Курсовая «Кинематика сплошных сред» по Теоретической механике (Быстров К. Н.)

Кирилл Николоев вс, 12.03.2017 15:43

Основные понятия и определения сплошной среды Сплошная среда (С С) – это физическая среда в любом фазовом состоянии (твердое, жидкое, газообразное, плазма и т.д.), в каждой точке которой существует функция плотности — р(х,у,z,t) и ее первая производная.

(Пример несплошной среды — кипящая жидкость, т к. существует скачок плотности на границе жидкость-пар пузырька, и первой производной функции плотности не существует.) Плотность p(x,y,zrt) — масса среды в единице объема. Значение плотности среды в окрестности точки неподвижного пространства определим формулой

где Δm — масса среды, заключенная в объеме ΔV в окрестности данной точки. Плотность среды зависит от температуры где ρ0 — плотность среды при начальной температуре; Δt — изменение температуры; βt — коэффициент температурного расширения

равный относительному увеличению объема среды при повышении температуры на один градус при неизменном давлении. (Например, для воды при Плотность среды зависит от давления где ρ0 — плотность при начальном давлении; ΔР — разность между новым и начальным давлением; βр— коэффициент объемного сжатия , равный относительному уменьшению объема при повышении давления на единицу. Величина, обратная βр, носит название модуля упругости

Частица сплошной среды — это мысленно выделяемый объем сплошной среды, который бесконечно мал по отношению ко всему объему сплошной среды и бесконечно велик по отношению к раз-мерам атомов сплошной среды.

Для количественного описания механических характеристик сплошной среды необходимо задавать неподвижную систему координат, масштаб в которой и направление осей задается тремя единичными векторами i — вдоль оси X, j — вдоль оси Y и k — вдоль оси Z, причем | j | = |j | = | k | = 1. Мы будем использовать Декартову систему координат, в которой единичные вектора i , j , k взаимно перпендикулярны (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1 Частица сплошной среды Кинематика сплошных сред В данном разделе мы будем изучать движение сплошных сред без учета инерционных свойств сплошной среды и причин (сил), вызывающих это движение.

Существуют два исторически сложившихся метода изучения движения сплошных сред. Это методы Лагранжа и Эйлера. Метод Лагранжа. В этом методе отмечается частица в начальный момент движения и исследуется ее движение в пространстве и времени вдоль ее траектории. В качестве метки частицы принимаются ее координаты в момент времени t = 0, т.е. XQ, y0, ZQ (см. рис. 11). Координаты частицы являются функциями времени.

Фактически переменными Лагранжа мы пользовались при изучении теоретической механики, где координаты точки центра масс твердого тела являлись функцией времени при координатном способе задания движения.

Но этот метод оказался неудобен при рассмотрении движения сплошной среды, т.к. для получения представления о движении всей среды необходимо рассматривать движение бесконечного множества частиц, из которых состоит сплошная среда.

Метод Эйлера. В этом методе фиксируется не частица, а точка неподвижного пространства (например М(х0, у0, z0)), и исследуются кинематические характеристики движения (скорости, ускорения и т.д.) частиц, пролетающих через эту точку.

Движение в методе Эйлера задается вектор-функцией поля скоростей: V(x,y,z,t)= i Vx(x,y,z,t)+ jVy(x,y,z,t) + kVz(x,y,z,t), (1.4) где Vx, Vy , Vz — переменные Эйлера, т.е. функции проекции V на соответствующие оси координат.

Мы, если не будет оговорено особо, будем исследовать стационарные поля скоростей, т.е. не зависящие от времени Для того чтобы определить вектор скорости частиц сплошной среды, пролетающих через заданную точку пространства, необходимо просто подставить координаты этой точки пространства в (1.4). Для построения вектора скорости надо отложить найденные проекции в выбранном масштабе от данной точки и сложить их.

Очевидно, что вектор-функция (1.4) позволяет определить вектор скорости в любой точке пространства, где эта функция V существует. Правда, если в методе Лагранжа ускорение частицы определяется простым дифференцированием функций координат, то в методе Эйлера определение поля ускорений сложнее:

Следует также отметить, что методы Лагранжа и Эйлера эквивалентны, т.е. физический результат не зависит от выбора метода описания сплошной среды. По аналогии с выше сказанным можно таким же образом задать и другие поля векторных величин. Например поле сил, поле угловых скоростей и т.д.

Скалярное поле По аналогии с полем векторных величин возможно задать с помощью скалярной функции Ф(x,y,z,t) значения скалярной величины (например: плотность, температура, давление, потенциал поля скоростей и т.д.) в каждой точке неподвижного пространства.

Скачать файлы

Похожие документы