Студенческий документ № 00113025 из БГТУ «Военмех»

Пользователь чт, 07.06.2018 16:44

1. Определение первообразной, неопределенный интеграл, свойства первообразной Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Теорема: Пусть - F1(x) и F2(x) - две первообразные для функции f(x) , тогда F1(x)=F2(x)+C. Док-во: рассмотрим F1(x) - F2(x) и найдем ее производную F1'(x) - F2'(x) получилось f(x)-f(x)=0 (любой x принадлежащий промежутку) По следствию т Логранжа (если произв. функции на множестве равно 0, то эта ф. - const ) -> F1(x) - F2(x)=const=C, чтд т.е. F1(x) = F2(x)+С

Определение н. интеграла. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается: Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) - подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной). 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Доказательство. Непосредственно по определению неопределенного интеграла следует, что 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. Доказательство.Из свойства 1 и по определению неопределенного интеграла и дифференциала, имеем

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного множителя. Доказательство. На основании свойства 2 и определения неопределенного интеграла, имеем

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Доказательство. Введем новую функцию Возьмем производную этой функции и применяя свойство 1, получим

- . Из теоремы Лагранжа найдется такое число С,что . Отсюда следует 2. Замена переменной в неопр. интеграле. Теорема.: Пусть функция x= ?(t) - строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции ?(t). Если функция ?(x) интегрируема на соответствующем интервале измененийx, то имеет место равенство:

?(x)dx=? ?(?(t))·?'(t)dt Доказательство. Определени1: Если функция ?(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл? ?(x)dx, а функция ?(x) в этом случае называется интегрируемой.

Скачать файлы