Студенческий документ № 00113038 из БГТУ «Военмех»

Пользователь вт, 15.05.2018 12:48

Инварианты Римана. Подобно выводу уравнения Бернулли в стационарном течении введение функции скорости (g) движения произвольной среды dg = dp/?a (dim g = м/сек) позволяет записать левую часть УДС-Х (2.11) в виде полного дифференциала, который равен нулю в плоском течении (?=1):

dR?_±=du±dg=0 Это означает, что вдоль каждой из характеристик положительного (v+) и отрицательного (v-) семейств не изменяется cумма и разность скоростей u и g, т. е. величины R_± постоянны вдоль соответствующих характеристик и представляют инварианты

R_?=u+?g. Здесь ?=±1 - показатель семейства характеристик. Если известны инварианты R+ и R- на пересекающихся характеристиках различных семейств, то скорости u и g в точке пересечения могут быть найдены через R+ и R-

u=(R_++R)/2 g=(R_+-R)/2 Значения R_? на каждой из характеристик различных семейств (?=±1) в общем случае разны и не изменяются. Величины R_(?,), определяемые формулой, называются инвариантами Римана. Вид функции скорости (g) зависит от выбора модели движения среды, т. е. от взаимосвязи между термодинамическими переменными p, ? и a. В баротропной среде эти переменные связаны формулой

dp/d?=a^2 а произведение z =?a представляет акустический импеданс среды. Значение импеданса определяется коэффициентом объемного сжатия среды z=v(K?_0 ) поэтому dg=dp/v(K?_0 ) Если изменением коэффициента K можно пренебречь, то значение импеданса не зависит от давления, и функция скорости выражается через давление и параметры торможения

g=(p_0-p)/z_0 или g=(1-p/p_0 )C_0 где величина C_0-p/p_0 имеет размерность скорости. Известная экспериментальная зависимость K(p) позволяет учесть изменения импеданса и функции скорости. В этом случае инварианты Римана связывают скорость движения среды с давлением в ней:

R_?^((K))=u+?gC_0 (1-p/p_0 ) В изоэнтропном процессе g = 2a/(?-1) поэтому взаимосвязь между скоростями u и a через инварианты Римана записывается так: R_?=u+? 2a/(?-1) Таким образом, постоянные вдоль акустических характеристик инварианты Римана играют роль удельного полного теплосодержания в уравнении Бернулли. Величина его, которая не изменяется вдоль линии тока, содержит переменные u и a входящие и в уравнения акустических характеристик, и в стационарном течении является инвариантом. В задачах с известными краевыми условиями инварианты заданы на характерных линиях (Коши, Гурса и др.), и их использование упрощает решение задачи методом характеристик в случае течений с плоскими волнами.

12. Волны Римана. Прямая теорема о простой волне. Найденная взаимосвязь u и g вдоль отдельных характеристик пока не по- зволяет найти распределения u (x, t) и g (x, t) в некоторой области движения и проинтегрировать сами уравнения характеристик даже в случае плоских волн (?=1). Чтобы получить аналитическое решение дифференциальных уравнений НГГД, подобное волнам Прандтля-Майера в сверхзвуковом стационарном течении, необходимы дополнительные предположения, которые формулируются в виде прямой и обратной теорем о волне Римана.

Предположим, что какой-либо из инвариантов R_? постоянен не только вдоль соответствующей характеристики, но и в некоторой области течения. Из такого предположения вытекает следствие: если один из инвариантов Римана сохраняет своё значение не только вдоль соответствующей криволинейной характеристики семейства ?=±1, но и в некоторой области непрерывного нестационарного течения среды, то в этой области характеристики противоположного семейства ?? прямолинейны и вдоль них газодинамические параметры сохраняют свои значения. Доказательство. Без потери общности, можно предположить, что инвариант R_?=Ru-g постоянен не только вдоль криволинейной ?- характеристики отрицательного семейства (?1), но и в некоторой области 2.

Скачать файлы