Диплом «Численное решение уравнения Пуассона» по Компьютерной геометрии и графике (Дроботенко М. И.)

Кирилл Николоев пт, 01.04.2016 22:27

Оглавление Введение 4 1. Постановка задачи. 5 2 Области применения уравнения Пуассона. 6 2.1 Физическая интерпретация. 6 2.2 Восстановление изображения по векторному полю градиентов 8 3 Алгоритм решения уравнения Пуассона методом матричной прогонки 13

3.1 Анализ задачи 13 3.2 Описание алгоритма 18 4 Программная реализация 23 4.1 Выбор средства разработки 23 4.2 Основные блоки программы. 24 5 Численные результаты. 43 6 5. Заключение 57 7 Библиографический список. 58

1 Введение Дифференциальные уравнения в частных производных требуют нахождения функции не одной, как для ОДУ, а нескольких переменных, например f(x,y). Эти уравнения включают в себя производные по различным переменным (частные производные), например производные по x и по y. Уравнениями в частных производных описывается множество разнообразных физических явлений, и с их помощью можно с успехом моделировать самые сложные явления и процессы (диффузия, гидродинамика, квантовая механика, экология и т. д.).

1. Постановка задачи. Для того, чтобы уравнение в частных производных имело единственное решение, необходимо поставить нужное количество начальных и граничных условий, т.е. соотношения типа T(x,0)=f1(x) и T(0,t)=f2(t).

Уравнение Пуассона – дифференциальное уравнение в частных производных. С его помощью можно описать некоторые физические процессы и явления, такие как стационарное поле температуры и электростатическое поле. Общий вид уравнение Пуассона выглядит следующим образом:

Неизвестной функцией здесь выступает функция f. Зачастую уравнение решают на каком-то ограниченном множестве. В таком случае, чтобы решение уравнения Пуассона было точно определено, надо добавить краевые условия. Эти условия бывают трех видов: Дирихле, когда ограничения накладываются на саму функцию f на границе, Неймана, когда условия накладываются на ее производную f', и смешанные:

Дирихле: Неймана: Смешанные. Здесь – граница рассматриваемой области, а f*– некоторая известная функция. Несмотря на то, что уравнение Пуассона исторически возникло в процессе решения задач математической физики, в последнее время оно находит все большее применение и в других областях, в том числе в области обработки изображений. За недавнее время в этой сфере появилось достаточно большое количество статей, предлагающих алгоритмы, решающие с помощью уравнения Пуассона самые разнообразные задачи.

2 Области применения уравнения Пуассона. 2.1 Физическая интерпретация. Уравнение Пуассона описывает, например, распределение электростатического поля T(x,y) в двумерной области с плотностью заряда f(x,y), или стационарное распределение температуры T(x,y) на плоскости, в которой имеются источники (или поглотители) тепла с интенсивностью f(x,y). Именно в последней физической интерпретации и будем далее рассматривать уравнение Пуассона (поэтому мы и обозначили искомую функцию символом T). Корректная постановка краевой задачи для уравнения Пуассона требует задания четырех (в двумерном случае) граничных условий.

Некоторые численные решения уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями и разными источниками: Рисунок 2.1 Решение уравнения Пуассона (график линий уровня) с одним источником и нулевыми граничными условиями

Рисунок 2.2 Решение уравнения Пуассона с тремя источниками разной интенсивности 2.2 Восстановление изображения по векторному полю градиентов На данный момент для большого спектра задач обработки изображений предложены методы, содержащие в качестве одного из этапов построение и решение уравнения Пуассона. Например, к таким задачам относятся сжатие HDR-изображений, матирование изображений, редактирование изображений. Но, несмотря на разнообразие методов, уравнение Пуассона в целом ряде из них применяется для решения одной и той же задачи, а именно восстановления изображения по градиентному полю. Рассмотрим, этот ключевой этап подробно.

Пусть изображение Ω – замкнутое подмножество R2, с границей δR . Пусть f – неизвестная скалярная функция, заданная внутри . Наконец, пусть v – векторное поле, заданное на Ω. Необходимо восстановить функцию f, векторное поле градиентов которой равно v.

Рисунок 2.3 Начальные условия задачи Проблема в том, что v необязательно интегрируема. То есть может не существовать такой функции f, что . Это следует из того, что для f должно выполняться условие .А значит, для интегрируемости v необходимо условие , что совсем необязательно для произвольной v.

Тогда можно найти такую потенциальную функцию f, градиент которой наиболее близок к v. То есть надо минимизировать следующий интеграл: Функция f, минимизирующая полученный интеграл, должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа.

Скачать файлы

Похожие документы