Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Студенческий документ № 091327 из МЭГУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

________________________________________________________________

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой Э и Э, проф.

_______________________Петросянц К.О.

"_____" _______________ 2009 г.

Учебно-методические указания

"Передаточные коэффициенты. Метод эквивалентного генератора"

по дисциплине "Электротехника и электроника"

Составитель: Осипов Е.Г.

Москва 2009 г.

Теоретические сведения.

1. Принцип наложения.

В линейной схеме ток в любой ветви (напряжение на любой ветви) равен сумме токов (напряжений) в этой ветви, обусловленных в отдельности каждым источником, действующим в отсутствии остальных. Другими словами, если в схеме имеются N источников, то ток в К -й ветви, можно определить как сумму N слагаемых, где каждое слагаемое - ток в К-й ветви при действии в схеме только одного источника, в то время как остальные источники равны нулю.

2.Передаточные и входные коэффициенты.

Коэффициенты вида GKK (с одинаковыми индексами) называют собственными или входными проводимостями.

IK при EJ = 0 для всех j не равных К

GKK =

EK при JS= 0 для всех S

Коэффициенты вида GKM (с разными индексами) называют взаимными или передаточными проводимостями.

IK при EJ = 0 для всех j не равных M

GKM =

EM при JS= 0 для всех S

Коэффициенты вида TKM носят название коэффициентов передачи по току.

IK при EJ = 0 для всех j

TKM =

JM при JS= 0 для всех S не равных M

Коэффициенты вида HKM носят название коэффициентов передачи по напряжению.

UK при EJ = 0 для всех j не равных M

HKM =

EM при JS= 0 для всех S

RKM - передаточное сопротивление.

UK при EJ = 0 для всех j

RKM =

JM при JS= 0 для всех S не равных M

Для определения какого-либо передаточного или входного коэффициента необходимо:

а) в исходной схеме оставить только источник, по отношению к которому определяется коэффициент. Все остальные источники положить равными нулю;

б) рассчитать по заданным параметрам схемы (или измерить в цепи) соответствующий ток или напряжение. Тогда искомый коэффициент будет равен частному от деления полученного значения тока или напряжения на величину источника.

Равенство приведенное ниже позволяет определить передаточную проводимость через приращение тока при изменении эдс источника в схеме, содержащей другие источники.

I'K -I"K ?IK

GKM = =

E'M -E"M ?EM

При использовании данного метода рассчитывают(измеряют) два значения тока I'K и I"K в ветви К, при двух известных значениях эдс источника E'M и E"M.

3.Метод наложения.

Метод наложения справедлив только для линейных схем и основан на принципе наложения. Метод заключается в следующем:

a) оставляют в схеме только один источник, а остальные полагают равными нулю, т.е. эти источники удаляют из схемы, а затем зажимы, между которыми были включены источники эдс, замыкают накоротко, а зажимы, между которыми были включены источники тока, оставляют разомкнутыми. В полученной схеме с одним источником рассчитывают (измеряют) токи и (или) напряжения;

б) оставляют в схеме другой источник, а остальные полагают равными нулю и рассчитывают (измеряют) токи и (или) напряжения при действии только второго источника;

в) процесс расчета (измерений) продолжают до тех пор, пока не будут определены значения искомых величин(токов, напряжений) от действий каждого источника в отдельности;

г) искомые токи и напряжения определяют как сумму рассчитанных (измеренных) значений, соответственно, токов и напряжений от каждого источника в отдельности.

4. Теорема об активном двухполюснике (эквивалентном генераторе).

Любая часть электрической цепи (схемы) с двумя выделенными зажимами, которыми она подсоединяется к остальной части цепи (схемы), называется двухполюсником. На схеме двухполюсник условно, изображают прямоугольником с двумя выводами и с буквой "A" (активный) или "П" (пассивный).

Активным называют двухполюсник, содержащий источники, которые взаимно не компенсируют друг друга, т.е. при любом сопротивлении нагрузки (RH не равно 0) двухполюсника между его зажимами существует напряжение.

Пассивным называют двухполюсник, не содержащий источников или имеющий взаимно скомпенсированные источники (напряжение между его зажимами при любом сопротивлении нагрузки равно нулю).

Активный линейный двухполюсник по отношению к его зажимам (рис.1.а) можно заменить эквивалентным ему источником напряжения с эдс EЭК и внутренним сопротивлением Ri (рис 1.б) или источником тока с током JЭК и внутренней проводимостью Gi (рис 1.в) где

EЭК - равно напряжению холостого хода UX на зажимах активного двухполюсника (зажимы А, В разомкнуты. i = 0);

Ri - равно эквивалентному сопротивлению двухполюсника относительно его зажимов А, В при условии, что все эдс источников напряжения и токи источников тока активного двухполюсника равны нулю;

JЭК - равно току короткого замыкания IK, протекающему через зажимы А, В двухполюсника при замыкании их накоротко (U=0);

Gi -равно эквивалентной проводимости двухполюсника относительно его зажимов А, В при условии что эдс источников напряжения и токи источников тока активного двухполюсника равны нулю.

Теорему о замене активного двухполюсника эквивалентным источником напряжения называют теоремой Тевенена, а источником тока - теоремой Нортона.

Эквивалентность (равноценность) активного двухполюсника и источника (напряжения или тока) понимается в том смысле, что, если активный двухполюсник заменить эквивалентным ему источником, то токи и напряжения (в том числе I и U) в схеме нагрузки не изменяются.

Из условия эквивалентности источника напряжения (рис. 1.б) и источника тока (рис. 1.в) следует:

Ri = 1 EЭК = JЭК · Ri

Gi

или учитывая значения EЭК, JЭК, Ri, - UX = IK · RЭК

Для определения RЭК необходимо:

а) В исходной схеме активного двухполюсника положить все эдс источников напряжения и точки источников тока равными нулю. Это эквивалентно следующему преобразованию схемы: из нее удаляют все источники эдс и тока, а затем зажимы, между которыми были включены источники эдс, замыкают накоротко, а зажимы, между которыми были включены источники тока, оставляют разомкнутыми.

б) Найти эквивалентное сопротивление полученного пассивного двухполюсника по отношению к его зажимам, применяя эквивалентное преобразование пассивных ветвей (замена последовательного или (и) параллельного соединения нескольких сопротивлений одним эквивалентным).

Для определения напряжения холостого хода UX или короткого замыкания IK рассчитывают схему активного двухполюсника любым рациональным методом соответственно при его разомкнутых или закороченных зажимах.

Экспериментально параметры активного двухполюсника UX и IK можно либо непосредственно измерить с помощью опытов холостого хода и короткого замыкания (рис 2),

либо вычислить по результатам измерений токов и напряжений в двух других произвольных режимах. Для определения UX и IK по результатам измерений в двух произвольных режимах необходимо в соответствии со схемой рис.3 провести измерения тока I и напряжения U при двух значениях сопротивления нагрузки RH (R'H и R"H).

Для подобных способов используют систему уравнений вида:

U' = UX - RЭК · I' U' = UX - I' · UX / IK

U" = UX - RЭК · I" U" = UX - I" · UX / IK

по которым можно рассчитать значения параметров эквивалентного источника (активного двухполюсника) по измеренным I', U', I",U".

5. Метод эквивалентного источника.

В основе метода эквивалентного источника лежит теорема об активном двухполюснике. Сущность метода заключается в том, что по отношению к выделенной ветви всю остальную часть схемы рассматривают как активный двухполюсник и она может быть заменена эквивалентным источником, т.е. расчет тока в выделенной ветви сведен к расчету тока по одной из схем рис.4 а, б.

Eэк Ux

I = = схема рис 4.а

Ri + RH Rэк + RH

Eэк - EH Ux- EH

I = = схема рис 4.б

Ri+ RH Rэк + RH

Для исследования зависимости мощности нагрузки от сопротивления нагрузки воспользуемся теоремой об активном двухполюснике. Пусть произвольный активный двухполюсник подключен к сопротивлению RH. Тогда в соответствии с теоремой об активном двухполюснике исходная схема может быть заменена эквивалентной ей схемой рис 4.а. Мощность сопротивления нагрузки определяется выражением

2

Eэк

P = I2 · RH = · RH

Ri + RH

Исследования этого выражения на экстремум в зависимости от RH показывает, что значение мощности нагрузки будет иметь максимальное значение при условии RH = RI. В этом случае

E2ЭК U2x

PMAX = =

4Ri 4Rэк

U = 0,5 · Ux; I = 0,5 · IK

Задача №1.

В схеме (рис.5) рассчитать значение тока I3 методом наложения, считая параметры схемы (R, E, J) известными.

I3

R3

R1

R2 R4

J5

E1

Рис.5

Решение

В соответствии с принципом наложения искомый ток

I3=I3(E)+I3(J) , где

I3(E) - ток в третьей ветви при действии в схеме источника E1, а J5=0

I3(J) - ток в третьей ветви при действии в схеме источника J5, а E1=0

а) Расчет I3(J)

Положим в исходной схеме J5=0, тогда расчетная схема примет вид (рис.6а)

и определим в этой схеме I3(E)

I3(E) I1(E)

I1(E)

а) б)

Рис.6

Расчетная схема содержит один источник. В схеме с одним источником, как правило, рациональнее с точки зрения трудоемкости определять токи, упрощая схему путем эквивалентных преобразований пассивных ветвей.

В схеме (рис.6а) сопротивление R2 включено параллельно с ветвью, состоящей из последовательно соединенных сопротивлений R3 и R4 .

Заменим сопротивления R2, R3, R4 одним эквивалентным.

R2(R3+R4)

Ra = R2+R3+R4

В результате получим схему (рис.6б). В этой схеме легко определить I1(E) по закону Кирхгофа напряжений

I1(E)R1+I1(E)Ra=E1

или E1 E1

I1 = =

R1+Ra R2(R3+R4)

R1 +

R2+R3+R4

Для расчета тока I3(E) вернемся к схеме рис.6а.

Ток I3(E) определим по формуле деления тока на двух параллельных ветвях

R2

I3(E)= I1(E)

R2+R3+R4

Учитывая выражения для I1(E), получим

E1 R2

I3(E) = .

R2(R3+R4) R2+R3+R4

R1 + R2+R3+R4

Величина

I3(E) 1 R2

G31= = . - передаточная проводимость между

E1 R2(R3+R4) R2+R3+R4

R1+

R2+R3+R4

третьей и первой ветвями

б) Расчет I3(J)

Положим в исходной схеме Е1=0, тогда расчетная схема примет вид (рис.7а)

I3(J) I3(J)

R3 R3

R1 R2 R4 Rb J5

J5

R4

а) б)

Рис.7

Упростим схему, заменив параллельно соединенные сопротивления R1 и R2 одним эквивалентным Rb (рис.7б)

R1R2

Rb = R1+R2

По формуле деления тока на двух параллельных ветвях

R4

I3(J)= - J5 Rb+R3+R4

R4

I3(J)= - J5

R1R2

+ R3+R4

R1+R2

Величина

I3(J) R4

T35= = - - коэффициент передачи по току между

J5 R1R2

+ R3+R4

R1+R2

третьей и пятой ветвями.

Выражение для искомого тока I3 в исходной схеме получим, если в выражение

I3=I3(E)+I3(J)

подставить найденные значения I3(E) и I3(J)

Ток I3 c использованием передаточных коэффициентов имеет вид

I3=G31E1+T35J5

Задача №2.

В схеме рис.8 определить коэффициент передачи по напряжению H71 и передаточные сопротивления по току R95 и R96 . Значение параметров схемы R,E,J - известны.

R4

R2 R7

J5

E2 R9

E1 R6

J6

R3 E10 R8

Рис.8

Решение.

а) Расчет коэффициента передачи по напряжению H71

По определению

U9

H71 =

E1

при условии, что все источники эдс, кроме E1 и все источники тока равны нулю.

Где U9 - напряжение на сопротивление R9

Отразим эти условия на схеме (рис.9)

R4

R2 R7

E1 R6 R9

R3 R8

Рис.9.

После упрощения схемы получим (рис.10а,б)

R4 R4 I4

R7

R2 R2

E1 R9 E1 Ra

R3

R3 R8 I9

a) б)

Рис.10

(R7+R8)R9

Где Rа=

R7+R8+R9

По закону Кирхгофа напряжений (схема рис.10.б)

I4(Rа+R4)=E1

E1

I4= Rа+R4

Значение тока I9 определим по правилу деления токов на двух параллельных ветвях (рис.10.а)

R9+R7

I9= I4

R7+R8+R9

Тогда U9=I9R9 , или

E1 (R7+R8)R9

U9 = .

Ra+R4 R7+R8+R9

Окончательно

(R7+R8)R9

H91=

(Ra+R4)(R7+R8+R9)

б) Расчет передаточного сопротивления R95

По определению

R95=U9/J5 , при условии, что все источники эдс и все источники тока, кроме J5, равны нулю.

U9=I9R9 - напряжение на сопротивлении R9 при указанном выше условии.

Расчетная схема имеет вид (рис.11)

Рис.11

Так как последовательно соединенные сопротивления R2, R3 закорочены, то получаем схему (рис.12).

Рис.12

Параллельно источнику тока J5 подключены три ветви R4, (R7+R8) и R9. Ток I9 определим по формуле деления тока на n (n=3) параллельно соединенных сопротивлениях

1

R9

I9= J5 1 1 1

+ +

R4 R7+R8 R9

Тогда напряжение U9=I9R9

1

U9= J5 1 1 1

+ +

R4 R7+R8 R9

Либо напряжение U9 определим по формуле

U9=J5Rэкв 1

Где Rэкв = - эквивалентное сопротивление трех

1 1 1

+ +

R4 R7+R8 R9

параллельных ветвей относительно зажимов источника тока J5

Окончательно

U9 1

R95= =

J5 1 1 1

+ +

R4 R7+R8 R9

в) Расчет передаточного сопротивления R96

По определению R96=U9/J6 при условии равенства нулю всех источников, кроме J6

Расчетная схема представлена на рис.13.

R4

R2 R7

R6 J6 R9

R3 R8

Рис.13.

Уже отмечалось, что, если схема содержит один источник, то, как правило, при расчете искомых токов схему упрощают, применяя эквивалентные преобразования пассивных ветвей. Отметим, что для расчета напряжения U9 методом узловых потенциалов необходимо решить систему из двух уравнений

(КМУП=У-1-Ве=4-1-0=2),

а методом контурных токов - из трех уравнений (КМКТ=В-(У-1)-Вj=7-(4-1)-1=3)

Здесь Be - количество ветвей, состоящих только из источников ЭДС.

Вi - количество ветвей с источниками тока.

Однако, как упростить схему (рис.13) не очевидно. Перерисуем эту схему, объединив в один узел (точку) узлы, обведенные пунктирной линией, в итоге получим (рис.14).

I9

R9

R4

R3 R8 R7 I7

R2 R6 J6

Рис.14

Выполнив эквивалентные преобразования, перейдем к схеме (рис.15)

I7

Рис.15

R9R4 R2R3

Где Rb = , RC =

R9+R4 R2+R3

R8

Тогда I7 = J6

R7+Rb+R6

и

R8+Rb

U9= I7R6 = J6 R7+R8+Rb

Искомое передаточное сопротивление

U9 R8+Rb

R96= =

J6 R7+R8+Rb

Задача №3

Определить при каком значении сопротивления RH (рис.16) на нем максимальная мощность и значение этой мощности. Параметры схемы (значение R, E, J) известны.

Рис.16

Решение.

Рассмотрим схему относительно зажимов сопротивления RH как активный двухполюсник (схема рис.17).

R4

a

R2 R7

R1

E2 Ux

R6

I7 IV

E1

R3 E5 R8 I8

b

Рис.17

В соответствии с теоремой об активном двухполюснике, заменим активный двухполюсник на эквивалентный генератор напряжения и перейдем к эквивалентной схеме (рис.18)

а

Ri

RH

IH

Eэк

b

Рис.18

В этой схеме

Eэк

IH= Ri + RH

Eэк

PH= I2H RH=( ) 2 RH

Ri + RH

Максимальное значение мощности на сопротивлении RH будет при условии

RH=Ri и следовательно

Eэк E2эк

PHMAX =( )2Ri =

Ri + Ri 4Ri

Таким образом, для ответа на поставленные в задаче вопросы достаточно рассчитать параметры эквивалентного генератора Ri и Eэк.

а) Расчет Eэк

Значение эдс Eэк=Ux , где напряжение Ux - напряжение на разомкнутых зажимах активного двухполюсника (рис.17). Запишем уравнение по ЗКН для контура IV

Ux -I7R7 -I8R8=0, или

Ux= I7R7+I8R8 Определим токи I7 и I8 в двухполюснике при его разомкнутых зажимах. Нетрудно

показать, что расчет токов I7 и I8 (схема рис.19) рациональнее произвести методом контурных токов (количество совместно решаемых уравнений по МКТ

КМКТ=В-(У-1)-Вi=6-(4-1)-1=2 , а по методу узловых потенциалов -

КМУП=У - 1 - Be=4 - 1 =3 )

R4

R1 R2 I2k R7 I7

E2

R6 J6

I1k

R3 I3k R8 I8

E1 E5

Рис.19

I1k(R1+R2+R3) - I2k(R2+R3) - I3kR3= E1 - E3

-I1k(R2+R3)+I2k(R2+R4+R7+R8+R3)+I3k(R8+R3)=E2+E5

I1k=J6 По этим уравнениям рассчитываем контурные токи I1k и I2k

Токи ветвей

I7=I2k I8=I2k+I3k

Таким образом, определили Ux

б) Расчет Ri

Сопротивление Ri=Rэк , где Rэк - эквивалентное сопротивление, рассчитанное относительно зажимов двухполюсника при условии, что все эдс источников напряжения и токи источников тока равны нулю. Схема для расчета Rэк представлена на рис.20.

R4 a

R1 R2 R7

R3 R8

b

Рис.20

Последовательность эквивалентных преобразований и соответствующие выражения представлены ниже.

a

R4

R7

Ra

R8

b

Рис.21

R1(R2+R3) (Ra+R4)(R7+R8)

Ra = Rэкв=

R1+R2+R3 Ra+R4+R7+R8

Показать полностью… https://vk.com/doc1123454_324905800
253 Кб, 4 сентября 2014 в 21:33 - Россия, Москва, МЭГУ, 2014 г., doc
Рекомендуемые документы в приложении