Шпаргалка «Экзаменационная» по Физике (Уруцкоев Л. И.)

Кирилл Николоев сб, 19.03.2016 16:23

3.Основные определения векторного анализа: градиент, поток вектора, циркуляция, дивергенция, ротор. Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей. Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность S, будет равна потоку векторного поля через поверхность S.

Дивергенция — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (т.е. операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), насколько расходятся входящий и исходящий поток. С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

— точка поля является источником; — точка поля является стоком; — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга. Дивергенция вектора плотности тока дает минус скорость накопления заряда в обычной трёхмерной физике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нем или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах).

Ротор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль. 6. Работа электрических сил. Потенциал электростатического поля.

Рассмотрим электрическое поле, созданное неподвижным зарядом q, в котором перемещается заряд из точки 1 в точку 2. Если на траектории движения заряда выделить очень малый отрезок dl, то элементарная работа dA=FdlcosT=q0EdlcosT=(qq0/4пr2e0)dr, где

Т – угол между радиус-вектором r и перемещением dl, dr – проекция перемещения dl на направление радиус-вектора, Е – напряженность поля точечного заряда q на расстоянии r от него. Работа, совершаемая силами электрич. поля по перемещ-ю заряда, не зависит от пути перехода, а является функцией нач. и конечн. расстояний между зарядом q, создающим поле, и зарядом q0, в нем перемещающимся. То есть электростатические силы консервативны.

Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии, т.е. А1,2=U1-U2: А12=(qq0/4пe0)(1/r1-1/r2)= U1-U2 Функция U рассматривается как потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов q0 и q, находящихся на расстоянии r друг от друга.

Отношение потенциальной энергии поля к величине пробного заряда, помещенного в данную точку поля U/q0=φ, зависящее от положения пробного заряда, но не зависящее от его численной величины, характеризует свойства электрич. поля в данной точке и называется потенциалом этой точки φ. Тогда работа по перемещению заряда q0 в электростатич. поле определяется произведением величины переносимого заряда на разность начальной и конечной точек пути А12=q0(φ1-φ2).

Потенциал бесконечно удаленной точки φ∞ равен нулю, т.к. φ∞=U∞/q0=0. Поэтому можно определить потенциал электрического поля как физ. величину, равную работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда (q0=+1) по любому пути из данной точки в бесконечность φ1=А∞/q0.

Скачать файлы

Похожие документы