Курсовая «Решение простейших» по Дискретной математике (Иванова И. И.)

Кирилл Николоев вс, 17.12.2017 12:33

Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в себе неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; но не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Порядок, или степень дифференциального уравнения - наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),,y(n)(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

1. Общие понятия Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется соотношение вида: (1), где – независимая переменная; – искомая функция переменной; – производные искомой функции; – известная функция своих аргументов.

Считается, что производная на самом деле входит в выражение (1), а величины могут и не входить в него. Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример. 1) – уравнение первого порядка; 2) – уравнение второго порядка; 3) – уравнение пятого порядка. Определение 3. Всякая функция , которая, будучи подставленная вместо y в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).

Если – решение, то по определению (2) Пример. – решение, так как У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение: где С – произвольная постоянная. Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра (С).

Можно показать, что уравнение n–ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных. Пример. Уравнение имеет решение: Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением. (3) Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения функции и являются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая – никогда в нуль не обращается.

Определение 6. Соотношение , (4) связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.

Пример. Рассмотрим уравнение: . Отсюда или . Поэтому , где С – произвольная постоянная. – общий интеграл; – общее решение. Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. Уравнение . Его общее решение . Положим С=2, тогда – частное решение. Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.

Пример. Уравнение имеет два общих решения: 1) 2) Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению. Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .

Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных. Пример. . Общее решение .

2. Дифференциальные уравнения I порядка Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную: (1)

Скачать файлы

Похожие документы