Шпаргалка «Экзаменационная» по Математическому анализу (Борисова Л. Р.)

Кирилл Николоев вт, 08.12.2009 15:27

1.Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. Матрицей размера mxn наз-ся прямоуг.таблица чисел,сост.из n-строк и m-столбцов.Эл-ты м-цы - числа,составл.м-цу. М-цы обознач.прописными(загл.)б-ми лат.алфав.,напр.:А,В,С,,а для обознач.эл-тов м-цы исп.строч.буквы с двойной индексацией:аij,где i-номер строки, j - номер ст-ца. М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|?0. При |А|=0 - вырожденная (особенная) м-ца.

Виды м-цы: м-ца(вектор)столбец - м-ца,сост.из одного столбца; м-ца(вектор)строка - м-ца,сост.из одной строки; квадр.м-ца n-го порядка - м-ца,ч-ло стр.которой=ч-лу ст-в и =n.; диагонал. - все недиагонал.эл-ты квадр.м-цы равны 0.; единич.(обознач.Е) - все диагонал.эл-ты диагонал.м-цы =1; нулевая - м-ца,любого размера, если все её эл-ты равны 0.

Трансп.м-цы - это смена местами строк и ст-в с сох-м порядка следования эл-тов. А - исходная, А'(Ат)-транспонир. Если А м-ца имеет размер mxn, то А' м-ца - nxm. Равенство м-ц:две м-цы одинак.размера наз.равными,если они равны поэлементно.

Сложение м-ц: (одинак.размера)Складываем соотв.эл-ты. Умножение на число: все эл-ты м-цы умнож.на это число. (Общ.множитель всех эл-тов выносится за знак.м-цы). Умножение 2-х м-ц: произведение м-цы Аmxn на м-цу Вnxp наз-ся м-ца Сmxp,каждый эл-т которой равен сумме произведений эл-в i-строки на соотв.эл. j - столбца. Перемножать можно только такие м-цы,когда число столбцов 1-ой м-цы равно числу строк 2-й м-цы. Произведение м-ц не коммуникативно. 2х3 3х7 не = 3х7 2х3,т.к. 7 не = 2.

Возвед.квадр.м-цы в степень. (только квадр.) Аm = А* А* А. m раз. 5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы. Линейная зависимость и независ.строк м-цы.Расм.прямоуг.м-цы Аmxn

l1=(a11,a12,a13,a14,,a1n) - 1-я строка; l2=(a21,a22,a23,a24,,a2n) - 2-я строка. lm=(am,am2,am3,am4,,amn) Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. ?- "лямбда". 1 * k1+ ? 2k2+. + ? m-1km -1+ ? mkm , где все ? -это числа.

Опред.:строки l1,l2,,lm - линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа ? =0 (? 1=0, ? 2=0, ? 3=0, ? m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы. Опр:строки l1,l2,l3,lm-1,lm - лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел ? 1, ? 2, ? m ?0.

ТЕОР.о ранге м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы). Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r?min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор

|a11 a12 . a1r| |a21 a22 . a2r| = |. | ?0. |ar1 ar2 . arr| Тогда строки м-цы e1,e2,.,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных:

er=?1e1+?2e2+.+?r-1er-1. Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на ?1, эл-ты 2-й строки, умноженные на ?2, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на ?r-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ? не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ?=0 - противоречие, и наше предполож.неверно.

10. 10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А -1В). Рассм.с-ма лин.ур.,в кот.ч-ло ур-ний = ч-лу неизв-х. Тогда м-ца с-мы (сост.из коэф-в при неизв-х,когда в 1-м ст-це коэф-та Х1, во 2-м коэф-та Х2 и т.д.) квадратная.

Если м-ца с-мы невырожденная, то реш.с-мы ст-ц неизв-х Х=А-1В, где В - ст-ц своб.чл-в. Для получ.реш-я с-мы (ф.1) при m=n в общ.виде предположим, что квадр.м-ца с-мы Аnxn невырожд.,т.е. её опред-ль |A|не=0. В этом сл-е сущ-ет обр.м-ца А-1.

Умножая слева обе части матричного равенства (ф.5) на м-цу А-1,получим А-1(АХ)= А-1В. Т.к. А-1(АХ)=(А-1А)Х=ЕХ=Х, то реш-м с-мы методом обр.м-цы будет м-ца-столбец Х= А-1В. Аmxn*Хnx1=Вmx1 <=> (ф.1)

(a11x1+a12x2+.+ аnxn=b1 (a21x1+a21x2+. +a2nxn=b2 ( (аmx1+а2mx2+. +аmnхn=bm (а11х1+ а12х2 +.+а1jxj+.+а1nxn=b1; (ф.5) (а21х1+а22х2+.+а2jxj+.+а2nxn=b2; (. (аi1х1+аi2х2+.+aijxj+.+ainxn=bi; (. (аm1х1+аm2х2+.+аmjxj +.+аmnxn=bm.

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца. Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а11. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0. Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a11*a22 - a12*a21. Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению) Теор.Лапласа(о разлож.опред.) Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения.

Скачать файлы

Похожие документы