Лекция «Линейные пространства» по Моделированию систем (Нечаев А. В.)

Кирилл Николоев вт, 28.03.2017 14:41

Определение линейного пространства Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ), в котором установлены правила: 1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция). Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы: I. II. III. (нулевой элемент, такой, что ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что V. VI. VII. VIII. Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C). Подпространство линейного пространства Множество называется подпространством линейного пространства V, если:

1) 2) Линейная комбинация векторов Линейной комбинацией векторов называют вектор где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной. Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависима что Система линейно независима Критерий линейной зависимости векторов Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем: 1) существует n линейно независимых векторов; 2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения : n = dim V; . Базис пространства . Координаты вектора Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства . Обозначение: Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись: Справедливы формулы: Матрица системы векторов

Для векторов , , в базисе ( ) – матрица m векторов пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда rank A = m. Матрица S перехода от базиса к базису - матрица системы векторов в базисе

Скачать файлы

Похожие документы