Лекция «Решение систем линейных уравнений» по Моделированию систем (Нечаев А. В.)

Кирилл Николоев пт, 18.03.2016 22:02

Решение систем линейных уравнений Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы: 1. точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

2. итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.). Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:

(13) Рисунок 8. В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде Ах = b, (14) где: (15) Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A не равен 0 то система (13), или эквивалентное ей матричное уравнение (14), имеет единственное решение. В самом деле, при условии det A не равно 0 существует обратная матрица А-1. Умножая обе части уравнения (14) на матрицу А-1 получим:

(16) Формула (16) дает решение уравнения (14) и оно единственно. Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve. lsolve(А, b) Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b. Аргументы:

А - квадратная, не сингулярная матрица. b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А. На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных. МЕТОД ГАУССА

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему (13) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей: решение которой находят по рекуррентным формулам:

(17) В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы (13). В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A). На Рисунке 9 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:

rref(A) Возвращается ступенчатая форма матрицы А. augment(A, В) Возвращается массив, сформированный расположением A и В бок о бок. Массивы A и В должны иметь одинаковое число строк. submatrix(A, ir, jr, ic, jc)

Возвращается субматрица, состоящая из всех элементов с ir по jr и столбцах с ic по jc. Удостоверьтесь, что ir jr и ic jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен. Рисунок 9. МЕТОД ИТЕРАЦИИ

Пусть дана линейная система (13). Введя в рассмотрение матрицы (15), систему (13) коротко можно записать в виде матричного уравнения (14). Предполагая, что диагональные коэффициенты aij не равны 0 (i = 1, 2, …, n), разрешим первое уравнение системы (13) относительно х1, второе - относительно х2 и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

(18) где при i не равно j и αij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …, n). Введя матрицы и , систему (18) можно записать в матричной форме x =  +  x, а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле x (k+1) =  +  x (k). (19)

Напишем формулы приближений в развернутом виде: (19' ) Приведем достаточное условие сходимости метода итераций. Теорема: Процесс итерации для приведенной линейной системы (18) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы  меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть

Скачать файлы

Похожие документы