Лекция «Линейная зависимость векторов» по Моделированию систем (Нечаев А. В.)

Кирилл Николоев вт, 28.03.2017 14:40

Пусть , c вектор, отличный от нуля, , . Попробуем, сложив векторы и с какими-то коэффициентами, получить 0. Во-первых, сумма равна нулю. Но нулевой набор коэффициентов нам ни о чем не говорит: сумма любых векторов с нулевыми коэффициентами равна нулю! Возьмем коэффициенты , . Получим .

Возьмем коэффициенты 2 и 1: . Возьмем коэффициенты 0 и 4: . Возьмем коэффициенты и 2: . Ура! Ненулевые коэффициенты нашлись, значит, система векторов линейно зависима. Теперь возьмем два неколлинеарных вектора и .

Рис.10.11. Попробуем составить несколько линейных комбинаций с ненулевыми коэффициентами, чтобы получить нулевой вектор. Возьмем наборы коэффициентов , , , результаты на рисунке. Рис.10.12. Когда надоест перебирать различные комбинации коэффициентов, заметим, что если оба коэффициента не нулевые, то стороны параллелограмма при построении суммы будут ненулевыми и, следовательно, диагональ длины 0 получиться не может. Если один из коэффициентов равен нулю, а другой отличен от нуля, то линейная комбинация будет равна одному из векторов, умноженному на последний коэффициент, и тоже будет не равна нулю. Таким образом, вектор будет равен нулю только при . Поэтому система веторов является линейно независимой.

Из приведенных примеров можно сделать следующий вывод. Для того, чтобы установить, что система векторов является линейно зависимой, нужно перебирать все возможные наборы коэффициентов, в которых есть хотя бы одно ненулевое число. Как только получится, что линейная комбинация равна нулю, перебор останавливается, и заключаем, что система линейно зависима.

Для того, чтобы установить, что система векторов линейно независимая, нужно перебрать все (бесконечно много!) наборы коэффициентов, в которых есть хотя бы одно ненулевое число, и убедиться, что нулевой вектор никогда не получится. Только в этом случае делаем вывод, что система является линейно независимой.

Линейная комбинация векторов Линейной комбинацией векторов называют вектор где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной. Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависима что Система линейно независима Критерий линейной зависимости векторов Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем: 1) существует n линейно независимых векторов; 2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения : n = dim V; . Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно i , т.е. . Если же только при i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми. Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны. Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы. Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат. Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат. 1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Скачать файлы

Похожие документы