Шпаргалка «Экзаменационная» по Теории вероятностей и математической статистике (Ситникова Т. С.)

Кирилл Николоев сб, 19.03.2016 18:27

1. Пространство элементарных событий Ω. Примеры построения Ω. Случайного событие, которое при осуществлении некоторых условий может как произойти, так и не произойти. Например как однократное подбрасы-вание монеты. Он имеет два взаимно исключающих исхода: выпадение герба (Г) и выпадение «решетки» (Р). Эти исходы являются случайными: невозможно заранее определить, какой из них осуществится в результате опыта.

Предположим, что в результате некоторого опыта происходит один из взаимно исключающих друг друга исходов, которые мы будем обозначать Ω и называть элементарными событиями. Определение. Совокупность всех элементарных событий (ω обозначим через Ω. и будем называть пространством элементарных событий.

Пример 1. Монета подбрасывается три раза. Описать пространство элементарных событий Ω. Решение. Обозначим через Г выпадение герба, а через Р - выпадение «решетки». Тогда Ω = {(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}.

2. Основные операции над событиями. Алгебра событий. Достоверные, противоположные, несовместные события. Примеры. Событием А называется любое подмножество пространства элементарных событий Ω: À € Ω. Пример Монета подбрасывается три раза.описать события А — (выпало ровно две решетки) и В = (выпало не менее двух решеток).

Решение. Исходя из построенного Ω({(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}.). получаем А = {(РРГ), (РГР),(ГРР)}, А = {(РРГ),(РГР),(ГРР),(РРР)}. Операции над событиями 1. Суммой А+В событий А и В называется объединение множеств

À U Â. Событие А +В состоит в том, что произошло по крайней мере одно из событий А или В. 2. Произведением АВ событий А и В называется пересечение множеств À n  . Событие АВ происходит тогда, когда происходит и А, и В.

3. Разностью А\В событий А и В называется множество элементов А, не входящих в В. Событие А \В состоит в том, что А произошло, а В - нет. Определение. Пусть Ω - пространство элементарных событий, a F - некоторый класс подмножеств Ω. F называется алгеброй событий, если для любого А , В е F

A + B € F, AB € F, A\B € F Примером алгебры событий может служить множество всех подмножеств Ω. Основные типы событий 1. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, то есть событие, совпадающее со всем Ω.

2. Невозможным называют событие, которое не может произойти, то есть событие Ø. 3. Событие Ā называется противоположным (дополнительным) к А, если Ā = Ω\А. 4. События А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием, то есть если АВ=Ø.

Пример. Имеется партия деталей, некоторые из которых бракованные. Произвольно выбираются три детали. Пусть А1, А2 и A3 события, соответствующие тому, что отсутствует брак у первой, второй, третьей детали. Выразим через эти события следующие:

а) все детали без брака = А1А2А3; б) все детали имеют брак = Ā1Ā2Ā3; в) первая деталь бракованная, вторая и третья - нет = Ā1А2А3, г) только одна из деталей имеет брак = = Ā1А2А3 + А1 Ā2А3 + А1А2 Ā3; д) ровно две детали имеют брак = Ā1 Ā 2А3 + А1 Ā 2 Ā3+ Ā1 А2 Ā3

е) хотя бы две детали имеют брак = Ā1 Ā 2А3 + А1 Ā 2 Ā3+ Ā1 А2 Ā3+ Ā1Ā2Ā3. 3. Различные способы определения вероятности. Пусть пространство элементарных событий Ω. состоит из конечного числа элементарных событий {ω1, ω2,…,ωn } , которые равноправны по отношению друг к другу. Вероятность Р(А) события А можно определить как долю тех элементарных событий, в результате которых это событие осуществляется: Р(А) =m/n, где n - общее число элементарных событий в Ω, a m - число тех из них, которые входят в А , или, как говорят, благоприятствуют А . аксиоматическое определение вероятности.

Числовая функция Р(А) , определенная на алгебре событий F, называется вероятностью, если вы-полнены следующие условия: 1) Р(А) ≥ 0 для любого А € F 2)P(Ω) = 1 ; 3)если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Число Р(А) называется вероятностью события А. Определение. Тройка (Ω, F, Р) называется вероятностным пространством. Р(А) = m/n, формула, первоначально принятая за определение вероятности. Пример 10. Монета подбрасывается три раза. найти Р(А) и Р(В) .

Решение. В Ω входит восемь элементарных событий ({(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}), в А - три, в В - четыре. получаем А = {(РРГ), (РГР),(ГРР)}, В = {(РРГ),(РГР),(ГРР),(РРР)}. Поэтому Р(А)=3/8, Р(В)=4/8 =1/2.

4. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Пусть задано вероятностное пространство (Ω,F,P) и A € F, В € F. Тогда вероятность появления хотя бы одного из событий А или В равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Следствие (вероятность противоположного события). Р(А)=1-Р(А). Определение. События А1,А2,,Аn называются попарно несовместными, если Ai ∙Aj=ᴓ для всех i≠j . Пример. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?

Скачать файлы

Похожие документы