Тестирование «Экзаменационное» по Математическому анализу (Дроздов С. А.)

Кирилл Николоев чт, 22.12.2016 20:39

Математический анализ 2)Последовательность. Предел последовательности (определение) Определение: Число а называется пределом последовательности {хn}, если для любого положительного числа E найдется (зависящее от него) натуральное число N такое, что для всех натуральных n>N выполняется неравенство |xn – a|N)

Lim xn = a n -> бесконечность Пример: {1\n} = {1, 1\2 , 1\3….} Зададим Е и попробуем найти такое N, чтобы при n>N выполнялось |xn – 0| 1\E |xn|N 3) Бесконечно малые и их свойства ( о сумме двух бесконечно малых, о произведении бесконечно малой на ограниченную последовательность)

Определение: Последовательность {Ln} называется бесконечно малой, если предел lim (n-> бесконечность) аn = 0, то есть для любого ЕN |Ln|0 такое, что |an|0 Рассмотрим E\2 Т.к. lim (n -> бесконечность) Ln = 0 ; lim (n -> бесконечность) Bn= 0, то найдется N такое, что n>N, |Ln|0. Найдем N=N(E)

Т.к. последовательность {bn} – ограниченная, то |bn|бесконечность) Ln =0, то существует N такое, что при n>N |Ln|N имеем | Ln*bn| = |Ln|*|bn| бесконечность) (Ln * Bn) = 0 ч т д 4)Теоремы о пределе суммы, произведения, частвного.

Пусть существуют пределы lim (n->бесконечность) an = a и lim (n->бесконечность) bn=b 1. lim (n-> бесконечность) (an+bn)= a+b Предел суммы равен сумме пределов 2. lim (n->бесконечность) (an*bn) = a*b 3. Если предел знаменателя не равняется 0, то lim (n->бесконечность) (an\bn)= a\b

5)Предел функции. Определение 1: Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если функция f определена в некоторой окрестности в точке а (за исключением, быть может, самой точки а) и зависящее от него б >0 такое, что для всех х, для которого |x-a|бесконечность) f(xa)=A

Обозначавется: lim (n->а) f(x)=A 6) Связь бесконечно малых с пределом функции. 7) Свойства функций, имеющих предел. Лемма: Если функция f(x) имеет предел отличный от ), то функция 1\f(x) ограничена в точке хо.

Лемма: Если L(x) и B(x) (альфа и бета) бесконечно малые в точке хо, то L(x) + B(x) – тоже бесконечно малые в точке хо. Лемма: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция (в точке хо)

8)Бесконечно большие функции и связь с бесконечно малыми. 9)Теорема о трех пределах. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в окрестности точки хо и таковы, что: 1. f(x)xo) h(x)=A, тогда существует lim (x->xo) g(x) =A

3. Доказательство: пусть дано E>0 По определению предела найдется б (E) такое, что при 0 lim (x->xo) L\B = lim (x->xo)L\L* * lim (x->xo) L*\B* * lim (x->xo) B*\B = 1*M*1 = M 14) Замена бесконечно малых эквивалентных при вычислении пределов.

1. sin L(x) L(x) 2. tg L (x) L(x) 3. arcsin L(x) L(x) 4. arctg L(x) L(x) 5. ln (1+L(x)) L(x) 6. a^L(x) -1 L(x)* ln a 6’. e^L(x) -1 L(x) 7. (1+L(x))^r -1 r*L(x)

7’.( Корень из (1+L(x)) ) -1 1\2 * L(x) 15) Непрерывность функции в точке и на промежутке. Определение: Функция у=f(x) называется непрерывной в точке хо, если выполняется предел lim (x->xo) f(x) = f(xo)

lim (x->xo) f(x) = f( lim (x->xo) x) Утверждение: Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, где она определена. Определение: Элементарная функция – функция, состоящая из основных элементарных функций с помощью действий +, *, /.

Теорема: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Определение: Если функция у=f(х) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке.

Скачать файлы

Похожие документы