнего уровня иерархии.

* Веса альтернатив определяются с помощью парных сравнений альтернатив из множества А по множеству всех листовых критериев.

* Получаем в качестве набора значений свойств альтернативы вектор

где - значение из множества значений i-того листового критерия, принимаемое в альтернативе KJ.

* Для оценки достижимости цели разными альтернативами используется функция

где - веса листовых критериев в иерархической модели,

- альтернативы.

Оценка достижимости цели имеет вид линейной свертки:

Модель нечеткого иерархического

оценивания ситуации

* Упорядочение множества возможных вариантов решения задачи (альтернатив) относительно генеральной цели;

* Выбор лучшей относительно генеральной цели альтернативы с использованием субъективной функции полезности эксперта;

Когнитивное моделирование

Эксперт: Построение когнитивной карты ситуации, в виде ориентированного знакового графа, в котором вершины - факторы ситуации, взвешенные дуги - причинно-следственные отношения, вес которых отражает силу влияния факторов ситуации.

* Для получения прогноза развития ситуации задано F={fj}, j=1,..., m; шкалы Xi; (F, W), W=|wij| - матрица смежности, начальное состояние ситуации X(0)=(x10, ..., xm0), начальный вектор приращений P(t)=(p1,..., pm).

* Необходимо найти векторы состояния ситуации X(t), X(t+1), ..., X(t+n) и векторы приращения состояния ситуации Р(t), Р(t+1), ..., Р(t+n) в последовательные дискретные моменты времени t, t+1, ..., t+n, где t - номер шага (такта) моделирования.

* Прогноз развития ситуации определяется с помощью матричного уравнения: P(t+1)=P(t)°W, где (°) правило max-product: pi(t+1)=(pj(t)? wij).

* Состояние ситуации в последовательные моменты времени определяем парой: aX(t+1), C(t+1)n, где X(t+1)=X(t)+P(t+1) - вектор состояния ситуации (элемент вектора xi(t+1)= xi(t)+ pi(t+1)), когнитивный консонанс значения ci(t+1)IC(t+1).

Определение: Пусть (а,b)- положительно - отрицательная пара влияний в транзитивно замкнутой когнитивной матрице, тогда консонансом называется показатель

Модель нечеткого когнитивного

моделирования ситуации

* анализ текущего состояния динамической слабо структурированной ситуации;

* получение прогнозов развития ситуации;

* генерация стратегии перевода ситуации из текущего состояния в целевое состояние.

Проблемы исследуемых моделей принятия решений:

* Отсутствие возможности генерации альтернатив в модели иерархического оценивания ситуации;

* Отсутствие возможности оценки прогноза развития ситуации в нечеткой когнитивной модели ситуации;

* Отсутствие возможности оценки управляющих воздействий при решении задачи управления ситуацией в нечеткой когнитивной модели.

Вопрос 5

Обучение нечетких систем на основе нейронных сетей и генетических алгоритмов.

Обучение на основе генетических алгоритмов применимо для нечеткой модели выбора операторов агрегирования информации, то есть когда при оценке поступающей в систему информации возникают ситуации, когда оценка находится "между" соседними значениями , причем пользователь может говорить, что она более близка, например, к , чем к . Напомним, что в рамках нечеткого подхода также предполагается, что известны значения на некоторых наборах значений . Эта информация представляется в виде логических высказываний вида "Если для всех известных наборов . Кроме этого, предполагается, что ОАИ является монотонным, коммутативным и ассоциативным (то есть имеет смысл обобщенных операций "И", "ИЛИ"). В рамках теории нечетких множеств эти операторы в наиболее общем виде выражаются через t - нормы ("И") и t - конормы ("ИЛИ") [5]. Таких t - норм и t - конорм бесконечно много. Какую из них взять в качестве оператора агрегирования, снимающего противоречие в системе?

Предлагается для выбора такого оператора использовать процедуру обучения на основе генетических алгоритмов

Наиболее активно процедуры обучения используются при разработке нечетких контроллеров [5], то есть аппаратно реализованных систем правил нечеткого логического вывода. Обучение производится путем коррекции по определенным правилам функций принадлежности используемых нечетких переменных.

В качестве параметра обучения использовать не функции принадлежности, а параметры t - норм и t - конорм. В качестве средства ее решения было предложено использовать генетические алгоритмы .

Для оценки реализуемости такой процедуры обучения была разработана система, описание которой приводится ниже.

Возьмем в качестве параметрической t-нормы строгую архимедову t-норму:

В частных случаях имеем известные в рамках теории нечетких множеств формализации операции пересечения :

Для вычисления выхода системы правил используется строгая архимедова t-конорма:

Для дефазификации выхода системы правил возьмем метод нахождения центра тяжести композиции t-нормы и t-конормы, наиболее часто используемый и самый типичный.

Для поиска параметров первоначально был опробован классический генетический алгоритм.

Хромосомы - бинарные строки, представляющие двоичный код вещественных параметров, размерности 32*(R+1) (по числу битов отвечающих за параметр на число правил в системе и один параметр t-конормы). Был реализован одноточечное скрещивание, оставляющее двух потомков, и мутация - бинарный код случайного вещественного числа, лежащего в области определения параметра. Функция пригодности вычислялась как среднеквадратичная ошибка, определяемая расстоянием между выходом контроллера и Y* - выходом обучающей выборки выходом:

где D - размерность выборки.

При экспериментах с программой возникали ситуации ее непозволительно долгой (до нескольких часов) работы или не достижении требуемой ошибки. Для оптимизации стандартного генетического алгоритма было опробовано усиление мутации (как увеличение ее вероятности, так и разрешение мутации не в одном, а в нескольких генах хромосомы), выживание только одного потомка скрещивания их комбинации. Однако это практически не повлияло на его сходимость.

Было предпринято изменение самого принципа кодирования данных. Использовалось кодирование, отражающее структуру пространства поиска - представление хромосомы, как массива вещественных чисел размерности R+1 (параметры t-нормы каждого правила и параметр t-конормы). Это повлекло за собой необходимость разработать соответствующие операторы рекомбинации.

Мутация была реализована как получение случайного числа принадлежащего области определение параметра ? (от 0 до ?). Вероятность мутации просчитывалась для каждой хромосомы популяции.

В качестве аналога скрещивания использовался новый оператор - "почкование", включающий в себя следующие этапы:

1. выбор случайного числа близкого к гену "родительской" хромосомы (около 10% от величины самого числа);

2. повторение первого шага для каждого гена хромосомы.

В качестве оператора отбора использовался простой (не элитный) пропорциональный отбор по функции качества.

Шаг:

1. В новом поколении с вероятностью воспроизведения, рассчитанной оператором отбора, воспроизводятся дубликаты лучших хромосом и генерируются хромосомы, полученные почкованием и мутацией.

2. Проверяется "качественность" - минимальная среднеквадратичная ошибка хромосомы - для каждой хромосомы популяции.

3. Отмирают "неприспособленные" индивидуумы популяции.

4. Если качество лучшей хромосомы популяции удовлетворяет запросам задачи, то лучшая хромосома и является решением задачи - гены ее составляющие являются параметрами искомой t-нормы.

Иначе шаг алгоритма повторяется.

Обучение на основе нейронных сетей.

Обучение на основе нейронных сетей, так же как и обучение на основе генетических алгоритмов, используется для нечеткой модели выбора операторов агрегирования информации. Отличие в применимости этих подходов состоит в том, что для данного подхода не требуется выполнения свойств монотонности, коммутативности и ассоциативности оператора агрегирования информации.

Здесь также, как и в рамках нечеткого подхода, предполагается, что известны значения на некоторых наборах значений . Эта информация представляется в виде логических высказываний вида "Если и " для всех известных наборов

Задачу выбора адекватного ОАИ можно сформулировать как задачу его распознавания.

Будем считать, что объект описывается конечным набором признаков . Каждому признаку ставится в соответствие множество его "физических" значений и множество лингвистических значений (1 ? i ? n). Каждому такому лингвистическому значению ставится в соответствие функция принадлежности в универсальном множестве . Пусть, кроме этого, есть K классов . Информация о классах в терминологии [2] задана в виде совокупности r правил:

где объект О (правая часть правил) имеет значения признаков, перечисленных в левой части правил.

На вход классификатора подается вектор вещественных чисел ("физические" значения признаков объекта). Выходом является вектор , описывающий принадлежность объекта классам .

Для решения данной задачи использовалась следующая нейронная сеть

Входной слой состоит из нейронов (то есть каждому возможному значению подчиненной вершины соответствует один нейрон слоя). Нейроны во втором слое соответствуют четким правилам, задаваемым экспертом, то есть таким правилам, которые однозначно относят объект к тому или иному классу. Эти правила соответствуют строкам таблицы 1. Нейроны в третьем слое соответствуют значениям признака в вершине . Все нейроны первого слоя соединены с нейронами второго слоя, и все нейроны второго слоя - с нейронами третьего слоя.

Начальные веса задаются следующим образом. Нейроны первого слоя соединяются с нейронами во втором слое весом равным единице, если соответствующее правило содержит в себе это значение входа. То же самое верно и для весов идущих к последнему слою: если правило относит объект к тому или иному значению признака в вершине , то вес между соответствующими нейронами будет равен единице. Оставшиеся веса инициализируются маленькими числами порядка 0.1 (это необходимо, для того чтобы у них была возможность обучаться).

Функционирование происходит по следующим правилам. Для каждой входной переменной вычисляется степень принадлежности ее физического значения к множествам значений признака (это значение соответствующей функции принадлежности). Эти числа подаются на вход первого слоя. Нейроны во втором и третьем слоях вычисляют выход по формуле

Начальная обучающая выборка состоит из правил, задаваемые экспертом (аналог таблицы).

Таким образом, структура сети и начальной обучающей выборки моделирует ситуацию, в которой множества значений входных переменных определены четко.

Процедура обучения нейронной сети выглядит следующим образом.

1. Выбирается вектор Tk из обучающей выборки (1? k ? t) и подается на вход первого слоя;

2. По описанным выше правилам вычисляются выход второго слоя и выход сети ;

3. Вычисляется вектор ошибок

4. Вычисляется вектор ошибок второго слоя ,

5. Веса сети корректируются по формуле

Обучение происходит до тех пор, пока среднеквадратичная ошибка по всем элементам выборки не станет меньше заранее заданной величины

Вопрос6

Использование нечетких контроллеров для настройки нейросетей и генетических алгоритмов.

Показать полностью… https://vk.com/doc20425405_438237705
2 Мб, 14 октября 2016 в 9:40 - Россия, Москва, СИЮ, 2016 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении