Шпаргалка «Экзаменационная» по Математике (Кудряшов А. Ф.)

Кирилл Николоев ср, 13.04.2016 20:16

1. Вектор. Основные понятия. Линейные операции. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются зада-нием их числовых значений. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Скалярными величинами, например, являют-ся длина, площадь, объем, масса, температура тела и др.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются вели-чины, для определения которых, кроме числового значения, необхо-димо знать также их направление. Такие величины называются век-торными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, ско-рость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов. Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничи-вающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если А – начало вектора и В – его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней, например, . Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце. Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Длина вектора называется его модулем и обозначается сим-волом | |. Модуль вектора обозначается | |. Вектор , для которого | | = 1, называется единичным. Обозна-чается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .

Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым. Нулевой век-тор не имеет определенного направления, а начало и конец его совпа-дают. Обозначается . Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеар-ными. Они могут быть одинаково или противоположно направлены.

Два векторы и называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В этом случае пишут: = . Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить, помещая его начало в любую точку пространства. Такой вектор называется свободным.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой, или два любые коллинеарны, то эти вектора также компланарны.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имею-щие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозна-чается – . Для вектора противоположным будет вектор .

Линейные операции над векторами. Линейными операциями называ-ются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. 2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Действия над векторами, заданными проекциями.

Определение 1. Углом между векторами и называ-ется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приве-дения этих векторов к общему началу. Осью называется направленная прямая. Направление прямой на рисунке обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси считается положительным, противоположное – отрицательным.

Рассмотрим ось l, положительное направление которой совпа-дает с направлением единичного вектора , расположенного на оси l. Такой вектор называется ортом оси l. Определение 2. Углом между вектором и осью l называ-ется угол между векторами и .

Определение 3. Проекцией точки А на ось l называется точ-ка , в которой пересекается ось l с плоскостью, перпендикуляр-ной к l, проходящей через точку А. Определение 4. Компонентой (составляющей) вектора на ось l называется вектор , где , соответственно проекции точек A, B на l.

Определение 5. Проекцией вектора на ось l ( ) называется длина его компоненты на ось l, взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси l.

Если = 0, то полагают = 0. Теорема 1. Проекция вектора на ось l равна произведе-нию его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l: 3. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается символом или ( , ). Если угол между векторами и равен , то

= . Через обозначим проекцию вектора на ось с направлением вектора . Так как и , можно записать = , т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением первого.

Скачать файлы

Похожие документы